Н. Макарова

 

НЕТРАДИЦИОННЫЕ ПАНДИАГОНАЛЬНЫЕ КВАДРАТЫ

 

Часть IV

 

МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ПАНДИАГОНАЛЬНЫХ КВАДРАТОВ 9-го ПОРЯДКА

 

 

Так же, как в предыдущей части статьи, представлю сначала некоторые методы построения классических пандиагональных квадратов 9-го порядка. Этот порядок оказался самым сложным на пути исследования классических пандиагональных квадратов. Я писала о квадратах данного порядка очень много, особенно о методах построения идеальных квадратов. Интересно, что и в статье Россера [1] приведено построение только классического пандиагонального квадрата данного порядка и ничего не сказано о нетрадиционных пандиагональных квадратах. Так что алгоритмы построения нетрадиционных пандиагональных квадратов пришлось разрабатывать самостоятельно.

Из всех известных методов построения классических пандиагональных квадратов я покажу только три самых важных, на мой взгляд, в том числе и метод из [1].

 

МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ КЛАССИЧЕСКИХ ПАНДИАГОНАЛЬНЫХ КВАДРАТОВ 9-го ПОРЯДКА

 

Метод № 1. Это метод латинских квадратов. Моим читателям хорошо известен этот метод. Пример взят из сборника статей “Анатомия магических квадратов” [2]. На рис. 1 вы видите иллюстрацию из этого сборника, на которой изображены два ортогональных латинских квадрата 9-го порядка.

 

                       

 

Рис. 1

 

Интересно отметить, что эти латинские квадраты не диагональные, в обоих квадратах по одной диагонали числа не различные, однако сумма чисел в этих диагоналях равна 36 – магической константе латинских квадратов. Второй латинский квадрат получается из первого отражением относительно вертикальной оси симметрии. Из этих ортогональных латинских квадратов можно построить два пандиагональных магических квадрата 9-го порядка; на картинке показаны две формулы для построения. Отметим, что квадраты получаются не только пандиагональные, но и ассоциативные, то есть идеальные. На рис. 2 показан один из двух квадратов, он построен по первой формуле: A + 9B.

 

3

15

68

76

61

36

44

47

19

34

45

53

20

1

12

69

77

58

10

66

78

59

31

43

54

26

2

40

52

27

8

11

64

75

60

32

65

73

57

33

41

49

25

9

17

50

22

7

18

71

74

55

30

42

80

56

28

39

51

23

4

16

72

24

5

13

70

81

62

29

37

48

63

35

38

46

21

6

14

67

79

 

Рис. 2

 

Метод № 2. Этот метод подробно описан в моей статье [3]. Поэтому здесь изложу метод кратко. Сначала строится ассоциативный квадрат 9-го порядка методом составных квадратов, а затем в полученном квадрате выполняется перестановка строк (или столбцов) определённым образом (с шагом 2). На рис. 3 вы видите ассоциативный квадрат, построенный методом составных квадратов.

 

11

16

15

56

61

60

47

52

51

18

14

10

63

59

55

54

50

46

13

12

17

58

57

62

49

48

53

74

79

78

38

43

42

2

7

6

81

77

73

45

41

37

9

5

1

76

75

80

40

39

44

4

3

8

29

34

33

20

25

24

65

70

69

36

32

28

27

23

19

72

68

64

31

30

35

22

21

26

67

66

71

 

Рис. 3

 

Теперь выполним в этом квадрате перестановку столбцов с шагом 2 (подробно см. в указанной статье) и получим следующий идеальный квадрат (рис. 4):

 

11

56

47

16

61

52

15

60

51

18

63

54

14

59

50

10

55

46

13

58

49

12

57

48

17

62

53

74

38

2

79

43

7

78

42

6

81

45

9

77

41

5

73

37

1

76

40

4

75

39

3

80

44

8

29

20

65

34

25

70

33

24

69

36

27

72

32

23

68

28

19

64

31

22

67

30

21

66

35

26

71

 

Рис. 4

 

Если переставить в квадрате с рис. 3 строки по такой же схеме, получится такой идеальный квадрат (рис. 5):

 

11

16

15

56

61

60

47

52

51

74

79

78

38

43

42

2

7

6

29

34

33

20

25

24

65

70

69

18

14

10

63

59

55

54

50

46

81

77

73

45

41

37

9

5

1

36

32

28

27

23

19

72

68

64

13

12

17

58

57

62

49

48

53

76

75

80

40

39

44

4

3

8

31

30

35

22

21

26

67

66

71

 

Рис. 5

 

Построенные данным методом квадраты тоже являются идеальными.

