Н. Макарова

 

Экспериментальная статья!

 

 

НЕТРАДИЦИОННЫЕ ЛАТИНСКИЕ КВАДРАТЫ

 

 

Нетрадиционные латинские квадраты, по-моему, ещё не введены в теорию латинских квадратов. По крайней мере, я не встречала нигде такое понятие, поэтому назвала данную статью экспериментальной.

 

Решила рассмотреть нетрадиционные латинские квадраты по аналогии с нетрадиционными магическими квадратами. Для традиционных магических квадратов, например, не существует идеальных квадратов порядков n = 4k + 2, а для нетрадиционных магических квадратов такие квадраты существуют. Нечто подобное имеется и для нетрадиционных латинских квадратов – они покрывают белые пятна в классических латинских квадратах.

Начну с определения: нетрадиционным латинским квадратом порядка n называется квадратная таблица размером nxn, заполненная натуральными числами от 1 до m  (m > n) [или от 0 до m - 1] так, что в каждой строке и в каждом столбце таблицы все элементы различны. Если все элементы различны и в обеих главных диагоналях, то такой нетрадиционный латинский квадрат будем называть диагональным (так же, как для классических латинских квадратов).

Интересно отметить, что любой обратимый квадрат порядка n является нетрадиционным латинским квадратом. Смотрите, например, на рис. 1 самый простой обратимый квадрат порядка 8.

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

 

Рис. 1

 

Этот квадрат заполнен числами от 1 до 64. Очевидно, что этот обратимый квадрат является нетрадиционным латинским квадратом, к тому же, диагональным. Кроме того, он обладает свойством ассоциативности, как все обратимые квадраты.

Понятие ортогональности двух нетрадиционных латинских квадратов определяется точно так же, как для классических латинских квадратов. Например, на рис. 2 показан нетрадиционный латинский квадрат ортогональный квадрату, изображённому на рис. 1.

 

1

2

3

4

5

6

7

8

17

18

19

20

21

22

23

24

33

34

35

36

37

38

39

40

49

50

51

52

53

54

55

56

41

42

43

44

45

46

47

48

57

58

59

60

61

62

63

64

9

10

11

12

13

14

15

16

25

26

27

28

29

30

31

32

 

Рис. 2

 

Можно даже построить группу попарно ортогональных латинских квадратов. На рис. 3 вы видите ещё один нетрадиционный латинский квадрат, который ортогонален каждому из приведённых выше квадратов.

 

1

2

3

4

5

6

7

8

25

26

27

28

29

30

31

32

49

50

51

52

53

54

55

56

41

42

43

44

45

46

47

48

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

57

58

59

60

61

62

63

64

33

34

35

36

37

38

39

40

 

Рис. 3

 

Все три квадрата диагональные.

Точно так же, как в группе MOLS 8-го порядка для классических латинских квадратов, приведённые нетрадиционные ортогональные квадраты получаются друг из друга перестановкой строк. Можно построить ещё четыре нетрадиционных латинских квадрата, которые составят с приведёнными тремя квадратами группу MOLS из семи квадратов. Однако это не максимальное количество попарно ортогональных нетрадиционных латинских квадратов 8-го порядка, как в случае с классическими латинскими квадратами. Для нетрадиционных латинских квадратов можно получать ортогональных квадраты не только перестановкой строк, но и, например, поворотом вокруг центра квадрата. На рис. 3а вы видите ещё два ортогональных нетрадиционных латинских квадрата, полученные из квадрата с рис. 1 поворотом вокруг центра, которые попарно ортогональны с тремя приведёнными квадратами.

 

57

49

41

33

25

17

9

1

 

64

63

62

61

60

59

58

57

58

50

42

34

26

18

10

2

56

55

54

53

52

51

50

49

59

51

43

35

27

19

11

3

48

47

46

45

44

43

42

41

60

52

44

36

28

20

12

4

40

39

38

37

36

35

34

33

61

53

45

37

29

21

13

5

32

31

30

29

28

27

26

25

62

54

46

38

30

22

14

6

24

23

22

21

20

19

18

17

63

55

47

39

31

23

15

7

16

15

14

13

12

11

10

9

64

56

48

40

32

24

16

8

8

7

6

5

4

3

2

1

 

Рис. 3а

 

Предлагаю читателям построить другие нетрадиционные квадраты в этой группе MOLS.

 

Как известно, для классических латинских квадратов не существует диагональных квадратов 2-го и 3-го порядка, а нетрадиционные диагональные латинские квадраты таких порядков существуют. На рис. 4 показаны примеры диагональных квадратов порядков 2 и 3.

