ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ЛАТИНСКИЕ КВАДРАТЫ ДЕСЯТОГО ПОРЯДКА

 

Данная страница является продолжением страницы

http://www.natalimak1.narod.ru/aspekty6.htm

 

 

Поскольку мои исследования в построении пар ортогональных латинских квадратов чётного порядка застопорились на группе порядков n = 2(mod 6), я решила написать отдельную статью об ортогональных латинских квадратах 10-го прядка. Для данного порядка найдено уже достаточно много пар ОЛК, есть даже три пары диагональных ОЛК. Не буду повторять здесь рассказ о гипотезе Л. Эйлера (1707 – 1783) и о том, как в 1958 году она была опровергнута Е. Т. Паркером, которому удалось найти греко-латинский квадрат 10-го порядка. Всё это подробно описано во многих источниках.

Замечу, что я буду представлять пару ОЛК не в виде греко-латинского квадрата, а в виде двух латинских квадратов. Так удобнее исследовать пару ОЛК. Для того чтобы ещё раз показать связь греко-латинского квадрата с парой ОЛК, приведу греко-латинский квадрат Паркера из книги М. Гарднера “Математические досуги” (М.: Мир, 1972) и представлю его в виде пары ОЛК. На рис. 1 вы видите греко-латинский квадрат Паркера.

 

00

47

18

76

29

93

85

34

61

52

86

11

57

28

70

39

94

45

02

63

95

80

22

67

38

71

49

56

13

04

59

96

81

33

07

48

72

60

24

15

73

69

90

82

44

17

58

01

35

26

68

74

09

91

83

55

27

12

46

30

37

08

75

19

92

84

66

23

50

41

14

25

36

40

51

62

03

77

88

99

21

32

43

54

65

06

10

89

97

78

42

53

64

05

16

20

31

98

79

87

 

Рис. 1

 

Прежде чем показать греко-латинский квадрат в виде двух ортогональных латинских квадратов, отмечу интересное свойство, которое отмечает и М. Гарднер в своей книге. Приведу цитату из книги:

 

“Отметим, что находящийся в правом нижнем углу квадрата десятого порядка маленький квадрат третьего порядка представляет собой греко-латинский квадрат. Все квадраты десятого порядка, составленные Паркером с сотрудниками, содержали подквадрат третьего порядка – подразумевается, что, переставляя строки и столбцы большого квадрата, такой маленький квадрат можно выделить всегда. Изменение порядка расположения строк и столбцов не влияет на свойства греко-латинского квадрата. Это утверждение совершенно тривиально. Если один квадрат получается из другого перестановкой строк или столбцов, то эти два квадрата не различаются. Одно время оставался открытым вопрос о том, все ли греко-латинские квадраты десятого порядка содержат подквадраты третьего порядка; ответ оказался отрицательным, потому что нашлось много квадратов, не обладавших таким свойством ”.

 

На рис. 1 греко-латинский подквадрат 3-го порядка выделен жёлтым цветом.

 

А теперь показываю греко-латинский квадрат Паркера в виде двух ортогональных латинских квадратов (рис. 2):

 

0

4

1

7

2

9

8

3

6

5

 

0

7

8

6

9

3

5

4

1

2

8

1

5

2

7

3

9

4

0

6

6

1

7

8

0

9

4

5

2

3

9

8

2

6

3

7

4

5

1

0

5

0

2

7

8

1

9

6

3

4

5

9

8

3

0

4

7

6

2

1

9

6

1

3

7

8

2

0

4

5

7

6

9

8

4

1

5

0

3

2

3

9

0

2

4

7

8

1

5

6

6

7

0

9

8

5

2

1

4

3

8

4

9

1

3

5

7

2

6

0

3

0

7

1

9

8

6

2

5

4

7

8

5

9

2

4

6

3

0

1

1

2

3

4

5

6

0

7

8

9

4

5

6

0

1

2

3

7

8

9

2

3

4

5

6

0

1

8

9

7

1

2

3

4

5

6

0

9

7

8

4

5

6

0

1

2

3

9

7

8

 

