МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ

 

Часть V

 

Раздел 2. Построение магических квадратов чётно-чётного порядка

 

Перехожу к описанию методов построения магических квадратов чётно-чётного порядка, то есть порядка кратного 4: n=4k, k=1, 2, 3…

Кратко некоторые методы изложены в статье

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/metody.htm

 

 

МЕТОД КВАДРАТНЫХ РАМОК

 

Как я уже упоминала, метод квадратных рамок был найден мной очень давно в журнале “Наука и жизнь”. Сейчас встретила этот метод в книге Ю. В. Чебракова. Автор называет этот метод методом террас.

 

Рассмотрим построение данным методом магического квадрата восьмого порядка. На матричное поле (с изображённым на нём исходным квадратом 8х8) наносятся квадратные рамки со стороной в два раза меньшего размера, чем сторона исходного квадрата (см. рис. 1) с шагом в одну клетку по диагонали (или две клетки по строкам и столбцам). Затем по линиям рамок расставляются числа от 1 до n2 по порядку, начиная с левой верхней ячейки исходного квадрата, причём первая рамка обходится по часовой стрелке, вторая рамка начинается с верхней свободной справа ячейки квадрата и обходится против часовой стрелки и т. д. Числа, не попавшие в квадрат, переносятся внутрь его так, чтобы они примкнули к противолежащим сторонам квадрата. Готовый магический квадрат изображён на рис. 2.

 

 

 

4

5

 

 

 

 

 

3

 

 

6

 

 

2

 

21

20

 

7

 

1

 

22

 

 

19

 

8

16

23

 

36

37

 

18

9

24

15

35

 

 

38

10

17

25

34

14

53

52

11

39

32

33

26

54

13

12

51

31

40

48

55

27

 

 

30

50

41

56

47

 

28

29

 

42

49

57

 

46

 

 

43

 

64

 

58

 

45

44

 

63

 

 

 

59

 

 

62

 

 

 

 

 

60

61

 

 

 

 

                      Рис. 1

 

Примечание: здесь рамки не получились квадратными да ещё и немного сместились из-за неудобной графики компьютера.

 

 

1

58

22

45

44

19

63

8

16

23

59

36

37

62

18

9

24

15

35

60

61

38

10

17

25

34

14

53

52

11

39

32

33

26

54

13

12

51

31

40

48

55

27

4

5

30

50

41

56

47

3

28

29

6

42

49

57

2

46

21

20

43

7

64

 

                                                                       Рис. 2

 

Магические квадраты, построенные методом квадратных рамок, ассоциативны.

 

Приведу иллюстрацию из моей старой рукописи “Компьютер решает головоломки”. Рукопись была напечатана в 1993 г. на старой ЭВМ, но которой я работала. На иллюстрации показано построение магического квадрата 12-ого порядка методом квадратных рамок. Ячейки раскрашены цветным карандашом (печать на ЭВМ была, конечно, чёрно-белая). Надпись на иллюстрации сделана сейчас.

 

 

Понятно, что методом квадратных рамок можно построить только один магический квадрат данного порядка. Можно ли обобщить метод? Попробуем сделать это с помощью использования обратимых квадратов. Начнём с магического квадрата 4-ого порядка. На рис. 3 вы видите квадрат, построенный методом квадратных рамок.

 

1

14

15

4

8

11

10

5

12

7

6

9

13

2

3

16

 

                                                                       Рис. 3

 

Чтобы получить такой магический квадрат, применим к самому простому обратимому квадрату, матрицу которого обозначим A(aij), следующее матричное преобразование (рис. 4):

 

a11

a42

a43

a14

a24

a33

a32

a21

a34

a23

a22

a31

a41

a12

a13

a44

 

                                                                       Рис. 4

 

А теперь возьмём другой обратимый квадрат 4-ого порядка (рис. 5) и применим к нему это же преобразование.

 

1

2

5

6

3

4

7

8

9

10

13

14

11

12

15

16

 

                                                                       Рис. 5

 

На рисунке 6 вы видите готовый магический квадрат.

 

1

12

15

6

8

13

10

3

14

7

4

9

11

2

5

16

 

                                                                       Рис. 6

 

Мы получили новый магический квадрат, не эквивалентный квадрату на рис. 3. Эти два квадрат связаны преобразованием “плюс-минус 2”. Предлагаю читателям составить матрицу этого преобразования.

