Н. Макарова

 

ГРУППЫ MOLS ПЯТНАДЦАТОГО ПОРЯДКА

 

Как-то совершенно незаметно пропустила порядок 15. В последнее время так много строю групп MOLS, что сама за собой не успеваю.

Вчера перечитала все ранние статьи данного цикла. Много мне уже удалось ликвидировать белых пятен в своих исследованиях. Ещё совсем недавно я никак не могла построить группы MOLS 14-го и 20-го порядков. Теперь они построены. Пытаюсь продвигаться дальше по книге “Handbook of Combinatorial Designs” (издание 2007 г.). Кстати, в этой книге дана самая современная таблица значений максимального количества квадратов в группах MOLS порядков от 1 до 10000. Я сравнила её с той таблицей, которая была найдена в Сети раньше (часть её приведена в одной из моих статей данного цикла). В ней есть некоторые изменения, то есть математикам удалось для некоторых порядков найти новые группы MOLS, содержащие на один или два квадрата больше, чем в найденных ранее группах. Приведу здесь копию начала этой таблицы (рис. 1).

 

 

 

Рис. 1

 

Здесь вы видите значения Q(n) для n от 0 до 339. По сравнению с прежней таблицей изменились значения Q(24), Q(36), Q(48), Q(62) и Q(75). Как вы знаете, для порядков 2 и 6 не существует даже пары ортогональных латинских квадратов. В таблице Q(2) и Q(6) положены равными 1. Q(0) = Q(1) = ∞.

Тут мы имеем необъятное поле деятельности! Ищите новые подходы, стройте новые группы MOLS. Например, до сих пор не найдена группа MOLS 10-го порядка, содержащая более двух квадратов. Пара ортогональных латинских квадратов 10-го порядка была впервые построена Паркером в 1959 году. А дальше пары никому не удалось продвинуться!

 

Теперь расскажу о группах MOLS 15-го порядка. В таблице вы видите, что Q(15)=4. Значит, пока удалось построить группу MOLS данного порядка, состоящую из четырёх квадратов.

Начну с пар ОЛК 15-го порядка. Пару ОЛК 15-го порядка можно построить методом составных квадратов (эта пара показана в конце статьи).

Интересна пара ОЛК 15-го порядка, которая строится по алгоритму, найденному мной в цикле статей “Анатомия магических квадратов” (этот цикл статей был выложен на форуме http://dxdy.ru/topic12959.html ). Покажу здесь эту пару (рис. 2 – 3) (см. статью http://www.natalimak1.narod.ru/grolk2.htm ).

 

Первый латинский квадрат

 

0

1

8

7

6

13

14

12

3

4

5

9

10

11

2

3

4

5

9

10

11

2

0

1

8

7

6

13

14

12

1

8

7

6

13

14

12

3

4

5

9

10

11

2

0

4

5

9

10

11

2

0

1

8

7

6

13

14

12

3

8

7

6

13

14

12

3

4

5

9

10

11

2

0

1

5

9

10

11

2

0

1

8

7

6

13

14

12

3

4

7

6

13

14

12

3

4

5

9

10

11

2

0

1

8

9

10

11

2

0

1

8

7

6

13

14

12

3

4

5

6

13

14

12

3

4

5

9

10

11

2

0

1

8

7

10

11

2

0

1

8

7

6

13

14

12

3

4

5

9

13

14

12

3

4

5

9

10

11

2

0

1

8

7

6

11

2

0

1

8

7

6

13

14

12

3

4

5

9

10

14

12

3

4

5

9

10

11

2

0

1

8

7

6

13

2

0

1

8

7

6

13

14

12

3

4

5

9

10

11

12

3

4

5

9

10

11

2

0

1

8

7

6

13

14

 

Рис. 2

 

Второй латинский квадрат

 

