МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ

 

Часть VI

 

Раздел 3. Построение магических квадратов чётно-нечётного порядка

 

Последняя группа магических квадратов – квадраты чётно-нечётного порядка n=4k+2, k=1, 2, 3… Иногда их ещё называют квадратами порядка одинарной чётности (в отличие от квадратов порядка двойной чётности или чётно-чётного порядка n=4k, k=1, 2, 3…). Эти магические квадраты, наверное, меньше всего исследованы, потому что для данной серии порядков не существует ни ассоциативных, ни пандиагональных квадратов.

 

Когда я только познакомилась с магическими квадратами по журналам “Наука и жизнь” (это было в 1977 г.), в журналах тогда писали, что для данной серии порядков вообще не существует методов построения. Меня очень удивил такой факт, и я решила придумать хоть один метод. Мне это удалось. Разработанный мной тогда метод я назвала методом четырёх квадратов. Он подробно изложен в статье

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/mojmetod.htm

 

Не буду здесь повторять изложение данного метода. Покажу только несколько магических квадратов, построенных этим методом. На рис. 1 вы видите самый первый квадрат чётно-нечётного порядка – 6-ого, построенный методом четырёх квадратов.

 

29

7

6

20

25

24

9

32

1

27

23

19

31

3

8

22

21

26

2

34

33

11

16

15

36

5

28

18

14

10

4

30

35

13

12

17

 

                                                                                        Рис. 1

 

Как известно, существует 8 магических квадратов третьего порядка, получающихся друг из друга поворотами и отражениями. Если вы возьмёте другой исходный магический квадрат третьего порядка и данным методом построите магический квадрат шестого порядка, то это будет новый магический квадрат не эквивалентный квадрату с рис. 1. Один из таких квадратов шестого порядка вы видите на рис. 2.

 

31

9

2

22

27

20

3

32

7

21

23

25

35

1

6

26

19

24

4

36

29

13

18

11

30

5

34

12

14

16

8

28

33

17

10

15

 

                                                                                       Рис. 2

 

Отмечу одно интересное свойство магических квадратов, построенных методом четырёх квадратов. Угловые квадраты 3х3 можно поворачивать вокруг центра на 90 градусов. Продемонстрирую это свойство на примере квадрата с рис. 1. Если повернуть все угловые квадраты 3х3 на 90 градусов против часовой стрелки, а затем поменять местами верхний правый и левый нижний квадраты 3х3, то снова получится магический квадрат. Вы видите этот квадрат на рис. 3.

 

6

1

8

33

28

35

7

32

3

34

5

30

29

9

31

2

36

4

24

19

26

15

10

17

25

23

21

16

14

12

20

27

22

11

18

13

 

                                                                                        Рис. 3

 

Выполним точно такое же преобразование для квадрата с рис. 3. Новый магический квадрат изображён на рис. 4.

 

8

3

31

26

21

22

1

32

9

19

23

27

6

7

29

24

25

20

35

30

4

17

12

13

28

5

36

10

14

18

33

34

2

15

16

11

 

                                                                                        Рис. 4

 

Предлагаю читателям посмотреть другие варианты данного преобразования.

 

На рис. 5 показан магический квадрат 10-ого порядка, построенный методом четырёх квадратов.

 

78

16

9

22

90

28

66

59

72

65

20

83

21

14

77

45

58

71

64

52

7

100

13

1

94

32

75

63

51

69

24

87

5

18

81

49

62

55

68

56

86

4

17

10

98

36

54

67

60

73

3

91

84

97

15

53

41

34

47

40

95

8

96

89

2

70

33

46

39

27

82

25

88

76

19

57

50

38

26

44

99

12

80

93

6

74

37

30

43

31

11

79

92

85

23

61

29

42

35

48

 

                                                                       Рис. 5

 

Исходным квадратом для построения магического квадрата 10-ого порядка служит магический квадрат 5-ого порядка. Поскольку магических квадратов 5-ого порядка существует несколько миллионов, недостатка в магических квадратах 10-ого порядка не будет. Кроме того, замечание, сделанное для квадратов 6-ого порядка, здесь тоже справедливо: если в качестве исходного взять эквивалентный квадрат 5-ого порядка (тому квадрату, который использовался при построении квадрата с рис. 5), то построенный квадрат 10-ого порядка не будет эквивалентным квадрату с рис. 5.

В квадратах 10-ого порядка, построенных методом четырёх квадратов, тоже можно выполнять преобразование с поворотом на 90 градусов угловых квадратов 5х5. На рис. 6 вы видите магический квадрат, полученный применением такого преобразования к квадрату с рис. 5.

