ОБ ИДЕАЛЬНЫХ КВАДРАТАХ ДВЕНАДЦАТОГО ПОРЯДКА

 

С НАЧАЛЬНОЙ ЦЕПОЧКОЙ “ХОД КОНЁМ”

 

Часть I

 

Перед прочтением данной страницы необходимо ознакомиться со статьями:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/latch.htm

http://www.klassikpoez.narod.ru/id8all.htm

 

 

После того как я очень подробно рассмотрела метод построения идеальных квадратов 8-ого порядка с начальной цепочкой “ход конём” с помощью двух обобщённых ортогональных латинских квадратов, мне кое-что стало понятно и теперь хочу более подробно остановиться на подобных идеальных квадратах 12-ого порядка. В первой из указанных выше статей был рассмотрен пример построения идеального квадрата 12-ого порядка данным методом.

Мне было непонятно, как строить второй латинский квадрат, ортогональный первому. Первый латинский квадрат я составляла на основании известных номеров циклов качания качелей. Теперь буду действовать по аналогии с тем, как составляла вторые латинские квадраты при построении этим методом идеальных квадратов 8-ого порядка. Эта аналогия состоит в том, что схему составления второго латинского квадрата я беру сначала из конкретного частного примера, а дальше сочиняю сама (подобные схемы). Первые латинские квадраты строятся точно так же: это обобщённые латинские квадраты, в первой строке которых стоят все числа от 0 до 11. Кроме того, эти латинские квадраты являются нетрадиционными магическими квадратами с магической константой 66. Построение таких латинских обобщённых квадратов очень легко выполняется по программе. Точно так же, как и для квадратов 8-ого порядка, каждая следующая строка первого латинского квадрата получается из предыдущей циклическим сдвигом с постоянным шагом.

 

Итак, пишу аналогичную программу, начальным этапом в которой составляются первые латинские обобщённые квадраты. Какими должны быть эти квадраты, сказано выше. Вторым этапом составляются вторые латинские квадраты, они ортогональны первым латинским квадрата и тоже являются нетрадиционными идеальными квадратами с магической константой 66. И, наконец, найдя нужную пару латинских обобщённых ортогональных квадратов, программа строит идеальный квадрат по формуле:

 

cij = 12*aij + bij + 1,

 

где aij – элементы первого латинского квадрата, bij – соответствующие элементы второго латинского квадрата, cij – соответствующие элементы идеального квадрата.

Программа выдала 8 решений. Показываю их (рис. 1- 8).

 

Квадрат № 1

 

1

139

75

47

32

57

121

19

87

119

104

69

106

66

12

136

77

38

34

54

132

16

89

110

95

116

105

61

7

135

83

44

33

49

127

15

124

17

86

118

102

72

4

137

74

46

30

60

25

55

123

23

92

117

97

67

3

143

80

45

82

42

36

52

125

14

94

114

108

64

5

134

11

140

81

37

31

51

131

20

93

109

103

63

100

65

2

142

78

48

28

53

122

22

90

120

85

115

99

71

8

141

73

43

27

59

128

21

130

18

96

112

101

62

10

138

84

40

29

50

35

56

129

13

91

111

107

68

9

133

79

39

76

41

26

58

126

24

88

113

98

70

6

144

 

Рис. 1

 

Покажу для этого идеального квадрата пару обобщённых ортогональных латинских квадратов, из которых он построен (рис. 1а, рис. 1б).

 

0

11

6

3

2

4

10

1

7

9

8

5

8

5

0

11

6

3

2

4

10

1

7

9

7

9

8

5

0

11

6

3

2

4

10

1

10

1

7

9

8

5

0

11

6

3

2

4

2

4

10

1

7

9

8

5

0

11

6

3

6

3

2

4

10

1

7

9

8

5

0

11

0

11

6

3

2

4

10

1

7

9

8

5

8

5

0

11

6

3

2

4

10

1

7

9

7

9

8

5

0

11

6

3

2

4

10

1

10

1

7

9

8

5

0

11

6

3

2

4

2

4

10

1

7

9

8

5

0

11

6

3

6

3

2

4

10

1

7

9

8

5

0

11

 

Рис. 1а

 

Закономерности в этом латинском квадрате очевидны. В первой строке стоят номера циклов качания качелей в точном соответствии с образующей таблицей (если строить этот квадрат методом качелей). В идеальном квадрате (рис. 1) и в латинском квадрате (рис. 1а) раскрашены четыре цикла качания качелей, считая нулевой.

