СОТОВЫЕ МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ

 

Прежде всего замечу, что для лучшего понимания данной статьи необходимо ознакомиться со статьями:

 

http://www.natalimak1.metody5.htm

http://www.natalimak1.metody6.htm

 

В указанных статьях вы найдёте подробное изложение метода сотовых квадратов, которое приведено по книге Ю. В. Чебракова. Автор книги называет этот метод модифицированным методом террас, а построенные данным методом магические квадраты “2*2 ячеечными”. Мне такое название показалось несколько неуклюжим, и я назвала такие квадраты сотовыми. Дам определение сотового магического квадрата:

 

 

Примечание: в определении речь идёт о традиционном магическом квадрате. Очевидно, что сотовый квадрат может быть и нетрадиционным. Один из двух вспомогательных нетрадиционных магических квадратов, используемых при построении магического сотового квадрата, будет сотовым квадратом в смысле данного определения. Он тоже составляется из квадратов 2х2, но в каждом таком квадрате записываются четыре числа – 0, 1, 2, 3 (эти четыре числа тоже последовательные).

 

Сотовые магические квадраты – совершенно новый тип магических квадратов, поэтому я решила остановиться на них подробнее.

 

Автор книги рассматривает три случая построения сотовых квадратов (моё изложение метода следует по такому же пути):

 

1. квадраты порядка n = 4k + 2, k = 1, 2, 3… ;

2. квадраты порядка n = 8k + 4, k = 1, 2, 3… ;

3. квадраты порядка n = 8k, k = 1, 2, 3… .

 

Понятно, что минимальный сотовый магический квадрат имеет порядок 6.

Из трёх перечисленных случаев наибольший интерес представляют квадраты порядка n = 8k, потому что только сотовые квадраты данной серии порядков могут быть ассоциативными, пандиагональными и идеальными. Но в книге не приведено ни одного примера построения сотовых магических квадратов данной серии порядков.

Здесь рассматриваются такие примеры. Минимальный порядок квадрата данной серии порядков равен 8. Для построения сотового квадрата порядка n = 8k надо взять в качестве исходного квадрата любой магический квадрат порядка n = 4k. Далее приведено несколько примеров построения сотового квадрата 8-ого порядка.

 

Пример 1

 

Возьмём в качестве исходного магический квадрат 4-ого порядка, не обладающий никакими дополнительными свойствами (рис. 1).

 

 

Рис. 1

 

Построение первого вспомогательного квадрата из исходного квадрата с рис. 1 не описывается здесь подробно (см. об этом в указанных выше статьях). На рис. 2 приведён готовый первый вспомогательный квадрат 8х8.

 

 

Рис. 2

 

Этот вспомогательный квадрат является нетрадиционным магическим квадратов с магической константой 248. Он тоже составлен из квадратов 2х2, но в каждом таком квадрате записаны четыре одинаковых числа. Нетрудно увидеть, что этот нетрадиционный магический квадрат, как и исходный магический квадрат, не обладает никакими дополнительными свойствами – ни ассоциативностью, ни пандиагональностью.

Второй вспомогательный квадрат был построен в одной из указанных выше статей на основании схемы расположения блоков 2х2, приведённой в книге Чебракова. На рис. 3 вы видите этот вспомогательный сотовый квадрат.

 

 

                                                     Рис. 3

 

Это нетрадиционный магический сотовый квадрат с магической константой 12. Очевидно, что он обладает свойством ассоциативности.

Теперь осталось сложить поэлементно два вспомогательных квадрата, и магический сотовый квадрат 8-ого порядка готов (рис. 4).

 

 

                                                     Рис. 4

 

Полученный магический сотовый квадрат не обладает никакими дополнительными свойствами. Хотя второй вспомогательный квадрат ассоциативен, этого не достаточно, чтобы магический сотовый квадрат тоже был ассоциативным, надо, чтобы этим свойством обладал также первый вспомогательный квадрат. Такой пример сейчас и будет рассмотрен.

 

Пример 2

 

Возьмём в качестве исходного квадрата для построения первого вспомогательного квадрат ассоциативный квадрат 4-ого порядка (рис. 5).

 

 

Рис. 5

 

На рис. 6 изображён готовый первый вспомогательный квадрат 8х8, построенный с помощью этого исходного квадрата.