2

3

4

5

6

0

1

8

9

7

 

Рис. 2

 

Греко-латинский квадрат получается из пары ортогональных латинских квадратов простым объединением элементов в соответствующих ячейках латинских квадратов. Понятие греко-латинского квадрата ввёл Эйлер, он обозначал элементы первого латинского квадрата буками греческого алфавита, а элементы второго латинского квадрата – буквами латинского алфавита. Иногда греко-латинский квадрат называют эйлеровским. Таким образом, греко-латинский квадрат – это более компактное представление пары ортогональных латинских квадратов.

Обратите внимание: греко-латинский квадрат 3-го порядка, находящийся в правом нижнем углу греко-латинского квадрата 10-го порядка, тоже разложился на пару ортогональных латинских квадратов 3-го порядка. На рис. 2 латинские квадраты 3-го порядка выделены жёлтым цветом.

 

***

 

Итак, в 1958-1959 гг. было составлено много пар ОЛК 10-го порядка. А пары диагональных ОЛК 10-го порядка были найдены только в 1992 г. Эти пары опубликованы в статье “Completion of the Spectrum of Orthogonal Diagonal Latin Squares” (J. W. Brown и другие). Покажу здесь ещё раз эти пары ОЛК (рис. 3 – 5).

 

0

9

4

6

1

7

5

8

2

3

 

0

8

5

1

7

3

4

6

9

2

7

1

9

4

5

3

8

0

6

2

5

1

7

2

9

8

0

3

4

6

4

6

2

8

3

1

7

5

9

0

1

7

2

9

5

6

8

0

3

4

6

0

7

3

2

8

4

9

1

5

9

6

4

3

0

2

7

1

5

8

5

3

6

7

4

2

9

1

0

8

3

0

8

6

4

1

5

9

2

7

8

4

1

2

9

5

0

6

3

7

4

3

0

8

6

5

9

2

7

1

2

5

3

0

8

9

6

4

7

1

7

2

9

5

1

4

6

8

0

3

3

2

8

9

0

4

1

7

5

6

6

4

3

0

8

9

2

7

1

5

9

7

5

1

6

0

3

2

8

4

2

9

6

4

3

7

1

5

8

0

1

8

0

5

7

6

2

3

4

9

8

5

1

7

2

0

3

4

6

9

 

Рис. 3

 

0

4

1

9

8

2

7

3

5

6

 

0

8

5

1

7

3

4

6

9

2

3

1

6

8

2

9

4

5

0

7

5

1

7

2

9

8

0

3

4

6

6

5

2

4

9

0

3

8

7

1

1

7

2

9

5

6

8

0

3

4

1

8

5

3

7

4

9

0

6

2

9

6

4

3

0

2

7

1

5

8

9

2

0

5

4

7

8

6

1

3

3

0

8

6

4

1

5

9

2

7

8

6

3

7

1

5

0

9

2

4

4

3

0

8

6

5

9

2

7

1

4

0

7

2

5

3

6

1

9

8

7

2

9

5

1

4

6

8

0

3

2

9

4

1

6

8

5

7

3

0

6

4

3

0

8

9

2

7

1

5

7

3

9

6

0

1

2

4

8

5

2

9

6

4

3

7

1

5

8

0

5

7

8

0

3

6

1

2

4

9

8

5

1

7

2

0

3

4

6

9

 

Рис. 4

 

0

3

4

2

8

1

5

9

7

6

 

