ПОСТРОЕНИЕ ПАР ОРТОГОНАЛЬНЫХ ДИАГОНАЛЬНЫХ ЛАТИНСКИХ

 

КВАДРАТОВ МЕТОДОМ СОСТАВНЫХ КВАДРАТОВ

 

Данная страница является продолжением страницы http://www.natalimak1.narod.ru/aspekty4.htm

 

 

Начну с цитаты из статьи “Completion of the Spectrum of Orthogonal Diagonal Latin Squares” (J. W. Brown и другие):

 

“2. Previous results

 

It is easy to construct orthogonal diagonal latin squares (ODLS) when n is prime to 6, because the n x n square with (i, j) entry i + 2j (modulo n) and its transpose satisfy the definition [4]. The small orders 4, 8 and 9 are easy to construct (see [4]) and side 27 is exhibited in [1]. Gergely [5] showed that if there are ODLS of sides n1 and n2 then side n1n2 can be realized. So one need only consider those orders divisible by 2 (but not 4) and those divisible by 3 (but not 9)”.

 

В этой цитате содержится очень важный результат: если есть ортогональные диагональные латинские квадраты порядков n1 и n2, то можно составить ортогональные диагональные латинские квадраты порядка n1*n2.

Это очень напоминает метод составных квадратов для построения магических квадратов. Поэтому и для пар диагональных ОЛК я тоже назвала этот метод методом составных квадратов.

 

В предыдущих частях настоящей статьи были показаны пары ортогональных диагональных латинских квадратов для порядков 4 – 10 и 16, исключая порядки 2, 3 и 6, для которых не существует таких пар ОЛК. Составление пар диагональных ОЛК задача непростая. Метод составных квадратов позволяет легко решить задачу для порядков, представимых в виде произведения двух чисел, для каждого из которых существует пара диагональных ОЛК. Понятно, что минимальный порядок, для которого можно применить метод составных квадратов, равен 16. Я начну демонстрацию метода с составления пары диагональных ОЛК 20-го порядка.

Итак, надо выбрать пары диагональных ОЛК 4-го и 5-го порядков. На рис. 1 показана пара диагональных ОЛК 4-го порядка, а на рис. 2 – пара диагональных ОЛК 5-го порядка.

 

1

2

4

3

 

1

3

2

4

3

4

2

1

2

4

1

3

2

1

3

4

4

2

3

1

4

3

1

2

3

1

4

2

 

Рис. 1

 

1

2

3

4

5

 

1

2

3

4

5

3

4

5

1

2

4

5

1

2

3

5

1

2

3

4

2

3

4

5

1

2

3

4

5

1

5

1

2

3

4

4

5

1

2

3

3

4

5

1

2

 

Рис. 2

 

Замечу, что здесь удобнее записывать латинские квадраты в нетрадиционном виде.

Для построения первого латинского квадрата 20-го порядка надо взять первые квадраты из каждой пары ОЛК. По аналогии с методом составных магических квадратов здесь тоже надо определиться, какой квадрат будет базовым, а какой – основным. От этого зависит разбиение квадрата 20-го порядка. Выберем в качестве базового квадрата квадрат 4-го порядка, а в качестве основного – квадрат 5-го порядка. В таком случает надо разбить матрицу 20х20 на 16 квадратов 5х5 (рис. 3). Число в каждой ячейке базового квадрата показывает, на сколько надо увеличить числа в основном квадрате, помещаемом в соответствующий этой ячейке блок 5х5. Таким образом, аналогия с методом составных магических квадратов полная.

