Н. Макарова

 

НЕТРАДИЦИОННЫЕ ПАНДИАГОНАЛЬНЫЕ КВАДРАТЫ

 

Часть VI

 

 

В предыдущей части были описаны алгоритмы построения нетрадиционных пандиагональных квадратов 10-го порядка. Продолжаю описание методов построения нетрадиционных пандиагональных квадратов.

 

МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ПАНДИАГОНАЛЬНЫХ КВАДРАТОВ 11-го ПОРЯДКА

                                                        

Построить классический пандиагональный квадрат очень просто. В моих ранних статьях рассмотрено несколько методов построения таких квадратов. Здесь покажу один из них – метод латинских квадратов. Для такого построения нужна пара ортогональных диагональных латинских квадратов 11-го порядка. Но эти латинские квадраты должны ещё обладать свойством пандиагональности, чтобы полученный из них магический квадрат был пандиагональным. Вот пример такой пары ортогональных латинских квадратов, показан только первый квадрат пары (рис. 1), второй квадрат получается из первого отражением относительно горизонтальной оси симметрии.

 

0

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

2

1

0

10

9

8

7

6

5

4

3

4

3

2

1

0

10

9

8

7

6

5

6

5

4

3

2

1

0

10

9

8

7

8

7

6

5

4

3

2

1

0

10

9

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

1

0

10

9

8

7

6

5

4

3

2

3

2

1

0

10

9

8

7

6

5

4

5

4

3

2

1

0

10

9

8

7

6

7

6

5

4

3

2

1

0

10

9

8

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

10

 

Рис. 1

 

На рис. 2 вы видите пандиагональный квадрат 11-го порядка, построенный из данной пары ортогональных диагональных латинских квадратов. Этот квадрат обладает ещё и свойством ассоциативности, то есть он является идеальным. Свойством ассоциативности обладают и латинские квадраты пары.

 

10

119

107

95

83

71

59

47

35

23

22

30

18

6

115

103

91

79

67

66

54

42

50

38

26

14

2

111

110

98

86

74

62

70

58

46

34

33

21

9

118

106

94

82

90

78

77

65

53

41

29

17

5

114

102

121

109

97

85

73

61

49

37

25

13

1

20

8

117

105

93

81

69

57

45

44

32

40

28

16

4

113

101

89

88

76

64

52

60

48

36

24

12

11

120

108

96

84

72

80

68

56

55

43

31

19

7

116

104

92

100

99

87

75

63

51

39

27

15

3

112

 

Рис. 2

 

Перехожу к методам построения нетрадиционных пандиагональных квадратов 11-го порядка. Построить такой квадрат из произвольных натуральных чисел очень просто, например, из чисел 11 арифметических прогрессий длины 11 с одинаковой разностью. Я много раз рассказывала, как это делается, не буду здесь повторять этот очень простой метод построения.

Однако построить таким методом пандиагональный квадрат 11-го порядка из простых чисел (а также из чисел Смита) не удаётся, поскольку неизвестны нужные для построения арифметические прогрессии. Здесь самым простым методом является метод Россера – использование примитивного квадрата. Данный метод применим для построения пандиагональных квадратов любого порядка, являющегося простым числом. Описание метода смотрите в [1].

 

Приведу пример применения данного метода Россера для построения классического пандиагонального квадрата 11-го порядка. В этом случае примитивным квадратом является обратимый квадрат. На рис. 3 показано применение к обратимому квадрату преобразования Россера, превращающего обратимый (примитивный) квадрат в пандиагональный. Преобразование такое:

 

A(i,j) = B(3i+2j,2i+j),

 

где A(i,j) – элементы обратимого (примитивного) квадрата, B(k,m) – элементы пандиагонального квадрата. Индексы берутся по модулю 11.

