Н. Макарова

 

НЕТРАДИЦИОННЫЕ ПАНДИАГОНАЛЬНЫЕ КВАДРАТЫ

 

Часть VII

 

 

В предыдущей статье данного цикла описаны методы построения пандиагональных квадратов порядков 11 и 12. В этой части рассмотрим методы построения пандиагональных квадратов 13 – 14 порядков.

 

МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ПАНДИАГОНАЛЬНЫХ КВАДРАТОВ 13-го ПОРЯДКА

 

Как всегда, начну с классических пандиагональных квадратов. Покажу только один метод – метод латинских квадратов. Для построения требуется пара ортогональных диагональных латинских квадратов, обладающих свойством пандиагональности. Первую такую пару покажу из сборника статей «Анатомия магических квдаратов» ([1]). Смотрите иллюстрацию из сборника.

 

 

На рисунке очевидна опечатка, в латинском квадрате А в левой нижней ячейке должно быть число 10.

Второй латинский квадрат (В) получается из первого латинского квадрата (А) отражением относительно главной диагонали.

Эти латинские квадраты обладают не только свойством пандиагональности, но и свойством ассоциативности. Поэтому построенный из них магический квадрат является идеальным. Вы видите этот квадрат на рис. 1. Квадрат построен по первой формуле: A + 13B + 1. Единичка добавлена, чтобы магический квадрат был записан в традиционной форме, то есть заполнен числами от 1 до 169.

 

1

51

88

125

162

30

67

117

154

22

59

96

133

147

15

65

102

139

7

44

81

118

168

36

73

110

124

161

29

66

116

153

21

58

95

132

13

50

87

101

138

6

43

80

130

167

35

72

109

146

14

64

78

115

152

20

57

94

131

12

49

86

123

160

28

42

79

129

166

34

71

108

145

26

63

100

137

5

19

56

93

143

11

48

85

122

159

27

77

114

151

165

33

70

107

144

25

62

99

136

4

41

91

128

142

10

47

84

121

158

39

76

113

150

18

55

92

106

156

24

61

98

135

3

40

90

127

164

32

69

83

120

157

38

75

112

149

17

54

104

141

9

46

60

97

134

2

52

89

126

163

31

68

105

155

23

37

74

111

148

16

53

103

140

8

45

82

119

169

 

Рис. 1

 

В квадрате выделена начальная цепочка, она весьма оригинальна – буквой Г, но с очень длинной стороной.

А теперь покажу построение по моей схеме (подробно см. в [2]). Первый диагональный латинский квадрат ортогональной пары вы видите на рис. 2.

 

0

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

2

1

0

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

4

3

2

1

0

12

11

10

9

8

7

6

5

6

5

4

3

2

1

0

12

11

10

9

8

7

8

7

6

5

4

3

2

1

0

12

11

10

9

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

12

11

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

1

0

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

3

2

1

0

12

11

10

9

8

7

6

5

4

5

4

3

2

1

0

12

11

10

9

8

7

6

7

6

5

4

3

2

1

0

12

11

10

9

8

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

12

11

10

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

12

 

Рис. 2

 

Второй латинский квадрат, ортогональный приведённому на рис. 2 квадрату, получается из него отражением относительно горизонтальной оси симметрии. Эти латинские квадраты тоже обладают свойствами пандиагональности и ассоциативности. На рис. 3 показан классический идеальный квадрат, построенный из этой пары ортогональных диагональных латинских квадратов.

 

12

167

153

139

125

111

97

83

69

55

41

27

26

36

22

8

163

149

135

121

107

93

79

78

64

50

60

46

32

18

4

159

145

131

130

116

102

88

74

84

70

56

42

28

14

13

168

154

140

126

112

98

108

94

80

66

65

51

37

23

9

164

150

136

122

132

118

117

103

89

75

61

47

33

19

5

160

146

169

155

141

127

113

99

85

71

57

43

29

15

1

24

10

165

151

137

123

109

95

81

67

53

52

38

48

34

20

6

161

147

133

119

105

104

90

76

62

72

58

44

30

16

2

157

156

142

128

114

100

86

96

82

68

54

40

39

25

11

166

152

138

124

110

120

106

92

91

77

63

49

35

21

7

162

148

134

144

143

129

115

101

87

73

59

45

31

17

3

158

 

Рис. 3

 

В этом идеальном квадрате классическая начальная цепочка “ход конём”, то есть буква Г нормальная, какая и должна быть при ходе шахматного коня.

