СОТОВЫЕ МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ

 

Прежде всего замечу, что для лучшего понимания данной статьи необходимо ознакомиться со статьями:

 

http://www.natalimak1.metody5.htm

http://www.natalimak1.metody6.htm

 

В указанных статьях вы найдёте подробное изложение метода сотовых квадратов, которое приведено по книге Ю. В. Чебракова. Автор книги называет этот метод модифицированным методом террас, а построенные данным методом магические квадраты “2*2 ячеечными”. Мне такое название показалось несколько неуклюжим, и я назвала такие квадраты сотовыми. Дам определение сотового магического квадрата:

 

Магический квадрат порядка n = 2k (k>2) называется сотовым, если он составлен из квадратов 2х2, в каждом из которых записаны четыре последовательных числа.

 

Примечание: в определении речь идёт о традиционном магическом квадрате. Очевидно, что сотовый квадрат может быть и нетрадиционным. Один из двух вспомогательных нетрадиционных магических квадратов, используемых при построении магического сотового квадрата, будет сотовым квадратом в смысле данного определения. Он тоже составляется из квадратов 2х2, но в каждом таком квадрате записываются четыре числа – 0, 1, 2, 3 (эти четыре числа тоже последовательные).

 

Сотовые магические квадраты – совершенно новый тип магических квадратов, поэтому я решила остановиться на них подробнее.

 

Автор книги рассматривает три случая построения сотовых квадратов (моё изложение метода следует по такому же пути):

 

1. квадраты порядка n = 4k + 2, k = 1, 2, 3… ;

2. квадраты порядка n = 8k + 4, k = 1, 2, 3… ;

3. квадраты порядка n = 8k, k = 1, 2, 3… .

 

Понятно, что минимальный сотовый магический квадрат имеет порядок 6.

Из трёх перечисленных случаев наибольший интерес представляют квадраты порядка n = 8k, потому что только сотовые квадраты данной серии порядков могут быть ассоциативными, пандиагональными и идеальными. Но в книге не приведено ни одного примера построения сотовых магических квадратов данной серии порядков.

Здесь рассматриваются такие примеры. Минимальный порядок квадрата данной серии порядков равен 8. Для построения сотового квадрата порядка n = 8k надо взять в качестве исходного квадрата любой магический квадрат порядка n = 4k. Далее приведено несколько примеров построения сотового квадрата 8-ого порядка.

 

Пример 1

 

Возьмём в качестве исходного магический квадрат 4-ого порядка, не обладающий никакими дополнительными свойствами (рис. 1).

 

1

2

15

16

12

14

3

5

13

7

10

4

8

11

6

9

 

Рис. 1

 

Построение первого вспомогательного квадрата из исходного квадрата с рис. 1 не описывается здесь подробно (см. об этом в указанных выше статьях). На рис. 2 приведён готовый первый вспомогательный квадрат 8х8.

 

1

1

5

5

57

57

61

61

1

1

5

5

57

57

61

61

45

45

53

53

9

9

17

17

45

45

53

53

9

9

17

17

49

49

25

25

37

37

13

13

49

49

25

25

37

37

13

13

29

29

41

41

21

21

33

33

29

29

41

41

21

21

33

33

 

Рис. 2

 

Этот вспомогательный квадрат является нетрадиционным магическим квадратов с магической константой 248. Он тоже составлен из квадратов 2х2, но в каждом таком квадрате записаны четыре одинаковых числа. Нетрудно увидеть, что этот нетрадиционный магический квадрат, как и исходный магический квадрат, не обладает никакими дополнительными свойствами – ни ассоциативностью, ни пандиагональностью.

Второй вспомогательный квадрат был построен в одной из указанных выше статей на основании схемы расположения блоков 2х2, приведённой в книге Чебракова. На рис. 3 вы видите этот вспомогательный сотовый квадрат.

 

0

1

3

2

3

2

0

1

2

3

1

0

1

0

2

3

3

2

0

1

0

1

3

2

1

0

2

3

2

3

1

0

3

2

0

1

0

1

3

2

1

0

2

3

2

3

1

0

0

1

3

2

3

2

0

1

2

3

1

0

1

0

2

3

 

                                                     Рис. 3

 

Это нетрадиционный магический сотовый квадрат с магической константой 12. Очевидно, что он обладает свойством ассоциативности.

