ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ

 

Часть IV

 

Глава 11. М-преобразования

 

М-преобразования описываются по книге Ю. В. Чебракова “Магические квадраты. Теория чисел, алгебра, комбинаторный анализ” (С.–Петербург, 1995).

 

М-преобразования относятся к группе преобразований, связанных с перестановками строк и столбцов. Некоторые преобразования этой группы были рассмотрены в предыдущей части. В отличие от рассмотренных ранее преобразований перестановок строк и столбцов М-преобразования применимы к любым магическим квадратам порядка n>3.

М-преобразования различают двух видов.

Первый вид М-преобразований: перестановка двух строк с номерами i и n+1-i и последующая перестановка двух столбцов с теми же номерами.

Приведём пример. В качестве исходного квадрата возьмём магический квадрат 5-го порядка (рис. 1).

 

1

8

17

14

25

22

24

10

6

3

15

16

13

2

19

18

12

4

20

11

9

5

21

23

7

 

Рис. 1

 

Понятно, что преобразование выполняется в два этапа: сначала перестановка строк, затем перестановка столбцов с теми же номерами. Можно выполнять преобразование в обратном порядке: сначала переставить столбцы, а затем строки с теми же номерами. Будем начинать с перестановки строк.

В квадрате 5-го порядка существует две пары строк с симметричными номерами: первая и пятая, вторая и четвёртая. Выберем для перестановки вторую и четвёртую строки. Обратите внимание на то, что квадрат, получающийся после первого этапа, не является магическим, в нём нет магической суммы чисел в главных диагоналях, то есть он является полумагическим. На рис. 2 слева показан полумагический квадрат, полученный в результате выполнения первого этапа –  перестановки в квадрате с рис. 1 второй и четвёртой строк, а справа изображён магический квадрат, полученный в результате выполнения второго этапа – перестановки второго и четвёртого столбцов.

 

1

8

17

14

25

 

1

14

17

8

25

18

12

4

20

11

18

20

4

12

11

15

16

13

2

19

à

15

2

13

16

19

22

24

10

6

3

 

22

6

10

24

3

9

5

21

23

7

9

23

21

5

7

 

Рис. 2

 

Покажу ещё один пример – для магического квадрата 6-го порядка. Исходный квадрат изображён на рис. 3.

 

29

7

6

20

25

24

9

32

1

27

23

19

31

3

8

22

21

26

2

34

33

11

16

15

36

5

28

18

14

10

4

30

35

13

12

17

 

Рис. 3

 

Понятно, что в квадрате 6-го порядка существует три пары симметричных строк. Выберем для перестановки вторую и пятую строки. На рис. 4 вы видите два квадрата, левый квадрат получен в результате первого этапа преобразования, правый квадрат получен в результате второго этапа.

 

29

7

6

20

25

24

 

29

25

6

20

7

24

36

5

28

18

14

10

36

14

28

18

5

10

31

3

8

22

21

26

 

31

21

8

22

3

26

2

34

33

11

16

15

à

2

16

33

11

34

15

9

32

1

27

23

19

 

9

23

1

27

32

19

4

30

35

13

12

17

4

12

35

13

30

17

 

Рис. 4

 

Второй вид М-преобразований: перестановка двух пар строк, имеющих соответственно номера i, j и (n+1-i), (n+1-j) и последующая перестановка двух пар столбцов с теми же номерами.

Рассмотрим данное преобразование на примере того же магического квадрата 6-го порядка с рис. 3.  Выберем для перестановки следующие две пары строк: первую и третью, шестую и четвёртую. Обратите внимание: здесь переставляются не симметричные строки между собой (как в М-преобразованиях первого вида), а строка первая переставляется со строкой третьей и соответственно переставляется пара симметричных данным строк – шестая и четвёртая.

На рис. 5 показан первый этап преобразования. Слева изображён исходный квадрат, справа – квадрат, полученный в результате перестановки строк.