 

 

Рис. 6

 

Очевидно, что этот нетрадиционный магический квадрат обладает свойством ассоциативности. Второй вспомогательный квадрат возьмём тот же самый, что и в примере 1 (рис. 3). Сложим поэлементно два вспомогательных квадрата и получим новый сотовый магический квадрат 8-ого порядка, который будет ассоциативным, так как оба вспомогательных квадрата ассоциативны. Смотрите этот сотовый квадрат на рис. 7.

 

 

                                                     Рис. 7

 

Пример 3

 

Возьмём в качестве исходного квадрата для построения первого вспомогательного квадрата пандиагональный квадрат 4-ого порядка (рис. 8).

 

 

Рис. 8

 

Как известно, все пандиагональные квадраты 4-ого порядка являются совершенными. Следовательно, исходный квадрат у нас и пандиагональный, и совершенный. Будем строить магический сотовый квадрат 8-ого порядка. Сначала построим первый вспомогательный квадрат (рис. 9).

 

 

                                                     Рис. 9

 

Нетрудно убедиться в том, что этот нетрадиционный магический квадрат является пандиагональным.

А теперь надо построить второй вспомогательный квадрат так, чтобы он тоже был пандиагональным. Для этого применим к ассоциативному квадрату с рис. 3 преобразование трёх квадратов, которые превращает ассоциативный квадрат чётно-чётного порядка в пандиагональный. В результате применения этого преобразования получаем пандиагональный сотовый вспомогательный квадрат, изображённый на рис. 10.

 

 

                                                     Рис. 10

 

Складываем поэлементно вспомогательные квадраты с рис. 9 и с рис. 10. Полученный сотовый магический квадрат 8-ого порядка показан на рис. 11.

 

 

                                                     Рис. 11

 

Удивительный пандиагональный квадрат с оригинальной начальной цепочкой. На следующем рисунке (рис. 12) изображён этот квадрат с выделенной начальной цепочкой. Начальная цепочка тоже напоминает ход коня, но ход этот делается целым блоком 2х2. Примечательно, что в исходном пандиагональном квадрате 4-ого порядка (см. рис. 8) начальная цепочка строится точно таким же ходом коня.

 

 

                                                     Рис. 12

 

Ещё более поразительно в этом квадрате то, что он является совершенным! Только некоторые свойства совершенного квадрата в нём выполняются “блочно”, то есть не для ячеек квадрата, а для блоков 2х2 (пояснение ниже).

Сумма чисел в угловых ячейках квадрата равна 130, как и должно быть в совершенном квадрате. Свойство комплементарности тоже выполняется (подробно о свойствах совершенных квадратов смотрите в соответствующей статье о совершенных квадратах). А вот свойство: сумма чисел в любом квадрате 2х2 равна 130, в этом квадрате, конечно, не выполняется. Это свойство как раз и выполняется “блочно”. Поясню, что это значит.  Заменим каждый квадрат 2х2 (называемый также блоком) на одну ячейку и в эту ячейку запишем сумму чисел из заменяемого блока. Полученный квадрат изображён на рис. 13.

 

 

Рис. 13

 

В этом нетрадиционном магическом квадрате, который представляет собой “блочную свёртку” квадрата с рис. 12, выполняются абсолютно все свойства совершенного квадрата. Сумма чисел в любом квадрате 2х2 равна одному и тому же числу, только, конечно, не 130, а 520. Кроме того, в этом квадрате выполняется свойство комплементарности. Сумма чисел в угловых ячейках тоже равна 520. В довершение всего он является пандиагональным. Его магическая константа равна 520.

Если считать в этом нетрадиционном магическом квадрате начальной цепочкой первые четыре наименьших числа, то даже эта условная начальная цепочка совпадает по форме с начальной цепочкой в исходном квадрате (рис. 8).

 

Вот такой интересный совершенный сотовый квадрат мы получили! Ну, даже если его нельзя считать полностью совершенным квадратом, то пандиагональным он является.

 

Идеальный сотовый квадрат 8-ого порядка мы не можем построить данным методом, потому что идеального квадрата 4-ого порядка не существует.

 

Интересно отметить, что другой пандиагональный сотовый квадрат 8-ого порядка можно получить из ассоциативного сотового квадрата с рис. 7 применением к нему преобразования трёх квадратов. Этот квадрат показан на рис. 14.

