Н. Макарова

 

ГРУППЫ ВЗАИМНО ОРТОГОНАЛЬНЫХ ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ

 

Mutually Orthogonal Latin Squares (MOLS)

 

Часть II

 

Данная страница является продолжением страницы

http://www.natalimak1.narod.ru/grolk.htm

 

В предыдущей части статьи отмечено, что для порядков, являющихся простым числом или степенью простого числа, группы взаимно ортогональных латинских квадратов можно составлять в пакете математических программ Maple. У меня на компьютере не установлен этот пакет программ, но один виртуальный знакомый любезно согласился мне помочь. Мы с ним установили, что для составления группы взаимно ортогональных латинских квадратов используется команда MOLS(p,m,n), где параметры команды имеют следующее значение: p – простое число, m – показатель степени числа p, n – количество квадратов в группе, которое мы хотим получить. Например, команда MOLS(2,3,7) составит группу из 7 взаимно ортогональных латинских квадратов порядка 2^3 = 8.

Как уже знают читатели, для любого порядка n, являющегося простым числом или степенью простого числа, группа взаимно ортогональных латинских квадратов состоит из n-1 квадрата.

 

В предыдущей части статьи были рассмотрены группы MOLS для порядков от 3 до 20. Было сказано, что для порядков 11, 13, 17 и 19 легко составить группу MOLS, так как эти порядки являются простыми числами. Сначала я попробовала составить группу MOLS 11-го порядка без помощи Maple по аналогии с группой MOLS 7-го порядка. Всё действительно очень просто. В первой строке всех квадратов группы находится тождественная перестановка чисел 0, 1, … 10. Каждая строка в квадратах группы, начиная со второй, получается циклическим сдвигом предыдущей строки с постоянным шагом; для каждого квадрата этот шаг свой. Попросив затем товарища составить три первых квадрата этой группы, я сравнила их с построенными мной квадратами. Они оказались совершенно одинаковыми. Для построения трёх MOLS 11-го порядка надо использовать команду MOLS(11,1,3). Если же вы хотите составить группу MOLS 11-го порядка полностью, то надо использовать команду MOLS(11,1,10).

Далее я показываю всю группу MOLS 11-го порядка, состоящую из 10 квадратов (рис. 1). В  двух первых квадратах раскраской показан циклический сдвиг строк. В первом квадрате сдвиг выполняется с шагом 1, а во втором квадрате – с шагом 2. В следующих квадратах группы циклический сдвиг выполняется соответственно с шагами 3, 4, 5, … 10.

 

Квадрат № 1                                                          Квадрат № 2

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

8

9

10

0

1

2

3

4

5

6

7

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5

6

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

8

9

10

0

1

2

3

4

5

6

7

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

9

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5

6

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

9

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

 

Квадрат № 3                                                          Квадрат № 4

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5

8

9

10

0

1

2

3

4

5

6

7

9

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

9

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5

6

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

8

9

10

0

1

2

3

4

5

6

7

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5

6

 

Квадрат № 5                                                          Квадрат № 6

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5

6

9

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

8

9

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5

6

7

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

9

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5

6

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

 

Квадрат № 7                                                          Квадрат № 8

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5

6

8

9

10

0

1

2

3

4

5

6

7

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5

6

9

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

9

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

8

9

10

0

1

2

3

4

5

6

7

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

 

Квадрат № 9                                                          Квадрат № 10

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

9

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5

6

9

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

8

9

10

0

1

2

3

4

5

6

7

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

8

9

10

0

1

2

3

4

5

6

7

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

 

Рис. 1

 

Очевидно, что все квадраты группы получаются друг из друга перестановкой строк. В группе только два не диагональных латинских квадрата – квадрат № 1 и квадрат № 10, все остальные квадраты диагональные.

 

Итак, читатели убедились в том, что для порядков, являющихся простым числом, легко составить группу MOLS даже без помощи пакета Maple.

Теперь рассмотрим порядок 16, который является степенью простого числа 2. С этим порядком всё несколько сложнее. В первой части статьи показана пара ортогональных диагональных латинских квадратов 16-го порядка, построенная мной по аналогии с ортогональными латинскими квадратами 8-го порядка. Эту пару я использовала для построения магического квадрата. Сейчас я попробовала составить группу MOLS 16-го порядка. Понятно, что эта группа должна состоять из 15 латинских квадратов. Сначала я составила первый не диагональный латинский квадрат по аналогии с первым не диагональным латинским квадратом 8-го порядка. Этот квадрат у меня получился сразу. Вы видите его на рис. 2.

