ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ

 

Часть I

 

Глава 1. Основные преобразования

 

Преобразования магических квадратов – фундаментальная тема. Во всех моих статьях вы найдёте те или иные преобразования. Я решила написать специальную статью, посвящённую преобразованиям магических квадратов, в которой постараюсь подробно рассказать обо всех известных мне преобразованиях.

Начать надо, конечно же, с основных преобразований. Таких преобразований семь, они применимы ко всем магическим квадратам и даже к полумагическим квадратам. Возьму для демонстрации основных преобразований идеальный магический квадрат 5-ого порядка, изображённый на рис. 1.

 

1

23

10

14

17

15

19

2

21

8

22

6

13

20

4

18

5

24

7

11

9

12

16

3

25

 

Рис. 1

 

Этот квадрат ассоциативный и пандиагональный. Сейчас вы увидите, что основные преобразования магического квадрата сохраняют эти свойства, то есть квадраты, получающиеся в результате этих преобразований, тоже обладают свойствами ассоциативности и пандиагональности. Основные преобразования называют ещё поворотами и отражениями. Далее перечислены все основные преобразования и показаны магические квадраты, полученные из исходного квадрата с рис. 1 в результате применения к нему этих преобразований.

 

1.      Поворот вокруг центра квадрата на 90 градусов по часовой стрелке (рис. 2):

 

9

18

22

15

1

12

5

6

19

23

16

24

13

2

10

3

7

20

21

14

25

11

4

8

17

 

Рис. 2

 

2.      Поворот вокруг центра квадрата на 180 градусов (рис. 3):

 

25

3

16

12

9

11

7

24

5

18

4

20

13

6

22

8

21

2

19

15

17

14

10

23

1

 

Рис. 3

 

Очевидно, что в случае поворота на 180 градусов направление поворота (по часовой стрелке или против часовой стрелки) не имеет значения.

 

3.      Поворот вокруг центра квадрата на 270 градусов по часовой стрелке (рис. 4):

 

17

8

4

11

25

14

21

20

7

3

10

2

13

24

16

23

19

6

5

12

1

15

22

18

9

 

Рис. 4

 

4.      Отражение относительно горизонтальной оси симметрии квадрата (рис. 5):

 

9

12

16

3

25

18

5

24

7

11

22

6

13

20

4

15

19

2

21

8

1

23

10

14

17

 

Рис. 5

 

5.      Отражение относительно вертикальной оси симметрии квадрата (рис. 6):

 

17

14

10

23

1

8

21

2

19

15

4

20

13

6

22

11

7

24

5

18

25

3

16

12

9

 

Рис. 6

 

6.      Это преобразование представляет собой комбинацию двух преобразований - № 1 и № 5, то есть сначала квадрат поворачивается вокруг центра на 90 градусов по часовой стрелке, а затем отражается относительно вертикальной оси симметрии. Получившийся в результате таких преобразований квадрат показан на рис. 7.

 

1

15

22

18

9

23

19

6

5

12

10

2

13

24

16

14

21

20

7

3

17

8

4

11

25

 

Рис. 7

 

Можно рассматривать это преобразование и как комбинацию преобразований № 3 и № 4. А ещё его можно рассматривать как отражение относительной главной диагонали исходного квадрата (см. рис. 8).

 

1

23

10

14

17

15

19

2

21

8

22

6

13

20

4

18

5

24

7

11

9

12

16

3

25

 

Рис. 8

 

На рис. 8 оранжевым цветом выделена главная диагональ, относительно которой происходит отражение. Раскрашены одинаковым цветом ячейки, симметрично расположенные относительно данной главной диагонали. Числа в этих ячейках меняются местами.

 

7.      Это преобразование представляет собой комбинацию двух преобразований - № 1 и № 4, то есть сначала квадрат поворачивается на 90 градусов по часовой стрелке, а затем отражается относительно горизонтальной оси симметрии (рис. 9).