 

29

7

6

20

25

24

 

31

3

8

22

21

26

9

32

1

27

23

19

9

32

1

27

23

19

31

3

8

22

21

26

 

29

7

6

20

25

24

2

34

33

11

16

15

à

4

30

35

13

12

17

36

5

28

18

14

10

 

36

5

28

18

14

10

4

30

35

13

12

17

2

34

33

11

16

15

 

Рис. 5

 

Здесь случайно промежуточный квадрат оказался магическим.

 

На рис. 6 показан второй этап преобразования – перестановка столбцов с теми же номерами.

 

31

3

8

22

21

26

 

8

3

31

26

21

22

9

32

1

27

23

19

1

32

9

19

23

27

29

7

6

20

25

24

 

6

7

29

24

25

20

4

30

35

13

12

17

à

35

30

4

17

12

13

36

5

28

18

14

10

 

28

5

36

10

14

18

2

34

33

11

16

15

33

34

2

15

16

11

 

Рис. 6

 

В книге приводится формула, по которой можно посчитать, сколько квадратов будет в группе квадратов, полученных М-преобразованиями обоих видов из одного магического квадрата порядка n, считая исходный квадрат. Вот эта формула (q – количество квадратов в группе, образованной М-преобразованиями):

 

q = [n/2]*{(2[n/2] - 2)!!}

 

(символ а!! означает произведение всех натуральных чисел, не превосходящих числа а и совпадающих с ним по чётности). Ниже приводится таблица значений q для магических квадратов порядков 4 – 13:

 

n

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

q

4

4

24

24

192

192

1920

1920

23040

23040

 

(таблица взята из указанной книги).

 

Для магического квадрата любого порядка можно вычислить по приведённой формуле количество квадратов, которые получаются с помощью М-преобразований обоих видов.

Покажу для примера группу, образуемую М-преобразованиями обоих видов, для магического квадрата 4-го порядка. Вместе с исходным квадратом в этой группе будет 4 квадрата. Значит, новых квадратов может быть получено только 3.

Возьмём в качестве исходного квадрата магический квадрат, изображённый на рис. 7.

 

1

2

15

16

12

14

3

5

13

7

10

4

8

11

6

9

 

Рис. 7

 

На рис. 8 вы видите квадрат, полученный из данного квадрата М-преобразованием первого вида.

 

9

11

6

8

5

14

3

12

4

7

10

13

16

2

15

1

 

Рис. 8

 

На рис. 9 и рис. 10 изображены квадраты, полученные из данного квадрата М-преобразованиями второго вида.

 

14

12

5

3

2

1

16

15

11

8

9

6

7

13

4

10

 

Рис. 9

 

14

5

12

3

11

9

8

6

2

16

1

15

7

4

13

10

 

Рис. 10

 

Интересно заметить, что два рядом стоящих порядка – чётный и нечётный – имеют одинаковое количество квадратов в группе, образуемой М-преобразованиями (см. таблицу). Если вы возьмёте магический квадрат 5-го порядка, то он тоже образует группу из 4 квадратов (считая его самого) с помощью М-преобразований. Это объясняется тем, что в формуле для вычисления q присутствует целая часть n/2, а эта величина будет одинакова для n и для n+1, если n чётно.

Следует обратить внимание на то, что М-преобразования не изменяют наборы чисел ни в строках, ни в столбцах, ни в главных диагоналях. Поэтому М-преобразования сохраняют те свойства исходного квадрата, которые зависят от наборов чисел в строках, в столбцах и в главных диагоналях. Например, если исходный квадрат бимагический, то все квадраты, полученные из него М-преобразованиями, тоже будут бимагическими.

Очевидно, что М-преобразования обоих видов сохраняют ассоциативность квадрата. Возьмём для примера идеальный квадрат 8-го порядка, изображённый на рис. 11.

