Н. Макарова

 

ПОЛНЫЕ КОМПЛЕКТЫ КВАДРАТОВ ФРАНКЛИНА

 

Недавно мне прислали ссылку на журнал “Дух времени”:

 

http://www.spiritoftime.net/pdf-files/Spirit_of_time_ALL.pdf

 

Ссылка, по которой я раньше нашла полумагический квадрат Франклина 32-ого порядка, содержала только небольшой фрагмент из этого журнала:

 

http://www.spiritoftime.net/Lukoyanov-1.htm

 

 Теперь я прочла статью об этом квадрате полностью.

 

Цитата из журнала:

 

“Необходимо заметить,

что Бенджамин Франклин оставил

уникальное научное и духовное наследство

следующим поколениям исследователей,

причем, видимо принципиально,

не раскрыл до конца ни одного из

своих алгоритмов по построению маги-

ческих квадратов, а в особенности для

своего легендарного магико-магического

квадрата 16 Х 16, который являлся в

то время высшим уровнем разработки

удивительной серии магических квадратов.

Поэтому авторам пришлось провести

для начала многолетнюю кропотливую

работу по нахождению своеобразного

«реперного ключа» и алгоритмов

по построению всех известных и

даже не законченных магических квадратов

Бенджамина Франклина, а затем

уже на базе накопленного материала

находить необходимые алгоритмы по

разработке своих авторских магических

квадратов. В данной работе авторам при

непосредственном взаимодействии с

Международной Высшей Аттестационной

Комиссией (МВАК) от Международного

Университета Фундаментального

Обучения (МУФО) под эгидой Великобритании-

США-России удалось впервые

разработать свой алгоритм, а также составить

авторский магический квадрат

32 Х 32 Виталия и Виктора Лукояновых

– Шанти П. Джаясекара …”

 

Прочитав статью, была немало удивлена. Представленный полумагический квадрат 32-ого порядка (почему авторы называют квадрат магическим, если суммы чисел в главных диагоналях квадрата не равны магической константе квадрата?) составлен в полном соответствии с алгоритмом Франклина в его полумагических квадратах, которые дошли до нас.  Это квадрат Франклина в чистом виде.

Много непонятного в этой статье. Например, авторы говорят о модифицированных квадратах Франклина. Но представленный квадрат 32-ого порядка вряд ли можно считать модификацией. Других квадратов в статье не приводится. О каких модифицированных квадратах Франклина говорят авторы?

 

Ещё одна цитата из журнальной статьи:

 

“Необходимо иметь ввиду, что приоритетная авторская разработка магического квадрата 32х32 Виталия и Виктора Лукояновых – Шанти П. Джаясекара датируется от 14 мая 2003 года, так как и было доложено на Международной конференции, посвящённой 300-летию г. Санкт-Петербурга …”

 

Вот как интересно! Приоритетная авторская разработка!

И совсем непонятно следующее утверждение:

 

“Контрольная сумма магичности строк, столбцов, ломаных диагоналей с любой из четырёх сторон и в квадратах (размером в 32 смежные клетки) равна Y = 16400 при сумме чисел всего данного квадрата S = 524800…”

 

Не буду даже комментировать.

 

Когда я исследовала квадраты Франклина (это было в феврале текущего года), мне попался только фрагмент статьи, и я приняла приведённый в этом фрагменте полумагический квадрат Франклина за квадрат, построенный самим Франклином. Вообще говоря, я в этом нисколько не сомневаюсь. Возможно, просто полумагический квадрат 32х32, построенный самим Франклином, не дошёл до нас или дошёл в незаконченном виде (в статье, кстати, говорится, что авторы исследовали и незаконченные квадраты Франклина; может быть, полумагический квадрат 32-ого порядка был одним из них?). Очень странно, что авторы не представили в статье никаких других полумагических квадратов Франклина, например 20, 24, 28 порядков, а представили только один квадрат 32-ого порядка.