 

25

11

4

8

17

3

7

20

21

14

16

24

13

2

10

12

5

6

19

23

9

18

22

15

1

 

Рис. 9

 

Можно также рассматривать это преобразование как комбинацию преобразований № 3 и № 5.  А ещё его можно рассматривать как отражение относительно второй главной диагонали исходного квадрата (см. рис. 10).

 

1

23

10

14

17

15

19

2

21

8

22

6

13

20

4

18

5

24

7

11

9

12

16

3

25

 

Рис. 10

 

                        Раскраска аналогична рис. 8.

 

Легко убедиться, что все полученные квадраты ассоциативные и пандиагональные, то есть идеальные.

 

Магические квадраты, получающиеся друг из друга одним из основных преобразований либо комбинацией нескольких основных преобразований, называются эквивалентными, а сами основные преобразования относятся к классу эквивалентных преобразований. Ещё к этому классу относятся торические преобразования, о которых будет рассказано далее. В книге М. Гарднера “Путешествие во времени” (М.: Мир, 1990) эквивалентные квадраты называются изоморфными.

 

Итак, каждый магический квадрат имеет семь эквивалентных (изоморфных) вариантов. Если рассматривают некоторую группу магических квадратов, в которой отсутствуют эквивалентные квадраты, о такой группе магических квадратов говорят, что она задана с учётом основных преобразований (или с учётом поворотов и отражений). Например, магический квадрат третьего порядка всего один с учётом основных преобразований. Ещё пример:  группа идеальных квадратов 5-ого порядка, один из которых представлен здесь, состоит из 16 квадратов с учётом основных преобразований. В указанной выше книге М. Гарднера приводится такое количество всех магических квадратов пятого порядка: “С точностью до поворотов и отражений существует 275305224 магических квадратов порядка 5”. Представьте: из такого огромного количества квадратов только 16 идеальных! Магических квадратов 4-ого порядка с точностью до основных преобразований существует 880. Из них 48 пандиагональных и 48 ассоциативных. А вот с точностью до торических преобразований, о которых будет рассказано далее, пандиагональных квадратов 4-ого порядка только 3. Пандиагональных квадратов 5-ого порядка существует 3600 с учётом поворотов и отражений, а с учётом торических преобразований их только 144.

 

Выше было сказано, что основные преобразования применимы и к полумагическим квадратам. Покажу только один пример. В качестве исходного возьму полумагический квадрат Франклина 8-ого порядка (рис. 11).

 

52

61

4

13

20

29

36

45

14

3

62

51

46

35

30

19

53

60

5

12

21

28

37

44

11

6

59

54

43

38

27

22

55

58

7

10

23

26

39

42

9

8

57

56

41

40

25

24

50

63

2

15

18

31

34

47

16

1

64

49

48

33

32

17

 

Рис. 11

 

Применим к этому полумагическому квадрату основное преобразование № 7. Получившийся квадрат вы видите на рис. 12.

 

17

47

24

42

22

44

19

45

32

34

25

39

27

37

30

36

33

31

40

26

38

28

35

29

48

18

41

23

43

21

46

20

49

15

56

10

54

12

51

13

64

2

57

7

59

5

62

4

1

63

8

58

6

60

3

61

16

50

9

55

11

53

14

52

 

Рис. 12

 

Очевидно, что квадрат остался полумагическим.

 

Основные преобразования превращают также бимагический квадрат в бимагический, потому что эти преобразования не изменяют наборов чисел в строках, в столбцах и в главных диагоналях квадрата, а этого достаточно для того, чтобы квадрат оставался бимагическим в результате таких преобразований.

 

Глава 2. Торические преобразования

 

Торические преобразования или преобразования параллельного переноса на торе применимы только к пандиагональным магическим квадратам. Ещё существует небольшая группа дьявольски полумагических квадратов Франклина, к которым тоже применимы торические преобразования.

Преобразование параллельного переноса на торе по одной оси легко выполнить так: сверните магический квадрат в трубочку, склейте его края, например, левый и правый. Затем разрежьте трубочку по вертикали в другом месте (не там, где склеены края) и разверните квадрат. Вы получите новый пандиагональный квадрат. Если склеить нижний и верхний края квадрата и разрезать трубочку по горизонтали, то получится параллельный перенос по другой оси. Можно выполнить параллельный перенос одновременно по обеим осям.