 

1

56

49

47

42

31

26

8

62

11

14

20

21

36

37

59

4

30

27

46

43

53

52

5

63

33

40

17

24

10

15

58

7

50

55

41

48

25

32

2

60

13

12

22

19

38

35

61

6

28

29

44

45

51

54

3

57

39

34

23

18

16

9

64

 

Рис. 11

 

Совершенно понятно, что если мы выполним М-преобразование первого вида, то есть переставим симметричные строки и затем симметричные столбцы с теми же номерами, ассоциативность квадрата не нарушится. Покажем применение к данному идеальному квадрату М-преобразования второго вида. Выберем для перестановки следующие пары строк: вторую, третью и соответственно симметричные строки – седьмую и шестую. На рис. 12 показан первый этап преобразования, слева – исходный квадрат, справа – результат выполнения первого этапа.

 

1

56

49

47

42

31

26

8

 

1

56

49

47

42

31

26

8

62

11

14

20

21

36

37

59

4

30

27

46

43

53

52

5

4

30

27

46

43

53

52

5

 

62

11

14

20

21

36

37

59

63

33

40

17

24

10

15

58

 

63

33

40

17

24

10

15

58

7

50

55

41

48

25

32

2

à

7

50

55

41

48

25

32

2

60

13

12

22

19

38

35

61

 

6

28

29

44

45

51

54

3

6

28

29

44

45

51

54

3

60

13

12

22

19

38

35

61

57

39

34

23

18

16

9

64

57

39

34

23

18

16

9

64

 

Рис. 12

 

Очевидно, что квадрат, полученный после первого этапа, не утратил ассоциативность. Завершаем преобразование, выполняем перестановку столбцов с теми же номерами (рис. 13):

 

1

56

49

47

42

31

26

8

 

1

49

56

47

42

26

31

8

4

30

27

46

43

53

52

5

4

27

30

46

43

52

53

5

62

11

14

20

21

36

37

59

 

62

14

11

20

21

37

36

59

63

33

40

17

24

10

15

58

 

63

40

33

17

24

15

10

58

7

50

55

41

48

25

32

2

à

7

55

50

41

48

32

25

2

6

28

29

44

45

51

54

3

 

6

29

28

44

45

54

51

3

60

13

12

22

19

38

35

61

60

12

13

22

19

35

38

61

57

39

34

23

18

16

9

64

57

34

39

23

18

9

16

64

 

Рис. 13

 

Окончательный результат тоже является ассоциативным квадратом. А вот пандиагональность квадрата М-преобразования не сохраняют. Это видно на данном примере.

 

Глава 12. Преобразования “плюс-минус …”

 

Преобразования “плюс-минус …” я обнаружила, работая над составлением банка базовых пандиагональных квадратов 5-го порядка. Смотрите об этом в статье:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/pandiagon.htm

 

Это было в самом начале возобновления работы над магическими квадратами – в июле 2007 г. Затем данные преобразования использовались мной во многих статьях. Они оказались применимы к любым магическим и даже полумагическим квадратам. Если вы будете читать мою виртуальную книгу “Волшебный мир магических квадратов”, найдёте очень много преобразований “плюс-минус …”.

Но покажу, как всё начиналось. Сравнивая имеющиеся у меня несколько пандиагональных квадратов 5-го порядка, найденных в Сети, я обнаружила, что два из них  очень интересно связаны между собой. Так и родилось самое первое преобразование “плюс-минус 10”. Далее привожу цитату из указанной статьи.

Пусть матрица исходного пандиагонального квадрата 5-го порядка А имеет вид:

 

a11

a12

а13

а14

а15

а21

а22

а23

а24

а25

а31

а32

а33

а34

а35

а41

а42

а43

а44

а45

а51

а52

а53

а54

а55

 

Тогда матрица квадрата В=f(А), полученного преобразованием “плюс-минус 10”, имеет вид:

 

a11

a12

а13

а14+10

а15 –10

а21

а22+10

а23 –10

а24

а25

а31 –10

а32

а33

а34

а35+10

а41

а42

а43+10

а44 –10

а45

а51+10

а52 –10

а53

а54

а55

 

Увидела я это преобразование, сравнивая два базовых квадрата. На этом примере и покажу преобразование. Исходный квадрат – это базовый квадрат № 1, только с переставленными строками (это делает его ещё и ассоциативным!). На рис. 14 слева показан базовый квадрат № 1, а справа – квадрат, полученный из него описанным преобразованием, – это базовый квадрат № 11.

