ПОСТРОЕНИЕ ИДЕАЛЬНЫХ КВАДРАТОВ 15-ого ПОРЯДКА

 

С ПОМОЩЬЮ ДВУХ ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ

 

Часть I

 

Продолжаю исследовать метод построения идеальных квадратов нечётного порядка с помощью двух ортогональных латинских квадратов. Рекомендую читателям данной страницы посмотреть все предыдущие статьи на эту тему, начиная с этой:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/chebpan.htm

 

Остановлюсь подробно на построении идеальных квадратов 15-ого порядка, как наиболее сложных в серии порядков n=3*(2k+1), k=1, 2, 3… Именно эти идеальные квадраты вызвали много затруднений при их построении, и не только у меня.

После того, как я очень подробно рассмотрела метод построения  с использованием латинских квадратов на примерах квадратов меньших нечётных порядков, а именно: пятого, седьмого и девятого, мне многое стало понятно.

 

Итак, в указанной выше статье приведён пример разложения идеального квадрата 15-ого порядка на два латинских квадрата. Продублирую этот пример здесь. На рис. 1 вы видите идеальный квадрат, а на рис. 2-3 два латинских квадрата, на которые он раскладывается.

 

1

87

103

174

20

31

192

208

54

125

136

222

73

114

155

171

17

44

190

203

51

122

149

220

68

111

152

14

85

98

187

198

49

135

146

217

63

109

165

11

82

93

169

30

41

132

148

219

65

106

162

13

84

95

166

27

43

189

200

46

62

119

160

8

81

92

179

25

38

186

197

59

130

143

216

3

79

105

176

22

33

184

210

56

127

138

214

75

116

157

178

24

35

181

207

58

129

140

211

72

118

159

5

76

102

194

205

53

126

137

224

70

113

156

2

89

100

173

21

32

124

150

221

67

108

154

15

86

97

168

19

45

191

202

48

69

110

151

12

88

99

170

16

42

193

204

50

121

147

223

10

83

96

167

29

40

188

201

47

134

145

218

66

107

164

180

26

37

183

199

60

131

142

213

64

120

161

7

78

94

185

196

57

133

144

215

61

117

163

9

80

91

177

28

39

128

141

212

74

115

158

6

77

104

175

23

36

182

209

55

71

112

153

4

90

101

172

18

34

195

206

52

123

139

225

 

Рис. 1

 

Примечание: данный идеальный квадрат построен методом нестандартных качелей (начальная цепочка не строится ходом шахматного коня), шаги качания качелей 2+11 (через 2 ячейки вправо, через 11 ячеек влево).

 

 

0

5

6

11

1

2

12

13

3

8

9

14

4

7

10

11

1

2

12

13

3

8

9

14

4

7

10

0

5

6

12

13

3

8

9

14

4

7

10

0

5

6

11

1

2

8

9

14

4

7

10

0

5

6

11

1

2

12

13

3

4

7

10

0

5

6

11

1

2

12

13

3

8

9

14

0

5

6

11

1

2

12

13

3

8

9

14

4

7

10

11

1

2

12

13

3

8

9

14

4

7

10

0

5

6

12

13

3

8

9

14

4

7

10

0

5

6

11

1

2

8

9

14

4

7

10

0

5

6

11

1

2

12

13

3

4

7

10

0

5

6

11

1

2

12

13

3

8

9

14

0

5

6

11

1

2

12

13

3

8

9

14

4

7

10

11

1

2

12

13

3

8

9

14

4

7

10

0

5

6

12

13

3

8

9

14

4

7

10

0

5

6

11

1

2

8

9

14

4

7

10

0

5

6

11

1

2

12

13

3

4

7

10

0

5

6

11

1

2

12

13

3

8

9

14

 

Рис. 2

 