Любой пандиагональный магический квадрат порядка n образует группу из n2 пандиагональных квадратов, получаемых друг их друга торическими преобразованиями. Как уже было сказано выше, торические преобразования относятся к классу эквивалентных преобразований.

 

Ещё проще представить торические преобразования на магической плоскости. Такая плоскость получится, если расположить на плоскости бесконечное количество копий одного и того же пандиагонального квадрата. Возьмём для примера следующий пандиагональный квадрат 5-ого порядка (рис. 13):

 

1

7

20

14

23

15

24

3

6

17

8

16

12

25

4

22

5

9

18

11

19

13

21

2

10

 

Рис. 13

 

Изобразим магическую плоскость с помощью этого пандиагонального квадрата (рис. 14):

 

13

21

2

10

19

13

21

2

10

19

13

21

2

10

19

13

21

7

20

14

23

1

7

20

14

23

1

7

20

14

23

1

7

20

24

3

6

17

15

24

3

6

17

15

24

3

6

17

15

24

3

16

12

25

4

8

16

12

25

4

8

16

12

25

4

8

16

12

5

9

18

11

22

5

9

18

11

22

5

9

18

11

22

5

9

13

21

2

10

19

13

21

2

10

19

13

21

2

10

19

13

21

7

20

14

23

1

7

20

14

23

1

7

20

14

23

1

7

20

24

3

6

17

15

24

3

6

17

15

24

3

6

17

15

24

3

16

12

25

4

8

16

12

25

4

8

16

12

25

4

8

16

12

5

9

18

11

22

5

9

18

11

22

5

9

18

11

22

5

9

13

21

2

10

19

13

21

2

10

19

13

21

2

10

19

13

21

7

20

14

23

1

7

20

14

23

1

7

20

14

23

1

7

20

24

3

6

17

15

24

3

6

17

15

24

3

6

17

15

24

3

16

12

25

4

8

16

12

25

4

8

16

12

25

4

8

16

12

5

9

18

11

22

5

9

18

11

22

5

9

18

11

22

5

9

13

21

2

10

19

13

21

2

10

19

13

21

2

10

19

13

21

5

9

18

11

1

7

20

14

23

1

7

20

14

23

1

7

20

13

21

2

10

15

24

3

6

17

15

24

3

6

17

15

24

3

 

Рис. 14

 

Плоскость можно продолжать бесконечно во всех направлениях: вверх, вниз, влево, вправо. Любой квадрат 5х5 на этой плоскости будет пандиагональным. В группе из 25 пандиагональных квадратов 5-ого порядка, образуемой одним пандиагональным квадратом, имеются квадраты, начинающиеся с каждого из чисел от 1 до 25. На магической плоскости можно очертить все эти 25 квадратов. Например, на рисунке выделены квадраты, начинающиеся с чисел 1, 3, 6, 20, 24, 25.

 

Интересно привести пример из указанной выше книги М. Гарднера. Автор использует для построения магической плоскости идеальный квадрат 5-ого порядка, изображённый на рис. 15.

 

1

15

24

8

17

23

7

16

5

14

20

4

13

22

6

12

21

10

19

3

9

18

2

11

25

 

Рис. 15

 

Правда, в книге идеальный квадрат называется пандиагональ-ассоциативным. Ну, это, по-моему, изобретение переводчика.

Цитата из книги:

 

“Если замостить всю плоскость этим магическим квадратом, то, очертив в любом месте квадрат размером 5 клеток на 5, мы непременно получим магический квадрат, хотя и не обязательно ассоциативный.  Для того чтобы квадрат был ассоциативным, в его центральной клетке должно стоять число 13”.

 

Тут следует добавить, что мы непременно получим пандиагональный магический квадрат. А вот ассоциативность при торических преобразованиях нарушается, а, следовательно, торические преобразования не всегда сохраняют идеальность квадрата. На рис. 16 показана магическая плоскость, построенная автором книги с помощью квадрата с рис. 15.