 

Перехожу к методам построения нетрадиционных пандиагональных квадратов. Из произвольных натуральных чисел построить пандиагональный квадрат 13-го порядка очень просто. Не буду останавливаться на этом. А вот из простых чисел или из чисел Смита построить такой квадрат довольно сложно. Конечно, применяем метод Россера – использование примитивного квадрата. Примитивный квадрат 13х13 из простых чисел мне удалось построить методом смешанного достраивания (об этом методе сказано в предыдущей части статьи). Не сразу у меня получился примитивный квадрат 13х13. Для выборки из матрицы nxm квадрата, состоящего из простых чисел, на форуме dxdy.ru участник EtCetera сделал специальную программу (см. [3]).

Замечу, что для порядка 11 мне удалось сделать выборку квадрата из матрицы вручную.

 

Я построила много матриц, но сначала удавалось выделить только примитивные прямоугольники 12х13 и 13х12.

Первый примитивный прямоугольник 13х12 (первое число – количество строк, второе число – количество столбцов в прямоугольнике):

 

823  1109  3203  5003  5623  6793  9209  26479  50789  63443  852689  1154819

991  1277  3371  5171  5791  6961  9377  26647  50957  63611  852857  1154987

1237  1523  3617  5417  6037  7207  9623  26893  51203  63857  853103  1155233

5857  6143  8237  10037  10657  11827  14243  31513  55823  68477  857723  1159853

7753  8039  10133  11933  12553  13723  16139  33409  57719  70373  859619  1161749

8713  8999  11093  12893  13513  14683  17099  34369  58679  71333  860579  1162709

12241  12527  14621  16421  17041  18211  20627  37897  62207  74861  864107  1166237

17203  17489  19583  21383  22003  23173  25589  42859  67169  79823  869069  1171199

34381  34667  36761  38561  39181  40351  42767  60037  84347  97001  886247  1188377

160591  160877  162971  164771  165391  166561  168977  186247  210557  223211  1012457  1314587

493693  493979  496073  497873  498493  499663  502079  519349  543659  556313  1345559  1647689

623431  623717  625811  627611  628231  629401  631817  649087  673397  686051  1475297  1777427

843757  844043  846137  847937  848557  849727  852143  869413  893723  906377  1695623  1997753

 

Мне удалось получить при чистом достраивании этого прямоугольника два столбца, в которых только одно число не простое:

 

479209  479377  479623  484243  486139  487099  490627  495589  512767  638977  972079  1101817  1322143

1541963  1542131  1542377  1546997  1548893  1549853  1553381  1558343  1575521  1701731  2034833  2164571  2384897

 

Не простые числа выделены красным цветом.

Таким образом, получено два примитивных квадрата 13х13, в которых только одно число не простое. Это было первое приближение к искомому квадрату.

Опубликовала этот результат на форуме dxdy.ru. М. Алексеев сразу же выполнил достраивание этого примитивного прямоугольника, его 13-й столбец состоит полностью из простых чисел (рис. 4):

 

823

1109

3203

5003

5623

6793

9209

26479

50789

63443

852689

1154819

175490449

991

1277

3371

5171

5791

6961

9377

26647

50957

63611

852857

1154987

175490617

1237

1523

3617

5417

6037

7207

9623

26893

51203

63857

853103

1155233

175490863

5857

6143

8237

10037

10657

11827

14243

31513

55823

68477

857723

1159853

175495483

7753

8039

10133

11933

12553

13723

16139

33409

57719

70373

859619

1161749

175497379

8713

8999

11093

12893

13513

14683

17099

34369

58679

71333

860579

1162709

175498339

12241

12527

14621

16421

17041

18211

20627

37897

62207

74861

864107

1166237

175501867

17203

17489

19583

21383

22003

23173

25589

42859

67169

79823

869069

1171199

175506829

34381

34667

36761

38561

39181

40351

42767

60037

84347

97001

886247

1188377

175524007

160591

160877

162971

164771

165391

166561

168977

186247

210557

223211

1012457

1314587

175650217

493693

493979

496073

497873

498493

499663

502079

519349

543659

556313

1345559

1647689

175983319

623431

623717

625811

627611

628231

629401

631817

649087

673397

686051

1475297

1777427

176113057

843757

844043

846137

847937

848557

849727

852143

869413

893723

906377

1695623

1997753

176333383

 

