Н. Макарова

 

НЕТРАДИЦИОННЫЕ ПАНДИАГОНАЛЬНЫЕ КВАДРАТЫ

 

Часть X

 

 

Завершающая часть цикла посвящена методам построения пандиагональных квадратов 19 – 20 порядков. Для данных порядков существуют и классические, и нетрадиционные пандиагональные квадраты, а также идеальные квадраты. Для порядка 20 существуют ещё совершенные квадраты, как классические, так и нетрадиционные.

Построить классические пандиагональные и идеальные квадраты порядка 19 очень просто, поэтому не буду останавливаться на методах построения таких квадратов. Вы можете найти эти методы в моих ранних статьях, например, метод латинских квадратов, метод качелей, использование обратимых квадратов.

 

Сразу переходим к нетрадиционным пандиагональным квадратам. Построить такие квадраты из произвольных натуральных чисел тоже очень просто. Например, используя арифметические прогрессии длины 19. Читатели уже знают, как строить пандиагональные и идеальные квадраты из арифметических прогрессий.

Можно также использовать метод Россера с применением примитивного квадрата. Построить примитивный квадрат из произвольных натуральных чисел не составляет никакого труда. Числа первой строки и первого столбца примитивного квадрата выбираются произвольно. Конечно, при произвольном выборе этих чисел в квадрате могут оказаться одинаковые числа, но это не важно, главное показать, как работает данный метод. На рис. 1 вы видите примитивный квадрат 19-го порядка, составленный из произвольных натуральных чисел.

 

5

12

20

38

41

44

56

58

61

69

72

78

83

88

90

95

97

98

100

9

16

24

42

45

48

60

62

65

73

76

82

87

92

94

99

101

102

104

13

20

28

46

49

52

64

66

69

77

80

86

91

96

98

103

105

106

108

15

22

30

48

51

54

66

68

71

79

82

88

93

98

100

105

107

108

110

17

24

32

50

53

56

68

70

73

81

84

90

95

100

102

107

109

110

112

21

28

36

54

57

60

72

74

77

85

88

94

99

104

106

111

113

114

116

24

31

39

57

60

63

75

77

80

88

91

97

102

107

109

114

116

117

119

29

36

44

62

65

68

80

82

85

93

96

102

107

112

114

119

121

122

124

33

40

48

66

69

72

84

86

89

97

100

106

111

116

118

123

125

126

128

37

44

52

70

73

76

88

90

93

101

104

110

115

120

122

127

129

130

132

42

49

57

75

78

81

93

95

98

106

109

115

120

125

127

132

134

135

137

49

56

64

82

85

88

100

102

105

113

116

122

127

132

134

139

141

142

144

50

57

65

83

86

89

101

103

106

114

117

123

128

133

135

140

142

143

145

53

60

68

86

89

92

104

106

109

117

120

126

131

136

138

143

145

146

148

55

62

70

88

91

94

106

108

111

119

122

128

133

138

140

145

147

148

150

57

64

72

90

93

96

108

110

113

121

124

130

135

140

142

147

149

150

152

63

70

78

96

99

102

114

116

119

127

130

136

141

146

148

153

155

156

158

66

73

81

99

102

105

117

119

122

130

133

139

144

149

151

156

158

159

161

70

77

85

103

106

109

121

123

126

134

137

143

148

153

155

160

162

163

165

 

Рис. 1. Примитивный квадрат 19-го порядка из произвольных натуральных чисел

 

В квадрате получилось много одинаковых чисел. Если строить примитивный квадрат по программе, очень легко избежать повторения чисел.

Теперь осталось применить к примитивному квадрату преобразование Россера:

 

A(i,j) = B(3i+j, 2i+j),

 

где A(i,j) – элементы примитивного квадрата, B(3i+2j,2i+j) – соответствующие элементы пандиагонального квадрата. Индексы берутся по модулю 19.