Вот второй латинский квадрат, ортогональный к первому (рис. 1б). Именно из этого квадрата я взяла первую схему составления второго латинского квадрата.

 

0

6

2

10

7

8

0

6

2

10

7

8

9

5

11

3

4

1

9

5

11

3

4

1

10

7

8

0

6

2

10

7

8

0

6

2

3

4

1

9

5

11

3

4

1

9

5

11

0

6

2

10

7

8

0

6

2

10

7

8

9

5

11

3

4

1

9

5

11

3

4

1

10

7

8

0

6

2

10

7

8

0

6

2

3

4

1

9

5

11

3

4

1

9

5

11

0

6

2

10

7

8

0

6

2

10

7

8

9

5

11

3

4

1

9

5

11

3

4

1

10

7

8

0

6

2

10

7

8

0

6

2

3

4

1

9

5

11

3

4

1

9

5

11

 

Рис. 1б

 

Обратите внимание на то, что этот квадрат (как и первый латинский квадрат) является нетрадиционным идеальным магическим квадратом с магической константой 66. Точно так же составляются вторые латинские квадраты для следующих семи идеальных квадратов.

 

Квадрат № 2

 

1

139

81

119

104

51

121

19

93

47

32

63

28

66

12

142

77

110

100

54

132

22

89

38

95

44

27

61

7

141

83

116

99

49

127

21

130

17

86

40

30

72

10

137

74

112

102

60

97

55

129

23

92

39

25

67

9

143

80

111

76

114

108

58

125

14

88

42

36

70

5

134

11

140

75

109

103

57

131

20

87

37

31

69

34

65

2

136

78

120

106

53

122

16

90

48

85

43

33

71

8

135

73

115

105

59

128

15

124

18

96

46

29

62

4

138

84

118

101

50

107

56

123

13

91

45

35

68

3

133

79

117

82

113

98

52

126

24

94

41

26

64

6

144

 

Рис. 2

 

Квадрат № 3

 

1

140

87

47

31

69

121

20

75

119

103

57

106

53

12

136

90

38

34

65

132

16

78

110

83

115

105

49

8

135

95

43

33

61

128

15

124

18

74

118

101

60

4

138

86

46

29

72

25

68

123

23

79

117

97

56

3

143

91

45

94

41

36

64

126

14

82

113

108

52

6

134

11

139

93

37

32

63

131

19

81

109

104

51

100

54

2

142

89

48

28

66

122

22

77

120

73

116

99

59

7

141

85

44

27

71

127

21

130

17

84

112

102

50

10

137

96

40

30

62

35

67

129

13

80

111

107

55

9

133

92

39

88

42

26

70

125

24

76

114

98

58

5

144

 

Рис. 3

 

Квадрат № 4

 

1

140

87

69

35

19

97

44

123

117

83

55

82

53

12

138

86

64

34

17

108

42

122

112

129

119

79

49

8

135

93

71

31

13

104

39

102

38

124

118

77

60

6

134

88

70

29

24

25

20

99

45

131

115

73

56

3

141

95

67

94

65

36

18

98

40

130

113

84

54

2

136

9

143

91

61

32

15

105

47

127

109

80

51

78

50

4

142

89

72

30

14

100

46

125

120

121

116

75

57

11

139

85

68

27

21

107

43

106

41

132

114

74

52

10

137

96

66

26

16

33

23

103

37

128

111

81

59

7

133

92

63

90

62

28

22

101

48

126

110

76

58

5

144

 

Рис. 4

 

Квадрат № 5

 

1

140

91

117

83

15

97

44

127

69

35

51

30

53

12

142

86

112

78

17

108

46

122

64

129

71

27

49

8

139

93

119

75

13

104

43

106

38

124

66

29

60

10

134

88

114

77

24

73

20

103

45

131

63

25

56

7

141

95

111

90

113

84

22

98

40

126

65

36

58

2

136

9

143

87

109

80

19

105

47

123

61

32

55

34

50

4

138

89

120

82

14

100

42

125

72

121

68

31

57

11

135

85

116

79

21

107

39

102

41

132

70

26

52

6

137

96

118

74

16

81

23

99

37

128

67

33

59

3

133

92

115

94

110

76

18

101

48

130

62

28

54

5

144

 