0

11

12

8

4

0

11

12

8

4

0

11

12

8

4

5

1

13

9

7

5

1

13

9

7

5

1

13

9

7

6

2

3

14

10

6

2

3

14

10

6

2

3

14

10

11

12

8

4

0

11

12

8

4

0

11

12

8

4

0

1

13

9

7

5

1

13

9

7

5

1

13

9

7

5

2

3

14

10

6

2

3

14

10

6

2

3

14

10

6

12

8

4

0

11

12

8

4

0

11

12

8

4

0

11

13

9

7

5

1

13

9

7

5

1

13

9

7

5

1

3

14

10

6

2

3

14

10

6

2

3

14

10

6

2

8

4

0

11

12

8

4

0

11

12

8

4

0

11

12

9

7

5

1

13

9

7

5

1

13

9

7

5

1

13

14

10

6

2

3

14

10

6

2

3

14

10

6

2

3

4

0

11

12

8

4

0

11

12

8

4

0

11

12

8

7

5

1

13

9

7

5

1

13

9

7

5

1

13

9

10

6

2

3

14

10

6

2

3

14

10

6

2

3

14

 

Рис. 3

 

С этой схемы и начну. Совершенно очевидно, как составляется первый латинский квадрат и как из первого латинского квадрата получается второй латинский квадрат. Символьную матрицу покажу позже. Удобнее всё-таки составлять программу не для символьной матрицы, а так, как я делала это для квадратов 5-ого и 9-ого порядков. Напомню: на первом этапе в программе составляется первый латинский квадрат по конкретной схеме из приведённого примера. Кроме того, этот квадрат (как и второй латинский квадрат) должен являться нетрадиционным идеальным магическим квадратом с магической константой 105. На втором этапе составляется второй латинский квадрат ортогональный первому латинскому квадрату. На третьем этапе из двух составленных латинских квадратов по известной уже читателям формуле строится идеальный квадрат.

Надо отметить, что в этом случае оба квадрата являются обобщёнными латинскими квадратами.

 

Программа составлена быстро, потому что у меня есть уже несколько вариантов аналогичных программ, которые были составлены при построении идеальных квадратов 5-ого и 9-ого порядков. Но в отличие от маленьких квадратиков программа для квадратов 15-ого порядка выполняется очень долго, и поэтому я не выполняю её до конца. Мне достаточно несколько первых решений. Если выполнить программу полностью, решений будет очень много. Показываю два решения, стоящие в файле рядом, n-ое и (n+1)-ое. Смотрите эти идеальные квадраты на рис. 4 и на рис. 5.

 

1

147

163

170

204

31

192

28

50

69

76

222

133

110

99

175

209

32

186

23

55

74

77

216

128

115

104

2

141

158

191

18

49

75

82

221

123

109

105

7

146

153

169

210

37

72

88

215

129

106

102

13

140

159

166

207

43

185

24

46

134

107

96

8

145

164

167

201

38

190

29

47

66

83

220

3

139

165

172

206

33

184

30

52

71

78

214

135

112

101

178

200

39

181

27

58

65

84

211

132

118

95

9

136

162

182

21

53

70

89

212

126

113

100

14

137

156

173

205

44

64

90

217

131

108

94

15

142

161

168

199

45

187

26

48

125

114

91

12

148

155

174

196

42

193

20

54

61

87

223

6

143

160

179

197

36

188

25

59

62

81

218

130

119

92

180

202

41

183

19

60

67

86

213

124

120

97

11

138

154

189

16

57

73

80

219

121

117

103

5

144

151

177

208

35

68

85

224

122

111

98

10

149

152

171

203

40

194

17

51

127

116

93

4

150

157

176

198

34

195

22

56

63

79

225

 

Рис. 4

 

1

87

163

170

204

31

192

28

50

69

136

222

133

110

99

171

209

32

190

23

51

74

137

220

128

111

104

2

85

158

191

18

49

75

142

221

123

109

105

7

86

153

169

210

37

72

148

215

129

106

102

13

80

159

166

207

43

185

24

46

134

107

100

8

81

164

167

205

38

186

29

47

70

143

216

3

79

165

172

206

33

184

30

52

71

138

214

135

112

101

178

200

39

181

27

58

65

144

211

132

118

95

9

76

162

182

25

53

66

149

212

130

113

96

14

77

160

173

201

44

64

150

217

131

108

94

15

82

161

168

199

45

187

26

48

125

114

91

12

88

155

174

196

42

193

20

54

61

147

223

10

83

156

179

197

40

188

21

59

62

145

218

126

119

92

180

202

41

183

19

60

67

146

213

124

120

97

11

78

154

189

16

57

73

140

219

121

117

103

5

84

151

177

208

35

68

141

224

122

115

98

6

89

152

175

203

36

194

17

55

127

116

93

4

90

157

176

198

34

195

22

56

63

139

225

 