 

Получим такой пандиагональный квадрат (рис. 2):

 

98

98

90

80

72

57

145

145

141

134

60

48

21

121

120

116

106

93

73

70

101

98

88

82

73

56

146

142

139

61

52

32

119

123

120

114

106

96

81

100

103

95

88

84

75

50

147

146

137

62

51

28

122

122

122

109

96

99

77

102

100

94

85

76

64

148

147

144

69

64

50

24

125

125

117

108

108

99

5

105

100

91

86

78

57

148

148

143

65

54

36

124

127

127

117

111

102

85

104

105

99

93

88

82

53

149

149

72

66

53

31

126

127

123

120

110

102

12

106

102

97

89

81

65

150

153

148

73

66

54

29

129

132

128

119

114

103

9

107

104

96

90

85

60

150

151

78

69

56

39

128

132

134

126

113

105

20

108

107

102

97

93

83

55

155

153

76

68

57

36

130

134

133

122

116

106

16

108

106

102

93

88

68

152

156

83

77

68

57

33

132

139

131

121

117

38

13

109

107

100

95

86

62

156

155

82

71

60

44

40

135

135

128

119

109

24

110

111

107

101

100

86

57

158

88

80

70

60

62

37

141

136

124

119

41

20

110

109

106

98

89

70

158

160

87

79

72

63

48

137

140

133

127

121

42

15

113

112

104

102

89

64

159

90

86

73

74

65

44

142

138

130

122

44

28

112

114

111

106

101

88

63

162

92

82

81

75

66

42

142

138

130

123

45

22

114

114

110

105

92

72

161

95

91

88

77

68

52

144

143

135

130

56

46

17

116

116

109

103

91

70

163

94

96

84

77

69

49

143

140

136

126

48

30

116

119

115

113

104

90

66

97

99

93

85

80

70

49

145

140

133

58

49

24

117

118

115

106

94

78

165

 

Рис. 2. Пандиагональный квадрат 19-го порядка из произвольных натуральных чисел (метод Россера)

 

А вот построить примитивный квадрат 19-го порядка из различных простых чисел (и тем более из чисел Смита) весьма сложно. Мне удалось решить эту задачу только для порядков 11 и 13. Для порядка 17 даже и не пыталась. Можно пробовать алгоритм смешанного достраивания, с помощью которого я нашла примитивные квадраты 11 и 13 порядков. Можно подождать, когда будет найден пандиагональный квадрат 17-го порядка, тогда (если этот квадрат будет построен с применением примитивного квадрата!) попытаться выполнить чистое достраивание двух строк и двух столбцов до примитивного квадрата 19-го порядка.

Кстати, процедуру чистого достраивания примитивного квадрата очень хорошо описал В. Павловский на форуме dxdy.ru (см. [2]).

 

МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ПАНДИАГОНАЛЬНЫХ КВАДРАТОВ 20-го ПОРЯДКА

 

 Не буду останавливаться на методах построения классических квадратов. Этих методов довольно много: метод латинских квадратов, метод составных квадратов, метод качелей, использование обратимых квадратов, применение преобразования 3-х квадратов к ассоциативным квадратам, наконец, два метода Россера: теорема 5.6, случай 2, работает для любого порядка n = 4m, m ≥ 2; теорема 5.5, случай 2, работает для любого порядка n = 4m (см. [1]). Методы Россера были показаны на примерах построения классических пандиагональных квадратов порядков 8 и 12. Читатели могут самостоятельно применить эти метода для построения классических пандиагональных квадратов 20-го порядка.

Покажу только один пример – классический совершенный квадрат, построенный разработанным мной методом качелей (рис. 3):

 

