Н. Макарова

 

СОВЕРШЕННЫЕ ЛАТИНСКИЕ КВАДРАТЫ

 

Часть II

 

Данная страница является продолжением страницы:

http://www.natalimak1.narod.ru/perfect1.htm

 

 

В предыдущей части статьи были построены совершенные латинские квадраты 4-го и 16-го порядков. Теперь построю совершенный латинский квадрат 25-го порядка (рис. 1):

 

0

5

10

15

20

1

6

11

16

21

2

7

12

17

22

3

8

13

18

23

4

9

14

19

24

2

7

12

17

22

3

8

13

18

23

4

9

14

19

24

0

5

10

15

20

1

6

11

16

21

4

9

14

19

24

0

5

10

15

20

1

6

11

16

21

2

7

12

17

22

3

8

13

18

23

1

6

11

16

21

2

7

12

17

22

3

8

13

18

23

4

9

14

19

24

0

5

10

15

20

3

8

13

18

23

4

9

14

19

24

0

5

10

15

20

1

6

11

16

21

2

7

12

17

22

10

15

20

0

5

11

16

21

1

6

12

17

22

2

7

13

18

23

3

8

14

19

24

4

9

12

17

22

2

7

13

18

23

3

8

14

19

24

4

9

10

15

20

0

5

11

16

21

1

6

14

19

24

4

9

10

15

20

0

5

11

16

21

1

6

12

17

22

2

7

13

18

23

3

8

11

16

21

1

6

12

17

22

2

7

13

18

23

3

8

14

19

24

4

9

10

15

20

0

5

13

18

23

3

8

14

19

24

4

9

10

15

20

0

5

11

16

21

1

6

12

17

22

2

7

20

0

5

10

15

21

1

6

11

16

22

2

7

12

17

23

3

8

13

18

24

4

9

14

19

22

2

7

12

17

23

3

8

13

18

24

4

9

14

19

20

0

5

10

15

21

1

6

11

16

24

4

9

14

19

20

0

5

10

15

21

1

6

11

16

22

2

7

12

17

23

3

8

13

18

21

1

6

11

16

22

2

7

12

17

23

3

8

13

18

24

4

9

14

19

20

0

5

10

15

23

3

8

13

18

24

4

9

14

19

20

0

5

10

15

21

1

6

11

16

22

2

7

12

17

5

10

15

20

0

6

11

16

21

1

7

12

17

22

2

8

13

18

23

3

9

14

19

24

4

7

12

17

22

2

8

13

18

23

3

9

14

19

24

4

5

10

15

20

0

6

11

16

21

1

9

14

19

24

4

5

10

15

20

0

6

11

16

21

1

7

12

17

22

2

8

13

18

23

3

6

11

16

21

1

7

12

17

22

2

8

13

18

23

3

9

14

19

24

4

5

10

15

20

0

8

13

18

23

3

9

14

19

24

4

5

10

15

20

0

6

11

16

21

1

7

12

17

22

2

15

20

0

5

10

16

21

1

6

11

17

22

2

7

12

18

23

3

8

13

19

24

4

9

14

17

22

2

7

12

18

23

3

8

13

19

24

4

9

14

15

20

0

5

10

16

21

1

6

11

19

24

4

9

14

15

20

0

5

10

16

21

1

6

11

17

22

2

7

12

18

23

3

8

13

16

21

1

6

11

17

22

2

7

12

18

23

3

8

13

19

24

4

9

14

15

20

0

5

10

18

23

3

8

13

19

24

4

9

14

15

20

0

5

10

16

21

1

6

11

17

22

2

7

12

 

Рис. 1

 

Этот совершенный латинский квадрат тоже построился легко, по аналогии с предыдущими квадратами. Квадрат обладает свойством пандиагональности. На рис. 2 вы видите ортогональный соквадрат для этого совершенного латинского квадрата.

