МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ

 

Часть IV

 

 

МЕТОД ДЕЛАИРА или МЕТОД ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ

 

 

Продолжаю описывать методы построения магических квадратов нечётного порядка.

С этим методом возникли сложности. Напомню, что пользуюсь я книгами двух авторов: Ю. В. Чебракова и М. М. Постникова (полные названия книг см. в первой части статьи).

Книга Чебракова у меня появилась раньше. Книги Постникова у меня вообще нет. Один читатель моих статей о МК любезно выполнил мою просьбу и прислал мне фотокопии нескольких страниц этой книги. По этим фотокопиям изучаю материал.

Итак, начну с представления метода по Чебракову. Чебраков называет метод методом латинских квадратов. Читатели уже знают, как строятся магические квадраты с помощью двух ортогональных латинских квадратов. Этому вопросу было посвящено несколько моих статей. В этих статьях строились идеальные магические квадраты, совершенные магические квадраты. В данной статье вы тоже видели, что все представленные методы построения магических квадратов реализуются и с применением двух ортогональных латинских квадратов. Поэтому данный метод не является неким специальным методом, а применим к различным случаям построения магических квадратов другими способами, как, например, мой метод качелей. Но можно рассмотреть этот метод и отдельно от других методов, как самостоятельный метод, что и делает Чебраков. В главе 2.1, посвящённой методам построения магических квадратов нечётного порядка, находим пункт “Метод латинских квадратов” (стр. 96-97). Приведу описание метода точной цитатой из книги:

“В этом методе построение классического квадрата n-ого порядка производится в три этапа:

1.                          Из целых чисел от 0 до n -1 строят два ортогональных латинских квадрата размером n *n . Первый строят следующим образом: а) произвольно заполняют нижний горизонтальный ряд квадратной таблицы n*n целыми числами от 0 до n-1, следя лишь за тем, чтобы последняя клетка горизонтального ряда была заполнена числом k=[n/2]; б) остальные горизонтальные ряды таблицы заполняют снизу вверх так, чтобы каждый следующий ряд получался из предыдущего циклической перестановкой – первое число переносится в конец строки. Второй латинский квадрат получают из первого путём его поворота на девяносто градусов.

2.                          Преобразовывают полученные два латинских квадрата путём умножения каждого числа одного квадрата на n и увеличения на 1 каждого числа другого квадрата.

3.                          Производят поклеточно суммирование двух преобразованных на втором этапе квадратов”.

 

Это описание метода. Ну, второй и третий этапы – суть применение известной формулы, по которой строятся магические квадраты из двух ортогональных латинских квадратов. Читатели уже знают эту формулу. Самым главным является первый этап – составление двух ортогональных латинских квадратов. Как строится первый латинский квадрат, вполне понятно. В книге дана иллюстрация построения. На этой иллюстрации приведён такой первый латинский квадрат (рис. 1):

 

2

1

4

0

3

3

2

1

4

0

0

3

2

1

4

4

0

3

2

1

1

4

0

3

2

 

Рис. 1

 

Теперь переходим к составлению второго латинского квадрата. Вот здесь и возникает заковыка. В описании метода написано: “Второй латинский квадрат получают из первого путём его поворота на девяносто градусов”. Во-первых, автор не написал, куда надо повернуть квадрат: по часовой стрелке или против часовой стрелки. Во-вторых, второй латинский квадрат, который он привёл на рисунке, вообще не получается из первого латинского квадрата никаким поворотом. Смотрите сами этот латинский квадрат на рис. 2.

 

0

3

4

1

2

3

4

1

2

0

4

1

2

0

3

1

2

0

3

4

2

0

3

4

1

 

Рис. 2

 

Однако магический квадрат, построенный из этой пары ортогональных латинских квадратов, автор привёл на картинке правильный. Смотрите на готовый магический квадрат (рис. 3).

 

11

9

25

2

18

19

15

7

23

1

5

17

13

6

24

22

3

16

14

10

8

21

4

20

12

 

Рис. 3

 

Долго я ломала голову над тем, как же автор получил второй латинский квадрат из первого. Затем попробовала получить второй латинский квадрат из первого по-своему: отражением первого латинского квадрата относительно горизонтальной оси симметрии. Этот латинский квадрат вы видите на рис. 4.

 

1

4

0

3

2

4

0

3

2

1

0

3

2

1

4

3

2

1

4

0

2

1

4

0

3

 

Рис. 4

 

Из данной пары ортогональных латинский квадратов (рис. 1 и рис. 4) тоже получился магический квадрат (рис. 5).

 

12

10

21

4

18

20

11

9

23

2

1

19

13

7

25

24

3

17

15

6

8

22

5

16

14

 

Рис. 5

 

Проделала ещё серию экспериментов, по-разному получая второй латинский квадрат из первого.

 

Эксперимент № 1

 

Второй латинский квадрат получается из первого отражением относительно вертикальной оси симметрии. Не буду показывать полученный таким образом латинский квадрат. Первый латинский квадрат, понятно, во всех экспериментах один и тот же – с рис. 1 (квадрат Чебракова). На рис. 6 показываю магический квадрат, полученный из новой пары ортогональных латинских квадратов.

 

14

6

25

2

18

16

15

7

23

4

5

17

13

9

21

22

3

19

11

10

8

24

1

20

12

 

Рис. 6

 

Квадрат получился эквивалентным квадрату с рис. 5. Следует отметить, что получаемые мной магические квадраты ещё и ассоциативны. Первый латинский квадрат, составленный автором, является нетрадиционным ассоциативным магическим квадратом с магической константой 10. Составляемые мной вторые латинские квадраты, в отличие от второго латинского квадрата автора, тоже являются нетрадиционными ассоциативными магическими квадратами. В результате все построенные мной магические квадраты тоже получаются ассоциативными. Но это совсем необязательно, чтобы магические квадраты получались ассоциативными.