 

В статье http://www.geocities.com/~harveyh/most-perfect.htm приведено точное количество обратимых квадратов 4-ого порядка; их всего 48, три группы по 16 квадратов в каждой. Вот первая группа обратимых квадратов из этой статьи.

 

1

2

3

4

…. ….  

1

2

3

4

.... ....

5

6

7

8

.... ....

5

6

7

8

5

6

7

8

 

9

10

11

12

 

1

2

3

4

 

13

14

15

16

9

10

11

12

 

5

6

7

8

 

13

14

15

16

 

1

2

3

4

13

14

15

16

 

13

14

15

16

 

9

10

11

12

 

9

10

11

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

3

2

4

 

1

3

2

4

 

5

7

6

8

 

5

7

6

8

5

7

6

8

 

9

11

10

12

 

1

3

2

4

 

13

15

14

16

9

11

10

12

 

5

7

6

8

 

13

15

14

16

 

1

3

2

4

13

15

14

16

 

13

15

14

16

 

9

11

10

12

 

9

11

10

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

4

3

 

2

1

4

3

 

6

5

8

7

 

6

5

8

7

6

5

8

7

 

10

9

12

11

 

2

1

4

3

 

14

13

16

15

10

9

12

11

 

6

5

8

7

 

14

13

16

15

 

2

1

4

3

14

13

16

15

 

14

13

16

15

 

10

9

12

11

 

10

9

12

11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

4

1

3

 

2

4

1

3

 

6

8

5

7

 

6

8

5

7

6

8

5

7

 

10

12

9

11

 

2

4

1

3

 

14

16

13

15

10

12

9

11

 

6

8

5

7

 

14

16

13

15

 

2

4

1

3

14

16

13

15

 

14

16

13

15

 

10

12

9

11

 

10

12

9

11

 

Первый квадрат – это самый простой обратимый квадрат, в нём числа записаны в естественном порядке.

 

Приведу ещё один пример применения матричного преобразования с рис. 4 к одному из обратимых квадратов. Возьму в качестве исходного последний обратимый квадрат (из приведённой выше группы обратимых квадратов). На рис. 7 вы видите построенный магический квадрат.

 

6

12

9

7

15

1

4

14

3

13

16

2

10

8

5

11

 

                                                                       Рис. 7

 

Этот квадрат получается из квадрата, построенного методом квадратных рамок (рис. 3), перестановкой строк и столбцов.

 

Таким образом, мы можем построить с помощью данного матричного преобразования 48 магических квадратов 4-ого порядка. Вот такое интересное обобщение метода квадратных рамок даёт использование обратимых квадратов.

 

Проделаем то же самое для квадратов 8-ого порядка. На рис. 8 вы видите матричное преобразование, которое надо применить к самому простому обратимому квадрату 8-ого порядка, чтобы получить магический квадрат, построенный методом квадратных рамок (рис. 2).

 

a11

a82

a36

a65

a64

a33

a87

a18

a28

a37

a83

a54

a55

a86

a32

a21

a38

a27

a53

a84

a85

a56

a22

a31

a41

a52

a26

a75

a74

a23

a57

a48

a51

a42

a76

a25

a24

a73

a47

a58

a68

a77

a43

a14

a15

a46

a72

a61

a78

a67

a13

a44

a45

a16

a62

a71

a81

a12

a66

a35

a34

a63

a17

a88

 

                                                                       Рис. 8

 

Берём теперь в качестве исходного квадрата другой обратимый квадрат, изображённый на рис. 9.

 

1

2

3

4

9

10

11

12

5

6

7

8

13

14

15

16

17

18

19

20

25

26

27

28

21

22

23

24

29

30

31

32

33

34

35

36

41

42

43

44

37

38

39

40

45

46

47

48

49

50

51

52

57

58

59

60

53

54

55

56

61

62

63

64

 

                                                                       Рис. 9

 

Применив матричное преобразование с рис. 8 к этому обратимому квадрату, получаем следующий магический квадрат (рис. 10):

 

1

54

26

45

40

19

63

12

16

27

55

36

41

62

18

5

28

15

35

56

61

42

6

17

21

34

14

57

52

7

43

32

33

22

58

13

8

51

31

44

48

59

23

4

9

30

50

37

60

47

3

24

29

10

38

49

53

2

46

25

20

39

11

64

 

                                                                       Рис. 10

 

Очевидно, что магические квадраты, построенные с помощью матричного преобразования, тоже ассоциативны (см. квадраты на рис. 6, 7, 10).