 

Метод №3. Это метод из статьи Россера [1] (теорема 5.5, случай 3). Построенный этим методом квадрат является пандиагональным. Построение основано на использовании примитивного квадрата. Метод работает для любого порядка n = 3m, m ≥ 3 и нечётно.

На рис. 6 показан примитивный квадрат 9-го порядка из статьи.

 

1

2

3

6

4

5

8

9

7

10

11

12

15

13

14

17

18

16

19

20

21

24

22

23

26

27

25

46

47

48

51

49

50

53

54

52

28

29

30

33

31

32

35

36

34

37

38

39

42

40

41

44

45

43

64

65

66

69

67

68

71

72

70

73

74

75

78

76

77

80

81

79

55

56

57

60

58

59

62

63

61

 

Рис. 6

 

К этому примитивному квадрату применяется преобразование, задаваемое следующей формулой:

 

(1)                                          A(i,j) = B(i + j, 2i + 3j)

 

где A(i,j) – элементы примитивного квадрата, B(i + j, 2i + 3j) - элементы пандиагонального квадрата. Индексы вычисляются по модулю 9.

 

В результате получаем такой пандиагональный квадрат (рис. 7):

 

18

7

55

74

66

42

31

50

26

32

53

27

16

1

56

75

69

40

78

67

41

35

54

25

10

2

57

11

3

60

76

68

44

36

52

19

34

46

20

12

6

58

77

71

45

80

72

43

28

47

21

15

4

59

13

5

62

81

70

37

29

48

24

30

51

22

14

8

63

79

64

38

73

65

39

33

49

23

17

9

61

 

Рис. 7

 

Здесь интересно отметить, как получается примитивный квадрат (рис. 6) из самого простого обратимого квадрата. Вспомните, как получается примитивный квадрат из статьи Россера для построения классического пандиагонального квадрата 8-го порядка: к самому простому обратимому квадрату применяется преобразование 3-х квадратов, которое равносильно перестановке столбцов с последующей перестановкой строк по одной и той же схеме. То же самое мы имеем для примитивного квадрата 9-го порядка. Покажу это подробно. На рис. 8 изображён самый простой обратимый квадрат 9-го порядка.

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

 

Рис. 8

 

Схема перестановки столбцов и строк такая: перестановка выполняется в тройках, в первой тройке столбцов ничего не меняем, во второй тройке  столбцы записываются в таком порядке: 3-ий, 1-ый, 2-ой; в третьей тройке столбцы записываются в таком порядке: 2-ой, 3-ий, 1-ый. По такой же схеме затем переставляются строки. Результат выполнения первого этапа – перестановки столбцов в обратимом квадрате с рис. 8 – показан на рис. 9.

 

1

2

3

6

4

5

8

9

7

10

11

12

15

13

14

17

18

16

19

20

21

24

22

23

26

27

25

28

29

30

33

31

32

35

36

34

37

38

39

42

40

41

44

45

43

46

47

48

51

49

50

53

54

52

55

56

57

60

58

59

62

63

61

64

65

66

69

67

68

71

72

70

73

74

75

78

76

77

80

81

79

 

Рис. 9

 

Теперь в полученном квадрате выполним перестановку строк по такой же схеме. В результате получим следующий квадрат (рис. 10):

 

1

2

3

6

4

5

8

9

7

10

11

12

15

13

14

17

18

16

19

20

21

24

22

23

26

27

25

46

47

48

51

49

50

53

54

52

28

29

30

33

31

32

35

36

34

37

38

39

42

40

41

44

45

43

64

65

66

69

67

68

71

72

70

73

74

75

78

76

77

80

81

79

55

56

57

60

58

59

62

63

61

 

Рис. 10

 

И мы получили примитивный квадрат, построенный в статье Россера (см. рис. 6).

 

В заключение ещё одно замечание. Преобразование, заданное формулой (1), я заменяю равносильным матричным преобразованием (см. рис. 11). Мне удобнее пользоваться таким преобразованием. Преобразование применяется к примитивному квадрату, имеющему матрицу A(i,j) (индексация в естественном порядке). Показанная на рис. 11 матрица есть матрица получаемого пандиагонального квадрата.