 

Эксперимент № 2

 

Второй латинский квадрат получается из первого поворотом на 90 градусов по часовой стрелке. В этом случае латинский квадрат получился точно такой же, как на рис. 4. Разумеется, построенный магический квадрат будет таким же, как на рис. 5.

 

Эксперимент № 3

 

Второй латинский квадрат получается из первого поворотом на 90 градусов против часовой стрелки. В этом случае всё получается, как в эксперименте 1.

 

Примечание: читатели уже знают, что в формуле построения магического квадрата из двух ортогональных латинских квадратов оба латинских квадрата равноправны, то есть их можно менять местами. Кстати, в описании метода Чебраковым на втором этапе не подчёркивается, как именно преобразовывается первый латинский квадрат, а как второй. Это значит, что оба квадрата равноправны.

 

Задача эта не давала мне покоя. Даже на форум с ней вышла. Но там никто задачку не решил. И тут, очень кстати, подоспели фотокопии из книги Постникова. Глава 3 из этой книги называется “Квазилинейный метод Делаира”. Цитата из книги:

 

“В этой главе мы детально разберём восходящий к французскому математику Делаиру очень интересный нелинейный метод, позволяющий получать довольно много различных магических квадратов данного нечётного порядка”.

 

Далее идут довольно сложные математические выкладки с обоснованием и доказательствами всех необходимых и достаточных условий данного метода.

Следует отметить, что в методе Делаира квадраты, с помощью которых строится магический квадрат, не называются латинскими, они называются вспомогательными. Но сути дела это не меняет, потому что вспомогательные квадраты и являются именно латинскими.

Итак, не буду здесь приводить математические выкладки и все доказательства. Одним из необходимых условий отмечается такое условие: оба вспомогательных квадрата должны быть магическими, то есть иметь одинаковые суммы по всем строкам, столбцам и главным диагоналям. Ну, это условие вполне понятно. Мы уже видели, что для построения ассоциативного магического квадрата оба латинских квадрата должны быть ассоциативными, для построения пандиагонального квадрата оба латинских квадрата должны быть пандиагональными и т. д. Другое условие – условие ортогональности вспомогательных квадратов. Это условие мы тоже хорошо знаем.

Перехожу к конкретному примеру, который приводится Постниковым. Он тоже сроит магический квадрат пятого порядка. Но сначала приведу правило для построения вспомогательного квадрата.

 

“Правило. Для построения вспомогательного магического квадрата произвольного нечётного порядка n = 2m +1 достаточно произвести следующие действия.

1)     выбрать перестановку i1, i2, … in-1 чисел 0, 1, … n-1, для которой in-1 = m;

2)     заполнить нижний горизонтальный ряд числами i1, i2, … in-1;

3)     остальные горизонтальные ряды заполнять последовательно снизу вверх так, чтобы каждый следующий ряд получался из предыдущего циклической перестановкой”.

 

Как видите, это правило в точности совпадает с описанием Чебраковым построения первого латинского квадрата. На рис. 7 показываю первый вспомогательный квадрат, приведённый Постниковым.

 

2

1

0

4

3

3

2

1

0

4

4

3

2

1

0

0

4

3

2

1

1

0

4

3

2

 

Рис. 7

 

Очевидно, что это латинский квадрат, подобный тому, какой построил Чебраков. Только перестановка чисел для нижней строки выбрана другая.

 

А теперь переходим ко второму вспомогательному квадрату – самый интересный момент! Оказывается, второй вспомогательный квадрат строится самостоятельно, и правило его построения аналогично приведённому выше правилу с одним различием: произвольная перестановка теперь записывается в верхний горизонтальный ряд. В последней ячейке по-прежнему оказывается число m. Теперь заполняются следующие строки сверху вниз точно такой же циклической перестановкой – первое число переносится в конец строки. На рис. 8 вы видите второй вспомогательный квадрат, построенный Постниковым.

 

0

4

1

3

2

4

1

3

2

0

1

3

2

0

4

3

2

0

4

1

2

0

4

1

3

 

Рис. 8

 

Всё стало совершенно понятно! Очевидно, что все вторые латинские квадраты, которые были построены мной, удовлетворяют правилу их построения. Всего же для одного первого вспомогательного квадрата может быть построено 24 вторых вспомогательных квадратов (количество перестановок из четырёх чисел 0, 1, 3, 4). Следовательно, методом Делаира можно построить 576 магических квадратов пятого порядка. Как вы видели из приведённых выше экспериментов, не все эти квадраты будут различны.

 

Покажу магический квадрат, который получился из пары ортогональных вспомогательных (латинских) квадратов, построенных Постниковым (рис. 9):

 

11

10

2

24

18

20

12

9

3

21

22

19

13

6

5

4

23

16

15

7

8

1

25

17

14

 

Рис. 9

 

Чтобы убедиться в том, что квадратов пятого порядка можно построить 576, я составила программу, реализующую метод Делаира для квадратов пятого порядка. Программа выдала точно 576 магических квадратов. Вот эта программа.