 

Новый магический квадрат 8-ого порядка связан с квадратом, построенным методом квадратных рамок, преобразованием “плюс-минус 4”. Вы видите матрицу этого преобразования на рис. 10а.

 

 

-4

+4

 

-4

 

 

+4

 

+4

-4

 

+4

 

 

-4

+4

 

 

-4

 

+4

-4

 

-4

 

 

+4

 

-4

+4

 

 

-4

+4

 

-4

 

 

+4

 

+4

-4

 

+4

 

 

-4

+4

 

 

-4

 

+4

-4

 

-4

 

 

+4

 

-4

+4

 

 

                                                                       Рис. 10а

 

Симпатичное преобразование, сохраняющее ассоциативность квадрата.

 

В указанной выше статье приведено количество обратимых квадратов 8-ого порядка, это 10 групп по 36864 квадрата в каждой, итого 368640 квадратов. Столько же магических квадратов мы можем построить с помощью показанного здесь матричного преобразования.

 

Понятно, что применение матричного преобразования легко запрограммировать. Если составить программу построения всех обратимых квадратов 8-ого порядка, то, добавив в эту программу блок применения к каждому обратимому квадрату матричного преобразования, вы построите с помощью этой программы 368640 магических квадратов 8-ого порядка. Все эти квадраты будут различны с точностью до перестановки строк и столбцов и преобразований типа “плюс-минус …”.

 

В статье http://www.klassikpoez.narod.ru/soversh3.htm я построила все 10 уникальных (то есть принципиально различных) обратимых квадратов 8-ого порядка. Каждый из уникальных обратимых квадратов порождает группу из 36864 обратимых квадратов. Построение всех обратимых квадратов – задача очень интересная ещё и потому, что из каждого обратимого квадрата другим матричным преобразованием (оно разработано мной при исследовании совершенных квадратов) можно получить совершенный магический квадрат.

 

На рис. 11 покажу третий уникальный обратимый квадрат 8-ого порядка (два уже представлены здесь, первый – самый простой обратимый квадрат, в котором числа записаны по порядку, второй – на рис. 9).

 

1

2

3

4

33

34

35

36

5

6

7

8

37

38

39

40

9

10

11

12

41

42

43

44

13

14

15

16

45

46

47

48

17

18

19

20

49

50

51

52

21

22

23

24

53

54

55

56

25

26

27

28

57

58

59

60

29

30

31

32

61

62

63

64

 

Рис. 11

 

Применим матричное преобразование с рис. 8 к этому обратимому квадрату. Полученный в результате магический квадрат вы видите на рис. 12.

 

1

30

42

53

24

11

63

36

40

43

31

20

49

62

10

5

44

39

19

32

61

50

6

9

13

18

38

57

28

7

51

48

17

14

58

37

8

27

47

52

56

59

15

4

33

46

26

21

60

55

3

16

45

34

22

25

29

2

54

41

12

23

35

64

 

                                                                       Рис. 12

 

***

 

Посмотрим на метод квадратных рамок с точки зрения латинских квадратов. Для этого разложим магический квадрат, построенный этим методом (рис. 2) на два ортогональных латинских квадрата. Смотрите эти квадраты на рис. 13 - 14.

 

0

7

2

5

5

2

7

0

1

2

7

4

4

7

2

1

2

1

4

7

7

4

1

2

3

4

1

6

6

1

4

3

4

3

6

1

1

6

3

4

5

6

3

0

0

3

6

5

6

5

0

3

3

0

5

6

7

0

5

2

2

5

0

7

 

                                                                       Рис. 13

 

Первый латинский квадрат получился обобщённый. Он, как и должно быть, является нетрадиционным ассоциативным магическим квадратом с магической константой 28. Очевидны некоторые закономерности в составлении этого латинского квадрата: 1)правая половина квадрата является зеркальным отражением левой половины; 2) в первом столбце числа записаны по порядку; 3) числа в нижней строке комплементарны числам в соответствующих ячейках верхней строки (то есть в сумме дают 7); 4) то же самое имеет место для чисел в любых двух симметричных строках.  Есть ещё некоторые, не такие очевидные, закономерности. Предлагаю читателям выявить эти закономерности. Достаточно ли этих закономерностей, чтобы составить латинский квадрат? Попробуйте ответить на этот вопрос. А для этого попытайтесь составить первый латинский квадрат для построения магического квадрата 12-ого порядка, разумеется, точно такого, какой строится методом квадратных рамок (этот квадрат вы видите на иллюстрации из книги “Компьютер решает головоломки”).

