Н. Макарова

 

О ГРУППАХ MOLS ВОСЕМНАДЦАТОГО ПОРЯДКА

 

В статье http://www.natalimak1.narod.ru/aspekty6.htm мной построена пара ОЛК 18-го порядка по алгоритму, разработанному для серии порядков n = 6k, k>1. Это интересная пара. Латинские квадраты этой пары содержат подквадраты 5-го порядка. У меня есть предположение, что к этой паре ОЛК можно добавить ещё один или два латинских квадрата, которые составят вместе с двумя имеющимися группу MOLS 18-го порядка. Надо это предположение проверить. Предлагаю читателям заняться этим прямо сейчас. А я расскажу здесь о другой группе MOLS 18-го порядка, которая состоит из трёх квадратов. Матрицу для построения этой группы я нашла в книге “Handbook of Combinatorial Designs” (издание 2007 г.; глава 3, п. 3.48). Однако мне не удалось по этой матрице построить три квадрата группы, я построила только два ортогональных квадрата. Не могу понять, как авторы строят ОА(5,18). А в конце пункта вроде бы говорится, что построен именно такой ортогональный массив.

На рис. 1 показана матрица, которая у меня получилась по описанию, данному в указанном пункте книги. По этой матрице я построила два ортогональных латинских квадрата, которые здесь приведены.

 

1

1

2

11

3

2

4

9

12

6

10

8

13

1

x1

5

x2

7

x3

14

x4

8

2

1

3

11

4

2

12

9

10

6

13

8

x1

1

x2

5

x3

7

x4

14

2

8

5

13

12

1

x1

7

x2

3

x3

4

x4

9

14

10

8

11

5

6

2

9

5

8

12

13

x1

1

x2

7

x3

3

x4

4

14

9

8

10

5

11

2

6

 

Рис. 1

 

Примечание: все элементы матрицы увеличены на единицу.

 

На рис. 2 показан первый латинский квадрат, а на рис. 3 – второй латинский квадрат. Первому квадрату соответствует жёлтая строка матрицы, а второму квадрату – оранжевая строка.

 

Первый латинский квадрат

 

1

5

x1

x2

x3

x4

2

9

11

6

8

10

12

7

14

4

13

3

8

2

6

x1

x2

x3

x4

3

10

12

7

9

11

13

1

5

14

4

14

9

3

7

x1

x2

x3

x4

4

11

13

8

10

12

2

6

1

5

13

1

10

4

8

x1

x2

x3

x4

5

12

14

9

11

3

7

2

6

12

14

2

11

5

9

x1

x2

x3

x4

6

13

1

10

4

8

3

7

11

13

1

3

12

6

10

x1

x2

x3

x4

7

14

2

5

9

4

8

3

12

14

2

4

13

7

11

x1

x2

x3

x4

8

1

6

10

5

9

2

4

13

1

3

5

14

8

12

x1

x2

x3

x4

9

7

11

6

10

10

3

5

14

2

4

6

1

9

13

x1

x2

x3

x4

8

12

7

11

x4

11

4

6

1

3

5

7

2

10

14

x1

x2

x3

9

13

8

12

x3

x4

12

5

7

2

4

6

8

3

11

1

x1

x2

10

14

9

13

x2

x3

x4

13

6

8

3

5

7

9

4

12

2

x1

11

1

10

14

x1

x2

x3

x4

14

7

9

4

6

8

10

5

13

3

12

2

11

1

4

x1

x2

x3

x4

1

8

10

5

7

9

11

6

14

13

3

12

2

9

10

11

12

13

14

1

2

3

4

5

6

7

8

x1

x2

x3

x4

6

7

8

9

10

11

12

13

14

1

2

3

4

5

x4

x3

x2

x1

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

1

2

3

4

x2

x1

x4

x3

7

8

9

10

11

12

13

14

1

2

3

4

5

6

x3

x4

x1

x2

 

Рис. 2

 

Второй латинский квадрат

 

