Н. Макарова

 

ГРУППЫ MOLS 20-го и 21-го ПОРЯДКА

 

В предыдущих статьях данного цикла мне удалось построить все группы MOLS чётных порядков до порядка 18 включительно (с помощью участников форума http://dxdy.ru/topic12959.html ). Используя данные на форуме подсказки, пытаюсь продвигаться дальше по той же самой книге “Handbook of Combinatorial Designs”[Глава 3. Mutually Orthogonal Latin Squares (MOLS)]. Для группы MOLS 20-го порядка использую также статью “Four Mutually Orthogonal Latin Squares of order 20” (D. T. Todorov).

 

Прежде всего отмечу, что для рассматриваемых здесь порядков 20 и 21 работает метод составных квадратов. В одной из статей данного цикла показано построение методом составных квадратов группы MOLS 20-го порядка, состоящей из трёх латинских квадратов. В этой группе два латинских квадрата диагональные, что даёт возможность сразу строить магические квадраты из данной пары ОЛК. Для порядка 21 можно построить методом составных квадратов только пару ОЛК, в этой паре латинские квадраты недиагональные.

 

Перехожу к построению группы MOLS 20-го порядка по статье Тодорова. В статье приведена квази-разностная матрица для построения группы. Вы видите эту матрицу на рис. 1.

 

1

1

8

2

12

2

8

12

3

15

4

5

10

7

6

17

18

11

14

16

1

1

2

12

8

8

12

2

15

4

3

10

7

5

17

18

6

14

16

11

1

1

12

8

2

12

2

8

4

3

15

7

5

10

18

6

17

16

11

14

8

2

12

1

1

17

6

18

10

5

7

15

3

4

8

2

12

16

14

11

2

12

8

1

1

18

17

6

7

10

5

4

15

3

12

8

2

11

16

14

12

8

2

1

1

6

18

17

5

7

10

3

4

15

2

12

8

14

11

16

 

Рис. 1

 

Примечание: здесь и далее все элементы матрицы увеличены на единицу.

 

Как по квази-разностной матрице строить латинские квадраты, рассказано в предыдущих статьях. Первому латинскому квадрату соответствует голубая строка матрицы, второму квадрату – оранжевая, третьему – зелёная, четвёртому – жёлтая. На рис. 2 – 5 показаны четыре квадрата данной группы. В каждом латинском квадрате выделены ячейки, содержащие числа из квази-разностной матрицы.

 

Первый латинский квадрат

 

20

13

6

18

14

4

11

9

2

16

7

19

12

5

17

10

3

15

8

1

9

20

14

7

19

15

5

12

10

3

17

8

1

13

6

18

11

4

16

2

17

10

20

15

8

1

16

6

13

11

4

18

9

2

14

7

19

12

5

3

6

18

11

20

16

9

2

17

7

14

12

5

19

10

3

15

8

1

13

4

14

7

19

12

20

17

10

3

18

8

15

13

6

1

11

4

16

9

2

5

3

15

8

1

13

20

18

11

4

19

9

16

14

7

2

12

5

17

10

6

11

4

16

9

2

14

20

19

12

5

1

10

17

15

8

3

13

6

18

7

19

12

5

17

10

3

15

20

1

13

6

2

11

18

16

9

4

14

7

8

8

1

13

6

18

11

4

16

20

2

14

7

3

12

19

17

10

5

15

9

16

9

2

14

7

19

12

5

17

20

3

15

8

4

13

1

18

11

6

10

7

17

10

3

15

8

1

13

6

18

20

4

16

9

5

14

2

19

12

11

13

8

18

11

4

16

9

2

14

7

19

20

5

17

10

6

15

3

1

12

2

14

9

19

12

5

17

10

3

15

8

1

20

6

18

11

7

16

4

13

5

3

15

10

1

13

6

18

11

4

16

9

2

20

7

19

12

8

17

14

18

6

4

16

11

2

14

7

19

12

5

17

10

3

20

8

1

13

9

15

10

19

7

5

17

12

3

15

8

1

13

6

18

11

4

20

9

2

14

16

15

11

1

8

6

18

13

4

16

9

2

14

7

19

12

5

20

10

3

17

4

16

12

2

9

7

19

14

5

17

10

3

15

8

1

13

6

20

11

18

12

5

17

13

3

10

8

1

15

6

18

11

4

16

9

2

14

7

20

19

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

 

Рис. 2

 

Второй латинский квадрат

 