 

 

Обратимый квадрат

 

 

Пандиагональный квадрат

121

110

99

88

77

66

55

44

33

22

11

 

22

53

84

115

25

56

98

8

39

70

101

120

109

98

87

76

65

54

43

32

21

10

111

32

63

94

4

35

77

108

18

49

80

119

108

97

86

75

64

53

42

31

20

9

90

11

42

73

104

14

45

87

118

28

59

118

107

96

85

74

63

52

41

30

19

8

69

100

21

52

83

114

24

66

97

7

38

117

106

95

84

73

62

51

40

29

18

7

48

79

121

31

62

93

3

34

76

107

17

116

105

94

83

72

61

50

39

28

17

6

->

27

58

89

10

41

72

103

13

55

86

117

115

104

93

82

71

60

49

38

27

16

5

 

6

37

68

110

20

51

82

113

23

65

96

114

103

92

81

70

59

48

37

26

15

4

106

16

47

78

120

30

61

92

2

44

75

113

102

91

80

69

58

47

36

25

14

3

85

116

26

57

99

9

40

71

102

12

54

112

101

90

79

68

57

46

35

24

13

2

64

95

5

36

67

109

18

50

81

112

33

111

100

89

78

67

56

45

34

23

12

1

43

74

105

15

46

88

119

29

60

91

1

 

Рис. 3

 

Однако построить примитивный квадрат 11-го порядка из простых чисел оказалось нелёгкой задачей.

Сначала я пыталась построить такой квадрат методом чистого достраивания. Такой термин ввела, чтобы отличить этот метод от метода смешанного достраивания, о котором речь пойдёт ниже.

 

В методе чистого достраивания берётся любой известный примитивный квадрат 7-го порядка, например, такой (рис. 4):

 

11

37

107

151

277

359

571

41

67

137

181

307

389

601

71

97

167

211

337

419

631

83

109

179

223

349

431

643

101

127

197

241

367

449

661

131

157

227

271

397

479

691

173

199

269

313

439

521

733

 

Рис. 4

 

Далее необходимо достроить этот примитивный квадрат до примитивного квадрата 11х11, то есть заполнить простыми числами матрицу 11х11 (рис. 5), используя свойство элементов примитивного квадрата. При этом числа не должны повторяться.

 

11

37

107

151

277

359

571

a

b

c

d

41

67

137

181

307

389

601

 

 

 

 

71

97

167

211

337

419

631

 

 

 

 

83

109

179

223

349

431

643

 

 

 

 

101

127

197

241

367

449

661

 

 

 

 

131

157

227

271

397

479

691

 

 

 

 

173

199

269

313

439

521

733

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5

 

Написала программу достраивания, но достроить полностью простыми числами мне не удалось. Получила только примитивный квадрат, в котором четыре числа не являются простыми (рис. 6). Хотя теоретически достраивание вполне возможно, но при этом в квадрате могут появиться очень большие числа, а у меня маленький массив простых чисел.

 

11

37

107

151

277

359

571

2221

3271

7487

10567

41

67

137

181

307

389

601

2251

3301

7517

10597

71

97

167

211

337

419

631

2281

3331

7547

10627

83

109

179

223

349

431

643

2293

3343

7559

10639

101

127

197

241

367

449

661

2311

3361

7577

10657

131

157

227

271

397

479

691

2341

3391

7607

10687

173

199

269

313

439

521

733

2383

3433

7649

10729

743

769

839

883

1009

1091

1303

2953

4003

8219

11299

1523

1549

1619

1663

1789

1871

2083

3733

4783

8999

12079

9743

9769

9839

9883

10009

10091

10303

11953

13003

17219

20299

20921

20947

21017

21061

21187

21269

21481

23131

24181

28397

31477

 

Рис. 6

 

Не простые числа выделены красным цветом.

Далее применяется к примитивному квадрату показанное выше преобразование Россера и получается такой пандиагональный квадрат (рис. 7):

 

7487

631

241

173

4783

21269

137

10639

2341

1009

9769

20921

3301

431

227

11299

11953

277

97

7577

733

1663

9839

10567

2281

367

199

8999

21481

181

83

3391

1091

1789

20947

7517

643

271

743

13003

359

167

10657

2383

1303

9883

11

3331

449

269

12079

23131

307

109

7607

3433

1871

21017

10597

2293

397

769

17219

571

211

101

10687

2953

10009

37

7547

661

313

1523

24181

389

179

127

7649

2083

21061

41

3343

479

839

20299

2221

337

223

131

4003

10091

107

10627

2311

439

1549

28397

601

419

197

10729

3733

21187

67

7559

691

883

9743

3271

2251

349

157

8219

10303

151

71

3361

521

1619

31477

 

Рис. 7

 

Это первый пандиагональный квадрат 11-го порядка почти полностью составленный из простых чисел. Магическая константа этого квадрата равна 58479.

