ЕЩЁ РАЗ ОБ ИДЕАЛЬНЫХ КВАДРАТАХ ДЕВЯТОГО ПОРЯДКА

 

 

После того, как я много поработала над методом построения идеальных квадратов чётно-чётного порядка с помощью двух латинских квадратов, возвращаюсь к этому методу для построения идеальных квадратов девятого порядка. Именно на примере квадратов данного порядка удобнее всего продолжить исследования для идеальных квадратов серии порядков n=3*(2k+1), k=1, 2, 3…

 

Не буду здесь указывать те статьи, в которых рассматривался этот вопрос. Читатели найдут эти статьи в содержании книги “Волшебный мир магических квадратов”:

http://www.klassikpoez.narod.ru/glavnaja.htm

 

Суть проблемы состояла в том, что я не понимала, как сформировать первую строку первого латинского квадрата, если не знать заранее начальную цепочку создаваемого идеального квадрата. Всё оказалось очень просто! Пусть эту строку формирует программа простым перебором всех перестановок. Известно, что в этой строке стоят числа от 0 до 8. А каждая следующая строка этого латинского квадрата получается из предыдущей циклическим сдвигом с постоянным шагом. Второй латинский квадрат получается из первого отражением относительно горизонтальной оси симметрии. Вот и все премудрости построения пары ортогональных латинских квадратов, с помощью которых строится идеальный квадрат 9-ого порядка. В одной из статей на эту тему был рассмотрен пример, когда числа в первой строке первого латинского квадрата записываются по порядку (аналогично тому, как это делается при построении идеальных квадратов порядка не кратного 3). Интересный пример, повторю его здесь. В этом случае идеальный квадрат не получается, а получается только ассоциативный квадрат. На рис. 1 и рис. 2 вы видите два ортогональных латинских квадрата, а на рис.  3 – построенный из них ассоциативный квадрат.

 

 

0

8

7

6

5

4

3

2

1

2

1

0

8

7

6

5

4

3

4

3

2

1

0

8

7

6

5

6

5

4

3

2

1

0

8

7

8

7

6

5

4

3

2

1

0

1

0

8

7

6

5

4

3

2

3

2

1

0

8

7

6

5

4

5

4

3

2

1

0

8

7

6

7

6

5

4

3

2

1

0

8

 

Рис. 1

 

7

6

5

4

3

2

1

0

8

5

4

3

2

1

0

8

7

6

3

2

1

0

8

7

6

5

4

1

0

8

7

6

5

4

3

2

8

7

6

5

4

3

2

1

0

6

5

4

3

2

1

0

8

7

4

3

2

1

0

8

7

6

5

2

1

0

8

7

6

5

4

3

0

8

7

6

5

4

3

2

1

 

Рис. 2

 

8

79

69

59

49

39

29

19

18

24

14

4

75

65

55

54

44

34

40

30

20

10

9

80

70

60

50

56

46

45

35

25

15

5

76

66

81

71

61

51

41

31

21

11

1

16

6

77

67

57

47

37

36

26

32

22

12

2

73

72

62

52

42

48

38

28

27

17

7

78

68

58

64

63

53

43

33

23

13

3

74

 

Рис. 3

 

Квадрат на рис. 3 ассоциативный, но не пандиагональный. Обратите внимание на то, что если смотреть на оба латинских квадрата (рис. 1-2) как на нетрадиционные магические квадраты, это ассоциативные квадраты с магической константой 36.

А далее в той же статье приводится пример построения точно таким же способом идеального квадрата. Продублирую и этот пример. На рис. 4 и рис. 5 вы видите два ортогональных латинских квадрата, а на рис. 6 построенный из них идеальный квадрат. Здесь латинские квадраты, участвующие в построении, являются нетрадиционными идеальными магическими квадратами с той же магической константой 36. И строятся они точно по такой же схеме, как два латинских квадрата в первом примере. Всё дело только в первой строке первого латинского квадрата, которая определённым образом связана с начальной цепочкой создаваемого идеального квадрата.

 

0

8

2

5

1

4

7

3

6

3

6

0

8

2

5

1

4

7

4

7

3

6

0

8

2

5

1

5

1

4

7

3

6

0

8

2

8

2

5

1

4

7

3

6

0

6

0

8

2

5

1

4

7

3

7

3

6

0

8

2

5

1

4

1

4

7

3

6

0

8

2

5

2

5

1

4

7

3

6

0

8

 

Рис. 4

 

2

5

1

4

7

3

6

0

8

1

4

7

3

6

0

8

2

5

7

3

6

0

8

2

5

1

4

6

0

8

2

5

1

4

7

3

8

2

5

1

4

7

3

6

0

5

1

4

7

3

6

0

8

2

4

7

3

6

0

8

2

5

1

3

6

0

8

2

5

1

4

7

0

8

2

5

1

4

7

3

6

 

Рис. 5

 

3

78

20

50

17

40

70

28

63

29

59

8

76

25

46

18

39

69

44

67

34

55

9

75

24

47

14

52

10

45

66

33

56

5

80

22

81

21

51

11

41

71

31

61

1

60

2

77

26

49

16

37

72

30

68

35

58

7

73

27

48

15

38

13

43

64

36

57

6

74

23

53

19

54

12

42

65

32

62

4

79

 

Рис. 6

 

Предполагаю, что возможен и третий вариант: построение такого квадрата, который будет пандиагональным, но не ассоциативным (как пандиагональные квадраты Хендрикса, помните?).

 

Теперь дело за программой. Сейчас напишу программу и посмотрю, какие идеальные и пандиагональные квадраты она построит. Ассоциативные квадраты не буду рассматривать, как мало интересный случай. Один из ассоциативных квадратов уже показан (рис. 3).

 

Программу написала. Сначала выполнила её без проверки ассоциативности строящихся квадратов, то есть получила все пандиагональные квадраты, среди которых, разумеется, находятся и идеальные. Программа выдала 2592 пандиагональных квадрата! Приведу два из них, первый и последний (рис. 7-8).