Рис. 5

 

Квадрат № 6

 

1

140

93

119

103

63

121

20

81

47

31

51

28

53

12

142

90

110

100

65

132

22

78

38

83

43

27

49

8

141

95

115

99

61

128

21

130

18

74

40

29

60

10

138

86

112

101

72

97

68

129

23

79

39

25

56

9

143

91

111

88

113

108

70

126

14

76

41

36

58

6

134

11

139

87

109

104

69

131

19

75

37

32

57

34

54

2

136

89

120

106

66

122

16

77

48

73

44

33

59

7

135

85

116

105

71

127

15

124

17

84

46

30

50

4

137

96

118

102

62

107

67

123

13

80

45

35

55

3

133

92

117

94

114

98

64

125

24

82

42

26

52

5

144

 

Рис. 6

 

Квадрат № 7

 

1

143

123

69

32

55

97

47

87

117

80

19

82

14

12

138

125

64

34

50

108

42

89

112

93

116

79

13

11

135

129

68

31

49

107

39

102

41

88

118

74

24

6

137

124

70

26

60

25

59

99

45

92

115

73

23

3

141

128

67

130

62

36

54

101

40

94

110

84

18

5

136

9

140

127

61

35

51

105

44

91

109

83

15

78

17

4

142

122

72

30

53

100

46

86

120

85

119

75

21

8

139

121

71

27

57

104

43

106

38

96

114

77

16

10

134

132

66

29

52

33

56

103

37

95

111

81

20

7

133

131

63

126

65

28

58

98

48

90

113

76

22

2

144

 

Рис. 7

 

Квадрат № 8

 

1

143

127

117

80

51

97

47

91

69

32

15

30

14

12

142

125

112

78

50

108

46

89

64

93

68

27

13

11

139

129

116

75

49

107

43

106

41

88

66

26

24

10

137

124

114

74

60

73

59

103

45

92

63

25

23

7

141

128

111

126

110

84

58

101

40

90

62

36

22

5

136

9

140

123

109

83

55

105

44

87

61

35

19

34

17

4

138

122

120

82

53

100

42

86

72

85

71

31

21

8

135

121

119

79

57

104

39

102

38

96

70

29

16

6

134

132

118

77

52

81

56

99

37

95

67

33

20

3

133

131

115

130

113

76

54

98

48

94

65

28

18

2

144

 

Рис. 8

 

Теперь сочиняю вторую схему составления второго латинского квадрата, структура первого латинского квадрата остаётся неизменной, то есть он по-прежнему начинается с числа 0 и составляется точно так же. Как составляется второй латинский квадрат по этой схеме, читатели могут посмотреть, разложив любой из нижеследующих восьми идеальных квадратов на два латинских квадрата. Вот перед вами восемь новых идеальных квадратов 12-ого порядка, построенных по данной схеме (рис. 9 – 16).

 

Квадрат № 9

 

10

138

84

40

29

50

130

18

96

112

101

62

97

67

3

143

80

45

25

55

123

23

92

117

88

113

98

70

6

144

76

41

26

58

126

24

131

20

93

109

103

63

11

140

81

37

31

51

34

54

132

16

89

110

106

66

12

136

77

38

73

43

27

59

128

21

85

115

99

71

8

141

4

137

74

46

30

60

124

17

86

118

102

72

107

68

9

133

79

39

35

56

129

13

91

111

94

114

108

64

5

134

82

42

36

52

125

14

121

19

87

119

104

69

1

139

75

47

32

57

28

53

122

22

90

120

100

65

2

142

78

48

83

44

33

49

127

15

95

116

105

61

7

135

 

Рис. 9

 

Квадрат № 10

 

4

138

84

118

101

50

124

18

96

46

29

62

25

67

9

143

80

111

97

55

129

23

92

39

94

41

26

64

6

144

82

113

98

52

126

24

131

20

87

37

31

69

11

140

75

109

103

57

100

54

132

22

89

38

28

66

12

142

77

110

73

115

105

59

128

15

85

43

33

71

8

135

10

137

74

112

102

60

130

17

86

40

30

72

35

68

3

133

79

117

107

56

123

13

91

45

88

42

36

70

5

134

76

114

108

58

125

14

121

19

93

47

32

63

1

139

81

119

104

51

106

53

122

16

90

48

34

65

2

136

78

120

83

116

99

49

127

21

95

44

27

61

7

141

 