Затем совсем недавно я написала статью о квадратах Франклина для журнальной публикации (к сожалению, статья до публикации не дошла). Рецензент статьи обратил внимание на то, что авторы статьи о полумагическом квадрате 32-ого порядка говорят о модифицированных квадратах Франклина, и выразил сомнение в том, что приведённый в статье квадрат принадлежит Франклину. Я тоже обратила внимание на то, что авторы говорят о модифицированных квадратах (ещё тогда, когда исследовала квадраты Франклина). Но, тщательно исследовав приведённый ими квадрат, установила, что его структура в точности совпадает со структурой полумагического квадрата Франклина 16-ого порядка, то есть он построен в точном соответствии с алгоритмом Франклина и с полным правом может называться квадратом Франклина.

 

Мной построено много квадратов Франклина, но приоритет ни на один из этих квадратов не заявлен. Мне негде о нём заявлять, потому что на конференции меня не приглашают. Я тоже разработала свой алгоритм для построения квадратов Франклина и не только полумагических, а ещё пандиагональных и идеальных. Обо всём этом можно подробно прочитать в статьях о квадратах Франклина, начиная с этой:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/franklin.htm

 

***

 

Далее недавно мне прислали ещё одну ссылку на интересную статью о квадратах Франклина:

 

http://www.win.tue.nl/~wscor/Magic/SPORfms.pdf

 

Статья, к сожалению, на английском языке. Поэтому я пока рассмотрела только сами квадраты, представленные на рисунках. Автор статьи Cor Hurkens построил много интереснейших квадратов Франклина. Возможно, я напишу отдельную статью, посвящённую этим квадратам. Но самым большим достижением Гуркенса я считаю то, что он построил совершенные квадраты. У меня совершенные квадраты по алгоритму Франклина не построились, за исключением квадрата 4-ого порядка. Каким образом совершенные квадраты Гуркенса связаны с квадратами Франклина, как они из них получены, я не знаю. Для этого надо вникнуть в методы Гуркенса. Я же просто построила совершенные квадраты других порядков, подобные представленным Гуркенсом совершенным квадратам 12-ого и 16-ого порядка. Эти совершенные квадраты  построены из обратимых квадратов с помощью моего матричного преобразования. Обратимые квадраты составлены по аналогии с обратимыми квадратами, соответствующими указанным совершенным квадратам Гуркенса.

 

Теперь я хочу представить полные комплекты квадратов Франклина для следующих порядков: n = 4k, k = 1, 2, 3, …, 10.  При этом для n = 8k в комплект входят следующие квадраты: а) полумагический; б) магический; в) пандиагональный; г) идеальный: д) совершенный. Для остальных порядков в комплекте отсутствуют идеальные квадраты; для порядков не кратных 8 мне не удалось построить идеальные квадраты по алгоритму Франклина. И ещё: для n = 4 мне не удалось построить по алгоритму Франклина просто магический квадрат, не являющийся ни ассоциативным, ни пандиагональным.

 

 

Комплект квадратов Франклина порядка n = 4

 

а) полумагический квадрат (рис. 1)

 

1

8

9

16

14

11

6

3

4

5

12

13

15

10

7

2

 

Рис. 1

 

б) пандиагональный (и совершенный) квадрат (рис. 2)

 

1

8

13

12

14

11

2

7

4

5

16

9

15

10

3

6

 

Рис. 2

 

А вот какой совершенный квадрат 4-ого порядка я построила по схеме Гуркенса (рис. 3):

 

1

14

4

15

8

11

5

10

13

2

16

3

12

7

9

6

 

Рис. 3

 

Очевидно, что эти два квадрата эквивалентны.

 

Если применить к квадрату с рис. 2 преобразование, обратное преобразованию трёх квадратов, то получится ассоциативный квадрат (рис. 4):

 

1

8

12

13

14

11

7

2

15

10

6

3

4

5

9

16

 

Рис. 4

 

Комплект квадратов Франклина порядка n = 8

 

Здесь надо, конечно, начать с полумагических квадратов, построенных самим Франклином. Таких квадратов известно два. Вы видите их на рис. 5 и рис. 6.