0

9

10

11

3

4

5

14

12

13

8

7

6

1

2

14

12

13

8

7

6

1

2

0

9

10

11

3

4

5

2

0

9

10

11

3

4

5

14

12

13

8

7

6

1

5

14

12

13

8

7

6

1

2

0

9

10

11

3

4

1

2

0

9

10

11

3

4

5

14

12

13

8

7

6

4

5

14

12

13

8

7

6

1

2

0

9

10

11

3

6

1

2

0

9

10

11

3

4

5

14

12

13

8

7

3

4

5

14

12

13

8

7

6

1

2

0

9

10

11

7

6

1

2

0

9

10

11

3

4

5

14

12

13

8

11

3

4

5

14

12

13

8

7

6

1

2

0

9

10

8

7

6

1

2

0

9

10

11

3

4

5

14

12

13

10

11

3

4

5

14

12

13

8

7

6

1

2

0

9

13

8

7

6

1

2

0

9

10

11

3

4

5

14

12

9

10

11

3

4

5

14

12

13

8

7

6

1

2

0

12

13

8

7

6

1

2

0

9

10

11

3

4

5

14

 

Рис. 3

 

Латинские квадраты в этой паре ОЛК хотя и недиагональные, но они являются нетрадиционными магическими квадратами. Более того, они обладают свойствами ассоциативности и пандиагональности, то есть являются идеальными. И поэтому из этой пары ОЛК получаются идеальные магические квадраты.

Множество аналогичных пар ОЛК можно получить, раскладывая готовые идеальные магические квадраты 15-го порядка, построенные, например, методом качелей, на два ортогональных латинских квадрата. Такие примеры были приведены.

 

Теперь перехожу к построению группы MOLS 15-го порядка, состоящей из четырёх квадратов. На рис. 4 вы видите копию квази-разностной матрицы из указанной выше книги.

 

 

Рис. 4

 

Я уже подробно объясняла в предыдущих статьях, как по квази-разностной матрице строить латинские квадраты. Отмечу только, что мне удобнее строить латинские квадраты, заполненные числами от 1 до 15. Поэтому все элементы матрицы я увеличиваю на единицу. Далее показаны четыре квадрата группы MOLS, построенные по данной матрице (рис. 5 - 8).

 

Первый латинский квадрат

 

1

7

12

10

9

3

15

6

5

13

4

11

14

2

8

3

2

8

13

11

10

4

15

7

6

14

5

12

1

9

2

4

3

9

14

12

11

5

15

8

7

1

6

13

10

14

3

5

4

10

1

13

12

6

15

9

8

2

7

11

8

1

4

6

5

11

2

14

13

7

15

10

9

3

12

4

9

2

5

7

6

12

3

1

14

8

15

11

10

13

11

5

10

3

6

8

7

13

4

2

1

9

15

12

14

13

12

6

11

4

7

9

8

14

5

3

2

10

15

1

15

14

13

7

12

5

8

10

9

1

6

4

3

11

2

12

15

1

14

8

13

6

9

11

10

2

7

5

4

3

5

13

15

2

1

9

14

7

10

12

11

3

8

6

4

7

6

14

15

3

2

10

1

8

11

13

12

4

9

5

10

8

7

1

15

4

3

11

2

9

12

14

13

5

6

6

11

9

8

2

15

5

4

12

3

10

13

1

14

7

9

10

11

12

13

14

1

2

3

4

5

6

7

8

15

 

Рис. 5

 

Второй латинский квадрат

           

1

11

8

3

6

12

9

4

13

15

5

10

2

7

14

8

2

12

9

4

7

13

10

5

14

15

6

11

3

1

4

9

3

13

10

5

8

14

11

6

1

15

7

12

2

13

5

10

4

14

11

6

9

1

12

7

2

15

8

3

9

14

6

11

5

1

12

7

10

2

13

8

3

15

4

15

10

1

7

12

6

2

13

8

11

3

14

9

4

5

5

15

11

2

8

13

7

3

14

9

12

4

1

10

6

11

6

15

12

3

9

14

8

4

1

10

13

5

2

7

3

12

7

15

13

4

10

1

9

5

2

11

14

6

8

7

4

13

8

15

14

5

11

2

10

6

3

12

1

9

2

8

5

14

9

15

1

6

12

3

11

7

4

13

10

14

3

9

6

1

10

15

2

7

13

4

12

8

5

11

6

1

4

10

7

2

11

15

3

8

14

5

13

9

12

10

7

2

5

11

8

3

12

15

4

9

1

6

14

13

12

13

14

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

15

 

Рис. 6

 

Третий латинский квадрат

 