Рис. 5

 

Очевидно, что в этих идеальных квадратах форма начальной цепочки точно такая же, как в квадрате на рис. 1.

 

Посмотрите, как похожи построенные программой квадраты! Просто грех не показать комбинированное преобразование “плюс-минус …”, которым они связаны. На рис. 6 вы видите матрицу этого “идеального” преобразования; я называю так подобные преобразования за то, что они сохраняют идеальность квадрата.

 

 

-60

 

 

 

 

 

 

 

 

+60

 

 

 

 

-4

 

 

+4

 

-4

 

+60

+4

 

-4

 

 

-56

 

 

 

 

 

+60

 

 

 

 

 

-60

 

 

 

 

 

+60

 

 

 

 

 

-60

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+4

 

-64

 

 

+4

 

-4

 

 

+4

+60

-4

 

-60

 

 

 

 

 

 

 

 

+60

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+60

 

 

 

 

 

-60

 

 

+4

 

-4

+60

 

+4

 

-4

 

-60

+4

 

-4

 

 

+60

 

 

 

 

 

-60

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-60

 

 

 

 

 

 

 

 

+60

 

+4

-60

-4

 

 

+4

 

-4

 

 

+64

 

-4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+60

 

 

 

 

 

-60

 

 

 

 

 

+60

 

 

 

 

 

-60

 

 

 

 

 

+56

 

 

+4

 

-4

-60

 

+4

 

-4

 

 

+4

 

 

 

 

-60

 

 

 

 

 

 

 

 

+60

 

 

Рис. 6

 

Удивительно красивое преобразование! Наложите эту матрицу на идеальный квадрат с рис. 4, выполните все действия с числами, попавшими в закрашенные ячейки, и вы получите идеальный квадрат с рис. 5.

 

А теперь ещё раз напомню связь данного метода с методом качелей. Эту связь я уже несколько раз отмечала в других статьях. На рис. 7 вы видите образующую таблицу идеального квадрата с рис. 1, сформированную при построении этого квадрата методом качелей.

 

-3

1

87

103

174

20

31

192

208

54

125

136

222

73

114

155

-2

4

90

101

172

18

34

195

206

52

123

139

225

71

112

153

-3

6

77

104

175

23

36

182

209

55

128

141

212

74

115

158

2

9

80

91

177

28

39

185

196

57

133

144

215

61

117

163

-3

7

78

94

180

26

37

183

199

60

131

142

213

64

120

161

-2

10

83

96

167

29

40

188

201

47

134

145

218

66

107

164

-3

12

88

99

170

16

42

193

204

50

121

147

223

69

110

151

13

15

86

97

168

19

45

191

202

48

124

150

221

67

108

154

-3

2

89

100

173

21

32

194

205

53

126

137

224

70

113

156

2

5

76

102

178

24

35

181

207

58

129

140

211

72

118

159

-5

3

79

105

176

22

33

184

210

56

127

138

214

75

116

157

-5

8

81

92

179

25

38

186

197

59

130

143

216

62

119

160

2

13

84

95

166

27

43

189

200

46

132

148

219

65

106

162

-3

11

82

93

169

30

41

187

198

49

135

146

217

63

109

165

13

14

85

98

171

17

44

190

203

51

122

149

220

68

111

152

 

k=0

k=5

k=6

k=11

k=1

k=2

k=12

k=13

k=3

k=8

k=9

k=14

k=4

k=7

k=10

 

Рис. 7

 

Посмотрите на первую строку первого латинского квадрата (рис. 2). В этой строке записаны номера циклов качания качелей, в точности так, как они записаны в последней строке образующей таблицы. Далее первый латинский квадрат заполняется так: всем числам идеального квадрата из набора, соответствующего номеру k=5, в латинском квадрате соответствует число 5, всем числам идеального квадрата следующего цикла качания качелей (k=6) в латинском квадрате соответствует число 6 и так далее. В идеальном квадрате на рис. 1 и в соответствующем ему первом латинском квадрате на рис. 2 эта связь показана раскраской.