1

200

161

160

121

120

81

80

41

40

381

220

221

260

261

300

301

340

341

380

382

219

222

259

262

299

302

339

342

379

2

199

162

159

122

119

82

79

42

39

3

198

163

158

123

118

83

78

43

38

383

218

223

258

263

298

303

338

343

378

384

217

224

257

264

297

304

337

344

377

4

197

164

157

124

117

84

77

44

37

5

196

165

156

125

116

85

76

45

36

385

216

225

256

265

296

305

336

345

376

386

215

226

255

266

295

306

335

346

375

6

195

166

155

126

115

86

75

46

35

7

194

167

154

127

114

87

74

47

34

387

214

227

254

267

294

307

334

347

374

388

213

228

253

268

293

308

333

348

373

8

193

168

153

128

113

88

73

48

33

9

192

169

152

129

112

89

72

49

32

389

212

229

252

269

292

309

332

349

372

390

211

230

251

270

291

310

331

350

371

10

191

170

151

130

111

90

71

50

31

20

181

180

141

140

101

100

61

60

21

400

201

240

241

280

281

320

321

360

361

399

202

239

242

279

282

319

322

359

362

19

182

179

142

139

102

99

62

59

22

18

183

178

143

138

103

98

63

58

23

398

203

238

243

278

283

318

323

358

363

397

204

237

244

277

284

317

324

357

364

17

184

177

144

137

104

97

64

57

24

16

185

176

145

136

105

96

65

56

25

396

205

236

245

276

285

316

325

356

365

395

206

235

246

275

286

315

326

355

366

15

186

175

146

135

106

95

66

55

26

14

187

174

147

134

107

94

67

54

27

394

207

234

247

274

287

314

327

354

367

393

208

233

248

273

288

313

328

353

368

13

188

173

148

133

108

93

68

53

28

12

189

172

149

132

109

92

69

52

29

392

209

232

249

272

289

312

329

352

369

391

210

231

250

271

290

311

330

351

370

11

190

171

150

131

110

91

70

51

30

 

Рис. 3. Классический совершенный квадрат 20-го порядка (метод качелей)

 

Построить нетрадиционные пандиагональные квадраты из произвольных натуральных чисел тоже просто. Покажу здесь метод составных квадратов, причём возьмём нетрадиционные пандиагональные квадраты и в качестве основного, и в качестве базового квадрата. Раньше я показывала этот метод только для случая, когда в качестве базового квадрата брался классический магический квадрат. Итак, на рис. 4 – 5 вы видите: базовый пандиагональный квадрат 4-го порядка и основной пандиагональный квадрат 5-го порядка. Оба квадрата составлены из простых чисел, но можно взять эти квадраты из произвольных натуральных чисел.

 

7

47

97

89

103

83

13

41

23

31

113

73

107

79

17

37

 

Рис. 4

 

3

283

163

31

43

127

13

41

269

73

307

59

37

109

11

19

107

277

97

23

67

61

5

17

373

 

Рис. 5

 

На рис. 6 изображён пандиагональный квадрат 20-го порядка, построенный методом составных квадратов. Множитель в формуле выбран равный 2 (можно брать любой натуральный множитель).

 

15

295

175

43

55

95

375

255

123

135

195

475

355

223

235

179

459

339

207

219

139

25

53

281

85

219

105

133

361

165

319

205

233

461

265

303

189

217

445

249

319

71

49

121

23

399

151

129

201

103

499

251

229

301

203

483

235

213

285

187

31

119

289

109

35

111

199

369

189

115

211

299

469

289

215

195

283

453

273

199

79

73

17

29

385

159

153

97

109

465

259

253

197

209

565

243

237

181

193

549

207

487

367

235

247

167

447

327

195

207

27

307

187

55

67

83

363

243

111

123

331

217

245

473

277

291

177

205

433

237

151

37

65

293

97

207

93

121

349

153

511

263

241

313

215

471

223

201

273

175

331

83

61

133

35

387

139

117

189

91

223

311

481

301

227

183

271

441

261

187

43

131

301

121

47

99

187

357

177

103

271

265

209

221

577

231

225

169

181

537

91

85

29

41

397

147

141

85

97

453

47

327

207

75

87

63

343

223

91

103

227

507

387

255

267

147

427

307

175

187

171

57

85

313

117

187

73

101

329

133

351

237

265

493

297

271

157

185

413

217

351

103

81

153

55

367

119

97

169

71

531

283

261

333

235

451

203

181

253

155

63

151

321

141

67

79

167

337

157

83

243

331

501

321

247

163

251

421

241

167

111

105

49

61

417

127

121

65

77

433

291

285

229

241

597

211

205

149

161

517

215

495

375

243

255

159

439

319

187

199

35

315

195

63

75

75

355

235

103

115

339

225

253

481

285

283

169

197

425

229

159

45

73

301

105

199

85

113

341

145

519

271

249

321

223

463

215

193

265

167

339

91

69

141

43

379

131

109

181

83

231

319

489

309

235

175

263

433

253

179

51

139

309

129

55

91

179

349

169

95

279

273

217

229

585

223

217

161

173

529

99

93

37

49

405

139

133

77

89

445

 

