Н. Макарова

 

НЕТРАДИЦИОННЫЕ ПАНДИАГОНАЛЬНЫЕ КВАДРАТЫ

 

Часть VIII

 

 

В этой статье цикла рассматриваются методы построения пандиагональных квадратов 15 – 16 порядков. Для этих порядков существуют и классические, и нетрадиционные пандиагональные квадраты, а также идеальные квадраты. Для порядка 16 существуют ещё совершенные квадраты, как классические, так и нетрадиционные.

 

МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ПАНДИАГОНАЛЬНЫХ КВАДРАТОВ 15-го ПОРЯДКА

 

 

Порядок 15, как и порядок 9, очень сложный, в том смысле, что построение классических пандиагональных квадратов данных порядков не тривиальная задача, как например, для порядков, являющихся простым числом. Мне так и не удавалось построить классический пандиагональный квадрат 15-го порядка без помощи Сети. Только найдя в Сети ряд примеров, я смогла разработать свой метод качелей.

Приведу здесь несколько интересных, на мой взгляд, методов построения классических пандиагональных квадратов 15-го порядка. Первый пример взят из сборника статей «Анатомия магических квадратов» ([1]). Это метод латинских квадратов, но латинские квадраты ортогональной пары не классические, а обобщённые. Оба латинских квадрата обладают свойствами ассоциативности и пандиагональности, необходимыми для построения идеального магического квадрата. Очевидно, что второй латинский квадрат получается из первого отражением относительно главной диагонали. Смотрите иллюстрацию.

 

 

На иллюстрации вы видите две формулы для построения идеального магического квадрата. На рис. 1 показан идеальный квадрат, построенный по формуле: A + 15B + 1. Единица добавлена, чтобы идеальный квадрат был записан в традиционной форме (заполнен числами от 1 до 225).

 

1

104

207

82

171

31

119

192

67

156

16

134

222

52

141

202

81

166

14

102

187

66

151

44

117

217

51

136

29

132

179

12

97

201

76

164

42

112

186

61

149

27

127

216

46

96

196

89

177

7

111

181

74

162

37

126

211

59

147

22

87

172

6

91

209

72

157

36

106

194

57

142

21

121

224

3

103

206

83

170

33

118

191

68

155

18

133

221

53

140

203

80

168

13

101

188

65

153

43

116

218

50

138

28

131

178

11

98

200

78

163

41

113

185

63

148

26

128

215

48

95

198

88

176

8

110

183

73

161

38

125

213

58

146

23

86

173

5

93

208

71

158

35

108

193

56

143

20

123

223

2

105

205

84

169

32

120

190

69

154

17

135

220

54

139

204

79

167

15

100

189

64

152

45

115

219

49

137

30

130

180

10

99

199

77

165

40

114

184

62

150

25

129

214

47

94

197

90

175

9

109

182

75

160

39

124

212

60

145

24

85

174

4

92

210

70

159

34

107

195

55

144

19

122

225

 

Рис. 1

 

В квадрате оригинальная начальная цепочка, она вся расположена в левой трети квадрата.

 

Далее покажу пример пандиагонального квадрата, найденный мной в Сети по ссылке:

http://www.magic-squares.de/construction/pandiagonal/odd-3k.html 

Автор квадрата Хендрикс. По этой ссылке я нашла много пандиагональных квадратов (см. [2]). Один из этих квадратов вы видите на рис. 2.

 

112

3

29

180

143

151

47

132

70

191

79

99

35

208

216

28

171

142

153

59

135

68

181

77

102

40

206

214

114

5

144

155

58

126

67

183

89

105

38

196

212

117

10

26

169

56

124

69

185

88

96

37

198

224

120

8

16

167

147

160

72

190

86

94

39

200

223

111

7

18

179

150

158

46

122

76

92

42

205

221

109

9

20

178

141

157

48

134

75

188

45

203

211

107

12

25

176

139

159

50

133

66

187

78

104

213

119

15

23

166

137

162

55

131

64

189

80

103

36

202

6

22

168

149

165

53

121

62

192

85

101

34

204

215

118

170

148

156

52

123

74

195

83

91

32

207

220

116

4

24

154

54

125

73

186

82

93

44

210

218

106

2

27

175

146

130

71

184

84

95

43

201

217

108

14

30

173

136

152

57

182

87

100

41

199

219

110

13

21

172

138

164

60

128

61

98

31

197

222

115

11

19

174

140

163

51

127

63

194

90

209

225

113

1

17

177

145

161

49

129

65

193

81

97

33

 

order:  

15

magic sum:  

1695

properties:  

pandiagonal

 

Рис. 2

 

В этом квадрате классическая начальная цепочка “ход конём”.