 

Вот второй латинский квадрат (рис. 14).

 

0

1

5

4

3

2

6

7

7

6

2

3

4

5

1

0

7

6

2

3

4

5

1

0

0

1

5

4

3

2

6

7

0

1

5

4

3

2

6

7

7

6

2

3

4

5

1

0

7

6

2

3

4

5

1

0

0

1

5

4

3

2

6

7

 

                                                                       Рис. 14

 

Второй латинский квадрат тоже обобщённый. Он так же является нетрадиционным ассоциативным магическим квадратом с магической константой 28. Как он составляется, трудно определить. Ясно одно: он должен быть ортогонален первому латинскому квадрату.

 

Интересно посмотреть на магический квадрат, который получится, если латинские квадраты поменять местами (рис. 15).

 

1

16

43

38

30

19

56

57

58

51

24

29

37

48

11

2

59

50

21

32

40

45

10

3

4

13

42

39

31

18

53

60

5

12

47

34

26

23

52

61

62

55

20

25

33

44

15

6

63

54

17

28

36

41

14

7

8

9

46

35

27

22

49

64

 

                                                                       Рис. 15

 

Получился новый магический квадрат с очень оригинальной начальной цепочкой. Продублирую здесь квадрат, построенный методом квадратных рамок, и выделю в нём начальную цепочку для сравнения (рис. 16).

 

1

58

22

45

44

19

63

8

16

23

59

36

37

62

18

9

24

15

35

60

61

38

10

17

25

34

14

53

52

11

39

32

33

26

54

13

12

51

31

40

48

55

27

4

5

30

50

41

56

47

3

28

29

6

42

49

57

2

46

21

20

43

7

64

 

                                                                       Рис. 16

 

Следовательно, применение латинских квадратов даёт нам как минимум ещё один новый магический квадрат.

 

Ну, и, конечно, в квадратах, построенных методом квадратных рамок, работают качели. Предлагаю любознательным читателям убедиться в этом самостоятельно.

 

***

 

Сейчас попробовала составить первый латинский квадрат для построения квадрата 12-ого порядка, который строится методом квадратных рамок. Для этого использовала те закономерности, которые выявлены в первом латинском квадрате 8-ого порядка (см. рис. 13). Первый латинский квадрат получился такой (рис. 17):

 

0

11

2

9

4

7

7

4

9

2

11

0

1

2

11

4

9

6

6

9

4

11

2

1

2

1

4

11

6

9

9

6

11

4

1

2

3

4

1

6

11

8

8

11

6

1

4

3

4

3

6

1

8

11

11

8

1

6

3

4

5

6

3

8

1

10

10

1

8

3

6

5

6

5

8

3

10

1

1

10

3

8

5

6

7

8

5

10

3

0

0

3

10

5

8

7

8

7

10

5

0

3

3

0

5

10

7

8

9

10

7

0

5

2

2

5

0

7

10

9

10

9

0

7

2

5

5

2

7

0

9

10

11

0

9

2

7

4

4

7

2

9

0

11

 

                                                                       Рис. 17

 

Все закономерности сохранены. Обратите внимание на то, как интересно в квадратах, построенных методом квадратных рамок, повторяется начальная цепочка. На рис. 17 раскрашены нулевой, первый и второй циклы качания качелей. Нулевой цикл, как знают читатели, соответствует числам начальной цепочки. Начальная цепочка повторяется попеременно то в таком же виде, то в перевёрнутом.

 

Итак, первый латинский квадрат для построения магических квадратов, строящихся методом квадратных рамок, мы составлять умеем. Осталось научиться составлять второй латинский квадрат (он должен быть ортогональным первому). Пока я не могу сказать, как это делается, и поэтому получаю второй латинский квадрат как дополнительный к первому по известному мне готовому квадрату, построенному методом квадратных рамок. Второй латинский квадрат изображён на рис. 18.