 

Осталось показать, какой идеальный квадрат получится, если поменять местами первый и второй латинские квадраты в формуле. Этот идеальный квадрат вы видите на рис. 8.

 

1

171

187

132

62

3

178

194

124

69

10

180

185

128

71

87

17

198

148

119

79

24

205

150

110

83

26

196

141

112

103

44

49

219

160

105

35

53

221

151

96

37

57

212

153

174

190

135

65

8

176

181

126

67

12

167

183

133

74

4

20

203

146

106

81

22

207

137

108

88

29

199

144

115

90

31

51

217

162

92

33

58

224

154

99

40

60

215

158

101

192

122

63

13

179

184

129

70

15

170

188

131

61

6

172

208

149

109

84

25

210

140

113

86

16

201

142

117

77

18

54

220

165

95

38

56

211

156

97

42

47

213

163

104

34

125

68

11

166

186

127

72

2

168

193

134

64

9

175

195

136

111

82

27

197

138

118

89

19

204

145

120

80

23

206

222

152

93

43

59

214

159

100

45

50

218

161

91

36

52

73

14

169

189

130

75

5

173

191

121

66

7

177

182

123

114

85

30

200

143

116

76

21

202

147

107

78

28

209

139

155

98

41

46

216

157

102

32

48

223

164

94

39

55

225

 

Рис. 8

 

Как видите, получился эквивалентный квадрат.

 

Сформируем символьную матрицу для данной схемы подобно тому, как это было показано для квадратов 7-ого порядка. Поскольку здесь символов более чем в два раза больше, применю комплементарные символы. Это символы, дополняющие друг друга до 14. Например:

 

A’ = 14 – A   B’ = 14 – B    C’ = 14 – C

 

            и так далее.

Символьная матрица представлена на рис. 9.

 

fF’

e’C’

d’A

c’D

b’G

a’F’

aC’

bA

cD

dG

eF’

fC’

gA

hD

g’G

C’E’

B’B’

A’B

AE

BH

CE’

DB’

EB

FE

GH

HE’

G’B’

F’B

E’E

D’H

AD’

BA’

CC

DF

EG’

FD’

GA’

HC

G’F

F’G’

E’D’

D’A’

C’C

B’F

A’G’

DC’

EA

FD

GG

HF’

G’C’

F’A

E’D

D’G

C’F’

B’C’

A’A

AD

BG

CF’

GB’

HB

G’E

F’H

E’E’

D’B’

C’B

B’E

A’H

AE’

BB’

CB

DE

EH

FE’

F’A’

E’C

D’F

C’G’

B’D’

A’A’

AC

BF

CG’

DD’

EA’

FC

GF

HG’

G’D’

C’A

B’D

A’G

AF’

BC’

CA

DD

EG

FF’

GC’

HA

G’D

F’G

E’F’

D’C’

AB

BE

CH

DE’

EB’

FB

GE

HH

G’E’

F’B’

E’B

D’E

C’H

B’E’

A’B’

DC

EF

FG’

GD’

HA’

G’C

F’F

E’G’

D’D’

C’A’

B’C

A’F

AG’

BD’

CA’

GD

HG

G’F’

F’C’

E’A

D’D

C’G

B’F’

A’C’

AA

BD

CG

DF’

EC’

FA

F’E

E’H

D’E’

C’B’

B’B

A’E

AH

BE’

CB’

DB

EE

FH

GE’

HB’

G’B

C’F

B’G’

A’D’

AA’

BC

CF

DG’