Я разложила этот пандиагональный квадрат на два ортогональных латинских квадрата, чтобы посмотреть на эту ортогональную пару. На рис. 3 показан первый латинский квадрат ортогональной пары. Этот латинский квадрат классический, но… не диагональный! На одной главной диагонали числа повторяются, однако сумма чисел этой диагонали равна магической константе латинского квадрата – 105.

 

6

2

13

14

7

0

1

11

9

10

3

8

4

12

5

12

5

6

2

13

14

7

0

1

11

9

10

3

8

4

8

4

12

5

6

2

13

14

7

0

1

11

9

10

3

10

3

8

4

12

5

6

2

13

14

7

0

1

11

9

11

9

10

3

8

4

12

5

6

2

13

14

7

0

1

0

1

11

9

10

3

8

4

12

5

6

2

13

14

7

14

7

0

1

11

9

10

3

8

4

12

5

6

2

13

2

13

14

7

0

1

11

9

10

3

8

4

12

5

6

5

6

2

13

14

7

0

1

11

9

10

3

8

4

12

4

12

5

6

2

13

14

7

0

1

11

9

10

3

8

3

8

4

12

5

6

2

13

14

7

0

1

11

9

10

9

10

3

8

4

12

5

6

2

13

14

7

0

1

11

1

11

9

10

3

8

4

12

5

6

2

13

14

7

0

7

0

1

11

9

10

3

8

4

12

5

6

2

13

14

13

14

7

0

1

11

9

10

3

8

4

12

5

6

2

 

Рис. 3

 

Интересно строится этот латинский квадрат – методом циклического сдвига с постоянным шагом. Второй латинский квадрат ортогональной пары получается из первого перестановкой строк, эквивалентной параллельному переносу на торе. Оба латинских квадрата обладают свойством пандиагональности. На рис. 4 показан второй латинский квадрат данной ортогональной пары.

 

7

0

1

11

9

10

3

8

4

12

5

6

2

13

14

1

11

9

10

3

8

4

12

5

6

2

13

14

7

0

9

10

3

8

4

12

5

6

2

13

14

7

0

1

11

3

8

4

12

5

6

2

13

14

7

0

1

11

9

10

4

12

5

6

2

13

14

7

0

1

11

9

10

3

8

5

6

2

13

14

7

0

1

11

9

10

3

8

4

12

2

13

14

7

0

1

11

9

10

3

8

4

12

5

6

14

7

0

1

11

9

10

3

8

4

12

5

6

2

13

0

1

11

9

10

3

8

4

12

5

6

2

13

14

7

11

9

10

3

8

4

12

5

6

2

13

14

7

0

1

10

3

8

4

12

5

6

2

13

14

7

0

1

11

9

8

4

12

5

6

2

13

14

7

0

1

11

9

10

3

12

5

6

2

13

14

7

0

1

11

9

10

3

8

4

6

2

13

14

7

0

1

11

9

10

3

8

4

12

5

13

14

7

0

1

11

9

10

3

8

4

12

5

6

2

 

Рис. 4

 

Этот латинский квадрат тоже не диагональный, в одной главной диагонали числа повторяются, но сумма чисел равна 105.

На рис. 5 представлен второй пандиагональный квадрат, построенный из этой ортогональной пары квадратов (первый – это квадрат Хендрикса, показанный на рис. 2). Этот квадрат получается, если поменять латинские квадраты местами в формуле для построения пандиагонального квадрата.