 

90

77

94

81

98

15

2

19

6

23

22

14

1

18

10

97

89

76

93

85

9

21

13

5

17

84

96

88

80

92

16

83

100

87

4

91

8

25

12

79

78

20

7

24

86

3

95

82

99

11

65

52

69

56

73

40

27

44

31

48

72

64

51

68

60

47

39

26

43

35

59

71

63

55

67

34

46

38

30

42

66

58

75

62

54

41

33

50

37

29

28

45

32

49

36

53

70

57

74

61

 

                                                                       Рис. 6

 

Понятно, что перестановку чисел, производимую в методе четырёх квадратов, можно выразить с помощью матричного преобразования, а затем запрограммировать. Введя в такую программу исходный магический квадрат порядка n/2, вы моментально получите магический квадрат порядка n, построенный методом четырёх квадратов.

 

Предлагаю читателям реализовать алгоритм метода четырёх квадратов. Программу можно составить для какого-то конкретного порядка, например, 10-ого, а можно для любого порядка n=4k+2.

 

 

ВАРИАНТ МЕТОДА ЧЕТЫРЁХ КВАДРАТОВ

 

Сейчас посмотрела в книге Ю. В. Чебракова метод двух квадратов и с удивлением обнаружила, что это вариант моего метода четырёх квадратов. Изложу подробно метод двух квадратов по книге Чебракова, чтобы читатели убедились в том, как похожи эти два метода. Интересно, что Чебраков излагает метод несколько иначе. Но различие не в этом, а в том, какие числа автор выбирает для перестановок, чтобы сделать квадрат магическим. Но – смотрите сами! Напомню, что подробное изложение метода четырёх квадратов вы найдёте в указанной выше статье.

Итак, излагаю метод двух квадратов по Чебракову (кстати, интересно узнать автора этого метода; недостатком книги Чебракова считаю то, что он не указывает авторов излагаемых методов; так можно подумать, что все методы разработал он сам).

Чебраков приводит пример построения данным методом магического квадрата 10-ого порядка. Для построения рисуются две матрицы 10х10, это будут два вспомогательных квадрата для построения, потому метод и назван методом двух квадратов. Обе матрицы делятся на 4 блока 5х5. В первой матрице в каждом блоке 5х5 записывается один и тот же (любой) магический квадрат 5-ого порядка. Понятно, что в результате получается нетрадиционный магический квадрат с магической константой 130. На рис. 7 вы видите первый вспомогательный квадрат Чебракова.

 

16

15

7

23

4

16

15

7

23

4

22

3

19

11

10

22

3

19

11

10

14

6

25

2

18

14

6

25

2

18

5

17

13

9

21

5

17

13

9

21

8

24

1

20

12

8

24

1

20

12

16

15

7

23

4

16

15

7

23

4

22

3

19

11

10

22

3

19

11

10

14

6

25

2

18

14

6

25

2

18

5

17

13

9

21

5

17

13

9

21

8

24

1

20

12

8

24

1

20

12

 

                                                                       Рис. 7

 

Примечание: Чебраков в этом примере почему-то использует нетрадиционные магические квадраты, заполненные числами от 0 до n2-1. Я преобразовала все квадраты в нормальные (традиционные), заполненные числами от 1 до n2. Сути дела это нисколько не меняет.

 

Второй вспомогательный квадрат 10х10 заполняется так: в левом верхнем блоке 5х5 записываются все 0, в правом нижнем блоке 5х5 записываются числа p = (n/2)2 (n – порядок квадрата). В нашем примере p = 25. В правом верхнем блоке 5х5 записываются числа 2p, в левом нижнем блоке 5х5 записываются числа 3p. На рис. 8 изображён второй вспомогательный квадрат.

 

0

0

0

0

0

50

50

50

50

50

0

0

0

0

0

50

50

50

50

50

0

0

0

0

0

50

50

50

50

50

0

0

0

0

0

50

50

50

50

50

0

0

0

0

0

50

50

50

50

50

75

75

75

75

75

25

25

25

25

25

75

75

75

75

75

25

25

25

25

25

75

75

75

75

75

25

25

25

25

25

75

75

75

75

75

25

25

25

25

25

75

75

75

75

75

25

25

25

25

25

 

                                                                       Рис. 8

 

Этот квадрат не является нетрадиционным магическим квадратом. В нём одинаковые суммы чисел только в столбцах. Для того чтобы сделать этот квадрат магическим, надо переставить определённую группу чисел. Для перестановки Чебраков выбирает числа в закрашенных на рис. 8 ячейках. В выборе переставляемых чисел и состоит отличие метода Чебракова от метода четырёх квадратов. Выбор чисел для перестановки Чебраков описывает так (для любого порядка n=4k+2):

“Во всех строках верхнего левого блока кроме средней отметим k нулей, стоящих в крайних левых позициях. В средней строке  отметим нуль, стоящий в центральной ячейке, и ещё k-1 нулей, находящихся слева от центральной ячейки. Все отмеченные нули поменяем местами с соответствующими числами нижнего левого блока.

В каждой строке правого верхнего блока отметим k-1 чисел, стоящих в крайних правых позициях, и поменяем их местами с соответствующими числами правого нижнего блока”.