1

9

7

13

3

2

12

10

6

11

14

4

15

8

5

9

2

10

8

14

4

3

13

11

7

12

1

5

15

6

15

10

3

11

9

1

5

4

14

12

8

13

2

6

7

7

15

11

4

12

10

2

6

5

1

13

9

14

3

8

4

8

15

12

5

13

11

3

7

6

2

14

10

1

9

2

5

9

15

13

6

14

12

4

8

7

3

1

11

10

12

3

6

10

15

14

7

1

13

5

9

8

4

2

11

3

13

4

7

11

15

1

8

2

14

6

10

9

5

12

6

4

14

5

8

12

15

2

9

3

1

7

11

10

13

11

7

5

1

6

9

13

15

3

10

4

2

8

12

14

13

12

8

6

2

7

10

14

15

4

11

5

3

9

1

10

14

13

9

7

3

8

11

1

15

5

12

6

4

2

5

11

1

14

10

8

4

9

12

2

15

6

13

7

3

8

6

12

2

1

11

9

5

10

13

3

15

7

14

4

14

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

15

 

Рис. 7

 

Четвёртый латинский квадрат

 

1

6

13

7

12

5

8

14

11

4

2

15

10

9

3

10

2

7

14

8

13

6

9

1

12

5

3

15

11

4

12

11

3

8

1

9

14

7

10

2

13

6

4

15

5

15

13

12

4

9

2

10

1

8

11

3

14

7

5

6

6

15

14

13

5

10

3

11

2

9

12

4

1

8

7

9

7

15

1

14

6

11

4

12

3

10

13

5

2

8

3

10

8

15

2

1

7

12

5

13

4

11

14

6

9

7

4

11

9

15

3

2

8

13

6

14

5

12

1

10

2

8

5

12

10

15

4

3

9

14

7

1

6

13

11

14

3

9

6

13

11

15

5

4

10

1

8

2

7

12

8

1

4

10

7

14

12

15

6

5

11

2

9

3

13

4

9

2

5

11

8

1

13

15

7

6

12

3

10

14

11

5

10

3

6

12

9

2

14

15

8

7

13

4

1

5

12

6

11

4

7

13

10

3

1

15

9

8

14

2

13

14

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

15

 

Рис. 8

 

Понятно, что из четырёх квадратов группы можно составить 6 пар ОЛК. Все квадраты в группе недиагональные, и во всех неправильная только одна диагональ. Образуем пару ОЛК из первых двух квадратов. Теперь надо исправить в обоих квадратах неправильные диагонали, чтобы сумма чисел в них была равна сумме чисел в строках и в столбцах квадратов – 120. Первый латинский квадрат преобразовываем с помощью всего одной взаимозамены: 5 à 13, 13 à 5. Преобразованный квадрат изображён на рис. 9.

 

Преобразованный первый латинский квадрат

 

1

7

12

10

9

3

15

6

13

5

4

11

14

2

8

3

2

8

5

11

10

4

15

7

6

14

13

12

1

9

2

4

3

9

14

12

11

13

15

8

7

1

6

5

10

14

3

13

4

10

1

5

12

6

15

9

8

2

7

11

8

1

4

6

13

11

2

14

5

7

15

10

9

3

12

4

9

2

13

7

6

12

3

1

14

8

15

11

10

5

11

13

10

3

6

8

7

5

4

2

1

9

15

12

14

5

12

6

11

4

7

9

8

14

13

3

2

10

15

1

15

14

5

7

12

13

8

10

9

1

6

4

3

11

2

12

15

1

14

8

5

6

9

11

10

2

7

13

4

3

13

5

15

2

1

9

14

7

10

12

11

3

8

6

4

7

6

14

15

3

2

10

1

8

11

5

12

4

9

13

10

8

7

1

15

4

3

11

2

9

12

14

5

13

6

6

11

9

8

2

15

13

4

12

3

10

5

1

14

7

9

10

11

12

5

14

1

2

3

4

13

6

7

8

15

 

Рис. 9

 

Второй латинский квадрат преобразовываем с помощью следующей трансформации тождественной перестановки чисел:

 

1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14   15

11 2   3   4   7   6   5   8   9   10    1    12   13   14   15

 

На рис. 10 вы видите полученный в результате такого преобразования второй латинский квадрат.