Теперь осталось сложить поэлементно два вспомогательных квадрата, и магический сотовый квадрат 8-ого порядка готов (рис. 4).

 

1

2

8

7

60

59

61

62

3

4

6

5

58

57

63

64

48

47

53

54

9

10

20

19

46

45

55

56

11

12

18

17

52

51

25

26

37

38

16

15

50

49

27

28

39

40

14

13

29

30

44

43

24

23

33

34

31

32

42

41

22

21

35

36

 

                                                     Рис. 4

 

Полученный магический сотовый квадрат не обладает никакими дополнительными свойствами. Хотя второй вспомогательный квадрат ассоциативен, этого не достаточно, чтобы магический сотовый квадрат тоже был ассоциативным, надо, чтобы этим свойством обладал также первый вспомогательный квадрат. Такой пример сейчас и будет рассмотрен.

 

Пример 2

 

Возьмём в качестве исходного квадрата для построения первого вспомогательного квадрат ассоциативный квадрат 4-ого порядка (рис. 5).

 

1

14

15

4

12

7

6

9

8

11

10

5

13

2

3

16

 

Рис. 5

 

На рис. 6 изображён готовый первый вспомогательный квадрат 8х8, построенный с помощью этого исходного квадрата.

 

1

1

53

53

57

57

13

13

1

1

53

53

57

57

13

13

45

45

25

25

21

21

33

33

45

45

25

25

21

21

33

33

29

29

41

41

37

37

17

17

29

29

41

41

37

37

17

17

49

49

5

5

9

9

61

61

49

49

5

5

9

9

61

61

 

Рис. 6

 

Очевидно, что этот нетрадиционный магический квадрат обладает свойством ассоциативности. Второй вспомогательный квадрат возьмём тот же самый, что и в примере 1 (рис. 3). Сложим поэлементно два вспомогательных квадрата и получим новый сотовый магический квадрат 8-ого порядка, который будет ассоциативным, так как оба вспомогательных квадрата ассоциативны. Смотрите этот сотовый квадрат на рис. 7.

 

1

2

56

55

60

59

13

14

3

4

54

53

58

57

15

16

48

47

25

26

21

22

36

35

46

45

27

28

23

24

34

33

32

31

41

42

37

38

20

19

30

29

43

44

39

40

18

17

49

50

8

7

12

11

61

62

51

52

6

5

10

9

63

64

 

                                                     Рис. 7

 

Пример 3

 

Возьмём в качестве исходного квадрата для построения первого вспомогательного квадрата пандиагональный квадрат 4-ого порядка (рис. 8).

 

1

8

13

12

14

11

2

7

4

5

16

9

15

10

3

6

 

Рис. 8

 

Как известно, все пандиагональные квадраты 4-ого порядка являются совершенными. Следовательно, исходный квадрат у нас и пандиагональный, и совершенный. Будем строить магический сотовый квадрат 8-ого порядка. Сначала построим первый вспомогательный квадрат (рис. 9).

 

1

1

29

29

49

49

45

45

1

1

29

29

49

49

45

45

53

53

41

41

5

5

25

25

53

53

41

41

5

5

25

25

13

13

17

17

61

61

33

33

13

13

17

17

61

61

33

33

57

57

37

37

9

9

21

21

57

57

37

37

9

9

21

21

 

                                                     Рис. 9

 

Нетрудно убедиться в том, что этот нетрадиционный магический квадрат является пандиагональным.

А теперь надо построить второй вспомогательный квадрат так, чтобы он тоже был пандиагональным. Для этого применим к ассоциативному квадрату с рис. 3 преобразование трёх квадратов, которые превращает ассоциативный квадрат чётно-чётного порядка в пандиагональный. В результате применения этого преобразования получаем пандиагональный сотовый вспомогательный квадрат, изображённый на рис. 10.

 

0

1

3

2

1

0

2

3

2

3

1

0

3

2

0

1

3

2

0

1

2

3

1

0

1

0

2

3

0

1

3

2

2

3

1

0

3

2

0

1

0

1

3

2

1

0

2

3

1

0

2

3

0

1

3

2

3

2

0

1

2

3

1

0

 

                                                     Рис. 10

 

Складываем поэлементно вспомогательные квадраты с рис. 9 и с рис. 10. Полученный сотовый магический квадрат 8-ого порядка показан на рис. 11.