 

1

15

24

8

17

1

15

24

8

17

1

15

24

8

17

23

7

16

5

14

23

7

16

5

14

23

7

16

5

14

20

4

13

22

6

20

4

13

22

6

20

4

13

22

6

12

21

10

19

3

12

21

10

19

3

12

21

10

19

3

9

18

2

11

25

9

18

2

11

25

9

18

2

11

25

1

15

24

8

17

1

15

24

8

17

1

15

24

8

17

23

7

16

5

14

23

7

16

5

14

23

7

16

5

14

20

4

13

22

6

20

4

13

22

6

20

4

13

22

6

12

21

10

19

3

12

21

10

19

3

12

21

10

19

3

9

18

2

11

25

9

18

2

11

25

9

18

2

11

25

1

15

24

8

17

1

15

24

8

17

1

15

24

8

17

23

7

16

5

14

23

7

16

5

14

23

7

16

5

14

20

4

13

22

6

20

4

13

22

6

20

4

13

22

6

12

21

10

19

3

12

21

10

19

3

12

21

10

19

3

9

18

2

11

25

9

18

2

11

25

9

18

2

11

25

 

Рис. 16

 

Но самой замечательной является совершенная плоскость. Это плоскость, заполненная копиями совершенного квадрата, например, 4-ого порядка. На рис. 17 вы видите совершенную плоскость. Любой квадрат 4х4 на этой плоскости является совершенным.

 

11

5

4

14

11

5

4

14

11

5

4

14

11

5

4

14

11

5

4

8

10

15

1

8

10

15

1

8

10

15

1

8

10

15

1

8

10

15

13

3

6

12

13

3

6

12

13

3

6

12

13

3

6

12

13

3

6

2

16

9

7

2

16

9

7

2

16

9

7

2

16

9

7

2

16

9

11

5

4

14

11

5

4

14

11

5

4

14

11

5

4

14

11

5

4

8

10

15

1

8

10

15

1

8

10

15

1

8

10

15

1

8

10

15

13

3

6

12

13

3

6

12

13

3

6

12

13

3

6

12

13

3

6

2

16

9

7

2

16

9

7

2

16

9

7

2

16

9

7

2

16

9

11

5

4

14

11

5

4

14

11

5

4

14

11

5

4

14

11

5

4

8

10

15

1

8

10

15

1

8

10

15

1

8

10

15

1

8

10

15

13

3

6

12

13

3

6

12

13

3

6

12

13

3

6

12

13

3

6

2

16

9

7

2

16

9

7

2

16

9

7

2

16

9

7

2

16

9

11

5

4

14

11

5

4

14

11

5

4

14

11

5

4

14

11

5

4

8

10

15

1

8

10

15

1

8

10

15

1

8

10

15

1

8

10

15

13

3

6

12

13

3

6

12

13

3

6

12

13

3

6

12

13

3

6

 

Рис. 17

 

Любой пандиагональный квадрат 4-ого порядка образует группу из 16 пандиагональных квадратов, получающихся друг из друга торическими преобразованиями. Эти квадраты начинаются с чисел от 1 до 16. Все эти квадраты легко очертить на совершенной плоскости, изображённой на рис. 17. Как уже сказано выше, с учётом торических преобразований пандиагональных квадратов 4-ого порядка всего 3. Следовательно, существует только три совершенные плоскости, заполненные копиями пандиагонального квадрата 4-ого порядка. Одна из них изображена на рис. 17.

 

Вспомнила, что о совершенной плоскости я писала в своей статье о совершенных магических квадратах:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/soversh2.htm

 

В этой статье есть понятие ядра совершенной плоскости. На рис. 18 вы видите ещё одну совершенную плоскость, заполненную копиями другого пандиагонального квадрата 4-ого порядка. На этой плоскости выделено ядро, это квадрат размером 7х7 (размер ядра для совершенной плоскости порядка n равен 2n-1), который содержит все 16 совершенных квадратов, получаемых друг из друга торическими преобразованиями. Ядро может быть расположено в любом месте плоскости.