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

16

17

18

19

20

11

12

13

14

15

3

4

5

1

2

8

9

10

6

7

18

19

20

16

17

13

14

15

11

12

5

1

2

3

4

10

6

7

8

9

20

16

17

18

19

15

11

12

13

14

2

3

4

5

1

7

8

9

10

6

17

18

19

20

16

12

13

14

15

11

4

5

1

2

3

9

10

6

7

8

19

20

16

17

18

14

15

11

12

13

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

13

14

15

11

12

18

19

20

16

17

8

9

10

6

7

3

4

5

1

2

15

11

12

13

14

20

16

17

18

19

10

6

7

8

9

5

1

2

3

4

12

13

14

15

11

17

18

19

20

16

7

8

9

10

6

2

3

4

5

1

14

15

11

12

13

19

20

16

17

18

9

10

6

7

8

4

5

1

2

3

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

8

9

10

6

7

3

4

5

1

2

13

14

15

11

12

18

19

20

16

17

10

6

7

8

9

5

1

2

3

4

15

11

12

13

14

20

16

17

18

19

7

8

9

10

6

2

3

4

5

1

12

13

14

15

11

17

18

19

20

16

9

10

6

7

8

4

5

1

2

3

14

15

11

12

13

19

20

16

17

18

16

17

18

19

20

11

12

13

14

15

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

18

19

20

16

17

13

14

15

11

12

3

4

5

1

2

8

9

10

6

7

20

16

17

18

19

15

11

12

13

14

5

1

2

3

4

10

6

7

8

9

17

18

19

20

16

12

13

14

15

11

2

3

4

5

1

7

8

9

10

6

19

20

16

17

18

14

15

11

12

13

4

5

1

2

3

9

10

6

7

8

 

Рис. 3

 

Первый латинский квадрат готов. Очевидно, что этот латинский квадрат диагональный. Для построения второго латинского квадрата ортогонального построенному квадрату берём вторые латинские квадраты 4-го и 5-го порядков. Всё делаем точно так же, как при построении первого латинского квадрата (см. рис. 4).

 

1

2

3

4

5

11

12

13

14

15

6

7

8

9

10

16

17

18

19

20

4

5

1

2

3

14

15

11

12

13

9

10

6

7

8

19

20

16

17

18

2

3

4

5

1

12

13

14

15

11

7

8

9

10

6

17

18

19

20

16

5

1

2

3

4

15

11

12

13

14

10

6

7

8

9

20

16

17

18

19

3

4

5

1

2

13

14

15

11

12

8

9

10

6

7

18

19

20

16

17

6

7

8

9

10

16

17

18

19

20

1

2

3

4

5

11

12

13

14

15

9

10

6

7

8

19

20

16

17

18

4

5

1

2

3

14

15

11

12

13

7

8

9

10

6

17

18

19

20

16

2

3

4

5

1

12

13

14

15

11

10

6

7

8

9

20

16

17

18

19

5

1

2

3

4

15

11

12

13

14

8

9

10

6

7

18

19

20

16

17

3

4

5

1

2

13

14

15

11

12

16

17

18

19

20

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

1

2

3

4

5

19

20

16

17

18

9

10

6

7

8

14

15

11

12

13

4

5

1

2

3

17

18

19

20

16

7

8

9

10

6

12

13

14

15

11

2

3

4

5

1

20

16

17

18

19

10

6

7

8

9

15

11

12

13

14

5

1

2

3

4

18

19

20

16

17

8

9

10

6

7

13

14

15

11

12

3

4

5

1

2

11

12

13

14

15

1

2

3

4

5

16

17

18

19

20

6

7

8

9

10

14

15

11

12

13

4

5

1

2

3

19

20

16

17

18

9

10

6

7

8

12

13

14

15

11

2

3

4

5

1

17

18

19

20

16

7

8

9

10

6

15

11

12

13

14

5

1

2

3

4

20

16

17

18

19

10

6

7

8

9

13

14

15

11

12

3

4

5

1

2

18

19

20

16

17

8

9

10

6

7

 

Рис. 4

 

Пара диагональных ОЛК 20-го порядка построена. Ниже показан магический квадрат 20-го порядка, построенный из данной пары ОЛК. Я не стала помещать его в матрицу, показываю так, как он записан программой в файл.

 

 1  22  43  64  85  111  132  153  174  195  306  327  348  369  390  216  237  258  279  300

 44  65  81  2  23  154  175  191  112  133  349  370  386  307  328  259  280  296  217  238

 82  3  24  45  61  192  113  134  155  171  387  308  329  350  366  297  218  239  260  276

 25  41  62  83  4  135  151  172  193  114  330  346  367  388  309  240  256  277  298  219

 63  84  5  21  42  173  194  115  131  152  368  389  310  326  347  278  299  220  236  257

 206  227  248  269  290  316  337  358  379  400  101  122  143  164  185  11  32  53  74  95

 249  270  286  207  228  359  380  396  317  338  144  165  181  102  123  54  75  91  12  33

 287  208  229  250  266  397  318  339  360  376  182  103  124  145  161  92  13  34  55  71