12

5

19

16

13

1

20

15

11

9

17

2

7

10

6

14

3

18

4

8

5

13

6

1

17

14

2

20

16

12

10

18

3

8

11

7

15

4

19

9

1

6

14

7

2

18

15

3

20

17

13

11

19

4

9

12

8

16

5

10

6

2

7

15

8

3

19

16

4

20

18

14

12

1

5

10

13

9

17

11

18

7

3

8

16

9

4

1

17

5

20

19

15

13

2

6

11

14

10

12

11

19

8

4

9

17

10

5

2

18

6

20

1

16

14

3

7

12

15

13

16

12

1

9

5

10

18

11

6

3

19

7

20

2

17

15

4

8

13

14

14

17

13

2

10

6

11

19

12

7

4

1

8

20

3

18

16

5

9

15

10

15

18

14

3

11

7

12

1

13

8

5

2

9

20

4

19

17

6

16

7

11

16

19

15

4

12

8

13

2

14

9

6

3

10

20

5

1

18

17

19

8

12

17

1

16

5

13

9

14

3

15

10

7

4

11

20

6

2

18

3

1

9

13

18

2

17

6

14

10

15

4

16

11

8

5

12

20

7

19

8

4

2

10

14

19

3

18

7

15

11

16

5

17

12

9

6

13

20

1

20

9

5

3

11

15

1

4

19

8

16

12

17

6

18

13

10

7

14

2

15

20

10

6

4

12

16

2

5

1

9

17

13

18

7

19

14

11

8

3

9

16

20

11

7

5

13

17

3

6

2

10

18

14

19

8

1

15

12

4

13

10

17

20

12

8

6

14

18

4

7

3

11

19

15

1

9

2

16

5

17

14

11

18

20

13

9

7

15

19

5

8

4

12

1

16

2

10

3

6

4

18

15

12

19

20

14

10

8

16

1

6

9

5

13

2

17

3

11

7

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

1

20

 

Рис. 3

 

Третий латинский квадрат

 

8

3

18

9

13

4

19

12

15

20

5

7

16

11

14

6

17

1

10

2

11

9

4

19

10

14

5

1

13

16

20

6

8

17

12

15

7

18

2

3

3

12

10

5

1

11

15

6

2

14

17

20

7

9

18

13

16

8

19

4

1

4

13

11

6

2

12

16

7

3

15

18

20

8

10

19

14

17

9

5

10

2

5

14

12

7

3

13

17

8

4

16

19

20

9

11

1

15

18

6

19

11

3

6

15

13

8

4

14

18

9

5

17

1

20

10

12

2

16

7

17

1

12

4

7

16

14

9

5

15

19

10

6

18

2

20

11

13

3

8

4

18

2

13

5

8

17

15

10

6

16

1

11

7

19

3

20

12

14

9

15

5

19

3

14

6

9

18

16

11

7

17

2

12

8

1

4

20

13

10

14

16

6

1

4

15

7

10

19

17

12

8

18

3

13

9

2

5

20

11

20

15

17

7

2

5

16

8

11

1

18

13

9

19

4

14

10

3

6

12

7

20

16

18

8

3

6

17

9

12

2

19

14

10

1

5

15

11

4

13

5

8

20

17

19

9

4

7

18

10

13

3

1

15

11

2

6

16

12

14

13

6

9

20

18

1

10

5

8

19

11

14

4

2

16

12

3

7

17

15

18

14

7

10

20

19

2

11

6

9

1

12

15

5

3

17

13

4

8

16

9

19

15

8

11

20

1

3

12

7

10

2

13

16

6

4

18

14

5

17

6

10

1

16

9

12

20

2

4

13

8

11

3

14

17

7

5

19

15

18

16

7

11

2

17

10

13

20

3

5

14

9

12

4

15

18

8

6

1

19

2

17

8

12

3

18

11

14

20

4

6

15

10

13

5

16

19

9

7

1

12

13

14

15

16

17

18

19

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

20

 

Рис. 4

 

Четвёртый латинский квадрат

 