 

Квадрат № 1

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

1

0

3

2

5

4

7

6

9

8

11

10

13

12

15

14

2

3

0

1

6

7

4

5

10

11

8

9

14

15

12

13

3

2

1

0

7

6

5

4

11

10

9

8

15

14

13

12

4

5

6

7

0

1

2

3

12

13

14

15

8

9

10

11

5

4

7

6

1

0

3

2

13

12

15

14

9

8

11

10

6

7

4

5

2

3

0

1

14

15

12

13

10

11

8

9

7

6

5

4

3

2

1

0

15

14

13

12

11

10

9

8

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

9

8

11

10

13

12

15

14

1

0

3

2

5

4

7

6

10

11

8

9

14

15

12

13

2

3

0

1

6

7

4

5

11

10

9

8

15

14

13

12

3

2

1

0

7

6

5

4

12

13

14

15

8

9

10

11

4

5

6

7

0

1

2

3

13

12

15

14

9

8

11

10

5

4

7

6

1

0

3

2

14

15

12

13

10

11

8

9

6

7

4

5

2

3

0

1

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

 

Рис. 2

 

Закономерности составления этого латинского квадрата очевидны. Без труда можно составить аналогичный не диагональный латинский квадрат для любого порядка, являющегося степенью числа 2. Это единственный не диагональный латинский квадрат в группе, все остальные квадраты диагональные. И в группе MOLS 8-го порядка тоже всего один латинский квадрат не диагональный, как, впрочем, и в группе MOLS 4-го порядка. Все эти группы показаны в предыдущей части статьи.

Далее я с удивлением обнаружила, что латинские квадраты составленной мной прежде пары ОЛК не ортогональны латинскому квадрату, показанному на рис. 2. Тогда попыталась составить латинские квадраты, ортогональные квадрату с рис. 2, а также попарно ортогональные между собой. Смогла составить только четыре таких латинских квадрата. Эти квадраты вы видите на рис. 3 – 6. Посмотрите, какая интересная симметрия в квадрате на рис. 3. Определённая симметрия есть и в других квадратах.

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

4

5

6

7

0

1

2

3

12

13

14

15

8

9

10

11

11

10

9

8

15

14

13

12

3

2

1

0

7

6

5

4

3

2

1

0

7

6

5

4

11

10

9

8

15

14

13

12

12

13

14

15

8

9

10

11

4

5

6

7

0

1

2

3

7

6

5

4

3

2

1

0

15

14

13

12

11

10

9

8

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

10

11

8

9

14

15

12

13

2

3

0

1

6

7

4

5

5

4

7

6

1

0

3

2

13

12

15

14

9

8

11

10

14

15

12

13

10

11

8

9

6

7

4

5

2

3

0

1

1

0

3

2

5

4

7

6

9

8

11

10

13

12

15

14

9

8

11

10

13

12

15

14

1

0

3

2

5

4

7

6

6

7

4

5

2

3

0

1

14

15

12

13

10

11

8

9

13

12

15

14

9

8

11

10

5

4

7

6

1

0

3

2

2

3

0

1

6

7

4

5

10

11

8

9

14

15

12

13

 

Рис. 3

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

14

15

12

13

10

11

8

9

6

7

4

5

2

3

0

1

6

7

4

5

2

3

0

1

14

15

12

13

10

11

8

9

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

7

6

5

4

3

2

1

0

15

14

13

12

11

10

9

8

9

8

11

10

13

12

15

14

1

0

3

2

5

4

7

6

1

0

3

2

5

4

7

6

9

8

11

10

13

12

15

14

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

2

3

0

1

6

7

4

5

10

11

8

9

14

15

12

13

12

13

14

15

8

9

10

11

4

5

6

7

0

1

2

3

4

5

6

7

0

1

2

3

12

13

14

15

8

9

10

11

10

11

8

9

14

15

12

13

2

3

0

1

6

7

4

5

5

4

7

6

1

0

3

2

13

12

15

14

9

8

11

10

11

10

9

8

15

14

13

12

3

2

1

0

7

6

5

4

3

2

1

0

7

6

5

4

11

10

9

8

15

14

13

12

13

12

15

14

9

8

11

10

5

4

7

6

1

0

3

2

 

Рис. 4

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

11

10

9

8

15

14

13

12

3

2

1

0

7

6

5

4

7

6

5

4

3

2

1

0

15

14

13

12

11

10

9

8

12

13

14

15

8

9

10

11

4

5

6

7

0

1

2

3

9

8

11

10

13

12

15

14

1

0

3

2

5

4

7

6

2

3

0

1

6

7

4

5

10

11

8

9

14

15

12

13

14

15

12

13

10

11

8

9

6

7

4

5

2

3

0

1

5

4

7

6

1

0

3

2

13

12

15

14

9

8

11

10

1

0

3

2

5

4

7

6

9

8

11

10

13

12

15

14

10

11

8

9

14

15

12

13

2

3

0

1

6

7

4

5

6

7

4

5

2

3

0

1

14

15

12

13

10

11

8

9

13

12

15

14

9

8

11

10

5

4

7

6

1

0

3

2

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

3

2

1

0

7

6

5

4

11

10

9

8

15

14

13

12

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

4

5

6

7

0

1

2

3

12

13

14

15

8

9

10

11

 