 

 

a28

a19

a91

a82

a73

a64

a55

a46

a37

a56

a47

a38

a29

a11

a92

a83

a74

a65

a84

a75

a66

a57

a48

a39

a21

a12

a93

a22

a13

a94

a85

a76

a67

a58

a49

a31

a59

a41

a32

a23

a14

a95

a86

a77

a68

a87

a78

a69

a51

a42

a33

a24

a15

a96

a25

a16

a97

a88

a79

a61

a52

a43

a34

a53

a44

a35

a26

a17

a98

a89

a71

a62

a81

a72

a63

a54

a45

a36

a27

a18

a99

 

Рис. 11

 

На этом завершаю рассказ о методах построения классических пандиагональных квадратов. Есть ещё другие методы, например, разработанный мной метод качелей; его можно посмотреть в моих ранних статьях.

 

МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ НЕТРАДИЦИОННЫХ ПАНДИАГОНАЛЬНЫХ КВАДРАТОВ 9-го ПОРЯДКА

 

Методы построения пандиагональных квадратов из произвольных натуральных чисел довольно простые. Вот один из них.

 

Метод № 1. Возьмём 9 арифметических прогрессий длины 9 из произвольных натуральных чисел с одинаковой разностью (любой), первые члены которых образуют арифметическую прогрессию. Запишем эти прогрессии в форме примитивного квадрата (рис. 12); пронумеруем числа в этом квадрате в естественном порядке и заполним матрицу 9х9 на основе какого-нибудь классического идеального квадрата, например, квадрата с рис. 2 (числа в классическом квадрате суть порядковые номера чисел в примитивном квадрате). И идеальный квадрат 9-го порядка готов (рис. 14).

 

4

9

14

19

24

29

34

39

44

47

52

57

62

67

72

77

82

87

90

95

100

105

110

115

120

125

130

133

138

143

148

153

158

163

168

173

176

181

186

191

196

201

206

211

216

219

224

229

234

239

244

249

254

259

262

267

272

277

282

287

292

297

302

305

310

315

320

325

330

335

340

345

348

353

358

363

368

373

378

383

388

 

Рис. 12. Примитивный квадрат из арифметических прогрессий

 

Для удобства заполнения  вставляю в примитивный квадрат нумерацию его чисел (рис. 13).

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

4

9

14

19

24

29

34

39

44

10

11

12

13

14

15

16

17

18

47

52

57

62

67

72

77

82

87

19

20

21

22

23

24

25

26

27

90

95

100

105

110

115

120

125

130

28

29

30

31

32

33

34

35

36

133

138

143

148

153

158

163

168

173

37

38

39

40

41

42

43

44

45

176

181

186

191

196

201

206

211

216

46

47

48

49

50

51

52

53

54

219

224

229

234

239

244

249

254

259

55

56

57

58

59

60

61

62

63

262

267

272

277

282

287

292

297

302

64

65

66

67

68

69

70

71

72

305

310

315

320

325

330

335

340

345

73

74

75

76

77

78

79

80

81

348

353

358

363

368

373

378

383

388

 

Рис. 13. Примитивный квадрат с пронумерованными числами

 

Заполняем матрицу 9х9 числами из примитивного квадрата в соответствии с классическим идеальным квадратом с рис. 2. Готовый идеальный квадрат 9-го порядка (рис. 14):

 

14

72

325

363

292

173

211

224

90

163

216

254

95

4

57

330

368

277

47

315

373

282

148

206

259

125

9

191

249

130

39

52

305

358

287

153

310

348

272

158

196

234

120

44

82

239

105

34

87

340

353

262

143

201

383

267

133

186

244

110

19

77

345

115

24

62

335

388

297

138

176

229

302

168

181

219

100

29

67

320

378

 

Рис. 14. Нетрадиционный идеальный квадрат из произвольных натуральных чисел

 

Обозначим: a – первый член первой арифметической прогрессии, b – разность прогрессий, c – разность прогрессии, образуемой первыми членами прогрессий. Тогда магическая константа S идеального квадрата, составленного из чисел этих арифметических прогрессий, выразится следующей формулой:

 

S = 9[a + 4(b + c)]

 

В приведённом примере имеем: a = 4, b = 5, c = 43, S = 9[4 + 4(5 + 43)] = 1764.