 

1

15

24

8

17

 

1

15

24

18

7

23

7

16

5

14

 

23

17

6

5

14

20

4

13

22

6

à

10

4

13

22

16

12

21

10

19

3

 

12

21

20

9

3

9

18

2

11

25

 

19

8

2

11

25

 

                                                                    Рис. 14

 

Это преобразование сохраняет не только пандиагональность квадрата, но и ассоциативность!

Вот так было открыто первое преобразование “плюс-минус …”. Когда я писала эту статью, ещё не пользовалась термином “идеальные квадраты”. Просто рассматривала квадраты пандиагональные и ассоциативные, которые как раз и являются идеальными. Как видите, первое преобразование “плюс-минус …” относится именно к идеальным квадратам, то есть оно переводит идеальный квадрат в идеальный, сохраняет и свойство ассоциативности, и свойство пандиагональности.

А вот пример преобразования “плюс-минус 10” (из той же статьи), которое применяется к пандиагональному квадрату, не являющемуся ассоциативным (рис. 15).

 

 

1

22

14

8

20

 

1

12

24

18

10

9

18

5

21

12

 

19

8

5

11

22

25

11

7

19

3

à

15

21

17

9

3

17

4

23

15

6

 

7

4

13

25

16

13

10

16

2

24

 

23

20

6

2

14

 

Рис. 15

 

В дальнейшем я стала изображать матрицу преобразований “плюс-минус …” сокращённо, опуская первоначальные элементы матрицы aij. Так, например, матрица преобразования “плюс-минус 10”, показанного на рис. 15, изображается следующим образом (рис. 16):

 

 

-10

+10

+10

-10

+10

-10

 

-10

+10

-10

+10

+10

-10

 

-10

 

-10

+10

+10

+10

+10

-10

 

-10

 

Рис. 16

 

Получив такую матрицу преобразования и исходный квадрат, к которому данное преобразование надо применить, вы поступаете очень просто: накладываете эту матрицу на исходный квадрат, выполняете действия сложения и вычитания с числами, попавшими в закрашенные ячейки (в этих ячейках указано, что надо сделать: прибавить число 10 или вычесть его из числа соответствующей ячейки исходного квадрата), и новый магический квадрат готов.

 

Интересен тот факт, что матрицу преобразования “плюс-минус …”, если это преобразование сохраняет пандиагональность квадрата, можно подвергать преобразованиям параллельного переноса на торе. Приведу пример из статьи:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/pan5.htm

 

На рис. 17 показано преобразование “плюс-минус 10”, сохраняющее пандиагональность квадрата. На рис. 18 вы видите матрицу этого преобразования.

 

1

8

25

14

17

 

1

18

25

14

7

15

19

2

6

23

 

15

9

2

16

23

7

21

13

20

4

à

17

21

13

10

4

18

5

9

22

11

 

8

5

19

22

11

24

12

16

3

10

 

24

12

6

3

20

 

Рис. 17

 

 

+10

 

 

-10

 

-10

 

+10

 

+10

 

 

-10

 

-10

 

+10

 

 

 

 

-10

 

+10

 

Рис. 18

 

А теперь применим к этой матрице преобразование параллельного переноса на торе, мы получим матрицу, изображённую на рис. 19.

 

 

 

-10

 

+10

 

+10

 

 

-10

 

-10

 

+10

 

+10

 

 

-10

 

-10

 

+10

 

 

 

Рис. 19

 

Обратите внимание: преобразование с новой матрицей сохраняет не только пандиагональность, но и ассоциативность квадрата, то есть его можно применить к идеальному квадрату и получить новый идеальный квадрат.

