НОВЫЕ АСПЕКТЫ МЕТОДА ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ

 

Часть IV

 

Данная страница является продолжением страниц:

 

http://www.natalimak1.narod.ru/aspekty.htm

http://www.natalimak1.narod.ru/aspekty1.htm

http://www.natalimak1.narod.ru/aspekty2.htm

 

Рассматриваем дальше метод латинских квадратов применительно к построению магических квадратов порядка n = 4k + 2 (k>1).

Для порядка 10 в предыдущих частях статьи приведено достаточно примеров. Показано использование пар диагональных ОЛК и пар не диагональных ОЛК, построены магические, полумагические и нетрадиционные магические квадраты 10-го порядка.

Теперь переходим к порядку 14, следующему в данной серии порядков. Здесь всё застопорилось, потому что мне неизвестна ни одна пара ОЛК данного порядка.

Построить один латинский квадрат не является проблемой. Вот, например, латинский квадрат, построенный по придуманной мной схеме (рис. 1):

 

0

2

4

6

8

10

12

13

3

5

7

9

11

1

12

1

3

5

7

9

11

0

13

4

6

8

10

2

11

0

2

4

6

8

10

12

1

13

5

7

9

3

10

12

1

3

5

7

9

11

0

2

13

6

8

4

9

11

0

2

4

6

8

10

12

1

3

13

7

5

8

10

12

1

3

5

7

9

11

0

2

4

13

6

13

9

11

0

2

4

6

8

10

12

1

3

5

7

6

13

10

12

1

3

5

7

9

11

0

2

4

8

5

7

13

11

0

2

4

6

8

10

12

1

3

9

4

6

8

13

12

1

3

5

7

9

11

0

2

10

3

5

7

9

13

0

2

4

6

8

10

12

1

11

2

4

6

8

10

13

1

3

5

7

9

11

0

12

1

3

5

7

9

11

13

2

4

6

8

10

12

0

7

8

9

10

11

12

0

1

2

3

4

5

6

13

 

Рис. 1

 

Далее, на рис. 2 показан латинский квадрат 14-го порядка, построенный по схеме Агриппы.

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

1

0

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

0

1

12

13

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

13

12

3

2

1

0

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

0

1

2

3

10

11

12

13

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

13

12

11

10

5

4

3

2

1

0

13

12

11

10

9

8

7

6

6

7

8

9

10

11

12

13

0

1

2

3

4

5

8

9

10

11

12

13

0

1

2

3

4

5

6

7

7

6

5

4

3

2

1

0

13

12

11

10

9

8

 

Рис. 2

 

Очень гармоничные квадраты. Но я даже не знаю, существуют ли для этих латинских квадратов ортогональные квадраты. А если и существуют, всё равно не могу их построить.

По приведённым схемам можно построить один латинский квадрат любого порядка n = 4k + 2. Но это ничего не даёт. Нужна пара ОЛК.

 

У меня есть статья на английском языке, в которой рассматривается вопрос построения ортогональных квадратов 14-го порядка: “Three Mutually Orthogonal Latin Squares of Order 14” (D. T. Todorov). Я поместила эту статью сюда:

 

http://www.natalimak1.narod.ru/mk/mols14.pdf

 

Если есть такие читатели, кого заинтересовала данная проблема, они могут посмотреть эту статью. Возможно, им удастся разобраться в том, как же строятся ортогональные латинские квадраты 14-го порядка.

 

Приведу один фрагмент из этой статьи.