 

ТЕКСТ ПРОГРАММЫ

(язык QBASIC)

 

10 DIM A(5, 5), B(5, 5), C(5, 5), E(5), D(5)

12 OPEN "MK.txt" FOR OUTPUT AS #1

15 A(1, 1) = 2: B(1, 5) = 2: D = 0

20 FOR I = 0 TO 4

22 IF I = 2 THEN 515

24 A(1, 2) = I

26 FOR J = 0 TO 4

28 IF J <> 2 THEN IF J <> I THEN 32

30 GOTO 510

32 A(1, 3) = J

34 FOR K = 0 TO 4

36 IF K <> 2 THEN IF K <> I THEN IF K <> J THEN 40

38 GOTO 505

40 A(1, 4) = K

42 FOR L = 0 TO 4

44 IF L <> 2 THEN IF L <> I THEN IF L <> J THEN IF L <> K THEN 48

46 GOTO 500

48 A(1, 5) = L

50 Z = 2

52 A(Z, 1) = A(Z - 1, 5)

54 FOR X = 2 TO 5: A(Z, X) = A(Z - 1, X - 1): NEXT X

56 Z = Z + 1

58 IF Z > 5 THEN 70

60 GOTO 52

70 FOR M = 0 TO 4

72 IF M = 2 THEN 215

74 B(1, 1) = M

76 FOR N = 0 TO 4

78 IF N <> 2 THEN IF N <> M THEN 82

80 GOTO 210

82 B(1, 2) = N

84 FOR O = 0 TO 4

86 IF O <> 2 THEN IF O <> M THEN IF O <> N THEN 90

88 GOTO 205

90 B(1, 3) = O

92 FOR P = 0 TO 4

94 IF P <> 2 THEN IF P <> M THEN IF P <> N THEN IF P <> O THEN 98

96 GOTO 200

98 B(1, 4) = P: W = 2

100 FOR X = 1 TO 4: B(W, X) = B(W - 1, X + 1): NEXT X

102 B(W, 5) = B(W - 1, 1)

104 W = W + 1

106 IF W > 5 THEN 120

108 GOTO 100

120 FOR X = 1 TO 5

122 FOR Y = 1 TO 5

124 C(X, Y) = 5 * A(X, Y) + B(X, Y) + 1

126 NEXT Y

128 NEXT X

130 Z1 = 0: Z2 = 0

132 FOR X = 1 TO 5: Z1 = Z1 + C(X, X): Z2 = Z2 + C(X, 6 - X): NEXT X

134 IF Z1 = 65 THEN IF Z2 = 65 THEN 138

136 GOTO 200

138 FOR X = 1 TO 5: E(X) = 0: D(X) = 0: NEXT X

140 FOR X = 1 TO 5

142 FOR Y = 1 TO 5

144 E(X) = E(X) + C(X, Y): D(X) = D(X) + C(Y, X)

146 NEXT Y

148 IF E(X) = 65 THEN IF D(X) = 65 THEN 160

150 GOTO 200

160 NEXT X

162 D = D + 1

164 PRINT D: PRINT #1, D

166 FOR X = 1 TO 5

168 FOR Y = 1 TO 5

170 PRINT C(X, Y);

172 PRINT #1, C(X, Y);

174 NEXT Y

176 PRINT : PRINT #1,

178 NEXT X

200 NEXT P

205 NEXT O

210 NEXT N

215 NEXT M

500 NEXT L

505 NEXT K

510 NEXT J

515 NEXT I

520 CLOSE #1

600 END

 

Приведу первые 4 квадрата, построенные программой:

 

№ 1                                       № 2

 11  2  9  20  23                    11  2  10  19  23

 22  14  5  8  16                    22  15  4  8  16 

 19  25  13  1  7                    20  24  13  1  7

 10  18  21  12  4                  9  18  21  12  5 

 3  6  17  24  15                    3  6  17  25  14

 

№ 3                                       № 4

 11  4  7  20  23                    11  4  10  17  23  

 24  12  5  8  16                    24  15  2  8  16  

 17  25  13  1  9                    20  22  13  1  9  

 10  18  21  14  2                  7  18  21  14  5  

 3  6  19  22  15                    3  6  19  25  12

 

Я построила по программе и вторую группу квадратов, поменяв местами первый и второй латинские квадраты в формуле построения магического квадрата (см. строку 124 в программе). Эта группа, понятно, тоже состоит из 576 квадратов, но все они эквивалентны квадратам первой группы.

 

Для любого порядка n легко посчитать, сколько можно построить магических квадратов методом Делаира. Например, для n=7 количество квадратов будет равно 720*720=518400. Посмотрим один пример построения магического квадрата 7-ого порядка методом Делаира. Выбираем произвольную перестановку чисел от 0 до 6 так, чтобы последним числом в этой перестановке было число 3=[7/2]. Составляем первый латинский квадрат (рис. 10):

 

3

5

0

4

2

6

1

1

3

5

0

4

2

6

6

1

3

5

0

4

2

2

6

1

3

5

0

4

4

2

6

1

3

5

0

0

4

2

6

1

3

5

5

0

4

2

6

1

3

 

Рис. 10

 

Для составления второго латинского квадрата выбираем новую перестановку чисел от 0 до 6, в которой последнее число тоже должно быть равно 3. Составляем второй латинский квадрат, его составление начинаем с верхней строки. Смотрите рис. 11.

 

0

2

1

5

6

4

3

2

1

5

6

4

3

0

1

5

6

4

3

0

2

5

6

4

3

0

2

1

6

4

3

0

2

1

5

4

3

0

2

1

5

6

3

0

2

1

5

6

4

 

Рис. 11

 

Пара ортогональных латинских квадратов готова. Осталось построить магический квадрат. Вы видите готовый магический квадрат на рис. 12.

 

 

22

38

2

34

21

47

11

10

23

41

7

33

18

43

44

13

28

40

4

29

17

20

49

12

25

36

3

30

35

19

46

8

24

37

6

5

32

15

45

9

27

42

39

1

31

16

48

14

26

 

Рис. 12

 

В магических квадратах, построенных методом Делаира, работают качели. В квадрате на рис. 12 выделена начальная цепочка. В первом латинском квадрате (рис. 10) видно, как эта начальная цепочка в точности повторилась записанными в неё числами 0 (нулевой цикл качания качелей). А далее все наборы следующих циклов качания качелей повторяют начальную цепочку. На рис. 13 показана образующая таблица магического квадрата с рис. 12, если бы он строился методом качелей.