 

1

8

13

12

1

8

13

12

1

8

13

12

14

11

2

7

14

11

2

7

14

11

2

7

4

5

16

9

4

5

16

9

4

5

16

9

15

10

3

6

15

10

3

6

15

10

3

6

1

8

13

12

1

8

13

12

1

8

13

12

14

11

2

7

14

11

2

7

14

11

2

7

4

5

16

9

4

5

16

9

4

5

16

9

15

10

3

6

15

10

3

6

15

10

3

6

1

8

13

12

1

8

13

12

1

8

13

12

14

11

2

7

14

11

2

7

14

11

2

7

4

5

16

9

4

5

16

9

4

5

16

9

15

10

3

6

15

10

3

6

15

10

3

6

 

Рис. 18

 

Примечание: понятие ядра применимо и к магической плоскости.

 

Аналогично можно составить совершенную плоскость любого порядка n=4k.

Покажу ещё совершенную плоскость восьмого порядка (рис. 19).

 

1

32

17

16

57

40

41

56

1

32

17

16

57

40

41

56

1

32

17

16

58

39

42

55

2

31

18

15

58

39

42

55

2

31

18

15

58

39

42

55

3

30

19

14

59

38

43

54

3

30

19

14

59

38

43

54

3

30

19

14

60

37

44

53

4

29

20

13

60

37

44

53

4

29

20

13

60

37

44

53

8

25

24

9

64

33

48

49

8

25

24

9

64

33

48

49

8

25

24

9

63

34

47

50

7

26

23

10

63

34

47

50

7

26

23

10

63

34

47

50

6

27

22

11

62

35

46

51

6

27

22

11

62

35

46

51

6

27

22

11

61

36

45

52

5

28

21

12

61

36

45

52

5

28

21

12

61

36

45

52

1

32

17

16

57

40

41

56

1

32

17

16

57

40

41

56

1

32

17

16

58

39

42

55

2

31

18

15

58

39

42

55

2

31

18

15

58

39

42

55

3

30

19

14

59

38

43

54

3

30

19

14

59

38

43

54

3

30

19

14

60

37

44

53

4

29

20

13

60

37

44

53

4

29

20

13

60

37

44

53

8

25

24

9

64

33

48

49

8

25

24

9

64

33

48

49

8

25

24

9

63

34

47

50

7

26

23

10

63

34

47

50

7

26

23

10

63

34

47

50

6

27

22

11

62

35

46

51

6

27

22

11

62

35

46

51

6

27

22

11

61

36

45

52

5

28

21

12

61

36

45

52

5

28

21

12

61

36

45

52

1

32

17

16

57

40

41

56

1

32

17

16

57

40

41

56

1

32

17

16

58

39

42

55

2

31

18

15

58

39

42

55

2

31

18

15

58

39

42

55

3

30

19

14

59

38

43

54

3

30

19

14

59

38

43

54

3

30

19

14

60

37

44

53

4

29

20

13

60

37

44

53

4

29

20

13

60

37

44

53

8

25

24

9

64

33

48

49

8

25

24

9

64

33

48

49

8

25

24

9

63

34

47

50

7

26

23

10

63

34

47

50

7

26

23

10

63

34

47

50

6

27

22

11

62

35

46

51

6

27

22

11

62

35

46

51

6

27

22

11

61

36

45

52

5

28

21

12

61

36

45

52

5

28

21

12

61

36

45

52

1

32

17

16

57

40

41

56

1

32

17

16

57

40

41

56

1

32

17

16

58

39

42

55

2

31

18

15

58

39

42

55

2

31

18

15

58

39

42

55

 

Рис. 19

 

Голубым цветом выделено ядро этой совершенной плоскости – квадрат 15х15. В этом ядре очерчено несколько совершенных квадратов, полученных из основного совершенного квадрата торическими преобразованиями. Совершенный квадрат 8-ого порядка образует группу из 64 совершенных квадратов, все эти квадраты можно очертить в ядре совершенной плоскости, заполненной копиями исходного совершенного квадрата.

