СОТОВЫЕ МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ

 

Часть II

 

Данная страница является продолжением страницы

 

http://www.natalimak1.narod.ru/sotov.htm

 

Как я уже отмечала, в книге Чебракова в большинстве случаев не указывается, кто автор того или иного метода. Вот и метод сотовых квадратов неизвестно кому принадлежит.

Вчера просматривала все ссылки по магическим квадратам и наткнулась на эту:

http://www.grogono.com/magic/6x6.php

 

С этого сайта я уже использовала матричные методы построения пандиагональных квадратов. А поскольку квадраты 6-ого порядка не могут быть пандиагональными, то эту страницу сайта я и не стала тогда смотреть внимательно. А сейчас глянула на эту страницу – да это же метод сотовых квадратов! Жалко, что статья на английском языке, и я не всё в ней понимаю. Но пример построения первого магического квадрата 6-ого порядка не оставляет никаких сомнений: это именно метод сотовых квадратов.

Скопирую этот пример построения с данной веб-страницы. Вот первый вспомогательный квадрат (рис. 1):

 

20

20

24

24

4

4

20

20

24

24

4

4

0

0

16

16

32

32

0

0

16

16

32

32

28

28

8

8

12

12

28

28

8

8

12

12

 

Рис. 1

 

Вот второй вспомогательный квадрат (рис. 2):

 

2

1

0

1

2

3

0

3

3

2

1

0

3

0

1

0

3

2

1

2

3

2

1

0

3

2

0

1

0

3

0

1

2

3

2

1

 

Рис. 2

 

А это готовый сотовый квадрат 6-ого порядка, который, очевидно, получен поэлементным сложением двух вспомогательных квадратов (рис. 3):

 

22

21

24

25

6

7

20

23

27

26

5

4

3

0

17

16

35

34

1

2

19

18

33

32

31

30

8

9

12

15

28

29

10

11

14

13

 

Рис. 3

 

Здесь первый вспомогательный квадрат и готовый магический квадрат заполнены числами на единицу меньшими, нежели в привычном традиционном магическом квадрате. Чтобы из квадрата с рис. 3 получить традиционный магический квадрат, надо все его элементы увеличить на единицу.

 

Интересно посмотреть на схему расстановки блоков 2х2 во втором вспомогательном квадрате, в этой схеме использованы 9 разных блоков, такая схема в книге Чебракова не приводится, автор даёт только схемы с использованием трёх разных блоков.  На рис. 4 приведена схема расстановки блоков, соответствующая квадрату с рис. 2 (каждый блок 2х2 заменён его номером).

 

7

16

10

19

14

20

23

6

12

 

Рис. 4

 

Но в книге приводится количество таких схем расстановки (с использованием 9 различных блоков), это количество равно 18886.

 

Далее в указанной статье на веб-сайте приводится одна группа магических квадратов. Вот эти магические квадраты (копирую):

 

24 Examples from 1 Source

 

            1                                 2                                 3                                 4     
22 21 24 25  6  7        21 22 24 26  5  7        17 22 24 30  3  9        22 17 24 25  8  9
20 23 27 26  5  4        20 23 27 25  6  4        16 23 31 25  8  2        16 23 31 30  3  2
 3  0 17 16 35 34        3  0 18 16 35 33         7  0 20 14 35 29         7  0 15 14 35 34
 1  2 19 18 33 32        2  1 19 17 34 32         6  1 21 15 34 28         1  6 21 20 29 28
31 30  8  9 12 15        31 29  8 10 12 15       33 27  4 10 12 19       33 32  4  5 12 19
28 29 10 11 14 13      28 30  9 11 13 14       26 32  5 11 13 18       26 27 10 11 18 13
                          
            5                                  6                                7                                 8     
20 17 24 27  7 10       17 20 24 30  4 10       30 29  8  9 14 15        29 30  8 10 13 15
14 23 33 30  4  1        14 23 33 27  7  1        28 31 11 10 13 12      28 31 11  9 14 12
 9  0 16 13 35 32        9  0 19 13 35 29         3  0 17 16 35 34         3  0 18 16 35 33
 3  6 22 19 29 26        6  3 22 16 32 26         1  2 19 18 33 32         2  1 19 17 34 32
34 31  2  5 12 21        34 28  2  8 12 21        23 22 24 25  4  7        23 21 24 26  4  7
25 28  8 11 18 15       25 31  5 11 15 18       20 21 26 27  6  5        20 22 25 27  5  6
                          