 

Точно так же можно построить пандиагональный (не идеальный) квадрат из чисел арифметических прогрессий, удовлетворяющих указанным свойствам, заполняя матрицу в соответствии с каким-нибудь классическим пандиагональным квадратом. Для примера возьмём классический квадрат из статьи Россера (рис. 7) и те же самые арифметические прогрессии. Готовый пандиагональный квадрат вы видите на рис. 15.

 

87

34

262

353

315

201

148

239

125

153

254

130

77

4

267

358

330

191

373

320

196

168

259

120

47

9

272

52

14

287

363

325

211

173

249

90

163

219

95

57

29

277

368

340

216

383

345

206

133

224

100

72

19

282

62

24

297

388

335

176

138

229

115

143

244

105

67

39

302

378

305

181

348

310

186

158

234

110

82

44

292

 

Рис. 15. Нетрадиционный пандиагональный квадрат из произвольных натуральных чисел

 

Таким образом, достаточно найти 9 арифметических прогрессий указанного вида из простых чисел или из смитов, чтобы построить пандиагональные и идеальные квадраты 9-го порядка. Однако найти такие арифметические прогрессии очень непросто. Теоретически из простых чисел такие прогрессии точно существуют. Относительно прогрессий из смитов ничего не могу сказать, но предполагаю, что из смитов тоже существуют.

Можно привести пример пандиагонального квадрата, построенного из чисел одной арифметической прогрессии длины 9 из простых чисел: a1=199, a2=409, a3=619, a4=829, a5=1039, a6=1249, a7=1459, a8=1669, a9=1879.

Этот квадрат вы видите на рис. 15а. Конечно, в квадрате много одинаковых чисел.

 

1879

1459

199

409

619

1249

829

1039

1669

1039

1669

1879

1459

199

409

619

1249

829

1249

829

1039

1669

1879

1459

199

409

619

409

619

1249

829

1039

1669

1879

1459

199

1459

199

409

619

1249

829

1039

1669

1879

1669

1879

1459

199

409

619

1249

829

1039

829

1039

1669

1879

1459

199

409

619

1249

619

1249

829

1039

1669

1879

1459

199

409

199

409

619

1249

829

1039

1669

1879

1459

 

Рис. 15а. Нетрадиционный пандиагональный квадрат из простых чисел (с повторениями)

 

А на рис. 15б показан идеальный квадрат, построенный из чисел этих же прогрессий на основе классического идеального квадрата, изображённого на рис. 22.

 

1039

829

1249

409

199

619

1669

1459

1879

1669

1459

1879

1039

829

1249

409

199

619

409

199

619

1669

1459

1879

1039

829

1249

1249

1039

829

619

409

199

1879

1669

1459

1879

1669

1459

1249

1039

829

619

409

199

619

409

199

1879

1669

1459

1249

1039

829

829

1249

1039

199

619

409

1459

1879

1669

1459

1879

1669

829

1249

1039

199

619

409

199

619

409

1459

1879

1669

829

1249

1039

 

Рис. 15б. Нетрадиционный идеальный квадрат из простых чисел (с повторениями)

 

Метод № 2. В этом методе тоже строится примитивный квадрат, но по-другому: из 9 одинаковых примитивных квадратов 3х3. Конечно, в этом случае пандиагональный квадрат 9-го порядка получается с повторяющимися числами, но всё равно это нетрадиционный пандиагональный квадрат. В качестве примитивного квадрата 3х3 возьмём квадрат из простых чисел, изображённый на рис. 16.

 

5

59

23

53

107

71

13

67

31

 

Рис. 16

 

Примитивный квадрат 9х9, составленный из 9 таких примитивных квадратов 3х3, показан на рис. 17.

 

5

59

23

5

59

23

5

59

23

53

107

71

53

107

71

53

107

71

13

67

31

13

67

31

13

67

31

5

59

23

5

59

23

5

59

23

53

107

71

53

107

71

53

107

71

13

67

31

13

67

31

13

67

31

5

59

23

5

59

23

5

59

23

53

107

71

53

107

71

53

107

71

13

67

31

13

67

31

13

67

31

 

Рис. 17. Примитивный квадрат

 

Пронумеруем теперь числа этого примитивного квадрата и заполним матрицу 9х9 в соответствии с классическим пандиагональным квадратом из статьи Россера (рис. 7). В результате получим следующий пандиагональный квадрат 9-го порядка из простых чисел (рис. 18):

 