После перестановки чисел второй вспомогательный квадрат становится нетрадиционным магическим квадратом с магической константой 375. Вы видите этот квадрат на рис. 8а.

 

75

75

0

0

0

50

50

50

50

25

75

75

0

0

0

50

50

50

50

25

0

75

75

0

0

50

50

50

50

25

75

75

0

0

0

50

50

50

50

25

75

75

0

0

0

50

50

50

50

25

0

0

75

75

75

25

25

25

25

50

0

0

75

75

75

25

25

25

25

50

75

0

0

75

75

25

25

25

25

50

0

0

75

75

75

25

25

25

25

50

0

0

75

75

75

25

25

25

25

50

 

                                                                       Рис. 8а

 

Теперь осталось построить магический квадрат из двух вспомогательных квадратов. Читатели, наверное, догадались, что делается это сложением обеих матриц. В виде формулы это запишется так:

 

cij = aij + bij

 

где aij – элементы первого вспомогательного квадрата, bij – соответствующие элементы второго вспомогательного квадрата, cij – соответствующие элементы составляемого магического квадрата.

 

На рис. 9 показан готовый магический квадрат.

 

91

90

7

23

4

66

65

57

73

29

97

78

19

11

10

72

53

69

61

35

14

81

100

2

18

64

56

75

52

43

80

92

13

9

21

55

67

63

59

46

83

99

1

20

12

58

74

51

70

37

16

15

82

98

79

41

40

32

48

54

22

3

94

86

85

47

28

44

36

60

89

6

25

77

93

39

31

50

27

68

5

17

88

84

96

30

42

38

34

71

8

24

76

95

87

33

49

26

45

62

 

                                                                       Рис. 9

 

Теперь покажу магический квадрат (рис. 10), построенный методом двух квадратов (то есть по Чебракову) с тем же исходным магическим квадратом 5-ого порядка, какой использовала при построении квадрата своим методом четырёх квадратов.

 

78

91

9

22

15

53

66

59

72

40

95

83

21

14

2

70

58

71

64

27

7

100

88

1

19

57

75

63

51

44

99

87

5

18

6

74

62

55

68

31

86

79

17

10

23

61

54

67

60

48

3

16

84

97

90

28

41

34

47

65

20

8

96

89

77

45

33

46

39

52

82

25

13

76

94

32

50

38

26

69

24

12

80

93

81

49

37

30

43

56

11

4

92

85

98

36

29

42

35

73

 

                                                                       Рис. 10

 

Сравните этот квадрат с магическим квадратом, построенным методом четырёх квадратов (рис. 5). Эти квадраты связаны комбинированным преобразованием “плюс-минус …”! Смотрите матрицу этого преобразования на рис. 11.

 

 

+75

 

…..

-75

+25

…..

…..

…..

-25

+75

 

 

 

-75

+25

 

 

 

-25

 

 

+75

 

-75

+25

 

 

 

-25

+75

 

 

 

-75

+25

 

 

 

-25

 

+75

 

 

-75

+25

 

 

 

-25

 

-75

 

 

+75

-25

 

 

 

+25

-75

 

 

 

+75

-25

 

 

 

+25

 

 

-75

 

+75

-25

 

 

 

+25

-75

 

 

 

+75

-25

 

 

 

+25

 

-75

 

 

+75

-25

 

 

 

+25

 

                                                                       Рис. 11

 

Таким образом, можно сказать, что магические квадраты, построенные методом четырёх квадратов и методом двух квадратов, одинаковы с точностью до преобразования “плюс-минус …”.

 

Интересно отметить, что квадраты 6-ого порядка, построенные этими двумя методами, в точности совпадают (конечно, при одинаковом исходном квадрате третьего порядка), потому что в этом случае группа чисел для перестановки, выбираемая мной, в точности совпадает с группой чисел для перестановки, выбираемой Чебраковым.

 

Примечание: мы видим замечательный пример, как два автора совершенно независимо друг от друга разработали одинаковый метод построения. Чебраков не мог воспользоваться моим результатом, так как его книга издана в 1995 г., а я опубликовала свой метод в Интернете в 2007 г. Я не могла воспользоваться результатом Чебракова, так как разработала метод в 1977 г. Книга Чебракова у меня появилась совсем недавно, в июле текущего года, то есть год спустя после того, как я опубликовала метод в Интернете.

 

Реплика специально для Батона, обвинившего меня в плагиате (за другой магический квадрат; см. на форуме http://dxdy.ru/topic12959.html ):

 

Батон, кого из нас надо обвинить в плагиате, меня или Чебракова? А вообще-то по твоей логике нас обоих надо обвинить в плагиате! Потому что в 2007 г., когда я писала статью о данном методе, заглянула в книгу Б. А. Кордемского “Математическая смекалка” (М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1957) и нашла в ней пример построения магического квадрата 6-ого порядка точно таким методом. Этот квадрат (стр. 271) в точности совпадает с квадратом на рис. 2. Если взять точно такой же исходный квадрат третьего порядка и построить магический квадрат 6-ого порядка методом двух квадратов Чебракова, квадрат получится точно такой же, как на рис. 2 и как в книге Кордемского. Значит, метод был известен ещё в 1957 г. Кто же его автор? Может быть, всего один частный пример построения квадрата чётно-нечётного порядка (приведённый Кордемским) не мог считаться методом построения магических квадратов данной серии порядков, и поэтому журнал “Наука и жизнь” писал, что такие методы неизвестны.