 

Дальше я строила примитивные квадраты 11-го порядка из простых чисел методом смешанного достраивания. Суть метода в том, что при достраивании разрешается использовать всякие числа, как простые, так и не простые. Поэтому достраивание и названо смешанным. Таким способом строится матрица размером nxm, в которой некоторое число строк и столбцов полностью состоят из простых чисел, а в остальных строках и столбцах числа всякие. Затем из этой матрицы выбирается квадрат 11х11, полностью состоящий из простых чисел.

Данным методом мне удалось построить два примитивных квадрата из простых чисел. Первый примитивный квадрат показан на рис. 8.

 

521

2917

5857

7717

7753

7789

8713

9649

11519

12241

17863

3671

6067

9007

10867

10903

10939

11863

12799

14669

15391

21013

6491

8887

11827

13687

13723

13759

14683

15619

17489

18211

23833

8081

10477

13417

15277

15313

15349

16273

17209

19079

19801

25423

12041

14437

17377

19237

19273

19309

20233

21169

23039

23761

29383

18671

21067

24007

25867

25903

25939

26863

27799

29669

30391

36013

25301

27697

30637

32497

32533

32569

33493

34429

36299

37021

42643

30851

33247

36187

38047

38083

38119

39043

39979

41849

42571

48193

36821

39217

42157

44017

44053

44089

45013

45949

47819

48541

54163

84191

86587

89527

91387

91423

91459

92383

93319

95189

95911

101533

106961

109357

112297

114157

114193

114229

115153

116089

117959

118681

124303

 

Рис. 8

 

Превращаю его в пандиагональный квадрат с помощью преобразования Россера (рис. 9):

 

12241

14683

19237

25301

47819

114229

9007

25423

27799

38083

86587

106961

14669

15349

24007

48193

93319

7753

8887

23761

33493

44017

89527

17863

15619

19273

27697

48541

115153

10867

8081

29669

38119

44053

109357

15391

16273

25867

30851

95189

7789

11827

29383

34429

39043

91387

521

17489

19309

30637

54163

116089

10903

10477

30391

36299

44089

112297

21013

17209

25903

33247

95911

8713

13687

12041

36013

39979

91423

2917

18211

20233

32497

36821

117959

10939

13417

14437

37021

45013

114157

3671

19079

25939

36187

101533

9649

13723

15277

18671

41849

91459

5857

23833

21169

32533

39217

118681

11863

13759

17377

42643

45949

114193

6067

19801

26863

38047

84191

11519

12799

15313

21067

42571

92383

7717

6491

23039

32569

42157

124303

 

Рис. 9

 

Магическая константа этого квадрата равна 420409.

 

Второй квадрат получился с меньшей магической константой – 198341. На рис. 10 вы видите примитивный квадрат, а на рис. 11 полученный из него пандиагональный квадрат.

 

11

23

41

53

107

353

443

1427

1973

24077

59387

17

29

47

59

113

359

449

1433

1979

24083

59393

31

43

61

73

127

373

463

1447

1993

24097

59407

67

79

97

109

163

409

499

1483

2029

24133

59443

137

149

167

179

233

479

569

1553

2099

24203

59513

181

193

211

223

277

523

613

1597

2143

24247

59557

251

263

281

293

347

593

683

1667

2213

24317

59627

4241

4253

4271

4283

4337

4583

4673

5657

6203

28307

63617

5407

5419

5437

5449

5503

5749

5839

6823

7369

29473

64783

6257

6269

6287

6299

6353

6599

6689

7673

8219

30323

65633

93967

93979

93997

94009

94063

94309

94399

95383

95929

118033

153343

 

Рис. 10

 

24077

463

179

251

7369

94309

47

59443

1597

4337

6269

93967

1979

409

211

63617

7673

107

43

24203

683

5449

6287

59387

1447

233

263

29473

94399

59

67

2143

4583

5503

93979

24083

499

223

4241

8219

353

61

59513

1667

4673

6299

11

1993

479

281

64783

95383

113

79

24247

2213

5749

93997

59393

1483

277

4253

30323

443

73

137

59557

5657

6353

23

24097

569

293

5407

95929

359

97

149

24317

5839

94009

17

2029

523

4271

65633

1427

127

109

181

6203

6599

41

59407

1553

347

5419

118033

449

373

167

59627

6823

94063

29

24133

613

4283

6257

1973

1433

163

193

28307

6689

53

31

2099

593

5437

153343

 

Рис. 11

 

Конечно, ничего не могу сказать о минимальности этого квадрата. Вполне возможно, что существует пандиагональный квадрат с меньшей магической константой. Предлагаю читателям поискать такой квадрат.