 230  246  267  288  209  340  356  377  398  319  125  141  162  183  104  35  51  72  93  14

 268  289  210  226  247  378  399  320  336  357  163  184  105  121  142  73  94  15  31  52

 116  137  158  179  200  6  27  48  69  90  211  232  253  274  295  301  322  343  364  385

 159  180  196  117  138  49  70  86  7  28  254  275  291  212  233  344  365  381  302  323

 197  118  139  160  176  87  8  29  50  66  292  213  234  255  271  382  303  324  345  361

 140  156  177  198  119  30  46  67  88  9  235  251  272  293  214  325  341  362  383  304

 178  199  120  136  157  68  89  10  26  47  273  294  215  231  252  363  384  305  321  342

 311  332  353  374  395  201  222  243  264  285  16  37  58  79  100  106  127  148  169  190

 354  375  391  312  333  244  265  281  202  223  59  80  96  17  38  149  170  186  107  128

 392  313  334  355  371  282  203  224  245  261  97  18  39  60  76  187  108  129  150  166

 335  351  372  393  314  225  241  262  283  204  40  56  77  98  19  130  146  167  188  109

 373  394  315  331  352  263  284  205  221  242  78  99  20  36  57  168  189  110  126  147

 

Следует заметить, что при использовании пары ортогональных латинских квадратов, записанных в нетрадиционном виде, надо несколько изменить формулу для построения магического квадрата. Обозначим матрицу первого латинского квадрата A(aij), матрицу второго латинского квадрата –  B(bij), матрицу готового магического квадрата - C(cij). Тогда формула для построения магического квадрата в случае, когда латинские квадраты записаны в нетрадиционном виде, будет такой:

 

cij = n*(aij – 1) + bij

 

Если поменять латинские квадраты местами, то формула примет вид:

 

cij = n*(bij – 1) + aij

 

А теперь покажу составление пары диагональных ОЛК 25-го порядка методом составных квадратов. Порядок 25 является нечётным порядком не кратным 3, для таких порядков в предыдущих частях статьи показаны две схемы составления пар диагональных ОЛК. Таким образом, это будет уже третья схема.

В качестве исходной пары ОЛК 5-го порядка возьмём следующую пару (рис. 5):

 

1

3

5

2

4

 

1

5

4

3

2

5

2

4

1

3

3

2

1

5

4

4

1

3

5

2

5

4

3

2

1

3

5

2

4

1

2

1

5

4

3

2

4

1

3

5

4

3

2

1

5

 

Рис. 5

 

Обратите внимание: латинские квадраты в этой паре ассоциативные и пандиагональные, если смотреть на них как на нетрадиционные магические квадраты. Специально выбрана такая пара ОЛК, чтобы составить пару диагональных ОЛК 25-го порядка, обладающих такими же свойствами. Понятно, что из такой пары ОЛК построится идеальный магический квадрат.

Я буду использовать для построения обоих латинских квадратов 25-го порядка одну и ту же пару ОЛК 5-го порядка, только при построении второго латинского квадрата базовый и основной квадраты меняются ролями. При построении первого латинского квадрата базовым квадратом служит квадрат, изображённый на рис. 5 справа, понятно, что квадрат, изображённый на рис. 5 слева, служит основным. На рис. 6 вы видите готовый латинский квадрат 25-го порядка.

 