 

Квадрат № 1

 

3

14

24

40

54

34

80

55

65

60

67

9

16

26

37

47

30

77

36

79

62

64

2

12

23

42

49

44

46

29

75

59

69

4

18

25

11

21

41

51

31

81

61

71

1

68

6

13

27

43

53

28

74

57

76

63

70

8

10

20

39

50

33

52

35

73

56

66

5

15

22

45

19

38

48

32

78

58

72

7

17

 

Рис. 7

 

Квадрат № 2592

 

79

68

58

42

28

48

2

27

17

22

15

73

66

56

45

35

52

5

46

3

20

18

80

70

59

40

33

38

36

53

7

23

13

78

64

57

71

61

41

31

51

1

21

11

81

14

76

69

55

39

29

54

8

25

6

19

12

74

72

62

43

32

49

30

47

9

26

16

77

67

60

37

63

44

34

50

4

24

10

75

65

 

Рис. 8

 

Вот сколько пандиагональных квадратов! Во всех этих квадратах начальная цепочка имеет форму “ход конём”. И что самое интересное: во всех квадратах работают качели. Теперь я почти уверена, что Хендрикс строил все свои пандиагональные квадраты данным методом, то есть с помощью двух ортогональных латинских квадратов. Наверное, у него была аналогичная моей программа. И не получил он идеальные квадраты просто потому, что совсем ничего о них не знал, а ставил перед собой цель построения пандиагональных квадратов. Если бы он вставил в свою программу блок проверки ассоциативности строящихся квадратов, то получил бы идеальные квадраты.

Именно это я сейчас и сделаю: вставляю в программу блок проверки ассоциативности строящихся пандиагональных квадратов. Очень интересно, сколько же среди 2592 пандиагональных квадратов будет идеальных. Сейчас выполню новый вариант программы и посмотрю.

 

Вот они, идеальные квадратики! Их всего 48. Покажу здесь три квадрата из файла, в который они записаны программой. Все 48 квадратов можно посмотреть здесь:

 

http://www.natalimak1.narod.ru/mk/id9pril.htm

 

1

 3  78  20  50  17  40  70  28  63

 29  59  8  76  25  46  18  39  69

 44  67  34  55  9  75  24  47  14

 52  10  45  66  33  56  5  80  22

 81  21  51  11  41  71  31  61  1

 60  2  77  26  49  16  37  72  30

 68  35  58  7  73  27  48  15  38

 13  43  64  36  57  6  74  23  53

 19  54  12  42  65  32  62  4  79

 2

 3  80  22  68  33  38  52  10  63

 13  59  6  74  25  64  36  39  53

 42  47  16  55  9  75  26  67  32

 70  28  45  48  17  58  5  78  20

 81  21  71  31  41  51  11  61  1

 62  4  77  24  65  34  37  54  12

 50  15  56  7  73  27  66  35  40

 29  43  46  18  57  8  76  23  69

 19  72  30  44  49  14  60  2  79

 3

 7  78  56  50  17  40  66  28  27

 29  23  8  76  57  46  18  43  69

 44  67  30  19  9  79  60  47  14

 48  10  45  70  33  20  5  80  58

 81  61  51  11  41  71  31  21  1

 24  2  77  62  49  12  37  72  34

 68  35  22  3  73  63  52  15  38

 13  39  64  36  25  6  74  59  53

 55  54  16  42  65  32  26  4  75

 

Как видите, квадрат № 1 – это квадрат с рис. 6. Помещу квадрат № 3 в матрицу для большей наглядности (рис. 9):

 

7

78

56

50

17

40

66

28

27

29

23

8

76

57

46

18

43

69

44

67

30

19

9

79

60

47

14

48

10

45

70

33

20

5

80

58

81

61

51

11

41

71

31

21

1

24

2

77

62

49

12

37

72

34

68

35

22

3

73

63

52

15

38

13

39

64

36

25

6

74

59

53

55

54

16

42

65

32

26

4

75

 

Рис. 9

 

Здесь тоже интересно посмотреть на параллельные переносы на торе. Можно ли, например, идеальный квадрат с рис. 9 сделать начинающимся с числа 1, применив параллельный перенос на торе? Ответ отрицательный. Квадрат при таком преобразовании сохранит пандиагональность, но утратит ассоциативность. Смотрите на полученный квадрат (рис. 10):

 

1

21

31

71

41

11

51

61

81

34

72

37

12

49

62

77

2

24

38

15

52

63

73

3

22

35

68

53

59

74

6

25

36

64

39

13

75

4

26

32

65

42

16

54

55

27

28

66

40

17

50

56

78

7

69

43

18

46

57

76

8

23

29

14

47

60

79

9

19

30

67

44

58

80

5

20

33

70

45

10

48

 

Рис. 10

 

Этот пандиагональный квадрат я превращаю в идеальный преобразованием “строки-диагонали”. Смотрите новый идеальный квадрат на рис. 11. Этот идеальный квадрат хорош тем, что начинается с числа 1.

 

1

42

80

64

60

35

46

24

17

50

21

16

5

39

79

68

57

34

72

56

31

54

20

13

9

38

76

8

37

78

71

55

33

53

19

15

52

23

12

7

41

75

70

59

30

67

63

29

49

27

11

4

45

74

6

44

73

69

62

28

51

26

10

48

25

14

3

43

77

66

61

32

65

58

36

47

22

18

2

40

81

 

Рис. 11

 

И получился принципиально новый идеальный квадрат, в котором начальная цепочка не строится ходом шахматного коня. С точки зрения метода качелей изменились шаги качания качелей.

А для этого идеального квадрата тоже ведь существуют два ортогональных латинских квадрата, из которых он может быть построен. И тут мы имеем новую группу идеальных квадратов, которой соответствует совсем другая схема составления латинских квадратов.

 

Примечание: можно здесь исследовать и вопрос перестановок строк и столбцов. Сколько, например, из идеального квадрата с рис. 11 можно получить других идеальных квадратов перестановками строк и/или столбцов? Программы перестановки строк и столбцов у меня есть, но нужно время на их выполнение.

 

Чтобы узнать, как именно составляются латинские квадраты для новой группы идеальных квадратов, разложу имеющийся у меня квадрат этой группы (рис. 11) на два латинских квадрата. Вы видите эти квадраты на рис. 12 и рис. 13.