 

0

5

10

15

20

1

6

11

16

21

2

7

12

17

22

3

8

13

18

23

4

9

14

19

24

3

8

13

18

23

4

9

14

19

24

0

5

10

15

20

1

6

11

16

21

2

7

12

17

22

1

6

11

16

21

2

7

12

17

22

3

8

13

18

23

4

9

14

19

24

0

5

10

15

20

4

9

14

19

24

0

5

10

15

20

1

6

11

16

21

2

7

12

17

22

3

8

13

18

23

2

7

12

17

22

3

8

13

18

23

4

9

14

19

24

0

5

10

15

20

1

6

11

16

21

15

20

0

5

10

16

21

1

6

11

17

22

2

7

12

18

23

3

8

13

19

24

4

9

14

18

23

3

8

13

19

24

4

9

14

15

20

0

5

10

16

21

1

6

11

17

22

2

7

12

16

21

1

6

11

17

22

2

7

12

18

23

3

8

13

19

24

4

9

14

15

20

0

5

10

19

24

4

9

14

15

20

0

5

10

16

21

1

6

11

17

22

2

7

12

18

23

3

8

13

17

22

2

7

12

18

23

3

8

13

19

24

4

9

14

15

20

0

5

10

16

21

1

6

11

5

10

15

20

0

6

11

16

21

1

7

12

17

22

2

8

13

18

23

3

9

14

19

24

4

8

13

18

23

3

9

14

19

24

4

5

10

15

20

0

6

11

16

21

1

7

12

17

22

2

6

11

16

21

1

7

12

17

22

2

8

13

18

23

3

9

14

19

24

4

5

10

15

20

0

9

14

19

24

4

5

10

15

20

0

6

11

16

21

1

7

12

17

22

2

8

13

18

23

3

7

12

17

22

2

8

13

18

23

3

9

14

19

24

4

5

10

15

20

0

6

11

16

21

1

20

0

5

10

15

21

1

6

11

16

22

2

7

12

17

23

3

8

13

18

24

4

9

14

19

23

3

8

13

18

24

4

9

14

19

20

0

5

10

15

21

1

6

11

16

22

2

7

12

17

21

1

6

11

16

22

2

7

12

17

23

3

8

13

18

24

4

9

14

19

20

0

5

10

15

24

4

9

14

19

20

0

5

10

15

21

1

6

11

16

22

2

7

12

17

23

3

8

13

18

22

2

7

12

17

23

3

8

13

18

24

4

9

14

19

20

0

5

10

15

21

1

6

11

16

10

15

20

0

5

11

16

21

1

6

12

17

22

2

7

13

18

23

3

8

14

19

24

4

9

13

18

23

3

8

14

19

24

4

9

10

15

20

0

5

11

16

21

1

6

12

17

22

2

7

11

16

21

1

6

12

17

22

2

7

13

18

23

3

8

14

19

24

4

9

10

15

20

0

5

14

19

24

4

9

10

15

20

0

5

11

16

21

1

6

12

17

22

2

7

13

18

23

3

8

12

17

22

2

7

13

18

23

3

8

14

19

24

4

9

10

15

20

0

5

11

16

21

1

6

 

Рис. 2

 

Этот латинский квадрат тоже является совершенным и обладает свойством пандиагональности. Покажу оба магических квадрата, построенные из данной пары ОЛК, составленной из совершенных латинских квадратов (рис. 3 – 4).

 

