Н. Макарова

 

НЕТРАДИЦИОННЫЕ ПАНДИАГОНАЛЬНЫЕ КВАДРАТЫ

 

Часть III

 

МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ПАНДИАГОНАЛЬНЫХ КВАДРАТОВ 8-го ПОРЯДКА

 

 

Участие в конкурсе Зиммерманна несколько отодвинуло работу с магическими квадратами. Теперь надеюсь вернуться к теме.

 

В предыдущих частях статьи “Нетрадиционные пандиагональные квадраты” были изложены алгоритмы построения нетрадиционных пандиагональных квадратов порядков 4 – 7. Перехожу к пандиагональным квадратам 8-го порядка. Но прежде чем изложить алгоритмы построения нетрадиционных пандиагональных квадратов данного порядка, расскажу о некоторых методах построения классических пандиагональных квадратов.

 

МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ КЛАССИЧЕСКИХ ПАНДИАГОНАЛЬНЫХ КВАДРАТОВ

 

Метод № 1. Этот метод взят из [1]. Автор назвал его методом обобщённых латинских квадратов. Читателям хорошо известен метод латинских квадратов. Если говорится о методе обобщённых латинских квадратов, это означает, что магический квадрат составляется из двух ортогональных обобщённых латинских квадратов. Приведу пример построения из указанной книги (стр. 119). На рис. 1 - 2 вы видите два ортогональных обобщённых латинских квадрата, а на рис. 3 построенный с помощью этих квадратов пандиагональный квадрат. Замечу, что полученный квадрат не только пандиагональный, он ещё и совершенный.

 

4

3

4

3

4

3

4

3

5

2

5

2

5

2

5

2

6

1

6

1

6

1

6

1

7

0

7

0

7

0

7

0

3

4

3

4

3

4

3

4

2

5

2

5

2

5

2

5

1

6

1

6

1

6

1

6

0

7

0

7

0

7

0

7

 

Рис. 1

 

0

1

2

3

7

6

5

4

7

6

5

4

0

1

2

3

0

1

2

3

7

6

5

4

7

6

5

4

0

1

2

3

0

1

2

3

7

6

5

4

7

6

5

4

0

1

2

3

0

1

2

3

7

6

5

4

7

6

5

4

0

1

2

3

 

Рис. 2

 

33

26

35

28

40

31

38

29

48

23

46

21

41

18

43

20

49

10

51

12

56

15

54

13

64

7

62

5

57

2

59

4

25

34

27

36

32

39

30

37

24

47

22

45

17

42

19

44

9

50

11

52

16

55

14

53

8

63

6

61

1

58

3

60

 

Рис. 3

 

Метод № 2. Теперь покажу метод латинских квадратов (не обобщённых, а классических). На рис. 4 - 5 изображены два ортогональных классических латинских квадрата.

 

0

1

2

3

4

5

6

7

5

4

7

6

1

0

3

2

7

6

5

4

3

2

1

0

2

3

0

1

6

7

4

5

3

2

1

0

7

6

5

4

6

7

4

5

2

3

0

1

4

5

6

7

0

1

2

3

1

0

3

2

5

4

7

6

 

Рис. 4

 

0

1

2

3

4

5

6

7

6

7

4

5

2

3

0

1

1

0

3

2

5

4

7

6

7

6

5

4

3

2

1

0

2

3

0

1

6

7

4

5

4

5

6

7

0

1

2

3

3

2

1

0

7

6

5

4

5

4

7

6

1

0

3

2

 

Рис. 5

 

Составляем магический пандиагональный квадрат из этих двух ортогональных латинских квадратов (рис. 6):

 

1

10

19

28

37

46

55

64

47

40

61

54

11

4

25

18

58

49

44

35

30

21

16

7

24

31

6

13

52

59

34

41

27

20

9

2

63

56

45

38

53

62

39

48

17

26

3

12

36

43

50

57

8

15

22

29

14

5

32

23

42

33

60

51

 

Рис. 6

 

Замечание. Ортогональные латинские квадраты взяты из полной группы MOLS, состоящей из 7 попарно ортогональных латинских квадратов (группа построена в Maple М. Алексеевым). В этой группе только два латинских квадрата обладают свойством пандиагональности; эти квадраты и взяты для построения магического пандиагонального квадрата.

 

Метод № 3. Этот метод изложен в статье [2]. Метод позволяет строить пандиагональные квадраты, обладающие свойством ассоциативности, то есть идеальные квадраты, из обратимых квадратов. К любому обратимому квадрату 8-го порядка достаточно применить матричное преобразование, изображённое на рис. 7.