1

8

14

13

12

11

3

2

10

x4

x3

x2

x1

4

9

6

5

7

5

2

9

1

14

13

12

4

3

11

x4

x3

x2

x1

10

7

6

8

x1

6

3

10

2

1

14

13

5

4

12

x4

x3

x2

11

8

7

9

x2

x1

7

4

11

3

2

1

14

6

5

13

x4

x3

12

9

8

10

x3

x2

x1

8

5

12

4

3

2

1

7

6

14

x4

13

10

9

11

x4

x3

x2

x1

9

6

13

5

4

3

2

8

7

1

14

11

10

12

2

x4

x3

x2

x1

10

7

14

6

5

4

3

9

8

1

12

11

13

9

3

x4

x3

x2

x1

11

8

1

7

6

5

4

10

2

13

12

14

11

10

4

x4

x3

x2

x1

12

9

2

8

7

6

5

3

14

13

1

6

12

11

5

x4

x3

x2

x1

13

10

3

9

8

7

4

1

14

2

8

7

13

12

6

x4

x3

x2

x1

14

11

4

10

9

5

2

1

3

10

9

8

14

13

7

x4

x3

x2

x1

1

12

5

11

6

3

2

4

12

11

10

9

1

14

8

x4

x3

x2

x1

2

13

6

7

4

3

5

7

13

12

11

10

2

1

9

x4

x3

x2

x1

3

14

8

5

4

6

14

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

x1

x2

x3

x4

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

1

2

3

x3

x4

x1

x2

13

14

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

x4

x3

x2

x1

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

1

2

x2

x1

x4

x3

 

Рис. 3

 

Посмотрите, какая интересная симметрия в этих латинских квадратах! Такая симметрия уже встречалась при разработке алгоритма для серии порядков n = 4(mod 6). Самое же главное в том, что и пара ОЛК 18-го порядка, построенная мной в указанной выше статье (по аналогичному алгоритму для серии порядков n = 6k, k>1), обладает точно такой же симметрией. Однако в построенных сейчас латинских квадратах содержатся подквадраты 4-го порядка, а в построенных мной ранее ортогональных латинских квадратах содержатся подквадраты 5-го порядка. Поскольку группа MOLS 4-го порядка состоит только из трёх квадратов, то понятно, что к построенным здесь латинским квадратам можно добавить ещё только один латинский квадрат, ортогональный каждому из построенных квадратов. Группа MOLS 5-го порядка состоит из четырёх квадратов. Это даёт основание предполагать, что построенную мной пару ОЛК можно дополнить двумя латинскими квадратами, ортогональными между собой и с каждым из имеющихся в паре квадратов. Таким образом, вполне вероятно, что существует группа MOLS 18-го порядка, состоящая из четырёх квадратов. Но даже если удастся дополнить мою пару ОЛК только одним латинским квадратом, это тоже будет замечательный результат, так как мы получим новую группу MOLS неизоморфную приведённой в указанной книге.

 

Но вернусь к построенной сейчас паре ОЛК. Понятно, что переменные x1, x2, x3, x4 могут принимать значения 15, 16, 17, 18 в любой комбинации. Очевидно и то, что эти переменные задают подквадраты 4-го порядка, которые тоже можно варьировать. При этом будут получаться новые группы MOLS неизоморфные приведённой группе.

Присваиваю конкретные значения переменным: x1 = 15, x2 = 16, x3 = 17, x4 = 18. На рис. 4 – 5 изображены оба латинских квадрата при таких значениях переменных.

 

Первый латинский квадрат

 

1

5

15

16

17

18

2

9

11

6

8

10

12

7

14

4

13

3

8

2

6

15

16

17

18

3

10

12

7

9

11

13

1

5

14

4

14

9

3

7

15

16

17

18

4

11

13

8

10

12

2

6

1

5

13

1

10

4

8

15

16

17

18

5

12

14

9

11

3

7

2

6

12

14

2

11

5

9

15

16

17

18

6

13

1

10

4

8

3

7

11

13

1

3

12

6

10

15

16

17

18

7

14

2

5

9

4

8

3

12

14

2

4

13

7

11

15

16

17

18

8

1

6

10

5

9

2

4

13

1

3

5

14

8

12

15

16

17

18

9

7

11

6

10

10

3

5

14

2

4

6

1

9

13

15

16

17

18

8

12

7

11

18

11

4

6

1

3

5

7

2

10

14

15

16

17

9

13

8

12

17

18

12

5

7

2

4

6

8

3

11

1

15

16

10

14

9

13

16

17

18

13

6

8

3

5

7

9

4

12

2

15

11

1

10

14

15

16

17

18

14

7

9

4

6

8

10

5

13

3

12

2

11

1

4

15

16

17

18

1

8

10

5

7

9

11

6

14

13

3

12

2

9

10

11

12

13

14

1

2

3

4

5

6

7

8

15

16

17

18

6

7

8

9

10

11

12

13

14

1

2

3

4

5

18

17

16

15

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

1

2

3

4

16

15

18

17

7

8

9

10

11

12

13

14

1

2

3

4

5

6

17

18

15

16

 

