Н. Макарова

 

 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ДИАГОНАЛЬНЫЕ ЛАТИНСКИЕ КВАДРАТЫ

 

 

Как я уже не раз писала, пары ортогональных диагональных латинских квадратов – это самый лучший вариант для метода латинских квадратов. В англоязычных статьях ортогональные диагональные латинские квадраты называются Orthogonal Diagonal Latin Squares, и используется аббревиатура ODLS.  Я тоже буду использовать аббревиатуру – ОДЛК.

 

Доказано, что существуют пары ОДЛК всех порядков кроме 2, 3 и 6. Построение пар ОДЛК порядков, являющихся простым числом или степенью простого числа, а также нечётным числом не кратным 3, не вызывает никаких затруднений. Для порядков, представимых в виде произведения двух чисел, и каждое из этих чисел есть порядок, для которого существуют пары ОДЛК, тоже очень легко построить пару ОДЛК методом составных квадратов (см. статью http://www.natalimak1.narod.ru/aspekty7.htm ).

 

Для начала покажу пары ОДЛК 4-го, 8-го и 10-го порядков (рис. 1 – 3). Пары ОДЛК 4-го и 8-го порядка составлены из диагональных латинских квадратов, входящих в стандартные группы MOLS. Пара ОДЛК 10-го порядка взята из статьи “Completion of the Spectrum of Orthogonal Diagonal Latin Squares” (J. W. Brown и другие, 1992 г.).

 

0

1

2

3

 

0

1

2

3

3

2

1

0

2

3

0

1

1

0

3

2

3

2

1

0

2

3

0

1

1

0

3

2

 

Рис. 1

 

0

1

2

3

4

5

6

7

 

0

1

2

3

4

5

6

7

2

3

0

1

6

7

4

5

3

2

1

0

7

6

5

4

4

5

6

7

0

1

2

3

6

7

4

5

2

3

0

1

6

7

4

5

2

3

0

1

5

4

7

6

1

0

3

2

5

4

7

6

1

0

3

2

1

0

3

2

5

4

7

6

7

6

5

4

3

2

1

0

2

3

0

1

6

7

4

5

1

0

3

2

5

4

7

6

7

6

5

4

3

2

1

0

3

2

1

0

7

6

5

4

4

5

6

7

0

1

2

3

 

Рис. 2

 

0

9

4

6

1

7

5

8

2

3

 

0

8

5

1

7

3

4

6

9

2

7

1

9

4

5

3

8

0

6

2

5

1

7

2

9

8

0

3

4

6

4

6

2

8

3

1

7

5

9

0

1

7

2

9

5

6

8

0

3

4

6

0

7

3

2

8

4

9

1

5

9

6

4

3

0

2

7

1

5

8

5

3

6

7

4

2

9

1

0

8

3

0

8

6

4

1

5

9

2

7

8

4

1

2

9

5

0

6

3

7

4

3

0

8

6

5

9

2

7

1

2

5

3

0

8

9

6

4

7

1

7

2

9

5

1

4

6

8

0

3

3

2

8

9

0

4

1

7

5

6

6

4

3

0

8

9

2

7

1

5

9

7

5

1

6

0

3

2

8

4

2

9

6

4

3

7

1

5

8

0

1

8

0

5

7

6

2

3

4

9

8

5

1

7

2

0

3

4

6

9

 

Рис. 3

 

Пару ОДЛК 12-го порядка я не встречала. А теперь покажу построение пары ОДЛК 14-го порядка. Это построение я нашла в статье “ORTOGONAL DIAGONAL LATIN SQUARES OF ORDER FOURTEEN” (L. Zhu, 1982 г.) Очень оригинальный метод построения, который я затем успешно применила для построения пар ОДЛК 15-го и 18-го порядков.

Заметьте, что эта статья была написана до того, как были построены пары ОДЛК 10-го порядка. В то время проблемными оставались порядки 10, 14, 15, 18 и 26. В этой статье как раз и решается задача для одного из проблемных порядков – 14-го. В 1989 г. была решена задача ещё для трёх проблемных порядков – 15, 18 и 26. Я нашла ссылку вот на такую статью: А. В. Назарок. Пары ортогональных дважды диагональных латинских квадратов порядков 15, 18 и 26. // Комбинаторный анализ. Вып. 32. М.: МГУ, 1989 г. К сожалению, статью мне найти не удалось. И, наконец, в 1992 г. Браун и компания закрывают последний проблемный порядок – 10.