71

5

5

67

71

71

5

67

67

59

67

31

53

5

59

31

71

53

31

53

107

59

31

13

53

59

23

107

23

23

13

107

107

23

13

13

5

13

67

71

23

5

67

107

71

67

71

53

5

67

31

71

5

59

53

59

59

31

53

53

59

31

31

23

31

13

107

59

23

13

53

107

13

107

71

23

13

67

107

23

5

 

Рис. 18. Нетрадиционный пандиагональный квадрат из простых чисел с повторениями

 

Можно было сделать так: преобразовать примитивный квадрат с рис. 17, переставив в нём строки и столбцы, как показано в методе построения классического пандиагонального квадрата из статьи Россера (преобразование обратимого квадрата), а затем применить к преобразованному примитивному квадрату матричное преобразование, показанное на рис. 11. Пандиагональный квадрат 9-го порядка получится такой же, как на рис. 18.

Покажу преобразованный примитивный квадрат (рис. 19):

 

5

59

23

23

5

59

59

23

5

53

107

71

71

53

107

107

71

53

13

67

31

31

13

67

67

31

13

13

67

31

31

13

67

67

31

13

5

59

23

23

5

59

59

23

5

53

107

71

71

53

107

107

71

53

53

107

71

71

53

107

107

71

53

13

67

31

31

13

67

67

31

13

5

59

23

23

5

59

59

23

5

 

Рис. 19. Примитивный квадрат (преобразованный)

 

Фактически этот метод есть не что иное, как метод Россера (метод № 3), но только для нетрадиционного пандиагонального квадрата; соответственно примитивный квадрат, используемый для построения, совсем другой.

Единственный недостаток полученного нетрадиционного пандиагонального квадрата в том, что в нём есть одинаковые числа. Но иногда квадраты с повторяющимися числами очень полезны для анализа. Мне, например, очень помог один нетрадиционный идеальный квадрат 8-го порядка с повторяющимися числами, в нём очень прозрачны некоторые закономерности.

 

Мне стало любопытно, только ли по классическому квадрату Россера можно получить пандиагональный квадрат из примитивного квадрата, изображённого на рис. 17. Я взяла другой классический пандиагональный квадрат 9-го порядка (рис. 20) и построила квадрат в соответствии с этим квадратом из этого же примитивного квадрата. Пандиагональный квадрат тоже получился (см. рис. 21).

 

9

34

62

12

37

65

24

49

77

15

40

68

27

52

80

3

28

56

21

46

74

6

31

59

18

43

71

35

63

7

38

66

10

50

78

22

41

69

13

53

81

25

29

57

1

47

75

19

32

60

4

44

72

16

61

8

36

64

11

39

76

23

51

67

14

42

79

26

54

55

2

30

73

20

48

58

5

33

70

17

45

 

Рис. 20. Классический пандиагональный квадрат

 

23

5

59

71

53

107

31

13

67

71

53

107

31

13

67

23

5

59

31

13

67

23

5

59

71

53

107

59

23

5

107

71

53

67

31

13

107

71

53

67

31

13

59

23

5

67

31

13

59

23

5

107

71

53

5

59

23

53

107

71

13

67

31

53

107

71

13

67

31

5

59

23

13

67

31

5

59

23

53

107

71

 

Рис. 21. Нетрадиционный пандиагональный квадрат из простых чисел с повторениями

 

Структура этого пандиагонального квадрата интереснее, чем структура квадрата, полученного по классическому квадрату Россера (рис. 18), а именно: в квадрате на рис. 21 в каждой строке, каждом столбце и в главных диагоналях расположен один и тот же набор чисел – все 9 чисел из исходного примитивного квадрата 3х3. Внимательный читатель увидит в этом квадрате и другие закономерности, которые очень прозрачны.

 

Ещё один пример. Теперь возьмём для построения классический идеальный квадрат 9-го порядка, изображённый на рис. 22, и в соответствии с этим квадратом построим нетрадиционный пандиагональный квадрат из того же примитивного квадрата с рис. 17.