 

 

0

4

8

7

6

3

5

2

1

5

2

1

0

4

8

7

6

3

7

6

3

5

2

1

0

4

8

0

4

8

7

6

3

5

2

1

5

2

1

0

4

8

7

6

3

7

6

3

5

2

1

0

4

8

0

4

8

7

6

3

5

2

1

5

2

1

0

4

8

7

6

3

7

6

3

5

2

1

0

4

8

 

Рис. 12

 

0

5

7

0

5

7

0

5

7

4

2

6

4

2

6

4

2

6

8

1

3

8

1

3

8

1

3

7

0

5

7

0

5

7

0

5

6

4

2

6

4

2

6

4

2

3

8

1

3

8

1

3

8

1

5

7

0

5

7

0

5

7

0

2

6

4

2

6

4

2

6

4

1

3

8

1

3

8

1

3

8

 

Рис. 13

 

И схема составления латинских квадратов совершенно понятна! В первой строке первого латинского квадрата по-прежнему записываются числа от 0 до 8. Каждая следующая строка первого латинского квадрата получается из предыдущей тоже циклическим сдвигом с постоянным шагом, но только шаг здесь другой (имеем как раз случай циклической перестановки троек, отмеченный Чебраковым). Ну, а второй латинский квадрат получается из первого поворотом на 90 градусов с последующим отражением.

Оба латинских квадрата по-прежнему являются нетрадиционными идеальными магическими квадратами с магической константой 36.

 

Теперь надо написать новый вариант программы. Точно так же, как в приведённом выше примере, здесь возможно построение пандиагональных, но не идеальных квадратов. Не буду рассматривать не идеальные квадраты, сразу вставлю в программу блок проверки ассоциативности строящихся квадратов. Интересно, сколько идеальных квадратов будет в этой группе.

 

И опять получаю 48 идеальных квадратов! Вот такие чудеса. Покажу 7 первых квадратов, записанных программой в файл:

 

1

 1  44  78  46  26  15  64  62  33

 68  61  30  5  43  75  50  25  12

 54  22  11  72  58  29  9  40  74

 6  37  80  51  19  17  69  55  35

 66  59  34  3  41  79  48  23  16

 47  27  13  65  63  31  2  45  76

 8  42  73  53  24  10  71  60  28

 70  57  32  7  39  77  52  21  14

 49  20  18  67  56  36  4  38  81

 2

 1  44  78  46  62  15  64  26  33

 68  21  34  5  39  79  50  57  16

 54  58  11  72  22  29  9  40  74

 6  37  80  51  55  17  69  19  35

 70  23  30  7  41  75  52  59  12

 47  63  13  65  27  31  2  45  76

 8  42  73  53  60  10  71  24  28

 66  25  32  3  43  77  48  61  14

 49  56  18  67  20  36  4  38  81

 3

 1  42  80  64  24  35  46  60  17

 50  61  12  5  43  75  68  25  30

 72  20  31  54  56  13  9  38  76

 8  37  78  71  19  33  53  55  15

 48  59  16  3  41  79  66  23  34

 67  27  29  49  63  11  4  45  74

 6  44  73  69  26  28  51  62  10

 52  57  14  7  39  77  70  21  32

 65  22  36  47  58  18  2  40  81

 

 4

 1  42  80  64  60  35  46  24  17

 50  21  16  5  39  79  68  57  34

 72  56  31  54  20  13  9  38  76

 8  37  78  71  55  33  53  19  15

 52  23  12  7  41  75  70  59  30

 67  63  29  49  27  11  4  45  74

 6  44  73  69  62  28  51  26  10

 48  25  14  3  43  77  66  61  32

 65  58  36  47  22  18  2  40  81

 5

 11  45  67  29  27  4  74  63  49

 77  61  48  14  43  66  32  25  3

 35  24  1  80  60  46  17  42  64

 13  38  72  31  20  9  76  56  54

 75  59  52  12  41  70  30  23  7

 28  26  6  73  62  51  10  44  69

 18  40  65  36  22  2  81  58  47

 79  57  50  16  39  68  34  21  5

 33  19  8  78  55  53  15  37  71

 6

 11  45  67  29  63  4  74  27  49

 77  21  52  14  39  70  32  57  7

 35  60  1  80  24  46  17  42  64

 13  38  72  31  56  9  76  20  54

 79  23  48  16  41  66  34  59  3

 28  62  6  73  26  51  10  44  69

 18  40  65  36  58  2  81  22  47

 75  25  50  12  43  68  30  61  5

 33  55  8  78  19  53  15  37  71

 7

 11  43  69  47  7  24  56  79  33

 59  81  28  14  45  64  50  9  19

 53  4  21  62  76  30  17  40  66

 15  38  70  51  2  25  60  74  34

 55  77  36  10  41  72  46  5  27

 48  8  22  57  80  31  12  44  67

 16  42  65  52  6  20  61  78  29

 63  73  32  18  37  68  54  1  23

 49  3  26  58  75  35  13  39  71

 

Все 48 идеальных квадратов этой группы можно посмотреть здесь:

 

http://www.natalimak1.narod.ru/mk/id9pril3.htm

 

Квадрат № 4 – это квадрат с рис. 11. Помещу квадрат № 7 в матрицу (рис. 14):

 

11

43

69

47

7

24

56

79

33

59

81

28

14

45

64

50

9

19

53

4

21

62

76

30

17

40

66

15

38

70

51

2

25

60

74

34

55

77

36

10

41

72

46

5

27

48

8

22

57

80

31

12

44

67

16

42

65

52

6

20

61

78

29

63

73

32

18

37

68

54

1

23

49

3

26

58

75

35

13

39

71

 

Рис. 14

 

 

ТРЕТЬЯ СХЕМА СОСТАВЛЕНИЯ ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ

 

В статье http://www.klassikpoez.narod.ru/chebpan.htm , когда я только начинала исследовать данный метод построения идеальных квадратов 9-ого порядка, приведён такой идеальный квадрат, который разложен на два латинских квадрата (рис. 15):

 

1

24

35

46

60

80

64

42

17

48

61

77

66

43

14

3

25

32

67

45

11

4

27

29

49

63

74

6

26

28

51

62

73

69

44

10

52

59

75

70

41

12

7

23

30

72

38

13

9

20

31

54

56

76

8

19

33

53

55

78

71

37

15

50

57

79

68

39

16

5

21

34

65

40

18

2

22

36

47

58

81

 

Рис. 15

 

В этом идеальном квадрате, по сравнению с квадратами предыдущей группы, симметричные шаги качания качелей. И схема составления первого латинского квадрата в этом случае другая (смотрите в указанной статье на латинские квадраты, соответствующие этому идеальному квадрату). Тоже происходит циклическая перестановка троек, но по-другому. А второй латинский квадрат получается точно так же, как в предыдущем примере: поворот на 90 градусов и отражение относительно оси симметрии. Значит, в программе мне нужно изменить совсем немного: схему составления первого латинского квадрата. И я получаю новую группу идеальных квадратов! Ожидаю, что в ней снова будет 48 квадратов. Сейчас проверю.