1

3

5

2

4

21

23

25

22

24

16

18

20

17

19

11

13

15

12

14

6

8

10

7

9

5

2

4

1

3

25

22

24

21

23

20

17

19

16

18

15

12

14

11

13

10

7

9

6

8

4

1

3

5

2

24

21

23

25

22

19

16

18

20

17

14

11

13

15

12

9

6

8

10

7

3

5

2

4

1

23

25

22

24

21

18

20

17

19

16

13

15

12

14

11

8

10

7

9

6

2

4

1

3

5

22

24

21

23

25

17

19

16

18

20

12

14

11

13

15

7

9

6

8

10

11

13

15

12

14

6

8

10

7

9

1

3

5

2

4

21

23

25

22

24

16

18

20

17

19

15

12

14

11

13

10

7

9

6

8

5

2

4

1

3

25

22

24

21

23

20

17

19

16

18

14

11

13

15

12

9

6

8

10

7

4

1

3

5

2

24

21

23

25

22

19

16

18

20

17

13

15

12

14

11

8

10

7

9

6

3

5

2

4

1

23

25

22

24

21

18

20

17

19

16

12

14

11

13

15

7

9

6

8

10

2

4

1

3

5

22

24

21

23

25

17

19

16

18

20

21

23

25

22

24

16

18

20

17

19

11

13

15

12

14

6

8

10

7

9

1

3

5

2

4

25

22

24

21

23

20

17

19

16

18

15

12

14

11

13

10

7

9

6

8

5

2

4

1

3

24

21

23

25

22

19

16

18

20

17

14

11

13

15

12

9

6

8

10

7

4

1

3

5

2

23

25

22

24

21

18

20

17

19

16

13

15

12

14

11

8

10

7

9

6

3

5

2

4

1

22

24

21

23

25

17

19

16

18

20

12

14

11

13

15

7

9

6

8

10

2

4

1

3

5

6

8

10

7

9

1

3

5

2

4

21

23

25

22

24

16

18

20

17

19

11

13

15

12

14

10

7

9

6

8

5

2

4

1

3

25

22

24

21

23

20

17

19

16

18

15

12

14

11

13

9

6

8

10

7

4

1

3

5

2

24

21

23

25

22

19

16

18

20

17

14

11

13

15

12

8

10

7

9

6

3

5

2

4

1

23

25

22

24

21

18

20

17

19

16

13

15

12

14

11

7

9

6

8

10

2

4

1

3

5

22

24

21

23

25

17

19

16

18

20

12

14

11

13

15

16

18

20

17

19

11

13

15

12

14

6

8

10

7

9

1

3

5

2

4

21

23

25

22

24

20

17

19

16

18

15

12

14

11

13

10

7

9

6

8

5

2

4

1

3

25

22

24

21

23

19

16

18

20

17

14

11

13

15

12

9

6

8

10

7

4

1

3

5

2

24

21

23

25

22

18

20

17

19

16

13

15

12

14

11

8

10

7

9

6

3

5

2

4

1

23

25

22

24

21

17

19

16

18

20

12

14

11

13

15

7

9

6

8

10

2

4

1

3

5

22

24

21

23

25

 

Рис. 6

 

Этот  диагональный латинский квадрат является нетрадиционным магическим квадратом с магической константой 325, который обладает свойствами ассоциативности и пандиагональности.

Теперь меняю ролями базовый и основной квадраты в той же паре ОЛК 5-го порядка  с рис. 5 и получаю второй латинский квадрат, который, конечно, ортогонален латинскому квадрату с рис. 6 и обладает такими же свойствами. Вы видите этот квадрат на рис. 7.

 