 

 

 

1

2

3

1

2

2

5

1

4

3

4

1

2

 

Рис. 4

 

А вот ортогональные соквадраты к приведённым нетрадиционным латинским квадратам (рис. 5):

 

 

 

 

1

2

3

1

2

4

1

2

3

4

2

5

1

 

Рис. 5

 

Заметьте: квадрат 3-го порядка на рис. 5 недиагональный, так как в одной главной диагонали все элементы одинаковые. На рис. 6 представлена пара ортогональных диагональных нетрадиционных латинских квадратов 3-го порядка; первый квадрат в этой паре тоже с рис. 4.

 

1

2

3

 

4

2

1

2

5

1

1

5

2

4

1

2

2

1

3

 

Рис. 6

 

Очевидно, что второй квадрат в этой паре ОЛК получается из первого поворотом вокруг центра квадрата на 90 градусов по часовой стрелке.

Как видите, для порядков 2 и 3 существуют пары ортогональных нетрадиционных латинских квадратов, а также пары ортогональных диагональных нетрадиционных латинских квадратов. Существует пара ОЛК и для нетрадиционных латинских квадратов 6-го порядка. На рис. 7 вы видите такую пару ОЛК.

 

1

2

3

4

5

6

 

1

2

3

7

8

9

2

3

1

5

6

4

3

1

2

9

7

8

3

1

2

6

4

5

2

3

1

8

9

7

4

5

6

1

2

3

4

5

6

10

11

12

5

6

4

2

3

1

6

4

5

12

10

11

6

4

5

3

1

2

5

6

4

11

12

10

 

Рис. 7

 

Эта пара построена методом составных квадратов. Квадраты в этой паре ОЛК недиагональные.

 

А это пара ОДЛК 6-го порядка (рис. 8):

 

1

2

3

6

7

8

 

4

2

1

9

7

6

2

5

1

7

10

6

1

5

2

6

10

7

4

1

2

9

6

7

2

1

3

7

6

8

11

12

13

16

17

18

19

17

16

14

12

11

12

15

11

17

20

16

16

20

17

11

15

12

14

11

12

19

16

17

17

16

18

10

11

13

 

Рис. 8

 

Эта пара тоже построена методом составных квадратов, причём для её построения взяты пары нетрадиционных ОДЛК 2-го и 3-го порядков, приведённые выше.

 

Ещё одна пара нетрадиционных ОДЛК 6-го порядка (рис. 9):

 

1

2

3

4

5

6

 

31

25

19

13

7

1

7

8

9

10

11

12

32

26

20

14

8

2

13

14

15

16

17

18

33

27

21

15

9

3

19

20

21

22

23

24

34

28

22

16

10

4

25

26

27

28

29

30

35

29

23

17

11

5

31

32

33

34

35

36

36

30

24

18

12

6

 

Рис. 9

 

В этой паре первый квадрат – это самый простой обратимый квадрат, второй квадрат получен из первого поворотом вокруг центра квадрата на 90 градусов по часовой стрелке.

И ещё пара нетрадиционных диагональных латинских квадратов (рис. 10), которые вместе с приведёнными на рис. 9 квадратами образуют группу попарно ортогональных квадратов.

 

36

35

34

33

32

31

 

6

12

18

24

30

36

30

29

28

27

26

25

5

11

17

23

29

35

24

23

22

21

20

19

4

10

16

22

28

34

18

17

16

15

14

13

3

9

15

21

27

33

12

11

10

9

8

7

2

8

14

20

26

32

6

5

4

3

2

1

1

7

13

19

25

31

 

Рис. 10

 

Итак, для нетрадиционных латинских квадратов существую пары ОЛК, пары ОДЛК и даже группа MOLS 6-го порядка.

Покажу ещё одну группу MOLS, состоящую из пяти нетрадиционных латинских квадратов 6-го порядка. Эта группа получена из группы MOLS (классических) 12-го порядка. Из каждого квадрата этой группы одинаковым образом вырезан квадрат 6х6. Эта группа изображена на рис. 11 – 12.