 

Всё точно – снова 48 идеальных квадратов. Показываю первые 3 квадрата. Все 48 квадратов можно посмотреть здесь:

 

http://www.natalimak1.narod.ru/mk/id9pril4.htm

 

1

 1  26  15  64  62  78  46  44  33

 66  61  77  48  43  32  3  25  14

 47  45  31  2  27  13  65  63  76

 8  24  10  71  60  73  53  42  28

 70  59  75  52  41  30  7  23  12

 54  40  29  9  22  11  72  58  74

 6  19  17  69  55  80  51  37  35

 68  57  79  50  39  34  5  21  16

 49  38  36  4  20  18  67  56  81

 2

 1  24  35  46  60  80  64  42  17

 48  61  77  66  43  14  3  25  32

 67  45  11  4  27  29  49  63  74

 6  26  28  51  62  73  69  44  10

 52  59  75  70  41  12  7  23  30

 72  38  13  9  20  31  54  56  76

 8  19  33  53  55  78  71  37  15

 50  57  79  68  39  16  5  21  34

 65  40  18  2  22  36  47  58  81

 3

 1  62  15  64  26  78  46  44  33

 70  21  77  52  39  32  7  57  14

 47  45  31  2  63  13  65  27  76

 8  60  10  71  24  73  53  42  28

 66  23  79  48  41  34  3  59  16

 54  40  29  9  58  11  72  22  74

 6  55  17  69  19  80  51  37  35

 68  25  75  50  43  30  5  61  12

 49  38  36  4  56  18  67  20  81

 

Квадрат с рис. 15 выдался программой под № 2.

 

Есть ли ещё схемы составления латинских квадратов, дающие новые группы идеальных квадратов 9-ого порядка? Когда я разрабатывала метод качелей для построения идеальных квадратов нечётного порядка, установила, что для идеальных квадратов 9-ого порядка существуют такие шаги качания качелей: 1+6, 2+5, 3+4 и плюс симметричные шаги: 6+1, 5+2, 4+3. В самой первой группе идеальных квадратов, рассмотренной здесь, представлены квадраты с шагами качания качелей 1+6 (через 1 ячейку влево, через 6 ячеек вправо); во второй группе представлены квадраты с такими шагами: 2+5 (через 2 ячейки влево, через 5 ячеек вправо); в третьей группе представлены квадраты с симметричными шагами: 5+2 (через 5 ячеек влево, через 2 ячейки вправо). Как мы видели, каждой группе идеальных квадратов соответствует своя схема составления латинских квадратов, из которых эти идеальные квадраты строятся. Осталась не представленной группа идеальных квадратов с шагами 3+4 (не считая симметричных шагов качания). Сейчас поищу в своих статьях идеальный квадрат с такими шагами качания качелей (или с симметричными) и представлю эту группу идеальных квадратов.

 

ЧЕТВЁРТАЯ СХЕМА СОСТАВЛЕНИЯ ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ

 

В той же статье http://www.klassikpoez.narod.ru/chebpan.htm нахожу квадрат с нужными шагами качания качелей, но этот квадрат не идеальный, а пандиагональный, то есть в нём нет ассоциативности. Этот квадрат вы видите на рис. 16.

 

5

58

17

48

45

28

70

20

78

36

64

25

74

6

59

13

53

39

60

14

49

44

30

72

19

79

2

66

27

73

7

56

15

50

40

35

11

51

41

31

71

21

81

1

61

26

75

9

55

16

47

42

32

67

52

38

33

68

22

80

3

63

10

76

8

57

18

46

43

29

69

23

37

34

65

24

77

4

62

12

54

 

Рис. 16

 

Но тем интереснее. Такой пример мы уже видели выше, когда исходный квадрат был ассоциативным, но не пандиагональным. А затем по программе были построены все пандиагональные квадраты и из них выбраны идеальные.

Разложение приведённого пандиагонального квадрата на латинские квадраты выполнено в указанной статье. И мы имеем новую схему составления первого латинского квадрата. Теперь уже нет циклической перестановки троек, а просто циклический сдвиг с постоянным шагом, но шаг здесь другой. Второй латинский квадрат получается из первого так, как в первой схеме – отражение относительно горизонтальной оси симметрии.

Как понимают читатели, следует внести в программу для первой схемы небольшую корректировку, изменив схему составления первого латинского квадрата, и выполнить программу. Не буду строить все пандиагональные квадраты, в программе у меня уже есть блок проверки ассоциативности строящихся пандиагональных квадратов. Значит, программа выдаст только идеальные квадраты. Понятно, что пандиагонального квадрата с рис. 16 среди них не будет. Ожидаю ещё 48 новых идеальных квадратов.

 

Ещё 48 новых идеальных квадратов получено! Показываю 7 первых квадратов из файла, в который они записаны программой:

 