ED’

FA’

GC

HF

G’G’

F’D’

E’A’

D’C

AG

BF’

CC’

DA

ED

FG

GF’

HC’

G’A

F’D

E’G

D’F’

C’C’

B’A

A’D

DH

EE’

FB’

GB

HE

G’H

F’E’

E’B’

D’B

C’E

B’H

A’E’

AB’

BB

CE

GG’

HD’

G’A’

F’C

E’F

D’G’

C’D’

B’A’

A’C

AF

BG’

CD’

DA’

EC

FF

 

Рис. 9

 

Значения основных символов в этой матрице для идеального квадрата с рис. 1 таковы: A=12, B=13, C=3, D=8, E=9, F=14, G=4, H=7. Как вычисляются комплементарные символы, ясно из приведённого выше примера.

Чтобы построить с помощью данной матрицы другие идеальные квадраты, надо варьировать значения символов. Неизменным должно оставаться только значение символа Н. Значения всех варьируемых символов могут принимать значения от 0 до 14, исключая число 7, так как это число закреплено за символом Н. Можете посчитать, сколько вариантов должна рассмотреть программа.

Составить программу очень просто. Надо организовать вложенные циклы по всем варьируемым символам и запрограммировать составление матрицы. Напомню формулу, по которой вычисляются элементы матрицы:

 

DA = 15*D’ + A + 1 = 15*(14 – D) + A + 1 = 103.

 

По такой программе вы сможете построить очень много идеальных квадратов. Все они будут подобны идеальному квадрату с рис. 1.

 

Следует отметить, что два способа составления программы, которые здесь представлены, по сути одинаковы, и обе программы дадут одинаковые результаты. Так что выбирайте, какой способ вам больше нравится.

Понятно, что и метод качелей (если составить программу по приведённой на рис. 7 образующей таблице) даст точно такую же группу идеальных квадратов. Это следует из установленной связи между двумя методами: методом качелей и методом построения с помощью латинских квадратов.

 

Никак не могу понять, почему такой простой метод построения идеальных квадратов 15-ого порядка не был замечен ни Хендриксом, ни кем-либо ещё. Ведь Хендрикс, как я уже писала, точно строил свои пандиагональные квадраты 15-ого порядка с помощью латинских квадратов. Может быть, всё дело в том, что никому не была известна схема составления латинских квадратов для построения идеальных квадратов? Заметьте, что, как и прежде, я иду от известного мне идеального квадрата. Только разложив его на латинские квадраты, я узнаю схему составления латинских квадратов. Ну, или могу составить первый латинский квадрат, используя известные (опять же!) номера циклов качания качелей. Но дальше не знаю, как получить второй латинский квадрат. Возможно, существуют методы построения ортогональных латинских квадратов, до которых я пока так и не добралась. Всё это очень интересно исследовать глубже.

 

Ещё более интересно получить другие схемы составления латинских квадратов, чтобы построить новые группы идеальных квадратов 15-ого порядка. При разработке метода качелей я установила, что для квадратов 15-ого порядка возможны такие шаги качания качелей: 1+12, 2+11, 3+10, 4+9, 5+8, 6+7, ну и, как вы уже знаете, симметричные шаги: 7+6, 8+5, 9+4, 10+3, 11+2, 12+1. Как мне помнится, не все виды были построены методом качелей. Один из видов был только что построен с помощью обобщённых латинских квадратов. Понятно, что все те виды, которые мне удалось построить методом качелей, я смогу построить и с помощью латинских квадратов. А вот как быть с теми видами, которые не были построены методом качелей? Интересный вопрос! Поищите-ка на него ответ.