Рис. 10

 

Квадрат № 11

 

10

137

96

40

30

62

130

17

84

112

102

50

97

56

3

143

91

45

25

68

123

23

79

117

76

114

98

58

5

144

88

42

26

70

125

24

131

19

81

109

104

51

11

139

93

37

32

63

34

65

132

16

78

110

106

53

12

136

90

38

85

44

27

71

127

21

73

116

99

59

7

141

4

138

86

46

29

72

124

18

74

118

101

60

107

55

9

133

92

39

35

67

129

13

80

111

82

113

108

52

6

134

94

41

36

64

126

14

121

20

75

119

103

57

1

140

87

47

31

69

28

66

122

22

77

120

100

54

2

142

89

48

95

43

33

61

128

15

83

115

105

49

8

135

 

Рис. 11

 

Квадрат № 12

 

10

137

96

66

26

16

106

41

132

114

74

52

73

56

3

141

95

67

25

20

99

45

131

115

126

110

76

58

5

144

90

62

28

22

101

48

105

47

127

109

80

51

9

143

91

61

32

15

34

17

108

42

122

112

82

53

12

138

86

64

85

68

27

21

107

43

121

116

75

57

11

139

6

134

88

70

29

24

102

38

124

118

77

60

81

59

7

133

92

63

33

23

103

37

128

111

130

113

84

54

2

136

94

65

36

18

98

40

97

44

123

117

83

55

1

140

87

69

35

19

30

14

100

46

125

120

78

50

4

142

89

72

93

71

31

13

104

39

129

119

79

49

8

135

 

Рис. 12

 

Квадрат № 13

 

6

137

96

118

74

16

102

41

132

70

26

52

25

56

7

141

95

111

73

20

103

45

131

63

130

62

28

54

5

144

94

110

76

18

101

48

105

47

123

61

32

55

9

143

87

109

80

19

78

17

108

46

122

64

30

53

12

142

86

112

85

116

79

21

107

39

121

68

31

57

11

135

10

134

88

114

77

24

106

38

124

66

29

60

33

59

3

133

92

115

81

23

99

37

128

67

126

65

36

58

2

136

90

113

84

22

98

40

97

44

127

69

35

51

1

140

91

117

83

15

82

14

100

42

125

72

34

50

4

138

89

120

93

119

75

13

104

43

129

71

27

49

8

139

 

Рис. 13

 

Квадрат № 14

 

4

137

96

118

102

62

124

17

84

46

30

50

25

56

9

143

91

111

97

68

129

23

79

39

82

42

26

52

5

144

94

114

98

64

125

24

131

19

75

37

32

57

11

139

87

109

104

69

100

65

132

22

78

38

28

53

12

142

90

110

85

116

105

71

127

15

73

44

33

59

7

135

10

138

86

112

101

72

130

18

74

40

29

60

35

55

3

133

92

117

107

67

123

13

80

45

76

41

36

58

6

134

88

113

108

70

126

14

121

20

81

47

31

51

1

140

93

119

103

63

106

66

122

16

77

48

34

54

2

136

89

120

95

115

99

61

128

21

83

43

27

49

8

141

 

Рис. 14

 

Квадрат № 15

 

10

134

132

66

29

52

106

38

96

114

77

16

73

23

3

141

128

67

25

59

99

45

92

115

90

113

76

22

2

144

126

65

28

58

98

48

105

44

91

109

83

15

9

140

127

61

35

51

34

50

108

42

89

112

82

14

12

138

125

64

121

71

27

57

104

43

85

119

75

21

8

139

6

137

124

70

26

60

102

41

88

118

74

24

81

20

7

133

131

63

33

56

103

37

95

111

94

110

84

18

5

136

130

62

36

54

101

40

97

47

87

117

80

19

1

143

123

69

32

55

30

53

100

46

86

120

78

17

4

142

122

72

129

68

31

49

107

39

93

116

79

13

11

135

 

Рис. 15

 

Квадрат № 16

 

6

134

132

118

77

52

102

38

96

70

29

16

25

23

7

141

128

111

73

59

103

45

92

63

94

65

28

18

2

144

130

113

76

54

98

48

105

44

87

61

35

19

9

140

123

109

83

55

78

50

108

46

89

64

30

14

12

142

125

112

121

119

79

57

104

39

85

71

31

21

8

135

10

137

124

114

74

60

106

41

88

66

26

24

33

20

3

133

131

115

81

56

99

37

95

67

90

62

36

22

5

136

126

110

84

58

101

40

97

47

91

69

32

15

1

143

127

117

80

51

82

53

100

42

86

72

34

17

4

138

122

120

129

116

75

49

107

43

93

68

27

13

11

139

 

Рис. 16

 

Очевидно, что квадраты второй группы не эквивалентны квадратам первой группы.