И вот пример применения преобразования, заданного этой матрицей [из той же статьи] (рис. 20):

 

                                 

1

23

19

15

7

 

1

23

9

15

17

14

10

2

21

18

 

14

20

2

21

8

22

16

13

9

5

à

22

6

13

19

5

8

4

25

17

11

 

18

4

25

7

11

20

12

6

3

24

 

10

12

16

3

24

 

Рис. 20

 

Приведу пример применения этого преобразования к идеальному квадрату (рис. 21):

 

1

23

20

14

7

 

1

23

10

14

17

15

9

2

21

18

 

15

19

2

21

8

22

16

13

10

4

à

22

6

13

20

4

8

5

24

17

11

 

18

5

24

7

11

19

12

6

3

25

 

9

12

16

3

25

 

Рис. 21

 

Затем я обнаружила, что преобразование может быть не только “плюс-минус 10”, а, например, “плюс-минус 5” или “плюс-минус 1”. Пример присутствует здесь. Посмотрите на два квадрата, изображённые слева на рис. 20 и рис. 21. На рис. 20 квадрат пандиагональный, но не ассоциативный, а на рис. 21 квадрат идеальный, то есть обладает обоими этими свойствами. И эти квадраты связаны между собой преобразованием “плюс-минус 1”, что сразу бросается в глаза при визуальном сравнении квадратов. На рис. 22 показана матрица преобразования “плюс-минус 1”, связывающего эти квадраты.

 

 

 

+1

-1

 

+1

-1

 

 

 

 

 

 

+1

-1

 

+1

-1

 

 

-1

 

 

 

+1

 

Рис. 22

 

Перенеся данную матрицу на торе, получаем матрицу нового преобразования “плюс-минус 1”, которое сохраняет и пандиагональность, и ассоциативность квадрата, то есть переводит идеальный квадрат в идеальный. Эту матрицу вы видите на рис. 23.

 

 

 

 

+1

-1

 

+1

-1

 

 

-1

 

 

 

+1

 

 

+1

-1

 

+1

-1

 

 

 

 

Рис. 23

 

Любое преобразование “плюс-минус …” легко “обратить”, то есть составить матрицу обратного преобразования. Для этого достаточно в матрице преобразования все плюсы заменить на минусы, и наоборот – все минусы заменить на плюсы. На рис. 24 вы видите матрицу преобразования, обратного преобразованию, заданному матрицей с рис. 23.

 

 

 

 

-1

+1

 

-1

+1

 

 

+1

 

 

 

-1

 

 

-1

+1

 

-1

+1

 

 

 

 

Рис. 24

 

Посмотрите пример применения преобразования, заданного матрицей на рис. 24, к идеальному квадрату (рис. 25):

 

21

15

2

19

8

 

21

15

2

18

9

3

20

5

25

12

 

3

19

6

25

12

9

22

13

4

17

à

10

22

13

4

16

14

1

21

6

23

 

14

1

20

7

23

18

7

24

11

5

 

17

8

24

11

5

 

Рис. 25

 

Очевидно, что если вы примените к квадрату, изображённому на рис. 25 справа, преобразование, заданное матрицей с рис. 23, то получите квадрат, изображённый на рис. 25 слева.

 

Все показанные выше преобразования “плюс-минус …” простые. Простыми я назвала такие преобразования “плюс-минус …”, в которых участвует только одно число. А затем я обнаружила комбинированные преобразования “плюс-минус …”. Это такие преобразования, в которых участвует более одного числа. Покажу пример опять для квадрата 5-го порядка. Это пример из статьи http://www.klassikpoez.narod.ru/bank.htm

 

На рис. 26 изображена матрица комбинированного преобразования. Как видите, в этом преобразовании участвуют три числа – 5, 10 и 15.

 

 

–10

+15

 

–5

 

–5

 

–10

+15

–10

+15

 

–5

 

–5

 

–10

+15

 

+15

 

–5

 

–10

 

Рис. 26

 

На рис. 27 показано применение комбинированного преобразования, заданного матрицей на рис. 26, к пандиагональному квадрату. В результате получен новый пандиагональный квадрат.