 

 

 

Три раза приведены 4 строки, которые вполне могут быть началом латинского квадрата 14-го порядка. Предполагаю, что символ похожий на символ бесконечности, равен 13. Я взяла первые 4 строки и дополнила их до латинского квадрата простым подбором. Вот какой квадрат у меня получился (рис. 3):

 

13

0

1

3

2

4

5

6

7

8

9

10

11

12

0

13

2

12

10

7

9

5

4

1

11

8

3

6

1

2

13

9

5

3

12

7

11

0

4

6

8

10

3

12

9

13

6

2

7

11

1

5

10

0

4

8

2

10

5

6

13

8

1

3

0

4

7

9

12

11

4

7

3

2

8

13

6

9

12

10

0

11

1

5

5

9

12

7

1

6

13

0

8

11

3

4

10

2

6

5

7

11

3

9

0

13

10

12

8

1

2

4

7

4

11

1

0

12

8

10

13

6

5

2

9

3

8

1

0

5

4

10

11

12

6

13

2

3

7

9

9

11

4

10

7

0

3

8

5

2

13

12

6

1

10

8

6

0

9

11

4

1

2

3

12

13

5

7

11

3

8

4

12

1

10

2

9

7

6

5

13

0

12

6

10

8

11

5

2

4

3

9

1

7

0

13

 

Рис. 3

 

Тоже гармоничный квадрат с замечательной диагональной симметрией. А ортогональный квадрат для этого квадрата можно построить?

Можно взять следующие 4 строки из приведённого фрагмента статьи и тоже достроить их до полного латинского квадрата. Но что делать с этим квадратом дальше? Пока ничего непонятно. Ну, однако, что-то же в статье об этом написано. Надо только уметь это прочитать.

 

***

 

О парах ОЛК 18-го порядка вообще ничего пока не встречала в имеющихся у меня статьях. Пары ОЛК 22-го порядка нашлись и были показаны в предыдущих частях статьи.

Тут интересно рассказать о другом способе построения пар ОЛК 22-го порядка. В статье Стенсона нашла очень интересную схему построения пары ОЛК 10-го порядка. Далее в статье написано, что по такой схеме можно строить пары ОЛК любого порядка n = 10(mod 12). А следующий такой порядок как раз 22. Схема Стенсона для квадратов 10-го порядка была уже показана в первой части статьи. Воспроизведу её ещё раз (рис. 4):

 

0

a1

1

a2

2

a3

3

6

5

4

 

0

4

a1

5

a2

6

a3

1

2

3

4

1

a1

2

a2

3

a3

0

6

5

a3

1

5

a1

6

a2

0

2

3

4

a3

5

2

a1

3

a2

4

1

0

6

1

a3

2

6

a1

0

a2

3

4

5

5

a3

6

3

a1

4

a2

2

1

0

a2

2

a3

3

0

a1

1

4

5

6

a2

6

a3

0

4

a1

5

3

2

1

2

a2

3

a3

4

1

a1

5

6

0

6

a2

0

a3

1

5

a1

4

3

2

a1

3

a2

4

a3

5

2

6

0

1

a1

0

a2

1

a3

2

6

5

4

3

3

a1

4

a2

5

a3

6

0

1

2

1

2

3

4

5

6

0

a1

a2

a3

6

0

1

2

3

4

5

a1

a2

a3

2

3

4

5

6

0

1

a2

a3

a1

5

6

0

1

2

3

4

a3

a1

a2

3

4

5

6

0

1

2

a3

a1

a2

4

5

6

0

1

2

3

a2

a3

a1

 

Рис. 4

 

Посмотрите внимательно на эту схему. Закономерности наблюдаются. Напомню, что переменные a1, a2, a3 могут принимать значения 7, 8, 9 в любой комбинации. То есть по этой схеме можно составить шесть пар ОЛК. Для пары ОЛК Паркера в одной из предыдущих частей статьи составлена аналогичная схема.

 

А теперь по аналогии рисую начало первого латинского квадрата 22-го порядка (рис. 5):

 