Рис. 5

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

10

11

8

9

14

15

12

13

2

3

0

1

6

7

4

5

5

4

7

6

1

0

3

2

13

12

15

14

9

8

11

10

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

13

12

15

14

9

8

11

10

5

4

7

6

1

0

3

2

7

6

5

4

3

2

1

0

15

14

13

12

11

10

9

8

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

2

3

0

1

6

7

4

5

10

11

8

9

14

15

12

13

9

8

11

10

13

12

15

14

1

0

3

2

5

4

7

6

3

2

1

0

7

6

5

4

11

10

9

8

15

14

13

12

12

13

14

15

8

9

10

11

4

5

6

7

0

1

2

3

6

7

4

5

2

3

0

1

14

15

12

13

10

11

8

9

4

5

6

7

0

1

2

3

12

13

14

15

8

9

10

11

14

15

12

13

10

11

8

9

6

7

4

5

2

3

0

1

1

0

3

2

5

4

7

6

9

8

11

10

13

12

15

14

11

10

9

8

15

14

13

12

3

2

1

0

7

6

5

4

 

Рис. 6

 

Обратите внимание: все квадраты в этой группе тоже получаются друг из друга перестановкой строк. Дальше я продвинуться не смогла. Разумеется, можно выполнить программу перестановки строк, например, в латинском квадрате с рис. 2,  и найти таким образом все оставшиеся 14 квадратов группы, но такая программа будет выполняться очень долго. Тогда я попросила товарища составить группу MOLS 16-го порядка в Maple. Получив от него эту группу, я увидела, что первый латинский квадрат точно такой же, как на рис. 2. Все остальные квадраты отличаются от построенных мной квадратов. Покажу всю группу MOLS 16-го порядка, составленную в Maple (рис. 7 – 20). Начинаю с квадрата № 2, так как квадрат № 1 уже показан выше (см. рис. 2).

 

Квадрат № 2

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

2

3

0

1

6

7

4

5

10

11

8

9

14

15

12

13

4

5

6

7

0

1

2

3

12

13

14

15

8

9

10

11

6

7

4

5

2

3

0

1

14

15

12

13

10

11

8

9

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

10

11

8

9

14

15

12

13

2

3

0

1

6

7

4

5

12

13

14

15

8

9

10

11

4

5

6

7

0

1

2

3

14

15

12

13

10

11

8

9

6

7

4

5

2

3

0

1

3

2

1

0

7

6

5

4

11

10

9

8

15

14

13

12

1

0

3

2

5

4

7

6

9

8

11

10

13

12

15

14

7

6

5

4

3

2

1

0

15

14

13

12

11

10

9

8

5

4

7

6

1

0

3

2

13

12

15

14

9

8

11

10

11

10

9

8

15

14

13

12

3

2

1

0

7

6

5

4

9

8

11

10

13

12

15

14

1

0

3

2

5

4

7

6

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

13

12

15

14

9

8

11

10

5

4

7

6

1

0

3

2

 

Рис. 7

 

Квадрат № 3

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

3

2

1

0

7

6

5

4

11

10

9

8

15

14

13

12

6

7

4

5

2

3

0

1

14

15

12

13

10

11

8

9

5

4

7

6

1

0

3

2

13

12

15

14

9

8

11

10

12

13

14

15

8

9

10

11

4

5

6

7

0

1

2

3

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

10

11

8

9

14

15

12

13

2

3

0

1

6

7

4

5

9

8

11

10

13

12

15

14

1

0

3

2

5

4

7

6

11

10

9

8

15

14

13

12

3

2

1

0

7

6

5

4

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

13

12

15

14

9

8

11

10

5

4

7

6

1

0

3

2

14

15

12

13

10

11

8

9

6

7

4

5

2

3

0

1

7

6

5

4

3

2

1

0

15

14

13

12

11

10

9

8

4

5

6

7

0

1

2

3

12

13

14

15

8

9

10

11

1

0

3

2

5

4

7

6

9

8

11

10

13

12

15

14

2

3

0

1

6

7

4

5

10

11

8

9

14

15

12

13

 

Рис. 8

 

Квадрат № 4

 

0

1

2

3

4

5

6

7