0

6

8

1

9

7

3

4

2

5

2

1

6

8

3

0

7

5

9

4

4

1

3

0

5

8

9

2

7

6

9

5

2

0

6

7

4

3

1

8

6

9

2

5

8

4

7

1

0

3

4

7

9

3

0

6

1

8

5

2

9

8

0

3

2

1

4

5

6

7

7

0

5

9

4

8

3

6

2

1

3

7

1

8

4

6

0

9

5

2

8

9

1

6

7

5

2

4

3

0

1

2

6

7

0

5

8

3

9

4

3

8

7

4

9

2

6

1

0

5

7

4

5

2

1

9

6

8

3

0

1

6

0

5

2

9

8

7

4

3

5

0

9

4

6

3

2

7

1

8

6

2

3

1

5

4

9

0

8

7

2

3

4

9

7

0

5

6

8

1

5

4

8

7

1

3

0

2

6

9

8

5

7

6

3

2

1

0

4

9

 

Рис. 5

 

Пары диагональных ОЛК хороши тем, что они сразу пригодны для построения магического квадрата. Все латинские квадраты в парах диагональных ОЛК 10-го порядка являются нетрадиционными магическими квадратами с магической константой 45. Если составить из любой приведённой пары диагональных ОЛК греко-латинский квадрат, сразу получится магический квадрат 10-го порядка, записанный в нетрадиционном виде.

Кроме этих трёх пар мне больше не встречались пары диагональных ОЛК 10-го порядка.

 

***

 

Следующая группа ОЛК 10-го порядка найдена мной в статье, автором которой является Stenson (в других источниках я видела такое написание этой фамилии: Stinson; не знаю, как правильно). Эта группа задаётся в общем виде с применением трёх переменных. То есть мы имеем схему составления пар ОЛК. Варьируя значения переменных, можно составить шесть подобных пар ОЛК. На рис. 6 показана эта схема. Переменные a1, a2, a3 могут принимать значения 7, 8, 9 в любой комбинации.

 

0

a1

1

a2

2

a3

3

6

5

4

 

0

4

a1

5

a2

6

a3

1

2

3

4

1

a1

2

a2

3

a3

0

6

5

a3

1

5

a1

6

a2

0

2

3

4

a3

5

2

a1

3

a2

4

1

0

6

1

a3

2

6

a1

0

a2

3

4

5

5

a3

6

3

a1

4

a2

2

1

0

a2

2

a3

3

0

a1

1

4

5

6

a2

6

a3

0

4

a1

5

3

2

1

2

a2

3

a3

4

1

a1

5

6

0

6

a2

0

a3

1

5

a1

4

3

2

a1

3

a2

4

a3

5

2

6

0

1

a1

0

a2

1

a3

2

6

5

4

3

3

a1

4

a2

5

a3

6

0

1

2

1

2

3

4

5

6

0

a1

a2

a3

6

0

1

2

3

4

5

a1

a2

a3

2

3

4

5

6

0

1

a2

a3

a1

5

6

0

1

2

3

4

a3

a1

a2

3

4

5

6

0

1

2

a3

a1

a2

4

5

6

0

1

2

3

a2

a3

a1

 

Рис. 6

 

Схема очень интересная. Она работает для любого порядка n = 10 (mod 12). Не буду подробно останавливаться на этой схеме, всё можно понять из раскраски латинских квадратов в данной паре ОЛК. Кроме того, я нашла аналогичную схему, о которой подробно рассказала в одной из предыдущих частей статьи. Эта схема приведена ниже.

Обратите внимание: и здесь в правом нижнем углу обоих латинских квадратов 10-го порядка находятся ортогональные латинские квадраты 3-го порядка.

 

***

 

В статье по ссылке http://www.mi.ras.ru/spm/pdf/011.pdf

(приведу здесь полностью титульный лист этой статьи:

 

Математический институт им. В. А. Стеклова

Российской Академии наук

Современные проблемы математики

Выпуск 11

(издание выходит с 2003 г.)