 

98

31

197

222

115

11

19

174

140

163

51

127

63

194

90

182

87

100

41

199

219

110

13

21

172

138

164

60

128

61

130

71

184

84

95

43

201

217

108

14

30

173

136

152

57

154

54

125

73

186

82

93

44

210

218

106

2

27

175

146

170

148

156

52

123

74

195

83

91

32

207

220

116

4

24

6

22

168

149

165

53

121

62

192

85

101

34

204

215

118

213

119

15

23

166

137

162

55

131

64

189

80

103

36

202

45

203

211

107

12

25

176

139

159

50

133

66

187

78

104

76

92

42

205

221

109

9

20

178

141

157

48

134

75

188

72

190

86

94

39

200

223

111

7

18

179

150

158

46

122

56

124

69

185

88

96

37

198

224

120

8

16

167

147

160

144

155

58

126

67

183

89

105

38

196

212

117

10

26

169

28

171

142

153

59

135

68

181

77

102

40

206

214

114

5

112

3

29

180

143

151

47

132

70

191

79

99

35

208

216

209

225

113

1

17

177

145

161

49

129

65

193

81

97

33

 

Рис. 5

 

В этом квадрате тоже классическая начальная цепочка “ход конём”. Более того, квадрат эквивалентен квадрату Хендрикса.

 

Следующий метод построения идеальных квадратов 15-го порядка из обратимых квадратов. Метод разработан мной (см. [3]). На рис. 6 показан обратимый квадрат 15-го порядка:

 

1

3

6

14

7

5

4

8

12

11

9

2

10

13

15

31

33

36

44

37

35

34

38

42

41

39

32

40

43

45

76

78

81

89

82

80

79

83

87

86

84

77

85

88

90

196

198

201

209

202

200

199

203

207

206

204

197

205

208

210

91

93

96

104

97

95

94

98

102

101

99

92

100

103

105

61

63

66

74

67

65

64

68

72

71

69

62

70

73

75

46

48

51

59

52

50

49

53

57

56

54

47

55

58

60

106

108

111

119

112

110

109

113

117

116

114

107

115

118

120

166

168

171

179

172

170

169

173

177

176

174

167

175

178

180

151

153

156

164

157

155

154

158

162

161

159

152

160

163

165

121

123

126

134

127

125

124

128

132

131

129

122

130

133

135

16

18

21

29

22

20

19

23

27

26

24

17

25

28

30

136

138

141

149

142

140

139

143

147

146

144

137

145

148

150

181

183

186

194

187

185

184

188

192

191

189

182

190

193

195

211

213

216

224

217

215

214

218

222

221

219

212

220

223

225

 

Рис. 6

 

Обратимый квадрат строится по определённой схеме. Отмечу, что его можно получить из самого простого обратимого квадрата 15х15 перестановкой строк и столбцов по одной и той же схеме.

Затем к этому квадрату применяется матричное преобразование и получается идеальный квадрат (рис. 7):

 

92

70

58

120

166

153

126

29

142

185

214

8

42

86

204

149

187

215

4

38

87

206

99

62

55

118

180

151

123

21

69

47

115

178

165

121

18

141

194

217

5

34

83

207

101

186

224

7

35

79

203

102

71

54

107

175

163

135

16

138

56

114

167

160

133

30

136

183

216

14

37

80

199

98

72

213

6

44

82

200

94

68

57

116

174

152

130

28

150

181

117

176

159

122

25

148

195

211

3

36

89

202

95

64

53

1

33

81

209

97

65

49

113

177

161

129

17

145

193

225

173

162

131

24

137

190

223

15

31

78

201

104

67

50

109

45

76

198

96

74

52

110

169

158

132

26

144

182

220

13

154

128

27

146

189

212

10

43

90

196

93

66

59

112

170

88

210

91

63

51

119

172

155

124

23

147

191

219

2

40

125

19

143

192

221

9

32

85

208

105

61

48

111

179

157

205

103

75

46

108

171

164

127

20

139

188

222

11

39

77

22

140

184

218

12

41

84

197

100

73

60

106

168

156

134

 

Рис. 7

 

Далее, конечно, очень интересен метод построения классического пандиагонального квадрата, приведённый в статье Россера ([7]). Это теорема 5.5, случай 3. Метод работает для порядков n = 3m, m ≥ 3 и нечётно. В одной из предыдущих статей цикла показано построение этим методом классического пандиагонального квадрата 9-го порядка. Для порядка 15 всё аналогично. Покажу применение метода более подробно. Сначала из чисел 0, 1, …, 14 составляется прямоугольник 5х3 так, что сумма чисел в каждом столбце равна одному и тому же числу. Этот прямоугольник показан на рис. 8.