 

Для чисел Смита даже смешанное достраивание не привело к построению примитивного квадрата 11х11. Мне удалось построить только примитивный квадрат 7-го порядка из смитов смешанным достраиванием. Этот квадрат показан в одной из предыдущих статей данного цикла.

 

МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ПАНДИАГОНАЛЬНЫХ КВАДРАТОВ 12-го ПОРЯДКА

 

Сначала покажу несколько методов построения классических пандиагональных квадратов 12-го порядка. Таких методов довольно много. Самый простой – построить сначала ассоциативный квадрат, а затем применить к нему преобразование 3-х квадратов. Ассоциативные квадраты 12-го порядка построить очень легко, например, методом квадратных рамок, методом составных квадратов и т. д. На рис. 12 вы видите ассоциативный квадрат, построенный мной по алгоритму Франклина (см. [2]).

 

1

72

109

108

13

60

96

121

48

25

84

133

141

76

33

40

129

88

52

21

100

117

64

9

2

71

110

107

14

59

95

122

47

26

83

134

140

77

32

41

128

89

53

20

101

116

65

8

3

70

111

106

15

58

94

123

46

27

82

135

139

78

31

42

127

90

54

19

102

115

66

7

138

79

30

43

126

91

55

18

103

114

67

6

10

63

118

99

22

51

87

130

39

34

75

142

137

80

29

44

125

92

56

17

104

113

68

5

11

62

119

98

23

50

86

131

38

35

74

143

136

81

28

45

124

93

57

16

105

112

69

4

12

61

120

97

24

49

85

132

37

36

73

144

 

Рис. 12

 

Применяем к этому ассоциативному квадрату преобразование 3-х квадратов и получаем такой пандиагональный квадрат (рис. 13):

 

1

72

109

108

13

60

133

84

25

48

121

96

141

76

33

40

129

88

9

64

117

100

21

52

2

71

110

107

14

59

134

83

26

47

122

95

140

77

32

41

128

89

8

65

116

101

20

53

3

70

111

106

15

58

135

82

27

46

123

94

139

78

31

42

127

90

7

66

115

102

19

54

12

61

120

97

24

49

144

73

36

37

132

85

136

81

28

45

124

93

4

69

112

105

16

57

11

62

119

98

23

50

143

74

35

38

131

86

137

80

29

44

125

92

5

68

113

104

17

56

10

63

118

99

22

51

142

75

34

39

130

87

138

79

30

43

126

91

6

67

114

103

18

55

 

Рис. 13

 

В [2] приведено ещё несколько примеров ассоциативных квадратов 12-го порядка, каждый их которых превращён в пандиагональный преобразованием 3-х квадратов.

 

 

 

Покажу ещё один интересный пандиагональный квадрат 12-го порядка, построенный методом качелей (рис. 14):

 

1

75

89

108

118

128

133

63

53

48

34

20

33

19

2

76

90

107

117

127

134

64

54

47

60

46

32

13

3

77

96

106

116

121

135

65

136

66

59

45

31

14

4

78

95

105

115

122

109

123

137

72

58

44

25

15

5

84

94

104

93

103

110

124

138

71

57

43

26

16

6

83

12

82

92

97

111

125

144

70

56

37

27

17

28

18

11

81

91

98

112

126

143

69

55

38

49

39

29

24

10

80

85

99

113

132

142

68

141

67

50

40

30

23

9

79

86

100

114

131

120

130

140

61

51

41

36

22

8

73

87

101

88

102

119

129

139

62

52

42

35

21

7

74

 

Рис. 14

 

Подробно о методе качелей см. [3].

 

Теперь покажу два метода построения классических пандиагональных квадрата из статьи Россера [8].