Конференция “Леонард Эйлер и современная математика

      Сборник докладов

Москва. 2008)

 

найден очень интересный греко-латинский квадрат 10-го порядка. Разложив его на два ортогональных квадрата, я увидела, что в нём работает схема, аналогичная схеме Стенсона (рис. 6). Эта схема даже более изящная. Смотрите сами (рис. 7):

 

1

a1

a2

a3

2

4

6

3

5

7

 

1

7

6

5

a3

a2

a1

2

3

4

7

2

a1

a2

a3

3

5

4

6

1

a1

2

1

7

6

a3

a2

3

4

5

6

1

3

a1

a2

a3

4

5

7

2

a2

a1

3

2

1

7

a3

4

5

6

5

7

2

4

a1

a2

a3

6

1

3

a3

a2

a1

4

3

2

1

5

6

7

a3

6

1

3

5

a1

a2

7

2

4

2

a3

a2

a1

5

4

3

6

7

1

a2

a3

7

2

4

6

a1

1

3

5

4

3

a3

a2

a1

6

5

7

1

2

a1

a2

a3

1

3

5

7

2

4

6

6

5

4

a3

a2

a1

7

1

2

3

2

3

4

5

6

7

1

a1

a2

a3

3

4

5

6

7

1

2

a1

a3

a2

3

4

5

6

7

1

2

a3

a1

a2

5

6

7

1

2

3

4

a3

a2

a1

4

5

6

7

1

2

3

a2

a3

a1

 

7

1

2

3

4

5

6

a2

a1

a3

 

Рис. 7

 

Именно эта схема и послужила основой дальнейшей разработки алгоритма для порядков группы n = 4 (mod 6) (смотрите следующие части статьи: http://www.natalimak1.narod.ru/aspekty3.htm и http://www.natalimak1.narod.ru/aspekty4.htm ).

 

В латинских квадратах этих пар ОЛК тоже в правом нижнем углу находятся ортогональные квадраты 3-го порядка.

 

***

 

Наконец, покажу ещё одну пару ОЛК, полученную из греко-латинского квадрата, найденного в Интернете. К сожалению, не записала ссылку, но статью скопировала и приведу начало этой статьи:

 

ПРИМЕР ПАРЫ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ

ДЕСЯТОГО ПОРЯДКА

 

А. И. Лямзин

 

В 1959 г. Паркер [1] дал первый пример пары ортогональных латинских

квадратов порядка 10.

Латинским квадратом n-го порядка называется квадратная таблица

из п строк и п столбцов, ячейки которой заняты п различными элементами

так, что в любой строке и в любом столбце каждый из элементов

встречается один и только один раз. Два латинских квадрата одного

порядка называются ортогональными, если при их наложении каждая

из п2 возможных упорядоченных пар элементов встречается один и только

один раз. Латинские квадраты и системы попарно ортогональных латинских

квадратов являются одним из инструментов исследования конечных

проективных плоскостей. Поиски пар ортогональных латинских квадратов

порядков вида 4n + 2 со времён Эйлера и до последнего времени

были безуспешными [2].

Автор этой статьи методом систематизированных проб, с учётом

закономерностей эмпирического характера, найденных из рассмотрения

пар ортогональных латинских квадратов более низких порядков, получил

другой пример:

 

00 11 22 33 44 55 66 77 88 99

12 05 50 86 39 24 73 98 61 47

23 58 06 60 97 41 35 84 19 72

34 83 69 07 70 18 52 46 95 21

45 32 94 71 08 80 29 63 57 16

56 27 43 15 82 09 90 31 74 68

67 79 38 54 26 93 01 10 42 85

78 96 81 49 65 37 14 02 20 53

89 64 17 92 51 76 48 25 03 30

91 40 75 28 13 62 87 59 36 04

 

Эта пара квадратов неизоморфна паре Паркера”.