Рис. 4

 

Второй латинский квадрат

 

1

8

14

13

12

11

3

2

10

18

17

16

15

4

9

6

5

7

5

2

9

1

14

13

12

4

3

11

18

17

16

15

10

7

6

8

15

6

3

10

2

1

14

13

5

4

12

18

17

16

11

8

7

9

16

15

7

4

11

3

2

1

14

6

5

13

18

17

12

9

8

10

17

16

15

8

5

12

4

3

2

1

7

6

14

18

13

10

9

11

18

17

16

15

9

6

13

5

4

3

2

8

7

1

14

11

10

12

2

18

17

16

15

10

7

14

6

5

4

3

9

8

1

12

11

13

9

3

18

17

16

15

11

8

1

7

6

5

4

10

2

13

12

14

11

10

4

18

17

16

15

12

9

2

8

7

6

5

3

14

13

1

6

12

11

5

18

17

16

15

13

10

3

9

8

7

4

1

14

2

8

7

13

12

6

18

17

16

15

14

11

4

10

9

5

2

1

3

10

9

8

14

13

7

18

17

16

15

1

12

5

11

6

3

2

4

12

11

10

9

1

14

8

18

17

16

15

2

13

6

7

4

3

5

7

13

12

11

10

2

1

9

18

17

16

15

3

14

8

5

4

6

14

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

15

16

17

18

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

1

2

3

17

18

15

16

13

14

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

18

17

16

15

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

1

2

16

15

18

17

 

Рис. 5

 

В каждом из этих латинских квадратов только одна диагональ является неправильной, то есть сумма чисел в этой диагонали не равна сумме чисел в строках и в столбцах квадрата. Кроме того, здесь мы имеем случай, когда неправильные диагонали в обоих квадратах совершенно одинаковые, то есть состоят из одинаковых наборов чисел. Поэтому для исправления обоих квадратов применяется одна и та же трансформация тождественной перестановки чисел, а именно: выполняется всего одна взаимозамена: 10 à 15, 15 à 10. На рис. 6 – 7 вы видите оба преобразованных латинских квадрата.

 

Первый преобразованный латинский квадрат

 

1

5

10

16

17

18

2

9

11

6

8

15

12

7

14

4

13

3

8

2

6

10

16

17

18

3

15

12

7

9

11

13

1

5

14

4

14

9

3

7

10

16

17

18

4

11

13

8

15

12

2

6

1

5

13

1

15

4

8

10

16

17

18

5

12

14

9

11

3

7

2

6

12

14

2

11

5

9

10

16

17

18

6

13

1

15

4

8

3

7

11

13

1

3

12

6

15

10

16

17

18

7

14

2

5

9

4

8

3

12

14

2

4

13

7

11

10

16

17

18

8

1

6

15

5

9

2

4

13

1

3

5

14

8

12

10

16

17

18

9

7

11

6

15

15

3

5

14

2

4

6

1

9

13

10

16

17

18

8

12

7

11

18

11

4

6

1

3

5

7

2

15

14

10

16

17

9

13

8

12

17

18

12

5

7

2

4

6

8

3

11

1

10

16

15

14

9

13

16

17

18

13

6

8

3

5

7

9

4

12

2

10

11

1

15

14

10

16

17

18

14

7

9

4

6

8

15

5

13

3

12

2

11

1

4

10

16

17

18

1

8

15

5

7

9

11

6

14

13

3

12

2

9

15

11

12

13

14

1

2

3

4

5

6

7

8

10

16

17

18

6

7

8

9

15

11

12

13

14

1

2

3

4

5

18

17

16

10

5

6

7

8

9

15

11

12

13

14

1

2

3

4

16

10

18

17

7

8

9

15

11

12

13

14

1

2

3

4

5

6

17

18

10

16

 