0

a1

1

a2

2

a3

3

a4

4

a5

5

a6

6

a7

7

14

13

12

11

10

9

8

8

1

a1

2

a2

3

a3

4

a4

5

a5

6

a6

7

a7

0

14

13

12

11

10

9

a7

9

2

a1

3

a2

4

a3

5

a4

6

a5

7

a6

8

1

0

14

13

12

11

10

9

a7

10

3

a1

4

a2

5

a3

6

a4

7

a5

8

a6

2

1

0

14

13

12

11

a6

10

a7

11

4

a1

5

a2

6

a3

7

a4

8

a5

9

3

2

1

0

14

13

12

10

a6

11

a7

12

5

a1

6

a2

7

a3

8

a4

9

a5

4

3

2

1

0

14

13

a5

11

a6

12

a7

13

6

a1

7

a2

8

a3

9

a4

10

5

4

3

2

1

0

14

11

a5

12

a6

13

a7

14

7

a1

8

a2

9

a3

10

a4

6

5

4

3

2

1

0

a4

12

a5

13

a6

14

a7

0

8

a1

9

a2

10

a3

11

7

6

5

4

3

2

1

12

a4

13

a5

14

a6

0

a7

1

9

a1

10

a2

11

a3

8

7

6

5

4

3

2

a3

13

a4

14

a5

0

a6

1

a7

2

10

a1

11

a2

12

9

8

7

6

5

4

3

13

a3

14

a4

0

a5

1

a6

2

a7

3

11

a1

12

a2

10

9

8

7

6

5

4

a2

14

a3

0

a4

1

a5

2

a6

3

a7

4

12

a1

13

11

10

9

8

7

6

5

14

a2

0

a3

1

a4

2

a5

3

a6

4

a7

5

13

a1

12

11

10

9

8

7

6

a1

0

a2

1

a3

2

a4

3

a5

4

a6

5

a7

6

14

13

12

11

10

9

8

7

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

0

a1

a2

a3

a4

a5

a6

a7

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

0

1

a2

a3

a4

a5

a6

a7

a1

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

0

1

2

a3

a4

a5

a6

a7

a1

a2

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

0

1

2

3

a4

a5

a6

a7

a1

a2

a3

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

0

1

2

3

4

a5

a6

a7

a1

a2

a3

a4

6

7

8

9

10

11

12

13

14

0

1

2

3

4

5

a6

a7

a1

a2

a3

a4

a5

7

8

9

10

11

12

13

14

0

1

2

3

4

5

6

a7

a1

a2

a3

a4

a5

a6

 

Рис. 5

 

Вот такая заготовка. Дальше пока не думала, как заполнить этот латинский квадрат. Здесь значения переменных a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7 равны 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21 в любой комбинации.

 

Примечание: заготовку для первого латинского квадрата заполнила на другой день. Кажется, всё правильно. Заготовку для второго латинского квадрата не заполняла и конкретную пару ОЛК не составила для этой схемы. Сделала это для другой схемы (см. далее).

 

Для второго латинского квадрата ортогонального латинскому квадрату, заготовка для которого дана на рис. 5, рисую аналогичную заготовку (рис. 6):

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

3

4

5

6

7

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3

4

5

6

7

8

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

4

5

6

7

8

9

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

5

6

7

8

9

10

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

6

7

8

9

10

11

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

7

8

9

10

11

12

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

7

8

9

10

11

12

13

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

8

9

10

11

12

13

14

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

9

10

11

12

13

14

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

10

11

12

13

14

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

11

12

13

14

0

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

 

 

12

13

14

0

1

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

13

14

0

1

2

3

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

 

14

0

1

2

3

4

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14

0

1

2

3

4

5

6

14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

a1

a2

a3

a4

a5

a6

a7

13

14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

a7

a1

a2

a3

a4

a5

a6

12

13

14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

a6

a7

a1

a2

a3

a4

a5

11

12

13

14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

a5

a6

a7

a1

a2

a3

a4

10

11

12

13

14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

a4

a5

a6

a7

a1

a2

a3

9

10

11

12

13

14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

a3

a4

a5

a6

a7

a1

a2

8

9

10

11

12

13

14

0

1

2

3

4

5

6

7

a2

a3

a4

a5

a6

a7

a1

 

Рис. 6

 

Надо подумать, как заполнить эти латинские квадраты полностью. Если я нигде не ошиблась, то всё  должно получиться. Предлагаю читателям заняться этим прямо сейчас.

Итак, овладев описанным алгоритмом составления пары ОЛК, мы решим задачу для всех порядков n = 10(mod 12), то есть для следующих порядков: 10, 22, 34, 46, 58 … Это уже третья часть всех порядков рассматриваемой серии.