 

А теперь покажу этот интереснейший греко-латинский квадрат в виде двух ортогональных латинских квадратов (рис. 8):

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

0

5

8

3

2

7

9

6

4

2

5

0

6

9

4

3

8

1

7

2

5

0

6

9

4

3

8

1

7

3

8

6

0

7

1

5

4

9

2

3

8

6

0

7

1

5

4

9

2

4

3

9

7

0

8

2

6

5

1

4

3

9

7

0

8

2

6

5

1

5

2

4

1

8

0

9

3

7

6

5

2

4

1

8

0

9

3

7

6

6

7

3

5

2

9

0

1

4

8

6

7

3

5

2

9

0

1

4

8

7

9

8

4

6

3

1

0

2

5

7

9

8

4

6

3

1

0

2

5

8

6

1

9

5

7

4

2

0

3

8

6

1

9

5

7

4

2

0

3

9

4

7

2

1

6

8

5

3

0

9

4

7

2

1

6

8

5

3

0

 

1

0

5

8

3

2

7

9

6

4

 

Рис. 8

 

Первый латинский квадрат в этой паре ОЛК обладает диагональной симметрией: в ячейках, симметрично расположенных относительно главной диагонали, выделенной зелёным цветом, находятся одинаковые числа. А второй латинский квадрат получается из первого перестановкой строк. Это первая пара ОЛК, обладающая таким свойством, из всех пар, которые мне удалось найти. Как уже отмечалось раньше, в группах взаимно ортогональных латинских квадратов порядков 7, 8 и 9 все квадраты получаются друг из друга перестановкой строк. А вот для квадратов 10-го порядка это редко встречается. Один товарищ писал мне, что это вообще вряд ли возможно для порядка 10. Оказалось, что возможно.

Ещё одна особенность этого греко-латинского квадрата: в нём отсутствует греко-латинский подквадрат 3-го порядка.

Я попробовала переставить точно так же столбцы в первом латинском квадрате и получила новую пару ОЛК (рис. 9).

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

 

0

2

3

4

5

6

7

8

9

1

1

0

5

8

3

2

7

9

6

4

1

5

8

3

2

7

9

6

4

0

2

5

0

6

9

4

3

8

1

7

2

0

6

9

4

3

8

1

7

5

3

8

6

0

7

1

5

4

9

2

3

6

0

7

1

5

4

9

2

8

4

3

9

7

0

8

2

6

5

1

4

9

7

0

8

2

6

5

1

3

5

2

4

1

8

0

9

3

7

6

5

4

1

8

0

9

3

7

6

2

6

7

3

5

2

9

0

1

4

8

6

3

5

2

9

0

1

4

8

7

7

9

8

4

6

3

1

0

2

5

7

8

4

6

3

1

0

2

5

9

8

6

1

9

5

7

4

2

0

3

8

1

9

5

7

4

2

0

3

6

9

4

7

2

1

6

8

5

3

0

 

9

7

2

1

6

8

5

3

0

4

 

Рис. 9

 

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПАР ОРТОГОНАЛЬНЫХ ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ

 

Как уже было сказано выше, пары не диагональных ОЛК в общем случае не пригодны для построения магических квадратов, так как латинские квадраты в этих парах ОЛК не являются нетрадиционными магическими квадратами, в них нет магической суммы чисел в диагоналях. Поэтому и возникла необходимость преобразования латинских квадратов в парах не диагональных ОЛК. Я использую два способа преобразований: 1) перестановка строк в латинских квадратах; 2) трансформация тождественной перестановки чисел. Покажу здесь оба способа применительно к парам ОЛК 10-го порядка.

 

ПЕРВЫЙ СПОСОБ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

 

Возьмём пару ОЛК с рис. 8. Преобразуем оба латинских квадрата в этой паре с помощью перестановки строк. Разумеется, строки переставляются в обоих квадратах одинаково. Получившаяся преобразованная пара ОЛК показана на рис. 10.