 

 

                                                     Рис. 14

 

Получился совсем новый магический сотовый квадрат не эквивалентный квадрату с рис. 12. На рис. 15 показан этот сотовый квадрат с выделенной начальной цепочкой.

 

 

                                                     Рис. 15

 

Как видим, начальная цепочка тоже получается ходом коня (причём целым блоком 2х2), но по-другому, нежели в квадрате на рис. 12. Очевидно, что этот пандиагональный квадрат также обладает некоторыми свойствами совершенного квадрата, как и построенный выше квадрат (рис. 12). Предлагаю читателям сделать “блочную свёртку” этого квадрата и убедиться, что она является нетрадиционным совершенным магическим квадратом 4-ого порядка.

 

На этом я завершаю демонстрацию построения сотовых магических квадратов 8-ого порядка. Далее будет рассмотрено построение сотовых магических квадратов 16-ого порядка.

 

***

 

Переходим к построению сотовых магических квадратов 16-ого порядка. Для такого построения в качестве исходного берётся любой магический квадрат 8-ого порядка. От свойств этого квадрата будут зависеть свойства построенного сотового квадрата 16-ого порядка. Рассмотрим несколько примеров.

 

Пример 1

 

Возьмём в качестве исходного квадрата ассоциативный магический квадрат 8-ого порядка, построенный методом квадратных рамок (рис. 16).

 

 

                                                                       Рис. 16

 

Заготовка для первого вспомогательного квадрата по алгоритму автора книги получается заменой всех чисел в этом исходном квадрате на числа 1, 5, 9, 13, …, то есть на числа, являющиеся членами арифметической прогрессии с разностью 4. Однако делать такую замену в квадрате 8-ого порядка уже не совсем удобно (в отличие от квадрата 4-ого порядка). Поэтому здесь предлагается альтернативный вариант: надо построить нетрадиционный магический квадрат 8-ого порядка методом квадратных рамок (подробно смотрите в одной из указанных выше статей). На рис. 17 изображён первый вспомогательный квадрат.

 

 

                                                     Рис. 17

 

Это нетрадиционный магический квадрат, обладающий свойством ассоциативности. Его магическая константа равна 2032.

Для построения второго вспомогательного квадрат используем квадрат с рис. 3. Очевидно, что если разместить четыре таких квадрата в матрице 16х16, получится нетрадиционный ассоциативный квадрат с магической константой 24. Вы видите этот квадрат на рис. 18.

 

 

Рис. 18

 

Сложим поэлементно два вспомогательных квадрата (рис. 17 и рис. 18) и магический сотовый квадрат 16-ого порядка готов (рис. 19).

 

 

Рис. 19

 

Полученный сотовый магический квадрат тоже ассоциативный. Мы можем сразу же превратить его в пандиагональный сотовый квадрат, применив преобразование трёх квадратов. На рис. 20 показан полученный пандиагональный сотовый квадрат.

 

 

Рис. 20

 

В квадрате выделена начальная цепочка.

 

Если вы возьмёте в качестве исходного квадрата пандиагональный квадрат 8-ого порядка и второй вспомогательный квадрат тоже сделаете пандиагональным (это легко сделать, применив к квадрату с рис. 18 преобразование трёх квадратов), то получите новый пандиагональный сотовый квадрат 16-ого порядка не эквивалентный квадрату, изображённому на рис. 20. Такое построение уже было показано в одной из указанных выше статей.

 

Пример 2

 

А теперь возьмём в качестве исходного совершенный квадрат 8-ого порядка, изображённый на рис. 21.

 

 

                                                                       Рис. 21

 

К сожалению, здесь нельзя применить метод квадратных рамок при составлении заготовки для первого вспомогательного квадрата, поэтому придётся делать замену чисел непосредственно. Заготовка, полученная после замены чисел 1, 2, 3, …, 64 на числа 1, 5, 9, 13, … , 253, показана на рис. 22. Напомню, что замена производится соответственно в порядке следования чисел в обеих последовательностях.

 

 

                                                                       Рис. 22

 

Превращаем заготовку в первый вспомогательный квадрат. Для этого, как помнят читатели, надо каждую ячейку заменить квадратом 2х2 и записать в этот квадрат число из заменяемой ячейки. Первый вспомогательный квадрат изображён на рис. 23.

 

 

Рис. 23

 

Это нетрадиционный магический квадрат с магической константой 2032, обладающий свойством пандиагональности.