Рис. 6

 

Второй преобразованный латинский квадрат

 

1

8

14

13

12

11

3

2

15

18

17

16

10

4

9

6

5

7

5

2

9

1

14

13

12

4

3

11

18

17

16

10

15

7

6

8

10

6

3

15

2

1

14

13

5

4

12

18

17

16

11

8

7

9

16

10

7

4

11

3

2

1

14

6

5

13

18

17

12

9

8

15

17

16

10

8

5

12

4

3

2

1

7

6

14

18

13

15

9

11

18

17

16

10

9

6

13

5

4

3

2

8

7

1

14

11

15

12

2

18

17

16

10

15

7

14

6

5

4

3

9

8

1

12

11

13

9

3

18

17

16

10

11

8

1

7

6

5

4

15

2

13

12

14

11

15

4

18

17

16

10

12

9

2

8

7

6

5

3

14

13

1

6

12

11

5

18

17

16

10

13

15

3

9

8

7

4

1

14

2

8

7

13

12

6

18

17

16

10

14

11

4

15

9

5

2

1

3

15

9

8

14

13

7

18

17

16

10

1

12

5

11

6

3

2

4

12

11

15

9

1

14

8

18

17

16

10

2

13

6

7

4

3

5

7

13

12

11

15

2

1

9

18

17

16

10

3

14

8

5

4

6

14

1

2

3

4

5

6

7

8

9

15

11

12

13

10

16

17

18

4

5

6

7

8

9

15

11

12

13

14

1

2

3

17

18

10

16

13

14

1

2

3

4

5

6

7

8

9

15

11

12

18

17

16

10

3

4

5

6

7

8

9

15

11

12

13

14

1

2

16

10

18

17

 

Рис. 7

 

Расскажу, каким образом подбирается нужная трансформация тождественной перестановки чисел. Всё делается очень просто. Выписываем неправильную диагональ:

 

3  14  6  3  10  14  18  16  13  2  6  3  7  18  12  8  6  7

 

Сумма чисел в строках и в столбцах латинских квадратов равна 171. Сумма чисел в неправильной диагонали равна 166. Очевидно, что если мы заменим число 10 на число 15, то нужная сумма чисел в этой диагонали будет получена. Вот и всё определено. Разумеется, чтобы во всём квадрате все суммы сохранились, надо сделать и взаимную замену: заменить число 15 на число 10. Точно так я действовала во всех случаях подбора нужной трансформации тождественной перестановки чисел. Конечно, в более сложных случаях и для больших порядков этот способ будет не эффективен. Тогда надо составить программу для нахождения нужной трансформации. Работая с латинскими квадратами 22-го порядка, я составила такую программу. Однако программа выполняется очень долго на языке QBASIC, поэтому нужные трансформации я тоже нашла подбором.

 

Итак, мы имеем пару ортогональных классических латинских квадратов, каждый из которых является нетрадиционным магическим квадратом с магической константой 171. Из этой пары ОЛК можно построить два магических квадрата, меняя латинские квадраты местами в формуле для построения магического квадрата. Эти магические квадраты вы видите на рис. 8 - 9.

 

1

80

176

283

300

317

21

146

195

108

143

268

208

112

243

60

221

43

131

20

99

163

284

301

318

40

255

209

126

161

196

226

15

79

240

62

244

150

39

123

164

271

302

319

59

184

228

144

269

214

29

98

7

81

232

10

259

58

137

165

272

289

320

78

203

247

162

197

48

117

26

105

215

250

28

188

77

156

166

273

290

307

97

222

14

270

67

141

45

119

198

233

16

46

207

96

265

167

274

291

308

116

241

19

86

155

69

138

38

216

251

34

64

231

115

194

168

275

292

309

135

8

91

264

83

157

27

57

234

17

52

82

245

134

199

169

276

293

310

159

110

193

102

266

263

51

76

252

35

70

100

12

153

218

170

277

294

311

129

212

121

181

312

192

65

95

18

53

88

118

31

267

237

171

278

295

148

217

140

200

296

313

211

84

114

36

71

106

136

50

191

4

177

279

257

236

145

219

285

297

314

230

103

133

54

89

124

154

55

210

23

173

186

3

254

238

174

281

303

315

235

122

152

72

107

142

262

74

229

42

205

22

183

5

61

175

282

299

321

2

127

261

90

125

160

190

93

248

224

41

202

24

158

253

182

201

220

239

6

25

44

63

87

101

120

139

172

286

305

324

94

113

132

151

260

189

213

227

246

13

32

37

56

75

323

306

280

178

85

104

109

128

147

256

185

204

223

242

9

33

47

66

288

179

322

298

111

130

149

258

187

206

225

249

11

30

49

68

73

92

304

316

180

287

 

