НОВЫЕ АСПЕКТЫ МЕТОДА ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ

 

Часть VI

 

Данная страница является продолжением страницы

http://www.natalimak1.narod.ru/aspekty5.htm

 

 

Продолжаю разработку алгоритмов составления пар ОЛК чётных порядков. Все чётные порядки (за исключением 2 и 6) я разделила на три группы:

 

1.      n = 6k, k>1

2.      n = 2 (mod 6)

3.      n = 4 (mod 6)

 

Как уже было отмечено, для чётных порядков, являющихся степенью числа 2, составление пар ОЛК не вызывает затруднений. Кроме того, в предыдущей части статьи был показан метод составных квадратов; этот метод работает для порядков, представимых в виде произведения двух чисел, для каждого из которых существует пара диагональных ОЛК.

Мне удалось разработать алгоритм составления пар ОЛК для третьей группы порядков. Основой для этого алгоритма послужил греко-латинский квадрат 10-го порядка, найденный в Интернете. Таким образом, остаются две группы порядков.

Я попробовала по аналогии с алгоритмом, разработанным для третьей группы, разработать алгоритм для первой группы порядков. Вот что у меня получилось.

Начну с минимального порядка в данной группе – 12. На рис. 1 показана схема составления первого латинского квадрата.

 

1

a1

a2

a3

9

2

4

6

8

3

5

7

9

2

a1

a2

a3

1

3

5

7

4

6

8

8

1

3

a1

a2

a3

2

4

6

5

7

9

7

9

2

4

a1

a2

a3

3

5

6

8

1

6

8

1

3

5

a1

a2

a3

4

7

9

2

5

7

9

2

4

6

a1

a2

a3

8

1

3

a3

6

8

1

3

5

7

a1

a2

9

2

4

a2

a3

7

9

2

4

6

8

a1

1

3

5

a1

a2

a3

8

1

3

5

7

9

2

4

6

4

5

6

7

8

9

1

2

3

a1

a2

a3

3

4

5

6

7

8

9

1

2

a3

a1

a2

2

3

4

5

6

7

8

9

1

a2

a3

a1

 

Рис. 1

 

Переменные a1, a2, a3 принимают значения 10, 11, 0 в любой комбинации.

На рис. 2 показана схема составления второго латинского квадрата.

 

1

9

8

7

6

5

a3

a2

a1

4

3

2

a1

2

1

9

8

7

6

a3

a2

5

4

3

a2

a1

3

2

1

9

8

7

a3

6

5

4

a3

a2

a1

4

3

2

1

9

8

7

6

5

9

a3

a2

a1

5

4

3

2

1

8

7

6

2

1

a3

a2

a1

6

5

4

3

9

8

7

4

3

2

a3

a2

a1

7

6

5

1

9

8

6

5

4

3

a3

a2

a1

8

7

2

1

9

8

7

6

5

4

a3

a2

a1

9

3

2

1

3

4

5

6

7

8

9

1

2

a2

a3

a1

5

6

7

8

9

1

2

3

4

a3

a1

a2

7

8

9

1

2

3

4

5

6

a1

a2

a3

 

Рис. 2

 

Аналогия со схемой составления пары ОЛК 10-го порядка полная.

Теперь задаём значения переменных и составляем конкретную пару ОЛК 12-го порядка. Пусть значения переменных будут такими: a1 = 10, a2 = 11, a3 = 0. На рис. 3 – 4 показана пара ОЛК, построенная для данных значений переменных.

 

1

10

11

0

9

2

4

6

8

3

5

7

9

2

10

11

0

1

3

5

7

4

6

8

8

1

3

10

11

0

2

4

6

5

7

9

7

9

2

4

10

11

0

3

5

6

8

1

6

8

1

3

5

10

11

0

4

7

9

2

5

7

9

2

4

6

10

11

0

8

1

3

0

6

8

1

3

5

7

10

11

9

2

4

11

0

7

9

2

4

6

8

10

1

3

5

10

11

0

8

1

3

5

7

9

2

4

6

4

5

6

7

8

9

1

2

3

10

11

0

3

4

5

6

7

8

9

1

2

0

10

11

2

3

4

5

6

7

8

9

1

11

0

10

 

Рис. 3

 

1

9

8

7

6

5

0

11

10

4

3

2

10

2

1

9

8

7

6

0

11

5

4

3

11

10

3

2

1

9

8

7

0

6

5

4

0

11

10

4

3

2

1

9

8

7

6

5

9

0

11

10

5

4

3

2

1

8

7

6

2

1

0

11

10

6

5

4

3

9

8

7

4

3

2

0

11

10

7

6

5

1

9

8

6

5

4

3

0

11

10

8

7

2

1

9

8

7

6

5

4

0

11

10

9

3

2

1

3

4

5

6

7

8

9

1

2

11

0

10

5

6

7

8

9

1

2

3

4

0

10

11

7

8

9

1

2

3

4

5

6

10

11

0

 

Рис. 4

 

Понятно, что, варьируя значения переменных, можно составить 6 подобных пар ОЛК.