Первый метод см. в Теореме 5.6 (случай 2). Метод работает для любого порядка n = 4m, n ≥ 2. В одной из предыдущих статей данного цикла был показан этот метод для классических пандиагональных квадратов 8-го порядка. Для квадратов порядка 12 всё аналогично. Составляются девять пандиагональных квадратов 4-го порядка и этими квадратами заполняется матрица 12х12 по решёткам. Покажу сразу готовый пандиагональный квадрат 12-го порядка (рис. 15).

 

1

9

17

8

16

24

141

133

125

140

132

124

25

33

41

32

40

48

117

109

101

116

108

100

49

57

65

56

64

72

93

85

77

92

84

76

142

134

126

139

131

123

2

10

18

7

15

23

118

110

102

115

107

99

26

34

42

31

39

47

94

86

78

91

83

75

50

58

66

55

63

71

4

12

20

5

13

21

144

136

128

137

129

121

28

36

44

29

37

45

120

112

104

113

105

97

52

60

68

53

61

69

96

88

80

89

81

73

143

135

127

138

130

122

3

11

19

6

14

22

119

111

103

114

106

98

27

35

43

30

38

46

95

87

79

90

82

74

51

59

67

54

62

70

 

Рис. 15

 

На рисунке выделена одна решётка. В этой решётке находится пандиагональный квадрат 4-го порядка, построенный для пар: (A, C) = (0, 140), (B, D) = (4, 136).

Интересное получилось решение. Если к этому пандиагональному квадрату применить преобразование, обратное преобразованию 3-х квадратов, получится ассоциативный квадрат (рис. 16).

 

1

9

17

8

16

24

124

132

140

125

133

141

25

33

41

32

40

48

100

108

116

101

109

117

49

57

65

56

64

72

76

84

92

77

85

93

142

134

126

139

131

123

23

15

7

18

10

2

118

110

102

115

107

99

47

39

31

42

34

26

94

86

78

91

83

75

71

63

55

66

58

50

95

87

79

90

82

74

70

62

54

67

59

51

119

111

103

114

106

98

46

38

30

43

35

27

143

135

127

138

130

122

22

14

6

19

11

3

52

60

68

53

61

69

73

81

89

80

88

96

28

36

44

29

37

45

97

105

113

104

112

120

4

12

20

5

13

21

121

129

137

128

136

144

 

Рис. 16

 

Второй метод Россера рассмотрен в Теореме 5.5, случай 2. Метод работает для порядков n = 4m. Строится определённым образом примитивный квадрат и применяется к нему преобразование:

 

A(i,j) = B(2i-j, -3i+2j),

 

где A(i,j) – элементы примитивного квадрата, B(k,m) – элементы пандиагонального квадрата. Индексы берутся по модулю 12.

На рис. 17 показан примитивный квадрат, построенный данным методом.

 

1

2

3

4

5

6

12

11

10

9

8

7

13

14

15

16

17

18

24

23

22

21

20

19

25

26

27

28

29

30

36

35

34

33

32

31

37

38

39

40

41

42

48

47

46

45

44

43

49

50

51

52

53

54

60

59

58

57

56

55

61

62

63

64

65

66

72

71

70

69

68

67

133

134

135

136

137

138

144

143

142

141

140

139

121

122

123

124

125

126

132

131

130

129

128

127

109

110

111

112

113

114

120

119

118

117

116

115

97

98

99

100

101

102

108

107

106

105

104

103

85

86

87

88

89

90

96

95

94

93

92

91

73

74

75

76

77

78

84

83

82

81

80

79

 

Рис. 17

 

Применяем к этому примитивному квадрату показанное выше преобразование и получаем такой классический пандиагональный квадрат (рис. 18):

 

29

48

58

68

133

123

113

108

94

80

1

15

59

69

139

122

112

102

95

81

7

14

28

42

140

121

111

101

96

82

8

13

27

41

60

70

110

100

90

83

9

19

26

40

54

71

141

127

89

84

10

20

25

39

53

72

142

128

109

99

11

21

31

38

52

66

143

129

115

98

88

78

32

37

51

65

144

130

116

97

87

77

12

22

50

64

138

131

117

103

86

76

6

23

33

43

137

132

118

104

85

75

5

24

34

44

49

63

119

105

91

74

4

18

35

45

55

62

136

126

92

73

3

17

36

46

56

61

135

125

120

106

2

16

30

47

57

67

134

124

114

107

93

79

 

Рис. 18

 

Интересно отметить, что примитивный квадрат 12-го порядка удовлетворяет условиям, аналогичным условиям для примитивных квадратов 4-го и 8-го порядков. Обозначим элементы первой строки и первого столбца примитивного квадрата символами (рис. 18а).