 

Преобразованный второй латинский квадрат

 

11

1

8

3

6

12

9

4

13

15

7

10

2

5

14

8

2

12

9

4

5

13

10

7

14

15

6

1

3

11

4

9

3

13

10

7

8

14

1

6

11

15

5

12

2

13

7

10

4

14

1

6

9

11

12

5

2

15

8

3

9

14

6

1

7

11

12

5

10

2

13

8

3

15

4

15

10

11

5

12

6

2

13

8

1

3

14

9

4

7

7

15

1

2

8

13

5

3

14

9

12

4

11

10

6

1

6

15

12

3

9

14

8

4

11

10

13

7

2

5

3

12

5

15

13

4

10

11

9

7

2

1

14

6

8

5

4

13

8

15

14

7

1

2

10

6

3

12

11

9

2

8

7

14

9

15

11

6

12

3

1

5

4

13

10

14

3

9

6

11

10

15

2

5

13

4

12

8

7

1

6

11

4

10

5

2

1

15

3

8

14

7

13

9

12

10

5

2

7

1

8

3

12

15

4

9

11

6

14

13

12

13

14

11

2

3

4

7

6

5

8

9

10

1

15

 

Рис. 10

 

Пара ОЛК готова для построения магических квадратов. На рис. 11 показан один магический квадрат, построенный из данной пары ОЛК.

 

11

91

173

138

126

42

219

79

193

75

52

160

197

20

119

38

17

117

69

154

140

58

220

97

89

210

186

166

3

131

19

54

33

133

205

172

158

194

211

111

101

15

80

72

137

208

37

190

49

149

1

66

174

86

222

125

107

30

98

153

114

14

51

76

187

161

27

200

70

92

223

143

123

45

169

60

130

26

185

102

81

167

43

8

196

108

224

159

139

67

157

195

136

32

83

118

95

63

59

24

12

124

221

175

201

61

171

90

162

48

99

134

113

199

191

40

28

142

212

5

213

207

65

105

178

184

115

146

129

7

77

46

44

156

23

170

214

13

203

120

74

82

121

152

145

21

93

192

56

39

182

68

217

29

9

135

206

96

147

168

151

35

109

88

55

104

78

204

216

41

25

150

2

110

163

64

177

53

127

181

141

116

94

10

215

47

31

165

18

128

179

202

73

189

87

85

155

122

112

16

218

183

57

180

34

144

71

6

209

103

132

148

164

176

62

198

4

22

36

50

188

84

100

106

225

 

Рис. 11

 

Итак, мы имеем магический квадрат 15-го порядка, построенный методом латинских квадратов из произвольно выбранной пары ОЛК. В квадрате по привычке выделила начальную цепочку. Вроде бы числа начальной цепочки размещены в квадрате без всякой системы. Однако, как знать: возможно, есть какая-то скрытая система в расположении этой начальной цепочки. Но это не так важно. Главное в том, что метод латинских квадратов и в этом случае работает.

 

Напомню читателям, что для порядка 15, как для нечётного порядка, можно применить метод Делаира. Построенная по этому методу пара ОЛК будет выглядеть, например, так (рис. 12 – 13):

 

Первый латинский квадрат

 

8

1

2

3

4

5

6

7

9

10

11

12

13

14

15

15

8

1

2

3

4

5

6

7

9

10

11

12

13

14

14

15

8

1

2

3

4

5

6

7

9

10

11

12

13

13

14

15

8

1

2

3

4

5

6

7

9

10

11

12

12

13

14

15

8

1

2

3

4

5

6

7

9

10

11

11

12

13

14

15

8

1

2

3

4

5

6

7

9

10

10

11

12

13

14

15

8

1

2

3

4

5

6

7

9

9

10

11

12

13

14

15

8

1

2

3

4

5

6

7

7

9

10

11

12

13

14

15

8

1

2

3

4

5

6

6

7

9

10

11

12

13

14

15

8

1

2

3

4

5

5

6

7

9

10

11

12

13

14

15

8

1

2

3

4

4

5

6

7

9

10

11

12

13

14

15

8

1

2

3

3

4

5

6

7

9

10

11

12

13

14

15

8

1

2

2

3

4

5

6

7

9

10

11

12

13

14

15

8

1

1

2

3

4

5

6

7

9

10

11

12

13

14

15

8

 

Рис. 12

 

Второй латинский квадрат

 