 

a11

a48

a61

a78

a71

a68

a41

a18

a87

a52

a37

a22

a27

a32

a57

a82

a14

a45

a64

a75

a74

a65

a44

a15

a86

a53

a36

a23

a26

a33

a56

a83

a16

a43

a66

a73

a76

a63

a46

a13

a84

a55

a34

a25

a24

a35

a54

a85

a17

a42

a67

a72

a77

a62

a47

a12

a81

a58

a31

a28

a21

a38

a51

a88

 

Рис. 7

 

Возьмём для примера самый простой обратимый квадрат восьмого порядка (мои читатели знают, как составляется такой квадрат) и применим к нему данное матричное преобразование. Получим следующий идеальный квадрат (рис. 8):

 

1

32

41

56

49

48

25

8

63

34

23

10

15

18

39

58

4

29

44

53

52

45

28

5

62

35

22

11

14

19

38

59

6

27

46

51

54

43

30

3

60

37

20

13

12

21

36

61

7

26

47

50

55

42

31

2

57

40

17

16

9

24

33

64

 

Рис. 8

 

Следует отметить, что указанное матричное преобразование не единственное. Существуют другие матричные преобразования, с помощью которых из обратимых квадратов получаются идеальные квадраты другой структуры. В указанной статье рассматривается ещё матричное преобразование, которое позволяет строить из обратимых квадратов идеальные квадраты, имеющие структуру квадратов, построенных по алгоритму Франклина. 

Кстати, это тоже самостоятельный метод построения пандиагональных и идеальных квадратов – на основе алгоритма Франклина. Не буду здесь приводить этот метод. Читатели могут подробно ознакомиться с ним в статьях, посвящённых квадратам Франклина. Недавно я собрала все эти статьи в один сборник (см. [3]).

 

Метод № 4. Точно так же с помощью матричного преобразования из любого обратимого квадрата 8-го порядка можно построить совершенный магический квадрат 8-го порядка. Этот метод подробно изложен в [4].

На рис. 9 вы видите матричное преобразование, которое достаточно применить к любому обратимому квадрату, чтобы получить совершенный квадрат.

 

a11

a87

a13

a85

a18

a82

a16

a84

a28

a72

a26

a74

a21

a77

a23

a75

a31

a67

a33

a65

a38

a62

a36

a64

a48

a52

a46

a54

a41

a57

a43

a55

a81

a17

a83

a15

a88

a12

a86

a14

a78

a22

a76

a24

a71

a27

a73

a25

a61

a37

a63

a35

a68

a32

a66

a34

a58

a42

a56

a44

a51

a47

a53

a45

 

Рис. 9

 

Возьмём для примера такой обратимый квадрат 8-го порядка (рис. 10):

 

1

2

3

4

9

10

11

12

5

6

7

8

13

14

15

16

17

18

19

20

25

26

27

28

21

22

23

24

29

30

31

32

33

34

35

36

41

42

43

44

37

38

39

40

45

46

47

48

49

50

51

52

57

58

59

60

53

54

55

56

61

62

63

64

 

Рис. 10

 

Применим к этому обратимому квадрату матричное преобразование, показанное на рис. 9, получим следующий совершенный квадрат (рис. 11):

 

1

63

3

61

12

54

10

56

16

50

14

52

5

59

7

57

17

47

19

45

28

38

26

40

32

34

30

36

21

43

23

41

53

11

55

9

64

2

62

4

60

6

58

8

49

15

51

13

37

27

39

25

48

18

46

20

44

22

42

24

33

31

35

29

 

Рис. 11

 

Метод № 5. Этот метод из статьи Россера ([5]).

Метод основан на построении примитивного квадрата и применении к нему преобразования, которое в статье задаётся следующей формулой:

 

(1)                                          A(i,j) = B(2i – j, -3i + 2j), где

 

A(i,j) – элементы примитивного квадрата, B(2ij, -3i + 2j) – элементы пандиагонального квадрата. Индексы вычисляются по модулю 8.

На рис. 12 вы видите примитивный квадрат, построенный в статье.

 

1

2

3

4

8

7

6

5

9

10

11

12

16

15

14

13

17

18

19

20

24

23

22

21

25

26

27

28

32

31

30

29

57

58

59

60

64

63

62

61

49

50

51

52

56

55

54

53

41

42

43

44

48

47

46

45

33

34

35

36

40

39

38

37

 

Рис. 12

 

Интересно отметить, что этот примитивный квадрат получается из самого простого обратимого квадрата применением преобразования 3-х квадратов.