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

2

5

0

6

9

4

3

8

1

7

3

8

6

0

7

1

5

4

9

2

7

9

8

4

6

3

1

0

2

5

8

6

1

9

5

7

4

2

0

3

5

2

4

1

8

0

9

3

7

6

6

7

3

5

2

9

0

1

4

8

4

3

9

7

0

8

2

6

5

1

5

2

4

1

8

0

9

3

7

6

8

6

1

9

5

7

4

2

0

3

9

4

7

2

1

6

8

5

3

0

3

8

6

0

7

1

5

4

9

2

4

3

9

7

0

8

2

6

5

1

9

4

7

2

1

6

8

5

3

0

1

0

5

8

3

2

7

9

6

4

1

0

5

8

3

2

7

9

6

4

2

5

0

6

9

4

3

8

1

7

6

7

3

5

2

9

0

1

4

8

 

7

9

8

4

6

3

1

0

2

5

 

Рис. 10

 

В этой паре оба латинских квадрата являются нетрадиционными магическими квадратами с магической константой 45. Из данной пары строится такой магический квадрат (рис. 11):

 

1

12

23

34

45

56

67

78

89

100

24

59

7

61

98

42

36

85

20

73

79

97

82

50

66

38

15

3

21

54

57

28

44

16

83

10

91

32

75

69

46

33

95

72

9

81

30

64

58

17

90

65

18

93

52

77

49

26

4

31

35

84

70

8

71

19

53

47

96

22

92

41

76

29

14

63

88

60

37

5

13

6

51

87

40

25

74

99

62

48

68

80

39

55

27

94

2

11

43

86

 

Рис. 11

 

Здесь следует показать ещё один вариант. В ходе многочисленных экспериментов я получила из пары ОЛК Паркера такую пару, в которой латинские квадраты не являются натрадиционными магическими квадратами, тем не менее магический квадрат из такой пары ОЛК строится. На рис. 12 вы видите эту пару ОЛК. Она получена из пары ОЛК Паркера тоже перестановкой строк.

 

0

4

1

7

2

9

8

3

6

5

 

0

7

8

6

9

3

5

4

1

2

8

1

5

2

7

3

9

4

0

6

6

1

7

8

0

9

4

5

2

3

2

3

4

5

6

0

1

8

9

7

1

2

3

4

5

6

0

9

7

8

5

9

8

3

0

4

7

6

2

1

9

6

1

3

7

8

2

0

4

5

3

0

7

1

9

8

6

2

5

4

7

8

5

9

2

4

6

3

0

1

9

8

2

6

3

7

4

5

1

0

5

0

2

7

8

1

9

6

3

4

7

6

9

8

4

1

5

0

3

2

3

9

0

2

4

7

8

1

5

6

6

7

0

9

8

5

2

1

4

3

8

4

9

1

3

5

7

2

6

0

1

2

3

4

5

6

0

7

8

9

4

5

6

0

1

2

3

7

8

9

4

5

6

0

1

2

3

9

7

8

 

2

3

4

5

6

0

1

8

9

7

 

Рис. 12

 

Эти латинские квадраты обладают интересным свойством, которое позволяет построить из них магический квадрат. Обозначим S1, S2 – суммы чисел в диагоналях первого латинского квадрата, S3, S4 – суммы чисел в соответствующих диагоналях второго латинского квадрата. Имеем: S1 = 46, S2 = 45, S3 = 35, S4 = 45Очевидно, что неправильной в обоих латинских квадратах является одна и та же диагональ (то есть диагональ одного направления), и для этой неправильной диагонали выполняется равенство:

 

10*S1 + S3 + 1 = 505

 

Это и обеспечивает построение магического квадрата из данной пары ОЛК. На рис. 13 показан этот магический квадрат.

 

1

48

19

77

30

94

86

35

62

53

87

12

58

29

71

40

95

46

3

64

22

33

44

55

66

7

11

90

98

79

60

97

82

34

8

49

73

61

25

16

38

9

76

20

93

85

67

24

51

42

96

81

23

68

39

72

50

57

14

5

74

70

91

83

45

18

59

2

36

27

69

75

10

92

84

56

28

13

47

31

15

26

37

41

52

63

4

78

89

100

43

54

65

6

17

21

32

99

80

88

 

Рис. 13

 

Замечу, что в подобных парах ОЛК нельзя менять местами латинские квадраты в формуле для построения магического квадрата. Если поменять местами латинские квадраты в паре ОЛК с рис. 12, магический квадрат не получится.