1

 6  12  68  79  49  19  38  62  36

 22  37  56  35  9  15  66  77  52

 18  69  75  50  25  40  55  29  8

 43  58  28  2  17  72  78  48  23

 71  81  51  21  41  61  31  1  11

 59  34  4  10  65  80  54  24  39

 74  53  27  42  57  32  7  13  64

 30  5  16  67  73  47  26  45  60

 46  20  44  63  33  3  14  70  76

 2

 7  13  68  78  57  28  38  53  27

 30  37  47  26  9  16  67  77  60

 18  70  76  59  33  39  46  20  8

 42  48  19  2  17  72  79  58  32

 71  81  61  31  41  51  21  1  11

 50  24  3  10  65  80  63  34  40

 74  62  36  43  49  23  6  12  64

 22  5  15  66  73  56  35  45  52

 55  29  44  54  25  4  14  69  75

 3

 4  20  59  80  33  10  39  70  54

 15  37  66  52  9  22  56  77  35

 27  58  74  32  17  42  64  48  7

 44  69  46  3  25  63  76  29  14

 61  81  31  11  41  71  51  1  21

 68  53  6  19  57  79  36  13  38

 75  34  18  40  65  50  8  24  55

 47  5  26  60  73  30  16  45  67

 28  12  43  72  49  2  23  62  78

 4

 8  24  59  76  65  46  39  34  18

 47  37  30  16  9  26  60  77  67

 27  62  78  68  49  38  28  12  7

 40  29  10  3  25  63  80  69  50

 61  81  71  51  41  31  11  1  21

 32  13  2  19  57  79  72  53  42

 75  70  54  44  33  14  4  20  55

 15  5  22  56  73  66  52  45  35

 64  48  43  36  17  6  23  58  74

 5

 3  29  50  80  25  10  40  69  63

 16  37  67  60  9  30  47  77  26

 36  48  74  23  17  43  64  58  6

 44  70  55  4  33  54  75  20  14

 51  81  21  11  41  71  61  1  31

 68  62  7  28  49  78  27  12  38

 76  24  18  39  65  59  8  34  46

 56  5  35  52  73  22  15  45  66

 19  13  42  72  57  2  32  53  79

 6

 8  34  50  75  65  55  40  24  18

 56  37  22  15  9  35  52  77  66

 36  53  79  68  57  38  19  13  6

 39  20  10  4  33  54  80  70  59

 51  81  71  61  41  21  11  1  31

 23  12  2  28  49  78  72  62  43

 76  69  63  44  25  14  3  29  46

 16  5  30  47  73  67  60  45  26

 64  58  42  27  17  7  32  48  74

 7

 2  48  32  79  17  19  42  58  72

 26  37  60  67  9  47  30  77  16

 54  29  75  14  25  44  55  69  4

 43  62  64  6  49  36  74  12  23

 31  81  11  21  41  61  71  1  51

 59  70  8  46  33  76  18  20  39

 78  13  27  38  57  68  7  53  28

 66  5  52  35  73  15  22  45  56

 10  24  40  63  65  3  50  34  80

 

На все 48 квадратов можно посмотреть здесь:

 

http://www.natalimak1.narod.ru/mk/id9pril5.htm

 

 

Помещу квадрат № 7 в матрицу для большей наглядности (рис. 17):

 

2

48

32

79

17

19

42

58

72

26

37

60

67

9

47

30

77

16

54

29

75

14

25

44

55

69

4

43

62

64

6

49

36

74

12

23

31

81

11

21

41

61

71

1

51

59

70

8

46

33

76

18

20

39

78

13

27

38

57

68

7

53

28

66

5

52

35

73

15

22

45

56

10

24

40

63

65

3

50

34

80

 

Рис. 17

 

Как видите, начальная цепочка в этом идеальном квадрате имеет точно такую же форму, как в пандиагональном квадрате с рис. 16.

 

Остались две группы квадратов с симметричными шагами качания качелей: 6+1 и 4+3. Читатели, знакомые с методом качелей, хорошо знают, как получить идеальные квадраты с симметричными шагами качания качелей. Поэтому я не буду показывать эти две группы квадратов.

 

Вот пример идеального квадрата с шагами качания качелей 6+1 из статьи http://www.klassikpoez.narod.ru/p9matr.htm

Смотрите в этой статье разложение этого идеального квадрат на латинские квадраты.

 

4

21

53

40

30

62

76

66

17

46

45

32

55

81

68

10

9

23

34

60

74

70

15

2

25

51

38

75

71

13

3

26

49

39

35

58

18

5

19

54

41

28

63

77

64

24

47

43

33

56

79

69

11

7

44

31

57

80

67

12

8

22

48

59

73

72

14

1

27

50

37

36

65

16

6

20

52

42

29

61

78

 

Рис. 18

 

ПЯТАЯ СХЕМА СОСТАВЛЕНИЯ ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ

 

Представлю очень оригинальный идеальный квадрат, построенный мной матричным методом, найденным в Интернете по ссылке:

 

http://www.grogono.com/magic/9x9.php

 

Этот квадрат вы видите на рис. 19.

 

 

1

34

44

80

23

6

42

66

73

20

29

65

72

27

36

31

67

22

50

33

57

12

19

52

61

71

14

54

78

58

13

37

47

56

8

18

43

79

7

5

41

77

75

3

39

64

74

26

35

45

69

24

4

28

68

11

21

30

63

70

25

49

32

60

15

51

46

55

10

17

53

62

9

16

40

76

59

2

38

48

81

 

Рис. 19

 

Совершенно необычная форма начальной цепочки! И в квадрате, к сожалению, не работает метод качелей. Поэтому, мне до сих пор никак не удавалось размножить этот идеальный квадрат, то есть построить подобные ему идеальные квадраты (подобными я называю квадраты, имеющие начальную цепочку одинаковой формы). Сейчас и попытаюсь сделать это с помощью рассматриваемого здесь метода, то есть с помощью латинских квадратов.

К сожалению, латинские квадраты, полученные разложением квадрата с рис. 19, не дали представления о схеме их составления. Дело в том, что квадрат на рис. 19 преобразован. Поэтому придётся взять идеальный квадрат в первозданном виде, этот квадрат вы видите на рис. 20. Я преобразовала первоначальный квадрат, применив комбинацию нескольких преобразований, чтобы сделать его начинающимся с числа 1.

 

5

58

33

20

73

48

17

70

45

26

79

54

14

67

42

2

55

30

11

64

39

8

61

36

23

76

51

60

32

4

75

47

19

72

44

16

81

53

25

69

41

13

57

29

1

66

38

10

63

35

7

78

50

22

31

6

59

46

21

74

43

18

71

52

27

80

40

15

68

28

3

56

37

12

65

34

9

62

49

24

77

 

Рис. 20

 

Этот идеальный квадрат тоже имеет очень оригинальную начальную цепочку. Разложу его на латинские квадраты (рис. 21 и рис. 22):

 

0

6

3

2

8

5

1

7

4

2

8

5

1

7

4

0

6

3

1

7

4

0

6

3

2

8

5

6

3

0

8

5

2

7

4

1

8

5

2

7

4

1

6

3

0

7

4

1

6

3

0

8

5

2

3

0

6

5

2

8

4

1

7

5

2

8

4

1

7

3

0

6

4

1

7

3

0

6

5

2

8

 

Рис. 21

 

4

3

5

1

0

2

7

6

8

7

6

8

4

3

5

1

0

2

1

0

2

7

6

8

4

3

5

5

4

3

2

1

0

8

7

6

8

7

6

5

4

3

2

1

0

2

1

0

8

7

6

5

4

3

3

5

4

0

2

1

6

8

7

6

8

7

3

5

4

0

2

1

0

2

1

6

8

7

3

5

4

 

Рис. 22

 

И схема составления обоих латинских квадратов становится понятной. Первый латинский квадрат строится новым способом: здесь не только циклическая перестановка троек, но и циклическая перестановка чисел в самих тройках. А второй латинский квадрат получается из первого просто поворотом на 90 градусов против часовой стрелки.