Применим теперь к этому примитивному квадрату преобразование (1), получим следующий пандиагональный квадрат (рис. 12а):

 

24

30

57

51

48

38

1

11

61

50

44

39

5

10

20

31

43

40

6

9

19

32

62

49

7

13

18

28

63

53

42

36

17

27

64

54

41

35

8

14

60

55

45

34

4

15

21

26

46

33

3

16

22

25

59

56

2

12

23

29

58

52

47

37

 

Рис. 12а

 

В квадрате выделены так называемые решётки, каждая решётка окрашена одинаковым цветом. Числа, расположенные в решётках, образуют пандиагональные квадраты 4-го порядка с одинаковой магической константой. Это свойство используется при построении нетрадиционных пандиагональных квадратов 8-го порядка, а также 12-го и 16-го (см. [6]).

 

Метод № 6. Этот метод тоже из статьи Россера. Метод можно применять для построения классических пандиагональных квадратов любого порядка n = 4m, m = 2, 3, 4, …

Изложу кратко суть метода. Строятся m2 пандиагональных квадратов 4-го порядка по следующей схеме (рис. 13):

 

A+1

B+4

C+1

D+4

C+2

D+3

A+2

B+3

A+4

B+1

C+4

D+1

C+3

D+2

A+3

B+2

 

Рис. 13

 

где (A, C), (B, D) в случае n = 8 выбираются произвольным образом из следующих 8 пар чисел (в общем случае пар будет 2m2):

 

(0,60), (4,56), (8,52), (12,48), (16,44), (20,40), (24,36), (28,32)

 

Из построенных пандиагональных квадратов 4-го порядка составляется пандиагональный квадрат 8-го порядка по решёткам Россера (см. изображение решёток на рис. 12а).

 

Приведу пример. Возьмём для пандиагонального квадрата № 1 4-го порядка такие пары: (A,C)=(4,56), (B,D)=(12,48); для квадрата № 2 – (A,C)=(8,52), (B,D)=(16,44); для квадрата № 3 – (A,C)=(20,40), (B,D)=(28,32); для квадрата № 4 – (A,C)=(24,36), (B,D)=(0,60).

Строим пандиагональные квадраты 4-го порядка по схеме, изображённой на рис. 13.

 

Квадрат № 1

 

5

16

57

52

58

51

6

15

8

13

60

49

59

50

7

14

 

Квадрат № 2

 

9

20

53

48

54

47

10

19

12

17

56

45

55

46

11

18

 

Квадрат № 3

 

21

32

41

36

42

35

22

31

24

29

44

33

43

34

23

30

 

Квадрат № 4

 

25

4

37

64

38

63

26

3

28

1

40

61

39

62

27

2

 

Из полученных пандиагональных квадратов 4-го порядка составляем пандиагональный квадрат 8-го порядка (рис. 14):

 

5

9

16

20

57

53

52

48

21

25

32

4

41

37

36

64

58

54

51

47

6

10

15

19

42

38

35

63

22

26

31

3

8

12

13

17

60

56

49

45

24

28

29

1

44

40

33

61

59

55

50

46

7

11

14

18

43

39

34

62

23

27

30

2

 

Рис. 14

 

Метод № 7. Это самый простой метод. Он основан на преобразовании 3-х квадратов, применяемом к ассоциативному квадрату. Ассоциативный классический квадрат 8-го порядка можно построить, например, методом квадратных рамок (рис. 15).

 

1

58

22

45

44

19

63

8

16

23

59

36

37

62

18

9

24

15

35

60

61

38

10

17

25

34

14

53

52

11

39

32

33

26

54

13

12

51

31

40

48

55

27

4

5

30

50

41

56

47

3

28

29

6

42

49

57

2

46

21

20

43

7

64

 

Рис. 15

 

Примечание: описание метода квадратных рамок можно посмотреть в [7] или [8].

 

Теперь применим к ассоциативному квадрату с рис. 15 преобразование 3-х квадратов (это преобразование неоднократно определялось в моих статьях), получим следующий пандиагональный квадрат (рис. 16):

 

1

58

22

45

8

63

19

44

16

23

59

36

9

18

62

37

24

15

35

60

17

10

38

61

25

34

14

53

32

39

11

52

57

2

46

21

64

7

43

20

56

47

3

28

49

42

6

29

48

55

27

4

41

50

30

5

33

26

54

13

40

31

51

12

 

Рис. 16

 

Интересно, что этот пандиагональный квадрат обладает свойством комплементарности, однако совершенным не является.