 

52

61

4

13

20

29

36

45

14

3

62

51

46

35

30

19

53

60

5

12

21

28

37

44

11

6

59

54

43

38

27

22

55

58

7

10

23

26

39

42

9

8

57

56

41

40

25

24

50

63

2

15

18

31

34

47

16

1

64

49

48

33

32

17

 

Рис. 5

 

17

47

30

36

21

43

26

40

32

34

19

45

28

38

23

41

33

31

46

20

37

27

42

24

48

18

35

29

44

22

39

25

49

15

62

4

53

11

58

8

64

2

51

13

60

6

55

9

1

63

14

52

5

59

10

56

16

50

3

61

12

54

7

57

 

Рис. 6

 

Для того чтобы удобно было применить метод качелей, я преобразовала первый квадрат Франклина (рис. 5) к такому виду (рис. 7):

 

1

16

17

32

33

48

49

64

63

50

47

34

31

18

15

2

8

9

24

25

40

41

56

57

58

55

42

39

26

23

10

7

6

11

22

27

38

43

54

59

60

53

44

37

28

21

12

5

3

14

19

30

35

46

51

62

61

52

45

36

29

20

13

4

 

Рис. 7

 

Отмечу интересное свойство этого квадрата: комплементарные числа в нём расположены симметрично вертикальной оси симметрии.

 

Составив программу на основе метода качелей, я построила очень много полумагических квадратов такого вида. Только при одном прогоне циклов их получилось 1152. Самое интересное то, что среди них оказалось 144 пандиагональных квадрата. Покажу один полумагический квадрат (рис. 8) и один пандиагональный квадрат (рис. 9).

 

1

16

17

40

25

48

49

64

59

54

43

30

35

22

11

6

8

9

24

33

32

41

56

57

60

53

44

29

36

21

12

5

2

15

18

39

26

47

50

63

61

52

45

28

37

20

13

4

7

10

23

34

31

42

55

58

62

51

46

27

38

19

14

3

 

Рис. 8

 

1

16

25

24

41

40

49

64

59

54

35

46

19

30

11

6

8

9

32

17

48

33

56

57

60

53

36

45

20

29

12

5

2

15

26

23

42

39

50

63

61

52

37

44

21

28

13

4

7

10

31

18

47

34

55

58

62

51

38

43

22

27

14

3

 

Рис. 9

 

Об этих построениях вы можете прочитать в статье:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/franklin3.htm

 

Теперь покажу магический квадрат 8-ого порядка (рис. 10):

 

1

16

17

40

25

48

49

64

62

51

46

27

38

19

14

3

61

52

45

28

37

20

13

4

7

10

23

34

31

42

55

58

8

9

24

33

32

41

56

57

59

54

43

30

35

22

11

6

60

53

44

29

36

21

12

5

2

15

18

39

26

47

50

63

 

Рис. 10

 

О построении магических квадратов смотрите статью:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/franklin4.htm

 

Обратите внимание: во всех квадратах (рис. 8 - 10) выполняется свойство, отмеченное для квадрата с рис. 7.

На рис. 9 показан пандиагональный квадрат, подобный первому полумагическому квадрату Франклина. Теперь покажу пандиагональный квадрат, подобный пандиагональному квадрату Франклина 16-ого порядка, то есть построенный по такому же алгоритму и имеющий точно такую же структуру. Смотрите этот пандиагональный квадрат на рис. 11.

 

1

56

49

47

42

31

26

8

58

15

10

24

17

40

33

63

7

50

55

41

48

25

32

2

64

9

16

18

23

34

39

57

3

54

51

45

44

29

28

6

60

13

12

22

19

38

35

61

5

52

53

43

46

27

30

4

62

11

14

20

21

36

37

59

 

Рис. 11

 

Очевидно, что начальная цепочка в этих двух пандиагональных квадратах имеет разную форму.

Из пандиагонального квадрата с рис. 11 простыми преобразованиями получается идеальный квадрат (рис. 12):

 

1

56

49

47

42

31

26

8

62

11

14

20

21

36

37

59

4

30

27

46

43

53

52

5

63

33

40

17

24

10

15

58

7

50

55

41

48

25

32

2

60

13

12

22

19

38

35

61

6

28

29

44

45

51

54

3

57

39

34

23

18

16

9

64

 

Рис. 12

 

О построении пандиагональных и идеальных квадратов смотрите статью:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/idealch1.htm

 

Наконец, осталось показать совершенный квадрат (рис. 13):

 

1

62

4

58

8

59

5

63

40

27

37

31

33

30

36

26

17

46

20

42

24

43

21

47

16

51

13

55

9

54

12

50

57

6

60

2

64

3

61

7

32

35

29

39

25

38

28

34

41

22

44

18

48

19

45

23

56

11

53

15

49

14

52

10

 

Рис. 13. Совершенный квадрат Франклина (группа 1)

 

Этот совершенный квадрат я построила по аналогии с совершенным квадратом 12-го порядка, приведённым в статье Гуркенса.