 

0

1

2

5

3

4

7

8

6

11

9

10

12

14

13

 

Рис. 8

 

Далее пронумеруем числа этого прямоугольника в естественном порядке, начиная с левой верхней ячейки, построчно. Составляем примитивный квадрат 15х15 по следующей формуле:

 

A(i,j) = 15ai + aj + 1, где

 

ak – элемент с номером k в прямоугольнике с рис. 8.

Построенный таким образом примитивный квадрат показан на рис. 9.

 

1

2

3

6

4

5

8

9

7

12

10

11

13

15

14

16

17

18

21

19

20

23

24

22

27

25

26

28

30

29

31

32

33

36

34

35

38

39

37

42

40

41

43

45

44

76

77

78

81

79

80

83

84

82

87

85

86

88

90

89

46

47

48

51

49

50

53

54

52

57

55

56

58

60

59

61

62

63

66

64

65

68

69

67

72

70

71

73

75

74

106

107

108

111

109

110

113

114

112

117

115

116

118

120

119

121

122

123

126

124

125

128

129

127

132

130

131

133

135

134

91

92

93

96

94

95

98

99

97

102

100

101

103

105

104

166

167

168

171

169

170

173

174

172

177

175

176

178

180

179

136

137

138

141

139

140

143

144

142

147

145

146

148

150

149

151

152

153

156

154

155

158

159

157

162

160

161

163

165

164

181

182

183

186

184

185

188

189

187

192

190

191

193

195

194

211

212

213

216

214

215

218

219

217

222

220

221

223

225

224

196

197

198

201

199

200

203

204

202

207

205

206

208

210

209

 

Рис. 9

 

Следует отметить, что этот примитивный квадрат не является обратимым, хотя и составлен из чисел 1, 2, …, 225; он не обладает свойством ассоциативности, которым обладает любой обратимый квадрат (см. рис. 6).

Теперь применяем к построенному примитивному квадрату преобразование, заданное формулой:

 

A(i,j) = B(i+j,2i+3j),

 

где A(i,j) – элементы примитивного квадрата, B(i+j,2i+3j) – элементы пандиагонального квадрата. Индексы берутся по модулю 15.

 

На рис. 10 вы видите готовый пандиагональный квадрат.

 

30

14

196

212

183

156

139

170

98

129

112

72

55

86

43

56

88

45

29

1

197

213

186

154

140

173

99

127

117

70

132

115

71

58

90

44

16

2

198

216

184

155

143

174

97

144

172

102

130

116

73

60

89

31

17

3

201

214

185

158

215

188

159

142

177

100

131

118

75

59

76

32

18

6

199

21

4

200

218

189

157

147

175

101

133

120

74

46

77

33

47

78

36

19

5

203

219

187

162

145

176

103

135

119

61

134

106

62

48

81

34

20

8

204

217

192

160

146

178

105

148

180

104

121

107

63

51

79

35

23

9

202

222

190

161

220

191

163

150

179

91

122

108

66

49

80

38

24

7

207

22

12

205

221

193

165

149

166

92

123

111

64

50

83

39

53

84

37

27

10

206

223

195

164

136

167

93

126

109

65

124

110

68

54

82

42

25

11

208

225

194

151

137

168

96

138

171

94

125

113

69

52

87

40

26

13

210

224

181

152

211

182

153

141

169

95

128

114

67

57

85

41

28

15

209

 

Рис. 10

 

В этом пандиагональном квадрате начальная цепочка тоже составляется буквой Г, но с удлинённой стороной (не шахматная буква Г).

 

Отмечу ещё один интересный момент: примитивный квадрат 15х15 Россера очень просто получается из самого простого обратимого квадрата 15х15 перестановкой строк и столбцов по одной и той же схеме. Схема такая: в первой тройке без изменения - 1, 2, 3; во второй тройке – 3, 1, 2; в третьей тройке – 2, 3, 1; в четвёртой тройке – 3, 1, 2; в пятой тройке – 1, 3, 2.