                              

1

18

9

15

22

 

1

8

24

15

17

14

25

2

16

8

 

14

20

2

6

23

17

6

13

24

5

à

7

21

13

19

5

23

4

20

7

11

 

18

4

10

22

11

10

12

21

3

19

 

25

12

16

3

9

 

Рис. 27

 

Легко видеть, что данное преобразование не сохраняет свойство ассоциативности.

Когда я описывала построение идеальных квадратов 5-го порядка методом качелей, мне открылся новый смысл преобразований “плюс-минус …”. Читайте об этом в следующей статье:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/idealob4.htm

 

А теперь покажу несколько примеров применения преобразования “плюс-минус …” из разных статей.

Пример 1. Простое преобразование “плюс-минус 16”. Матрица преобразования показана на рис. 28.

 

 

 

+16

+16

-16

-16

 

 

 

 

-16

-16

+16

+16

 

 

 

 

+16

+16

-16

-16

 

 

 

 

-16

-16

+16

+16

 

 

 

 

+16

+16

-16

-16

 

 

 

 

-16

-16

+16

+16

 

 

 

 

+16

+16

-16

-16

 

 

 

 

-16

-16

+16

+16

 

 

 

                                                                     Рис. 28

 

На рис. 29 показано применение этого преобразования. Оно применяется к пандиагональному квадрату 8-го порядка, построенному по алгоритму Франклина. В результате получается новый пандиагональный квадрат подобный исходному.

 

1

16

25

24

41

40

49

64

 

1

16

41

40

25

24

49

64

59

54

35

46

19

30

11

6

59

54

19

30

35

46

11

6

8

9

32

17

48

33

56

57

8

9

48

33

32

17

56

57

60

53

36

45

20

29

12

5

60

53

20

29

36

45

12

5

2

15

26

23

42

39

50

63

à

2

15

42

39

26

23

50

63

61

52

37

44

21

28

13

4

 

61

52

21

28

37

44

13

4

7

10

31

18

47

34

55

58

7

10

47

34

31

18

55

58

62

51

38

43

22

27

14

3

62

51

22

27

38

43

14

3

 

Рис. 29

 

Легко увидеть, что данное преобразование равносильно перестановке столбцов, третьего с пятым, четвёртого с шестым.

 

Пример 2. Комбинированное преобразование для дьявольски полумагических квадратов Франклина 4-го порядка. Матрицу преобразования вы видите на рис. 30.

 

 

+4

-4

 

+1

-5

+5

-1

 

+4

-4

 

-1

-3

+3

+1

 

                                                                      Рис. 30

 

Обратите внимание: преобразование не изменяет суммы чисел в строках и столбцах квадрата, а суммы чисел во всех диагоналях (как главных, так и разломанных) изменяет на 8, причём в одних диагоналях сумма увеличивается на 8, а в других - уменьшается на 8. В результате такого преобразования квадрат остаётся дьявольски полумагическим. На рис. 31 показано применение этого преобразования.

 

1

8

9

16

 

1

12

5

16

14

11

6

3

15

6

11

2

4

5

12

13

à

4

9

8

13

15

10

7

2

 

14

7

10

3

 

Рис. 31

 

Пример 3. Комбинированное преобразование для дьявольски полумагических квадратов Франклина 8-го порядка. Матрица преобразования изображена на рис. 32.

 

+1

-1

+1

-1

+1

-1

+1

-1

+1

-1

+1

-1

+1

-1

+1

-1

-11

+11

-11

+11

-11

+11

-11

+11

+9

-9

+9

-9

+9

-9

+9

-9

+1

-1

+1

-1

+1

-1

+1

-1

+1

-1

+1

-1

+1

-1

+1

-1

-3

+3

-3

+3

-3

+3

-3

+3

+1

-1

+1

-1

+1

-1

+1

-1

 

                                                                      Рис. 32

 

На рис. 33 показано применение этого преобразования. Редкий случай преобразования “плюс-минус …”, когда изменяются числа во всех ячейках исходного квадрата.