 

ВТОРАЯ СХЕМА

 

Представлю самый первый идеальный квадрат 15-ого порядка, который мне удалось построить методом качелей. Разумеется, составленная программа выдала очень много решений, я даже не выполнила её до конца. Этот квадрат построен в статье http://www.klassikpoez.narod.ru/idealob2.htm

Копирую его из этой статьи (рис. 10):

 

34

22

86

120

136

200

189

57

93

152

216

8

70

134

178

102

153

212

6

68

130

179

43

19

82

116

150

196

185

54

28

79

112

146

210

181

50

99

162

213

2

66

128

175

44

159

222

3

62

126

173

40

29

88

109

142

206

195

46

95

89

118

139

202

191

60

91

155

219

12

63

122

171

38

25

215

9

72

123

167

36

23

85

119

148

199

187

56

105

151

115

149

208

184

52

101

165

211

5

69

132

168

32

21

83

1

65

129

177

33

17

81

113

145

209

193

49

97

161

225

143

205

194

58

94

157

221

15

61

125

174

42

18

77

111

75

121

170

39

27

78

107

141

203

190

59

103

154

217

11

201

188

55

104

163

214

7

71

135

166

35

24

87

108

137

131

180

31

20

84

117

138

197

186

53

100

164

223

4

67

182

51

98

160

224

13

64

127

176

45

16

80

114

147

198

172

41

30

76

110

144

207

183

47

96

158

220

14

73

124

48

92

156

218

10

74

133

169

37

26

90

106

140

204

192

 

                                                                      Рис. 10

 

Квадрат построен стандартными качелями, начальная цепочка имеет форму “ход конём”. Шаги качания качелей таковы: 6+7 (через 6 ячеек влево, через 7 ячеек вправо). Это ещё один из перечисленных выше видов идеальных квадратов 15-ого порядка.

Теперь интересный момент: я не буду сразу раскладывать этот идеальный квадрат на два латинских квадрата, а попробую составить первый латинский квадрат по образующей таблице квадрата (таблица эта есть в указанной статье). В нижней строке образующей таблицы записаны номера циклов качания качелей, их и запишем в первую строку первого латинского квадрата (число 0 надо записать в ячейку, соответствующую числу из начальной цепочки, то есть числу 8). А дальше формируем латинский квадрат так, как было рассказано выше. На рис. 11 вы видите готовый первый латинский квадрат.

 

2

1

5

7

9

13

12

3

6

10

14

0

4

8

11

6

10

14

0

4

8

11

2

1

5

7

9

13

12

3

1

5

7

9

13

12

3

6

10

14

0

4

8

11

2

10

14

0

4

8

11

2

1

5

7

9

13

12

3

6

5

7

9

13

12

3

6

10

14

0

4

8

11

2

1

14

0

4

8

11

2

1

5

7

9

13

12

3

6

10

7

9

13

12

3

6

10

14

0

4

8

11

2

1

5

0

4

8

11

2

1

5

7

9

13

12

3

6

10

14

9

13

12

3

6

10

14

0

4

8

11

2

1

5

7

4

8

11

2

1

5

7

9

13

12

3

6

10

14

0

13

12

3

6

10

14

0

4

8

11

2

1

5

7

9

8

11

2

1

5

7

9

13

12

3

6

10

14

0

4

12

3

6

10

14

0

4

8

11

2

1

5

7

9

13

11

2

1

5

7

9

13

12

3

6

10

14

0

4

8

3

6

10

14

0

4

8

11

2

1

5

7

9

13

12

 

Рис. 11

 

Первый латинский квадрат получился! Это по-прежнему нетрадиционный идеальный магический квадрат с магической константой 105. Очевидно, что составляется этот латинский квадрат не так, как было показано в первом примере. Интересно отметить, что сейчас латинский квадрат получился не обобщённым, а нормальным (это значит, что любой элемент от 0 до 14 встречается в каждой строке и в каждом столбце квадрата только один раз).

 

 Как составить второй латинский квадрат ортогональный первому латинскому квадрату? Никак не доберусь до изучения методов составления ортогональных латинских квадратов. Поэтому прибегну к уже известному методу: найду дополнительный латинский квадрат, который в сумме с первым (по известной формуле) даёт идеальный квадрат с рис. 10. На рис. 12 вы видите этот квадрат.