 

2

3

4

11

12

7

 

1

12

6

8

10

3

 

6

8

10

1

7

4

3

4

5

12

7

8

2

7

1

9

11

4

1

9

11

2

8

5

10

11

12

1

2

3

9

2

8

4

6

11

8

4

6

9

3

12

11

12

7

2

3

4

10

3

9

5

1

12

9

5

1

10

4

7

12

7

8

3

4

5

11

4

10

6

2

7

10

6

2

11

5

8

7

8

9

4

5

6

12

5

11

1

3

8

11

1

3

12

6

9

 

Рис. 11

 

10

4

8

2

9

1

 

9

1

12

7

11

8

11

5

9

3

10

2

10

2

7

8

12

9

6

12

4

10

5

9

5

9

2

3

1

4

1

7

5

11

6

10

6

10

3

4

2

5

2

8

6

12

1

11

1

11

4

5

3

6

3

9

1

7

2

12

2

12

5

6

4

1

 

Рис. 12

 

В этой группе нетрадиционные латинские квадраты заполнены числами от 1 до 12. Квадраты недиагональные.

 

Переходим к латинским квадратам 10-го порядка. Как известно, для данного порядка не существует группы попарно ортогональных классических латинских квадратов более чем из двух квадратов. Для нетрадиционных латинских квадратов существуют группы MOLS 10-го порядка, состоящие более чем из двух квадратов. Можно начать опять с обратимых квадратов, но я оставлю это читателям. Покажу группу MOLS (нетрадиционных) 10-го порядка, состоящую из пяти квадратов, которую получила из той же самой группы MOLS (классических) 12-го порядка, вырезав из каждого квадрата квадрат 10-го порядка. На рис. 13 – 15 представлена эта группа MOLS.

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

 

1

7

9

3

8

2

10

12

5

11

2

3

4

5

6

1

8

9

10

11

2

8

10

4

9

3

11

7

6

12

3

4

5

6

1

2

9

10

11

12

3

9

11

5

10

4

12

8

1

7

4

5

6

1

2

3

10

11

12

7

4

10

12

6

11

5

7

9

2

8

5

6

1

2

3

4

11

12

7

8

5

11

7

1

12

6

8

10

3

9

6

1

2

3

4

5

12

7

8

9

6

12

8

2

7

1

9

11

4

10

7

8

9

10

11

12

1

2

3

4

7

1

3

9

2

8

4

6

11

5

8

9

10

11

12

7

2

3

4

5

8

2

4

10

3

9

5

1

12

6

9

10

11

12

7

8

3

4

5

6

9

3

5

11

4

10

6

2

7

1

10

11

12

7

8

9

4

5

6

1

10

4

6

12

5

11

1

3

8

2

 

Рис. 13

 

1

4

7

2

10

12

3

9

6

5

 

1

9

2

12

6

10

4

11

3

8

2

5

8

3

11

7

4

10

1

6

2

10

3

7

1

11

5

12

4

9

3

6

9

4

12

8

5

11

2

1

3

11

4

8

2

12

6

7

5

10

4

1

10

5

7

9

6

12

3

2

4

12

5

9

3

7

1

8

6

11

5

2

11

6

8

10

1

7

4

3

5

7

6

10

4

8

2

9

1

12

6

3

12

1

9

11

2

8

5

4

6

8

1

11

5

9

3

10

2

7

7

10

1

8

4

6

9

3

12

11

7

3

8

6

12

4

10

5

9

2

8

11

2

9

5

1

10

4

7

12

8

4

9

1

7

5

11

6

10

3

9

12

3

10

6

2

11

5

8

7

9

5

10

2

8

6

12

1

11

4

10

7

4

11

1

3

12

6

9

8

10

6

11

3

9

1

7

2

12

5

 

Рис. 14

 

1

5

12

11

3

8

9

7

10

2

2

6

7

12

4

9

10

8

11

3

3

1

8

7

5

10

11

9

12

4

4

2

9

8

6

11

12

10

7

5

5

3

10

9

1

12

7

11

8

6

6

4

11

10

2

7

8

12

9

1

7

11

6

5

9

2

3

1

4

8

8

12

1

6

10

3

4

2

5

9

9

7

2

1

11

4

5

3

6

10

10

8

3

2

12

5

6

4

1

11

 

Рис. 15

 

Квадраты в этой группе недиагональные.

 

А теперь представлю группу попарно ортогональных нетрадиционных латинских квадратов 10-го порядка, состоящую из десяти квадратов. Эта группа получена из группы MOLS (классических) 11-го порядка. Точно так же из каждого квадрата 11-го порядка одинаковым образом вырезается квадрат 10х10. Нетрадиционные латинские квадраты этой группы показаны на рис. 16 – 20.