 

В идеальных квадратах порядка n=4k торические преобразования иногда сохраняют идеальность квадрата, то есть не нарушают ассоциативность. Приведу пример. Возьмём в качестве исходного квадрата идеальный квадрат 12-ого порядка, изображённый на рис. 20.

 

1

96

31

100

123

77

11

86

32

106

129

78

117

54

133

72

19

40

111

53

143

62

20

46

104

130

81

6

85

36

103

124

75

5

95

26

71

14

44

118

57

138

61

24

43

112

51

137

3

89

35

98

128

82

9

90

25

108

127

76

115

52

135

65

23

38

116

58

141

66

13

48

97

132

79

4

87

29

107

122

80

10

93

30

69

18

37

120

55

136

63

17

47

110

56

142

8

94

33

102

121

84

7

88

27

101

131

74

119

50

140

70

21

42

109

60

139

64

15

41

99

125

83

2

92

34

105

126

73

12

91

28

67

16

39

113

59

134

68

22

45

114

49

144

 

                                                     Рис. 20

 

Этот квадрат можно перенести на торе так, что он останется идеальным, то есть новый квадрат обладает свойствами и пандиагональности (это свойство сохраняется при любом параллельном переносе на торе идеального квадрата), и ассоциативности. На рис. 21 показан один из вариантов. Другие варианты параллельных переносов на торе данного квадрата, сохраняющих идеальность, предлагаю сделать читателям.

 

107

122

80

10

93

30

97

132

79

4

87

29

63

17

47

110

56

142

69

18

37

120

55

136

7

88

27

101

131

74

8

94

33

102

121

84

109

60

139

64

15

41

119

50

140

70

21

42

105

126

73

12

91

28

99

125

83

2

92

34

68

22

45

114

49

144

67

16

39

113

59

134

11

86

32

106

129

78

1

96

31

100

123

77

111

53

143

62

20

46

117

54

133

72

19

40

103

124

75

5

95

26

104

130

81

6

85

36

61

24

43

112

51

137

71

14

44

118

57

138

9

90

25

108

127

76

3

89

35

98

128

82

116

58

141

66

13

48

115

52

135

65

23

38

 

                                                     Рис. 21

 

Теперь покажу применение торических преобразований к одному из дьявольски полумагических квадратов Франклина 8-ого порядка. Термин “дьявольски полумагический” придуман мной. Я назвала так полумагические квадраты Франклина как раз за это чудесное свойство: они остаются полумагическими с теми же суммами по главным диагоналям при любом параллельном переносе на торе. По аналогии с магической плоскостью мы можем говорить в этом случае о дьявольски полумагической плоскости. Понятно, что эта плоскость заполняется копиями дьявольски полумагического квадрата. На рис. 22 показана такая плоскость, заполненная дьявольски полумагическим квадратом Франклина 8-ого порядка.

 

35

29

44

22

39

25

48

18

35

29

44

22

39

25

48

18

35

29

44

62

4

53

11

58

8

49

15

62

4

53

11

58

8

49

15

62

4

53

51

13

60

6

55

9

64

2

51

13

60

6

55

9

64

2

51

13

60

14

52

5

59

10

56

1

63

14

52

5

59

10

56

1

63

14

52

5

3

61

12

54

7

57

16

50

3

61

12

54

7

57

16

50

3

61

12

30

36

21

43

26

40

17

47

30

36

21

43

26

40

17

47

30

36

21

19

45

28

38

23

41

32

34

19

45

28

38

23

41

32

34

19

45

28

46

20

37

27

42

24

33

31

46

20

37

27

42

24

33

31

46

20

37

35

29

44

22

39

25

48

18

35

29

44

22

39

25

48

18

35

29

44

62

4

53

11

58

8

49

15

62

4

53

11

58

8

49

15

62

4

53

51

13

60

6

55

9

64

2

51

13

60

6

55

9

64

2

51

13

60

14

52

5

59

10

56

1

63

14

52

5

59

10

56

1

63

14

52

5

3

61

12

54

7

57

16

50

3

61

12

54

7

57

16

50

3

61

12

30

36

21

43

26

40

17

47

30

36

21

43

26

40

17

47

30

36

21

19

45

28

38

23

41

32

34

19

45

28

38

23

41

32

34

19

45

28

46

20

37

27

42

24

33

31

46

20

37

27

42

24

33

31

46

20

37

35

29

44

22

39

25

48

18

35

29

44

22

39

25

48

18

35

29

44

62

4

53

11

58

8

49

15

62

4

53

11

58

8

49

15

62

4

53

51

13

60

6

55

9

64

2

51

13

60

6

55

9

64

2

51

13

60

 