 

Интересно заметить: если к идеальному квадрату (рис. 12) применить преобразование трёх квадратов, получается такой почти совершенный квадрат (рис. 14):

 

1

56

49

47

8

26

31

42

62

11

14

20

59

37

36

21

4

30

27

46

5

52

53

43

63

33

40

17

58

15

10

24

57

39

34

23

64

9

16

18

6

28

29

44

3

54

51

45

60

13

12

22

61

35

38

19

7

50

55

41

2

32

25

48

 

Рис. 14

 

Но “почти”, как известно, не считается. Этот квадрат пандиагональный, в нём выполняется свойство комплементарности. Однако другие свойства совершенных квадратов не выполняются.

 

Вот ещё один совершенный квадрат, он тоже построен по схеме Гуркенса, но по другой (Гуркенс представил в данной статье два метода построения совершенных квадратов Франклина) [рис. 15]:

 

1

59

7

61

8

62

2

60

24

46

18

44

17

43

23

45

49

11

55

13

56

14

50

12

40

30

34

28

33

27

39

29

57

3

63

5

64

6

58

4

48

22

42

20

41

19

47

21

9

51

15

53

16

54

10

52

32

38

26

36

25

35

31

37

 

Рис. 15. Совершенный квадрат Франклина (группа 2)

 

В завершение комплекта квадратов 8-ого порядка приведу ещё один полумагический квадрат, который не подобен полумагическим квадратам Франклина. Он построен методом качелей, применённым к пандиагональному квадрату Франклина 16-ого порядка. Смотрите этот квадрат на рис. 16.

 

1

56

49

47

42

32

25

8

58

15

10

24

17

39

34

63

7

50

55

41

48

26

31

2

64

9

16

18

23

33

40

57

3

54

51

45

44

30

27

6

60

13

12

22

19

37

36

61

5

52

53

43

46

28

29

4

62

11

14

20

21

35

38

59

 

Рис. 16

 

Сравните этот квадрат с преобразованным полумагическим квадратом Франклина (рис. 8). Вы увидите, что в этих квадратах начальные цепочки имеют разную форму; следовательно, на рис. 16 приведён новый тип полумагического квадрата, который тоже построен по алгоритму Франклина (но в его пандиагональном квадрате 16-ого порядка).

 

Комплект квадратов Франклина порядка n = 12

 

а) полумагические квадраты (рис. 17 - 18):

 

1

24

25

48

49

72

73

96

97

120

121

144

136

129

112

105

88

81

64

57

40

33

16

9

12

13

36

37

60

61

84

85

108

109

132

133

137

128

113

104

89

80

65

56

41

32

17

8

2

23

26

47

50

71

74

95

98

119

122

143

138

127

114

103

90

79

66

55

42

31

18

7

3

22

27

46

51

70

75

94

99

118

123

142

139

126

115

102

91

78

67

54

43

30

19

6

10

15

34

39

58

63

82

87

106

111

130

135

140

125

116

101

92

77

68

53

44

29

20

5

11

14

35

38

59

62

83

86

107

110

131

134

141

124

117

100

93

76

69

52

45

28

21

4

 

Рис. 17

 

Полумагические квадраты 12-ого порядка я тоже строила по программе, составленной на основе метода качелей, применённого к полумагическому квадрату Франклина 8-ого порядка. Понятно, что это один из множества квадратов, полученных по программе. В этом квадрате тоже комплементарные числа расположены симметрично относительно вертикальной оси симметрии.

О построении полумагических квадратов 12-ого порядка смотрите статью:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/franklin4.htm

 

Следующий полумагический квадрата (рис. 18) я построила другим способом, это моё пополнение семейства квадратов Франклина.