2

8

11

17

20

6

19

10

5

9

16

4

3

18

13

7

1

15

14

12

15

3

9

12

18

20

7

1

11

6

10

17

5

4

19

14

8

2

16

13

17

16

4

10

13

19

20

8

2

12

7

11

18

6

5

1

15

9

3

14

4

18

17

5

11

14

1

20

9

3

13

8

12

19

7

6

2

16

10

15

11

5

19

18

6

12

15

2

20

10

4

14

9

13

1

8

7

3

17

16

18

12

6

1

19

7

13

16

3

20

11

5

15

10

14

2

9

8

4

17

5

19

13

7

2

1

8

14

17

4

20

12

6

16

11

15

3

10

9

18

10

6

1

14

8

3

2

9

15

18

5

20

13

7

17

12

16

4

11

19

12

11

7

2

15

9

4

3

10

16

19

6

20

14

8

18

13

17

5

1

6

13

12

8

3

16

10

5

4

11

17

1

7

20

15

9

19

14

18

2

19

7

14

13

9

4

17

11

6

5

12

18

2

8

20

16

10

1

15

3

16

1

8

15

14

10

5

18

12

7

6

13

19

3

9

20

17

11

2

4

3

17

2

9

16

15

11

6

19

13

8

7

14

1

4

10

20

18

12

5

13

4

18

3

10

17

16

12

7

1

14

9

8

15

2

5

11

20

19

6

1

14

5

19

4

11

18

17

13

8

2

15

10

9

16

3

6

12

20

7

20

2

15

6

1

5

12

19

18

14

9

3

16

11

10

17

4

7

13

8

14

20

3

16

7

2

6

13

1

19

15

10

4

17

12

11

18

5

8

9

9

15

20

4

17

8

3

7

14

2

1

16

11

5

18

13

12

19

6

10

7

10

16

20

5

18

9

4

8

15

3

2

17

12

6

19

14

13

1

11

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

1

2

3

4

5

6

7

20

 

Рис. 5

 

Теперь покажу построение другой группы MOLS 20-го порядка по книге “Handbook of Combinatorial Designs” (см. пункт 3.49). В книге дана такая матрица (рис. 6):

 

-

8

14

2

17

10

3

1

2

16

8

18

7

15

1

12

11

12

6

5

4

8

-

14

17

2

3

10

2

1

16

18

8

15

7

12

1

11

6

12

4

5

 

Рис. 6

 

Далее написано, что каждый столбец этой матрицы надо записать в трёх вариантах: сначала точная копия столбца: (a, b, c, d, e, f), затем такие две его трансформации: (b, c, a, f, d, e) и (c, a, b, e, f, d). В результате получается квази-разностная матрица, которая изображена на рис. 7.

 

-

8

14

2

17

10

3

1

2

16

8

18

7

15

1

12

11

12

6

5

4

1

2

16

8

18

7

15

1

12

11

12

6

5

4

-

8

14

2

17

10

3

1

12

11

12

6

5

4

-

8

14

2

17

10

3

1

2

16

8

18

7

15

8

-

14

17

2

3

10

12

1

11

6

12

4

5

2

1

16

18

8

15

7

2

1

16

18

8

15

7

8

-

14

17

2

3

10

12

1

11

6

12

4

5

12

1

11

6

12

4

5

2

1

16

18

8

15

7

8

-

14

17

2

3

10

 

Рис. 7

 

На рис. 8 – 11 изображены четыре латинских квадрата группы MOLS 20-го порядка, построенной по данной квази-разностной матрице. Первому латинскому квадрату соответствует изумрудная строка матрицы, второму квадрату – голубая, третьему – сиреневая, четвёртому – розовая.

 

Первый латинский квадрат

 

20

13

6

18

14

4

11

9

2

16

7

19

12

5

17

10

3

15

8

1

9

20

14

7

19

15

5

12

10

3

17

8

1

13

6

18

11

4

16

2

17

10

20

15

8

1

16

6

13

11

4

18

9

2

14

7

19

12

5

3

6

18

11

20

16

9

2

17

7

14

12

5

19

10

3

15

8

1

13

4

14

7

19

12

20

17

10

3

18

8

15

13

6

1

11

4

16

9

2

5

3

15

8

1

13

20

18

11

4

19

9

16

14

7

2

12

5

17

10

6

11

4

16

9

2

14

20

19

12

5

1

10

17

15

8

3

13

6

18

7

19

12

5

17

10

3

15

20

1

13

6

2

11

18

16

9

4

14

7

8

8

1

13

6

18

11

4

16

20

2

14

7

3

12

19

17

10

5

15

9

16

9

2

14

7

19

12

5

17

20

3

15

8

4

13

1

18

11

6

10

7

17

10

3

15

8

1

13

6

18

20

4

16

9

5

14

2

19

12

11

13

8

18

11

4

16

9

2

14

7

19

20

5

17

10

6

15

3

1

12

2

14

9

19

12

5

17

10

3

15

8

1

20

6

18

11

7

16

4

13

5

3

15

10

1

13

6

18

11

4

16

9

2

20

7

19

12

8

17

14

18

6

4

16

11

2

14

7

19

12

5

17

10

3

20

8

1

13

9

15

10

19

7

5

17

12

3

15

8

1

13

6

18

11

4

20

9

2

14

16

15

11

1

8

6

18

13

4

16

9

2

14

7

19

12

5

20

10

3

17

4

16

12

2

9

7

19

14

5

17

10

3

15

8

1

13

6

20

11

18

12

5

17

13

3

10

8

1

15

6

18

11

4

16

9

2

14

7

20

19

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

 