(Обратите внимание: в названии статьи использован термин “дважды диагональных латинских квадратов”. Этим подчёркивается, что в диагональных латинских квадратах в каждой из двух главных диагоналей все элементы различны. В англоязычной литературе встречается аналогичный термин “doubly diagonal latin squares”).

 

Поскольку пары ОДЛК 15-го и 18-го порядков я построила сама по аналогии с парой ОДЛК 14-го порядка, у меня остаётся один проблемный порядок – 26. Кроме этого проблемного порядка, я не знаю, как строить пары ОДЛК и для многих других порядков, например, 12, 21, 24 и т. д. Насколько я поняла, математики эту задачу давно решили, но где найти её решение? Буду очень признательна читателям, если они напишут мне об этом. Очень хотелось бы найти указанную выше статью о парах ОДЛК 15-го, 18-го и 26-го порядков. Интересно, какие пары ОДЛК 15-го и 18-го порядка построены в этой статье (хочется сравнить с построенными мной парами). Кроме того, в этой статье есть построение пары ОДЛК 26-го порядка, которую мне пока построить не удалось.

 

Начну изложение замечательного метода из указанной статьи L. Zhu. Предел моих мечтаний – пара ОДЛК 14-го порядка! А какой оригинальный метод построения этой пары ОДЛК! Сначала строится пара не диагональных ОЛК. Латинские квадраты этой пары содержат латинский подквадрат 4х4 и имеют соответствующую квази-разностную матрицу (КРМ). На рис. 4 – 5 вы видите эту пару ОЛК.

 

Первый латинский квадрат

 

0

3

a

4

7

9

5

c

b

d

1

8

2

6

d

1

4

a

5

8

0

6

c

b

2

9

3

7

b

d

2

5

a

6

9

1

7

c

3

0

4

8

c

b

d

3

6

a

7

0

2

8

4

1

5

9

9

c

b

d

4

7

a

8

1

3

5

2

6

0

4

0

c

b

d

5

8

a

9

2

6

3

7

1

3

5

1

c

b

d

6

9

a

0

7

4

8

2

1

4

6

2

c

b

d

7

0

a

8

5

9

3

a

2

5

7

3

c

b

d

8

1

9

6

0

4

2

a

3

6

8

4

c

b

d

9

0

7

1

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

a

c

d

b

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

d

b

a

c

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

b

d

c

a

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

c

a

b

d

 

Рис. 4

 

Второй латинский квадрат

 

0

c

9

d

a

4

b

1

3

2

5

6

8

7

3

1

c

0

d

a

5

b

2

4

6

7

9

8

5

4

2

c

1

d

a

6

b

3

7

8

0

9

4

6

5

3

c

2

d

a

7

b

8

9

1

0

b

5

7

6

4

c

3

d

a

8

9

0

2

1

9

b

6

8

7

5

c

4

d

a

0

1

3

2

a

0

b

7

9

8

6

c

5

d

1

2

4

3

d

a

1

b

8

0

9

7

c

6

2

3

5

4

7

d

a

2

b

9

1

0

8

c

3

4

6

5

c

8

d

a

3

b

0

2

1

9

4

5

7

6

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

a

d

b

c

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

c

b

d

a

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

d

a

c

b

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

b

c

a

d

 

Рис. 5

 

В латинских квадратах выделен оранжевым цветом подквадрат 4х4. Понятно, что пара ортогональных латинских подквадратов 4х4, содержащаяся в данных латинских квадратах, может быть заменена на любую другую пару ортогональных латинских квадратов 4-го порядка, состоящих из тех же самых элементов. Такая замена даёт существенно новые (неизоморфные) пары ОЛК 14-го порядка. Символьные элементы a, b, c, d принимают значения 10, 11, 12, 13 в любой комбинации. Обратите внимание на то, что в представленном варианте использована пара диагональных подквадратов 4х4. Это важно для дальнейшего превращения данной пары не диагональных ОЛК в пару ОДЛК.