 

3

6

10

14

0

4

8

11

2

1

5

7

9

13

12

11

2

1

5

7

9

13

12

3

6

10

14

0

4

8

12

3

6

10

14

0

4

8

11

2

1

5

7

9

13

8

11

2

1

5

7

9

13

12

3

6

10

14

0

4

13

12

3

6

10

14

0

4

8

11

2

1

5

7

9

4

8

11

2

1

5

7

9

13

12

3

6

10

14

0

9

13

12

3

6

10

14

0

4

8

11

2

1

5

7

0

4

8

11

2

1

5

7

9

13

12

3

6

10

14

7

9

13

12

3

6

10

14

0

4

8

11

2

1

5

14

0

4

8

11

2

1

5

7

9

13

12

3

6

10

5

7

9

13

12

3

6

10

14

0

4

8

11

2

1

10

14

0

4

8

11

2

1

5

7

9

13

12

3

6

1

5

7

9

13

12

3

6

10

14

0

4

8

11

2

6

10

14

0

4

8

11

2

1

5

7

9

13

12

3

2

1

5

7

9

13

12

3

6

10

14

0

4

8

11

 

Рис. 12

 

Очевидно, что второй латинский квадрат получается из первого отражением относительно горизонтальной оси симметрии. Он тоже является нетрадиционным идеальным магическим квадратов с магической константой 105.

И вторая схема составления латинских квадратов готова. Можно сформировать символьную матрицу, подобную матрице на рис. 9. Но я буду составлять программу первым способом, тем более что мне достаточно внести в имеющуюся у меня программу (для первой схемы) небольшие корректировки, касающиеся составления первого и второго латинских квадратов. И по этой программе я получу новую группу идеальных квадратов 15-ого порядка.

 

***

Программу откорректировала и выполнила; разумеется, не полностью. Получила сотню идеальных квадратов и прервала выполнение программы, потому что выполняться она будет очень долго. Покажу два решения, выбранных произвольно (рис. 13 и рис. 14).

 

103

59

146

120

76

170

122

183

202

154

220

8

66

27

39

198

157

214

10

68

21

42

99

58

149

116

90

166

125

182

54

148

119

86

180

121

185

197

153

217

4

70

23

36

102

152

213

7

64

25

38

96

57

144

118

89

176

135

181

200

147

114

88

179

131

195

196

155

212

3

67

19

40

98

51

215

2

63

22

34

100

53

141

117

84

178

134

191

210

151

111

87

174

133

194

206

165

211

5

62

18

37

94

55

143

1

65

17

33

97

49

145

113

81

177

129

193

209

161

225

83

171

132

189

208

164

221

15

61

20

32

93

52

139

115

75

16

35

92

48

142

109

85

173

126

192

204

163

224

11

175

128

186

207

159

223

14

71

30

31

95

47

138

112

79

26

45

91

50

137

108

82

169

130

188

201

162

219

13

74

124

190

203

156

222

9

73

29

41

105

46

140

107

78

172

44

101

60

136

110

77

168

127

184

205

158

216

12

69

28

187

199

160

218

6

72

24

43

104

56

150

106

80

167

123

 

Рис. 13

 

40

27

101

120

121

200

184

141

168

152

217

8

69

59

88

171

153

212

7

68

54

89

43

25

102

116

135

196

185

139

28

100

117

131

210

181

140

169

156

213

2

67

53

84

44

154

216

3

62

52

83

39

29

103

115

132

206

195

136

170

104

118

130

207

191

150

166

155

214

6

63

47

82

38

24

215

4

66

48

77

37

23

99

119

133

205

192

146

180

151

114

134

208

190

147

176

165

211

5

64

51

78

32

22

98

1

65

49

81

33

17

97

113

129

209

193

145

177

161

225

128

204

194

148

175

162

221

15

61

50

79

36

18

92

112

75

46

80

34

21

93

107

127

203

189

149

178

160

222

11

202

188

144

179

163

220

12

71

60

76

35

19

96

108

122

56

90

31

20

94

111

123

197

187

143

174

164

223

10

72

182

142

173

159

224

13

70

57

86

45

16

95

109

126

198

87

41

30

91

110

124

201

183

137