 

Как я уже сказала, для греко-латинского квадрата Паркера действует аналогичная схема. Оказывается и в третьем греко-латинском квадрате 10-го порядка, найденном мной в Интернете, действует такая же схема. Это стоит показать! На рис. 7 воспроизвожу пару ОЛК, полученную из указанного греко-латинского квадрата.

 

1

8

9

0

2

4

6

3

5

7

 

1

7

6

5

0

9

8

2

3

4

7

2

8

9

0

3

5

4

6

1

8

2

1

7

6

0

9

3

4

5

6

1

3

8

9

0

4

5

7

2

9

8

3

2

1

7

0

4

5

6

5

7

2

4

8

9

0

6

1

3

0

9

8

4

3

2

1

5

6

7

0

6

1

3

5

8

9

7

2

4

2

0

9

8

5

4

3

6

7

1

9

0

7

2

4

6

8

1

3

5

4

3

0

9

8

6

5

7

1

2

8

9

0

1

3

5

7

2

4

6

6

5

4

0

9

8

7

1

2

3

2

3

4

5

6

7

1

8

9

0

3

4

5

6

7

1

2

8

0

9

3

4

5

6

7

1

2

0

8

9

5

6

7

1

2

3

4

0

9

8

4

5

6

7

1

2

3

9

0

8

 

7

1

2

3

4

5

6

9

8

0

 

Рис. 7

 

Здесь точно так же можно ввести три переменные a1, a2, a3, принимающие значения 0, 8, 9 в любой комбинации, и составить шесть подобных пар ОЛК.

Посмотрите, какая интересная симметрия в этой паре ОЛК не только прямоугольников, но и треугольников. Думаю, что по этой схеме составить пару ОЛК 22-го порядка будет проще, чем по предыдущей схеме Стенсона. Надо попробовать.

 

***

 

Действительно, последняя схема оказалась проще схемы Стенсона и по этой схеме я сразу составила пару ОЛК 22-го порядка. Сначала покажу эту схему (см. рис. 7) в общем виде с переменными a1, a2, a3 (рис. 8):

 

1

a1

a2

a3

2

4

6

3

5

7

 

1

7

6

5

a3

a2

a1

2

3

4

7

2

a1

a2

a3

3

5

4

6

1

a1

2

1

7

6

a3

a2

3

4

5

6

1

3

a1

a2

a3

4

5

7

2

a2

a1

3

2

1

7

a3

4

5

6

5

7

2

4

a1

a2

a3

6

1

3

a3

a2

a1

4

3

2

1

5

6

7

a3

6

1

3

5

a1

a2

7

2

4

2

a3

a2

a1

5

4

3

6

7

1

a2

a3

7

2

4

6

a1

1

3

5

4

3

a3

a2

a1

6

5

7

1

2

a1

a2

a3

1

3

5

7

2

4

6

6

5

4

a3

a2

a1

7

1

2

3

2

3

4

5

6

7

1

a1

a2

a3

3

4

5

6

7

1

2

a1

a3

a2

3

4

5

6

7

1

2

a3

a1

a2

5

6

7

1

2

3

4

a3

a2

a1

4

5

6

7

1

2

3

a2

a3

a1

 

7

1

2

3

4

5

6

a2

a1

a3

 

Рис. 8

 

Понятно, что на рис. 7 приведена пара ОЛК для таких значений переменных: a1 = 8, a2 = 9, a3 = 0. Как уже сказано, варьируя значения переменных, можно составить шесть пар подобных ОЛК.

Итак, схема стала абсолютно прозрачна. Теперь составляю такую же схему для пары ОЛК 22-го порядка. Приведённые выше заготовки для схемы Стенсона, оставляю для полного заполнения любознательным читателям. Мне больше понравилась последняя схема.

На рис. 9 показываю первый латинский квадрат 22-го порядка, составленный в полной аналогии с первым латинским квадратом 10-го порядка, изображённым на рис. 8 слева.