Рис. 4

 

Применяем к этому примитивному квадрату преобразование Россера и получаем такой пандиагональный квадрат (рис. 5):

 

1154819

51203

13723

14621

175524007

556313

852143

5171

5857

860579

42859

165391

623717

843757

852857

31513

13513

17489

1314587

673397

6793

3617

175497379

74861

42767

497873

625811

175490449

63857

16139

16421

34381

1345559

869413

5791

6143

1162709

67169

166561

498493

844043

1154987

55823

14683

19583

175650217

686051

9209

5417

7753

864107

60037

168977

627611

823

853103

33409

17041

34667

1647689

893723

6961

8237

175498339

79823

84347

499663

846137

175490617

68477

17099

21383

160591

1475297

26479

6037

8039

1166237

869069

186247

628231

1109

1155233

57719

18211

36761

175983319

906377

9377

10037

8713

175501867

97001

502079

847937

991

857723

34369

22003

160877

1777427

50789

7207

10133

8999

1171199

210557

629401

3203

175490863

70373

20627

38561

493693

1695623

26647

10657

11933

12241

886247

519349

848557

1277

1159853

58679

23173

162971

176113057

63443

9623

11827

11093

175506829

223211

631817

5003

1237

859619

37897

39181

493979

1997753

50957

26893

12553

12527

1188377

543659

849727

3371

175495483

71333

25589

164771

623431

852689

63611

14243

12893

17203

1012457

649087

5623

1523

1161749

62207

40351

496073

176333383

 

Рис. 5

 

Магическая константа этого квадрата равна 179870403.

 

Примечание: преобразование применяется такое: A(i,j) = B(3i+2j,2i+j).

 

Второй примитивный прямоугольник 12х13:

 

823 1109 3203 5003 5623 6793 9209 26479 50789 63443 479209 852689 1154819

991 1277 3371 5171 5791 6961 9377 26647 50957 63611 479377 852857 1154987

1237 1523 3617 5417 6037 7207 9623 26893 51203 63857 479623 853103 1155233

5857 6143 8237 10037 10657 11827 14243 31513 55823 68477 484243 857723 1159853

7753 8039 10133 11933 12553 13723 16139 33409 57719 70373 486139 859619 1161749

8713 8999 11093 12893 13513 14683 17099 34369 58679 71333 487099 860579 1162709

12241 12527 14621 16421 17041 18211 20627 37897 62207 74861 490627 864107 1166237

17203 17489 19583 21383 22003 23173 25589 42859 67169 79823 495589 869069 1171199

34381 34667 36761 38561 39181 40351 42767 60037 84347 97001 512767 886247 1188377

160591 160877 162971 164771 165391 166561 168977 186247 210557 223211 638977 1012457 1314587

493693 493979 496073 497873 498493 499663 502079 519349 543659 556313 972079 1345559 1647689

843757 844043 846137 847937 848557 849727 852143 869413 893723 906377 1322143 1695623 1997753

 

Этот прямоугольник тоже достроен М. Алексеевым, вот полученная им 13-ая строка:

 

96059563, 96059849, 96061943, 96063743, 96064363, 96065533, 96067949, 96085219, 96109529, 96122183, 96537949, 96911429, 97213559

 

Добавив эту строку к прямоугольнику, получаем следующий примитивный квадрат 13х13 (рис. 6):

 

823

1109

3203

5003

5623

6793

9209

26479

50789

63443

479209

852689

1154819

991

1277

3371

5171

5791

6961

9377

26647

50957

63611

479377

852857

1154987

1237

1523

3617

5417

6037

7207

9623

26893

51203

63857

479623

853103

1155233

5857

6143

8237

10037

10657

11827

14243

31513

55823

68477

484243

857723

1159853

7753

8039

10133

11933

12553

13723

16139

33409

57719

70373

486139

859619

1161749

8713

8999

11093

12893

13513

14683

17099

34369

58679

71333

487099

860579

1162709

12241

12527

14621

16421

17041

18211

20627

37897

62207

74861

490627

864107

1166237

17203

17489

19583

21383

22003

23173

25589

42859

67169

79823

495589

869069

1171199

34381

34667

36761

38561

39181

40351

42767

60037

84347

97001

512767

886247

1188377

160591

160877

162971

164771

165391

166561

168977

186247

210557

223211

638977

1012457

1314587

493693

493979

496073

497873

498493

499663

502079

519349

543659

556313

972079

1345559

1647689

843757

844043

846137

847937

848557

849727

852143

869413

893723

906377

1322143

1695623

1997753

96059563

96059849

96061943

96063743

96064363

96065533

96067949

96085219

96109529

96122183

96537949

96911429

97213559

 

