Н. Макарова

 

ГРУППЫ MOLS 26-го и 38-го ПОРЯДКА

 

Порядок 26 – очень сложный порядок. Метод составных квадратов для него не работает. Этот порядок относится к серии порядков n = 2(mod 6), для которой у меня нет алгоритма построения пары ОЛК. Так что до сегодняшнего дня у меня не было даже пары ОЛК 26-го порядка. Наконец-то по книге “Handbook of Combinatorial Designs” мне удалось построить группу MOLS 26-го порядка, состоящую из четырёх квадратов (см. Главу 3, пункт 3.53).

На рис. 1 изображена квази-разностная матрица, построенная из матрицы, приведённой в книге.

 

x1

1

2

4

7

5

x2

1

7

12

11

20

x3

1

8

21

15

6

x4

1

9

19

2

13

x5

1

15

11

6

3

1

2

4

7

5

x1

1

7

12

11

20

x2

1

8

21

15

6

x3

1

9

19

2

13

x4

1

15

11

6

3

x5

2

4

7

5

x1

1

7

12

11

20

x2

1

8

21

15

6

x3

1

9

19

2

13

x4

1

15

11

6

3

x5

1

4

7

5

x1

1

2

12

11

20

x2

1

7

21

15

6

x3

1

8

19

2

13

x4

1

9

11

6

3

x5

1

15

7

5

x1

1

2

4

11

20

x2

1

7

12

15

6

x3

1

8

21

2

13

x4

1

9

19

6

3

x5

1

15

11

5

x1

1

2

4

7

20

x2

1

7

12

11

6

x3

1

8

21

15

13

x4

1

9

19

2

3

x5

1

15

11

6

 

Рис. 1

 

По этой матрице строю латинские квадраты. Первый латинский квадрат построен с переменными x1, x2, x3, x4, x5 (рис. 2).

 

Первый латинский квадрат (с переменными)

 