 

1

16

17

32

33

48

49

64

 

2

15

18

31

34

47

50

63

63

50

47

34

31

18

15

2

64

49

48

33

32

17

16

1

14

3

30

19

46

35

62

51

3

14

19

30

35

46

51

62

52

61

36

45

20

29

4

13

61

52

45

36

29

20

13

4

5

12

21

28

37

44

53

60

à

6

11

22

27

38

43

54

59

59

54

43

38

27

22

11

6

 

60

53

44

37

28

21

12

5

10

7

26

23

42

39

58

55

7

10

23

26

39

42

55

58

56

57

40

41

24

25

8

9

57

56

41

40

25

24

9

8

 

Рис. 33

 

Пример 4. Комбинированное преобразование, сохраняющее ассоциативность квадрата. Матрицу преобразования вы видите на рис. 34. В преобразовании участвуют два числа – 3 и 6.

 

 

-6

-3

 

+3

-3

 

+3

+6

+6

 

-6

-3

 

+3

-3

 

+3

+3

+6

 

-6

-3

 

+3

-3

 

 

+3

+6

 

-6

-3

 

+3

-3

-3

 

+3

+6

 

-6

-3

 

+3

+3

-3

 

+3

+6

 

-6

-3

 

 

+3

-3

 

+3

+6

 

-6

-3

-3

 

+3

-3

 

+3

+6

 

-6

-6

-3

 

+3

-3

 

+3

+6

 

 

                                                                      Рис. 34

 

На рис. 35 показано применение преобразования, заданного матрицей с рис. 34.

 

5

52

18

56

22

69

35

73

39

 

5

46

15

56

25

66

35

76

45

48

14

61

27

65

31

78

44

1

54

14

55

24

65

34

75

44

4

10

57

23

70

36

74

40

6

53

13

63

23

64

33

74

43

3

53

62

19

66

32

79

45

2

49

15

62

22

72

32

73

42

2

52

12

24

71

28

75

41

7

54

11

58

à

21

71

31

81

41

1

51

11

61

67

33

80

37

3

50

16

63

20

 

70

30

80

40

9

50

10

60

20

29

76

42

8

46

12

59

25

72

29

79

39

8

49

18

59

19

69

81

38

4

51

17

55

21

68

34

78

38

7

48

17

58

27

68

28

43

9

47

13

60

26

64

30

77

37

6

47

16

57

26

67

36

77

 

Рис. 35

 

Пример 5. Простое преобразование, сохраняющее ассоциативность квадрата. Матрица преобразования показана на рис. 36.

 

 

-4

+4

 

-4

 

 

+4

 

+4

-4

 

+4

 

 

-4

+4

 

 

-4

 

+4

-4

 

-4

 

 

+4

 

-4

+4

 

 

-4

+4

 

-4

 

 

+4

 

+4

-4

 

+4

 

 

-4

+4

 

 

-4

 

+4

-4

 

-4

 

 

+4

 

-4

+4

 

 

                                                                       Рис. 36

 

На рис. 37 показано применение данного преобразования к ассоциативному квадрату 8-го порядка, построенному методом квадратных рамок.

 

1

58

22

45

44

19

63

8

 

1

54

26

45

40

19

63

12

16

23

59

36

37

62

18

9

16

27

55

36

41

62

18

5

24

15

35

60

61

38

10

17

28

15

35

56

61

42

6

17

25

34

14

53

52

11

39

32

21

34

14

57

52

7

43

32

33

26

54

13

12

51

31

40

à

33

22

58

13

8

51

31

44

48

55

27

4

5

30

50

41

 

48

59

23

4

9

30

50

37

56

47

3

28

29

6

42

49

60

47

3

24

29

10

38

49

57

2

46

21

20

43

7

64

53

2

46

25

20

39

11

64

 

Рис. 37

 

Пример 6. Комбинированное преобразование для магического квадрата 10-го порядка, построенного методом четырёх квадратов. Матрица преобразования изображена на рис. 38.

 

 

+75

 

…..

-75

+25

…..