 

 

1

31

16

48

14

26

39

-4

5

32

15

45

9

27

42

-1

6

35

19

46

8

24

37

3

3

30

20

49

12

25

36

-1

4

29

17

44

13

28

40

-3

7

33

18

43

10

23

41

5

2

34

21

47

11

22

38

1

k=0

k=4

k=2

k=6

k=1

k=3

k=5

 

Рис. 13

 

Как видим, метод качелей применим и к методу Делаира.

 

Построим ещё один магический квадрат методом Делаира – 9-ого порядка. На рис. 14 и рис 15 вы видите пару ортогональных латинских вспомогательных квадратов, а на рис. 16 – готовый магический квадрат. Обе перестановки чисел выбраны так, что латинские квадраты получились нетрадиционными ассоциативными магическими квадратами. Поэтому и магический квадрат, построенный из этих квадратов, получился ассоциативным.

 

4

7

5

8

6

2

0

3

1

1

4

7

5

8

6

2

0

3

3

1

4

7

5

8

6

2

0

0

3

1

4

7

5

8

6

2

2

0

3

1

4

7

5

8

6

6

2

0

3

1

4

7

5

8

8

6

2

0

3

1

4

7

5

5

8

6

2

0

3

1

4

7

7

5

8

6

2

0

3

1

4

 

Рис. 14

 

2

8

5

7

1

3

0

6

4

8

5

7

1

3

0

6

4

2

5

7

1

3

0

6

4

2

8

7

1

3

0

6

4

2

8

5

1

3

0

6

4

2

8

5

7

3

0

6

4

2

8

5

7

1

0

6

4

2

8

5

7

1

3

6

4

2

8

5

7

1

3

0

4

2

8

5

7

1

3

0

6

 

Рис. 15

 

39

72

51

80

56

22

1

34

14

18

42

71

47

76

55

25

5

30

33

17

38

67

46

79

59

21

9

8

29

13

37

70

50

75

63

24

20

4

28

16

41

66

54

78

62

58

19

7

32

12

45

69

53

74

73

61

23

3

36

15

44

65

49

52

77

57

27

6

35

11

40

64

68

48

81

60

26

2

31

10

43

 

Рис. 16

 

Количество всех магических квадратов 9-ого порядка, которые можно построить методом Делаира, огромно, оно не влезает в мой калькулятор. Но, конечно, среди них будет много эквивалентных.

 

МЕТОД ОКАЙМЛЁННЫХ КВАДРАТОВ

 

Оригинальный метод окаймлённых квадратов я нашла в книге Ю. В. Чебракова. Раньше нигде этот метод не встречала. Излагаю по книге правила для построения магических квадратов нечётного порядка n=2k+1 с помощью окаймлённых квадратов.

 

1.      Строим любым известным методом магический квадрат порядка n-2.

2.      Увеличиваем все элементы построенного магического квадрата на величину 2(n-1).

3.      Помещаем построенный магический квадрат порядка n-2 в матрицу n*n так, чтобы с каждой стороны квадрата был один свободный столбец (свободная строка).

4.      Угловые ячейки матрицы n*n заполняются так: в верхнюю левую ячейку записывается число d-3k-1, в верхнюю правую – число d-k-1, в нижнюю левую - число k+1, в нижнюю правую - число 3k+1, где k=[n/2], d=n2+1.

5.      Свободные ячейки верхней строки матрицы заполняются следующими числами (в произвольном порядке): k и {m, d-2k-1-m} , где m=1, 2, … k-1.

6.      Свободные ячейки левого столбца матрицы заполняются следующими числами (в произвольном порядке): d-2k-1 и {k+1+m, d-3k-1-m}, где m=1, 2, … k-1.

7.      Свободные ячейки нижней строки матрицы заполняют числами, комплементарными (то есть дополнительными до d) числам, расположенным напротив соответствующей ячейки в верхней строке матрицы. Аналогично заполняются свободные ячейки правого столбца матрицы.

 

Продемонстрирую метод построения на примере, приведённом автором книги. Это пример построения магического квадрата 5-ого порядка. Понятно, что данным методом можно строить магические квадраты, начиная с порядка n=5.

В качестве исходного магического квадрата автор взял следующий магический квадрат третьего порядка (рис. 17):

 

8

1

6

3

5

7

4

9

2

 

Рис. 17

 

Выполним сразу два пункта, увеличим все элементы этого магического квадрата на 2(n-1)=8 и поместим его в матрицу 5х5 (см. рис. 18).

 

 

 

 

 

 

 

16

9

14

 

 

11

13

15

 

 

12

17

10

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 18

 

Выполняем пункт 4, заполняем угловые ячейки матрицы (рис. 19).

 

19

 

 

 

23

 

16

9

14

 

 

11

13

15

 

 

12

17

10

 

3

 

 

 

7

 

Рис. 19

 

Заполняем верхнюю строку и левый столбец матрицы (пункты 5 и 6). Смотрите на рис. 20.

 

19

1

2

20

23

4

16

9

14

 

21

11

13

15

 

18

12

17

10

 

3

 

 

 

7

 

Рис. 20

 

Осталось выполнить последний пункт – заполнить нижнюю строку и правый столбец матрицы комплементарными числами. И магический квадрат 5-ого порядка готов (рис. 21).

 

19

1

2

20

23

4

16

9

14

22

21

11

13

15

5

18

12

17

10

8

3

25

24

6

7

 

Рис. 21

 

Интересно отметить, что, поскольку, верхняя строка и левый столбец матрицы заполняются числами в произвольном порядке (кроме угловых ячеек), то можно построить не один магический квадрат данным методом. Так, для порядка n=5 можно построить 36 разных магических квадратов (вариантов заполнения верхней строки 6, и при этом вариантов заполнения левого столбца тоже 6). На рис. 22 вы видите один из вариантов.