А теперь посмотрим на КРМ этой пары ОЛК (рис. 6).

 

 

a

b

c

d

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

a

b

c

d

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

8

2

6

6

8

5

7

0

d

b

c

9

4

3

1

a

2

5

6

8

7

8

1

2

6

0

3

5

4

b

9

a

d

7

c

 

Рис. 6

 

Выделенная секция КРМ может варьироваться! Варьирование выполняется следующим образом: берутся все возможные перестановки групп чисел 1, 2, 6, 8 и 5, 6, 7, 8. Конечно, при этом проверяется совместимость третьей и четвёртой строк КРМ по известному критерию. Я составила программу для нахождения всех возможных перестановок, удовлетворяющих критерию совместимости строк, программа выдала 1152 решения. Это значит, что мы имеем 1152 неизоморфные пары ОЛК 14-го порядка такой же структуры. Приведённый вариант выдан программой под № 213. Интересен вариант № 12, покажу этот вариант. КРМ этого решения имеет следующий вид (рис. 7):

 

a

b

c

d

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

a

b

c

d

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

2

6

8

5

8

7

6

0

d

b

c

9

4

3

1

a

2

8

5

7

6

1

2

6

8

0

3

5

4

b

9

a

d

7

c

 

Рис. 7

 

В этом варианте перестановка в группе чисел 1, 2, 6, 8 выбрана одинаковая. На рис. 8 – 9 показана пара ОЛК, построенная по данной КРМ.

 

Первый латинский квадрат (решение № 12)

 

0

3

a

4

7

9

5

c

b

d

1

2

6

8

d

1

4

a

5

8

0

6

c

b

2

3

7

9

b

d

2

5

a

6

9

1

7

c

3

4

8

0

c

b

d

3

6

a

7

0

2

8

4

5

9

1

9

c

b

d

4

7

a

8

1

3

5

6

0

2

4

0

c

b

d

5

8

a

9

2

6

7

1

3

3

5

1

c

b

d

6

9

a

0

7

8

2

4

1

4

6

2

c

b

d

7

0

a

8

9

3

5

a

2

5

7

3

c

b

d

8

1

9

0

4

6

2

a

3

6

8

4

c

b

d

9

0

1

5

7

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

a

c

d

b

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

d

b

a

c

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

b

d

c

a

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

c

a

b

d

 

Рис. 8

 

Второй латинский квадрат (решение № 12)

 

0

c

9

d

a

4

b

1

3

2

8

5

7

6

3

1

c

0

d

a

5

b

2

4

9

6

8

7

5

4

2

c

1

d

a

6

b

3

0

7

9

8

4

6

5

3

c

2

d

a

7

b

1

8

0

9

b

5

7

6

4

c

3

d

a

8

2

9

1

0

9

b

6

8

7

5

c

4

d

a

3

0

2

1

a

0

b

7

9

8

6

c

5

d

4

1

3

2

d

a

1

b

8

0

9

7

c

6

5

2

4

3

7

d

a

2

b

9

1

0

8

c

6

3

5

4

c

8

d

a

3

b

0

2

1

9

7

4

6

5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

a

d

b

c

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

c

b

d

a

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

d

a

c

b

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

b

c

a

d

 

Рис. 9

 

А теперь самый интересный момент – превращение построенной пары ОЛК в пару ОДЛК. Сначала покажу это превращение для первой пары, то есть для пары, приведённой в статье (решение № 213). На рис. 10 – 11 вы видите пару ОДЛК. Латинские квадраты этой пары получаются из латинских квадратов пары ОЛК с рис. 4 – 5 совершенно определённым образом. Я не буду подробно описывать, как именно фрагменты латинских квадратов из пары ОЛК размещаются в новых квадратах, вы всё поймёте по раскраске квадратов. Ещё в паре ОДЛК символьные элементы заменены числовыми значениями.