            9                                 10                               11                               12     
32 27  4  5 18 19        27 32  4 10 13 19       31 28  2  5 18 21        28 31  2  8 15 21
26 33 11 10 13 12      26 33 11  5 18 12       25 34 11  8 15 12       25 34 11  5 18 12
 7  0 15 14 35 34        7  0 20 14 35 29         9  0 16 13 35 32         9  0 19 13 35 29
 1  6 21 20 29 28        6  1 21 15 34 28         3  6 22 19 29 26         6  3 22 16 32 26
23 22 24 25  2  9        23 17 24 30  2  9        23 20 24 27  1 10       23 17 24 30  1 10
16 17 30 31  8  3        16 22 25 31  3  8        14 17 30 33  7  4        14 20 27 33  4  7
                          
            13                               14                               15                               16     

23 14  6 15 19 28       25 16  2 11 21 30       26 11 12 15 19 22      31 16  2  5 24 27

5 32 33 24 10  1         7 34 29 20 12  3         8 29 33 30  4  1          13 34 23 20  9 6

27 0 13 4 35 26          27 0 13 3 35 26          21 0 10 7 35 32          21 0 10 7 35 32

9 18 31 22 17  8         9 18 31 22 17  8         3 18 28 25 17 14        3 18 28 25 17 14

34 25  2 11  3 30        32 23  6 15  1 28        34 31  2  5  6 27         29 26 12 15  1 22

7 16 20 29 21 12        5 14 24 33 19 10        13 16 20 23 24  9       8 11 30 33 19  4

                       
            17                               18                               19                               20     
28 11 12 13 20 21      32 15  4  5 24 25        14 23  6 24 10 28       16 25  2 20 12 30
10 29 31 30  3  2        14 33 23 22  7  6        5 32 33 15 19  1         7 34 29 11 21  3
19  0  9  8 35 34         19  0  9  8 35 34         27  0 22  4 35 17        27  0 22  4 35 17
 1 18 27 26 17 16       1 18 27 26 17 16        18  9 31 13 26  8        18  9 31 13 26  8
33 32  4  5  6 25         29 28 12 13  2 21       34 16  2 20  3 30        32 14  6 24  1 28
14 15 22 23 24  7       10 11 30 31 20  3       7 25 11 29 12 21        5 23 15 33 10 19
                          
            21                               22                               23                               24     
11 26 12 30  4 22       16 31  2 20  9 27        11 28 12 30  3 21       15 32  4 22  7 25
 8 29 33 15 19  1        13 34 23  5 24  6        10 29 31 13 20  2       14 33 23  5 24  6
21  0 25  7 35 17        21  0 25  7 35 17        19  0 26  8 35 17        19  0 26  8 35 17
18  3 28 10 32 14       18  3 28 10 32 14       18  1 27  9 34 16        18  1 27  9 34 16
34 16  2 20  6 27        29 11 12 30  1 22       33 15  4 22  6 25        29 11 12 30  2 21
13 31  5 23  9 24        8 26 15 33  4 19         14 32  5 23  7 24        10 28 13 31  3 20

 

И вот тут начинается самое интересное!  Среди этих магических квадратов есть и не сотовые квадраты. Например, квадрат № 10 (рис. 5):

 

28

33

5

11

14

20

27

34

12

6

19

13

8

1

21

15

36

30

7

2

22

16

35

29

24

18

25

31

3

10

17

23

26

32

4

9

 

Рис. 5

 

Примечание: все квадраты я привожу к традиционному виду.

 

В этом квадрате в блоках 2х2 не записаны четыре последовательных числа, как в данном мной определении сотового магического квадрата. Здесь в каждом блоке имеем по две пары последовательных чисел, например: 27, 28 и 33, 34 или 3, 4 и 9, 10. Получается некоторое обобщение сотового квадрата. Но есть ещё и такие квадраты, в которых вообще нет последовательных чисел в блоках 2х2. Например, квадрат № 20 (рис. 6).

 

17

26

3

21

13

31

8

35

30

12

22

4

28

1

23

5

36

18

19

10

32

14

27

9

33

15

7

25

2

29

6

24

16

34

11

20

 

Рис. 6

 

Как видите, в этом квадрате ни в одном блоке 2х2 нет последовательных чисел.