Рис. 6

 

Применив преобразование, получим новый пандиагональный квадрат 13-го порядка с магической константой  100295295. Предлагаю читателям получить этот пандиагональный квадрат самостоятельно.

 

Это два пандиагональных квадрата, которые являются результатом коллективного творчества, в построении этих квадратов принимали участие EtCetera и М. Алексеев. Потом EtCetera прислал мне свою программу для выборки квадрата из матрицы, и дальше я сама искала примитивный квадрат 13х13. Мне удалось найти один такой квадрат.

 

Была построена методом смешанного достраивания примитивная матрица 89х83, состоящая из всяких натуральных чисел – и простых, и не простых. Простые числа взяты в интервале от 100 до 2000000 (всего 148908 чисел). Из этой матрицы выделен по программе EtCetera примитивный квадрат 13х13, полностью состоящий из различных простых чисел (рис. 7).

 

277

823

991

1237

1621

5101

5857

30181

116533

120097

843757

997141

1037041

563

1109

1277

1523

1907

5387

6143

30467

116819

120383

844043

997427

1037327

2657

3203

3371

3617

4001

7481

8237

32561

118913

122477

846137

999521

1039421

4457

5003

5171

5417

5801

9281

10037

34361

120713

124277

847937

1001321

1041221

5077

5623

5791

6037

6421

9901

10657

34981

121333

124897

848557

1001941

1041841

6247

6793

6961

7207

7591

11071

11827

36151

122503

126067

849727

1003111

1043011

8663

9209

9377

9623

10007

13487

14243

38567

124919

128483

852143

1005527

1045427

23173

23719

23887

24133

24517

27997

28753

53077

139429

142993

866653

1020037

1059937

25933

26479

26647

26893

27277

30757

31513

55837

142189

145753

869413

1022797

1062697

189547

190093

190261

190507

190891

194371

195127

219451

305803

309367

1033027

1186411

1226311

536443

536989

537157

537403

537787

541267

542023

566347

652699

656263

1379923

1533307

1573207

557537

558083

558251

558497

558881

562361

563117

587441

673793

677357

1401017

1554401

1594301

923947

924493

924661

924907

925291

928771

929527

953851

1040203

1043767

1767427

1920811

1960711

 

Рис. 7

 

Применяем преобразование Россера и получаем такой пандиагональный квадрат (рис. 8):

 

997141

118913

9901

9377

1062697

656263

929527

1523

4457

849727

53077

190891

558083

923947

844043

34361

7591

23719

1186411

673793

5101

3371

1041841

128483

31513

537403

558251

1037041

122477

10657

9623

25933

1379923

953851

1907

5003

1003111

139429

194371

537787

924493

997427

120713

11071

23887

1226311

677357

5857

3617

5077

852143

55837

195127

558497

277

846137

34981

10007

26479

1533307

1040203

5387

5171

1043011

142993

142189

541267

924661

1037327

124277

11827

24133

189547

1401017

30181

4001

5623

1005527

866653

219451

558881

823

999521

121333

13487

26647

1573207

1043767

6143

5417

6247

1045427

145753

542023

924907

563

847937

36151

24517

190093

1554401

116533

7481

5791

6793

1020037

305803

562361

991

1039421

124897

14243

26893

536443

1767427

30467

5801

6037

8663

869413

566347

925291

1109

1001321

122503

27997

190261

1594301

120097

8237

9281

6961

1059937

309367

563117

1237

2657

848557

38567

27277

536989

1920811

116819

32561

6421

9209

1022797

652699

928771

1277

1041221

126067

28753

190507

557537

843757

120383

10037

7207

23173

1033027

587441

1621

3203

1001941

124919

30757

537157

1960711

 

Рис. 8

 

Магическая константа этого пандиагонального квадрата равна 5441577. Это наименьший из всех трёх полученных пандиагональных квадратов.