1

5

4

3

2

11

15

14

13

12

21

25

24

23

22

6

10

9

8

7

16

20

19

18

17

3

2

1

5

4

13

12

11

15

14

23

22

21

25

24

8

7

6

10

9

18

17

16

20

19

5

4

3

2

1

15

14

13

12

11

25

24

23

22

21

10

9

8

7

6

20

19

18

17

16

2

1

5

4

3

12

11

15

14

13

22

21

25

24

23

7

6

10

9

8

17

16

20

19

18

4

3

2

1

5

14

13

12

11

15

24

23

22

21

25

9

8

7

6

10

19

18

17

16

20

21

25

24

23

22

6

10

9

8

7

16

20

19

18

17

1

5

4

3

2

11

15

14

13

12

23

22

21

25

24

8

7

6

10

9

18

17

16

20

19

3

2

1

5

4

13

12

11

15

14

25

24

23

22

21

10

9

8

7

6

20

19

18

17

16

5

4

3

2

1

15

14

13

12

11

22

21

25

24

23

7

6

10

9

8

17

16

20

19

18

2

1

5

4

3

12

11

15

14

13

24

23

22

21

25

9

8

7

6

10

19

18

17

16

20

4

3

2

1

5

14

13

12

11

15

16

20

19

18

17

1

5

4

3

2

11

15

14

13

12

21

25

24

23

22

6

10

9

8

7

18

17

16

20

19

3

2

1

5

4

13

12

11

15

14

23

22

21

25

24

8

7

6

10

9

20

19

18

17

16

5

4

3

2

1

15

14

13

12

11

25

24

23

22

21

10

9

8

7

6

17

16

20

19

18

2

1

5

4

3

12

11

15

14

13

22

21

25

24

23

7

6

10

9

8

19

18

17

16

20

4

3

2

1

5

14

13

12

11

15

24

23

22

21

25

9

8

7

6

10

11

15

14

13

12

21

25

24

23

22

6

10

9

8

7

16

20

19

18

17

1

5

4

3

2

13

12

11

15

14

23

22

21

25

24

8

7

6

10

9

18

17

16

20

19

3

2

1

5

4

15

14

13

12

11

25

24

23

22

21

10

9

8

7

6

20

19

18

17

16

5

4

3

2

1

12

11

15

14

13

22

21

25

24

23

7

6

10

9

8

17

16

20

19

18

2

1

5

4

3

14

13

12

11

15

24

23

22

21

25

9

8

7

6

10

19

18

17

16

20

4

3

2

1

5

6

10

9

8

7

16

20

19

18

17

1

5

4

3

2

11

15

14

13

12

21

25

24

23

22

8

7

6

10

9

18

17

16

20

19

3

2

1

5

4

13

12

11

15

14

23

22

21

25

24

10

9

8

7

6

20

19

18

17

16

5

4

3

2

1

15

14

13

12

11

25

24

23

22

21

7

6

10

9

8

17

16

20

19

18

2

1

5

4

3

12

11

15

14

13

22

21

25

24

23

9

8

7

6

10

19

18

17

16

20

4

3

2

1

5

14

13

12

11

15

24

23

22

21

25

 

Рис. 7

 

Ввожу оба построенных латинских квадрата в программу проверки ортогональности. Программа подтверждает ортогональность квадратов и строит из этой пары ОЛК идеальный магический квадрат, который изображён  на рис. 8.

 

1

55

104

28

77

511

565

614

538

587

396

450

499

423

472

256

310

359

283

332

141

195

244

168

217

103

27

76

5

54

613

537

586

515

564

498

422

471

400

449

358

282

331

260

309

243

167

216

145

194

80

4

53

102

26

590

514

563

612

536

475

399

448

497

421

335

259

308

357

281

220

144

193

242

166

52

101

30

79

3

562

611

540

589

513

447

496

425

474

398

307

356

285

334

258

192

241

170

219

143

29

78

2

51

105

539

588

512

561

615

424

473

397

446

500

284

333

257

306

360

169

218

142

191

245

271

325

374

298

347

131

185

234

158

207

16

70

119

43

92

501

555

604

528

577

386

440

489

413

462

373

297

346

275

324

233

157

206

135

184

118

42

91

20

69

603

527

576

505

554

488

412

461

390

439

350

274

323

372

296

210

134

183

232

156

95

19

68

117

41

580

504

553

602

526

465

389

438

487

411

322

371

300

349

273

182

231

160

209

133

67

116

45

94

18

552

601

530

579

503

437

486

415

464

388

299

348

272

321

375

159

208

132

181

235

44

93

17

66

120

529

578

502

551

605

414

463

387

436

490

516

570

619

543

592

376

430

479

403

452

261

315

364

288

337

146

200

249

173

222

6

60

109

33

82

618

542

591

520

569

478

402

451

380

429

363

287

336

265

314

248

172

221

150

199

108

32

81

10

59

595

519

568

617

541

455

379

428

477

401

340

264

313

362

286

225

149

198

247

171

85

9

58

107

31

567

616

545

594

518

427

476

405

454

378

312

361

290

339

263

197

246

175

224

148

57

106

35

84

8

544

593

517

566

620

404

453

377

426

480

289

338

262

311

365

174

223

147

196

250

34

83

7

56

110

136

190

239

163

212

21

75

124

48

97

506

560

609

533

582

391

445

494

418

467

251

305

354

278

327

238

162

211

140

189

123

47

96

25

74

608

532

581

510

559

493

417

466

395

444

353

277

326

255

304

215

139

188

237

161

100

24

73

122

46

585

509

558

607

531

470

394

443

492

416

330

254

303

352

276

187

236

165

214

138

72

121

50

99

23

557

606

535

584

508

442

491

420

469

393

302

351

280

329

253

164

213

137

186

240

49

98

22

71

125

534

583

507

556

610

419

468

392

441

495

279

328

252

301

355

381

435

484

408

457

266

320

369

293

342

126

180

229

153

202

11

65

114

38

87

521

575

624

548

597

483

407

456

385

434

368

292

341

270

319

228

152

201

130

179

113

37

86

15

64

623

547

596

525

574

460

384

433

482

406

345

269

318

367

291

205

129

178

227

151

90

14

63

112

36

600

524

573

622

546

432

481

410

459

383

317

366

295

344

268

177

226

155

204

128

62

111

40

89

13

572

621

550

599

523

409

458

382

431

485

294

343

267

316

370

154

203

127

176

230

39

88

12

61

115

549

598

522

571

625

 