Кордемский привёл только пример построения магического квадрата 6-ого порядка и не разработал данный метод для любого порядка n=4k+2 (во всяком случае, в этой книге). Я разработала метод для любого чётно-нечётного порядка и доказала, что выбранная мной перестановка чисел всегда приводит к магическому квадрату.

 

МЕТОД ОКАЙМЛЁННЫХ КВАДРАТОВ

 

Метод окаймлённых квадратов был изложен в предыдущем разделе при построении этим методом магических квадратов чётно-чётного порядка. Продублирую здесь правила для квадратов чётно-нечётного порядка (правила для квадратов чётно-чётного и чётно-нечётного порядка различны), чтобы читатели видели их перед собой.

 

1.      Построим любой магический квадрат порядка n-2.

2.      Увеличим все элементы этого магического квадрата на величину 2(n-1) и поместим полученный нетрадиционный магический квадрат в матрицу n*n так, чтобы с каждой стороны квадрата был свободный столбец (свободная строка).

3.      Заполним угловые ячейки матрицы n*n следующим образом: в левую верхнюю ячейку запишем число 3m - 1, в верхнюю правую – число 1, в нижнюю левую –  число d - 1, в нижнюю правую - число d - 3m + 1, где m = n/2, d = n2 + 1.

4.      В оставшиеся свободными ячейки верхней строки поместим (произвольным образом) числа {2i + 1} и {d – 2j}, где i = 1, 2, …, m – 2, а j = 1, 2, …, m.

5.      В оставшиеся свободные клетки левого столбца поместим (произвольным образом) числа 2m – 1, {d – 4m + 1 + j}, {3m – 1 – i}, {3m – 1 + q, d – 2mq}, где j = 1, 2, …, M + 1, i= 1, 2, …, M, q = 1, 2, …, M – 1, M = [m/2].

6.      Оставшиеся свободными ячейки нижней строки (правого столбца) заполним числами, комплементарными числам в противоположных ячейках верхней строки (левого столбца), то есть дающими в сумме (n2 + 1).

 

Приведу пример построения магического квадрата 14-ого порядка методом окаймлённых квадратов. В качестве исходного квадрата возьму оригинальный идеальный квадрат 12-ого порядка, построенный мной. Вы видите этот квадрат на рис. 12.

 

1

96

31

100

123

77

11

86

32

106

129

78

117

54

133

72

19

40

111

53

143

62

20

46

104

130

81

6

85

36

103

124

75

5

95

26

71

14

44

118

57

138

61

24

43

112

51

137

3

89

35

98

128

82

9

90

25

108

127

76

115

52

135

65

23

38

116

58

141

66

13

48

97

132

79

4

87

29

107

122

80

10

93

30

69

18

37

120

55

136

63

17

47

110

56

142

8

94

33

102

121

84

7

88

27

101

131

74

119

50

140

70

21

42

109

60

139

64

15

41

99

125

83

2

92

34

105

126

73

12

91

28

67

16

39

113

59

134

68

22

45

114

49

144

 

                                                                       Рис. 12

 

Результат выполнения пункта 2 правил изображён на рис. 13.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27

122

57

126

149

103

37

112

58

132

155

104

 

 

143

80

159

98

45

66

137

79

169

88

46

72

 

 

130

156

107

32

111

62

129

150

101

31

121

52

 

 

97

40

70

144

83

164

87

50

69

138

77

163

 

 

29

115

61

124

154

108

35

116

51

134

153

102

 

 

141

78

161

91

49

64

142

84

167

92

39

74

 

 

123

158

105

30

113

55

133

148

106

36

119

56

 

 

95

44

63

146

81

162

89

43

73

136

82

168

 

 

34

120

59

128

147

110

33

114

53

127

157

100

 

 

145

76

166

96

47

68

135

86

165

90

41

67

 

 

125

151

109

28

118

60

131

152

99

38

117

54

 

 

93

42

65

139

85

160

94

48

71

140

75

170

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                       Рис. 13

 

Вписанный квадрат 12-ого порядка является нетрадиционным идеальным магическим квадратом с магической константой 1182, которая кратна величине d = n2 + 1 = 197.

Выполним остальные пункты правил, заполняя свободные ячейки в окаймлении на рис. 13. Готовый магический квадрат 14-ого порядка представлен на рис. 14.