Рис. 6. Составной пандиагональный квадрат 20-го порядка из произвольных натуральных чисел

 

В квадрате тоже есть одинаковые числа, это произошло от произвольного выбора вспомогательных квадратов и множителя в формуле для построения составного квадрата. Если всё делать по программе, повторений чисел легко избежать.

Можно в качестве базового квадрат взять квадрат 5-го порядка, а в качестве основного – квадрат 4-го порядка.

К сожалению, этот метод не работает для построения пандиагональных квадратов из простых чисел или из чисел Смита.

 

Построить пандиагональный квадрат 20-го порядка из простых чисел или из чисел Смита можно по методу решёток Россера. Для этого надо найти 16 пандиагональных квадратов 5-го порядка с одинаковой магической константой, составленных из различных чисел, или 25 пандиагональных квадратов 4-го порядка, или 4 пандиагональных квадрата 10-го порядка с такими же свойствами. Затем заполнить этими квадратами матрицу 20х20, размещая их по решёткам Россера.

Нужных квадратов 4-го и 5-го порядка мне найти не удалось, квадраты 10-го порядка я не искала.

Поэтому покажу построение из четырёх пандиагональных квадратов 10-го порядка, являющихся эквивалентными вариантами одного и того же квадрата, изображённого на рис. 7.

 

3

7

1459

757

1657

1979

31

73

349

683

19

61

751

1021

1531

1481

107

193

1091

743

1447

1759

13

47

347

673

1283

661

409

359

1511

1087

89

167

1069

733

331

811

499

701

1627

1327

233

263

199

139

1429

1733

11

37

1381

1483

79

491

479

307

1493

1061

67

157

181

113

1427

1723

1291

691

577

929

23

43

461

281

1471

1051

379

907

1129

1163

59

97

241

293

367

709

5

17

179

103

2707

2377

127

587

1109

769

41

71

439

271

1783

1801

 

Рис. 7. Пандиагональный квадрат 10-го порядка из простых чисел (S = 6998)

 

На рис. 8 вы видите готовый пандиагональный квадрат 20-го порядка, каждое число в этом квадрате повторено 4 раза. Магическая константа квадрата равна 6998*2 = 13996.

 