Очевидно, что если для построения магического квадрата использовать вспомогательные квадраты, имеющие такую структуру, как в приведённом выше примере из указанной статьи, то такие квадраты, как на рис. 5 и рис. 6, не получатся. В методе сотовых квадратов (который изложен по книге Чебракова) используются вспомогательные квадраты только такой структуры, как в приведённом примере (см. рис. 1 и рис. 2). Получается, что некоторым варьированием вспомогательных квадратов можно получить ещё множество магических квадратов, имеющих другую структуру, то есть не являющихся сотовыми в смысле данного мной определения сотового магического квадрата. В книге Чебракова такие квадраты не рассматриваются.

 

ОБОБЩЁННЫЙ МЕТОД СОТОВЫХ КВАДРАТОВ

 

Не сразу мне удалось понять, как же происходит варьирование вспомогательных квадратов в указанной статье (ещё английский язык мешает, перевести статью в Google не получилось), но всё-таки поняла. И получается своего рода обобщение метода сотовых квадратов.

Первый вспомогательный квадрат в статье получается из двух квадратов A и B [копирую] (рис. 7):

 

4 x

2

2

0

0

1

1

2

2

0

0

1

1

0

0

1

1

2

2

0

0

1

1

2

2

1

1

2

2

0

0

1

1

2

2

0

0

Carpet A

+ 12 x

1

1

2

2

0

0

1

1

2

2

0

0

0

0

1

1

2

2

0

0

1

1

2

2

2

2

0

0

1

1

2

2

0

0

1

1

Carpet B

=

20

20

24

24

4

4

20

20

24

24

4

4

0

0

16

16

32

32

0

0

16

16

32

32

28

28

8

8

12

12

28

28

8

8

12

12

Component 1

 

Рис. 7

 

Из рисунка видно, что матрица первого вспомогательного квадрата получается по формуле 4*A + 12*B.

Второй вспомогательный квадрат тоже получается из двух квадратов – C и D, смотрите копию из статьи на рис. 8.

 

 2 x

1

0

0

0

1

1

0

1

1

1

0

0

1

0

0

0

1

1

0

1

1

1

0

0

1

1

0

0

0

1

0

0

1

1

1

0

Carpet C

+

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

Carpet D

 =   

2

1

0

1

2

3

0

3

3

2

1

0

3

0

1

0

3

2

1

2

3

2

1

0

3

2

0

1

0

3

0

1

2

3

2

1

Component 2

 

Рис. 8

 

Из рисунка видно, что матрица второго вспомогательного квадрата получается по формуле 2*C + D. Магический квадрат, как мы уже знаем, получается поэлементным сложением двух вспомогательных квадратов (Component 1 и Component 2). С учётом формул для получения первого и второго вспомогательных квадратов матрица готового магического квадрата в данном примере вычисляется так:

 

4*A + 12*B + 2*C + D.

 

Всё готово для того чтобы начать варьирование. Варьирование производится заменой множителей у матриц A, B, C и D. Возможные комбинации множителей приведены в следующей таблице (рис. 9) [копирую]:

 

Row    A   B  C   D
 1     12   4   2   1
 2     12   4   1   2
 3     12   2   1   6
 4     12   2   6   1
 5     12   1   6   3
 6     12   1   3   6
 7      4  12   2   1
 8      4  12   1   2
 9      2  12   6   1
10      2  12   1   6
11      1  12   6   3
12      1  12   3   6
13      3   1  18   9
14      1   3  18   9
15      6   1  18   3
16      1   6  18   3

17      6   2  18   1
18      2   6  18   1
19      3   1   9  18
20      1   3   9  18
21      6   1   3  18
22      1   6   3  18
23      6   2   1  18
24      2   6   1  18


      Рис. 9

 

Очевидно, что приведённый пример находится в таблице вариантов под номером 7 (коэффициенты 4, 12, 2, 1).

Построим теперь другой магический квадрат, например, вариант под номером 24. Первый вспомогательный квадрат в этом случае будет вычисляться так (рис. 10):

 

2 x

2

2

0

0

1

1

2

2

0

0

1

1

0

0

1

1

2

2

0

0

1

1

2

2

1

1

2

2

0

0

1

1

2

2

0

0

Carpet A

+ 6 x

1

1

2

2

0

0

1

1

2

2

0

0

0

0

1

1

2

2

0

0

1

1

2

2

2

2

0

0

1

1

2

2

0

0

1

1

Carpet B

=

10

10

12

12

2

2

10

10

12

12

2

2

0

0

8

8

16

16

0

0

8

8

16

16

14

14

4

4

6

6

14

14

4

4

6

6

Component 1

 

Рис. 10

 

Построение второго вспомогательного квадрата показано на рис. 11.