Оба латинских квадрата по-прежнему являются нетрадиционными идеальными магическими квадратами с магической константой 36.

 

Теперь надо написать новый вариант программы, изменив схему составления первого латинского квадрата. Сейчас сделаю это. Горю от нетерпения посмотреть, сколько подобных идеальных квадратов построит программа.

 

Программа выдала всего 8 идеальных квадратов, причём 4 из них эквивалентные. Показываю эти квадраты:

 

1

 5  20  17  58  73  70  33  48  45

 60  75  72  32  47  44  4  19  16

 31  46  43  6  21  18  59  74  71

 26  14  2  79  67  55  54  42  30

 81  69  57  53  41  29  25  13  1

 52  40  28  27  15  3  80  68  56

 11  8  23  64  61  76  39  36  51

 66  63  78  38  35  50  10  7  22

 37  34  49  12  9  24  65  62  77

 2

 5  58  33  20  73  48  17  70  45

 26  79  54  14  67  42  2  55  30

 11  64  39  8  61  36  23  76  51

 60  32  4  75  47  19  72  44  16

 81  53  25  69  41  13  57  29  1

 66  38  10  63  35  7  78  50  22

 31  6  59  46  21  74  43  18  71

 52  27  80  40  15  68  28  3  56

 37  12  65  34  9  62  49  24  77

 3

 23  2  17  78  57  72  49  28  43

 76  55  70  50  29  44  24  3  18

 51  30  45  22  1  16  77  56  71

 8  14  20  63  69  75  34  40  46

 61  67  73  35  41  47  9  15  21

 36  42  48  7  13  19  62  68  74

 11  26  5  66  81  60  37  52  31

 64  79  58  38  53  32  12  27  6

 39  54  33  10  25  4  65  80  59

 4

 23  78  49  2  57  28  17  72  43

 8  63  34  14  69  40  20  75  46

 11  66  37  26  81  52  5  60  31

 76  50  24  55  29  3  70  44  18

 61  35  9  67  41  15  73  47  21

 64  38  12  79  53  27  58  32  6

 51  22  77  30  1  56  45  16  71

 36  7  62  42  13  68  48  19  74

 39  10  65  54  25  80  33  4  59

 5

 59  4  33  80  25  54  65  10  39

 74  19  48  68  13  42  62  7  36

 71  16  45  56  1  30  77  22  51

 6  32  58  27  53  79  12  38  64

 21  47  73  15  41  67  9  35  61

 18  44  70  3  29  55  24  50  76

 31  60  5  52  81  26  37  66  11

 46  75  20  40  69  14  34  63  8

 43  72  17  28  57  2  49  78  23

 6

 59  80  65  4  25  10  33  54  39

 6  27  12  32  53  38  58  79  64

 31  52  37  60  81  66  5  26  11

 74  68  62  19  13  7  48  42  36

 21  15  9  47  41  35  73  67  61

 46  40  34  75  69  63  20  14  8

 71  56  77  16  1  22  45  30  51

 18  3  24  44  29  50  70  55  76

 43  28  49  72  57  78  17  2  23

 7

 77  24  49  62  9  34  65  12  37

 56  3  28  68  15  40  80  27  52

 71  18  43  74  21  46  59  6  31

 22  50  78  7  35  63  10  38  66

 1  29  57  13  41  69  25  53  81

 16  44  72  19  47  75  4  32  60

 51  76  23  36  61  8  39  64  11

 30  55  2  42  67  14  54  79  26

 45  70  17  48  73  20  33  58  5

 8

 77  62  65  24  9  12  49  34  37

 22  7  10  50  35  38  78  63  66

 51  36  39  76  61  64  23  8  11

 56  68  80  3  15  27  28  40  52

 1  13  25  29  41  53  57  69  81

 30  42  54  55  67  79  2  14  26

 71  74  59  18  21  6  43  46  31

 16  19  4  44  47  32  72  75  60

 45  48  33  70  73  58  17  20  5

 

Квадрат, изображённый на рис. 20, выдался программой под № 2. Помещу остальные 3 оригинальные квадрата в матрицу (рис. 23-25).

 

5

20

17

58

73

70

33

48

45

60

75

72

32

47

44

4

19

16

31

46

43

6

21

18

59

74

71

26

14

2

79

67

55

54

42

30

81

69

57

53

41

29

25

13

1

52

40

28

27

15

3

80

68

56

11

8

23

64

61

76

39

36

51

66

63

78

38

35

50

10

7

22

37

34

49

12

9

24

65

62

77

 

Рис. 23

 

23

2

17

78

57

72

49

28

43

76

55

70

50

29

44

24

3

18

51

30

45

22

1

16

77

56

71

8

14

20

63

69

75

34

40

46

61

67

73

35

41

47

9

15

21

36

42

48

7

13

19

62

68

74

11

26

5

66

81

60

37

52

31

64

79

58

38

53

32

12

27

6

39

54

33

10

25

4

65

80

59

 

Рис. 24

 

23

78

49

2

57

28

17

72

43

8

63

34

14

69

40

20

75

46

11

66

37

26

81

52

5

60

31

76

50

24

55

29

3

70

44

18

61

35

9

67

41

15

73

47

21

64

38

12

79

53

27

58

32

6

51

22

77

30

1

56

45

16

71

36

7

62

42

13

68

48

19

74

39

10

65

54

25

80

33

4

59

 

Рис. 25

 

Обратите внимание на то, что во всех трёх идеальных квадратах оригинальные начальные цепочки. Очень интересные получились квадраты!

 

Покажу превращение идеального квадрата с рис. 23 в идеальный квадрат, начинающийся с числа 1. Первые два преобразования – параллельный перенос на торе и отражение – дают такой пандиагональный квадрат (рис. 26):

 

1

13

25

29

41

53

57

69

81

56

68

80

3

15

27

28

40

52

51

36

39

76

61

64

23

8

11

22

7

10

50

35

38

78

63

66

77

62

65

24

9

12

49

34

37

45

48

33

70

73

58

17

20

5

16

19

4

44

47

32

72

75

60

71

74

59

18

21

6

43

46

31

30

42

54

55

67

79

2

14

26

 

Рис. 26

 

А теперь к квадрату на рис. 26 применяю преобразование “строки-диагонали” и получаю идеальный квадрат, начинающийся с числа 1 (рис. 27).