Для построения второго вспомогательного квадрата используем квадрат с рис. 10. Разместим в верхней половине матрицы 16х16 две копии этого квадрата, а в нижней половине матрицы – два одинаковых квадрата, полученных из этого квадрата отражением относительно вертикальной оси симметрии. Полученный в результате второй вспомогательный квадрат изображён на рис. 24.

 

 

Рис. 24

 

Симметрия в этом квадрате поразительная. Квадрат является нетрадиционным пандиагональным квадратом с магической константой 24.

Сложим поэлементно два вспомогательных квадрата (рис. 23 и рис. 24) и получим следующий пандиагональный сотовый квадрат (рис. 25):

 

 

Рис. 25

 

Этот сотовый квадрат помимо пандиагональности обладает и несколькими свойствами совершенного квадрата. Сумма чисел в угловых ячейках равна 514, как и должно быть в совершенном квадрате. Выполняется и свойство комплементарности.

Обратите внимание на начальную цепочку в этом квадрате, она похожа по форме на начальную цепочку в исходном совершенном квадрате 8-ого порядка (рис. 21), только образована целыми блоками 2х2.

Сделаем “блочную свёртку” этого пандиагонального сотового квадрата (рис. 26):

 

 

                                                                       Рис. 26

 

И перед вами нетрадиционный совершенный квадрат 8-ого порядка! В квадрате выделена начальная цепочка, составленная из первых восьми наименьших чисел. По форме эта условная начальная цепочка в точности совпадает с начальной цепочкой в исходном совершенном квадрате 8-ого порядка (рис. 21). Магическая константа этого квадрата равна удвоенной магической константе квадрата 16-ого порядка.

 

Пример 3

 

В этом примере возьмём в качестве исходного квадрата идеальный квадрат 8-ого порядка (рис. 27).

 

 

Рис. 27

 

Первый вспомогательный квадрат изображён на рис. 28.

 

 

Рис. 28

 

Этот квадрат является нетрадиционным магическим квадратом с магической константой 2032. Он обладает свойствами ассоциативности и пандиагональности, то есть идеальный.

А вот с построением второго вспомогательного квадрата у меня пока ничего не получилось. Выше были представлены вторые вспомогательные квадраты, которые обладают свойством ассоциативности (рис. 18) или свойством пандиагональности (рис. 24). А нам надо построить такой второй вспомогательный квадрат, чтобы он обладал этими свойствами одновременно.

Понятно, что если мы построим идеальный нетрадиционный сотовый квадрат 8-ого порядка (из квадратов 2х2, заполненных числами 0, 1, 2, 3), а затем разместим в матрице 16х16 четыре копии этого квадрата, то полученный нетрадиционный сотовый квадрат 16-ого порядка тоже будет идеальным. Поэтому задача сводится к построению идеального нетрадиционного сотового квадрата 8-ого порядка. Второй вспомогательный сотовый квадрат 8-ого порядка мы построили выше –  обладающий свойством ассоциативности (рис. 3) или свойством пандиагональности (рис. 10). Теперь нам предстоит построить подобный квадрат 8-ого порядка, обладающий этими свойствами одновременно. Я попробовала составить такой квадрат простым подбором, однако это у меня не получилось. Тогда пришлось искать другие пути решения задачи. Один из вариантов описан далее. Заполняется половина квадрата, в другой половине записываются неизвестные величины, их 16. Для этих неизвестных величин записываются условия магичности и пандиагональности квадрата. Получается система 16-ти линейных уравнений с 16 неизвестными. К сожалению, не имею ни одного пакета, в котором можно решить эту систему и узнать. имеет ли она решение. Если нужное решение у этой системы есть, то задача решена.

На рис. 29 показан заполненный числами и переменными квадрат 8-ого порядка.