 

0

1

9

8

4

5

6

7

3

2

10

11

11

10

2

3

7

6

5

4

8

9

1

0

11

10

2

3

7

6

5

4

8

9

1

0

0

1

9

8

4

5

6

7

3

2

10

11

0

1

9

8

4

5

6

7

3

2

10

11

11

10

2

3

7

6

5

4

8

9

1

0

11

10

2

3

7

6

5

4

8

9

1

0

0

1

9

8

4

5

6

7

3

2

10

11

0

1

9

8

4

5

6

7

3

2

10

11

11

10

2

3

7

6

5

4

8

9

1

0

11

10

2

3

7

6

5

4

8

9

1

0

0

1

9

8

4

5

6

7

3

2

10

11

 

                                                                       Рис. 18

 

Оба латинских квадрата обобщённые и являются нетрадиционными ассоциативными магическими квадратами с магической константой 66.

 

Теперь осталось построить из полученной пары ортогональных латинских квадратов магический квадрат. Сначала построим магический квадрат, в точности совпадающий с квадратом, построенным методом квадратных рамок (рис. 19).

 

1

134

34

117

53

90

91

56

112

27

143

12

24

35

135

52

116

79

78

113

57

142

26

13

36

23

51

136

80

115

114

77

141

58

14

25

37

50

22

81

137

102

103

140

76

15

59

48

49

38

82

21

101

138

139

104

16

75

47

60

72

83

39

100

20

127

126

17

105

46

74

61

84

71

99

40

128

19

18

125

45

106

62

73

85

98

70

129

41

6

7

44

124

63

107

96

97

86

130

69

5

42

43

8

64

123

95

108

120

131

87

4

68

31

30

65

9

94

122

109

132

119

3

88

32

67

66

29

93

10

110

121

133

2

118

33

89

54

55

92

28

111

11

144

 

                                                                       Рис. 19

 

В магическом квадрате раскрашены наборы чисел, соответствующие нулевому, первому и второму циклам качания качелей (как и в первом латинском квадрате).

 

Теперь поменяем местами первый и второй латинские квадраты в формуле для построения магического квадрата (надеюсь, читатели помнят эту формулу). В результате мы получим новый магический квадрат 12 порядка с оригинальной начальной цепочкой. Смотрите этот квадрат на рис. 20.

 

1

24

111

106

53

68

80

89

46

27

132

133

134

123

36

41

94

79

67

58

101

120

15

2

135

122

29

48

91

82

70

55

108

113

14

3

4

17

110

103

60

69

81

96

43

26

125

136

5

16

115

98

57

72

84

93

38

31

124

137

138

127

28

45

86

83

71

50

105

112

19

6

139

126

33

40

95

74

62

59

100

117

18

7

8

21

114

107

52

61

73

88

47

30

129

140

9

20

119

102

49

64

76

85

42

35

128

141

142

131

32

37

90

75

63

54

97

116

23

10

143

130

25

44

87

78

66

51

104

109

22

11

12

13

118

99

56

65

77

92

39

34

121

144

 

                                                                       Рис. 20

 

В этом магическом квадрате “тон задаёт” латинский квадрат с рис. 18, потому что он в этом случае – первый. Продублирую этот латинский квадрат и сделаю соответствующую раскраску (рис. 21).

 

0

1

9

8

4

5

6

7

3

2

10

11

11

10

2

3

7

6

5

4

8

9

1

0

11

10

2

3

7

6

5

4

8

9

1

0

0

1

9

8

4

5

6

7

3

2

10

11

0

1

9

8

4

5

6

7

3

2

10

11

11

10

2

3

7

6

5

4

8

9

1

0

11

10

2

3

7

6

5

4

8

9

1

0

0

1

9

8

4

5

6

7

3

2

10

11

0

1

9

8

4

5

6

7

3

2

10

11

11

10

2

3

7

6

5

4

8

9

1

0

11

10

2

3

7

6

5

4

8

9

1

0

0

1

9

8

4

5

6

7

3

2

10

11

 

                                                                       Рис. 21

 

Незыблемый закон повторения начальной цепочки в циклах!