1

131

261

391

521

27

157

287

417

547

53

183

313

443

573

79

209

339

469

599

105

235

365

495

625

54

184

314

444

574

80

210

340

470

600

101

231

361

491

621

2

132

262

392

522

28

158

288

418

548

102

232

362

492

622

3

133

263

393

523

29

159

289

419

549

55

185

315

445

575

76

206

336

466

596

30

160

290

420

550

51

181

311

441

571

77

207

337

467

597

103

233

363

493

623

4

134

264

394

524

78

208

338

468

598

104

234

364

494

624

5

135

265

395

525

26

156

286

416

546

52

182

312

442

572

266

396

501

6

136

292

422

527

32

162

318

448

553

58

188

344

474

579

84

214

370

500

605

110

240

319

449

554

59

189

345

475

580

85

215

366

496

601

106

236

267

397

502

7

137

293

423

528

33

163

367

497

602

107

237

268

398

503

8

138

294

424

529

34

164

320

450

555

60

190

341

471

576

81

211

295

425

530

35

165

316

446

551

56

186

342

472

577

82

212

368

498

603

108

238

269

399

504

9

139

343

473

578

83

213

369

499

604

109

239

270

400

505

10

140

291

421

526

31

161

317

447

552

57

187

506

11

141

271

376

532

37

167

297

402

558

63

193

323

428

584

89

219

349

454

610

115

245

375

480

559

64

194

324

429

585

90

220

350

455

606

111

241

371

476

507

12

142

272

377

533

38

168

298

403

607

112

242

372

477

508

13

143

273

378

534

39

169

299

404

560

65

195

325

430

581

86

216

346

451

535

40

170

300

405

556

61

191

321

426

582

87

217

347

452

608

113

243

373

478

509

14

144

274

379

583

88

218

348

453

609

114

244

374

479

510

15

145

275

380

531

36

166

296

401

557

62

192

322

427

146

251

381

511

16

172

277

407

537

42

198

303

433

563

68

224

329

459

589

94

250

355

485

615

120

199

304

434

564

69

225

330

460

590

95

246

351

481

611

116

147

252

382

512

17

173

278

408

538

43

247

352

482

612

117

148

253

383

513

18

174

279

409

539

44

200

305

435

565

70

221

326

456

586

91

175

280

410

540

45

196

301

431

561

66

222

327

457

587

92

248

353

483

613

118

149

254

384

514

19

223

328

458

588

93

249

354

484

614

119

150

255

385

515

20

171

276

406

536

41

197

302

432

562

67

386

516

21

126

256

412

542

47

152

282

438

568

73

178

308

464

594

99

204

334

490

620

125

230

360

439

569

74

179

309

465

595

100

205

335

486

616

121

226

356

387

517

22

127

257

413

543

48

153

283

487

617

122

227

357

388

518

23

128

258

414

544

49

154

284

440

570

75

180

310

461

591

96

201

331

415

545

50

155

285

436

566

71

176

306

462

592

97

202

332

488

618

123

228

358

389

519

24

129

259

463

593

98

203

333

489

619

124

229

359

390

520

25

130

260

411

541

46

151

281

437

567

72

177

307

 

Рис. 3

 

 

1

131

261

391

521

27

157

287

417

547

53

183

313

443

573

79

209

339

469

599

105

235

365

495

625

78

208

338

468

598

104

234

364

494

624

5

135

265

395

525

26

156

286

416

546

52

182

312

442

572

30

160

290

420

550

51

181

311

441

571

77

207

337

467

597

103

233

363

493

623

4

134

264

394

524

102

232

362

492

622

3

133

263

393

523

29

159

289

419

549

55

185

315

445

575

76

206

336

466

596

54

184

314

444

574

80

210

340

470

600

101

231

361

491

621

2

132

262

392

522

28

158

288

418

548

386

516

21

126

256

412

542

47

152

282

438

568

73

178

308

464

594

99

204

334

490

620

125

230

360

463

593

98

203

333

489

619

124

229

359

390

520

25

130

260

411

541

46

151

281

437

567

72

177

307

415

545

50

155

285

436

566

71

176

306

462

592

97

202

332

488

618

123

228

358

389

519

24

129

259

487

617

122

227

357

388

518

23

128

258

414

544

49

154

284

440

570

75

180

310

461

591

96

201

331

439

569

74

179

309

465

595

100

205

335

486

616

121

226

356

387

517

22

127

257

413

543

48

153

283

146

251

381

511

16

172

277

407

537

42

198

303

433

563

68

224

329

459

589

94

250

355

485

615

120

223

328

458

588

93

249

354

484

614

119

150

255

385

515

20

171

276

406

536

41

197

302

432

562

67

175

280

410

540

45

196

301

431

561

66

222

327

457

587

92

248

353

483

613

118

149

254

384

514

19

247

352

482

612

117

148

253

383

513

18

174

279

409

539

44

200

305

435

565

70

221

326

456

586

91

199

304

434

564

69

225

330

460

590

95

246

351

481

611

116

147

252

382

512

17

173

278

408

538

43

506

11

141

271

376

532

37

167

297

402

558

63

193

323

428

584

89

219

349

454

610

115

245

375

480

583

88

218

348

453

609

114

244

374

479

510

15

145

275

380

531

36

166

296

401

557

62

192

322

427

535

40

170

300

405

556

61

191

321

426

582

87

217

347

452

608

113

243

373

478

509

14

144

274

379

607

112

242

372

477

508

13

143

273

378

534

39

169

299

404

560

65

195

325

430

581

86

216

346

451

559

64

194

324

429

585

90

220

350

455

606

111

241

371

476

507

12

142

272

377

533

38

168

298

403

266

396

501

6

136

292

422

527

32

162

318

448

553

58

188

344

474

579

84

214

370

500

605

110

240

343

473

578

83

213

369

499

604

109

239

270

400

505

10

140

291

421

526

31

161

317

447

552

57

187

295

425

530

35

165

316

446

551

56

186

342

472

577

82

212

368

498

603

108

238

269

399

504

9

139

367

497

602

107

237

268

398

503

8

138

294

424

529

34

164

320

450

555

60

190

341

471

576

81

211

319

449

554

59

189

345

475

580

85

215

366

496

601

106

236

267

397

502

7

137

293

423

528

33

163

 