 

1

48

61

96

109

132

133

108

73

60

25

24

143

98

83

50

35

14

11

38

71

86

119

122

4

45

64

93

112

129

136

105

76

57

28

21

142

99

82

51

34

15

10

39

70

87

118

123

6

43

66

91

114

127

138

103

78

55

30

19

140

101

80

53

32

17

8

41

68

89

116

125

5

44

65

92

113

128

137

104

77

56

29

20

139

102

79

54

31

18

7

42

67

90

115

126

3

46

63

94

111

130

135

106

75

58

27

22

141

100

81

52

33

16

9

40

69

88

117

124

2

47

62

95

110

131

134

107

74

59

26

23

144

97

84

49

36

13

12

37

72

85

120

121

 

Рис. 18

 

В этом квадрате комплементарные числа расположены симметрично горизонтальной оси симметрии.

 

б) магические квадраты (рис. 19 - 20):

 

1

24

25

48

49

72

73

96

97

120

121

144

136

129

112

105

88

81

64

57

40

33

16

9

12

13

36

37

60

61

84

85

108

109

132

133

137

128

113

104

89

80

65

56

41

32

17

8

2

23

26

47

50

71

74

95

98

119

122

143

138

127

114

103

90

79

66

55

42

31

18

7

139

126

115

102

91

78

67

54

43

30

19

6

3

22

27

46

51

70

75

94

99

118

123

142

140

125

116

101

92

77

68

53

44

29

20

5

10

15

34

39

58

63

82

87

106

111

130

135

141

124

117

100

93

76

69

52

45

28

21

4

11

14

35

38

59

62

83

86

107

110

131

134

 

Рис. 19

 

В этом квадрате комплементарные числа расположены симметрично относительно вертикальной оси симметрии. Интересно отметить: если перевернуть в этом квадрате последние шесть столбцов (то есть записать числа в этих столбцах в обратном порядке – снизу вверх), то получится магический квадрат, обладающий свойством ассоциативности (рис. 20).

 

1

24

25

48

49

72

83

86

107

110

131

134

136

129

112

105

88

81

69

52

45

28

21

4

12

13

36

37

60

61

82

87

106

111

130

135

137

128

113

104

89

80

68

53

44

29

20

5

2

23

26

47

50

71

75

94

99

118

123

142

138

127

114

103

90

79

67

54

43

30

19

6

139

126

115

102

91

78

66

55

42

31

18

7

3

22

27

46

51

70

74

95

98

119

122

143

140

125

116

101

92

77

65

56

41

32

17

8

10

15

34

39

58

63

84

85

108

109

132

133

141

124

117

100

93

76

64

57

40

33

16

9

11

14

35

38

59

62

73

96

97

120

121

144

 

Рис. 20

 

в) пандиагональные квадраты (рис. 21 - 22):

 

Первый пандиагональный квадрат получаю прямо здесь и сейчас: применяю к ассоциативному квадрату с рис. 20 преобразование трёх квадратов и пандиагональный квадрат готов (рис. 21).

 

1

24

25

48

49

72

134

131

110

107

86

83

136

129

112

105

88

81

4

21

28

45

52

69

12

13

36

37

60

61

135

130

111

106

87

82

137

128

113

104

89

80

5

20

29

44

53

68

2

23

26

47

50

71

142

123

118

99

94

75

138

127

114

103

90

79

6

19

30

43

54

67

11

14

35

38

59

62

144

121

120

97

96

73

141

124

117

100

93

76

9

16

33

40

57

64

10

15

34

39

58

63

133

132

109

108

85

84

140

125

116

101

92

77

8

17

32

41

56

65

3

22

27

46

51

70

143

122

119

98

95

74

139

126

115

102

91

78

7

18

31

42

55

66

 

Рис. 21

 

В этом пандиагональном квадрате выполняется свойство комплементарности, присущее совершенным квадратам. Однако другие свойства совершенных квадратов в данном квадрате не выполняются. Покажу ещё один пандиагональный квадрат, построенный другим способом (рис. 22):

 