 

19

2

20

1

23

18

16

9

14

8

4

11

13

15

22

21

12

17

10

5

3

24

6

25

7

 

Рис. 22

 

Теперь продолжу демонстрацию для квадрата 7-ого порядка. А в качестве исходного магического квадрата возьмём только что построенный магический квадрат 5-ого порядка с рис. 21. Результат выполнения пунктов 2-3 изображён на рис. 23.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

31

13

14

32

35

 

 

16

28

21

26

34

 

 

33

23

25

27

17

 

 

30

24

29

22

20

 

 

15

37

36

18

19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 23

 

Заполняем матрицу, выполняя пункты 4-7, и получаем следующий магический квадрат (рис. 24):

 

40

1

2

3

41

42

46

5

31

13

14

32

35

45

6

16

28

21

26

34

44

43

33

23

25

27

17

7

38

30

24

29

22

20

12

39

15

37

36

18

19

11

4

49

48

47

9

8

10

 

Рис. 24

 

Для квадрата 7-ого порядка вариантов ещё больше – 14400 (вариантов заполнения верхней строки 120, и при этом вариантов заполнения левого столбца тоже 120).

 

И, наконец, ещё один пример – построение магического квадрата 9-ого порядка. В качестве исходного снова берём только что построенный магический квадрат седьмого порядка (хотя, конечно, можно взять любой магический квадрат данного порядка). На рис 25 вы видите готовый магический квадрат 9-ого порядка.

 

69

1

2

3

4

70

71

72

77

6

56

17

18

19

57

58

62

76

7

21

47

29

30

48

51

61

75

8

22

32

44

37

42

50

60

74

73

59

49

39

41

43

33

23

9

66

54

46

40

45

38

36

28

16

67

55

31

53

52

34

35

27

15

68

20

65

64

63

25

24

26

14

5

81

80

79

78

12

11

10

13

 

Рис. 25

 

Предлагаю читателям посчитать, сколько магических квадратов 9-ого порядка можно построить данным методом.

 

Интересно, что каждый вписанный квадрат является нетрадиционным магическим квадратом. При этом магическая константа каждого квадрата, вписанного в магический квадрат 9-ого порядка, является числом кратным 41 (числу в центральной ячейке квадрата). Магическая константа каждого квадрата, вписанного в магический квадрат 7-ого порядка (рис. 24) кратна числу 25 и т. д.

Смотрите на квадрат 9-ого порядка (рис. 25). Магическая константа вписанного квадрата 3-его порядка равна 123=3*41, магическая константа вписанного квадрата 5-ого порядка равна 205=5*41, магическая константа вписанного квадрата 7-ого порядка равна 287=7*41. Забавная закономерность!

 

Вы можете продолжить построение окаймлённых магических квадратов.

 

***

 

На форуме dxdy.ru в теме “Магические квадраты” была приведена интересная иллюстрация из какого-то старого журнала о магических квадратах на английском языке. Иллюстрация названа “Концентрические магические квадраты”. Вот ссылка на данную тему:

http://dxdy.ru/topic12959.html

 

Я, конечно, сразу же скопировала эту иллюстрацию. А теперь поняла происхождение концентрических магических квадратов. На рис. 25 тоже изображены концентрические магические квадраты. Покажу здесь иллюстрацию из старого журнала, приведённую на форуме (рис. 26):

 

 

Рис. 26

 

Воспроизведу магический квадрат 11-ого порядка, изображённый справа (рис. 27), чтобы с ним было удобно работать.

 

112

9

114

7

108

5

106

3

104

1

102

671

11

29

98

27

96

25

92

23

88

21

111

621

110

90

82

41

78

39

74

37

76

32

12

671

13

31

43

71

50

49

68

67

79

91

109

671

116

94

80

70

64

57

62

52

42

28

6

671

15

33

45

53

59

61

63

69

77

89

107

671

118

100

84

56

60

65

58

66

38

22

4

671

17

35

47

55

72

73

54

51

75

87

105

671

120

36

46

81

44

83

48

85

40

86

2

671

19

101

24

95

26

97

30

99

34

93

103

721

20

113

8

115

14

117

16

119

18

121

10

671

671

671

671

671

671

671

671

671

671

671

671

 

 

Рис. 27

 

К своему удивлению обнаружила, что в двух строках магического квадрата нет магической суммы (неправильные суммы выделены на рис. 27 красным цветом). Конечно, нет магической суммы и в соответствующих строках вписанного нетрадиционного магического квадрата 9-ого порядка. Где-то вкралась ошибка!

Давайте “разденем” окаймлённые квадраты. На рис. 28 показан магический квадрат 9-ого порядка.

 

 

9

78

7

76

5

72

3

68

1

319

70

62

21

58

19

54

17

56

12

369

11

23

51

30

29

48

47

59

71

369

74

60

50

44

37

42

32

22

8

369

13

25

33

39

41

43

49

57

69

369

80

64

36

40

45

38

46

18

2

369

15

27

35

52

53

34

31

55

67

369

16

26

61

24

63

28

65

20

66

369

81

4

75

6

77

10

79

14

73

419

369

369

369

369

369

369

369

369

369

 

 

Рис. 28

 

Снова нет магической суммы в тех же строках. На рис. 29 изображён магический квадрат 7-ого порядка.