 

На этом закончу рассказ о методах построения классических пандиагональных квадратов 8-го порядка. Конечно, здесь перечислены далеко не все методы. В моих ранних статьях вы найдёте ещё некоторые методы, например, метод качелей.

 

МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ НЕТРАДИЦИОННЫХ ПАНДИАГОНАЛЬНЫХ КВАДРАТОВ

 

Метод № 1. Этот метод основан на построении примитивного квадрата. Примитивный квадрат для построения пандиагонального квадрата 8-го порядка должен удовлетворять следующим условиям (рис. 17):

 

a

b

c

d

e

f

g

h

i

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 17

 

(2)              a + e = b + f = c + g = d + h, a + l = i + m = j + n = k + p

 

Эти свойства аналогичны свойствам, которым должен удовлетворять примитивный квадрат для построения пандиагонального квадрата 4-го порядка.

Очевидно, что примитивный квадрат, изображённый на рис. 12, удовлетворяет этим условиям.

Далее к построенному примитивному квадрату применяется преобразование (1).

Приведу пример пандиагонального квадрата из произвольных натуральных чисел, построенного данным методом. На рис. 18 показан примитивный квадрат из произвольных натуральных чисел.

 

3

7

13

19

47

43

37

31

53

57

63

69

97

93

87

81

59

63

69

75

103

99

93

87

71

75

81

87

115

111

105

99

157

161

167

173

201

197

191

185

107

111

117

123

151

147

141

135

101

105

111

117

145

141

135

129

89

93

99

105

133

129

123

117

 

Рис. 18

 

В примитивном квадрате есть одинаковые числа, но это не столь важно. Главное, что этот примитивный квадрат удовлетворяет условиям (2). Подбором чисел в первой строке и первом столбце примитивного квадрата нетрудно добиться, чтобы все числа в квадрате были различны. Я просто записала в первой строке и первом столбце произвольно выбранные простые числа.

Применив к примитивному квадрату преобразование (1), получим следующий пандиагональный квадрат (рис. 19):

 

103

105

157

117

145

123

3

63

185

111

117

129

31

57

75

111

111

133

37

53

69

115

191

107

43

81

63

87

197

135

105

105

59

81

201

141

101

99

47

87

173

147

129

93

19

93

87

75

135

89

13

97

93

71

167

151

7

69

99

99

161

123

141

117

 

Рис. 19

 

Построить пандиагональный квадрат из простых чисел или из смитов данным методом мне не удалось.

 

Замечание. Позже  составила примитивный квадрат, состоящий из различных натуральных чисел (рис. 18а).

 

11

23

53

101

233

221

191

143

19

31

61

109

241

229

199

151

37

49

79

127

259

247

217

169

73

85

115

163

295

283

253

205

145

157

187

235

367

355

325

277

137

149

179

227

359

347

317

269

119

131

161

209

341

329

299

251

83

95

125

173

305

293

263

215

 

Рис. 18а

 

В этом квадрате больше половины простых чисел. Применяем к этому квадрату преобразование (1) и получаем следующий пандиагональный квадрат (рис. 19а):

 

259

253

145

179

341

263

11

61

277

149

209

293

143

31

127

283

161

305

191

19

79

295

325

137

221

151

49

163

355

269

131

173

37

115

367

317

119

125

233

199

235

347

251

95

101

229

169

85

299

83

53

241

217

73

187

359

23

109

247

205

157

227

329

215

 

Рис. 19а

 

Метод № 2. Этот метод основан на решётках Россера. Для построения пандиагонального квадрата 8-го порядка достаточно найти четыре пандиагональных квадрата 4-го порядка с одинаковой магической константой. Далее эти квадраты записываются в решётки (см. рис. 12а).

Первый квадрат данным методом мне удалось построить из простых чисел с магической константой 3360. Не показываю пандиагональные квадраты 4-го порядка отдельно, сразу показываю пандиагональный квадрат 8-го порядка, в котором хорошо видны квадраты 4-го порядка в решётках (рис. 20):

 

71

53

97

193

683

607

829

827

83

113

401

421

373

337

823

809

691

733

821

701

79

179

89

67

673

577

523

569

383

353

101

181

157

233

11

13

769

787

743

647

467

503

17

31

757

727

439

419

761

661

751

773

149

107

19

139

457

487

739

659

167

263

317

271

 

Рис. 20

 

Затем удалось построить пандиагональный квадрат из простых чисел с меньшей магической константой – 2640 (рис. 21).