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

8

9

10

0

1

2

3

4

5

6

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

8

9

10

0

1

2

3

4

5

6

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

9

10

0

1

2

3

4

5

6

7

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5

 

Рис. 16

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

8

9

10

0

1

2

3

4

5

6

9

10

0

1

2

3

4

5

6

7

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

9

10

0

1

2

3

4

5

6

7

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

 

Рис. 17

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5

9

10

0

1

2

3

4

5

6

7

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

8

9

10

0

1

2

3

4

5

6

8

9

10

0

1

2

3

4

5

6

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

9

10

0

1

2

3

4

5

6

7

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

 

Рис. 18

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5

8

9

10

0

1

2

3

4

5

6

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5

9

10

0

1

2

3

4

5

6

7

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

9

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5

6

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

 

Рис. 19

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

9

10

0

1

2

3

4

5

6

7

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5

9

10

0

1

2

3

4

5

6

7

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

8

9

10

0

1

2

3

4

5

6

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

8

9

10

0

1

2

3

4

5

6

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

 

Рис. 20

 

Интересная получилась группа. В ней два квадрата недиагональные, остальные восемь диагональные.

Аналогично можно получить группу попарно ортогональных нетрадиционных латинских квадратов 10-го порядка, состоящую из 12 квадратов, если использовать классическую группу MOLS 13-го порядка. И так далее. Точно так же можно поступать с нетрадиционными латинскими квадратами других порядков. Например, известна группа MOLS (классических) 15-го порядка, состоящая из четырёх квадратов. Для нетрадиционных латинских квадратов данного порядка можно построить группу MOLS 15-го порядка, состоящую из 16 квадратов, используя классическую группу MOLS 17-го порядка.

 

Интересно отметить, что из нетрадиционных латинских квадратов состоят совершенные латинские квадраты. На рис. 21 вы видите пример совершенного латинского квадрата 16-го порядка. Он состоит из шестнадцати нетрадиционных латинских квадратов 4-го порядка, каждый из которых заполнен числами от 0 до 15. Все эти квадраты диагональные. Кроме того, все они попарно ортогональны, то есть образуют группу MOLS 4-го порядка, состоящую из 16 нетрадиционных диагональных латинских квадратов.

 

0

4

8

12

1

5

9

13

2

6

10

14

3

7

11

15

2

6

10

14

3

7

11

15

0

4

8

12

1

5

9

13

3

7

11

15

2

6

10

14

1

5

9

13

0

4

8

12

1

5

9

13

0

4

8

12

3

7

11

15

2

6

10

14

8

12

0

4

9

13

1

5

10

14

2

6

11

15

3

7

10

14

2

6

11

15

3

7

8

12

0

4

9

13

1

5

11

15

3

7

10

14

2

6

9

13

1

5

8

12

0

4

9

13

1

5

8

12

0

4

11

15

3

7

10

14

2

6

12

8

4

0

13

9

5

1

14

10

6

2

15

11

7

3

14

10

6

2

15

11

7

3

12

8

4

0

13

9

5

1

15

11

7

3

14

10

6

2

13

9

5

1

12

8

4

0

13

9

5

1

12

8

4

0

15

11

7

3

14

10

6

2

4

0

12

8

5

1

13

9

6

2

14

10

7

3

15

11

6

2

14

10

7

3

15

11

4

0

12

8

5

1

13

9

7

3

15

11

6

2

14

10

5

1

13

9

4

0

12

8

5

1

13

9

4

0

12

8

7

3

15

11

6

2

14

10

 

Рис. 21

 

***

 

Когда я сообщила о нетрадиционных латинских квадратах на форуме dxdy.ru (см. http://dxdy.ru/topic12959.html ), меня спросили: а зачем это нужно? Я не могу сказать сейчас, нужны ли будут для чего-нибудь нетрадиционные латинские квадраты. Может быть, пригодятся ☺.

А если и нет, всё равно интересно – для разнообразия картины с названием “Латинские квадраты”. На форуме я ответила вопросом на вопрос: а для чего ввели нетрадиционные магические квадраты?

 

***

 

Построение нетрадиционных магических квадратов с помощью нетрадиционных латинских квадратов

 

А вот как интересно получается: как известно, традиционные (классические) латинские квадраты являются нетрадиционными магическими (или полумагическими) квадратами, традиционные же магические квадраты являются нетрадиционными латинскими квадратами. Такая вот взаимосвязь латинских и магических квадратов!

И тогда мне пришла такая мысль: а что если применить пару нетрадиционных ОЛК, в качестве нетрадиционных латинских квадратов в которой выступают традиционные магические квадраты, для построения нетрадиционных магических квадратов тем же самым методом латинских квадратов? Не думайте, что это бредовая идея. Всё прекрасно получается. Покажу несколько примеров. Берём обычный традиционный идеальный магический квадрат 5-го порядка (рис. 22).