 

1

2

32

31

50

49

47

48

3

4

30

29

52

51

45

46

56

55

41

42

7

8

26

25

54

53

43

44

5

6

28

27

15

16

18

17

64

63

33

34

13

14

20

19

62

61

35

36

58

57

39

40

9

10

24

23

60

59

37

38

11

12

22

21

 

                                                     Рис. 11

 

Удивительный пандиагональный квадрат с оригинальной начальной цепочкой. На следующем рисунке (рис. 12) изображён этот квадрат с выделенной начальной цепочкой. Начальная цепочка тоже напоминает ход коня, но ход этот делается целым блоком 2х2. Примечательно, что в исходном пандиагональном квадрате 4-ого порядка (см. рис. 8) начальная цепочка строится точно таким же ходом коня.

 

1

2

32

31

50

49

47

48

3

4

30

29

52

51

45

46

56

55

41

42

7

8

26

25

54

53

43

44

5

6

28

27

15

16

18

17

64

63

33

34

13

14

20

19

62

61

35

36

58

57

39

40

9

10

24

23

60

59

37

38

11

12

22

21

 

                                                     Рис. 12

 

Ещё более поразительно в этом квадрате то, что он является совершенным! Только некоторые свойства совершенного квадрата в нём выполняются “блочно”, то есть не для ячеек квадрата, а для блоков 2х2 (пояснение ниже).

Сумма чисел в угловых ячейках квадрата равна 130, как и должно быть в совершенном квадрате. Свойство комплементарности тоже выполняется (подробно о свойствах совершенных квадратов смотрите в соответствующей статье о совершенных квадратах). А вот свойство: сумма чисел в любом квадрате 2х2 равна 130, в этом квадрате, конечно, не выполняется. Это свойство как раз и выполняется “блочно”. Поясню, что это значит.  Заменим каждый квадрат 2х2 (называемый также блоком) на одну ячейку и в эту ячейку запишем сумму чисел из заменяемого блока. Полученный квадрат изображён на рис. 13.

 

10

122

202

186

218

170

26

106

58

74

250

138

234

154

42

90

 

Рис. 13

 

В этом нетрадиционном магическом квадрате, который представляет собой “блочную свёртку” квадрата с рис. 12, выполняются абсолютно все свойства совершенного квадрата. Сумма чисел в любом квадрате 2х2 равна одному и тому же числу, только, конечно, не 130, а 520. Кроме того, в этом квадрате выполняется свойство комплементарности. Сумма чисел в угловых ячейках тоже равна 520. В довершение всего он является пандиагональным. Его магическая константа равна 520.

Если считать в этом нетрадиционном магическом квадрате начальной цепочкой первые четыре наименьших числа, то даже эта условная начальная цепочка совпадает по форме с начальной цепочкой в исходном квадрате (рис. 8).

 

Вот такой интересный совершенный сотовый квадрат мы получили! Ну, даже если его нельзя считать полностью совершенным квадратом, то пандиагональным он является.

 

Идеальный сотовый квадрат 8-ого порядка мы не можем построить данным методом, потому что идеального квадрата 4-ого порядка не существует.

 

Интересно отметить, что другой пандиагональный сотовый квадрат 8-ого порядка можно получить из ассоциативного сотового квадрата с рис. 7 применением к нему преобразования трёх квадратов. Этот квадрат показан на рис. 14.

 

1

2

56

55

14

13

59

60

3

4

54

53

16

15

57

58

48

47

25

26

35

36

22

21

46

45

27

28

33

34

24

23

51

52

6

5

64

63

9

10

49

50

8

7

62

61

11

12

30

29

43

44

17

18

40

39

32

31

41

42

19

20

38

37

 

                                                     Рис. 14

 

Получился совсем новый магический сотовый квадрат не эквивалентный квадрату с рис. 12. На рис. 15 показан этот сотовый квадрат с выделенной начальной цепочкой.