…..

…..

-25

+75

 

 

 

-75

+25

 

 

 

-25

 

 

+75

 

-75

+25

 

 

 

-25

+75

 

 

 

-75

+25

 

 

 

-25

 

+75

 

 

-75

+25

 

 

 

-25

 

-75

 

 

+75

-25

 

 

 

+25

-75

 

 

 

+75

-25

 

 

 

+25

 

 

-75

 

+75

-25

 

 

 

+25

-75

 

 

 

+75

-25

 

 

 

+25

 

-75

 

 

+75

-25

 

 

 

+25

 

                                                                       Рис. 38

 

Применение данного преобразования вы видите на рис. 39.

 

78

16

9

22

90

28

66

59

72

65

 

78

91

9

22

15

53

66

59

72

40

20

83

21

14

77

45

58

71

64

52

95

83

21

14

2

70

58

71

64

27

7

100

13

1

94

32

75

63

51

69

7

100

88

1

19

57

75

63

51

44

24

87

5

18

81

49

62

55

68

56

99

87

5

18

6

74

62

55

68

31

86

4

17

10

98

36

54

67

60

73

86

79

17

10

23

61

54

67

60

48

3

91

84

97

15

53

41

34

47

40

à

3

16

84

97

90

28

41

34

47

65

95

8

96

89

2

70

33

46

39

27

 

20

8

96

89

77

45

33

46

39

52

82

25

88

76

19

57

50

38

26

44

82

25

13

76

94

32

50

38

26

69

99

12

80

93

6

74

37

30

43

31

24

12

80

93

81

49

37

30

43

56

11

79

92

85

23

61

29

42

35

48

11

4

92

85

98

36

29

42

35

73

 

Рис. 39

 

Пример 7. Простое преобразование для сотового магического квадрата 6-го порядка. Матрица преобразования изображена на рис. 40. На рис. 41 показано применение преобразования.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+2

-2

 

 

 

 

-2

+2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                      Рис. 40

 

6

7

26

27

22

23

 

6

7

26

27

22

23

8

5

28

25

24

21

 

8

5

28

25

24

21

34

35

18

19

2

3

 

36

33

18

19

2

3

36

33

17

20

4

1

à

34

35

17

20

4

1

14

15

10

11

30

31

 

14

15

10

11

30

31

13

16

12

9

29

32

 

13

16

12

9

29

32

 

Рис. 41

 

Вот такое немудрёное преобразование, а магический квадрат получается новый.

 

Пример 8. Простое преобразование для сотового магического квадрата 10-го порядка. На рис. 42 изображена матрица преобразования, а на рис. 43 показано применение данного преобразования.

 

-1

+1

 

+1

 

+1

-1

 

-1

 

 

 

 

-1

 

-1

+1

 

+1

 

-1

+1

+1

 

+1

 

 

-1

 

-1

 

 

 

-1

 

-1

+1

 

+1

 

 

 

+1

 

+1

 

 

-1

 

-1

+1

-1

 

-1

 

-1

+1

 

+1

 

 

 

 

+1

 

+1

-1

 

-1

 

+1

-1

-1

 

-1

 

 

+1

 

+1

 

-1

-1

 

 

+1

 

+1

 

 

 

+1

 

+1

-1

 

-1

 

-1

+1

 

Рис. 42

 

27

26

16

14

84

82

71

69

59

57

 

26

27

16

15

84

83

70

69

58

57

28

25

13

15

81

83

70

72

58

60

28

25

13

14

81

82

71

72

59

60

63

62

50

52

38

40

5

7

93

95

62

63

51

52

39

40

5

6

93

94

64

61

49

51

37

39

6

8

94

96

64

61

49

50

37

38

7

8

95

96

17

20

86

88

74

76

41

43

29

31

17

20

87

88

75

76

41

42

29

30

18

19

85

87

73

75

42

44

30

32

à

19

18

85

86

73

74

43

44

31

32

53

56

24

22

12

10

99

97

67

65

 

53

56

24

23

12

11

98