 

46

5

42

3

38

1

40

175

7

35

14

13

32

31

43

175

44

34

28

21

26

16

6

175

9

17

23

25

27

33

41

175

48

20

24

29

22

30

2

175

11

19

36

37

18

15

39

175

10

45

8

47

12

49

4

175

175

175

175

175

175

175

175

 

 

Рис. 28

 

В этом магическом квадрате уже всё нормально, магические суммы есть во всех строках, столбцах и главных диагоналях. Значит, ошибка была допущена при переходе от квадрата 7-ого порядка к квадрату 9-ого порядка. Сначала “разденем” квадрат до конца, то есть посмотрим ещё на магические квадраты пятого и третьего порядка, а затем поищем ошибку. На рис. 29 вы видите магический квадрат пятого порядка, а на рис. 30 – магический квадрат третьего порядка.

 

23

2

1

20

19

22

16

9

14

4

5

11

13

15

21

8

12

17

10

18

7

24

25

6

3

 

Рис. 29

 

8

1

6

3

5

7

4

9

2

 

Рис. 30

 

Как видите, исходный магический квадрат точно такой же, какой взят для построения магического квадрата 5-ого порядка Чебраковым (см. рис. 17).

 

Итак, ищем ошибку. Выполняем переход от магического квадрата 7-ого порядка к магическому квадрату 9-ого порядка. Сначала увеличим все элементы квадрата с рис. 28 на величину 2(n-1)=16 и поместим полученный нетрадиционный магический квадрат 7-ого порядка в матрицу 9х9. Результат изображён на рис. 31.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

62

21

58

19

54

17

56

 

 

23

51

30

29

48

47

59

 

 

60

50

44

37

42

32

22

 

 

25

33

39

41

43

49

57

 

 

64

36

40

45

38

46

18

 

 

27

35

52

53

34

31

55

 

 

26

61

24

63

28

65

20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 31

 

Пока всё правильно, нетрадиционный магический квадрат 7-ого порядка получился, его магическая константа равна 287. Теперь будем заполнять окаймление этого квадрата по приведённым выше правилам (рис. 32).

 

69

1

71

2

72

3

70

4

77

369

8

62

21

58

19

54

17

56

74

369

73

23

51

30

29

48

47

59

9

369

7

60

50

44

37

42

32

22

75

369

68

25

33

39

41

43

49

57

14

369

6

64

36

40

45

38

46

18

76

369

67

27

35

52

53

34

31

55

15

369

66

26

61

24

63

28

65

20

16

369

5

81

11

80

10

79

12

78

13

369

369

369

369

369

369

369

369

369

369

 

 

Рис. 32

 

Магический квадрат 9-ого порядка тоже получился! Окаймляем его ещё раз и получаем магический квадрат 11-ого порядка (рис. 33).

 

106

1

110

2

109

3

108

4

107

5

116

671

10

89

21

91

22

92

23

90

24

97

112

671

111

28

82

41

78

39

74

37

76

94

11

671

9

93

43

71

50

49

68

67

79

29

113

671

105

27

80

70

64

57

62

52

42

95

17

671

8

88

45

53

59

61

63

69

77

34

114

671

104

26

84

56

60

65

58

66

38

96

18

671

7

87

47

55

72

73

54

51

75

35

115

671

103

86

46

81

44

83

48

85

40

36

19

671

102

25

101

31

100

30

99

32

98

33

20

671

6

121

12

120

13

119

14

118

15

117

16

671

671

671

671

671

671

671

671

671

671

671

671

 

 

Рис. 33

 

Итак, если всё выполнять по правилам, изложенным Чебраковым, то магический квадрат получается правильным.

 

Понятно, что окаймление квадратов можно продолжить. На рис. 34 вы видите магический квадрат 13-ого порядка, полученный окаймлением квадрата с рис. 33.

 

151

1

156

2

155

3

154

4

153

5

152

6

163

12

130

25

134

26

133

27

132

28

131

29

140

158

157

34

113

45

115

46

116

47

114

48

121

136

13

11

135

52

106

65

102

63

98

61

100

118

35

159

150

33

117

67

95

74

73

92

91

103

53

137

20

10

129

51

104

94

88

81

86

76

66

119

41

160

149

32

112

69

77

83

85

87

93

101

58

138

21

9

128

50

108

80

84

89

82

90

62

120

42

161

148

31

111

71

79

96

97

78

75

99

59

139

22

8

127

110

70

105

68

107

72

109

64

60

43

162

147

126

49

125

55

124

54

123

56

122

57

44

23

146

30

145

36

144

37

143

38

142

39

141

40

24

7

169

14

168

15

167

16

166

17

165

18

164

19

 

Рис. 34

 

Теперь проверим второй магический квадрат, изображённый на старинной иллюстрации слева. Это магический квадрат 13-ого порядка, смотрите его на рис. 35.

 

98

110

122

134

146

158

1

26

38

50

62

74

86

112

118

34

166

150

3

161

15

10

46

164

68

58

126

8

88

148

29

143

35

137

19

90

76

162

44

140

104

106

39

133

53

129

57

125

59

64

66

30

154

32

17

121

65

99

89

103

69

49

153

138

16

168

165

145

119

107

75

93

87

63

51

25

5

2

13

7

31

43

91

97

85

73

79

127

139

163

157

14

159

147

115

61

83

77

95

109

55

23

11

156

28

18

21

47

101

71

81

67

105

123

149

152

142

42

130

116

111

37

117

41

113

45

131

54

40

128

56

92

94

22

141

27

135

33

151

80

82

78

114

70

102

136

4

20

167

9

155

160

124

6

52

100

84

60

48

36

24

12

169

144

132

120

108

96

72

 

Рис. 35

 

С этим квадратом всё в порядке, он вполне магический. Магические константы всех вписанных нетрадиционных магических квадратов кратны числу в центральной ячейке квадрата – 85, причём множитель кратности всегда равен порядку вписанного квадрата.