1

24

25

48

49

72

142

123

118

99

94

75

136

129

112

105

88

81

6

19

30

43

54

67

12

13

36

37

60

61

135

130

111

106

87

82

137

128

113

104

89

80

5

20

29

44

53

68

2

23

26

47

50

71

134

131

110

107

86

83

138

127

114

103

90

79

4

21

28

45

52

69

3

22

27

46

51

70

144

121

120

97

96

73

139

126

115

102

91

78

9

16

33

40

57

64

10

15

34

39

58

63

133

132

109

108

85

84

140

125

116

101

92

77

8

17

32

41

56

65

11

14

35

38

59

62

143

122

119

98

95

74

141

124

117

100

93

76

7

18

31

42

55

66

 

Рис. 22

 

Сравните этот квадрат с предыдущим квадратом. Квадраты очень похожи, тем не менее, не эквивалентные.

 

Мне осталось показать совершенные квадраты. Напомню, что мне не удалось построить по алгоритмам Франклина совершенные квадраты. Поэтому все представляемые здесь совершенные квадраты я построила по схемам Гуркенса (см. ссылку на статью выше). На рис. 23 вы видите совершенный квадрат из статьи Гуркенса (см. Figure 14. стр. 30).

 

1

142

7

137

9

134

12

135

6

140

4

143

60

87

54

92

52

95

49

94

55

89

57

86

25

118

31

113

33

110

36

111

30

116

28

119

48

99

42

104

40

107

37

106

43

101

45

98

73

70

79

65

81

62

84

63

78

68

76

71

24

123

18

128

16

131

13

130

19

125

21

122

133

10

139

5

141

2

144

3

138

8

136

11

96

51

90

56

88

59

85

58

91

53

93

50

109

34

115

29

117

26

120

27

114

32

112

35

108

39

102

44

100

47

97

46

103

41

105

38

61

82

67

77

69

74

72

75

66

80

64

83

132

15

126

20

124

23

121

22

127

17

129

14

 

Рис. 23. Совершенный квадрат Франклина (группа 1)

 

Этот квадрат Гуркенс построил первым методом (в методы Гуркенса я не вникала). Далее в статье представлен совершенный квадрат 16-ого порядка, построенный вторым методом. Я построила совершенный квадрат 12-ого порядка, подобный совершенному квадрату 16-ого порядка Гуркенса. Вот этот квадрат (рис. 24):

 

1

135

8

134

4

139

12

142

5

143

9

138

36

118

29

119

33

114

25

111

32

110

28

115

85

51

92

50

88

55

96

58

89

59

93

54

48

106

41

107

45

102

37

99

44

98

40

103

121

15

128

14

124

19

132

22

125

23

129

18

84

70

77

71

81

66

73

63

80

62

76

67

133

3

140

2

136

7

144

10

137

11

141

6

120

34

113

35

117

30

109

27

116

26

112

31

49

87

56

86

52

91

60

94

53

95

57

90

108

46

101

47

105

42

97

39

104

38

100

43

13

123

20

122

16

127

24

130

17

131

21

126

72

82

65

83

69

78

61

75

68

74

64

79

 

Рис. 24. Совершенный квадрат Франклина (группа 2)

 

В завершение комплекта квадратов 12-ого порядка покажу очень интересный пандиагональный квадрат, составленный из девяти нетрадиционных совершенных квадратов 4-ого порядка (рис. 25):

 

1

140

109

40

9

132

101

48

49

92

61

88

143

6

35

106

135

14

43

98

95

54

83

58

36

105

144

5

44

97

136

13

84

57

96

53

110

39

2

139

102

47

10

131

62

87

50

91

3

138

111

38

11

130

103

46

51

90

63

86

141

8

33

108

133

16

41

100

93

56

81

60

34

107

142

7

42

99

134

15

82

59

94

55

112

37

4

137

104

45

12

129

64

85

52

89

17

124

125

24

25

116

117

32

65

76

77

72

127

22

19

122

119

30

27

114

79

70

67

74

20

121

128

21

28

113

120

29

68

73

80

69

126

23

18

123

118

31

26

115

78

71

66

75

 

Рис. 25

 

Этот квадрат обладает несколькими интересными свойствами. Предлагаю читателям подробно исследовать данный квадрат Гуркенса (в статье Гуркенса см. Figure 1, стр. 9).