 

61

137

103

229

503

311

653

643

47

73

193

251

449

379

631

617

509

313

647

641

67

139

97

227

461

389

619

607

59

83

181

241

157

349

7

17

599

523

557

431

211

281

29

43

613

587

467

409

593

521

563

433

151

347

13

19

601

577

479

419

199

271

41

53

 

Рис. 21

 

Если применить к пандиагональным квадратам с рис. 20 - 21 преобразование обратное преобразованию 3-х квадратов, получатся ассоциативные квадраты. На рис. 22 изображён ассоциативный квадрат, полученный из квадрата с рис. 21.

 

61

137

103

229

643

653

311

503

47

73

193

251

617

631

379

449

509

313

647

641

227

97

139

67

461

389

619

607

241

181

83

59

601

577

479

419

53

41

271

199

593

521

563

433

19

13

347

151

211

281

29

43

409

467

587

613

157

349

7

17

431

557

523

599

 

Рис. 22

 

Этим свойством обладает любой пандиагональный квадрат 8-го порядка, построенный данным методом.

Из смитов тоже удалось построить пандиагональный квадрат этим методом. На рис. 23 вы видите этот квадрат (подробно о построении этого квадрата см. [6]).

 

 

391

778

677101

675058

498514

637474

184018

46714

958

2578

674914

663934

629194

412078

54958

281434

514597

657274

167935

26914

16474

20578

661018

655258

633694

490558

50458

202954

5458

81058

670414

585454

181498

42538

495994

633298

679621

679234

2911

4954

50818

267934

625054

398578

679054

677434

5098

16078

663538

659434

18994

24754

165415

22738

512077

653098

674554

598954

9598

94558

46318

189454

629554

477058

 

Рис. 23

 

Магическая константа квадрата равна 2720048. С меньшей магической константой пандиагональный квадрат 8-го порядка из смитов построить не удалось.

Точно так же превращаем этот пандиагональный квадрат в ассоциативный с помощью преобразования обратного преобразованию 3-х квадратов (рис. 24):

 

391

778

677101

675058

46714

184018

637474

498514

958

2578

674914

663934

281434

54958

412078

629194

514597

657274

167935

26914

655258

661018

20578

16474

633694

490558

50458

202954

585454

670414

81058

5458

674554

598954

9598

94558

477058

629554

189454

46318

663538

659434

18994

24754

653098

512077

22738

165415

50818

267934

625054

398578

16078

5098

677434

679054

181498

42538

495994

633298

4954

2911

679234

679621

 

Рис. 24

 

Метод № 3. Этот метод разработан мной. В основу метода положено понятие псевдокомплементарных пар, применённое С. Беляевым в его алгоритме для пандиагональных квадратов 6-го порядка. Для разработки схемы (конфигурации) пандиагонального квадрата я взяла классический идеальный квадрат, который вы видите на рис. 25 (этот квадрат построен методом № 3 для классических квадратов, см. рис. 8).

 

1

32

41

56

49

48

25

8

63

34

23

10

15

18

39

58

4

29

44

53

52

45

28

5

62

35

22

11

14

19

38

59

6

27

46

51

54

43

30

3

60

37

20

13

12

21

36

61

7

26

47

50

55

42

31

2

57

40

17

16

9

24

33

64

 

Рис. 25

 

 

Схема, построенная на основе данного квадрата, выглядит так (рис. 26):

 

p1

p2

p3

p4

p1

p2

p3

p4

-p1

-p2

-p3

-p4

-p1

-p2

-p3

-p4

-p3

-p4

-p1

-p2

-p3

-p4

-p1

-p2

-p4

-p3

-p2

-p1

-p4

-p3

-p2

-p1

p1

p2

p3

p4

p1

p2

p3

p4

-p1

-p2

-p3

-p4

-p1

-p2

-p3

-p4

-p3

-p4

-p1

-p2

-p3

-p4

-p1

-p2

-p4

-p3

-p2

-p1

-p4

-p3

-p2

-p1

 

Рис. 26

 

Имеем 4 группы псевдокомплементарных пар с отклонениями p1, p2, p3, p4 и 4 группы с обратными отклонениями p1, -p2, -p3, -p4. При этом отклонения должны быть связаны так: p1 = -p2, p3 = -p4. То есть фактически надо всего 4 группы псевдокомплементарных пар – с отклонениями p1, -p1, p3, -p3. В каждой группе должно быть не менее 8 пар.