 

МЕТОД РАУЗ-БОЛЛА

 

Метод Рауз-Болла состоит в следующем: в данный квадрат чётно-чётного порядка вписываются числа в их естественном порядке, начиная с левой верхней ячейки. Затем в квадрате проводятся диагонали. Числа, расположенные во взаимно симметричных ячейках (относительно центра квадрата), через которые прошли диагонали, меняются местами, а числа, через которые диагонали не прошли, остаются на месте. Так, на рис. 22 диагонали пересекли восемь чисел, надо поменять местами взаимно симметричные: 1-16, 6-11, 13-4, 10-7. Готовый магический квадрат изображён на рис. 23. Можно поступить наоборот: оставить на месте числа, через которые прошли диагонали, а поменять местами числа, не попавшие на диагонали и симметрично расположенные относительно центра квадрата. На рис. 24 показан квадрат, построенный таким образом. Сравнив его с квадратом на рис. 23, вы видите, что это тот же квадрат, повёрнутый на 180 градусов вокруг центра квадрата.

 

 

1

2

3

4

 

16

2

3

13

 

1

15

14

4

5

6

7

8

5

11

10

8

12

6

7

9

9

10

11

12

9

7

6

12

8

10

11

5

13

14

15

16

4

14

15

1

13

3

2

16

 

Рис. 22                           Рис. 23                      Рис. 24

 

При построении методом Рауз-Болла магического квадрата восьмого порядка диагонали соединяют на только углы квадрата, но и середины его сторон, то есть диагонали проводятся в четырёх  угловых квадратах 4х4 (см. рис. 25); взаимно симметричных пар чисел, которые надо поменять местами, будет шестнадцать: 1-64, 10-55, 19-46, 28-37, 8-57, 15-50, 22-43, 29-36, 4-61, 5-60, 11-54, 14-51, 18-47, 23-42, 25-40, 32-33. На рис. 26 изображён готовый магический квадрат восьмого порядка, построенный методом Рауз-Болла.

 

 

1

2

3

4

5

6

7

8

 

64

2

3

61

60

6

7

57

9

10

11

12

13

14

15

16

9

55

54

12

13

51

50

16

17

18

19

20

21

22

23

24

17

47

46

20

21

43

42

24

25

26

27

28

29

30

31

32

40

26

27

37

36

30

31

33

33

34

35

36

37

38

39

40

32

34

35

29

28

38

39

25

41

42

43

44

45

46

47

48

41

23

22

44

45

19

18

48

49

50

51

52

53

54

55

56

49

15

14

52

53

11

10

56

57

58

59

60

61

62

63

64

8

58

59

5

4

62

63

1

 

   Рис. 25                                                                  Рис. 26

 

Примечание: описание метода приведено по журналу “Наука и жизнь” (к сожалению, номер журнала я не помню, так как это было очень давно, 70-е годы прошлого века).

Интересно отметить, что в книге Ю. В. Чебракова метод Рауз-Болла представлен как метод Деланэ – Мондезира. Чебраков описывает метод так: “Построим исходную таблицу размером n*n. Разделим исходную таблицу на квадратные блоки 4*4 и отметим в каждом блоке клетки, находящиеся на главных диагоналях. Для получения классического квадрата порядка n=4k остаётся во всех отмеченных клетках произвести замену находящихся в них чисел di на числа n*n + 1 - di” (стр. 116).

Исходной таблицей автор называет самый простой обратимый квадрат.

Очевидно, что метод, описанный Чебраковым, не что иное, как метод Рауз-Болла. Непонятно, почему у него он называется по-другому.

Следует добавить, что для получения классического квадрата можно наоборот числа в отмеченных ячейках оставить без изменения, а все остальные числа заменить на взаимно дополнительные (см. рис. 26а).

 

1

2

3

4

5

6

7

8

 

1

63

62

4

5

59

58

8

9

10

11

12

13

14

15

16

 

56

10

11

53

52

14

15

49

17

18

19

20

21

22

23

24

 

48

18

19

45

44

22

23

41

25

26

27

28

29

30

31

32

 

25

39

38

28

29

35

34

32

33

34

35

36

37

38

39

40

->

33

31

30

36

37

27

26

40

41

42

43

44

45

46

47

48

 

24

42

43

21

20

46

47

17

49

50

51

52

53

54

55

56

 

16

50

51

13

12

54

55

9

57

58

59

60

61

62

63

64

 

57

7

6

60

61

3

2

64

 

Рис. 26а

 

Очевидно, что магический квадрат, построенный методом Рауз-Болла, ассоциативен.