 

Первый  диагональный латинский квадрат

 

0

3

10

4

7

1

8

2

6

13

11

12

5

9

13

1

4

10

5

2

9

3

7

11

12

6

0

8

11

13

2

5

10

3

0

4

8

12

7

1

9

6

12

11

13

3

6

4

1

5

9

8

2

0

7

10

9

12

11

13

4

5

2

6

0

3

1

8

10

7

6

7

8

9

0

10

12

13

11

5

4

3

2

1

8

9

0

1

2

13

11

10

12

7

6

5

4

3

5

6

7

8

9

11

13

12

10

4

3

2

1

0

7

8

9

0

1

12

10

11

13

6

5

4

3

2

2

10

3

6

8

0

7

1

5

9

13

11

12

4

10

2

5

7

3

9

6

0

4

1

8

13

11

12

1

4

6

2

12

8

5

9

3

10

0

7

13

11

3

5

1

12

11

7

4

8

2

0

10

9

6

13

4

0

12

11

13

6

3

7

1

2

9

10

8

5

 

Рис. 10

 

Второй диагональный латинский квадрат

 

0

12

9

13

10

5

6

8

7

2

3

1

11

4

3

1

12

0

13

6

7

9

8

4

2

11

5

10

5

4

2

12

1

7

8

0

9

3

11

6

10

13

4

6

5

3

12

8

9

1

0

11

7

10

13

2

11

5

7

6

4

9

0

2

1

8

10

13

3

12

8

9

0

1

2

10

13

11

12

7

6

5

4

3

1

2

3

4

5

12

11

13

10

0

9

8

7

6

2

3

4

5

6

13

10

12

11

1

0

9

8

7

6

7

8

9

0

11

12

10

13

5

4

3

2

1

12

8

13

10

3

4

5

7

6

9

1

2

0

11

7

13

10

2

11

3

4

6

5

12

8

0

1

9

13

10

1

11

8

2

3

5

4

6

12

7

9

0

10

0

11

7

9

1

2

4

3

13

5

12

6

8

9

11

6

8

7

0

1

3

2

10

13

4

12

5

 

Рис. 11

 

Пара ОДЛК получена. Сразу покажу два магических квадрата, построенные из этой пары ОДЛК методом латинских квадратов. Как уже знают читатели, эта пара ортогональных латинских квадратов сразу пригодна для построения магических квадратов, потому что квадраты этой пары диагональные. На рис. 12 – 13 вы видите магические квадраты 14-го порядка, построенные из данной пары ОДЛК.

 

1

55

150

70

109

20

119

37

92

185

158

170

82

131

186

16

69

141

84

35

134

52

107

159

171

96

6

123

160

187

31

83

142

50

9

57

122

172

110

21

137

98

173

161

188

46

97

65

24

72

127

124

36

11

112

143

138

174

162

189

61

80

29

87

2

51

25

126

144

111

93

108

113

128

3

151

182

194

167

78

63

48

33

18

114

129

4

19

34

195

166

154

179

99

94

79

64

49

73

88

103

118

133

168

193

181

152

58

43

38

23

8

105

120

135

10

15

180

153

165

196

90

75

60

45

30

41

149

56

95

116

5

104

22

77

136

184

157

169

68

148

42

81

101

54

130

89

7

62

27

121

183

156

178

28

67

86

40

177

115

74

132

47

147

13

106

192

155

53

71

26

176

164

100

59

117

32

14

146

139

91

191

66

12

175

163

190

85

44

102

17

39

140

145

125

76

 

Рис. 12

 

1

172

137

187

148

72

93

115

105

42

54

27

160

66

56

16

173

11

188

87

108

130

120

68

41

161

71

149

82

70

31

174

25

102

113

5

135

55

162

86

150

189

69

96

84

46

175

117

128

20

10

163

101

141

190

39

164

83

110

98

61

132

3

35

15

116

142

191

53

176

119

134

9

24

29

151

195

168

180

104

89

74

59

44

23

38

43

58

73

182

166

193

153

8

133

118

103

88

34

49

64

79

94

194

154

181

165

19

4

129

114

99

92

107

122

127

2

167

179

152

196

77

62

47

32

17

171

123

186

147

51

57

78

100

90

136

28

40

13

159

109

185

146

36

158

52

63

85

75

170

121

14

26

139

184

145

21

157

125

37

48

80

60

95

169

106

140

12

144

6

156

111

138

22

33

65

45

183

81

178

91

126

131

155

97

124

112

7

18

50

30

143

192

67

177

76

 

Рис. 13

 

В этих магических квадратах первая главная диагональ в точности совпадает, а вторая главная диагональ “перевёрнута”, то есть получена отражением относительно первой главной диагонали.