 

20

195

193

11

191

9

189

7

187

5

185

3

183

1

182

27

122

57

126

149

103

37

112

58

132

155

104

15

22

143

80

159

98

45

66

137

79

169

88

46

72

175

181

130

156

107

32

111

62

129

150

101

31

121

52

16

21

97

40

70

144

83

164

87

50

69

138

77

163

176

174

29

115

61

124

154

108

35

116

51

134

153

102

23

19

141

78

161

91

49

64

142

84

167

92

39

74

178

173

123

158

105

30

113

55

133

148

106

36

119

56

24

18

95

44

63

146

81

162

89

43

73

136

82

168

179

172

34

120

59

128

147

110

33

114

53

127

157

100

25

17

145

76

166

96

47

68

135

86

165

90

41

67

180

171

125

151

109

28

118

60

131

152

99

38

117

54

26

13

93

42

65

139

85

160

94

48

71

140

75

170

184

196

2

4

186

6

188

8

190

10

192

12

194

14

177

 

                                                                       Рис. 14

 

Магическая константа этого квадрата равна 1379 и тоже, конечно, кратна величине d.

Предлагаю читателям выполнить следующее окаймление, то есть построить магический квадрат 16-ого порядка, взяв за исходный квадрат 14-ого порядка квадрат с рис. 14. Только теперь надо пользоваться другими правилами – для квадратов серии порядков n=4k (смотрите правила в предыдущем разделе).

 

МЕТОД СОТОВЫХ КВАДРАТОВ

 

Данный метод излагаю по книге Чебракова. Метод довольно интересный. Однако в книге он изложен как-то не совсем понятно. Пример приведён только один – построение магического квадрата 6-ого порядка. Изложу метод так, как поняла. Что мне непонятно, возможно, будет понятно читателям.

 

Итак, в построении участвуют два вспомогательных квадрата. Оба они составлены из квадратов 2х2, как из сот, отсюда и название метода (название дано мной).

Для построения первого вспомогательного квадрата надо взять любой магический квадрат третьего порядка, автор книги берёт квадрат, изображённый на рис. 15.

 

2

7

6

9

5

1

4

3

8

 

                                                                                       Рис. 15

 

Далее автор получает из этого квадрата новый квадрат следующим образом: “Магический квадрат 2.20(5) получается из классического квадрата 2.20(4) [то есть из квадрата с рис. 15. – примечание Макаровой] путём замены чисел 1, 2, …, 9 на числа 1, 5, …, 33, то есть на числа, которые образуют арифметическую прогрессию с разностью d = 4 и первым членом a = 1”.

 

5

25

21

33

17

1

13

9

29

 

                                                                                       Рис. 16

 

Примечание: данный квадрат можно построить методом террас применительно к числам 1, 5, …, 33.

 

Этот квадрат является нетрадиционным магическим квадратом с магической константой 51.

 

Теперь применяется очень интересный приём: в квадрате с рис. 16 каждая ячейка превращается в квадрат 2х2, и в каждой ячейке этого квадрата записывается число, находящееся в исходной ячейке. Впервые встречаю такой оригинальный приём. В результате получается первый вспомогательный сотовый квадрат, он показан на рис. 19.

 

5

5

25

25

21

21

5

5

25

25

21

21

33

33

17

17

1

1

33

33

17

17

1

1

13

13

9

9

29

29

13

13

9

9

29

29

 

                                                                                       Рис. 19

 

Первый вспомогательный квадрат является нетрадиционным магическим квадратом с магической константой 102.

 

Теперь строится второй вспомогательный сотовый квадрат. Как он строится, я опять не поняла. Он тоже составляется из квадратов 2х2, заполненных числами 0, 1, 2, 3. Показываю этот квадрат на рис. 20.

 

1

2

1

2

1

2

3

0

3

0

3

0

1

2

1

2

1

2

3

0

0

3

3

0

1

2

1

2

1

2

0

3

3

0

0

3

 

                                                                                       Рис. 20

 

Этот квадрат является нетрадиционным магическим квадратом с магической константой 9.

 

Примечание: автор объясняет, как составляется второй вспомогательный квадрат, но я эти объяснения не поняла. Они не относятся к разряду очень простых объяснений. У кого есть книга Чебракова, посмотрите. Может быть, вы поймёте. Кроме всего прочего, на рисунке в книге в этом квадрате сделано несколько опечаток. На рис. 20 показан правильный квадрат (опечатки исправлены).

 

Ну, а теперь всё очень просто: надо сложить поэлементно первый и второй вспомогательные квадраты. Готовый магический квадрат вы видите на рис. 21.

 

6

7

26

27

22

23

8

5

28

25

24

21

34

35

18

19

2

3

36

33

17

20

4

1

14

15

10

11

30

31

13

16

12

9

29

32

 

                                                                                       Рис. 21

 

Этот магический квадрат тоже можно назвать сотовым, он состоит из таких же квадратов 2х2, в каждом из которых записаны четыре последовательных числа. Оригинальный квадрат!