Однако здесь совсем другая технология заполнения окаймлённых квадратов. Предлагаю читателям разобраться в этой технологии. По сути дела мы имеем вариант метода окаймлённых квадратов.

 

Примечание: эта технология меня, конечно, очень заинтересовала, и я посвятила ей статью http://www.natalimak1.narod.ru/concent.htm  (статью пишу, если не открывается пока, подождите немного).

 

МЕТОД ПРИМЕНЕНИЯ ОБРАТИМЫХ КВАДРАТОВ

 

Этот метод я не встречала в имеющихся у меня книгах, и в Интернете тоже не встречала. Обратимые квадраты применяются для построения совершенных квадратов. Это есть в Интернете, в статье на английском языке и подробно мной рассмотрено в соответствующей статье. Далее я рассмотрела также построение идеальных квадратов с помощью обратимых (смотрите статью http://www.klassikpoez.narod.ru/obratid.htm ).

 

Теперь хочу показать построение магических квадратов любого нечётного порядка из обратимых квадратов. Определения для обратимых квадратов смотрите в статьях, написанных раньше.

Начну с магического квадрата третьего порядка. На рис. 36 вы видите самый простой обратимый квадрат третьего порядка.

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

 

Рис. 36

 

Будем строить магические квадраты, совпадающие с квадратами, построенными методом террас. Применим к обратимому квадрату с рис. 36 следующее матричное преобразование (рис. 37) [матрицу исходного квадрата мы обозначили A(aij)]:

 

а12

а31

а23

а33

а22

а11

а21

а13

а32

 

Рис. 37

 

В результате мы получим магический квадрат, который вы видите на рис. 38. Он в точности совпадает с квадратом, построенным методом террас.

 

2

7

6

9

5

1

4

3

8

 

Рис. 38

 

Проделаем то же самое для квадрата 5-ого порядка. Самый простой обратимый квадрат не буду показывать, читатели уже поняли, что в таком квадрате числа просто вписываются в естественном порядке построчно, начиная с левой верхней ячейки, в которую записывается число 1. На рис. 39 показано матричное преобразование, которое надо применить к самому простому обратимому квадрату 5-ого порядка, чтобы получить магический квадрат. Этот квадрат тоже будет такой же, как квадрат, построенный методом террас.

 

а13

а41

а24

а52

а35

а45

а23

а51

а34

а12

а22

а55

а33

а11

а44

а54

а32

а15

а43

а21

а31

а14

а42

а25

а53

 

Рис. 39

 

Применив это матричное преобразование к самому простому обратимому квадрату 5-ого порядка, получаем следующий магический квадрат (рис. 40):

 

3

16

9

22

15

20

8

21

14

2

7

25

13

1

19

24

12

5

18

6

11

4

17

10

23

 

Рис. 40

 

Ну, и ещё раз – для квадрата 7-ого порядка. На рис. 41 вы видите матричное преобразование для построения магического квадрата 7-ого порядка из самого простого обратимого квадрата.

 

а14

а51

а25

а62

а36

а73

а47

а57

а24

а61

а35

а72

а46

а13

а23

а67

а34

а71

а45

а12

а56

а66

а33

а77

а44

а11

а55

а22

а32

а76

а43

а17

а54

а21

а65

а75

а42

а16

а53

а27

а64

а31

а41

а15

а52

а26

а63

а37

а74

 

Рис. 41

 

На рис. 42 изображён готовый магический квадрат 7-ого порядка, построенный применением этого матричного преобразования к самому простому обратимому квадрату.

 

4

29

12

37

20

45

28

35

11

36

19

44

27

3

10

42

18

43

26

2

34

41

17

49

25

1

33

9

16

48

24

7

32

8

40

47

23

6

31

14

39

15

22

5

30

13

38

21

46

 

Рис. 42

 

“Ну и что же в этом методе?” – спросит читатель. Все эти магические квадраты можно построить и методом террас. Однако обратимый квадрат ведь не один только существует – самый простой. Есть ещё очень много обратимых квадратов. И из каждого обратимого квадрата, применяя то же самое матричное преобразование, можно построить новый магический квадрат. Таким образом, мы имеем обобщение метода террас. Покажу пример для квадрата 7-ого порядка. На рис. 43 вы видите новый обратимый квадрат.

 

5

6

7

4

1

2

3

12

13

14

11

8

9

10

19

20

21

18

15

16

17

26

27

28

25

22

23

24

33

34

35

32

29

30

31

40

41

42

39

36

37

38

47

48

49

46

43

44

45

 

Рис. 43

 

Обозначив по-прежнему матрицу этого обратимого квадрата A(aij), применим к нему матричное преобразование, изображённое на рис. 41. Мы получим новый магический квадрат 7-ого порядка (рис. 44).

 

4

33

8

41

16

49

24

31

11

40

15

48

23

7

14

38

18

47

22

6

30

37

21

45

25

5

29

13

20

44

28

3

32

12

36

43

27

2

35

10

39

19

26

1

34

9

42

17

46

 

Рис. 44

 

Очевидно, что новый квадрат подобен квадрату с рис. 42, однако не эквивалентен ему. Эти квадраты связаны преобразованием “плюс-минус 4”. На рис. 45 показана матрица этого преобразования.

 

 

+4

-4

+4

-4

+4

-4

-4

 

+4

-4

+4

-4

+4

+4

-4

 

+4

-4

+4

-4

-4

+4

-4

 

+4

-4

+4

+4

-4

+4

-4

 

+4

-4

-4

+4

-4

+4

-4

 

+4

+4

-4

+4

-4

+4

-4

 

 

Рис. 45

 

Посмотрите, как интересно: преобразование не затрагивает совсем одну главную диагональ. Наложив матрицу этого преобразования на квадрат с рис. 42 и выполнив все действия над числами, попавшими в закрашенные ячейки, вы получите квадрат с рис. 44. Очевидно, что преобразование сохраняет ассоциативность квадрата.