3

19

7

61

1459

751

757

1021

1657

1531

1979

1481

31

107

73

193

349

1091

683

743

127

241

587

293

1109

367

769

709

41

5

71

17

439

179

271

103

1783

2707

1801

2377

19

1447

61

1759

751

13

1021

47

1531

347

1481

673

107

1283

193

661

1091

409

743

359

3

127

7

587

1459

1109

757

769

1657

41

1979

71

31

439

73

271

349

1783

683

1801

1447

1511

1759

1087

13

89

47

167

347

1069

673

733

1283

331

661

811

409

499

359

701

19

3

61

7

751

1459

1021

757

1531

1657

1481

1979

107

31

193

73

1091

349

743

683

1511

1627

1087

1327

89

233

167

263

1069

199

733

139

331

1429

811

1733

499

11

701

37

1447

19

1759

61

13

751

47

1021

347

1531

673

1481

1283

107

661

193

409

1091

359

743

1627

1381

1327

1483

233

79

263

491

199

479

139

307

1429

1493

1733

1061

11

67

37

157

1511

1447

1087

1759

89

13

167

47

1069

347

733

673

331

1283

811

661

499

409

701

359

1381

181

1483

113

79

1427

491

1723

479

1291

307

691

1493

577

1061

929

67

23

157

43

1627

1511

1327

1087

233

89

263

167

199

1069

139

733

1429

331

1733

811

11

499

37

701

181

461

113

281

1427

1471

1723

1051

1291

379

691

907

577

1129

929

1163

23

59

43

97

1381

1627

1483

1327

79

233

491

263

479

199

307

139

1493

1429

1061

1733

67

11

157

37

461

241

281

293

1471

367

1051

709

379

5

907

17

1129

179

1163

103

59

2707

97

2377

181

1381

113

1483

1427

79

1723

491

1291

479

691

307

577

1493

929

1061

23

67

43

157

241

127

293

587

367

1109

709

769

5

41

17

71

179

439

103

271

2707

1783

2377

1801

461

181

281

113

1471

1427

1051

1723

379

1291

907

691

1129

577

1163

929

59

23

97

43

127

3

587

7

1109

1459

769

757

41

1657

71

1979

439

31

271

73

1783

349

1801

683

241

461

293

281

367

1471

709

1051

5

379

17

907

179

1129

103

1163

2707

59

2377

97

 

Рис. 8. Пандиагональный квадрат 20-го порядка из простых чисел с повторениями (S = 13996)

 

Весьма сложно найти совершенный квадрат 20-го порядка из простых чисел или из чисел Смита. Мне удалось пока найти только совершенные квадраты порядков 4 – 8 из простых чисел и только совершенный квадрат 4-го порядка из чисел Смита.

Если строить нетрадиционный совершенный квадрат из произвольных натуральных чисел, то нет никаких сложностей. Берём, например, любую арифметическую прогрессию из натуральных чисел длины 400, записываем её в естественном порядке следования членов в матрицу 20х20 построчно. Понятно, что получаем примитивный квадрат. Пронумеруем элементы этого примитивного квадрата в естественном порядке и заполним этими элементами матрицу 20х20 в соответствии с классическим совершенным квадратом, показанным на рис. 3 (элементы совершенного квадрата суть номера элементов примитивного квадрата).

Можно также применить к этому примитивному квадрату разработанное мной матричное преобразование, превращающее любой обратимый квадрат в классический совершенный квадрат. (Примитивный квадрат, составленный из чисел арифметической прогрессии, является полным аналогом обратимого квадрата.)

Теоретически совершенный квадрат 20-го порядка из простых чисел существует, так как существует арифметическая прогрессия любой длины из простых чисел.

Но нетрадиционный совершенный квадрат не обязательно составляется из членов арифметической прогрессии; это условие является достаточным для построения совершенного квадрата, но не является необходимым. Вот, например, совершенный квадрат 8-го порядка из простых чисел (рис. 9):

 

19

5923

1019

4423

4793

1277

3793

2777

4877

1193

3877

2693

103

5839

1103

4339

499

5443

1499

3943

5273

797

4273

2297

5297

773

4297

2273

523

5419

1523

3919

1213

4729

2213

3229

5987

83

4987

1583

5903

167

4903

1667

1129

4813

2129

3313

733

5209

1733

3709

5507

563

4507

2063

5483

587

4483

2087

709

5233

1709

3733

 

Рис. 9. Совершенный квадрат 8-го порядка из простых чисел (S = 24024)

 

Этот квадрат составлен из следующих простых чисел:

 

19  83  103  167  499  523  563  587  709  733  773  797  1019  1103  1129  1193  1213  1277  1499  1523  1583  1667  1709  1733  2063  2087  2129  2213  2273  2297  2693  2777  3229  3313  3709  3733  3793  3877  3919  3943  4273  4297  4339  4423  4483  4507  4729  4793  4813  4877  4903  4987  5209  5233  5273  5297  5419  5443  5483  5507  5839  5903  5923  5987

 

Очевидно, что эти числа не образуют арифметическую прогрессию. Понятно, что массив чисел, из которых составляется совершенный квадрат, должен состоять из комплементарных пар чисел. Приведённый массив состоит из  32 комплементарных пар простых чисел с суммой чисел в паре 6006.