 

А теперь попробуем построить методом сотовых квадратов магический квадрат 10-ого порядка (такой квадрат Чебраков не строит). Займёмся построением первого вспомогательного квадрата. В качестве исходного надо взять магический квадрат 5-ого порядка, построенный методом террас (рис. 22).

 

3

16

9

22

15

20

8

21

14

2

7

25

13

1

19

24

12

5

18

6

11

4

17

10

23

 

                                                                                       Рис. 22

 

Согласно описанию Чебракова надо заменить в этом квадрате числа 1, 2, …, 25 на числа 1, 5, 9, …, 97. Но проще построить новый квадрат методом террас применительно к числам 1, 5, 9, …, 97. Этот квадрат изображён на рис. 25.

 

9

61

33

85

57

77

29

81

53

5

25

97

49

1

73

93

45

17

69

21

41

13

65

37

89

 

                                                                                       Рис. 25

 

Идём дальше. Превращаем каждую ячейку в квадрате с рис. 25 в квадрат 2х2 и заполняем получившийся сотовый квадрат (рис. 26).

 

9

9

61

61

33

33

85

85

57

57

9

9

61

61

33

33

85

85

57

57

77

77

29

29

81

81

53

53

5

5

77

77

29

29

81

81

53

53

5

5

25

25

97

97

49

49

1

1

73

73

25

25

97

97

49

49

1

1

73

73

93

93

45

45

17

17

69

69

21

21

93

93

45

45

17

17

69

69

21

21

41

41

13

13

65

65

37

37

89

89

41

41

13

13

65

65

37

37

89

89

 

Рис. 26

 

Полученный первый вспомогательный сотовый квадрат является нетрадиционным магическим квадратом с магической константой 490. Пока всё идёт хорошо. Осталось построить второй вспомогательный сотовый квадрат. Понятно, что он должен быть нетрадиционным магическим квадратом с магической константой 15. Этот квадрат, как мы знаем, составляется из квадратов 2х2, заполненных числами 0, 1, 2, 3. А вот как он составляется, мы пока не знаем.

Рисую пустую матрицу (рис. 27) и заполняю наугад две первые строки (см. второй вспомогательный квадрат Чебракова для квадрата 6-ого порядка на рис. 20):

 

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

3

0

3

0

3

0

3

0

3

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 27

 

Очевидно, что сумма чисел в этих строках равна 15. Как составлять этот квадрат дальше я пока не знаю. Посмотрю ещё раз, что написано в книге, может быть, пойму что-нибудь.

 

Оставляю задачу читателям. Понятно, что после того, как вы построите второй вспомогательный квадрат (рис. 27), останется сложить поэлементно два вспомогательных квадрата (с рис. 26 и с рис. 27). Если я правильно заполнила первые строки второго вспомогательного квадрата, то первые строки готового магического квадрата 10-ого порядка будут такими (рис. 28):

 

10

11

62

63

34

35

86

87

58

59

12

9

64

61

36

33

88

85

60

57

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 28

 

Очевидно, что в этих строках готового магического квадрата магическая сумма тоже есть.

 

Извиняюсь перед читателями в том, что даю сырой метод. Но, к сожалению, ничего не могу понять в книге. Это тот самый случай, когда смотришь в книгу, а видишь фигу! Однако метод очень интересен, и поэтому я решила его представить, хотя и недоработанным до конца. Построение первого вспомогательного квадрата полностью определилось. Осталось понять, как строится второй вспомогательный квадрат.

 

***

 

Всё-таки мне удалось разгрызть этот орешек! И даже зубы вроде целы.

 

Прежде чем достроить магический квадрат 10-ого порядка, вернусь к магическим квадратам 6-ого порядка. Нам надо уяснить, как составляется второй вспомогательный сотовый квадрат, который изображён на рис. 20. Как мы знаем, он составляется из квадратов 2х2, заполненных числами 0, 1, 2, 3. Таких блоков (“кирпичиков”) будет всего 24. На рис. 29 показаны все эти блоки.

 

1

2

 

1

2

 

1

0

 

2

0

 

0

2

 

0

1

 

2

1

 

1

3

3

0

 

0

3

 

2

3

 

1

3

 

1

3

 

2

3

 

0

3

 

0

2

1

 

2

 

3

 

4

 

5

 

6

 

7

 

8

1

3

 

2

3

 

0

3

 

0

3

 

2

3

 

1

0

 

2

1

 

0

1

2

0

 

1

0

 

1

2

 

2

1

 

0

1

 

3

2

 

3

0

 

3

2

9

 

10

 

11

 

12

 

13

 

14

 

15

 

16

0

2

 

2

0

 

3

0

 

3

2

 

3

1

 

3

1

 

3

2

 

3

0

3

1

 

3

1

 

1

2

 

1

0

 

2

0

 

0

2

 

0

1

 

2

1

17

 

18

 

19

 

20

 

21

 

22

 

23

 

24

 

Рис. 29

 

Вот такие “кирпичики” используются для построения второго вспомогательного квадрата. Под каждым “кирпичиком” написан его номер.