 

Программа проверки ортогональности подтверждает ортогональность этих латинских квадратов. Точно так же, как и латинские квадраты 10-го порядка, построенные по аналогичной схеме, латинские квадраты 12-го порядка не диагональные. Следующая трансформация тождественной перестановки чисел исправляет первый латинский квадрат, превращая его в нетрадиционный магический квадрат с магической константой 66:

 

0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11

9  4  2  3  1  5  6  7  8  0  10  11

 

На рис 5 показан преобразованный с помощью данной трансформации первый латинский квадрат.

 

4

10

11

9

0

2

1

6

8

3

5

7

0

2

10

11

9

4

3

5

7

1

6

8

8

4

3

10

11

9

2

1

6

5

7

0

7

0

2

1

10

11

9

3

5

6

8

4

6

8

4

3

5

10

11

9

1

7

0

2

5

7

0

2

1

6

10

11

9

8

4

3

9

6

8

4

3

5

7

10

11

0

2

1

11

9

7

0

2

1

6

8

10

4

3

5

10

11

9

8

4

3

5

7

0

2

1

6

1

5

6

7

8

0

4

2

3

10

11

9

3

1

5

6

7

8

0

4

2

9

10

11

2

3

1

5

6

7

8

0

4

11

9

10

 

Рис. 5

 

Для преобразования второго латинского квадрата применим следующую трансформацию тождественной перестановки чисел:

 

0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11

0  1  2  3  4  5  9  7  8  6  10  11

 

На рис. 6 вы видите преобразованный второй латинский квадрат.

 

1

6

8

7

9

5

0

11

10

4

3

2

10

2

1

6

8

7

9

0

11

5

4

3

11

10

3

2

1

6

8

7

0

9

5

4

0

11

10

4

3

2

1

6

8

7

9

5

6

0

11

10

5

4

3

2

1

8

7

9

2

1

0

11

10

9

5

4

3

6

8

7

4

3

2

0

11

10

7

9

5

1

6

8

9

5

4

3

0

11

10

8

7

2

1

6

8

7

9

5

4

0

11

10

6

3

2

1

3

4

5

9

7

8

6

1

2

11

0

10

5

9

7

8

6

1

2

3

4

0

10

11

7

8

6

1

2

3

4

5

9

10

11

0

 

Рис. 6

 

И вот первый магический квадрат 12-го порядка, построенный методом латинских квадратов (с использованием классических латинских квадратов) (рис. 7):

 

50

127

141

116

10

30

13

84

107

41

64

87

11

27

122

139

117

56

46

61

96

18

77

100

108

59

40

123

134

115

33

20

73

70

90

5

85

12

35

17

124

135

110

43

69

80

106

54

79

97

60

47

66

125

136

111

14

93

8

34

63

86

1

36

23

82

126

137

112

103

57

44

113

76

99

49

48

71

92

130

138

2

31

21

142

114

89

4

25

24

83

105

128

51

38

67

129

140

118

102

53

37

72

95

7

28

15

74

16

65

78

94

104

9

55

26

39

132

133

119

42

22

68

81

91

98

3

52

29

109

131

144

32

45

19

62

75

88

101

6

58

143

120

121

 

Рис. 7

 

В квадрате выделена начальная цепочка. Конечно, она не такая стройная, как, например, в идеальном магическом квадрате 12-го порядка, но ход конём присутствует и здесь. Построенный магический квадрат не обладает никакими дополнительными свойствами. Это просто магический квадрат, построенный из пары ортогональных классических латинских квадратов методом латинских квадратов.