 

5

58

33

20

73

48

17

70

45

26

79

54

14

67

42

2

55

30

11

64

39

8

61

36

23

76

51

60

32

4

75

47

19

72

44

16

81

53

25

69

41

13

57

29

1

66

38

10

63

35

7

78

50

22

31

6

59

46

21

74

43

18

71

52

27

80

40

15

68

28

3

56

37

12

65

34

9

62

49

24

77

 

Рис. 22. Классический идеальный квадрат

 

59

5

23

67

13

31

107

53

71

67

13

31

107

53

71

59

5

23

107

53

71

59

5

23

67

13

31

23

59

5

31

67

13

71

107

53

31

67

13

71

107

53

23

59

5

71

107

53

23

59

5

31

67

13

5

23

59

13

31

67

53

71

107

13

31

67

53

71

107

5

23

59

53

71

107

5

23

59

13

31

67

 

Рис. 23. Нетрадиционный пандиагональный квадрат

 

Квадрат, конечно, не получился идеальным, свойством ассоциативности он не обладает. Но есть свойство, весьма родственное ассоциативности: во всех парах ячеек, симметрично расположенных относительно центра квадрата, находятся только такие пары чисел: 5 – 31, 13 – 23, 53 – 71, 59 – 67, 107 – 107. Если расположить весь набор чисел в порядке возрастания:

 

5, 13, 23, 31, 53, 59, 67, 71, 107

 

станет очевидно, как упорядоченно образованы эти пары чисел.

 

Следовательно, делаем вывод: из примитивного квадрата, составленного из произвольных натуральных чисел специальным образом (об условиях, которым должен удовлетворять примитивный квадрат, будет сказано ниже), можно получить различные пандиагональные квадраты, а не только пандиагональный квадрат, получаемый преобразованием Россера.

 

Метод № 3. Этот метод основан на методе № 2 для классических идеальных квадратов. Интересно, что на первом этапе здесь строится ассоциативный нетрадиционный квадрат 9-го порядка методом составных квадратов. Я ещё не использовала в своих статьях этот метод для нетрадиционных магических квадратов. Итак, строим нетрадиционный ассоциативный квадрат 9-го порядка методом составных квадратов, в качестве базового квадрата, конечно, надо взять один из вариантов классического квадрата 3-го порядка (рис. 24), а в качестве основного возьмём квадрат 3-го порядка из простых чисел (рис. 25).

 

2

7

6

9

5

1

4

3

8

 

Рис. 24

 

17

89

71

113

59

5

47

29

101

 

Рис. 25

 

На рис. 26 вы видите ассоциативный квадрат 9-го порядка, построенный с помощью этих квадратов методом составных квадратов.

 

26

98

80

71

143

125

62

134

116

122

68

14

167

113

59

158

104

50

56

38

110

101

83

155

92

74

146

89

161

143

53

125

107

17

89

71

185

131

77

149

95

41

113

59

5

119

101

173

83

65

137

47

29

101

44

116

98

35

107

89

80

152

134

140

86

32

131

77

23

176

122

68

74

56

128

65

47

119

110

92

164

 

Рис. 26. Нетрадиционный ассоциативный квадрат

 

В этом квадрате сразу два недостатка: не все числа простые и есть одинаковые числа. Теперь переставим в этом ассоциативном квадрате столбцы по определённой схеме (подробно в [3]) и получим нетрадиционный идеальный квадрат 9-го порядка (рис. 27).

 

26

71

62

98

143

134

80

125

116

122

167

158

68

113

104

14

59

50

56

101

92

38

83

74

110

155

146

89

53

17

161

125

89

143

107

71

185

149

113

131

95

59

77

41

5

119

83

47

101

65

29

173

137

101

44

35

80

116

107

152

98

89

134

140

131

176

86

77

122

32

23

68

74

65

110

56

47

92

128

119

164

 

Рис. 27. Нетрадиционный идеальный квадрат

 

Можно переставить в ассоциативном квадрате с рис. 26 строки по такой же схеме, получится новый идеальный квадрат.

 

Ещё один пример. Основной и базовый квадраты те же, но в формуле составного квадрата я прибавляла числа вида 210k, а не вида 9k, как это положено делать в методе составных классических квадратов и как это делалось в первом примере.

На рис. 28 показан ассоциативный квадрат, а на рис. 29 полученный из него перестановкой столбцов идеальный квадрат. В этом квадрате уже больше половины простых чисел. Важно в данном примере – новая формула составного квадрата. В случае нетрадиционных квадратов можно прибавлять числа вида mk, m – любое натуральное число, k = 1, 2, 3, …, 8.