 

 

Рис. 29

 

Понятно, что приведённый вариант заполнения половины квадрата является не единственным, удовлетворяющим условиям задачи. Вполне возможно, что от этих начальных условий будет зависеть окончательный исход решения задачи, может быть, при таком начальном заполнении половины квадрата задача не имеет решения, а при другом варианте заполнения она будет иметь решение. Но для начала надо проверить приведённый вариант. Система уравнений, описывающая квадрат на рис. 29 как нетрадиционный магический, обладающий свойством пандиагональности, получилась такая:

 

x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 10

x₉ + x₁₀ – x₁₅ – x₁₆ = 3

x₁₁ + x₁₂ – x₁₃ – x₁₄ = -3

x₉ + x₁₁ + x₁₃ + x₁₅ = 5

x₁₀ + x₁₂ + x₁₄ + x₁₆ = 7

x₁ + x₅ – x₄ – x₈ = -1

x₂ + x₆ – x₃ – x₇ = 1

x₈ + x₁₆ = 2

x₄ + x₇ + x₁₄ + x₁₅ = 6

x₁ + x₉ – x₃ – x₆ – x₁₂ – x₁₃ = -5

x₅ – x₁₀ = 2

x₉ + x₁₂ – x₅ – x₆ = 1

x₄ + x₁₁ + x₁₄ – x₂ – x₇ – x₁₅ = -3

x₁ + x₆ – x₉ – x₁₂ = -1

x₁ + x₂ + x₅ + x₆ = 6

x₃ + x₄ + x₇ + x₈ = 6

 

Есть ещё два уравнения, но они уже вроде как лишние. Возможно, среди приведённых 16-ти уравнений есть эквивалентные (что не сразу бросается в глаза), тогда можно использовать два оставшихся уравнения. Вот они:

 

x₉ + x₁₀ + x₁₁ + x₁₂ = 6

x₁₃ + x₁₄ + x₁₅ + x₁₆ = 6

 

Итак, всё очень просто. Если я не ошиблась при описании квадрата и система уравнений получилась правильная, то надо просто её решить. Возможны только два варианта: система имеет решение либо не имеет решения. В первом случае задача решена. Во втором случае надо изменить начальные условия, то есть начальное заполнение половины квадрата (рис. 27). Затем снова описать квадрат и получить новую систему уравнений.

А может быть, кому-то из читателей удастся заполнить вторую половину квадрата простым подбором. Но не забывайте, что в каждом квадрате 2х2 должны быть записаны числа 0, 1, 2, 3.

Я опубликовала эту задачу на форуме:

 

http://dxdy.ru/topic15897-15.html#147245

 

однако тамошние господа математики не спешат её решать. Оно и понятно! Они решают куда более сложные и важные задачи, и на такую ерунду у них просто нет времени. Правильно?

 

А как вам понравились сотовые магические квадраты? Мне очень понравились! Я такие магические квадраты ещё нигде не встречала, кроме как в книге Чебракова. Однако автор книги не привёл ни ассоциативных, ни пандиагональных, ни идеальных сотовых квадратов, а только магические, не обладающие никакими дополнительными свойствами.

 

***

 

Ну, вот и пришло решение задачи на форуме. Сообщают, что с точностью до багов в Мапле система не имеет решения.

Всё правильно! Хотела удалить здесь эту систему уравнений, но потом передумала. Ошибочное решение – тоже решение! Тем более что оно показывает один из путей решения задачи (продолжение этого решения см. ниже).

 

После того, как я загрузила статью на сайт (вот эту самую статью, которую сейчас продолжаю писать), стала её перечитывать с целью проверки. И при внимательном рассмотрении вспомогательного квадрата 16-ого порядка на рис. 24 увидела, что он и ассоциативный, и пандиагональный! В том примере этот вспомогательный квадрат составлялся для построения совершенного сотового квадрата 16-ого порядка. Поэтому я и не обратила внимания на его ассоциативность (пандиагональность и в том примере была нужна). Но вот теперь этот квадрат у нас имеется. Остаётся сложить поэлементно два вспомогательных квадрата (рис. 24 и рис. 28), и мы получаем первый идеальный сотовый квадрат! Смотрите его на рис. 30.

 

 

Рис. 30

 

Если построенные выше совершенные сотовые квадраты не совсем совершенные, то построенный сейчас идеальный квадрат идеальный в полном смысле этого понятия: он ассоциативный и пандиагональный одновременно. Обратите внимание на выделенную красным цветом начальную цепочку, она похожа по форме на начальную цепочку в исходном идеальном квадрате 8-ого порядка (рис. 27), только образована она целыми блоками 2х2.

Понятно, что, взяв в качестве исходного квадрата другой идеальный квадрат 8-ого порядка, мы построим описанным методом новый идеальный сотовый квадрат 16-ого порядка. Предлагаю читателям проделать это.