Для приведённого на рис. 25 классического идеального квадрата в соответствии с данной конфигурацией имеем такие отклонения от комплементарности: p1 = 10, p2 = -10, p3 = -6, p4 = 6.

Обозначим элементы групп псевдокомплементарных пар с отклонениями p1, -p1, p3, -p3: ai, bi, ci, di (i = 1,2, …, 8) соответственно. Тогда схема квадрата, заполненная элементами групп, будет иметь следующий вид (рис. 27):

 

a1

b1

c1

d1

a5

b5

c5

d5

b2

a2

d2

c2

b6

a6

d6

c6

d3

c3

b3

a3

d7

c7

b7

a7

c4

d4

a4

b4

c8

d8

a8

b8

a5

b5

c5

d5

a1

b1

c1

d1

b6

a6

d6

c6

b2

a2

d2

c2

d7

c7

b7

a7

d3

c3

b3

a3

c8

d8

a8

b8

c4

d4

a4

b4

 

Рис. 27

 

при этом имеются следующие зависимости:

ai + ai’ – K = p1

bi + bi’ – K = -p1

ci + ci’ – K = p3

di + di’ – K = -p3, i = 1, 2, …, 8,

где K = S/4 – константа комплементарности (S – магическая константа квадрата).

 

Общая формула пандиагонального квадрата 8-го порядка имеет 36 независимых переменных. Представленная схема позволила уменьшить количество независимых переменных до 24. Я сомневалась, можно ли реализовать этот алгоритм, реально ли выполнить так много вложенных циклов. Опасения оказались напрасными. Программа работает замечательно, квадраты находятся очень быстро.

 

Пандиагональные квадраты, построенные методом № 2 (см. рис. 20 – 21), тоже вписываются в представленную конфигурацию, только для этих квадратов все отклонения равны 0, так как они составлены из комплементарных пар чисел.

 

С помощью данного метода мне удалось построить несколько пандиагональных квадратов 8-го порядка из простых чисел, при этом нашёлся квадрат с меньшей магической константой, чем квадрат, построенный методом № 2.

Сначала я решила протестировать программу на классических пандиагональных квадратах. Задала комплект отклонений: p1 = -10, p3 = 6. Здесь всё просто, в каждой из 4 групп имеем ровно 8 пар чисел. Запустила программу, первый квадрат выдался в долю секунды, этот квадрат показан на рис. 28.

 

1

32

41

56

34

63

10

23

44

53

8

25

11

22

39

58

4

45

48

49

24

57

15

18

29

52

5

28

9

40

38

59

21

12

61

36

54

43

30

3

64

33

20

13

31

2

51

46

35

14

60

37

55

26

27

6

62

19

17

16

42

7

50

47

 

Рис. 28

 

Убрала в программе выход на конец после первого построенного квадрата, и квадраты посыпались. Прервала программу.  Таким образом, мы имеем ещё один метод построения классических пандиагональных квадратов 8-го порядка.

 

Прежде чем строить нетрадиционные пандиагональные квадраты, сделала в программе небольшую оптимизацию. Она состоит в следующем. Посмотрев на исходный классический идеальный квадрат, на основе которого составлена конфигурация пандиагонального квадрата, увидела, что числа в этом квадрате располагаются очень даже упорядоченно; например, в первой строке имеем: первое число - первое в паре псевдокомплементарных чисел, второе число тоже первое, затем 4 числа - вторые в псевдокомплементарных парах, наконец, два последних числа опять первые. В следующих строках структура повторяется со сдвигом. Тогда я сделала в программе так, чтобы переменные циклов пробегали не все значения в группах псевдокомплементарных пар, а либо только первые значения, либо только вторые, в соответствии со структурой квадрата. Это дало колоссальное ускорение выполнения программы! Потому что все переменные

циклов стали пробегать в два раза меньше значений.

 

В качестве первой магической константы взяла 2632. Константа комплементарности K = 2632/4 = 658. Отклонения взяла такие: p1 = 8 (31 пара псевдокомплементарных чисел), -p1 = -8 (20 пар), p3 = 14 (33 пары), -p3 = -14 (16 пар). Подчеркну ещё раз, что отклонения надо выбирать так, чтобы в каждой группе псевдокомплементарных пар чисел было не меньше 8 пар. Чем больше пар в группах, тем лучше, быстрее находится квадрат.

Первый квадрат программа нашла за 45 минут. Смотрите квадрат на рис. 29.