 

В журнале был приведён ещё упрощённый метод Рауз-Болла, но он мало интересен, так как приводит к эквивалентному магическому квадрату. Кратко упрощённый метод состоит в следующем: так же проводят в квадрате диагонали, а затем вписывают числа в естественном порядке, сначала заполняя ячейки, пересечённые диагоналями и пропуская ячейки, не пересечённые диагоналями, а потом наоборот, начиная теперь писать с нижней правой ячейки квадрата. На рис. 27 изображён квадрат 8-ого порядка, построенный упрощённым методом Рауз-Болла.

 

1

63

62

4

5

59

58

8

56

10

11

53

52

14

15

49

48

18

19

45

44

22

23

41

25

39

38

28

29

35

34

32

33

31

30

36

37

27

26

40

24

42

43

21

20

46

47

17

16

50

51

13

12

54

55

9

57

7

6

60

61

3

2

64

 

                                                                       Рис. 27

 

Как видите, этот квадрат эквивалентен квадрату с рис. 26 и в точности совпадает с квадратом на рис. 26а справа.

Покажу ещё один квадрат, построенный упрощённым методом Рауз-Болла (рис. 27а). В квадрате выделена начальная цепочка.

 

1

143

142

4

5

139

138

8

9

135

134

12

132

14

15

129

128

18

19

125

124

22

23

121

120

26

27

117

116

30

31

113

112

34

35

109

37

107

106

40

41

103

102

44

45

99

98

48

49

95

94

52

53

91

90

56

57

87

86

60

84

62

63

81

80

66

67

77

76

70

71

73

72

74

75

69

68

78

79

65

64

82

83

61

85

59

58

88

89

55

54

92

93

51

50

96

97

47

46

100

101

43

42

104

105

39

38

108

36

110

111

33

32

114

115

29

28

118

119

25

24

122

123

21

20

126

127

17

16

130

131

13

133

11

10

136

137

7

6

140

141

3

2

144

 

                                                                       Рис. 27а

 

Обратите внимание: в этом методе исходным квадратом является самый простой обратимый квадрат. Естественно, сразу возникает вопрос: можно ли применить метод к другому обратимому квадрату. Проверим. Возьмём в качестве исходного обратимый квадрат 4-ого порядка с рис. 5. Проделаем нужные перестановки чисел в этом квадрате. Готовый магический квадрат показан на рис. 28.

 

16

2

5

11

3

13

10

8

9

7

4

14

6

12

15

1

 

                                                                       Рис. 28

 

Получаем новый магический квадрат. Он связан с квадратом, построенным методом Рауз-Болла (рис. 23) преобразованием “плюс-минус 2”. Даже начальная цепочка изменила форму.

 

Аналогично тому, как это было сделано в методе квадратных рамок, можно составить матрицу преобразования, с помощью которого очень просто строить магические квадраты из обратимых. Предоставляю это читателям.

 

Таким образом, мы имеем обобщение метода Рауз-Болла: из каждого обратимого квадрата можно получить новый магический квадрат.

 

Посмотрим на метод Рауз-Болла с точки зрения латинских квадратов. Для этого разложим квадрат с рис. 26 на два латинских квадрата. Первый латинский квадрат вы видите на рис. 29.

 

7

0

0

7

7

0

0

7

1

6

6

1

1

6

6

1

2

5

5

2

2

5

5

2

4

3

3

4

4

3

3

4

3

4

4

3

3

4

4

3

5

2

2

5

5

2

2

5

6

1

1

6

6

1

1

6

0

7

7

0

0

7

7

0

 

                                                                       Рис. 29

 

Во-первых, разумеется, этот обобщённый латинский квадрат является нетрадиционным ассоциативным магическим квадратом с магической константой 28. Ещё четыре закономерности очевидны: 1) числа в противоположных ячейках симметричных строк комплементарны; 2) правая половина квадрата является зеркальным отражением левой половины; 3) числа в главных диагоналях записаны по порядку; 4) каждая строка составляется из двух комплементарных чисел. Менее очевидная закономерность: четвертинка квадрата, состоящая из третьего и четвёртого столбцов, является зеркальным отражением четвертинки квадрата, состоящей из первого и второго столбцов. Аналогично – для третьей и четвёртой четвертинок. Думаю, этих закономерностей вполне достаточно, чтобы составить первый латинский квадрат, например, 12-ого порядка. Попробуйте!

 

В первом латинском квадрате хорошо видно повторение начальной цепочки. Оригинальная начальная цепочка! Продублирую квадрат с рис. 26 и сделаю в нём соответствующую раскраску (рис. 29а).