 

1

2

56

55

14

13

59

60

3

4

54

53

16

15

57

58

48

47

25

26

35

36

22

21

46

45

27

28

33

34

24

23

51

52

6

5

64

63

9

10

49

50

8

7

62

61

11

12

30

29

43

44

17

18

40

39

32

31

41

42

19

20

38

37

 

                                                     Рис. 15

 

Как видим, начальная цепочка тоже получается ходом коня (причём целым блоком 2х2), но по-другому, нежели в квадрате на рис. 12. Очевидно, что этот пандиагональный квадрат также обладает некоторыми свойствами совершенного квадрата, как и построенный выше квадрат (рис. 12). Предлагаю читателям сделать “блочную свёртку” этого квадрата и убедиться, что она является нетрадиционным совершенным магическим квадратом 4-ого порядка.

 

На этом я завершаю демонстрацию построения сотовых магических квадратов 8-ого порядка. Далее будет рассмотрено построение сотовых магических квадратов 16-ого порядка.

 

***

 

Переходим к построению сотовых магических квадратов 16-ого порядка. Для такого построения в качестве исходного берётся любой магический квадрат 8-ого порядка. От свойств этого квадрата будут зависеть свойства построенного сотового квадрата 16-ого порядка. Рассмотрим несколько примеров.

 

Пример 1

 

Возьмём в качестве исходного квадрата ассоциативный магический квадрат 8-ого порядка, построенный методом квадратных рамок (рис. 16).

 

1

58

22

45

44

19

63

8

16

23

59

36

37

62

18

9

24

15

35

60

61

38

10

17

25

34

14

53

52

11

39

32

33

26

54

13

12

51

31

40

48

55

27

4

5

30

50

41

56

47

3

28

29

6

42

49

57

2

46

21

20

43

7

64

 

                                                                       Рис. 16

 

Заготовка для первого вспомогательного квадрата по алгоритму автора книги получается заменой всех чисел в этом исходном квадрате на числа 1, 5, 9, 13, …, то есть на числа, являющиеся членами арифметической прогрессии с разностью 4. Однако делать такую замену в квадрате 8-ого порядка уже не совсем удобно (в отличие от квадрата 4-ого порядка). Поэтому здесь предлагается альтернативный вариант: надо построить нетрадиционный магический квадрат 8-ого порядка методом квадратных рамок (подробно смотрите в одной из указанных выше статей). На рис. 17 изображён первый вспомогательный квадрат.

 

1

1

229

229

85

85

177

177

173

173

73

73

249

249

29

29

1

1

229

229

85

85

177

177

173

173

73

73

249

249

29

29

61

61

89

89

233

233

141

141

145

145

245

245

69

69

33

33

61

61

89

89

233

233

141

141

145

145

245

245

69

69

33

33

93

93

57

57

137

137

237

237

241

241

149

149

37

37

65

65

93

93

57

57

137

137

237

237

241

241

149

149

37

37

65

65

97

97

133

133

53

53

209

209

205

205

41

41

153

153

125

125

97

97

133

133

53

53

209

209

205

205

41

41

153

153

125

125

129

129

101

101

213

213

49

49

45

45

201

201

121

121

157

157

129

129

101

101

213

213

49

49

45

45

201

201

121

121

157

157

189

189

217

217

105

105

13

13

17

17

117

117

197

197

161

161

189

189

217

217

105

105

13

13

17

17

117

117

197

197

161

161

221

221

185

185

9

9

109

109

113

113

21

21

165

165

193

193

221

221

185

185

9

9

109

109

113

113

21

21

165

165

193

193

225

225

5

5

181

181

81

81

77

77

169

169

25

25

253

253

225

225

5

5

181

181

81

81

77

77

169

169

25

25

253

253

 

                                                     Рис. 17

 

Это нетрадиционный магический квадрат, обладающий свойством ассоциативности. Его магическая константа равна 2032.

Для построения второго вспомогательного квадрат используем квадрат с рис. 3. Очевидно, что если разместить четыре таких квадрата в матрице 16х16, получится нетрадиционный ассоциативный квадрат с магической константой 24. Вы видите этот квадрат на рис. 18.