Рис. 22

 

В квадрате выделен исходный полумагический квадрат Франклина и очерчено несколько полумагических квадратов, получаемых из исходного торическими преобразованиями. Точно так же группа этого полумагического квадрата будет содержать 64 полумагических квадрата, считая исходный квадрат. Проверьте суммы чисел в главных диагоналях очерченных квадратов и убедитесь, что они совпадают с двумя значениями: 252 и 268.

Интересно отметить, что по аналогии с дьявольски полумагическими квадратами Франклина 8-ого и 16-ого порядка я построила дьявольски полумагические квадраты других порядков n=4k. Читайте об этом в статье “Квадраты Франклина”:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/franklin.htm

 

А вот идеальный квадрат 8-ого порядка, построенный по схеме Франклина, заложенной в его пандиагональном квадрате 16-ого порядка (рис. 23):

 

1

56

49

47

42

31

26

8

62

11

14

20

21

36

37

59

4

30

27

46

43

53

52

5

63

33

40

17

24

10

15

58

7

50

55

41

48

25

32

2

60

13

12

22

19

38

35

61

6

28

29

44

45

51

54

3

57

39

34

23

18

16

9

64

 

Рис. 23

 

Нетрудно увидеть, что этот идеальный квадрат тоже можно перенести на торе так, что он останется идеальным. На рис. 24 показан один из вариантов такого переноса.

 

48

25

32

2

7

50

55

41

19

38

35

61

60

13

12

22

45

51

54

3

6

28

29

44

18

16

9

64

57

39

34

23

42

31

26

8

1

56

49

47

21

36

37

59

62

11

14

20

43

53

52

5

4

30

27

46

24

10

15

58

63

33

40

17

 

Рис. 24

 

Кстати, магическая плоскость, заполненная копиями пандиагонального квадрата Франклина 16-ого порядка, будет обладать интересными свойствами, которые присущи этому квадрату. Назовём эту плоскость магической плоскостью Франклина (рис. 25).

 

144

113

130

125

142

115

132

123

140

117

134

121

138

119

136

127

144

113

130

125

142

129

128

143

116

131

126

141

118

133

124

139

120

135

122

137

114

129

128

143

116

131

255

2

241

14

253

4

243

12

251

6

245

10

249

8

247

16

255

2

241

14

253

242

15

256

3

244

13

254

5

246

11

252

7

248

9

250

1

242

15

256

3

244

31

226

17

238

29

228

19

236

27

230

21

234

25

232

23

240

31

226

17

238

29

18

239

32

227

20

237

30

229

22

235

28

231

24

233

26

225

18

239

32

227

20

48

209

34

221

46

211

36

219

44

213

38

217

42

215

40

223

48

209

34

221

46

33

224

47

212

35

222

45

214

37

220

43

216

39

218

41

210

33

224

47

212

35

208

49

194

61

206

51

196

59

204

53

198

57

202

55

200

63

208

49

194

61

206

193

64

207

52

195

62

205

54

197

60

203

56

199

58

201

50

193

64

207

52

195

191

66

177

78

189

68

179

76

187

70

181

74

185

72

183

80

191

66

177

78

189

178

79

192

67

180

77

190

69

182

75

188

71

184

73

186

65

178

79

192

67

180

95

162

81

174

93

164

83

172

91

166

85

170

89

168

87

176

95

162

81

174

93

82

175

96

163

84

173

94

165

86

171

92

167

88

169

90

161

82

175

96

163

84

112

145

98

157

110

147