 

 

1

0

0

0

1

1

0

1

1

1

0

0

1

0

0

0

1

1

0

1

1

1

0

0

1

1

0

0

0

1

0

0

1

1

1

0

Carpet C

+ 18 х

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

Carpet D

 =   

1

18

0

18

1

19

0

19

19

1

18

0

19

0

18

0

19

1

18

1

19

1

18

0

19

1

0

18

0

19

0

18

1

19

1

18

Component 2

 

Рис. 11

 

Осталось сложить поэлементно два построенных вспомогательных квадрата. Будем сразу увеличивать на единицу все элементы в получаемом при сложении квадрате, чтобы получить традиционный магический квадрат. Готовый магический квадрат вы видите на рис. 12.

 

12

29

13

31

4

22

11

30

32

14

21

3

20

1

27

9

36

18

19

2

28

10

35

17

34

16

5

23

7

26

15

33

6

24

8

25

 

Рис. 12

 

В этом квадрате каждый блок 2х2 содержит по две пары последовательных чисел. В массиве всех квадратов данной группы этот квадрат находится под номером 23.

 

Возьмём теперь магический квадрат из книги Чебракова (рис. 13) и сделаем для него подобное обобщение.

 

6

7

26

27

22

23

8

5

28

25

24

21

34

35

18

19

2

3

36

33

17

20

4

1

14

15

10

11

30

31

13

16

12

9

29

32

 

Рис. 13

 

Первый вспомогательный квадрат для данного квадрата составляется так (рис. 14):

 

12 x

0

0

2

2

1

1

0

0

2

2

1

1

2

2

1

1

0

0

2

2

1

1

0

0

1

1

0

0

2

2

1

1

0

0

2

2

Carpet A

+ 4 x

1

1

0

0

2

2

1

1

0

0

2

2

2

2

1

1

0

0

2

2

1

1

0

0

0

0

2

2

1

1

0

0

2

2

1

1

Carpet B

=

4

4

24

24

20

20

4

4

24

24

20

20

32

32

16

16

0

0

32           

32

16

16

0

0

12

12

8

8

28

28

12

12

8

8

28

28

Component 1

 

Рис. 14

 

Примечание: построение первого вспомогательного квадрата основано на магическом квадрате третьего порядка, как в методе Чебракова, так и в цитируемой статье.

 

Второй вспомогательный квадрат для рассматриваемого магического квадрата составляется так (рис. 15):

 

2 x

0

1

0

1

0

1

1

0

1

0

1

0

0

1

0

1

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

0

1

Carpet C

+

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

0

0

1

Carpet D

 =   

1

2

1

2

1

2

3

0

3

0

3

0

1

2

1

2

1

2

3

0

0

3

3

0

1

2

1

2

1

2

0

3

3

0

0

3

Component 2

 

Рис. 15

 

Вспомогательный квадрат (Component 2) мне известен, квадраты C и D, из которых он составляется, я сочинила сама. В статье приведён рисунок (см. рис. 8 здесь), на котором показано построение второго вспомогательного квадрата, но как составляются квадраты C и D, не объясняется (а может быть, и объясняется, но я не смогла прочитать).

 

Пойдём дальше. Выберем в таблице на рис. 9 вариант № 13; в этом варианте первый вспомогательный квадрат строится по формуле 3*А + В, а второй вспомогательный квадрат – по формуле 18*С + 9*D. На рис. 16 и на рис. 17 показано построение вспомогательных квадратов по этим формулам.

 

3 x

0

0

2

2

1

1

0

0

2

2

1

1

2

2

1

1

0

0

2

2

1

1

0

0

1

1

0

0

2

2

1

1

0

0

2

2

Carpet A

+

1

1

0

0

2

2

1

1

0

0

2

2

2

2

1

1

0

0

2

2

1

1

0

0

0

0

2

2

1

1

0

0

2

2

1

1

Carpet B

=

1

1

6

6

5

5

1

1

6

6

5

5

8

8

4

4

0

0

8

8

4

4

0

0

3

3

2

2

7

7

3

3

2

2

7

7

Component 1

 

Рис. 16

 

18 x

0

1

0

1

0

1

1

0

1

0

1

0

0

1

0

1

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

0

1

Carpet C

+ 9 х

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

0

0

1

Carpet D

 =   

9

18

9

18

9

18

27

0

27

0

27

0

9

18

9

18

9

18

27

0

0

27

27

0

9

18

9

18

9

18

0

27

27

0

0

27

Component 2

 

Рис. 17

 

Сложим поэлементно два вспомогательных квадрата, одновременно увеличивая все элементы получившегося квадрата на единицу. Готовый магический квадрат изображён на рис. 18. Он получился!