 

ТРАНСФОРМАЦИЯ ТОЖДЕСТВЕННОЙ ПЕРЕСТАНОВКИ ЧИСЕЛ

 

Сначала рассмотрим преобразование, выполняемое с помощью трансформации тождественной перестановки чисел, на примере пары диагональных ОЛК Брауна с рис. 3.

Произведём такую замену тождественной перестановки чисел:

 

1  2  3  4  5  6  7  8  9

4  8  9  2  6  3  5  7  1

 

Преобразование выполняется просто: в обоих латинских квадратах надо заменить числа, выделенные красным цветом, на соответствующие числа (то есть подписанные под ними), выделенные синим цветом. Например: 1 à 4, 2 à 8 и т. д.

В результате такой замены получим следующую пару диагональных ОЛК (рис. 14):

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

 

0

7

6

4

5

9

2

3

1

8

5

4

1

2

6

9

7

0

3

8

6

4

5

8

1

7

0

9

2

3

2

3

8

7

9

4

5

6

1

0

4

5

8

1

6

3

7

0

9

2

3

0

5

9

8

7

2

1

4

6

1

3

2

9

0

8

5

4

6

7

6

9

3

5

2

8

1

4

0

7

9

0

7

3

2

4

6

1

8

5

7

2

4

8

1

6

0

3

9

5

2

9

0

7

3

6

1

8

5

4

8

6

9

0

7

1

3

2

5

4

5

8

1

6

4

2

3

7

0

9

9

8

7

1

0

2

4

5

6

3

3

2

9

0

7

1

8

5

4

6

1

5

6

4

3

0

9

8

7

2

8

1

3

2

9

5

4

6

7

0

4

7

0

6

5

3

8

9

2

1

7

6

4

5

8

0

9

2

3

1

 

Рис. 14

 

Вполне понятно, почему преобразованные латинские квадраты получаются тоже диагональные.

Легко убедиться, что ортогональность латинских квадратов при таком преобразовании сохраняется.

Точно так же можно выполнить любую другую трансформацию тождественной перестановки и получить другие пары диагональных ОЛК 10-го порядка. Таким образом, из одной пары диагональных ОЛК мы можем получить с помощью данного преобразования 3628800 подобных пар диагональных ОЛК. Все эти пары будем называть эквивалентными или изоморфными. Понятно, что не эквивалентные (не изоморфные) пары ОЛК нельзя превратить одну в другую никакой трансформацией тождественной перестановки чисел. Как указывает А. И. Лямзин в своей статье (см. цитату выше), построенная им пара ОЛК не изоморфна паре ОЛК Паркера.

Рассмотрим частный случай преобразования, выполняемого с помощью трансформации тождественной перестановки чисел, – преобразование взятия дополнения. В качестве исходной пары ОЛК возьмём ту же пару с рис. 3. Преобразование взятия дополнения заключается в следующем: все числа в обоих латинских квадратах заменяются на их дополнение до 9, то есть число a заменяется на 9-a. Очевидно, что это преобразование равносильно следующей трансформации тождественной перестановки чисел:

 

0  1  2  3  4  5  6  7  8  9

9  8  7  6  5  4  3  2  1  0

 

На рис. 15 вы видите пару диагональных ОЛК, полученную данным преобразованием из пары ОЛК с рис. 3.