 

5

7

659

613

619

577

109

43

631

587

37

251

127

67

433

499

103

151

373

397

331

491

283

503

571

487

199

193

233

97

443

409

47

73

563

601

661

643

13

31

523

599

211

173

19

79

607

421

313

181

367

163

541

521

277

269

439

547

223

241

101

157

467

457

 

Рис. 29

 

Дальше начала постепенно уменьшать магические константы. Показываю квадраты в порядке их построения.

 

Квадрат № 2. Магическая константа равна 2568. Отклонения: p1 = 12, p3 = 54. Группы псевдокомплементарных пар содержат 29, 41, 30 и 29 пар. Очень хорошие подобрались псевдокомплементарные пары. Первый пандиагональный квадрат выдался через 1 секунду (рис. 30).

 

7

11

691

571

641

563

43

41

607

593

31

53

29

151

491

613

19

109

433

383

449

419

313

443

659

509

113

347

173

89

421

257

13

67

653

547

647

619

5

17

601

503

97

83

23

61

557

643

139

277

317

211

569

587

197

271

523

499

233

373

37

79

541

283

 

Рис. 30

 

Квадрат № 3 (рис. 31). Магическая константа равна 2520.

 

7

5

673

557

661

509

37

71

547

643

79

43

73

97

461

577

47

211

353

367

467

433

269

373

659

419

83

347

59

239

421

293

23

67

653

499

677

571

17

13

503

587

109

113

29

41

491

647

103

257

307

311

523

479

223

317

631

331

263

283

31

151

601

229

 

Рис. 31

 

Квадрат № 4 (рис. 32). Магическая константа равна 2280.

 

 

11

5

593

523

569

499

43

37

521

541

73

29

89

79

457

491

61

179

313

359

409

419

269

271

587

439

127

199

113

167

337

311

19

53

557

503

577

547

7

17

463

509

83

109

31

47

467

571

131

181

283

317

479

421

239

229

487

373

251

241

13

101

461

353

 

Рис. 32



Квадрат № 5 (рис. 33). Магическая константа равна 2196.

 

5

23

541

521

509

463

97

37

499

479

107

137

79

163

401

331

53

241

313

353

359

307

127

443

491

347

103

179

101

157

439

379

43

83

461

503

547

523

17

19

467

389

139

227

47

73

433

421

181

251

419

109

487

317

233

199

457

383

113

167

67

193

449

367

 

Рис. 33


Квадрат № 6 (рис. 34). Магическая константа равна 2000.

11

13

683

293

647

263

59

31

311

557

61

191

53

149

229

449

29

233

193

443

197

353

163

389

653

173

83

73

107

211

569

131

23

67

641

269

659

317

17

7

277

521

71

251

19

113

239

509

103

347

167

281

271

467

137

227

593

89

101

199

47

127

587

257

 

Рис. 34

 

Квадрат № 7 (рис. 35). Магическая константа равна 1800.

7

11

523

347

491

283

109

29

367

463

53

61

41

173

233

409

43

73

197

359

293

271

191

373

509

263

113

211

101

83

353

167

19

107

431

331

503

379

17

13

349

337

127

131

23

47

307

479

67

269

199

137

317

467

193

151

439

277

157

223

31

97

397

179

 

Рис. 35

 

Квадрат № 8 (рис. 36). Магическая константа равна 1584.

 

5

13

463

293

443

283

53

31

313

379

71

73

89

79

191

389

23

211

167

331

199

353

149

151

449

239

41

97

59

127

349

223

19

47

439

269

457

317

29

7

241

383

109

103

17

83

229

419

101

139

181

311

277

281

163

131

433

173

113

107

43

61

421

233

 

Рис. 36

 

Этот квадрат найден не с первой попытки, попытка - это выбор комплекта отклонений. В первой попытке выбрала такие отклонения: p1 = 18, p3 = 96. Хотя количества псевдокомплементарных пар с такими отклонениями были довольны большие (21 и 22), квадрат долго не находился. Тогда я взяла другой комплект отклонений: p1 = 60, p3 = 96. С такими отклонениями квадрат нашёлся за 3 минуты.

С меньшей магической константой мне не удалось построить пандиагональный квадрат из простых чисел. Напомню, наименьший магический квадрат 8-го порядка из простых чисел имеет магическую

константу 1154.

 

Ещё один интересный квадрат удалось построить данным методом. В этом квадрате все отклонения равны 0, то есть он составлен из комплементарных пар чисел. Магическая константа квадрата равна 2040. Константа комплементарности K = 510. Квадрат построился за 2 минуты. Интересно, что имеем ровно 32 комплементарных пары с такой константой комплементарности.