Для совершенного квадрата 20-го порядка потенциальный массив чисел должен содержать не менее 200 комплементарных пар.

 

В заключение покажу пандиагональный квадрат 24-го порядка из простых чисел, который построен из 16 пандиагональных квадратов 6-го порядка с магической константой 18018 (рис. 10):

 

19

41

61

181

43

73

157

877

97

5857

139

4933

6053

6043

5867

5519

5927

347

5987

4409

5879

5657

5807

2099

173

271

421

1423

307

349

769

1429

5569

5527

487

1453

5659

5639

5531

4283

617

5573

5507

4493

5693

659

5303

4937

541

1069

1051

1459

829

1093

919

1489

733

5179

1009

4357

5393

5297

4967

1301

5333

2213

4799

5153

5189

3167

5273

4259

1471

1621

2203

2819

1777

2053

2767

1483

3967

2113

3727

4079

4691

4451

1997

2953

3323

3863

4523

5381

2789

3917

2801

1303

13

5843

5779

5437

6173

53

6089

4547

5849

5783

5147

1733

11

163

281

587

3733

1153

313

2371

2239

5023

409

3343

5717

5711

5653

5431

383

5623

5557

4363

449

523

4127

2843

5743

401

601

823

3637

1163

1283

2999

2089

4597

797

1559

5449

563

5407

673

5413

4657

5197

3919

4013

4423

3347

4943

631

521

751

1753

1493

3557

1439

2657

1019

4297

1877

4073

5171

5101

2381

3251

2287

3259

5477

6113

4093

2969

2063

2591

821

2011

4951

2411

1949

1319

2689

1193

3697

3359

457

2459

5851

5099

3517

1627

5683

3511

4201

4519

3109

577

1747

3079

149

5107

3539

1373

2003

1901

3911

3023

1223

1823

1103

4397

5309

937

1237

1669

4831

5443

4483

4339

4099

2593

4243

4027

127

929

1229

3467

1031

4583

3923

2543

2621

3533

2903

1973

997

5113

1447

3559

4273

3793

4861

4111

4729

1087

3739

2467

1013

977

2237

2687

3593

3677

4643

1613

3413

3371

1091

3581

2539

3313

3607

2069

3001

2389

1289

3701

2671

4159

3449

811

3719

3623

1321

2909

1697

2423

2341

4651

4391

2111

6011

3877

37

47

223

571

89

5669

29

1607

167

389

239

3851

5903

5881

5861

5741

5953

5923

5839

5119

5869

109

5827

1129

431

311

419

1667

5399

443

509

1523

353

5387

743

1109

5749

5791

5641

4639

5689

5647

5227

4567

397

439

5479

4513

557

653

983

4649

683

3803

1217

863

857

2879

773

1787

5521

4993

5011

4603

5167

4903

5077

4507

5233

787

4957

1609

1259

1499

3989

3049

2693

2153

1601

691

3257

2129

3137

4723

4591

4441

3823

3191

4219

3943

3121

4457

1999

3853

2347

1907

6091

5939

5821

5419

2083

4663

5503

3541

3907

1123

5737

2803

5897

67

131

569

23

6143

107

1553

17

83

719

4133

359

5701

5501

5279

2179

4793

4673

2957

4057

1409

5209

4447

193

199

257

479

5813

433

499

1693

5417

5483

1879

3163

5471

5581

5351

4349

4463

2399

4517

3299

4987

1709

4129

1933

461

5347

503

5237

643

1399

859

2137

1993

1583

2659

1063

5281

4091

1021

3643

4007

4637

3253

4703

2309

2647

5563

3571

739

809

3659

2707

3769

2797

593

3

1913

3037

3929

3391

6007

1049

2617

4783

3947

4049

2039

2927

4889

4289

5009

1619

5

757

2339

4229

379

2551

1861

1543

2791

5323

4153

2917

6029

5087

4787

2549

4919

1367

2027

3407

3491

2579

3209

4139

547

5059

4759

4327

1231

619

1579

1723

1801

3307

1657

1873

5003

5039

3779

3329

2357

2273

1307

4337

2699

2741

5021

2531

4999

883

4549

2437

1789

2269

1201

1951

1171

4813

2161

3433

2297

2393

4817

3187

4253

3527

3631

1327

1721

4001

79

2243

3457

2683

2267

3847

3061

3673

4751

2333

3229

1741

2473

5081

 

Рис. 10. Пандиагональный квадрат 24-го порядка из простых чисел (S = 72072)

 

Это самый большой пандиагональный квадрат из простых чисел, который мне удалось построить.