Дело в том, что Чебраков зачем-то увеличил все элементы в “кирпичиках” на единицу (см. в книге рис. 2.21, стр. 132), и поэтому я не сразу узнала в его “кирпичиках” те блоки 2х2, из которых составляется второй вспомогательный квадрат.

Понятно, что “кирпичики” надо так расположить в квадрате, чтобы он был нетрадиционным магическим квадратом. В этом вся сложность.

Поскольку во втором вспомогательном квадрате для построения магического квадрата 6-ого порядка используются 9 “кирпичиков”, то можно брать для построения 2 разных “кирпичика”, 3 разных “кирпичика” и так далее до 9 разных “кирпичиков”. Пусть q – число разных “кирпичиков”, используемых в составлении второго вспомогательного квадрата. Тогда количество вариантов размещения “кирпичиков” во втором вспомогательном квадрате так, чтобы он был нетрадиционным магическим квадратом, будет таким [количество вариантов обозначено P(q)]:

 

q                     2          3          4          5              6                 7                     8                     9

P(q)                1          15       52       1213       7176           26316            41573            18886

 

Такие данные приводит автор книги. Сложив все варианты составления второго вспомогательного квадрата, мы получаем, что всего методом сотовых квадратов модно построить 95232 магических квадратов 6-ого порядка (с учётом поворотов и отражений).

 

Очевидно, что второй вспомогательный квадрат на рис. 20 составлен из двух разных “кирпичиков”. Такой вариант всего один. Если использовать для построения второго вспомогательного квадрата три разных “кирпичика”, то вариантов будет 15. Чебраков приводит все эти 15 вариантов расстановки “кирпичиков”. Не буду их дублировать, а покажу один пример построения второго вспомогательного квадрата из трёх разных кирпичиков.

Схема расстановки кирпичиков выбрана мной следующая (рис. 30):

 

1

1

1

19

2

1

2

1

2

 

                                                                                       Рис. 30

 

В этой схеме указаны номера “кирпичиков”, то есть используются “кирпичики” №№ 1, 2, 19. Вставим вместо номеров “кирпичиков” сами “кирпичики” (с рис. 29) и второй вспомогательный сотовый квадрат готов! Смотрите на рис. 31.

 

1

2

1

2

1

2

3

0

3

0

3

0

3

0

1

2

1

2

1

2

0

3

3

0

1

2

1

2

1

2

0

3

3

0

0

3

 

                                                                                       Рис. 31

 

Теперь сложим поэлементно первый вспомогательный квадрат (он остаётся прежним) и второй вспомогательный квадрат с рис. 31. Готовый магический квадрат 6-ого порядка вы видите на рис. 32.

 

6

7

26

27

22

23

8

5

28

25

24

21

36

33

18

19

2

3

34

35

17

20

4

1

14

15

10

11

30

31

13

16

12

9

29

32

 

                                                                                       Рис. 32

 

Сравните этот магический квадрат с квадратом, построенным выше (рис. 21). Они отличаются всего одним блоком 2х2. Скажу больше: они одинаковы с точностью до преобразования “плюс-минус 2”.

Среди всех 95232 квадратов 6-ого порядка, построенных методом сотовых квадратов, будет много связанных друг с другом преобразованием типа “плюс-минус …”.

 

Предложу читателям ещё одну схему расстановки “кирпичиков” во втором вспомогательном квадрате [из тех 15 схем, которые приводит Чебраков] (рис. 33):

 

10

17

4

4

10

17

10

17

4

 

                                                                                       Рис. 33

 

Постройте по этой схеме второй вспомогательный квадрат, а затем магический квадрат 6-ого порядка.

 

Вернёмся ко второму вспомогательному квадрату для построения магического квадрата 10-ого порядка. Он составляется из таких же “кирпичиков”. Но вот схема для этого квадрата в книге приведена только одна (см. рис. 34).

 

1

2

1

15

1

1

15

1

11

1

7

1

2

1

1

1

2

1

2

7

2

1

7

1

2

 

                                                                                       Рис. 34

 

Как видите, здесь используются пять разных “кирпичиков”: №№ 1, 2, 7, 11, 15. Заменим номера “кирпичиков” самими “кирпичиками”, и второй вспомогательный сотовый квадрат готов (рис. 35).

 

1

2

1

2

1

2

2

1

1

2

3

0

0

3

3

0

3

0

3

0

1

2

2

1

1

2

0

3

1

2

3

0

3

0

3

0

1

2

3

0

2

1

1

2

1

2

1

2

1

2

0

3

3

0

0

3

3

0

3

0

1

2

1

2

1

2

1

2

2

1

3

0

0

3

3

0

0

3

0

3

1

2

1

2

2

1

1

2

1

2

0

3

3

0

0

3

3

0

0

3

 

Рис. 35

 

Нетрадиционный магический квадрат с магической константой 15 получился! Как видите, я неправильно наугад заполнила первые две строки этого квадрата (см. рис. 27). Ну, в математике нельзя ничего делать наугад!