 

0

1

3

2

3

2

0

1

0

1

3

2

3

2

0

1

2

3

1

0

1

0

2

3

2

3

1

0

1

0

2

3

3

2

0

1

0

1

3

2

3

2

0

1

0

1

3

2

1

0

2

3

2

3

1

0

1

0

2

3

2

3

1

0

3

2

0

1

0

1

3

2

3

2

0

1

0

1

3

2

1

0

2

3

2

3

1

0

1

0

2

3

2

3

1

0

0

1

3

2

3

2

0

1

0

1

3

2

3

2

0

1

2

3

1

0

1

0

2

3

2

3

1

0

1

0

2

3

0

1

3

2

3

2

0

1

0

1

3

2

3

2

0

1

2

3

1

0

1

0

2

3

2

3

1

0

1

0

2

3

3

2

0

1

0

1

3

2

3

2

0

1

0

1

3

2

1

0

2

3

2

3

1

0

1

0

2

3

2

3

1

0

3

2

0

1

0

1

3

2

3

2

0

1

0

1

3

2

1

0

2

3

2

3

1

0

1

0

2

3

2

3

1

0

0

1

3

2

3

2

0

1

0

1

3

2

3

2

0

1

2

3

1

0

1

0

2

3

2

3

1

0

1

0

2

3

 

Рис. 18

 

Сложим поэлементно два вспомогательных квадрата (рис. 17 и рис. 18) и магический сотовый квадрат 16-ого порядка готов (рис. 19).

 

1

2

232

231

88

87

177

178

173

174

76

75

252

251

29

30

3

4

230

229

86

85

179

180

175

176

74

73

250

249

31

32

64

63

89

90

233

234

144

143

148

147

245

246

69

70

36

35

62

61

91

92

235

236

142

141

146

145

247

248

71

72

34

33

96

95

57

58

137

138

240

239

244

243

149

150

37

38

68

67

94

93

59

60

139

140

238

237

242

241

151

152

39

40

66

65

97

98

136

135

56

55

209

210

205

206

44

43

156

155

125

126

99

100

134

133

54

53

211

212

207

208

42

41

154

153

127

128

129

130

104

103

216

215

49

50

45

46

204

203

124

123

157

158

131

132

102

101

214

213

51

52

47

48

202

201

122

121

159

160

192

191

217

218

105

106

16

15

20

19

117

118

197

198

164

163

190

189

219

220

107

108

14

13

18

17

119

120

199

200

162

161

224

223

185

186

9

10

112

111

116

115

21

22

165

166

196

195

222

221

187

188

11

12

110

109

114

113

23

24

167

168

194

193

225

226

8

7

184

183

81

82

77

78

172

171

28

27

253

254

227

228

6

5

182

181

83

84

79

80

170

169

26

25

255

256

 

Рис. 19

 

Полученный сотовый магический квадрат тоже ассоциативный. Мы можем сразу же превратить его в пандиагональный сотовый квадрат, применив преобразование трёх квадратов. На рис. 20 показан полученный пандиагональный сотовый квадрат.

 

1

2

232

231

88

87

177

178

30

29

251

252

75

76

174

173

3

4

230

229

86

85

179

180

32

31

249

250

73

74

176

175

64

63

89

90

233

234

144

143

35

36

70

69

246

245

147

148

62

61

91

92

235

236

142

141

33

34

72

71

248

247

145

146

96

95

57

58

137

138

240

239

67

68

38

37

150

149

243

244

94

93

59

60

139

140

238

237

65

66

40

39

152

151

241

242

97

98

136

135

56

55

209

210

126

125

155

156

43

44

206

205

99

100

134

133

54

53

211

212

128

127

153

154

41

42

208

207

227

228

6

5

182

181

83

84

256

255

25

26

169

170

80

79

225

226

8

7

184

183

81

82

254

253

27

28

171

172

78

77

222

221

187

188

11

12

110

109

193

194

168

167

24

23

113

114

224

223

185

186

9

10

112

111

195

196

166

165

22

21

115

116

190

189

219

220

107

108

14

13

161

162

200

199

120

119

17

18

192

191

217

218

105

106

16

15

163

164

198

197

118

117

19

20

131

132

102

101

214

213

51

52

160

159

121

122

201

202

48

47

129

130

104

103

216

215

49

50

158

157

123

124

203

204

46

45

 

Рис. 20

 

В квадрате выделена начальная цепочка.

 

Если вы возьмёте в качестве исходного квадрата пандиагональный квадрат 8-ого порядка и второй вспомогательный квадрат тоже сделаете пандиагональным (это легко сделать, применив к квадрату с рис. 18 преобразование трёх квадратов), то получите новый пандиагональный сотовый квадрат 16-ого порядка не эквивалентный квадрату, изображённому на рис. 20. Такое построение уже было показано в одной из указанных выше статей.