 

У меня сохранилась только одна матрица, полученная при смешанном достраивании, из этой матрицы выделен примитивный прямоугольник 12х13. Покажу фрагмент этой матрицы – первые 20 строк. Всего в матрице 74 строки и 46 столбцов. В матрице вы видите нули и единички, все простые числа заменены единичками, а не простые – нулями. Так удобно делать выборку из матрицы. В матрице 8 строк и 7 столбцов полностью состоят из единичек (то есть они полностью состоят из простых чисел). Это условие заложено в программе смешанного достраивания. Строки, полностью состоящие из единичек, выделены красным цветом.

 

1  1  1  1  1  1  1  1  0  0  1  0  0  0  0  1  0  1  0  1  1  0  0  0  1  0  0  0  0  0  0  0  0  1  1  0  1  0  0  0  0  1  0  0  0  1 

1* 1* 1* 1* 1* 1* 1* 1* 1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1* 1* 1  1* 1  1* 1  1  1  1* 1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1 

1  1  1  1  1  1  1  0  1  0  0  1  0  1  0  0  1  1  1  0  1  1  1  0  0  0  1  1  0  1  0  0  0  0  1  1  1  0  1  1  1  0  1  1  0  1 

1* 1* 1* 1* 1* 1* 1* 1* 1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1* 1* 1  1* 1  1* 1  1  1  1* 1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1 

1* 1* 1* 1* 1* 1* 1* 1* 0  1  0  1  0  1  0  0  0  1  0  1* 1* 0  1* 0  1* 0  0  0  1* 0  0  0  0  1  0  0  0  0  1  1  0  1  1  0  0  0 

1  1  1  1  1  1  1  0  0  1  1  1  0  1  0  0  0  1  1  0  0  1  0  0  0  1  1  1  1  0  1  0  1  1  1  0  0  1  1  0  1  0  0  0  0  0 

1* 1* 1* 1* 1* 1* 1* 1* 1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1* 1* 1  1* 1  1* 1  1  1  1* 1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1 

1* 1* 1* 1* 1* 1* 1* 1* 1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1* 1* 1  1* 1  1* 1  1  1  1* 1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1 

1* 1* 1* 1* 1* 1* 1* 1* 1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1* 1* 1  1* 1  1* 1  1  1  1* 1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1 

1* 1* 1* 1* 1* 1* 1* 1* 1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1* 1* 1  1* 1  1* 1  1  1  1* 1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1 

1  1  1  1  1  1  1  0  1  0  1  0  0  0  1  0  0  0  0  1  1  0  0  0  0  1  0  1  0  0  0  0  0  0  1  1  1  0  0  0  0  0  0  0  1  1 

1  1  1  1  1  1  1  1  1  0  0  0  0  0  0  0  1  1  1  1  0  1  1  1  1  0  0  0  0  0  1  0  0  0  0  1  0  0  0  1  1  0  0  1  1  0 

1* 1* 1* 1* 1* 1* 1* 1* 1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1* 1* 1  1* 1  1* 1  1  1  1* 1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1 

1* 1* 1* 1* 1* 1* 1* 1* 1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1* 1* 1  1* 1  1* 1  1  1  1* 1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1 

1  1  1  1  1  1  1  1  1  0  0  1  0  1  0  1  0  0  0  0  0  0  0  0  0  1  0  0  1  1  0  1  0  0  0  0  0  0  0  0  1  0  0  1  0  1 

1  1  1  1  1  1  1  0  0  1  1  0  0  0  0  0  1  1  1  0  0  1  0  1  1  1  1  1  0  1  0  0  0  0  1  1  1  1  0  0  0  0  1  0  0  0 

1  1  1  1  1  1  1  1  0  0  1  0  0  0  0  1  0  1  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  1  1  0  0  1  0  1  0  1  1  1  1  0  0  0  0  0  1 

1  1  1  1  1  1  1  0  0  1  0  0  0  0  1  1  0  0  1  0  1  0  1  1  1  0  0  0  1  1  1  0  0  0  1  0  1  0  0  1  0  0  0  1  0  0 

1  1  1  1  1  1  1  1  0  0  0  0  1  0  0  1  0  0  0  0  1  1  0  0  0  1  0  0  0  0  0  0  1  0  0  0  1  1  1  0  1  1  0  0  0  0 

1  1  1  1  1  1  1  1  0  0  0  0  1  1  0  0  0  0  0  0  1  1  1  0  1  1  0  0  0  0  0  0  0  1  1  0  0  0  1  0  0  0  0  0  0  0 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 

Эта матрица уже была обработана программой EtCetera. Вы видите единички, помеченные звёздочкой, это как раз те единички, которые дают нужную выборку из всех единичек, эта выборка и будет соответствовать примитивному прямоугольнику 12х13, выделенному из этой матрицы.