 

Ну, а что же со вторым вспомогательным квадратом 8-ого порядка, который я неудачно пыталась построить выше? Всё оказалось очень просто. Я построила этот квадрат по аналогии с квадратом 16-ого порядка. И вот каким он получился (рис. 31):

 

 

Рис. 31

 

Сравните этот квадрат с квадратом на рис. 29; вы увидите, что начальное заполнение квадрата было неправильным. Если сделать начальное заполнение квадрата таким, как в квадрате на рис. 31, и составить новую систему уравнений, наверняка она будет иметь решение.

 

А теперь продолжу тот самый путь решения задачи, то есть составлю второй вспомогательный квадрат 16-ого порядка, используя квадрат с рис. 31. Для этого надо в матрицу 16х16 поместить четыре копии этого квадрата. Полученный таким образом квадрат изображён на рис. 32.

 

 

Рис. 32

 

Легко убедиться в том, что этот квадрат тоже обладает свойствами ассоциативности и пандиагональности. А вот свойством комплементарности он не обладает, в отличие от квадрата с рис. 24, но нам сейчас это свойство и не нужно.

Итак, имеем новую пару вспомогательных квадратов: первый вспомогательный квадрат остаётся прежний (рис. 28), а второй вспомогательный квадрат берём новый – с рис. 32. Сложив поэлементно эти вспомогательные квадраты, получаем новый сотовый идеальный квадрат 16-ого порядка (рис. 33).

 

 

Рис. 33

 

Как видим, форма начальной цепочки сохранилась, то есть квадрат получился подобным квадрату с рис. 30, однако эти два квадрата не эквивалентны.

Таким образом, этот путь решения задачи тоже доведён до конца.

 

Как уже было сказано выше, идеальный сотовый квадрат 8-ого порядка нельзя построить данным методом, так как не существует идеального квадрата 4-ого порядка, который надо было бы взять в качестве исходного для такого построения. Однако существует нетрадиционный идеальный квадрат 4-ого порядка (рис. 34) [квадрат построен в статье “Нетрадиционные идеальные квадраты”: http://www.klassikpoez.narod.ru/idnet.htm ]. Его и возьмём в качестве исходного и построим нетрадиционный идеальный сотовый квадрат 8-ого порядка данным методом.

 

 

Рис. 34

 

Для построения первого вспомогательного квадрата не будем делать заготовку, а составим этот квадрат прямо из исходного квадрата с рис. 34. Готовый первый вспомогательный квадрат показан на рис. 35.

 

 

                                                     Рис. 35

 

Второй вспомогательный квадрат берём с рис. 31. Сложив поэлементно два вспомогательных квадрата (рис. 31 и рис. 35), получаем такой нетрадиционный идеальный сотовый квадрат 8-ого порядка (рис. 36):

 

 

                                                     Рис. 36

 

Магическая константа этого квадрата равна 64.

Можно ли построить традиционный идеальный сотовый квадрат 8-ого порядка другим методом или такого квадрата вообще не существует? Этот вопрос остаётся открытым.

 

Далее, конечно, интересно разработать алгоритм построения второго вспомогательного квадрата для построения идеальных сотовых квадратов любого порядка n = 8k, k>1. Алгоритм построения первого вспомогательного квадрата чётко описан и не вызывает никаких затруднений. Его надо только формализовать и запрограммировать. А вот со вторым вспомогательным квадратом несколько сложнее. Хотя теперь, когда уже есть примеры таких квадратов 16-ого порядка (см. рис. 24 и рис. 32), тоже легко разработать алгоритм построения таких квадратов.

 

Так, например, для построения сотового идеального квадрата следующего – 24-ого – порядка надо взять в качестве исходного любой идеальный магический квадрат 12-ого порядка (такие квадраты известны). Процедуру замены чисел 1, 2, 3, … на числа 1, 5, 9, …, разумеется, надо запрограммировать. Превращение каждой ячейки в квадрат 2х2 – тоже. Далее надо придумать, как составить второй вспомогательный квадрат 24х24 так, чтобы он обладал свойствами ассоциативности и пандиагональности. Хорошая задача! Затем надо придумать, как составить такой квадрат для любого порядка рассматриваемой серии. Самой очень хочется решить эту задачу, но есть другие планы. Может быть, как-нибудь займусь задачей на досуге.