 

1

23

10

14

17

15

19

2

21

8

22

6

13

20

4

18

5

24

7

11

9

12

16

3

25

 

Рис. 22

 

Согласно определению, этот квадрат является нетрадиционным латинским квадратом. Ортогональный соквадрат получим поворотом этого квадрата на 90 градусов вокруг центра квадрата по часовой стрелке. Вы видите ортогональный соквадрат на рис. 23.



9

18

22

15

1

12

5

6

19

23

16

24

13

2

10

3

7

20

21

14

25

11

4

8

17

 

Рис. 23

 

 

Получилась пара ОЛК. Строим из этой пары ОЛК магический квадрат методом латинских квадратов по следующей формуле:

 

cij = n*aij + bij

 

Здесь aij – элементы первого нетрадиционного латинского квадрата в паре ОЛК, bij – соответствующие элементы второго нетрадиционного латинского квадрата, cij – соответствующие элементы строящегося магического квадрата.

 

Получаем такой нетрадиционный идеальный магический квадрат (рис. 24):

 

 

14

133

72

85

86

87

100

16

124

63

126

54

78

102

30

93

32

140

56

69

70

71

84

23

142

 

Рис. 24

 

Можно составить пару нетрадиционных ОЛК по-другому, возьмём два идеальных магических квадрата, очевидно, что эти два нетрадиционных латинских квадрата будут ортогональны. Первый квадрат берём тот же самый, а второй вот такой (рис. 25):

 

2

23

19

11

10

14

6

5

22

18

25

17

13

9

1

8

4

21

20

12

16

15

7

3

24

 

Рис. 25

 

Строим с помощью новой пары ОЛК нетрадиционный идеальный магический квадрат (рис. 26):

 

7

138

69

81

95

89

101

15

127

58

135

47

78

109

21

98

29

141

55

67

61

75

87

18

149

 

Рис. 26

 

Очевидно, что получен новый магический квадрат.

Оба магических квадрата построены при значении n = 5. Можно построить бесконечно много других магических квадратов с помощью одной и той же пары ОЛК, варьируя значение n (n ≥  5). Вот, например, нетрадиционный идеальный магический квадрат (рис. 27), построенный при помощи последней пары ОЛК (с рис. 22 и с рис. 25) при n = 10:

 

12

253

119

151

180

164

196

25

232

98

245

77

143

209

41

188

54

261

90

122

106

135

167

33

274

 

Рис. 27

 

Как известно, существует 16 идеальных магических квадратов  5-го порядка. Все эти квадраты образуют группу попарно ортогональных нетрадиционных латинских квадратов. Из каждой пары ОЛК, образованной из квадратов этой группы, можно построить бесконечно много нетрадиционных идеальных магических квадратов. Все эти нетрадиционные магические квадраты будут идеальные.

 

А теперь построим таким же методом нетрадиционный совершенный магический квадрат 8-го порядка.

В качестве первого нетрадиционного латинского квадрата возьмём следующий совершенный магический квадрат (рис. 28):

 

1

32

17

16

57

40

41

56

58

39

42

55

2

31

18

15

3

30

19

14

59

38

43

54

60

37

44

53

4

29

20

13

8

25

24

9

64

33

48

49

63

34

47

50

7

26

23

10

6

27

22

11

62

35

46

51

61

36

45

52

5

28

21

12

 

Рис. 28

 

На рис. 29 изображён второй совершенный магический квадрат, который является ортогональным соквадратом к нетрадиционному латинскому квадрату, изображённому на рис. 28.

 

1

16

17

32

53

60

37

44

63

50

47

34

11

6

27

22

3

14

19

30

55

58

39

42

61

52

45

36

9

8

25

24

12

5

28

21

64

49

48

33

54

59

38

43

2

15

18

31

10

7

26

23

62

51

46

35

56

57

40

41

4

13

20

29

 

Рис. 29

 

А теперь строим с помощью этой пары ОЛК нетрадиционный совершенный магический квадрат (рис. 30):

 

10

304

170

176

566

420

406

548

585

401

425

529

29

285

189

157

30

284

190

156

586

400

426

528

601

385

441

513

45

269

205

141

84

230

244

102

640

346

480

474

621

365

461

493

65

249

225

121

64

250

224

122

620

366

460

494

605

381

445

509

49

265

209

137

 

Рис. 30

 

Примечание: этот магический квадрат построен при n = 9; при n = 8 получаются квадраты с повторяющимися числами, что, впрочем, для нетрадиционных магических квадратов совсем не запрещается.

 

Можно также образовать пару ОЛК, повернув первый квадрат на 90 градусов вокруг центра квадрата, например, против часовой стрелки (рис. 31):

 

56