Покажу ещё одну группу идеальных квадратов – с третьей схемой составления второго латинского квадрата. Эти восемь идеальных квадратов тоже оригинальные. Смотрите квадраты на рис. 17-24.

 

Квадрат № 17

 

2

137

76

48

30

58

122

17

88

120

102

70

105

68

11

135

79

37

33

56

131

15

91

109

96

114

106

62

5

136

84

42

34

50

125

16

123

19

85

117

104

71

3

139

73

45

32

59

26

53

124

24

90

118

98

65

4

144

78

46

81

44

35

51

127

13

93

116

107

63

7

133

12

138

82

38

29

52

132

18

94

110

101

64

99

67

1

141

80

47

27

55

121

21

92

119

86

113

100

72

6

142

74

41

28

60

126

22

129

20

95

111

103

61

9

140

83

39

31

49

36

54

130

14

89

112

108

66

10

134

77

40

75

43

25

57

128

23

87

115

97

69

8

143

 

Рис. 17

 

Квадрат № 18

 

2

137

82

120

102

52

122

17

94

48

30

64

27

68

11

141

79

109

99

56

131

21

91

37

96

42

28

62

5

142

84

114

100

50

125

22

129

19

85

39

32

71

9

139

73

111

104

59

98

53

130

24

90

40

26

65

10

144

78

112

75

116

107

57

127

13

87

44

35

69

7

133

12

138

76

110

101

58

132

18

88

38

29

70

33

67

1

135

80

119

105

55

121

15

92

47

86

41

34

72

6

136

74

113

106

60

126

16

123

20

95

45

31

61

3

140

83

117

103

49

108

54

124

14

89

46

36

66

4

134

77

118

81

115

97

51

128

23

93

43

25

63

8

143

 

Рис. 18

 

Квадрат № 19

 

2

138

88

48

29

70

122

18

76

120

101

58

105

55

11

135

92

37

33

67

131

15

80

109

84

113

106

50

6

136

96

41

34

62

126

16

123

20

73

117

103

59

3

140

85

45

31

71

26

66

124

24

77

118

98

54

4

144

89

46

93

43

35

63

128

13

81

115

107

51

8

133

12

137

94

38

30

64

132

17

82

110

102

52

99

56

1

141

91

47

27

68

121

21

79

119

74

114

100

60

5

142

86

42

28

72

125

22

129

19

83

111

104

49

9

139

95

39

32

61

36

65

130

14

78

112

108

53

10

134

90

40

87

44

25

69

127

23

75

116

97

57

7

143

 

Рис. 19

 

Квадрат № 20

 

4

134

90

72

29

22

100

38

126

120

77

58

79

59

9

135

92

61

31

23

105

39

128

109

132

113

82

52

2

138

96

65

34

16

98

42

99

44

121

115

83

57

3

140

85

67

35

21

28

14

102

48

125

118

76

50

6

144

89

70

91

71

33

15

104

37

127

119

81

51

8

133

12

137

94

64

26

18

108

41

130

112

74

54

75

56

1

139

95

69

27

20

97

43

131

117

124

110

78

60

5

142

88

62

30

24

101

46

103

47

129

111

80

49

7

143

93

63

32

13

36

17

106

40

122

114

84

53

10

136

86

66

87

68

25

19

107

45

123

116

73

55

11

141

 

Рис. 20

 

Квадрат № 21

 

4

134

94

120

77

18

100

38

130

72

29

54

27

59

9

139

92

109

75

23

105

43

128

61

132

65

30

52

2

142

96

113

78

16

98

46

103

44

121

63

35

57

7

140

85

111

83

21

76

14

106

48

125

66

28

50

10

144

89

114

87

119

81

19

104

37

123

71

33

55

8

133

12

137

90

112

74

22

108

41

126

64

26

58

31

56

1

135