Смотрите этот квадрат на рис. 37.

 

7

499

19

487

31

467

67

463

53

421

233

409

71

379

157

317

61

347

239

401

79

373

227

313

173

311

241

179

113

359

281

383

479

43

443

47

503

11

491

23

439

131

353

193

457

89

277

101

431

137

283

197

449

163

271

109

397

151

229

127

337

199

269

331

 

Рис. 37

 

Поскольку этот квадрат составлен из комплементарных пар чисел, его можно превратить в ассоциативный квадрат с помощью преобразования, обратного преобразованию 3-х квадратов. Таким образом, я получила ассоциативный квадрат 8-го порядка из простых чисел с магической константой 2040 (раньше был построен такой квадрат с магической константой 2640). Это наименьшая магическая константа для ассоциативных квадратов 8-го порядка из простых чисел. Ассоциативный квадрат показан на рис. 38.

 

7

499

19

487

463

67

467

31

53

421

233

409

317

157

379

71

61

347

239

401

313

227

373

79

173

311

241

179

383

281

359

113

397

151

229

127

331

269

199

337

431

137

283

197

109

271

163

449

439

131

353

193

101

277

89

457

479

43

443

47

23

491

11

503

 

Рис. 38

 

Не пробовала пока строить этим методом пандиагональные квадраты из смитов.

Метод № 4. Это метод построения нетрадиционных идеальных квадратов 8-го порядка.

 

Из произвольных натуральных чисел построить идеальный квадрат 8-го порядка очень просто. Достаточно взять 8 арифметических прогрессий длины 8 с одинаковой разностью, таких, что их первые члены образуют арифметическую прогрессию; записать эти прогрессии в виде примитивного квадрата (см. пример на рис. 39), и затем заполнить матрицу 8х8 на основе какого-нибудь классического идеального квадрата (возьмём, например, квадрат с рис. 25), то есть числа в классическом квадрате – это порядковые номера чисел в примитивном квадрате.

 

5

8

11

14

17

20

23

26

25

28

31

34

37

40

43

46

45

48

51

54

57

60

63

66

65

68

71

74

77

80

83

86

85

88

91

94

97

100

103

106

105

108

111

114

117

120

123

126

125

128

131

134

137

140

143

146

145

148

151

154

157

160

163

166

 

Рис. 39

 

На рис. 40 изображён готовый идеальный квадрат, построенный из чисел данных арифметических прогрессий:

 

5

86

105

146

125

126

65

26

163

88

63

28

43

48

103

148

14

77

114

137

134

117

74

17

160

91

60

31

40

51

100

151

20

71

120

131

140

111

80

11

154

97

54

37

34

57

94

157

23

68

123

128

143

108

83

8

145

106

45

46

25

66

85

166

 

Рис. 40

 

Однако из простых чисел (и из смитов) таким способом построить идеальный квадрат не удаётся, так как неизвестно 8 нужных арифметических прогрессий. Из простых чисел такие прогрессии, конечно, существуют, но найти их не так просто. Поэтому для идеальных квадратов из простых чисел я разработала специальный метод.

В качестве базового квадрата для разработки метода взяла классический идеальный квадрат, изображённый на рис. 41. То есть придерживалась точно такой структуры квадрата при составлении программы (при выборе первого или второго числа из комплементарной пары).

 

1

32

41

56

49

48

25

8

63

50

7

10

31

18

39

42

4

13

60

53

36

45

28

21

62

35

22

11

14

19

38

59

6

27

46

51

54

43

30

3

44

37

20

29

12

5

52

61

23

26

47

34

55

58

15

2

57

40

17

16

9

24

33

64

 

Рис. 41

 

В общей формуле идеального квадрата 8-го порядка 18 независимых переменных (при заданной магической константе), мне удалось уменьшить количество независимых переменных до 15, используя различные зависимости, в том числе и по решёткам Россера.

Понятно, что идеальный квадрат 8-го порядка можно построить только из такого массива, в котором есть не менее 32 комплементарных пар чисел.

Общая схема идеального квадрата очень простая (рис. 42):

 

a1

b1

c1

d1

a5

b5

c5

d5

b2

a2

d2

c2

b6

a6

d6

c6

d3

c3

b3

a3

d7

c7

b7

a7

c4

d4

a4

b4

c8

d8

a8

b8

b8

a8

d8

c8

b4

a4

d4

c4

a7

b7

c7

d7

a3

b3

c3

d3

c6

d6

a6

b6

c2

d2’</