 

Пример 2

 

А теперь возьмём в качестве исходного совершенный квадрат 8-ого порядка, изображённый на рис. 21.

 

1

32

17

16

57

40

41

56

58

39

42

55

2

31

18

15

3

30

19

14

59

38

43

54

60

37

44

53

4

29

20

13

8

25

24

9

64

33

48

49

63

34

47

50

7

26

23

10

6

27

22

11

62

35

46

51

61

36

45

52

5

28

21

12

 

                                                                       Рис. 21

 

К сожалению, здесь нельзя применить метод квадратных рамок при составлении заготовки для первого вспомогательного квадрата, поэтому придётся делать замену чисел непосредственно. Заготовка, полученная после замены чисел 1, 2, 3, …, 64 на числа 1, 5, 9, 13, … , 253, показана на рис. 22. Напомню, что замена производится соответственно в порядке следования чисел в обеих последовательностях.

 

1

125

65

61

225

157

161

221

229

153

165

217

5

121

69

57

9

117

73

53

233

149

169

213

237

145

173

209

13

113

77

49

29

97

93

33

253

129

189

193

249

133

185

197

25

101

89

37

21

105

85

41

245

137

181

201

241

141

177

205

17

109

81

45

 

                                                                       Рис. 22

 

Превращаем заготовку в первый вспомогательный квадрат. Для этого, как помнят читатели, надо каждую ячейку заменить квадратом 2х2 и записать в этот квадрат число из заменяемой ячейки. Первый вспомогательный квадрат изображён на рис. 23.

 

1

1

125

125

65

65

61

61

225

225

157

157

161

161

221

221

1

1

125

125

65

65

61

61

225

225

157

157

161

161

221

221

229

229

153

153

165

165

217

217

5

5

121

121

69

69

57

57

229

229

153

153

165

165

217

217

5

5

121

121

69

69

57

57

9

9

117

117

73

73

53

53

233

233

149

149

169

169

213

213

9

9

117

117

73

73

53

53

233

233

149

149

169

169

213

213

237

237

145

145

173

173

209

209

13

13

113

113

77

77

49

49

237

237

145

145

173

173

209

209

13

13

113

113

77

77

49

49

29

29

97

97

93

93

33

33

253

253

129

129

189

189

193

193

29

29

97

97

93

93

33

33

253

253

129

129

189

189

193

193

249

249

133

133

185

185

197

197

25

25

101

101

89

89

37

37

249

249

133

133

185

185

197

197

25

25

101

101

89

89

37

37

21

21

105

105

85

85

41

41

245

245

137

137

181

181

201

201

21

21

105

105

85

85

41

41

245

245

137

137

181

181

201

201

241

241

141

141

177

177

205

205

17

17

109

109

81

81

45

45

241

241

141

141

177

177

205

205

17

17

109

109

81

81

45

45

 

Рис. 23

 

Это нетрадиционный магический квадрат с магической константой 2032, обладающий свойством пандиагональности.

Для построения второго вспомогательного квадрата используем квадрат с рис. 10. Разместим в верхней половине матрицы 16х16 две копии этого квадрата, а в нижней половине матрицы – два одинаковых квадрата, полученных из этого квадрата отражением относительно вертикальной оси симметрии. Полученный в результате второй вспомогательный квадрат изображён на рис. 24.

 

0

1

3

2

1

0

2

3

0

1

3

2

1

0

2

3

2

3

1

0

3

2

0

1

2

3

1

0

3

2

0

1

3

2

0

1

2

3

1

0

3

2

0

1

2

3

1

0

1

0

2

3

0

1

3

2

1

0

2

3

0

1

3

2

2

3

1

0

3

2

0

1

2

3

1

0

3

2

0

1

0

1

3

2

1

0

2

3

0

1

3

2

1

0

2

3

1

0

2

3

0

1

3

2

1

0

2

3

0

1

3

2

3

2

0

1

2

3

1

0

3

2

0

1

2

3

1

0

3

2

0

1

2

3

1

0

3

2

0

1

2

3

1

0

1

0

2

3

0

1

3

2

1

0

2

3

0

1

3

2

0

1

3

2

1

0

2

3

0

1

3

2

1

0

2

3

2

3

1

0

3

2

0

1

2

3

1

0

3

2

0

1

1

0

2

3

0

1

3

2

1

0

2

3

0

1

3

2

3

2

0

1

2

3

1

0

3

2

0

1

2

3

1

0

2

3

1

0

3

2

0

1

2

3

1

0

3

2

0

1

0

1

3

2

1

0

2

3

0

1

3

2

1

0

2

3

 

Рис. 24

 

Симметрия в этом квадрате поразительная. Квадрат является нетрадиционным пандиагональным квадратом с магической константой 24.