Таких матриц я построила очень много, пока, наконец, получила примитивный квадрат 13х13.

 

Из чисел Смита я даже и не пыталась строить примитивный квадрат 13-го порядка. С трудом удалось построить примитивный квадрат 7-го порядка.

 

МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ПАНДИАГОНАЛЬНЫХ КВАДРАТОВ 14-го ПОРЯДКА

 

Классических пандиагональных квадратов 14-го порядка не существует.

Первый нетрадиционный идеальный квадрат 14-го порядка построен в статье [4]. Это построение выполнено методом латинских квадратов, при этом пара ортогональных квадратов состоит из обобщённых латинских квадратов. На рис. 9 показан первый латинский квадрат ортогональной пары.

 

0

14

0

14

0

14

0

14

0

14

0

14

0

14

13

1

13

1

13

1

13

1

13

1

13

1

13

1

10

4

10

4

10

4

10

4

10

4

10

4

10

4

11

3

11

3

11

3

11

3

11

3

11

3

11

3

8

6

8

6

8

6

8

6

8

6

8

6

8

6

5

9

5

9

5

9

5

9

5

9

5

9

5

9

2

12

2

12

2

12

2

12

2

12

2

12

2

12

2

12

2

12

2

12

2

12

2

12

2

12

2

12

5

9

5

9

5

9

5

9

5

9

5

9

5

9

8

6

8

6

8

6

8

6

8

6

8

6

8

6

11

3

11

3

11

3

11

3

11

3

11

3

11

3

10

4

10

4

10

4

10

4

10

4

10

4

10

4

13

1

13

1

13

1

13

1

13

1

13

1

13

1

0

14

0

14

0

14

0

14

0

14

0

14

0

14

 

Рис. 9

 

Второй латинский квадрат ортогональной пары получается из первого поворотом вокруг центра на 90 градусов по часовой стрелке.

 

Формула для построения нетрадиционного идеального магического квадрата 14-ого порядка с помощью этих ортогональных латинских квадратов имеет вид:

 

хij = myij + zij + 1  (i, j = 1, 2, 3…14),

 

где натуральный множитель m ≥ 15, yij – элементы первого латинского квадрата, zij – соответствующие элементы второго латинского квадрата, xij – соответствующие элементы идеального квадрата.

На рис. 10 показан нетрадиционный идеальный квадрат 14-ого порядка, построенный при m = 15. Попробуйте построить новый нетрадиционный идеальный квадрат 14-ого порядка с другим значением множителя m.

 

1

224

11

222

9

216

3

213

6

219

12

221

14

211

210

17

200

19

202

25

208

28

205

22

199

20

197

30

151

74

161

72

159

66

153

63

156

69

162

71

164

61

180

47

170

49

172

55

178

58

175

52

169

50

167

60

121

104

131

102

129

96

123

93

126

99

132

101

134

91

90

137

80

139

82

145

88

148

85

142

79

140

77

150

31

194

41

192

39

186

33

183

36

189

42

191

44

181

45

182

35

184

37

190

43

193

40

187

34

185

32

195

76

149

86

147

84

141

78

138

81

144

87

146

89

136

135

92

125

94

127

100

133

103

130

97

124

95

122

105

166

59

176

57

174

51

168

48

171

54

177

56

179

46

165

62

155

64

157

70

163

73

160

67

154

65

152

75

196

29

206

27

204

21

198

18

201

24

207

26

209

16

15

212

5

214

7

220

13

223

10

217

4

215

2

225

 

Рис. 10

 

Магическая константа идеального квадрата с рис. 10 равна 1582.