Интересно показать другие магические квадраты 12-го порядка, которые тоже были построены методом латинских квадратов (или могут быть построены этим методом). Вот, например, идеальный магический квадрат (копирую из другой статьи) (рис. 7а):

 

1

84

31

124

87

101

11

74

32

130

93

102

117

66

133

48

55

16

111

65

143

38

56

22

128

94

105

6

73

36

127

88

99

5

83

26

47

50

20

118

69

138

37

60

19

112

63

137

3

77

35

122

92

106

9

78

25

132

91

100

115

64

135

41

59

14

116

70

141

42

49

24

121

96

103

4

75

29

131

86

104

10

81

30

45

54

13

120

67

136

39

53

23

110

68

142

8

82

33

126

85

108

7

76

27

125

95

98

119

62

140

46

57

18

109

72

139

40

51

17

123

89

107

2

80

34

129

90

97

12

79

28

43

52

15

113

71

134

44

58

21

114

61

144

 

Рис. 7а

 

На рис. 8 – 9 показана пара ортогональных латинских квадратов, из которой построен этот квадрат.

 

0

11

6

3

2

4

10

1

7

9

8

5

8

5

0

11

6

3

2

4

10

1

7

9

7

9

8

5

0

11

6

3

2

4

10

1

10

1

7

9

8

5

0

11

6

3

2

4

2

4

10

1

7

9

8

5

0

11

6

3

6

3

2

4

10

1

7

9

8

5

0

11

0

11

6

3

2

4

10

1

7

9

8

5

8

5

0

11

6

3

2

4

10

1

7

9

7

9

8

5

0

11

6

3

2

4

10

1

10

1

7

9

8

5

0

11

6

3

2

4

2

4

10

1

7

9

8

5

0

11

6

3

6

3

2

4

10

1

7

9

8

5

0

11

 

Рис. 8

 

0

6

2

10

7

8

0

6

2

10

7

8

9

5

11

3

4

1

9

5

11

3

4

1

10

7

8

0

6

2

10

7

8

0

6

2

3

4

1

9

5

11

3

4

1

9

5

11

0

6

2

10

7

8

0

6

2

10

7

8

9

5

11

3

4

1

9

5

11

3

4

1

10

7

8

0

6

2

10

7

8

0

6

2

3

4

1

9

5

11

3

4

1

9

5

11

0

6

2

10

7

8

0

6

2

10

7

8

9

5

11

3

4

1

9

5

11

3

4

1

10

7

8

0

6

2

10

7

8

0

6

2

3

4

1

9

5

11

3

4

1

9

5

11

 

Рис. 9

 

Очевидно, что оба латинских квадрата являются обобщёнными латинскими квадратами.

Ещё один пример: ассоциативный магический квадрат, построенный методом квадратных рамок (рис. 10).

 

1

134

34

117

53

90

91

56

112

27

143

12

24

35

135

52

116

79

78

113

57

142

26

13

36

23

51

136

80

115

114

77

141

58

14

25

37

50

22

81

137

102

103

140

76

15

59

48

49

38

82

21

101

138

139

104

16

75

47

60

72

83

39

100

20

127

126

17

105

46

74

61

84

71

99

40

128

19

18

125

45

106

62

73

85

98

70

129

41

6

7

44

124

63

107

96

97

86

130

69

5

42

43

8

64

123

95

108

120

131

87

4

68

31

30

65

9

94

122

109

132

119

3

88

32

67

66

29

93

10

110

121

133

2

118

33

89

54

55

92

28

111

11

144

 

                                                                       Рис. 10

 

На рис. 11 – 12 показаны два ортогональных латинских квадрата, из которых может быть построен этот магический квадрат. Оба этих латинских квадрата тоже обобщённые.

 

0

11

2

9

4

7

7

4

9

2

11

0

1

2

11

4

9

6

6

9

4

11

2

1

2

1

4

11

6

9

9

6

11

4

1

2

3

4

1

6

11

8

8

11

6

1

4

3

4

3

6

1

8

11

11

8

1

6

3

4

5

6

3

8

1

10

10

1

8

3

6

5

6

5

8

3

10

1

1

10

3

8

5

6

7

8

5

10

3

0

0

3

10

5

8

7

8

7

10

5

0

3

3

0

5

10

7

8

9

10

7

0

5

2

2

5

0

7

10

9

10

9

0

7

2

5

5

2

7

0

9

10

11

0

9

2

7

4

4

7

2

9

0

11

 

                                                                       Рис. 11

 