 

c

a1

a2

a3

a4

a5

a6

a7

a8

a9

a10

a11

b1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 18а

 

Тогда условия для элементов примитивного квадрата можно записать так:

 

 (1)                      c + a6 = a1 + a7 = a2 + a8 = a3 + a9 = a4 + a10 = a5 + a11

c + b6 = b1 + b7 = b2 + b8 = b3 + b9 = b4 + b10 = b5 + b11

 

Наконец, покажу методы построения идеальных и совершенных классических квадратов 12-го порядка, которые, как известно, тоже являются пандиагональными (подробно см. [4]).

На рис. 19 вы видите обратимый квадрат, а на рис. 20 полученный из него матричным преобразованием идеальный квадрат.

 

1

5

7

10

11

4

9

2

3

6

8

12

49

53

55

58

59

52

57

50

51

54

56

60

73

77

79

82

83

76

81

74

75

78

80

84

109

113

115

118

119

112

117

110

111

114

116

120

121

125

127

130

131

124

129

122

123

126

128

132

37

41

43

46

47

40

45

38

39

42

44

48

97

101

103

106

107

100

105

98

99

102

104

108

13

17

19

22

23

16

21

14

15

18

20

24

25

29

31

34

35

28

33

26

27

30

32

36

61

65

67

70

71

64

69

62

63

66

68

72

85

89

91

94

95

88

93

86

87

90

92

96

133

137

139

142

143

136

141

134

135

138

140

144

 

Рис. 19

 

1

140

87

69

35

19

97

44

123

117

83

55

82

53

12

138

86

64

34

17

108

42

122

112

129

119

79

49

8

135

93

71

31

13

104

39

102

38

124

118

77

60

6

134

88

70

29

24

25

20

99

45

131

115

73

56

3

141

95

67

94

65

36

18

98

40

130

113

84

54

2

136

9

143

91

61

32

15

105

47

127

109

80

51

78

50

4

142

89

72

30

14

100

46

125

120

121

116

75

57

11

139

85

68

27

21

107

43

106

41

132

114

74

52

10

137

96

66

26

16

33

23

103

37

128

111

81

59

7

133

92

63

90

62

28

22

101

48

126

110

76

58

5

144

 

Рис. 20

 

Следует обратить внимание на то, что построенный по Россеру примитивный квадрат (см. рис. 17) не является обратимым, хотя и составлен из чисел 1, 2, 3, …, 144. Этот примитивный квадрат не обладает свойством ассоциативности, которым обладает любой обратимый квадрат (см. рис. 19, 21).

 

На рис. 21 представлен другой обратимый квадрат, а на рис. 22 полученный из него тоже матричным преобразованием (другим) совершенный квадрат.

 

2

4

6

5

3

1

12

10

8

7

9

11

26

28

30

29

27

25

36

34

32

31

33

35

50

52

54

53

51

49

60

58

56

55

57

59

62

64

66

65

63

61

72

70

68

67

69

71

38

40

42

41

39

37

48

46

44

43

45

47

14

16

18

17

15

13

24

22

20

19

21

23

122

124

126

125

123

121

132

130

128

127

129

131

98

100

102

101

99

97

108

106

104

103

105

107

74

76

78

77

75

73

84

82

80

79

81

83

86

88

90

89

87

85

96

94

92

91

93

95

110

112

114

113

111

109

120

118

116

115

117

119

134

136

138

137

135

133

144

142

140

139

141

143

 

Рис. 21

 

2

141

6

140

3

144

11

136

7

137

10

133

35

112

31

113

34

109

26

117

30

116

27

120

50

93

54

92

51

96

59

88

55

89

58

85

71

76

67

77

70

73

62

81

66

80

63

84

38

105

42

104

39

108

47

100

43

101

46

97

23

124

19

125

22

121

14

129

18

128

15

132