1

10

x1

x5

17

19

13

18

16

x3

x4

5

x2

11

14

6

21

12

20

4

3

2

7

8

9

15

4

2

11

x1

x5

18

20

14

19

17

x3

x4

6

x2

12

15

7

1

13

21

5

3

8

9

10

16

6

5

3

12

x1

x5

19

21

15

20

18

x3

x4

7

x2

13

16

8

2

14

1

4

9

10

11

17

2

7

6

4

13

x1

x5

20

1

16

21

19

x3

x4

8

x2

14

17

9

3

15

5

10

11

12

18

16

3

8

7

5

14

x1

x5

21

2

17

1

20

x3

x4

9

x2

15

18

10

4

6

11

12

13

19

5

17

4

9

8

6

15

x1

x5

1

3

18

2

21

x3

x4

10

x2

16

19

11

7

12

13

14

20

12

6

18

5

10

9

7

16

x1

x5

2

4

19

3

1

x3

x4

11

x2

17

20

8

13

14

15

21

21

13

7

19

6

11

10

8

17

x1

x5

3

5

20

4

2

x3

x4

12

x2

18

9

14

15

16

1

19

1

14

8

20

7

12

11

9

18

x1

x5

4

6

21

5

3

x3

x4

13

x2

10

15

16

17

2

x2

20

2

15

9

21

8

13

12

10

19

x1

x5

5

7

1

6

4

x3

x4

14

11

16

17

18

3

15

x2

21

3

16

10

1

9

14

13

11

20

x1

x5

6

8

2

7

5

x3

x4

12

17

18

19

4

x4

16

x2

1

4

17

11

2

10

15

14

12

21

x1

x5

7

9

3

8

6

x3

13

18

19

20

5

x3

x4

17

x2

2

5

18

12

3

11

16

15

13

1

x1

x5

8

10

4

9

7

14

19

20

21

6

8

x3

x4

18

x2

3

6

19

13

4

12

17

16

14

2

x1

x5

9

11

5

10

15

20

21

1

7

11

9

x3

x4

19

x2

4

7

20

14

5

13

18

17

15

3

x1

x5

10

12

6

16

21

1

2

8

7

12

10

x3

x4

20

x2

5

8

21

15

6

14

19

18

16

4

x1

x5

11

13

17

1

2

3

9

14

8

13

11

x3

x4

21

x2

6

9

1

16

7

15

20

19

17

5

x1

x5

12

18

2

3

4

10

13

15

9

14

12

x3

x4

1

x2

7

10

2

17

8

16

21

20

18

6

x1

x5

19

3

4

5

11

x5

14

16

10

15

13

x3

x4

2

x2

8

11

3

18

9

17

1

21

19

7

x1

20

4

5

6

12

x1

x5

15

17

11

16

14

x3

x4

3

x2

9

12

4

19

10

18

2

1

20

8

21

5

6

7

13

9

x1

x5

16

18

12

17

15

x3

x4

4

x2

10

13

5

20

11

19

3

2

21

1

6

7

8

14

18

19

20

21

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

x1

x2

x3

x4

x5

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

1

2

x2

x3

x4

x5

x1

17

18

19

20

21

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

x3

x4

x5

x1

x2

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x4

x5

x1

x2

x3

20

21

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

x5

x1

x2

x3

x4

 

Рис. 2

 

Теперь присваиваю переменным конкретные значения: x1 = 22, x2 = 23, x3 = 24, x4 = 25, x5 = 26. На рис. 3 вы видите первый латинский квадрат с такими значениями переменных. Латинские квадраты данной группы содержат подквадрат 5-го порядка (на рисунках подквадрат выделен серым цветом). Понятно, что можно варьировать группы из 4 подквадратов, получая различные (неизоморфные) группы MOLS 26-го порядка.

 

Первый латинский квадрат (с конкретными значениями переменных)

 

1

10

22

26

17

19

13

18

16

24

25

5

23

11

14

6

21

12

20

4

3

2

7

8

9

15

4

2

11

22

26

18

20

14

19

17

24

25

6

23

12

15

7

1

13

21

5

3

8

9

10

16

6

5

3

12

22

26

19

21

15

20

18

24

25

7

23

13

16

8

2

14

1

4

9

10

11

17

2

7

6

4

13

22

26

20

1

16

21

19

24

25

8

23

14

17

9

3

15

5

10

11

12

18

16

3

8

7

5

14

22

26

21

2

17

1

20

24

25

9

23

15

18

10

4

6

11

12

13

19

5

17

4

9

8

6

15

22

26

1

3

18

2

21

24

25

10

23

16

19

11

7

12

13

14

20

12

6

18

5

10

9

7

16

22

26

2

4

19

3

1

24

25

11

23

17

20

8

13

14

15

21

21

13

7

19

6

11

10

8

17

22

26

3

5

20

4

2

24

25

12

23

18

9

14

15

16

1

19

1

14

8

20

7

12

11

9

18

22

26

4

6

21

5

3

24

25

13

23

10

15

16

17

2

23

20

2

15

9

21

8

13

12

10

19

22

26

5

7

1

6

4

24

25

14

11

16

17

18

3

15

23

21

3

16

10

1

9

14

13

11

20

22

26

6

8

2

7

5

24

25

12

17

18

19

4

25

16

23

1

4

17

11

2

10

15

14

12

21

22

26

7

9

3

8

6

24

13

18

19

20

5

24

25

17

23

2

5

18

12

3

11

16

15

13

1

22

26

8

10

4

9

7

14

19

20

21

6

8

24

25

18

23

3

6

19

13

4

12

17

16

14

2

22

26

9

11

5

10

15

20

21

1

7

11

9

24

25

19

23

4

7

20

14

5

13

18

17

15

3

22

26

10

12

6

16

21

1

2

8

7

12

10

24

25

20

23

5

8

21

15

6

14

19

18

16

4

22

26

11

13

17

1

2

3

9

14

8

13

11

24

25

21

23

6

9

1

16

7

15

20

19

17

5

22

26

12

18

2

3

4

10

13

15

9

14

12

24

25

1

23

7

10

2

17

8

16

21

20

18

6

22

26

19

3

4

5

11

26

14

16

10

15

13

24

25

2

23

8

11

3

18

9

17

1

21

19

7

22

20

4

5

6

12

22

26

15

17

11

16

14

24

25

3

23

9

12

4

19

10

18

2

1

20

8

21

5

6

7

13

9

22

26

16

18

12

17

15

24

25

4

23

10

13

5

20

11

19

3

2

21

1

6

7

8

14

18

19

20

21

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

22

23

24

25

26

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

1

2

23

24

25

26

22

17

18

19

20

21

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

24

25

26

22

23

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

1

2

3

4

5

6

7

8

9

25

26

22

23

24

20

21

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

26

22

23

24

25

 

Рис. 3

 

Второй латинский квадрат сразу построила с заданными выше значениями переменных (рис. 4).