Ещё один подобный квадрат можно получить, применив к приведённому квадрату преобразование взятия дополнения. Новый квадрат изображён на рис. 26.

 

144

5

36

105

136

13

44

97

96

53

84

57

2

139

110

39

10

131

102

47

50

91

62

87

109

40

1

140

101

48

9

132

61

88

49

92

35

106

143

6

43

98

135

14

83

58

95

54

142

7

34

107

134

15

42

99

94

55

82

59

4

137

112

37

12

129

104

45

52

89

64

85

111

38

3

138

103

46

11

130

63

86

51

90

33

108

141

8

41

100

133

16

81

60

93

56

128

21

20

121

120

29

28

113

80

69

68

73

18

123

126

23

26

115

118

31

66

75

78

71

125

24

17

124

117

32

25

116

77

72

65

76

19

122

127

22

27

114

119

30

67

74

79

70

 

Рис. 26

 

Покажу ещё несколько преобразований, применённых к квадрату с рис. 26. Сначала в каждом квадрате 4х4 применим преобразование трёх квадратов (рис. 27).

 

144

5

105

36

136

13

97

44

96

53

57

84

2

139

39

110

10

131

47

102

50

91

87

62

35

106

6

143

43

98

14

135

83

58

54

95

109

40

140

1

101

48

132

9

61

88

92

49

142

7

107

34

134

15

99

42

94

55

59

82

4

137

37

112

12

129

45

104

52

89

85

64

33

108

8

141

41

100

16

133

81

60

56

93

111

38

138

3

103

46

130

11

63

86

90

51

128

21

121

20

120

29

113

28

80

69

73

68

18

123

23

126

26

115

31

118

66

75

71

78

19

122

22

127

27

114

30

119

67

74

70

79

125

24

124

17

117

32

116

25

77

72

76

65

 

Рис. 27

 

Получился магический квадрат, составленный из девяти нетрадиционных ассоциативных квадратов 4х4. Теперь в этом квадрате переставим строки и столбцы так, чтобы получился ассоциативный квадрат (рис. 28):

 

144

5

57

84

136

13

97

44

96

53

105

36

2

139

87

62

10

131

47

102

50

91

39

110

19

122

70

79

27

114

30

119

67

74

22

127

125

24

76

65

117

32

116

25

77

72

124

17

142

7

59

82

134

15

99

42

94

55

107

34

4

137

85

64

12

129

45

104

52

89

37

112

33

108

56

93

41

100

16

133

81

60

8

141

111

38

90

51

103

46

130

11

63

86

138

3

128

21

73

68

120

29

113

28

80

69

121

20

18

123

71

78

26

115

31

118

66

75

23

126

35

106

54

95

43

98

14

135

83

58

6

143

109

40

92

49

101

48

132

9

61

88

140

1

 

Рис. 28

 

Интересно отметить, что квадраты 4х4 превратились в нетрадиционные полумагические квадраты. Наконец, применим к квадрату с рис. 28 преобразование трёх квадратов. Полученный в результате пандиагональный квадрат вы видите на рис. 29.

 

144

5

57

84

136

13

36

105

53

96

44

97

2

139

87

62

10

131

110

39

91

50

102

47

19

122

70

79

27

114

127

22

74

67

119

30

125

24

76

65

117

32

17

124

72

77

25

116

142

7

59

82

134

15

34

107

55

94

42

99

4

137

85

64

12

129

112

37

89

52

104

45

109

40

92

49

101

48

1

140

88

61

9

132

35

106

54

95

43

98

143

6

58

83

135

14

18

123

71

78

26

115

126

23

75

66

118

31

128

21

73

68

120

29

20

121

69

80

28

113

111

38

90

51

103

46

3

138

86

63

11

130

33

108

56

93

41

100

141

8

60

81

133

16

 

Рис. 29

 

Этот пандиагональный квадрат совсем близок к совершенному, однако всё же не совершенный: не во всех квадратах 2х2 сумма чисел равна 290. В завершение превратим этот квадрат в квадрат, начинающийся с числа 1. Для этого достаточно применить к квадрату преобразование взятия дополнения. Новый квадрат смотрите на рис. 30.