Рис. 8

 

1

131

244

232

215

198

38

27

263

312

296

285

174

61

158

94

85

111

80

20

150

10

250

233

216

57

51

192

313

297

281

175

253

113

104

130

176

99

39

259

28

16

251

234

76

65

211

314

303

282

182

132

109

149

283

163

123

58

188

46

34

17

252

95

84

230

315

299

201

151

128

258

300

284

164

137

77

207

64

52

35

18

114

103

235

321

220

260

147

187

317

301

271

165

156

96

231

82

70

53

36

133

122

2

239

189

256

206

21

318

302

272

166

265

115

245

100

88

71

54

152

127

6

213

185

225

146

40

319

289

273

167

194

134

12

118

106

89

72

261

25

227

204

249

195

255

59

320

290

274

168

199

153

31

136

124

107

90

44

246

223

11

108

209

184

78

307

291

275

169

218

267

50

154

142

125

63

13

242

30

143

126

228

203

97

308

292

276

170

237

191

55

262

160

87

32

9

49

268

161

144

247

222

116

309

293

277

171

4

210

74

190

101

37

33

68

208

196

269

162

14

241

135

310

294

278

177

23

229

93

120

56

47

73

112

226

214

197

270

19

8

159

311

295

279

173

42

248

139

75

66

92

243

15

29

48

67

86

91

110

129

148

257

186

205

224

172

286

305

324

60

79

98

117

141

155

264

193

212

217

236

3

22

41

306

323

178

280

221

240

7

26

45

69

83

102

121

140

145

254

183

202

322

298

288

179

43

62

81

105

119

138

157

266

181

200

219

238

5

24

287

180

316

304

 

Рис. 9

 

В квадратах выделена начальная цепочка. Заметьте, как в магических квадратах отразилась симметрия латинских квадратов.

 

Примечание: читатели, наверное, уже достаточно хорошо знают формулу для построения магического квадрата из пары ортогональных латинских квадратов. Отмечу, что в стандартной формуле предполагается, что латинские квадраты заполнены числами от 0 до n - 1. Поэтому при построении магических квадратов из приведённых здесь латинских квадратов, заполненных числами от 1 до n, надо или привести эти квадраты к традиционной форме записи, или немного изменить формулу для построения магического квадрата, а именно:

 

cij = n*(aij -1) + bij

 

Стандартная формула для построения магического квадрата имеет вид:

 

cij = n*aij  + bij + 1.

 

***

 

На форуме http://dxdy.ru/topic12959.html пришла подсказка, как построить третий латинский квадрат рассмотренной здесь группы MOLS 18-го порядка.

Предлагается достроить матрицу, по которой выполняется построение, следующим образом (рис. 10):

 

1

1

1

2

11

3

2

4

9

12

6

10

8

13

1

x1

5

x2

7

x3

14

x4

1

8

2

1

3

11

4

2

12

9

10

6

13

8

x1

1

x2

5

x3

7

x4

14

1

2

8

5

13

12

1

x1

7

x2

3

x3

4

x4

9

14

10

8

11

5

6

2

1

9

5

8

12

13

x1

1

x2

7

x3

3

x4

4

14

9

8

10

5

11

2

6

x1

x2

x4

x3

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

 

Рис. 10

 

Показываю третий латинский квадрат (рис. 11), которому в матрице соответствует строка розового цвета.

 

Третий латинский квадрат

 

x1

x3

14

7

10

8

5

x2

13

3

6

4

12

x4

1

11

9

2

x4

x1

x3

1

8

11

9

6

x2

14

4

7

5

13

2

12

10

3

14

x4

x1

x3

2

9

12

10

7

x2

1

5

8

6

3

13

11

4

7

1

x4

x1

x3

3

10

13

11

8

x2

2

6

9

4

14

12

5

10