0

1

9

8

4

5

6

7

3

2

10

11

11

10

2

3

7

6

5

4

8

9

1

0

11

10

2

3

7

6

5

4

8

9

1

0

0

1

9

8

4

5

6

7

3

2

10

11

0

1

9

8

4

5

6

7

3

2

10

11

11

10

2

3

7

6

5

4

8

9

1

0

11

10

2

3

7

6

5

4

8

9

1

0

0

1

9

8

4

5

6

7

3

2

10

11

0

1

9

8

4

5

6

7

3

2

10

11

11

10

2

3

7

6

5

4

8

9

1

0

11

10

2

3

7

6

5

4

8

9

1

0

0

1

9

8

4

5

6

7

3

2

10

11

 

                                                                       Рис. 12

 

И последний пример – совершенный магический квадрат (рис. 15). На рис. 13-14 показаны обобщённые латинские квадраты, из которых построен приведённый совершенный квадрат.

 

6

5

6

5

6

5

6

5

6

5

6

5

7

4

7

4

7

4

7

4

7

4

7

4

8

3

8

3

8

3

8

3

8

3

8

3

9

2

9

2

9

2

9

2

9

2

9

2

10

1

10

1

10

1

10

1

10

1

10

1

11

0

11

0

11

0

11

0

11

0

11

0

5

6

5

6

5

6

5

6

5

6

5

6

4

7

4

7

4

7

4

7

4

7

4

7

3

8

3

8

3

8

3

8

3

8

3

8

2

9

2

9

2

9

2

9

2

9

2

9

1

10

1

10

1

10

1

10

1

10

1

10

0

11

0

11

0

11

0

11

0

11

0

11

 

Рис. 13

 

0

1

2

3

4

5

11

10

9

8

7

6

11

10

9

8

7

6

0

1

2

3

4

5

0

1

2

3

4

5

11

10

9

8

7

6

11

10

9

8

7

6

0

1

2

3

4

5

0

1

2

3

4

5

11

10

9

8

7

6

11

10

9

8

7

6

0

1

2

3

4

5

0

1

2

3

4

5

11

10

9

8

7

6

11

10

9

8

7

6

0

1

2

3

4

5

0

1

2

3

4

5

11

10

9

8

7

6

11

10

9

8

7

6

0

1

2

3

4

5

0

1

2

3

4

5

11

10

9

8

7

6

11

10

9

8

7

6

0

1

2

3

4

5

 

Рис. 14

 

73

62

75

64

77

66

84

71

82

69

80

67

96

59

94

57

92

55

85

50

87

52

89

54

97

38

99

40

101

42

108

47

106

45

104

43

120

35

118

33

116

31

109

26

111

28

113

30

121

14

123

16

125

18

132

23

130

21

128

19

144

11

142

9

140

7

133

2

135

4

137

6

61

74

63

76

65

78

72

83

70

81

68

79

60

95

58

93

56

91

49

86

51

88

53

90

37

98

39

100

41

102

48

107

46

105

44

103

36

119

34

117

32

115

25

110

27

112

29

114

13

122

15

124

17

126

24

131

22

129

20

127

12

143

10

141

8

139

1

134

3

136

5

138

 

Рис. 15

 

Читатели могут найти в моих статьях множество других квадратов 12-го порядка, например: сотовый магический квадрат, магический квадрат, построенный методом окаймлённых квадратов, пандиагональный квадрат, составной магический квадрат. Но ни один из этих квадратов не раскладывается на два ортогональных классических латинских квадрата. Таким образом, полученный выше результат единственный в своём роде.

 

***

 

Следующий порядок в группе порядков n = 6k (k>1) равен 18. Этот порядок относится к чётно-нечётным порядкам, для которых не существует ни ассоциативных, ни пандиагональных, ни идеальных, ни совершенных квадратов. Предшествующий ему чётно-нечётный порядок 14 так пока и остаётся для меня загадкой. Он как раз входит во вторую группу порядков, для которой мне пока не удалась разработать алгоритм составления пар ОЛК. А сейчас покажу, какая схема у меня получилась для пары ОЛК 18-го порядка. Здесь всё аналогично схеме для квадратов 12-го порядка. На рис. 16 изображена схема составления первого латинского квадрата 18-го порядка.