Рис. 8

 

Посмотрите, как интересно расположилась в этом идеальном магическом квадрате начальная цепочка (она выделена жёлтым цветом).

 

Поскольку не существует пар ортогональных диагональных латинских квадратов для порядков 2, 3 и 6, под метод составных квадратов для пар диагональных ОЛК попадает очень мало порядков. Например, в первой полусотне это будут такие порядки: 16, 20, 25, 28, 32, 35, 36, 40, 44, 45, 48, 49, 50. Для построения пары диагональных ОЛК 48 порядка нужна пара диагональных ОЛК 12-го порядка, которая теоретически существует, но мне пока неизвестна. Для всех остальных перечисленных порядков я могу построить пару диагональных ОЛК методом составных квадратов. Здесь уже показано составление пар диагональных ОЛК для порядков 20 и 25. Покажу ещё один пример – для порядка 28. Выберу такую пару диагональных ОЛК 4-го порядка, которая даёт пандиагональный магический квадрат, и пару диагональных ОЛК 7-го порядка, дающую идеальный магический квадрат. В результате должна построиться пара диагональных ОЛК 28-го порядка, которая даст пандиагональный магический квадрат. На рис. 9 изображена пара диагональных ОЛК 4-го порядка, на рис. 10 – пара диагональных ОЛК 7-го порядка.

 

1

2

3

4

 

3

2

4

1

4

3

2

1

4

1

3

2

2

1

4

3

1

4

2

3

3

4

1

2

2

3

1

4

 

Рис. 9

 

 

1

3

5

7

2

4

6

 

1

7

6

5

4

3

2

7

2

4

6

1

3

5

3

2

1

7

6

5

4

6

1

3

5

7

2

4

5

4

3

2

1

7

6

5

7

2

4

6

1

3

7

6

5

4

3

2

1

4

6

1

3

5

7

2

2

1

7

6

5

4

3

3

5

7

2

4

6

1

4

3

2

1

7

6

5

2

4

6

1

3

5

7

 

6

5

4

3

2

1

7

 

Рис. 10

 

Понятно, что удобнее базовым квадратом выбрать квадрат 4-го порядка, а основным – квадрат 7-го порядка. Можно, конечно, сделать и наоборот. Поскольку матрица 28х28 очень большая, буду делать её из двух частей по 14 столбцов в каждой части. На рис. 11 – 12 изображён первый латинский квадрат 28-го порядка.

 

Первый латинский квадрат 28-го порядка – часть 1

 

1

3

5

7

2

4

6

8

10

12

14

9

11

13

7

2

4

6

1

3

5

14

9

11

13

8

10

12

6

1

3

5

7

2

4

13

8

10

12

14

9

11

5

7

2

4

6

1

3

12

14

9

11

13

8

10

4

6

1

3

5

7

2

11

13

8

10

12

14

9

3

5

7

2

4

6

1

10

12

14

9

11

13

8

2

4

6

1

3

5

7

9

11

13

8

10

12

14

22

24

26

28

23

25

27

15

17

19

21

16

18

20

28

23

25

27

22

24

26

21

16

18

20

15

17

19

27

22

24

26

28

23

25

20

15

17

19

21

16

18

26

28

23

25

27

22

24

19

21

16

18

20

15

17

25

27

22

24

26

28

23

18

20

15

17

19

21

16

24

26

28

23

25

27

22

17

19

21

16

18

20

15

23

25

27

22

24

26

28

16

18

20

15

17

19

21

8

10

12

14

9

11

13

1

3

5

7

2

4

6

14

9

11

13

8

10

12

7

2

4

6

1

3

5

13

8

10

12

14

9

11

6

1

3

5

7

2

4

12

14

9