 

1

12

42

78

59

8

44

52

73

58

13

49

54

63

18

11

47

56

68

17

25

34

55

66

21

51

32

72

80

20

29

37

67

22

6

36

39

75

3

5

41

77

79

7

43

46

76

60

15

45

53

62

2

10

50

31

61

16

27

48

57

65

14

26

35

71

64

19

28

33

69

24

9

30

38

74

23

4

40

70

81

 

Рис. 27

 

Получился идеальный квадрат, подобный квадрату с рис. 19.

 

А вот превращение идеального квадрата с рис. 25 в идеальный квадрат, начинающийся с числа 1, несколько сложнее. Тут я сначала применяю преобразование нестандартной одновременной перестановки строк и столбцов с постоянным шагом [в данном случае – с шагом 3, то есть через 3 строки (столбца)]. Не знаю, как такое преобразование называется в науке и известно ли оно вообще. Я обнаружила его сама, когда исследовала идеальные квадраты 9-ого порядка. Оно применимо ко всем идеальным квадратам нечётного порядка и сохраняет идеальность квадрата. На рис. 28 вы видите идеальный квадрат, получившийся в результате применения этого преобразования к квадрату с рис. 25.

 

45

22

56

51

1

71

30

16

77

20

63

40

8

69

46

14

75

34

58

38

27

64

53

6

79

32

12

17

78

28

23

57

43

2

72

49

73

35

15

61

41

21

67

47

9

33

10

80

39

25

59

54

4

65

70

50

3

76

29

18

55

44

24

48

7

68

36

13

74

42

19

62

5

66

52

11

81

31

26

60

37

 

Рис. 28

 

Полученный идеальный квадрат ценен сам по себе. Посмотрите, какая в нём интересная начальная цепочка! Ну, а этот квадрат уже легко превратить в идеальный квадрат, начинающийся с числа 1. Преобразования такие: параллельный перенос на торе, отражение и “строки-диагонали”. Не буду подробно показывать каждое преобразование, потому что читателям уже знакомы все эти преобразования. На рис. 29 показан готовый идеальный квадрат.

 

1

65

8

44

27

42

78

31

73

33

69

24

64

19

28

26

35

71

46

70

53

62

23

60

15

30

10

50

6

48

57

37

61

16

80

14

79

7

43

5

41

77

39

75

3

68

2

66

21

45

25

34

76

32

72

52

67

22

59

20

29

12

36

11

47

56

54

63

18

58

13

49

9

51

4

40

55

38

74

17

81

 

Рис. 29

 

 

И перед вами новый идеальный квадрат, начинающийся с числа 1 и имеющий оригинальную начальную цепочку.

Предлагаю читателям аналогично превратить идеальный квадрат с рис. 24 в идеальный квадрат, начинающийся с числа 1.

 

Ещё более интересно то, что в этом примере второй латинский квадрат можно повернуть в другую сторону, то есть по часовой стрелке, оставляя первый латинский квадрат без изменения. Правда, в этом случае все квадраты получаются эквивалентными представленным выше 8 идеальным квадратам. Вот пример одного из этих идеальных квадратов:

 

5  26  11  60  81  66  31  52  37

 58  79  64  32  53  38  6  27  12

 33  54  39  4  25  10  59  80  65

 20  14  8  75  69  63  46  40  34

 73  67  61  47  41  35  21  15  9

 48  42  36  19  13  7  74  68  62

 17  2  23  72  57  78  43  28  49

 70  55  76  44  29  50  18  3  24

 45  30  51  16  1  22  71  56  77

 

 

 СХЕМА СОСТАВЛЕНИЯ ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ ПО ХЕНДРИКСУ

 

Сейчас перечитала статью http://www.klassikpoez.narod.ru/idlat.htm и обнаружила в ней разложение пандиагонального квадрата Хендрикса 15-ого порядка на латинские квадраты. Это совсем другая схема. Решила попробовать применить эту схему к квадратам 9-ого порядка. Получился интересный результат: идеальных квадратов программа не выдала, все квадраты только пандиагональные. Приведу один пример. На рис. 30 и рис. 31 вы видите латинские квадраты, составленные по данной схеме.

 

0

2

3

5

6

8

7

4

1

3

5

6

8

7

4

1

0

2

6

8

7

4

1

0

2

3

5

7

4

1

0

2

3

5

6

8

1

0

2

3

5

6

8

7

4

2

3

5

6

8

7

4

1

0

5

6

8

7

4

1

0

2

3

8

7

4

1

0

2

3

5

6

4

1

0

2

3

5

6

8

7

 

Рис. 30

 

0

2

3

5

6

8

7

4

1

4

1

0

2

3

5

6

8

7

8

7

4

1

0

2

3

5

6

5

6

8

7

4

1

0

2

3

2

3

5

6

8

7

4

1

0

1

0

2

3

5

6

8

7

4

7

4

1

0

2

3

5

6

8

6

8

7

4

1

0

2

3

5

3

5

6

8

7

4

1

0

2

 

Рис. 31

 

В первой строке первого латинского квадрата как обычно записаны числа от 0 до 8. Каждая следующая строка получается из предыдущей циклическим сдвигом с постоянным шагом. Второй латинский квадрат здесь составляет не совсем обычно. В первой строке этого квадрата тоже записаны числа от 0 до 8. Каждая следующая строка получается из предыдущей тоже циклическим сдвигом с постоянным шагом, но шаг другой, нежели в первом латинском квадрате. Очевидно, что второй латинский квадрат можно получить из первого латинского квадрата стандартной перестановкой строк.

Обратите внимание на то, что оба латинских квадрата являются нетрадиционными пандиагональными квадратами с магической константой 36.

На рис. 32 показан пандиагональный квадрат, построенный из этих латинских квадратов.