 

Много ли существует обратимых квадратов 7-ого порядка? Думаю, что очень много. Точное количество не знаю. Сочиню ещё один обратимый квадрат (рис. 46):

 

15

16

17

18

19

20

21

8

9

10

11

12

13

14

1

2

3

4

5

6

7

22

23

24

25

26

27

28

43

44

45

46

47

48

49

36

37

38

39

40

41

42

29

30

31

32

33

34

35

 

Рис. 46

 

Строим магический квадрат из этого обратимого квадрата с помощью того же матричного преобразования (с рис. 41). Полученный магический квадрат вы видите на рис. 47.

 

18

43

12

37

6

31

28

49

11

36

5

30

27

17

10

42

4

29

26

16

48

41

3

35

25

15

47

9

2

34

24

21

46

8

40

33

23

20

45

14

39

1

22

19

44

13

38

7

32

 

Рис. 47

 

Очевидно, что полученный магический квадрат оригинальный, то есть не эквивалентный двум построенным выше магическим квадратам 7-ого порядка. Даже начальная цепочка немного изменила свою форму, оставаясь по-прежнему диагональной. Этот квадрат связан с квадратом, построенным методом террас (рис. 42), преобразованием “плюс-минус 14”. Предлагаю читателям составить матрицу этого преобразования.

 

Так, с помощью обратимых квадратов мы получили обобщение метода террас. Понятно, что аналогично можно строить квадраты любого нечётного порядка. Магических квадратов построится ровно столько, сколько существует обратимых квадратов данного порядка. Матрицу преобразования надо составлять, исходя из пары квадратов: самый простой обратимый квадрат – квадрат, построенный методом террас. Впрочем, из трёх приведённых выше матриц преобразования можно вывести закономерности составления такой матрицы для любого нечётного порядка и написать матрицу в общем виде. Похожая задача с обобщением матрицы преобразования уже не раз решалась в предыдущих статьях.

 

МЕТОД СОСТАВНЫХ КВАДРАТОВ

 

Осталось рассказать об универсальном методе построения магических квадратов – методе составных квадратов. Этим методом можно построить магический квадрат любого порядка n, который может быть представлен в виде произведения двух чисел: n=k*m. Понятно, что минимальный порядок квадрата, который может быть построен данным методом, равен 9. Квадрат порядка k назовём базовым, а квадрат порядка m – основным. Базовый и основной квадраты можно менять местами. При этом если базовый и основной квадраты обладают некоторым свойством, оно присуще и составному квадрату. Так, например, из двух ассоциативных квадратов получается ассоциативный составной квадрат, из двух идеальных квадратов – идеальный составной квадрат.

 

Метод составных квадратов известен очень давно. К сожалению, не знаю имя его автора. Интересно отметить, что я открыла для себя этот метод, исследуя построение ассоциативных квадратов. А затем уже нашла его в одной статье в Интернете.

Построение магических квадратов разных видов данным методом встречается во многих моих статьях (там вы найдёте и подробное описание метода). Покажу здесь только один пример. Возьмём в качестве базового квадрата магический квадрат третьего порядка с рис. 38, а в качестве основного – магический квадрат 5-ого порядка с рис. 40. Поскольку оба квадрата ассоциативны, составной квадрат 15-ого порядка тоже будет ассоциативным (рис. 48).

 

28

41

34

47

40

153

166

159

172

165

128

141

134

147

140

45

33

46

39

27

170

158

171

164

152

145

133

146

139

127

32

50

38

26

44

157

175

163

151

169

132

150

138

126

144

49

37

30

43

31

174

162

155

168

156

149

137

130

143

131

36

29

42

35

48

161

154

167

160

173

136

129

142

135

148

203

216

209

222

215

103

116

109

122

115

3

16

9

22

15

220

208

221

214

202

120

108

121

114

102

20

8

21

14

2

207

225

213

201

219

107

125

113

101

119

7

25

13

1

19

224

212

205

218

206

124

112

105

118

106

24

12

5

18

6

211

204

217

210

223

111

104

117

110

123

11

4

17

10

23

78

91

84

97

90

53

66

59

72

65

178

191

184

197

190

95

83

96

89

77

70

58

71

64

52

195

183

196

189

177

82

100

88

76

94

57

75

63

51

69

182

200

188

176

194

99

87

80

93

81

74

62

55

68

56

199

187

180

193

181

86

79

92

85

98

61

54

67

60

73

186

179

192

185

198

 

Рис. 48

 

А теперь покажу квадрат, построенный на базе квадрата 5-ого порядка, основным будет квадрат третьего порядка (рис. 49):

 

20

25

24

137

142

141

74

79

78

191

196

195

128

133

132

27

23

19

144

140

136

81

77

73

198

194

190

135

131

127

22

21

26

139

138

143

76

75

80

193

192

197

130

129

134

173

178

177

65

70

69

182

187

186

119

124

123

11

16

15

180

176

172

72

68

64

189

185

181

126

122

118

18

14

10

175

174

179

67

66

71

184

183

188

121

120

125

13

12

17

56

61

60

218

223

222

110

115

114

2

7

6

164

169

168

63

59

55

225

221

217

117

113

109

9

5

1

171

167

163

58

57

62

220

219

224

112

111

116

4

3

8

166

165

170

209

214

213

101

106

105

38

43

42

155

160

159

47

52

51

216

212

208

108

104

100

45

41

37

162

158

154

54

50

46

211

210

215

103

102

107

40

39

44

157

156

161

49

48

53

92

97

96

29

34

33

146

151

150

83

88

87

200

205

204

99

95

91

36

32

28

153

149

145

90

86

82

207

203<