 

1

23

18

20

14

26

24

13

7

17

10

16

3

15

8

5

9

25

22

2

6

4

12

21

19

11

7

2

23

19

21

15

26

24

14

8

18

11

17

4

16

9

6

10

25

22

3

5

13

1

20

12

4

8

3

23

20

1

16

26

24

15

9

19

12

18

5

17

10

7

11

25

22

6

14

2

21

13

22

5

9

4

23

21

2

17

26

24

16

10

20

13

19

6

18

11

8

12

25

7

15

3

1

14

25

22

6

10

5

23

1

3

18

26

24

17

11

21

14

20

7

19

12

9

13

8

16

4

2

15

14

25

22

7

11

6

23

2

4

19

26

24

18

12

1

15

21

8

20

13

10

9

17

5

3

16

11

15

25

22

8

12

7

23

3

5

20

26

24

19

13

2

16

1

9

21

14

10

18

6

4

17

15

12

16

25

22

9

13

8

23

4

6

21

26

24

20

14

3

17

2

10

1

11

19

7

5

18

2

16

13

17

25

22

10

14

9

23

5

7

1

26

24

21

15

4

18

3

11

12

20

8

6

19

12

3

17

14

18

25

22

11

15

10

23

6

8

2

26

24

1

16

5

19

4

13

21

9

7

20

5

13

4

18

15

19

25

22

12

16

11

23

7

9

3

26

24

2

17

6

20

14

1

10

8

21

21

6

14

5

19

16

20

25

22

13

17

12

23

8

10

4

26

24

3

18

7

15

2

11

9

1

8

1

7

15

6

20

17

21

25

22

14

18

13

23

9

11

5

26

24

4

19

16

3

12

10

2

20

9

2

8

16

7

21

18

1

25

22

15

19

14

23

10

12

6

26

24

5

17

4

13

11

3

6

21

10

3

9

17

8

1

19

2

25

22

16

20

15

23

11

13

7

26

24

18

5

14

12

4

24

7

1

11

4

10

18

9

2

20

3

25

22

17

21

16

23

12

14

8

26

19

6

15

13

5

26

24

8

2

12

5

11

19

10

3

21

4

25

22

18

1

17

23

13

15

9

20

7

16

14

6

10

26

24

9

3

13

6

12

20

11

4

1

5

25

22

19

2

18

23

14

16

21

8

17

15

7

17

11

26

24

10

4

14

7

13

21

12

5

2

6

25

22

20

3

19

23

15

1

9

18

16

8

16

18

12

26

24

11

5

15

8

14

1

13

6

3

7

25

22

21

4

20

23

2

10

19

17

9

23

17

19

13

26

24

12

6

16

9

15

2

14

7

4

8

25

22

1

5

21

3

11

20

18

10

19

20

21

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

22

23

24

25

26

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

1

2

3

4

5

6

7

8

24

25

26

22

23

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

1

2

26

22

23

24

25

18

19

20

21

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

23

24

25

26

22

13

14

15

16

17

18

19

20

21

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

25

26

22

23

24

 

Рис. 4

 

Третий (зелёная строка матрицы) и четвёртый (жёлтая строка матрицы) латинские квадраты предлагаю построить читателям. У меня готова пара ОЛК, которую я сейчас преобразую, чтобы она была пригодна для построения магических квадратов.

Преобразовываю первый латинский квадрат следующими заменами: 8 à 18, 18 à 8; 20 à 21, 21 à 20. На рис. 5 изображён преобразованный первый латинский квадрат.