 

227

299

281

1277

1349

1331

1067

1139

1121

323

269

215

1373

1319

1265

1163

1109

1055

257

239

311

1307

1289

1361

1097

1079

1151

1697

1769

1751

857

929

911

17

89

71

1793

1739

1685

953

899

845

113

59

5

1727

1709

1781

887

869

941

47

29

101

647

719

701

437

509

491

1487

1559

1541

743

689

635

533

479

425

1583

1529

1475

677

659

731

467

449

521

1517

1499

1571

 

Рис. 28. Нетрадиционный ассоциативный квадрат

 

227

1277

1067

299

1349

1139

281

1331

1121

323

1373

1163

269

1319

1109

215

1265

1055

257

1307

1097

239

1289

1079

311

1361

1151

1697

857

17

1769

929

89

1751

911

71

1793

953

113

1739

899

59

1685

845

5

1727

887

47

1709

869

29

1781

941

101

647

437

1487

719

509

1559

701

491

1541

743

533

1583

689

479

1529

635

425

1475

677

467

1517

659

449

1499

731

521

1571

 

Рис. 29. Нетрадиционный идеальный квадрат

 

В этом идеальном квадрате нет одинаковых чисел, и только 32 числа не являются простыми. Первое приближение к искомому идеальному квадрату из простых чисел. Магическая константа квадрата равна 8091.

 

Таким образом, чтобы построить идеальный квадрат 9-го порядка из простых чисел (из смитов) данным методом достаточно найти магический квадрат 3-го порядка (aij) из простых чисел (из смитов) и такое число m, чтобы все числа aij + mk (k = 1, 2, 3, …, 8) тоже были простыми числами (смитами). Однако решить эту задачу непросто.

 

Метод № 4. Итак, мы установили, что методом Россера для построения классического пандиагонального квадрата 9-го порядка с применением примитивного квадрата можно построить и нетрадиционные пандиагональные квадраты. Теперь надо определить, какими же могут быть примитивные квадраты, чтобы можно было применить метод Россера.

 

Отмечу ещё раз, что при построении нетрадиционных пандиагональных квадратов методом Россера возможны два способа: 1) построить примитивный квадрат, пронумеровать его числа и заполнить матрицу 9х9 в соответствии: а) с классическим пандиагональным квадратом Россера, изображённым на рис. 7; б) с любым другим классическим пандиагональным квадратом; 2) построить примитивный квадрат (тот же самый, что в способе 1), преобразовать его (перестановка строк и столбцов по определённой схеме), применить к полученному квадрату матричное преобразование, показанное на рис. 11. Эти способы равносильны и показаны выше. В дальнейшем я буду пользоваться способом 1а.

 

Выше показаны уже два примера применения метода Россера. В первом примере примитивный квадрат построен из 9 арифметических прогрессий длины 9 с одинаковой разностью таких, что их первые члены образуют арифметическую прогрессию (см. рис. 12). Во втором примере примитивный квадрат построен из 9 одинаковых примитивных квадратов 3х3 из простых чисел (см. рис. 17).

Чтобы понять “анатомию” примитивного квадрата, я разложила классический пандиагональный квадрат Россера на два ортогональных латинских квадрата. На рис. 30 вы видите первый из двух ортогональных латинских квадратов, записанный в символьном виде.

 

a9

a7

a1

a2

a3

a6

a4

a5

a8

a5

a8

a9

a7

a1

a2

a3

a6

a4

a6

a4

a5

a8

a9

a7

a1

a2

a3

a2

a3

a6

a4

a5

a8

a9

a7

a1

a7

a1

a2

a3

a6

a4

a5

a8

a9

a8

a9

a7

a1

a2

a3

a6

a4

a5

a4

a5

a8

a9

a7

a1

a2

a3

a6

a3

a6

a4

a5

a8

a9

a7

a1

a2

a1

a2

a3

a6

a4

a5

a8

a9

a7

 

Рис. 30

 

Если внимательно посмотреть на этот латинский квадрат, легко увидеть: для того чтобы построенный с его помощью квадрат был пандиагональным, достаточно выполнение следующего условия:

 

(2)              a1 + a6 + a8 = a2 + a4 + a9 = a3 + a5 + a7

 

Таким образом, можно взять 9 арифметических прогрессий длины 9 с одинаковой разностью, первые члены которых ai удовлетворяют приведённому условию (2). И вот такой пример примитивного квадрата (рис. 31):

 

2

22

42

62

82

102

122

142

162

5

25

45

65

85

105

125

145

165

3

23

43

63

83

103

123

143

163

7

27

47

67

87

107

127

147

167

10

30

50

70

90

110

130

150

170

9

29

49

69

89

109

129

149

169

13

33

53

73

93

113

133

153

173

15

35

55

75

95

115

135

155

175

14

34

54

74

94

114

134

154

174

 