Если применить к этому идеальному квадрату преобразование 3-х квадратов, получится нетрадиционный совершенный квадрат (рис. 11):

 

1

224

11

222

9

216

3

211

14

221

12

219

6

213

210

17

200

19

202

25

208

30

197

20

199

22

205

28

151

74

161

72

159

66

153

61

164

71

162

69

156

63

180

47

170

49

172

55

178

60

167

50

169

52

175

58

121

104

131

102

129

96

123

91

134

101

132

99

126

93

90

137

80

139

82

145

88

150

77

140

79

142

85

148

31

194

41

192

39

186

33

181

44

191

42

189

36

183

15

212

5

214

7

220

13

225

2

215

4

217

10

223

196

29

206

27

204

21

198

16

209

26

207

24

201

18

165

62

155

64

157

70

163

75

152

65

154

67

160

73

166

59

176

57

174

51

168

46

179

56

177

54

171

48

135

92

125

94

127

100

133

105

122

95

124

97

130

103

76

149

86

147

84

141

78

136

89

146

87

144

81

138

45

182

35

184

37

190

43

195

32

185

34

187

40

193

 

Рис. 11

 

В части V было показано, как перейти от метода латинских квадратов к методу использования примитивного квадрата для квадратов порядка 10. Для квадратов порядка 14 всё аналогично с той только разницей, что здесь сначала составляется примитивный квадрат 15х15 из арифметических прогрессий, а затем из него вычёркивается один столбец и одна строка. Арифметические прогрессии должны быть длины 15 с одинаковой разностью, причём первые члены этих прогрессий тоже образуют арифметическую прогрессию. На рис. 12 показан примитивный квадрат 15х15, составленный из арифметических прогрессий с указанными свойствами.

 

3

13

23

33

43

53

63

73

83

93

103

113

123

133

143

145

155

165

175

185

195

205

215

225

235

245

255

265

275

285

287

297

307

317

327

337

347

357

367

377

387

397

407

417

427

429

439

449

459

469

479

489

499

509

519

529

539

549

559

569

571

581

591

601

611

621

631

641

651

661

671

681

691

701

711

713

723

733

743

753

763

773

783

793

803

813

823

833

843

853

855

865

875

885

895

905

915

925

935

945

955

965

975

985

995

997

1007

1017

1027

1037

1047

1057

1067

1077

1087

1097

1107

1117

1127

1137

1139

1149

1159

1169

1179

1189

1199

1209

1219

1229

1239

1249

1259

1269

1279

1281

1291

1301

1311

1321

1331

1341

1351

1361

1371

1381

1391

1401

1411

1421

1423

1433

1443

1453

1463

1473

1483

1493

1503

1513

1523

1533

1543

1553

1563

1565

1575

1585

1595

1605

1615

1625

1635

1645

1655

1665

1675

1685

1695

1705

1707

1717

1727

1737

1747

1757

1767

1777

1787

1797

1807

1817

1827

1837

1847

1849

1859

1869

1879

1889

1899

1909

1919

1929

1939

1949

1959

1969

1979

1989

1991

2001

2011

2021

2031

2041

2051

2061

2071

2081

2091

2101

2111

2121

2131

 

Рис. 12

 

Вычеркнем в этом примитивном квадрате один столбец и одну строку, выделенные белым цветом, получим примитивный квадрат 14х14 (рис. 13).

 

3

13

23

33

43

53

63

83

93

103

113

123

133

143

145

155

165

175

185

195

205

225

235

245

255

265

275

285

287

297

307

317

327

337

347

367

377

387

397

407

417

427

429

439

449

459

469

479

489

509

519

529

539

549

559

569

571

581

591

601

611

621

631

651

661

671

681

691

701

711

713

723

733

743

753

763

773

793

803

813

823

833

843

853

855

865

875

885

895

905

915

935

945

955

965

975

985

995

1139

1149

1159

1169

1179

1189

1199

1219

1229

1239

1249

1259

1269

1279

1281

1291

1301

1311

1321

1331

1341

1361

1371

1381

1391

1401

1411

1421

1423

1433

1443

1453

1463

1473

1483

1503

1513

1523

1533

1543

1553

1563

1565

1575

1585

1595

1605

1615

1625

1645

1655

1665

1675

1685

1695

1705

1707

1717

1727

1737

1747

1757

1767

1787

1797

1807

1817

1827

1837

1847

1849

1859

1869

1879

1889

1899

1909

1929

1939

1949

1959

1969

1979

1989

1991

2001

2011

2021

2031

2041

2051

2071

2081

2091

2101

2111

2121

2131

 