 

Преобразованный первый латинский квадрат

 

1

10

22

26

17

19

13

8

16

24

25

5

23

11

14

6

20

12

21

4

3

2

7

18

9

15

4

2

11

22

26

8

21

14

19

17

24

25

6

23

12

15

7

1

13

20

5

3

18

9

10

16

6

5

3

12

22

26

19

20

15

21

8

24

25

7

23

13

16

18

2

14

1

4

9

10

11

17

2

7

6

4

13

22

26

21

1

16

20

19

24

25

18

23

14

17

9

3

15

5

10

11

12

8

16

3

18

7

5

14

22

26

20

2

17

1

21

24

25

9

23

15

8

10

4

6

11

12

13

19

5

17

4

9

18

6

15

22

26

1

3

8

2

20

24

25

10

23

16

19

11

7

12

13

14

21

12

6

8

5

10

9

7

16

22

26

2

4

19

3

1

24

25

11

23

17

21

18

13

14

15

20

20

13

7

19

6

11

10

18

17

22

26

3

5

21

4

2

24

25

12

23

8

9

14

15

16

1

19

1

14

18

21

7

12

11

9

8

22

26

4

6

20

5

3

24

25

13

23

10

15

16

17

2

23

21

2

15

9

20

18

13

12

10

19

22

26

5

7

1

6

4

24

25

14

11

16

17

8

3

15

23

20

3

16

10

1

9

14

13

11

21

22

26

6

18

2

7

5

24

25

12

17

8

19

4

25

16

23

1

4

17

11

2

10

15

14

12

20

22

26

7

9

3

18

6

24

13

8

19

21

5

24

25

17

23

2

5

8

12

3

11

16

15

13

1

22

26

18

10

4

9

7

14

19

21

20

6

18

24

25

8

23

3

6

19

13

4

12

17

16

14

2

22

26

9

11

5

10

15

21

20

1

7

11

9

24

25

19

23

4

7

21

14

5

13

8

17

15

3

22

26

10

12

6

16

20

1

2

18

7

12

10

24

25

21

23

5

18

20

15

6

14

19

8

16

4

22

26

11

13

17

1

2

3

9

14

18

13

11

24

25

20

23

6

9

1

16

7

15

21

19

17

5

22

26

12

8

2

3

4

10

13

15

9

14

12

24

25

1

23

7

10

2

17

18

16

20

21

8

6

22

26

19

3

4

5

11

26

14

16

10

15

13

24

25

2

23

18

11

3

8

9

17

1

20

19

7

22

21

4

5

6

12

22

26

15

17

11

16

14

24

25

3

23

9

12

4

19

10

8

2

1

21

18

20

5

6

7

13

9

22

26

16

8

12

17

15

24

25

4

23

10

13

5

21

11

19

3

2

20

1

6

7

18

14

8

19

21

20

1

2

3

4

5

6

7

18

9

10

11

12

13

14

15

16

17

22

23

24

25

26

3

4

5

6

7

18

9

10

11

12

13

14

15

16

17

8

19

21

20

1

2

23

24

25

26

22

17

8

19

21

20

1

2

3

4

5

6

7

18

9

10

11

12

13

14

15

16

24

25

26

22

23

10

11

12

13

14

15

16

17

8

19

21

20

1

2

3

4

5

6

7

18

9

25

26

22

23

24

21

20

1

2

3

4

5

6

7

18

9

10

11

12

13

14

15

16

17

8

19

26

22

23

24

25

 

Рис. 5

 

Преобразовываю второй латинский квадрат такой взаимозаменой: 3 à 25, 25 à 3. Полученный квадрат показан на рис. 6.

 

Преобразованный второй латинский квадрат

 

1

23

18

20

14

26

24

13

7

17

10

16

25

15

8

5

9

3

22

2

6

4

12

21

19

11

7

2

23

19

21

15

26

24

14

8

18

11

17

4

16

9

6

10

3

22

25

5

13

1

20

12

4

8

25

23

20

1

16

26

24

15

9

19

12

18

5

17

10

7

11

3

22

6

14

2

21

13

22

5

9

4

23

21

2

17

26

24

16

10

20

13

19

6

18

11

8

12

3

7

15

25

1