Рис. 8

 

Второй латинский квадрат

 

12

5

19

16

13

1

20

15

11

9

17

2

7

10

6

14

3

18

4

8

5

13

6

1

17

14

2

20

16

12

10

18

3

8

11

7

15

4

19

9

1

6

14

7

2

18

15

3

20

17

13

11

19

4

9

12

8

16

5

10

6

2

7

15

8

3

19

16

4

20

18

14

12

1

5

10

13

9

17

11

18

7

3

8

16

9

4

1

17

5

20

19

15

13

2

6

11

14

10

12

11

19

8

4

9

17

10

5

2

18

6

20

1

16

14

3

7

12

15

13

16

12

1

9

5

10

18

11

6

3

19

7

20

2

17

15

4

8

13

14

14

17

13

2

10

6

11

19

12

7

4

1

8

20

3

18

16

5

9

15

10

15

18

14

3

11

7

12

1

13

8

5

2

9

20

4

19

17

6

16

7

11

16

19

15

4

12

8

13

2

14

9

6

3

10

20

5

1

18

17

19

8

12

17

1

16

5

13

9

14

3

15

10

7

4

11

20

6

2

18

3

1

9

13

18

2

17

6

14

10

15

4

16

11

8

5

12

20

7

19

8

4

2

10

14

19

3

18

7

15

11

16

5

17

12

9

6

13

20

1

20

9

5

3

11

15

1

4

19

8

16

12

17

6

18

13

10

7

14

2

15

20

10

6

4

12

16

2

5

1

9

17

13

18

7

19

14

11

8

3

9

16

20

11

7

5

13

17

3

6

2

10

18

14

19

8

1

15

12

4

13

10

17

20

12

8

6

14

18

4

7

3

11

19

15

1

9

2

16

5

17

14

11

18

20

13

9

7

15

19

5

8

4

12

1

16

2

10

3

6

4

18

15

12

19

20

14

10

8

16

1

6

9

5

13

2

17

3

11

7

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

1

20

 

Рис. 9

 

Третий латинский квадрат

 

8

3

18

9

13

4

19

12

15

20

5

7

16

11

14

6

17

1

10

2

11

9

4

19

10

14

5

1

13

16

20

6

8

17

12

15

7

18

2

3

3

12

10

5

1

11

15

6

2

14

17

20

7

9

18

13

16

8

19

4

1

4

13

11

6

2

12

16

7

3

15

18

20

8

10

19

14

17

9

5

10

2

5

14

12

7

3

13

17

8

4

16

19

20

9

11

1

15

18

6

19

11

3

6

15

13

8

4

14

18

9

5

17

1

20

10

12

2

16

7

17

1

12

4

7

16

14

9

5

15

19

10

6

18

2

20

11

13

3

8

4

18

2

13

5

8

17

15

10

6

16

1

11

7

19

3

20

12

14

9

15

5

19

3

14

6

9

18

16

11

7

17

2

12

8

1

4

20

13

10

14

16

6

1

4

15

7

10

19

17

12

8

18

3

13

9

2

5

20

11

20

15

17

7

2

5

16

8

11

1

18

13

9

19

4

14

10

3

6

12

7

20

16

18

8

3

6

17

9

12

2

19

14

10

1

5

15

11

4

13

5

8

20

17

19

9

4

7

18

10

13

3

1

15

11

2

6

16

12

14

13

6

9

20

18

1

10

5

8

19

11

14

4

2

16

12

3

7

17

15

18

14

7

10

20

19

2

11

6

9

1

12

15

5

3

17

13

4

8

16

9

19

15

8

11

20

1

3

12

7

10

2

13

16

6

4

18

14

5

17

6

10

1

16

9

12

20

2

4

13

8

11

3

14

17

7

5

19

15

18

16

7

11

2

17

10

13

20

3

5

14

9

12

4

15

18