 

64

2

3

61

60

6

7

57

9

55

54

12

13

51

50

16

17

47

46

20

21

43

42

24

40

26

27

37

36

30

31

33

32

34

35

29

28

38

39

25

41

23

22

44

45

19

18

48

49

15

14

52

53

11

10

56

8

58

59

5

4

62

63

1

 

                                                                       Рис. 29а

 

На рис. 30 вы видите второй латинский квадрат.

 

7

1

2

4

3

5

6

0

0

6

5

3

4

2

1

7

0

6

5

3

4

2

1

7

7

1

2

4

3

5

6

0

7

1

2

4

3

5

6

0

0

6

5

3

4

2

1

7

0

6

5

3

4

2

1

7

7

1

2

4

3

5

6

0

 

                                                                       Рис. 30

 

Очевидно, что второй латинский квадрат получается из первого поворотом на 90 градусов против часовой стрелки. Поэтому составление пары ортогональных латинских квадратов в случае метода Рауз-Болла легко запрограммировать.

 

Посмотрим на магический квадрат, построенный из пары этих ортогональных латинских квадратов, переставленных в формуле для построения магического квадрата (рис. 31).

 

64

9

17

40

32

41

49

8

2

55

47

26

34

23

15

58

3

54

46

27

35

22

14

59

61

12

20

37

29

44

52

5

60

13

21

36

28

45

53

4

6

51

43

30

38

19

11

62

7

50

42

31

39

18

10

63

57

16

24

33

25

48

56

1

 

                                                                       Рис. 31

 

Очевидно, что этот квадрат эквивалентен квадрату с рис. 26.

 

На рис. 32 представлен первый латинский квадрат для построения магического квадрата 12-ого порядка (такого, какой строится методом Рауз-Болла). Этот латинский квадрат составлен по выявленным выше закономерностям в первом латинском квадрате 8-ого порядка (рис. 29).

 

11

0

0

11

11

0

0

11

11

0

0

11

1

10

10

1

1

10

10

1

1

10

10

1

2

9

9

2

2

9

9

2

2

9

9

2

8

3

3

8

8

3

3

8

8

3

3

8

7

4

4

7

7

4

4

7

7

4

4

7

5

6

6

5

5

6

6

5

5

6

6

5

6

5

5

6

6

5

5

6

6

5

5

6

4

7

7

4

4

7

7

4

4

7

7

4

3

8

8

3

3

8

8

3

3

8

8

3

9

2

2

9

9

2

2

9

9

2

2

9

10

1

1

10

10

1

1

10

10

1

1

10

0

11

11

0

0

11

11

0

0

11

11

0

 

                                                                       Рис. 32

 

Повернув этот латинский квадрат на 90 градусов против часовой стрелки, мы получим второй латинский квадрат (рис. 33).

 

11

1

2

8

7

5

6

4

3

9

10

0

0

10

9

3

4

6

5

7

8

2

1

11

0

10

9

3

4

6

5

7

8

2

1

11

11

1

2

8

7

5

6

4

3

9

10

0

11

1

2

8

7

5

6

4

3

9

10

0

0

10

9

3

4

6

5

7

8

2

1

11

0

10

9

3

4

6

5

7

8

2

1

11

11

1

2

8

7

5

6

4

3

9

10

0

11

1

2

8

7

5

6

4

3

9

10

0

0

10

9

3

4

6

5

7

8

2

1

11

0

10

9

3

4

6

5

7

8

2

1

11

11

1

2

8

7

5

6

4

3

9

10

0

 

                                                                       Рис. 33

 

Не буду показывать квадрат, построенный из этой пары ортогональных латинских квадратов и в точности совпадающий с квадратом, построенным методом Рауз-Болла. Покажу квадрат, полученный из этой же пары латинских квадратов, но переставленных (рис. 34).

 

144

13

25

108

96

61

73

60

48

109

121

12

2

131

119

38

50

83

71

86

98

35

23

134

3

130

118

39

51

82

70

87

99

34

22

135

141

16

28

105

93

64

76

57

45

112

124

9

140

17

29

104

92

65

77

56

44

113

125

8

6

127

115

42

54

79

67

90

102

31

19

138

7

126

114

43

55

78

66

91

103

30

18

139

137

20

32

101

89

68

80

53

41

116

128

5

136

21

33

100

88

69

81

52

40

117

129

4

10

123

111

46

58

75

63

94

106

27

15

142

11

122