Рис. 31. Примитивный квадрат

 

Применив к этому примитивному квадрату метод Россера, получим следующий пандиагональный квадрат (рис. 32):

 

165

122

13

34

55

110

67

89

143

87

149

163

125

2

33

54

115

70

114

75

90

147

169

123

5

22

53

25

42

113

74

95

150

167

129

3

127

9

23

45

102

73

94

155

170

154

175

130

7

29

43

105

62

93

65

82

153

174

135

10

27

49

103

47

109

63

85

142

173

134

15

30

14

35

50

107

69

83

145

162

133

 

Рис. 32. Нетрадиционный пандиагональный квадрат

 

Ещё один аналогичный пример (я строила много квадратов данным методом, прежде чем поняла закономерности примитивного квадрата; не хочется, чтобы примеры пропали). На рис. 33 – 34 показаны примитивный квадрат и полученный из него пандиагональный квадрат.

 

2

20

38

56

74

92

110

128

146

5

23

41

59

77

95

113

131

149

3

21

39

57

75

93

111

129

147

4

22

40

58

76

94

112

130

148

9

27

45

63

81

99

117

135

153

6

24

42

60

78

96

114

132

150

7

25

43

61

79

97

115

133

151

11

29

47

65

83

101

119

137

155

10

28

46

64

82

100

118

136

154

 

Рис. 33. Примитивный квадрат

 

149

110

7

28

47

99

58

78

129

76

132

147

113

2

25

46

101

63

100

65

81

130

150

111

5

20

43

23

38

97

64

83

135

148

114

3

112

6

21

41

92

61

82

137

153

136

155

117

4

24

39

95

56

79

59

74

133

154

119

9

22

42

93

40

96

57

77

128

151

118

11

27

10

29

45

94

60

75

131

146

115

 

Рис. 34. Нетрадиционный пандиагональный квадрат

 

В следующем примере примитивный квадрат строится аналогично, но как бы повёрнут на 90 градусов, то есть первые члены арифметических прогрессий расположены не в первом столбце, а в первой строке примитивного квадрата, при этом они удовлетворяют тому же условию (2). На рис. 35 вы видите примитивный квадрат, а на рис. 36 полученный из него методом Россера пандиагональный квадрат.

 

3

4

5

6

9

10

11

12

15

16

17

18

19

22

23

24

25

28

29

30

31

32

35

36

37

38

41

42

43

44

45

48

49

50

51

54

55

56

57

58

61

62

63

64

67

68

69

70

71

74

75

76

77

80

81

82

83

84

87

88

89

90

93

94

95

96

97

100

101

102

103

106

107

108

109

110

113

114

115

116

119

 

Рис. 35. Примитивный квадрат

 

28

11

81

108

96

62

45

74

38

48

77

41

24

3

82

109

101

58

114

97

61

51

80

37

16

4

83

17

5

88

110

100

64

54

76

29

50

68

30

18

10

84

113

103

67

116

106

63

42

69

31

23

6

87

19

9

90

119

102

55

43

70

36

44

75

32

22

12

93

115

94

56

107

95

57

49

71

35

25

15

89

 

Рис. 36. Нетрадиционный пандиагональный квадрат

 

Наконец, самый интересный пример. Оказывается можно взять наборы из 9 чисел, удовлетворяющих условию (2), и в первой строке, и в первом столбце примитивного квадрата. В примитивном квадрате, показанном на рис. 37, я взяла в первой строке такой же набор чисел, как в квадрате на рис. 33, а в первом столбце взяла другой набор чисел, удовлетворяющих условию (2). Немного неудачно выбрала наборы чисел, в квадрате получились одинаковые числа. Но это не столь важно сейчас, главное показать, что метод работает.

 

3

4

5

6

9

10

11

12

15

32

33

34

35

38

39

40

41

44

29

30

31

32

35

36

37

38

41

14

15

16

17

20

21

22

23

26

18

19

20

21

24

25

26

27

30

25

26

27

28

31

32

33

34

37

53

54

55

56

59

60

61

62

65

72

73

74

75

78

79

80

81

84

54

55

56

57

60

61

62

63

66

 

Рис. 37. Примитивный квадрат

 

44

11

53

55

74

25

17

31

38

20

34

41

40

3

54

56

79

21

61

75

24

23

37

37

32

4

55

33

5

60

57

78

27

26