 

В заключение покажу один очень интересный пример сотового магического квадрата 16-ого порядка. Этот квадрат “блочно” бимагический! В качестве исходного квадрата для построения возьму бимагический квадрат 8-ого порядка из книги Ю. В. Чебракова (стр. 123, рис. 2.17.3). Вы видите этот квадрат на рис. 37.

 

 

                                                     Рис. 37

 

Напомню, что бимагическим называется такой квадрат, который остаётся магическим (конечно, нетрадиционным) после замены всех его элементов на их квадраты. Приведённый квадрат кроме свойства бимагичности обладает свойством ассоциативности.

Подробности построения первого вспомогательного квадрата опускаю, читатели уже знают, как строится этот квадрат. На рис. 38 изображён первый вспомогательный квадрат.

 

 

Рис. 38

 

В качестве второго вспомогательного квадрата можно взять квадраты с рис. 18, с рис. 24 или с рис. 32 (все эти квадраты обладают свойством ассоциативности). Возьмём последний. Сложив поэлементно два вспомогательных квадрата (рис. 32 и рис. 38), получаем следующий сотовый магический квадрат (рис. 39):

 

 

Рис. 39

 

Как и исходный квадрат, этот сотовый квадрат обладает свойством ассоциативности. Кроме того, он “блочно” бимагический! Это значит, что бимагической является его “блочная свёртка”. Как делать такую свёртку, объяснялось выше. На рис. 40 изображена “блочная свёртка”, полученная из данного квадрата.

 

 

                                                     Рис. 40

 

И перед вами нетрадиционный бимагический квадрат 8-ого порядка. Понятно, что его магическая константа равна удвоенной магической константе квадрата 16-ого порядка. Если заменить все элементы в этом квадрате их квадратами, получится нетрадиционный магический квадрат с магической константой 2812448.

 

***

 

Не могла удержаться от соблазна построить сотовый идеальный квадрат 24-ого порядка. Для построения взяла в качестве исходного построенный мной идеальный квадрат 12-ого порядка с линейной начальной цепочкой [оригинальный!] (рис. 41).

 

 

                                                     Рис. 41

 

Процедуру замены чисел 1, 2, 3, 4, … на числа 1, 5, 9, 13, … в этом квадрате, конечно, надо автоматизировать, что делается очень просто. Фактически расположение чисел в исходном квадрате показывает, какой по порядковому номеру член арифметической прогрессии следует записать в ту или иную ячейку. Например, в правую верхнюю ячейку надо записать 78-ой член арифметической прогрессии, и вычислить этот член можно по формуле для n-ого члена арифметической прогрессии:

 

a_n = a₁ + d*(n-1)

 

В нашей арифметической прогрессии a₁ = 1, d = 4. Таким образом, 78-ой член арифметической прогрессии, который надо записать в правую верхнюю ячейку нового квадрата, равен: 1+ 4*77 = 309. В нижнюю правую ячейку надо записать 144-ый член арифметической прогрессии, который будет равен: 1 + 4*143 = 573.

Составляю программку для этой процедуры и мгновенно получаю с её помощью заготовку для первого вспомогательного квадрата:

 

1  381  121  397  489  305  41  341  125  421  513  309

465  213  529  285  73  157  441  209  569  245  77  181

413  517  321  21  337  141  409  493  297  17  377  101

281  53  173  469  225  549  241  93  169  445  201  545

9  353  137  389  509  325  33  357  97  429  505  301

457  205  537  257  89  149  461  229  561  261  49  189

385  525  313  13  345  113  425  485  317  37  369  117

273  69  145  477  217  541  249  65  185  437  221  565

29  373  129  405  481  333  25  349  105  401  521  293

473  197  557  277  81  165  433  237  553  253  57  161

393  497  329  5  365  133  417  501  289  45  361  109

265  61  153  449  233  533  269  85  177  453  193  573

 

Осталось превратить каждую ячейку этого квадрата в квадрат 2х2 и записать в него число из заменяемой ячейки. Эту процедуру тоже, разумеется, можно автоматизировать. На рис. 42 изображён первый вспомогательный квадрат.

 

 

Рис. 42

 

Это нетрадиционный магический квадрат с магической константой 6888, обладающий свойствами ассоциативности и пандиагональности.

Осталось составить второй вспомогательный квадрат. Для этого используем квадрат с рис. 31. Поместим в матрицу 24х24 девять копий этого квадрата и получим нужный второй вспомогательный квадрат. Вы видите его на рис. 43.