Мной уже были построены магические квадраты 14-го порядка из пар недиагональных ОЛК. И вот теперь получены самые лучшие магические квадраты данного порядка – из пары ОДЛК.

 

Разумеется, все 1152 варианта пар ОЛК превращаются точно таким же образом в пары ОДЛК. Покажу это на примере пары ОЛК с рис. 8 – 9. На рис. 14 – 15 вы видите новую пару ОДЛК, полученную из этой пары ОЛК.

 

Первый  диагональный латинский квадрат (решение № 12)

 

0

3

10

4

7

1

2

6

8

13

11

12

5

9

13

1

4

10

5

2

3

7

9

11

12

6

0

8

11

13

2

5

10

3

4

8

0

12

7

1

9

6

12

11

13

3

6

4

5

9

1

8

2

0

7

10

9

12

11

13

4

5

6

0

2

3

1

8

10

7

5

6

7

8

9

10

12

13

11

4

3

2

1

0

8

9

0

1

2

13

11

10

12

7

6

5

4

3

7

8

9

0

1

11

13

12

10

6

5

4

3

2

6

7

8

9

0

12

10

11

13

5

4

3

2

1

2

10

3

6

8

0

1

5

7

9

13

11

12

4

10

2

5

7

3

9

0

4

6

1

8

13

11

12

1

4

6

2

12

8

9

3

5

10

0

7

13

11

3

5

1

12

11

7

8

2

4

0

10

9

6

13

4

0

12

11

13

6

7

1

3

2

9

10

8

5

 

Рис. 14

 

Второй  диагональный латинский квадрат (решение № 12)

 

0

12

9

13

10

8

5

7

6

2

3

1

11

4

3

1

12

0

13

9

6

8

7

4

2

11

5

10

5

4

2

12

1

0

7

9

8

3

11

6

10

13

4

6

5

3

12

1

8

0

9

11

7

10

13

2

11

5

7

6

4

2

9

1

0

8

10

13

3

12

1

2

3

4

5

10

13

11

12

0

9

8

7

6

2

3

4

5

6

12

11

13

10

1

0

9

8

7

6

7

8

9

0

13

10

12

11

5

4

3

2

1

8

9

0

1

2

11

12

10

13

7

6

5

4

3

12

8

13

10

3

7

4

6

5

9

1

2

0

11

7

13

10

2

11

6

3

5

4

12

8

0

1

9

13

10

1

11

8

5

2

4

3

6

12

7

9

0

10

0

11

7

9

4

1

3

2

13

5

12

6

8

9

11

6

8

7

3

0

2

1

10

13

4

12

5

 

Рис. 15

 

И вот новые магические квадраты, построенные из новой пары ОДЛК (рис. 16 – 17).

 

1

55

150

70

109

23

34

92

119

185

158

170

82

131

186

16

69

141

84

38

49

107

134

159

171

96

6

123

160

187

31

83

142

43

64

122

9

172

110

21

137

98

173

161

188

46

97

58

79

127

24

124

36

11

112

143

138

174

162

189

61

73

94

2

29

51

25

126

144

111

72

87

102

117

132

151

182

194

167

57

52

37

22

7

115

130

5

20

35

195

166

154

179

100

85

80

65

50

105

120

135

10

15

168

193

181

152

90

75

60

45

30

93

108

113

128

3

180

153

165

196

78

63

48

33

18

41

149

56

95

116

8

19

77

104

136

184

157

169

68

148

42

81

101

54

133

4

62

89

27

121

183

156

178

28

67

86

40

177

118

129

47

74

147

13

106

192

155

53

71

26

176

164

103

114

32

59

14

146

139

91

191

66

12

175

163

190

88

99

17

44

39

140

145

125

76

 

Рис. 16

 