 

1

a1

a2

a3

a4

a5

13

2

4

6

8

10

12

3

5

7

9

11

13

2

a1

a2

a3

a4

a5

1

3

5

7

9

11

4

6

8

10

12

12

1

3

a1

a2

a3

a4

a5

2

4

6

8

10

5

7

9

11

13

11

13

2

4

a1

a2

a3

a4

a5

3

5

7

9

6

8

10

12

1

10

12

1

3

5

a1

a2

a3

a4

a5

4

6

8

7

9

11

13

2

9

11

13

2

4

6

a1

a2

a3

a4

a5

5

7

8

10

12

1

3

8

10

12

1

3

5

7

a1

a2

a3

a4

a5

6

9

11

13

2

4

7

9

11

13

2

4

6

8

a1

a2

a3

a4

a5

10

12

1

3

5

a5

8

10

12

1

3

5

7

9

a1

a2

a3

a4

11

13

2

4

6

a4

a5

9

11

13

2

4

6

8

10

a1

a2

a3

12

1

3

5

7

a3

a4

a5

10

12

1

3

5

7

9

11

a1

a2

13

2

4

6

8

a2

a3

a4

a5

11

13

2

4

6

8

10

12

a1

1

3

5

7

9

a1

a2

a3

a4

a5

12

1

3

5

7

9

11

13

2

4

6

8

10

5

6

7

8

9

10

11

12

13

1

2

3

4

a1

a2

a3

a4

a5

6

7

8

9

10

11

12

13

1

2

3

4

5

a3

a4

a5

a1

a2

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

1

2

3

a5

a1

a2

a3

a4

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

1

2

a2

a3

a4

a5

a1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

1

a4

a5

a1

a2

a3

 

Рис. 16

 

Здесь переменные a1, a2, a3, a4, a5 принимают значения 14, 15, 16, 17, 0 в любой комбинации.

На рис 17 показана схема составления второго латинского квадрата.

 

1

13

12

11

10

9

8

7

a5

a4

a3

a2

a1

5

6

4

3

2

a1

2

1

13

12

11

10

9

8

a5

a4

a3

a2

6

7

5

4

3

a2

a1

3

2

1

13

12

11

10

9

a5

a4

a3

7

8

6

5

4

a3

a2

a1

4

3

2

1

13

12

11

10

a5

a4

8

9

7

6

5

a4

a3

a2

a1

5

4

3

2

1

13

12

11

a5

9

10

8

7

6

a5

a4

a3

a2

a1

6

5

4

3

2

1

13

12

10

11

9

8

7

13

a5

a4

a3

a2

a1

7

6

5

4

3

2

1

11

12

10

9

8

2

1

a5

a4

a3

a2

a1

8

7

6

5

4

3

12

13

11

10

9

4

3

2

a5

a4

a3

a2

a1

9

8

7

6

5

13

1

12

11

10

6

5

4

3

a5

a4

a3

a2

a1

10

9

8

7

1

2

13

12

11

8

7

6

5

4

a5

a4

a3

a2

a1

11

10

9

2

3

1

13

12

10

9

8

7

6

5

a5

a4

a3

a2

a1

12

11

3

4

2

1

13

12

11

10

9

8

7

6

a5

a4

a3

a2

a1

13

4

5

3

2

1

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

1

2

a1

a2

a3

a4

a5

5

6

7

8

9

10

11

12

13

1

2

3

4

a4

a5

a1

a2

a3

7

8

9

10

11

12

13

1

2

3

4

5

6

a2

a3

a4

a5

a1

9

10

11

12

13

1

2

3

4

5

6

7

8

a5

a1

a2

a3

a4

11

12

13

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

a3

a4

a5

a1

a2

 

Рис. 17

 

Теперь осталось построить конкретную пару ОЛК, задав значения переменных. Пусть это будут такие значения: a1 = 14, a2 = 15, a3 = 16, a4 = 17, a5 = 0. На рис 18 – 19 показана пара ОЛК для данных значений.

 

1

14

15

16

17

0

13

2

4

6

8

10

12

3

5

7

9

11

13

2

14

15

16

17

0

1

3

5

7

9

11

4

6

8

10

12

12

1

3

14

15

16

17

0

2

4

6

8

10

5

7

9

11

13

11

13

2

4

14

15

16

17

0

3

5

7

9

6

8

10

12

1

10

12

1

3

5

14

15

16

17

0

4

6

8

7

9

11

13

2

9

11

13

2

4

6

14

15

16

17

0

5

7

8

10

12

1

3

8

10

12

1

3

5

7

14

15

16

17

0

6

9

11

13

2

4

7

9

11

13

2

4

6

8

14

15

16

17

0

10

12

1

3

5