 

На этом завершаю рассказ о методах построения классических пандиагональных квадратов 15-го порядка и перехожу к нетрадиционным пандиагональным квадратам.

 

Построить нетрадиционный пандиагональный квадрат 15-го порядка из произвольных натуральных чисел очень просто. Возьмём 15 арифметических прогрессий длины 15 с одинаковой разностью, первые члены которых тоже образуют арифметическую прогрессию. Запишем эти прогрессии в матрицу 15х15, получим такой примитивный квадрат (рис. 11).

 

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

77

82

87

92

97

102

107

112

117

122

127

132

137

142

147

149

154

159

164

169

174

179

184

189

194

199

204

209

214

219

221

226

231

236

241

246

251

256

261

266

271

276

281

286

291

293

298

303

308

313

318

323

328

333

338

343

348

353

358

363

365

370

375

380

385

390

395

400

405

410

415

420

425

430

435

437

442

447

452

457

462

467

472

477

482

487

492

497

502

507

509

514

519

524

529

534

539

544

549

554

559

564

569

574

579

581

586

591

596

601

606

611

616

621

626

631

636

641

646

651

653

658

663

668

673

678

683

688

693

698

703

708

713

718

723

725

730

735

740

745

750

755

760

765

770

775

780

785

790

795

797

802

807

812

817

822

827

832

837

842

847

852

857

862

867

869

874

879

884

889

894

899

904

909

914

919

924

929

934

939

941

946

951

956

961

966

971

976

981

986

991

996

1001

1006

1011

1013

1018

1023

1028

1033

1038

1043

1048

1053

1058

1063

1068

1073

1078

1083

 

Рис. 11

 

Теперь надо переставить в этом примитивном квадрате строки и столбцы так, чтобы получить аналог обратимого квадрата, изображённого на рис. 6, или аналог примитивного квадрата, построенного по Россеру (рис. 9). Затем к аналогу первого примитивного квадрата надо применить моё матричное преобразование, получим нетрадиционный идеальный квадрат; а ко второму квадрату применить преобразование Россера, получим нетрадиционный пандиагональный квадрат. Покажу построение пандиагонального квадрата.

Переставляем в квадрате с рис. 11 сначала столбцы по указанной выше схеме, получаем такой примитивный квадрат (рис. 12):

 

5

10

15

30

20

25

40

45

35

60

50

55

65

75

70

77

82

87

102

92

97

112

117

107

132

122

127

137

147

142

149

154

159

174

164

169

184

189

179

204

194

199

209

219

214

221

226

231

246

236

241

256

261

251

276

266

271

281

291

286

293

298

303

318

308

313

328

333

323

348

338

343

353

363

358

365

370

375

390

380

385

400

405

395

420

410

415

425

435

430

437

442

447

462

452

457

472

477

467

492

482

487

497

507

502

509

514

519

534

524

529

544

549

539

564

554

559

569

579

574

581

586

591

606

596

601

616

621

611

636

626

631

641

651

646

653

658

663

678

668

673

688

693

683

708

698

703

713

723

718

725

730

735

750

740

745

760

765

755

780

770

775

785

795

790

797

802

807

822

812

817

832

837

827

852

842

847

857

867

862

869

874

879

894

884

889

904

909

899

924

914

919

929

939

934

941

946

951

966

956

961

976

981

971

996

986

991

1001

1011

1006

1013

1018

1023

1038

1028

1033

1048

1053

1043

1068

1058

1063

1073

1083

1078

 

Рис. 12

 

Теперь переставим строки в полученном квадрате по той же схеме, результатом будет такой примитивный квадрат (рис. 13):

 