 

9

0

5

3

8

2

4

1

7

6

 

9

1

4

8

2

6

5

3

0

7

2

8

0

5

4

6

1

9

3

7

4

8

2

7

0

1

9

6

5

3

5

3

7

1

6

8

2

4

0

9

8

2

7

0

4

3

1

9

6

5

3

9

2

6

7

1

5

0

8

4

0

3

5

6

9

7

2

8

4

1

4

6

3

2

5

7

0

8

9

1

6

9

1

3

5

8

4

0

7

2

1

5

8

7

0

4

9

3

6

2

5

6

9

1

3

4

0

7

2

8

7

4

6

9

1

0

3

5

2

8

2

7

0

4

8

5

3

1

9

6

6

7

1

0

9

5

8

2

4

3

3

5

6

9

1

0

7

2

8

4

0

2

4

8

3

9

6

7

1

5

7

0

3

5

6

2

8

4

1

9

8

1

9

4

2

3

7

6

5

0

 

1

4

8

2

7

9

6

5

3

0

 

Рис. 15

 

А теперь рассмотрим трансформацию тождественной перестановки чисел для не диагональных пар ОЛК. В данном случае преобразование преследует определённую цель: получить в обеих диагоналях каждого латинского квадрата сумму чисел равную 45. Будем преобразовывать пару ОЛК Паркера, изображённую на рис. 2.

Начнём с преобразования первого латинского квадрата (на рис. 2 этот квадрат изображён слева). В этом латинском квадрате неправильная только одна диагональ. Для исправления этой диагонали достаточно применить такую трансформацию тождественной перестановки чисел:

 

0  1  2  3  4  5  6  7  8  9

2  1  0  6  4  5  3  7  8  9

 

Напомню, как выполнять данное преобразование. Надо в преобразуемом латинском квадрате выполнить следующие замены чисел:

 

0 à 2,   2 à 0,   3 à 6,   6 à 3

 

В результате такого преобразования получим следующий латинский квадрат (рис. 16):

 

2

4

1

7

0

9

8

6

3

5

8

1

5

0

7

6

9

4

2

3

9

8

0

3

6

7

4

5

1

2

5

9

8

6

2

4

7

3

0

1

7

3

9

8

4

1

5

2

6

0

3

7

2

9

8

5

0

1

4

6

6

2

7

1

9

8

3

0

5

4

1

0

6

4

5

3

2

7

8

9

0

6

4

5

3

2

1

8

9

7

4

5

3

2

1

0

6

9

7

8

 

Рис. 16

 

Очевидно, что этот латинский квадрат является нетрадиционным магическим квадратом с магической константой 45. Неправильная диагональ исправлена.

Переходим к преобразованию второго латинского квадрата (на рис. 2 этот квадрат изображён справа). В этом латинском квадрате обе диагонали неправильные. Поэтому выполняем преобразование в два этапа. Сначала исправляем диагональ

 

0  1  2  3  4  5  6  7  7  7

 

Сумма чисел в этой диагонали равна 42, до нужной суммы не хватает 3. Легко видеть, что следующая трансформация тождественной перестановки чисел исправит эту диагональ:

 

0  1  2  3  4  5  6  7  8  9

0  1  2  3  4  5  6  8  7  9

 

В результате такого преобразования получаем следующий латинский квадрат (рис. 17):

 

0

8

7

6

9

3

5

4

1

2

6

1

8

7

0

9

4

5

2

3

5

0

2

8

7

1

9

6

3

4

9

6

1

3

8

7

2

0

4

5

3

9

0

2

4

8

7

1

5

6

7

4

9

1

3

5

8

2

6

0

8

7

5

9

2

4

6

3

0

1

4

5

6

0

1

2

3

8

7

9

1

2

3

4

5

6

0

9

8

7

2

3

4

5

6

0

1

7

9

8

 

Рис. 17

 

Теперь надо исправить в полученном латинском квадрате вторую диагональ. Сумма чисел в этой диагонали равна 42. Выполним следующую трансформацию тождественной перестановки чисел:

 

1  2  3  4  5  6  7  8  9

2  3  1  4  5  6  7  8  9

 

В результате этого преобразования получаем латинский квадрат, в котором обе диагонали исправлены (рис. 18).

 

0

8

7

6

9

1

5

4

2

3

6

2

8

7

0