Рис. 13

 

Пронумеруем числа этого примитивного квадрата в естественном порядке и заполним ими матрицу 14х14 в соответствии с идеальным квадратом, изображённым на рис. 10 (напишите в идеальном квадрате номера чисел примитивного квадрата, из которого он получен; а этот примитивный квадрат получается из обратимого квадрата 15х15 вычеркиванием одного столбца и одной строки точно так, как показано на рис. 12). На рис. 14 показан готовый идеальный квадрат 14-го порядка.

 

3

2121

103

2101

83

2041

23

2011

53

2071

113

2091

133

1991

1989

155

1889

175

1909

235

1969

265

1939

205

1879

185

1859

285

1423

701

1523

681

1503

621

1443

591

1473

651

1533

671

1553

571

1705

439

1605

459

1625

519

1685

549

1655

489

1595

469

1575

569

1139

985

1239

965

1219

905

1159

875

1189

935

1249

955

1269

855

853

1291

753

1311

773

1371

833

1401

803

1341

743

1321

723

1421

287

1837

387

1817

367

1757

307

1727

337

1787

397

1807

417

1707

427

1717

327

1737

347

1797

407

1827

377

1767

317

1747

297

1847

713

1411

813

1391

793

1331

733

1301

763

1361

823

1381

843

1281

1279

865

1179

885

1199

945

1259

975

1229

915

1169

895

1149

995

1565

559

1665

539

1645

479

1585

449

1615

509

1675

529

1695

429

1563

581

1463

601

1483

661

1543

691

1513

631

1453

611

1433

711

1849

275

1949

255

1929

195

1869

165

1899

225

1959

245

1979

145

143

2001

43

2021

63

2081

123

2111

93

2051

33

2031

13

2131

 

Рис. 14

 

Примечание: для тех, кто не совсем хорошо понял, как установить соответствие между числами идеального квадрата и номерами чисел примитивного квадрата, приведу идеальный квадрат с рис. 10 с соответствующими номерами чисел примитивного квадрата. Смотрите рис. 15. В розовых строках находятся номера чисел примитивного квадрата. Например, элементу 224 идеального квадрата соответствует номер 195 в примитивном квадрате, элементу 11 – номер 10 и т. д. Можно на основе этой схемы написать матричное преобразование, которое превращает примитивный квадрат, построенный описанным методом, в пандиагональный квадрат.

 

1

195

10

193

8

188

3

185

6

190

11

192

13

183

1

224

11

222

9

216

3

213

6

219

12

221

14

211

182

16

173

18

175

23

180

26

177

21

172

19

170

28

210

17

200

19

202

25

208

28

205

22

199

20

197

30

127

69

136

67

134

62

129

59

132

64

137

66

139

57

151

74

161

72

159

66

153

63

156

69

162

71

164

61

154

44

145

46

147

51

152

54

149

49

144

47

142

56

180

47

170

49

172

55

178

58

175

52

169

50

167

60

99

97

108

95

106

90

101

87

104

92

109

94

111

85

121

104

131

102

129

96

123

93

126

99

132

101

134

91

84

114

75

116

77

121

82

124

79

119

74

117

72

126

90

137

80

139

82

145

88

148

85

142

79

140

77

150

29

167

38

165

36

160

31

157

34

162

39

164

41

155

31

194

41

192

39

186

33

183

36

189

42

191

44

181

42

156

33

158

35

163

40

166

37

161

32

159

30

168

45

182

35

184

37

190

43

193

40

187

34

185

32

195

71

125

80

123

78

118

73

115

76

120

81

122

83

113

76

149

86

147

84

141

78

138

81

144

87

146

89

136

112

86

103

88

105

93

110

96

107

91

102

89

100

98

135

92

125

94

127

100

133

103

130

97

124

95

122

105

141

55

150

53

148

48

143

45

146

50

151

52

153

43

166

59

176

57

174

51

168

48

171

54

177

56

179

46

140

58

131

60

133

65

138

68

135

63

130

61

128

70

165

62

155

64

157

70

163

73

160

67

154

65

152

75

169

27

178

25

176

20

171

17

174

22

179