5

10

15

30

20

25

40

45

35

60

50

55

65

75

70

77

82

87

102

92

97

112

117

107

132

122

127

137

147

142

149

154

159

174

164

169

184

189

179

204

194

199

209

219

214

365

370

375

390

380

385

400

405

395

420

410

415

425

435

430

221

226

231

246

236

241

256

261

251

276

266

271

281

291

286

293

298

303

318

308

313

328

333

323

348

338

343

353

363

358

509

514

519

534

524

529

544

549

539

564

554

559

569

579

574

581

586

591

606

596

601

616

621

611

636

626

631

641

651

646

437

442

447

462

452

457

472

477

467

492

482

487

497

507

502

797

802

807

822

812

817

832

837

827

852

842

847

857

867

862

653

658

663

678

668

673

688

693

683

708

698

703

713

723

718

725

730

735

750

740

745

760

765

755

780

770

775

785

795

790

869

874

879

894

884

889

904

909

899

924

914

919

929

939

934

1013

1018

1023

1038

1028

1033

1048

1053

1043

1068

1058

1063

1073

1083

1078

941

946

951

966

956

961

976

981

971

996

986

991

1001

1011

1006

 

Рис. 13

 

Примитивный квадрат готов. Осталось применить к нему преобразование Россера, и на рис. 14 вы видите готовый нетрадиционный пандиагональный квадрат 15-го порядка.

 

147

70

941

1018

879

750

668

817

472

621

539

348

266

415

209

271

425

219

142

5

946

1023

894

740

673

832

477

611

564

338

636

554

343

281

435

214

77

10

951

1038

884

745

688

837

467

693

827

492

626

559

353

291

430

149

82

15

966

1028

889

760

1033

904

765

683

852

482

631

569

363

286

365

154

87

30

956

102

20

961

1048

909

755

708

842

487

641

579

358

221

370

159

226

375

174

92

25

976

1053

899

780

698

847

497

651

574

293

646

509

298

231

390

164

97

40

981

1043

924

770

703

857

507

713

867

502

581

514

303

246

380

169

112

45

971

1068

914

775

1058

919

785

723

862

437

586

519

318

236

385

184

117

35

996

107

60

986

1063

929

795

718

797

442

591

534

308

241

400

189

256

405

179

132

50

991

1073

939

790

653

802

447

606

524

313

596

529

328

261

395

204

122

55

1001

1083

934

725

658

807

462

663

822

452

601

544

333

251

420

194

127

65

1011

1078

869

730

1013

874

735

678

812

457

616

549

323

276

410

199

137

75

1006

 

Рис. 14

 

Обозначим: a – первый член первой арифметической прогрессии длины 15; b - разность прогрессий длины 15; c – разность арифметической прогрессии, образуемой первыми членами прогрессий длины 15. Тогда магическая константа пандиагонального квадрата, построенного из чисел этих арифметических прогрессий вычисляется по следующей формуле:

 

S = 15(a + 7b + 7c)

 

В приведённом примере имеем: a = 5, b = 5, c = 72, S = 15*(5 + 35 + 504) = 8160.

Предлагаю читателям построить нетрадиционный идеальный квадрат из чисел приведённых арифметических прогрессий. Выше я пояснила, как это сделать.

 

Нетрадиционный пандиагональный квадрат 15-го порядка из произвольных натуральных чисел можно построить также методом латинских квадратов. Для этого достаточно взять ортогональную пару латинских квадратов, например, ту, которая получена разложением пандиагонального квадрата Хендрикса (см. рис. 3 – 4), и использовать в формуле для построения пандиагонального квадрата вместо множителя 15 любой другой множитель больше 15. На рис. 15 показан пандиагональный квадрат, построенный из этой ортогональной пары с множителем равным 20.

 

128

41

262

292

150

11

24

229

185

213

66

167

83

254

115

242

112

130

51

264

289

145

13

26

227

183

214

75

168

81

170

91

244

109

125

53

266

287

143

14

35

228

181

202

72

204

69

165

93

246

107

123

54

275

288

141

2

32

230

191

225

193

206

67

163

94

255

108

121

42

272

290

151

4

29

6

27

223

194

215

68

161

82

252

110

131

44

269

285

153

283

154

15

28

221

182

212

70

171

84

249

105

133

46

267

55

268

281

142

12

30

231

184

209

65

173

86

247

103

134

101

122

52

270

291

144

9

25

233

186

207

63

174

95

248

92

250

111

124

49

265

293

146

7

23

234

195

208

61

162

71

164

89

245

113

126

47

263

294

155

8

21

222

192

210

189

205

73

166

87

243

114

135

48

261

282

152

10

31

224

33

226

187

203

74