Теперь возникает интересная задача: как найти хотя бы ещё одну схему размещения “кирпичиков” во втором вспомогательном квадрате 10-ого порядка? Решите-ка эту задачу!

 

Нам осталось построить магический квадрат 10-ого порядка из двух вспомогательных сотовых квадратов (с рис. 26 и с рис. 35) путём поэлементного их сложения. Готовый магический квадрат изображён на рис. 36.

 

10

11

62

63

34

35

87

86

58

59

12

9

61

64

36

33

88

85

60

57

78

79

31

30

82

83

53

56

6

7

80

77

32

29

84

81

54

55

8

5

27

26

98

99

50

51

2

3

74

75

25

28

100

97

49

52

4

1

76

73

94

95

46

47

18

19

70

71

23

22

96

93

45

48

20

17

69

72

21

24

42

43

14

15

67

66

38

39

90

91

41

44

16

13

65

68

40

37

89

92

 

Рис. 36

 

Чудесный сотовый квадрат!

 

По поводу задачи о другой схеме расстановки “кирпичиков” во втором вспомогательном квадрате. Конечно, можно предложить сразу несколько схем, но как получить алгоритм получения всех таких схем? Для примера могу предложить такую схему (рис. 37), я заменила всего один “кирпичик” № 1 на “кирпичик” № 19.

 

1

2

1

15

1

19

15

1

11

1

7

1

2

1

1

1

2

1

2

7

2

1

7

1

2

 

                                                                                       Рис. 37

 

Предлагаю читателям построить магический квадрат 10-ого порядка с таким вторым вспомогательным квадратом. Построив его, вы увидите, что он отличается от квадрата с рис 36 всего одним блоком, тем самым, на место которого поставлен другой “кирпичик”.

 

Чтобы закрепить изложение метода сотовых квадратов, приведу ещё пример построения магического квадрата 14-ого порядка. Хорошо, что Чебраков привёл для этого квадрата вариант расстановки “кирпичиков” во втором вспомогательном квадрате (тоже всего один).

 

Исходный квадрат для первого вспомогательного квадрата сразу будем строить методом террас. Напомню, что заполнять этот квадрат надо числами 1, 5, 9, …, 193, то есть членами арифметической прогрессии с разностью 4. На рис. 38 показано построение этого квадрата.

 

 

 

 

 

 

 

25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21

 

53

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17

 

49

 

81

 

 

 

 

 

 

 

13

113

45

145

77

177

109

 

 

 

 

 

9

137

41

141

73

173

105

9

137

 

 

 

5

 

37

165

69

169

101

5

133

 

165

 

1

 

33

161

65

193

97

1

129

33

161

 

193

 

29

 

61

189

93

25

125

29

157

 

189

 

 

 

57

185

89

21

121

53

153

57

185

 

 

 

 

 

85

17

117

49

149

81

181

 

 

 

 

 

 

 

113

 

145

 

177

 

 

 

 

 

 

 

 

 

141

 

173

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

169

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 38

 

Превращаем в этом квадрате каждую ячейку в квадрат 2х2 и записываем в него число из исходной ячейки. И первый вспомогательный квадрат готов (рис. 39).

 

13

13

113

113

45

45

145

145

77

77

177

177

109

109

13

13

113

113

45

45

145

145

77

77

177

177

109

109

137

137

41

41

141

141

73

73

173

173

105

105

9

9

137

137

41

41

141

141

73

73

173

173

105

105

9

9

37

37

165

165

69

69

169

169

101

101

5

5

133

133

37

37

165

165

69

69

169

169

101

101

5

5

133

133

161

161

65

65

193

193

97

97

1

1

129

129

33

33

161

161

65

65

193

193

97

97

1

1

129

129

33

33

61

61

189

189

93

93

25

25

125

125

29

29

157

157

61

61

189

189

93

93

25

25

125

125

29

29

157

157

185

185

89

89

21

21

121

121

53

53

153

153

57

57

185

185

89

89

21

21

121

121

53

53

153

153

57

57

85

85

17

17

117

117

49

49

149

149

81

81

181

181

85

85

17

17

117

117

49

49

149

149

81

81

181

181

 

Рис. 39

 

Первый вспомогательный квадрат является нетрадиционным магическим квадратом с магической константой 1358.

Для построения второго вспомогательного квадрата используем схему расстановки “кирпичиков”, которую приводит в книге Чебраков. Вот эта схема (рис. 40):

 

1

2

1

7

1

15

1

1

15

2

1

15

11

1

7

1

15

1

11

1

1

1

7

1

2

1

1

7

7

1

2

1

2

7

1

1

2