 

1

140

88

61

9

132

109

40

92

49

101

48

143

6

58

83

135

14

35

106

54

95

43

98

126

23

75

66

118

31

18

123

71

78

26

115

20

121

69

80

28

113

128

21

73

68

120

29

3

138

86

63

11

130

111

38

90

51

103

46

141

8

60

81

133

16

33

108

56

93

41

100

36

105

53

96

44

97

144

5

57

84

136

13

110

39

91

50

102

47

2

139

87

62

10

131

127

22

74

67

119

30

19

122

70

79

27

114

17

124

72

77

25

116

125

24

76

65

117

32

34

107

55

94

42

99

142

7

59

82

134

15

112

37

89

52

104

45

4

137

85

64

12

129

 

Рис. 30

 

Мы получили пандиагональный квадрат с оригинальной начальной цепочкой.

Сравните этот квадрат с квадратом Гуркенса (рис. 25). Очевидно, что данный квадрат получается из квадрата Гуркенса перестановкой строк и столбцов. Можно было не выполнять все показанные преобразования, а сразу в квадрате Гуркенса переставить строки и столбцы. Но мы получили несколько интересных промежуточных результатов, а заодно были продемонстрированы разные преобразования. В пандиагональном квадрате Гуркенса тоже оригинальная начальная цепочка.

 

***

 

На этом я завершаю комплект квадратов Франклина 12-ого порядка. На время оставлю эту статью, чтобы вернуться к статье “Преобразования магических квадратов”.

Несколько квадратов Франклина было представлено мной на форуме. Смотрите:

 

http://dxdy.ru/topic12959.html

 

А также не забывайте, что все построенные мной квадраты Франклина вы найдёте в моей виртуальной книге Волшебный мир магических квадратов:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/glavnaja.htm

 

 

***

 

Уважаемые читатели!

 

Просматривая сегодня все свои статьи о магических квадратах, обнаружила, что данная статья не завершена. Нельзя сказать, что я совсем про неё забыла. Но новые темы настолько захватили, что пришлось статью отложить. Ещё всё время помню, что не написана статья о совершенных квадратах, построенных Гуркенсом на основе квадратов Франклина. Вообще квадраты Франклина настолько интересны, что о них можно написать отдельную книгу. И материалов у меня уже вполне достаточно. Вот только времени не хватает. К тому же вы мне ничего не пишете. Если бы было много писем от вас с просьбой продолжить данную статью, написать о квадратах Гуркенса, собрать и систематизировать все материалы о квадратах Франклина, тогда я, наверное, сделала бы всё это.

В моей книге “Волшебный мир магических квадратов” (книга версталась для издания, но, увы, не издана) квадратам Франклина уделено очень мало внимания. Правда, есть очень маленькая статья “Квадраты Франклина”, которую я готовила для журнала. К сожалению, статья не была принята в журнал.

Я дам здесь ссылки на книгу “Волшебный мир магических квадратов” и статью “Квадраты Франклина”:

 

http://narod.ru/disk/5834353000/Magic_squares.pdf.html

 

http://www.natalimak1.narod.ru/rev4.doc

 

Сейчас у меня в планах написание книги “Нетрадиционные магические квадраты”. Кроме того, я собираюсь заняться исследованием магических кубов. А ещё хотела сделать небольшую книгу о латинских квадратах.

Пишите мне, пожалуйста! Что вы хотели бы увидеть в первую очередь? Какие материалы оформить отдельной книжкой? Жду ваших писем.

 

Наталия Макарова

 

ДОБАВЛЕНИЕ    (январь 2010 г.)

 

Я решила продолжить понемногу эту коллекцию замечательных квадратов Франклина.

 

Комплект квадратов Франклина порядка n = 16

 

а) полумагический квадрат Франклина

 

На рис. 31 вы видите полумагический квадрат, принадлежащий Франклину, а на рис. 32 квадрат, полученный из квадрата Франклина эквивалентными преобразованиями, то есть это квадрат эквивалентный квадрату Франклина.

 

200

217

232

249

8

25

40

57

72

89

104

121

136

153

168

185

58

39

26

7

250

231

218

199

186

167

154

135

122

103

90

71

198

219

230

251

6

27

38

59

70

91

102