Сложим поэлементно два вспомогательных квадрата (рис. 23 и рис. 24) и получим следующий пандиагональный сотовый квадрат (рис. 25):

 

1

2

128

127

66

65

63

64

225

226

160

159

162

161

223

224

3

4

126

125

68

67

61

62

227

228

158

157

164

163

221

222

232

231

153

154

167

168

218

217

8

7

121

122

71

72

58

57

230

229

155

156

165

166

220

219

6

5

123

124

69

70

60

59

11

12

118

117

76

75

53

54

235

236

150

149

172

171

213

214

9

10

120

119

74

73

55

56

233

234

152

151

170

169

215

216

238

237

147

148

173

174

212

211

14

13

115

116

77

78

52

51

240

239

145

146

175

176

210

209

16

15

113

114

79

80

50

49

32

31

97

98

95

96

34

33

256

255

129

130

191

192

194

193

30

29

99

100

93

94

36

35

254

253

131

132

189

190

196

195

249

250

136

135

186

185

199

200

25

26

104

103

90

89

39

40

251

252

134

133

188

187

197

198

27

28

102

101

92

91

37

38

22

21

107

108

85

86

44

43

246

245

139

140

181

182

204

203

24

23

105

106

87

88

42

41

248

247

137

138

183

184

202

201

243

244

142

141

180

179

205

206

19

20

110

109

84

83

45

46

241

242

144

143

178

177

207

208

17

18

112

111

82

81

47

48

 

Рис. 25

 

Этот сотовый квадрат помимо пандиагональности обладает и несколькими свойствами совершенного квадрата. Сумма чисел в угловых ячейках равна 514, как и должно быть в совершенном квадрате. Выполняется и свойство комплементарности.

Обратите внимание на начальную цепочку в этом квадрате, она похожа по форме на начальную цепочку в исходном совершенном квадрате 8-ого порядка (рис. 21), только образована целыми блоками 2х2.

Сделаем “блочную свёртку” этого пандиагонального сотового квадрата (рис. 26):

 

10

506

266

250

906

634

650

890

922

618

666

874

26

490

282

234

42

474

298

218

938

602

682

858

954

586

698

842

58

458

314

202

122

394

378

138

1018

522

762

778

1002

538

746

794

106

410

362

154

90

426

346

170

986

554

730

810

970

570

714

826

74

442

330

186

 

                                                                       Рис. 26

 

И перед вами нетрадиционный совершенный квадрат 8-ого порядка! В квадрате выделена начальная цепочка, составленная из первых восьми наименьших чисел. По форме эта условная начальная цепочка в точности совпадает с начальной цепочкой в исходном совершенном квадрате 8-ого порядка (рис. 21). Магическая константа этого квадрата равна удвоенной магической константе квадрата 16-ого порядка.

 

Пример 3

 

В этом примере возьмём в качестве исходного квадрата идеальный квадрат 8-ого порядка (рис. 27).

 

1

56

49

47

42

31

26

8

62

11

14

20

21

36

37

59

4

30

27

46

43

53

52

5

63

33

40

17

24

10

15

58

7

50

55

41

48

25

32

2

60

13

12

22

19

38

35

61

6

28

29

44

45

51

54

3

57

39

34

23

18

16

9

64

 

Рис. 27

 

Первый вспомогательный квадрат изображён на рис. 28.

 

1

1

221

221

193

193

185

185

165

165

121

121

101

101

29

29

1

1

221

221

193

193

185

185

165

165

121

121

101

101

29

29

245

245

41

41

53

53

77

77

81

81

141

141

145

145

233

233

245

245

41

41

53

53

77

77

81

81

141

141

145

145

233

233

13

13

117

117

105

105

181

181

169

169

209

209

205

205

17

17

13

13

117

117

105

105

181

181

169

169