 

***

 

Уже дописав статью, решила попробовать построение пандиагонального квадрата 20-го порядка из различных простых чисел по решёткам Россера. Поскольку пандиагональные квадраты 4-го порядка строятся быстрее, чем 5-го порядка, начала с поиска 25 пандиагональных квадратов 4-го порядка. Сначала нашла подходящий набор комплементарных пар простых чисел. Понятно, что для построения 25 пандиагональных квадратов 4-го порядка требуется не менее 200 комплементарных пар. Выбрала набор, содержащий 241 пару комплементарных чисел, сумма чисел в паре равна 6510. Квадраты 4-го порядка, составленные из чисел этого набора, имеют магическую константу 13020. Набор оказался хорошим, построилось ровно 25 пандиагональных квадратов! 26-ой квадрат уже не составился, ну, он нам и не нужен.

 

Размещаем найденные 25 квадратов в решётки Россера, и пандиагональный квадрат 20-го порядка готов. Смотрите этот квадрат на рис. 11. Ничего не могу сказать о минимальности построенного квадрата, это первый такой квадрат. Для порядка 20 магическая константа не очень большая. Однако обычный наименьший магический квадрат 20-го порядка из простых чисел имеет магическую константу 25530. Вполне может быть, что существуют пандиагональные квадраты с меньшей магической константой, чем найденный мной квадрат.

 

41

137

149

19

37

6427

6343

6277

6449

6353

131

211

397

281

431

6421

6329

6197

6271

6199

557

29

367

59

173

5923

6121

6101

6163

6287

643

827

929

947

769

5897

6043

5623

5851

5791

419

571

631

853

919

6053

5801

5783

5573

5387

859

1229

857

1201

1487

5689

5419

5749

5393

5227

1061

1103

1231

661

1093

5323

5381

5231

5189

5273

1847

2293

1499

2281

1867

4789

4243

5059

4889

4787

1249

1277

1423

1889

1997

5051

4951

4931

4241

4373

2239

2309

2069

2731

2377

4481

4483

4597

4159

4273

241

337

607

683

773

6311

6203

5987

5869

5857

151

263

359

421

379

6317

6217

6067

6047

6011

1039

1301

1553

1697

1759

5501

5569

4999

5101

4801

953

503

991

809

1163

5527

5647

5477

5413

5297

1471

2087

2003

1871

2357

5077

4561

4603

4723

4357

1031

1429

1777

1523

1789

5441

4943

4637

4903

4517

2647

3823

2381

3709

3593

3989

2713

4177

3461

3061

1861

2633

2113

2089

2819

4523

3851

4349

3761

3547

3373

3253

3323

3583

3259

3347

3539

3343

3307

3391

2383

2221

2677

2741

2879

3917

4007

3677

3389

3491

6379

6299

6113

6229

6079

89

181

313

239

311

6469

6373

6361

6491

6473

83

167

233

61

157

5867

5683

5581

5563

5741

613

467

887

659

719

5953

6481

6143

6451

6337

587

389

409

347

223

5651

5281

5653

5309

5023

821

1091

761

1117

1283

6091

5939

5879

5657

5591

457

709

727

937

1123

4663

4217

5011

4229

4643

1721

2267

1451

1621

1723

5449

5407

5279

5849

5417

1187

1129

1279

1321

1237

4271

4201

4441

3779

4133

2029

2027

1913

2351

2237

5261

5233

5087

4621

4513

1459

1559

1579

2269

2137

6359

6247