1

2

3

4

5

6

7

9

10

11

12

13

14

15

8

2

3

4

5

6

7

9

10

11

12

13

14

15

8

1

3

4

5

6

7

9

10

11

12

13

14

15

8

1

2

4

5

6

7

9

10

11

12

13

14

15

8

1

2

3

5

6

7

9

10

11

12

13

14

15

8

1

2

3

4

6

7

9

10

11

12

13

14

15

8

1

2

3

4

5

7

9

10

11

12

13

14

15

8

1

2

3

4

5

6

9

10

11

12

13

14

15

8

1

2

3

4

5

6

7

10

11

12

13

14

15

8

1

2

3

4

5

6

7

9

11

12

13

14

15

8

1

2

3

4

5

6

7

9

10

12

13

14

15

8

1

2

3

4

5

6

7

9

10

11

13

14

15

8

1

2

3

4

5

6

7

9

10

11

12

14

15

8

1

2

3

4

5

6

7

9

10

11

12

13

15

8

1

2

3

4

5

6

7

9

10

11

12

13

14

8

1

2

3

4

5

6

7

9

10

11

12

13

14

15

 

Рис. 13

 

Красивая пара ОЛК! Очевидно, что оба латинских квадрата этой пары являются нетрадиционными магическими квадратами с магической константой 120, обладающими свойством ассоциативности. И поэтому магические квадраты, построенные из данной пары ОЛК тоже ассоциативны. На рис. 14 вы видите один из этих магических квадратов.

 

106

2

18

34

50

66

82

99

130

146

162

178

194

210

218

212

108

4

20

36

52

69

85

101

132

148

164

180

188

196

198

214

110

6

22

39

55

71

87

103

134

150

158

166

182

184

200

216

112

9

25

41

57

73

89

105

128

136

152

168

170

186

202

219

115

11

27

43

59

75

83

91

122

138

154

156

172

189

205

221

117

13

29

45

53

61

77

93

124

140

142

159

175

191

207

223

119

15

23

31

47

63

79

95

126

129

145

161

177

193

209

225

113

1

17

33

49

65

81

97

100

131

147

163

179

195

203

211

107

3

19

35

51

67

84

86

102

133

149

165

173

181

197

213

109

5

21

37

54

70

72

88

104

135

143

151

167

183

199

215

111

7

24

40

56

58

74

90

98

121

137

153

169

185

201

217

114

10

26

42

44

60

68

76

92

123

139

155

171

187

204

220

116

12

28

30

38

46

62

78

94

125

141

157

174

190

206

222

118

14

8

16

32

48

64

80

96

127

144

160

176

192

208

224

120

 

Рис. 14

 

Здесь уже полная гармония! И начальная цепочка имеет строго диагональную форму.

Подробно о методе Делаира читайте в статьях, посвящённых методам построения магических квадратов. А лучше скачайте мою книгу “Волшебный мир магических квадратов” вот по этой ссылке:

http://narod.ru/disk/5834353000/Magic_squares.pdf.html

 

В заключение покажу пару ОЛК 15-го порядка, построенную методом составных квадратов (рис. 15 – 16).

 

Первый латинский квадрат

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

3

4

5

1

2

8

9

10

6

7

13

14

15

11

12

5

1

2

3

4

10

6

7

8

9

15

11

12

13

14

2

3

4

5

1

7

8

9

10

6

12

13

14

15

11

4

5

1

2

3

9

10

6

7

8

14

15

11

12

13

11

12

13

14

15

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

13

14

15

11

12

3

4

5

1

2

8

9

10

6

7

15

11

12

13

14

5

1

2

3

4

10

6

7

8

9

12

13

14

15

11

2

3

4

5

1

7

8

9

10

6

14

15

11

12

13

4

5

1

2

3

9

10

6

7

8

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

1

2

3

4

5

8

9

10

6

7

13

14

15

11

12

3

4

5

1

2

10

6

7

8

9

15

11

12

13

14

5

1

2

3

4

7

8

9

10

6

12

13

14

15

11

2

3

4

5

1

9

10

6

7

8

14

15

11

12

13

4

5

1

2

3

 

Рис. 15

 

Второй латинский квадрат

 

1

2

3

4

5

11

12

13

14

15

6

7

8

9

10

4

5

1

2

3

14

15

11

12

13

9

10

6

7

8

2

3

4

5

1

12

13

14

15

11

7

8

9

10

6

5

1

2

3

4

15

11

12

13

14

10

6

7

8

9<