1

172

137

187

148

114

73

105

93

42

54

27

160

66

56

16

173

11

188

129

88

120

108

68

41

161

71

149

82

70

31

174

25

4

103

135

113

55

162

86

150

189

69

96

84

46

175

19

118

10

128

163

101

141

190

39

164

83

110

98

61

34

133

15

3

116

142

191

53

176

20

35

50

65

80

151

195

168

180

5

130

115

100

85

37

52

57

72

87

182

166

193

153

22

7

132

117

102

92

107

122

127

2

194

154

181

165

77

62

47

32

17

119

134

9

24

29

167

179

152

196

104

89

74

59

44

171

123

186

147

51

99

58

90

78

136

28

40

13

159

109

185

146

36

158

94

43

75

63

170

121

14

26

139

184

145

21

157

125

79

38

60

48

95

169

106

140

12

144

6

156

111

138

64

23

45

33

183

81

178

91

126

131

155

97

124

112

49

8

30

18

143

192

67

177

76

 

Рис. 17

 

Эти магические квадраты имеют точно такие же главные диагонали, как и два магических квадрата, построенные выше, и отличаются от них фрагментами, выделенными белым цветом.

 

Итак, можно составить программу по описанному алгоритму, которая построит 2304 магических квадрата 14-го порядка.

 

***

 

 

ПОСТРОЕНИЕ ГРУППЫ ПОПАРНО ОРТОГОНАЛЬНЫХ ДИАГОНАЛЬНЫХ ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ 15-го ПОРЯДКА

 

Для порядка 15 мне удалось построить не только одну пару ОДЛК, но целую группу попарно ортогональных диагональных латинских квадратов. Для этого построения я взяла известную группу MOLS 15-го порядка (см. статью http://www.natalimak1.narod.ru/mols15.htm ) и применила к латинским квадратам этой группы найденный метод, который описан выше. Сначала покажу группу MOLS 15-го порядка, состоящую из четырёх латинских квадратов (рис. 18 – 21) (копирую квадраты из указанной статьи).

 

Первый латинский квадрат

 

1

7

12

10

9

3

15

6

5

13

4

11

14

2

8

3

2

8

13

11

10

4

15

7

6

14

5

12

1

9

2

4

3

9

14

12

11

5

15

8

7

1

6

13

10

14

3

5

4

10

1

13

12

6

15

9

8

2

7

11

8

1

4

6

5

11

2

14

13

7

15

10

9

3

12

4

9

2

5

7

6

12

3

1

14

8

15

11

10

13

11

5

10

3

6

8

7

13

4

2

1

9

15

12

14

13

12

6

11

4

7

9

8

14

5

3

2

10

15

1

15

14

13

7

12

5

8

10

9

1

6

4

3

11

2

12

15

1

14

8

13

6

9

11

10

2

7

5

4

3

5

13

15

2

1

9

14

7

10

12

11

3

8

6

4

7

6

14

15

3

2

10

1

8

11

13

12

4

9

5

10

8

7

1

15

4

3

11

2

9

12

14

13

5

6

6

11

9

8

2

15

5

4

12

3

10

13

1

14

7

9

10

11

12

13

14

1

2

3

4

5

6

7

8

15

 

Рис. 18

 

Второй латинский квадрат

           

1

11

8

3

6

12

9

4

13

15

5

10

2

7

14

8

2

12

9

4

7

13

10

5

14

15

6

11

3

1

4

9

3

13

10

5

8

14

11

6

1

15

7

12

2

13

5

10

4

14

11

6

9

1

12

7

2

15

8

3

9

14

6

11

5

1

12

7

10

2

13

8

3

15

4

15

10

1

7

12

6

2

13

8

11

3

14

9

4

5

5

15

11

2

8

13

7

3

14

9

12

4

1

10

6

11

6

15

12

3

9

14

8

4

1

10

13

5

2

7

3

12

7

15

13

4

10

1

9

5

2

11

14

6

8

7

4

13

8

15

14

5

11

2

10

6

3

12

1

9

2

8

5

14

9

15

1

6

12

3

11

7

4

13

10

14

3

9

6

1

10

15

2

7

13

4

12

8

5

11

6

1

4

10

7

2

11

15

3

8

14

5

13

9

12

10

7

2

5

11

8

3

12

15

4

9

1

6

14

13

12

13

14

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11