Рис. 4

 

Интересные магические квадраты получились. Во-первых, они пандиагональные. Во-вторых, обладают таким же свойством, как и предыдущие магические квадраты, построенные из пар ОЛК, содержащих совершенные латинские квадраты: сумма чисел в любом квадрате 5х5, находящемся внутри этих квадратов, равна магической константе квадрата. Это свойство сохраняется при параллельном переносе на торе. На рис. 3 выделено цветом три таких квадратов 5х5. В квадрате на рис. 3 интересная начальная цепочка, в ней числа следуют строго по порядку (по строкам сверху вниз). Во втором магическом квадрате эта стройность нарушилась.

 

Итак, для порядков 4, 9, 16 и 25 совершенные латинские квадраты построены. Теперь переходим к порядку 36. И здесь у меня возникли сложности. Совершенный квадрат не получается! Я построила несколько вариантов квази-совершенных латинских квадратов данного порядка. Покажу здесь три варианта. Даже не знаю, существует ли вообще совершенный квадрат 36-го порядка.

На рис. 5 представлен первый латинский квадрат, который я построила в точной аналогии с предыдущими совершенными латинскими квадратами.

 

0

6

12

18

24

30

1

7

13

19

25

31

2

8

14

20

26

32

3

9

15

21

27

33

4

10

16

22

28

34

5

11

17

23

29

35

4

10

16

22

28

34

2

8

14

20

26

32

5

11

17

23

29

35

0

6

12

18

24

30

3

9

15

21

27

33

1

7

13

19

25

31

3

9

15

21

27

33

0

6

12

18

24

30

4

10

16

22

28

34

1

7

13

19

25

31

5

11

17

23

29

35

2

8

14

20

26

32

1

7

13

19

25

31

3

9

15

21

27

33

0

6

12

18

24

30

5

11

17

23

29

35

2

8

14

20

26

32

4

10

16

22

28

34

5

11

17

23

29

35

4

10

16

22

28

34

3

9

15

21

27

33

2

8

14

20

26

32

1

7

13

19

25

31

0

6

12

18

24

30

2

8

14

20

26

32

5

11

17

23

29

35

1

7

13

19

25

31

4

10

16

22

28

34

0

6

12

18

24

30

3

9

15

21

27

33

24

12

30

0

18

6

25

13

31

1

19

7

26

14

32

2

20

8

27

15

33

3

21

9

28

16

34

4

22

10

29

17

35

5

23

11

28

16

34

4

22

10

26

14

32

2

20

8

29

17

35

5

23

11

24

12

30

0

18

6

27

15

33

3

21

9

25

13

31

1

19

7

27

15

33

3

21

9

24

12

30

0

18

6

28

16

34

4

22

10

25

13

31

1

19

7

29

17

35

5

23

11

26

14

32

2

20

8

25

13

31

1

19

7

27

15

33

3

21

9

24

12

30

0

18

6

29

17

35

5

23

11

26

14

32

2

20

8

28

16

34

4

22

10

29

17

35

5

23

11

28

16

34

4

22

10

27

15

33

3

21

9

26

14

32

2

20

8

25

13

31

1

19

7

24

12

30

0

18

6

26

14

32

2

20

8

29

17

35

5

23

11

25

13

31

1

19

7

28

16

34

4

22

10

24

12

30

0

18

6

27

15

33

3

21

9

18

0

24

6

30

12

19

1

25

7

31

13

20

2

26

8

32

14

21

3

27

9

33

15

22

4

28

10

34

16

23

5

29

11

35

17

22

4

28

10

34

16

20

2

26

8

32

14

23

5

29

11

35

17

18

0

24

6

30

12

21

3

27

9

33

15

19

1

25

7

31

13

21

3

27

9

33

15

18

0

24

6

30

12

22

4

28

10

34

16

19

1

25

7

31

13

23

5

29

11

35

17

20

2

26

8

32

14

19

1

25

7

31

13

21

3

27

9

33

15

18

0

24

6

30

12

23

5

29

11

35

17

20

2

26

8

32

14

22

4

28

10

34

16

23

5

29

11

35

17

22

4

28

10

34

16

21

3

27

9

33

15

20

2

26

8

32

14

19

1

25

7

31

13

18

0

24