 

1

a1

a2

a3

a4

a5

a6

a7

2

4

6

8

10

12

14

3

5

7

9

11

13

15

15

2

a1

a2

a3

a4

a5

a6

a7

3

5

7

9

11

13

4

6

8

10

12

14

1

14

1

3

a1

a2

a3

a4

a5

a6

a7

4

6

8

10

12

5

7

9

11

13

15

2

13

15

2

4

a1

a2

a3

a4

a5

a6

a7

5

7

9

11

6

8

10

12

14

1

3

12

14

1

3

5

a1

a2

a3

a4

a5

a6

a7

6

8

10

7

9

11

13

15

2

4

11

13

15

2

4

6

a1

a2

a3

a4

a5

a6

a7

7

9

8

10

12

14

1

3

5

10

12

14

1

3

5

7

a1

a2

a3

a4

a5

a6

a7

8

9

11

13

15

2

4

6

9

11

13

15

2

4

6

8

a1

a2

a3

a4

a5

a6

a7

10

12

14

1

3

5

7

a7

10

12

14

1

3

5

7

9

a1

a2

a3

a4

a5

a6

11

13

15

2

4

6

8

a6

a7

11

13

15

2

4

6

8

10

a1

a2

a3

a4

a5

12

14

1

3

5

7

9

a5

a6

a7

12

14

1

3

5

7

9

11

a1

a2

a3

a4

13

15

2

4

6

8

10

a4

a5

a6

a7

13

15

2

4

6

8

10

12

a1

a2

a3

14

1

3

5

7

9

11

a3

a4

a5

a6

a7

14

1

3

5

7

9

11

13

a1

a2

15

2

4

6

8

10

12

a2

a3

a4

a5

a6

a7

15

2

4

6

8

10

12

14

a1

1

3

5

7

9

11

13

a1

a2

a3

a4

a5

a6

a7

1

3

5

7

9

11

13

15

2

4

6

8

10

12

14

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

1

a1

a2

a3

a4

a5

a6

a7

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

1

2

a7

a1

a2

a3

a4

a5

a6

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

1

2

3

a6

a7

a1

a2

a3

a4

a5

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

1

2

3

4

a5

a6

a7

a1

a2

a3

a4

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

1

2

3

4

5

a4

a5

a6

a7

a1

a2

a3

7

8

9

10

11

12

13

14

15

1

2

3

4

5

6

a3

a4

a5

a6

a7

a1

a2

8

9

10

11

12

13

14

15

1

2

3

4

5

6

7

a2

a3

a4

a5

a6

a7

a1

 

Рис. 9

 

Здесь переменные a1, a2, … a7 принимают значения 16, 17, 18, 19, 20, 21, 0 в любой комбинации.

Теперь составляю второй латинский квадрат ортогональный данному (рис. 10):

 

1

15

14

13

12

11

10

9

a7

a6

a5

a4

a3

a2

a1

2

3

4

5

6

7

8

a1

2

1

15

14

13

12

11

10

a7

a6

a5

a4

a3

a2

3

4

5

6

7

8

9

a2

a1

3

2

1

15

14

13

12

11

a7

a6

a5

a4

a3

4

5

6

7

8

9

10

a3

a2

a1

4

3

2

1

15

14

13

12

a7

a6

a5

a4

5

6

7

8

9

10

11

a4

a3

a2

a1

5

4

3

2

1

15

14

13

a7

a6

a5

6

7

8

9

10

11

12

a5

a4

a3

a2

a1

6

5

4

3

2

1

15

14

a7

a6

7

8

9

10

11

12

13

a6

a5

a4

a3

a2

a1

7

6

5

4

3

2

1

15

a7

8

9

10

11

12

13

14

a7

a6

a5

a4

a3

a2

a1

8

7

6

5

4

3

2

1

9

10

11

12

13

14

15

2

a7

a6

a5

a4

a3

a2

a1

9

8

7

6

5

4

3

10

11

12

13

14

15

1

4

3

a7

a6

a5

a4

a3

a2

a1

10

9

8

7

6

5

11

12

13

14

15

1

2

6

5

4

a7

a6

a5

a4</