 

1

21

31

51

61

81

71

41

11

32

47

55

75

67

42

16

9

26

63

80

68

38

10

3

22

33

52

69

43

18

8

23

29

46

57

76

12

4

24

34

54

62

77

65

37

20

28

48

58

78

70

45

17

5

53

59

74

64

39

13

6

25

36

79

72

44

14

2

19

30

49

60

40

15

7

27

35

50

56

73

66

 

Рис. 32

 

Интересен факт: если в формуле построения пандиагонального квадрата поменять местами первый и второй латинские квадраты, получится пандиагональный квадрат, получающийся из квадрата с рис. 32 точно таким преобразованием, каким второй латинский квадрат получается из первого, а именно: стандартной перестановкой строк. Смотрите этот квадрат на рис. 33.

 

1

21

31

51

61

81

71

41

11

40

15

7

27

35

50

56

73

66

79

72

44

14

2

19

30

49

60

53

59

74

64

39

13

6

25

36

20

28

48

58

78

70

45

17

5

12

4

24

34

54

62

77

65

37

69

43

18

8

23

29

46

57

76

63

80

68

38

10

3

22

33

52

32

47

55

75

67

42

16

9

26

 

Рис. 33

 

И мы имеем квадрат с симметричными шагами качания качелей (по сравнению с квадратом на рис. 32).

 

***

Исчерпываются ли представленными примерами все возможные схемы составления двух ортогональных латинских квадратов, с помощью которых можно построить пандиагональные и идеальные квадраты 9-ого порядка? Разумеется, нет.

До разработки метода качелей я построила очень много идеальных квадратов 9-ого порядка другими методами. Вот, например, один из них (рис. 34):

 

1

16

51

30

45

77

56

71

22

50

29

44

76

55

70

24

3

18

43

78

57

72

23

2

17

49

28

68

74

7

13

19

36

42

48

62

9

15

21

35

41

47

61

67

73

20

34

40

46

63

69

75

8

14

54

33

65

80

59

10

25

4

39

64

79

58

12

27

6

38

53

32

60

11

26

5

37

52

31

66

81

 

Рис. 34

 

В этом идеальном квадрате совершенно необычная начальная цепочка. Качели здесь не работают. Тем не менее, квадрат идеальный. Можно ли размножить этот квадрат, то есть построить хоть несколько ему подобных квадратов?

Посмотрим, на какие латинские квадраты он раскладывается (рис. 35 и рис. 36):

 

0

1

5

3

4

8

6

7

2

5

3

4

8

6

7

2

0

1

4

8

6

7

2

0

1

5

3

7

8

0

1

2

3

4

5

6

0

1

2

3

4

5

6

7

8

2

3

4

5

6

7

8

0

1

5

3

7

8

6

1

2

0

4

7

8

6

1

2

0

4

5

3

6

1

2

0

4

5

3

7

8

 

Рис. 35

 

0

6

5

2

8

4

1

7

3

4

1

7

3

0

6

5

2

8

6

5

2

8

4

1

7

3

0

4

1

6

3

0

8

5

2

7

8

5

2

7

4

1

6

3

0

1

6

3

0

8

5

2

7

4

8

5

1

7

4

0

6

3

2

0

6

3

2

8

5

1

7

4

5

1

7

4

0

6

3

2

8

 

Рис. 36

 

Закономерности в составлении первого латинского квадрата я вижу и могу запрограммировать его составление. А вот закономерностей в составлении второго латинского квадрата не вижу. Ну, не то чтобы совсем не вижу. Например, вторая строка получается из первой циклическим сдвигом, третья строка получается из второй циклическим сдвигом с таким же шагом, а вот в четвёртой строке уже всё нарушается. Как формируются первая и четвёртая строки? В пятой и шестой строке снова циклический сдвиг с таким же шагом. Формирование седьмой строки опять непонятно. В восьмой и девятой опять циклический сдвиг с тем же шагом. Итак, непонятно формирование всего трёх строк – первой, четвёртой и седьмой.

Сейчас просто из интереса запрограммирую составление первого латинского квадрата. Посмотрю, сколько нетрадиционных идеальных магических квадратов с магической константой 36 составится по такой необычной схеме. Если такие латинские квадраты получатся, тогда надо к каждому из них просто составить ортогональный квадрат (кто умеет это делать, не зная прозрачной схемы?) и построение идеальных квадратов, подобных идеальному квадрату с рис. 34, обеспечено.

Написала и выполнила программу. Программа выдала всего два латинских квадрата, и один из них тот, что изображён на рис. 35. Другой первый латинский квадрат показываю на рис. 37:

 

2

0

4

5

3

7

8

6

1

4

5

3

7

8

6

1

2

0

3

7

8

6

1

2

0

4

5

7

8

0

1

2

3

4

5

6

0

1

2

3

4

5

6

7

8

2

3

4

5

6

7

8

0

1

3

4

8

6

7

2

0

1

5

8

6

7

2

0

1

5

3

4

7

2

0

1

5

3

4

8

6

 

Рис. 37

 

Этот латинский квадрат удовлетворяет всем требованиям: он является нетрадиционным идеальным магическим квадратом с магической константой 36.

 

Итак, чтобы клонировать идеальный квадрат с рис. 34, надо составить ортогональный латинский квадрат к латинскому квадрату, изображённому на рис. 37. Я пока не знаю, как это сделать. А вы?

Вот какой уникальный идеальный квадрат представлен на рис. 34! Если и существует ему подобный квадрат, то всего один.

 

***

 

Составила один ортогональный квадрат к латинскому квадрату с рис. 37, но он оказался только ассоциативным. Показываю этот латинский квадрат на рис. 38.

 

3

0

8

5

2

7

4

1

6

7

4

1

6

3

0

8

5

2

0

8

5

2

7

4

1

6

3

4

1

6

3

0

8

5

2

7

8

5

2

7

4

1

6

3

0

1

6

3

0

8

5

2

7

4

5

2

7

4

1

6

3

0

8

6

3

0

8

5

2

7

4

1

2

7

4

1

6

3

0

8

5

 

Рис. 38

 

В этом квадрате сумма чисел по всем разломанным диагоналям одного направления равна магической константе 36, и в двух разломанных диагоналях другого направления тоже есть магическая сумма. И всё-таки квадрат не является пандиагональным, а значит, не является идеальным. Строю с помощью двух латинских квадратов (рис. 37 и рис. 38) ассоциативный квадрат (рис. 39):

 

22

1

45

51

30

71

77

56

16

44

50

29

70

76

55

18

24

3

28

72

78

57

17

23

2

43

49

68

74

7

13

19

36

42

48

62

9

15

21

35

41

47

61

67

73

20

34

40

46

63

69

75