 

11

20

16

25

15

24

29

2

34

7

33

6

18

27

14

23

10

19

36

9

5

32

28

1

13

22

12

21

17

26

4

31

30

3

8

35

 

Рис. 18

 

Однако для рассматриваемого квадрата (рис. 13) не все варианты из таблицы на рис. 9 дают магические квадраты. Возьмём, например, вариант № 22, в этом варианте первый вспомогательный квадрат строится по формуле А + 6*В, а второй вспомогательный квадрат – по формуле 3*С + 18*D. На рис. 19 и на рис. 20 показано построение вспомогательных квадратов.

 

 

0

0

2

2

1

1

0

0

2

2

1

1

2

2

1

1

0

0

2

2

1

1

0

0

1

1

0

0

2

2

1

1

0

0

2

2

Carpet A

+ 6 х

1

1

0

0

2

2

1

1

0

0

2

2

2

2

1

1

0

0

2

2

1

1

0

0

0

0

2

2

1

1

0

0

2

2

1

1

Carpet B

=

6

6

2

2

13

13

6

6

2

2

13

13

14

14

7

7

0

0

14

14

7

7

0

0

1

1

12

12

8

8

1

1

12

12

8

8

Component 1

 

Рис. 19

 

3 x

0

1

0

1

0

1

1

0

1

0

1

0

0

1

0

1

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

0

1

Carpet C

+ 18 х

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

0

0

1

Carpet D

 =   

18

3

18

3

18

3

21

0

21

0

21

0

18

3

18

3

18

3

21

0

0

21

21

0

18

3

18

3

18

3

0

21

21

0

0

21

Component 2

 

Рис. 20

 

Легко убедиться, что в этом случае, сложив поэлементно два вспомогательных квадрата, мы не получим магический квадрат. Магические квадраты получаются для следующих вариантов: №№ 1, 5, 7, 11, 13, 14. Но всё равно метод даёт пять новых магических квадратов дополнительно к квадрату, построенному автором книги.

 

Наконец, рассмотрим ещё один сотовый квадрат, построенный методом сотовых квадратов (рис. 21).

 

8

5

27

25

24

22

7

6

26

28

21

23

34

35

17

19

2

4

33

36

18

20

1

3

14

16

11

9

31

30

15

13

12

10

32

29

 

Рис. 21

 

Для этого сотового магического квадрата первый вспомогательный квадрат строится так же, как в предыдущем примере (см. рис. 14). Второй вспомогательный квадрат составляется так (рис. 22):

 

2 x

1

0

1

0

1

0

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

Carpet C

+

1

0

0

0

1

1

0

1

1

1

0

0

1

0

0

0

1

1

0

1

1

1

0

0

1

1

0

0

0

1

0

0

1

1

1

0

Carpet D

 =   

3

0

2

0

3

1

2

1

1

3

0

2

1

2

0

2

1

3

0

3

1

3

0

2

1

3

2

0

2

1

2

0

3

1

3

0

Component 2

 

Рис. 22

 

Квадраты C и D опять сочинила сама по аналогии с примером в статье. Здесь эти квадраты получились лучше, чем в предыдущем примере вот в каком смысле: оба квадрата являются нетрадиционными магическими квадратами с магической константой 3. Точно так же и в примере из указанной статьи. А вот для квадрата Чебракова квадраты C и D этим свойством не обладают. Поэтому данный квадрат и имеет всего 6 вариантов (считая сам этот квадрат).

 

Теперь проверим тот самый вариант № 22, который не получился для квадрата из книги. Первый вспомогательный квадрат у нас уже построен (см. рис. 19). Второй вспомогательный квадрат строится так (рис. 23):

 

3 x

1

0

1

0

1

0

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

Carpet C

+ 18 х

1

0

0

0

1

1

0

1

1

1

0

0

1

0

0

0

1

1

0

1

1

1

0

0

1

1

0

0

0

1

0

0

1

1

1

0

Carpet D

 =   

21

0

3

0

21

18

3

18

18

21

0

3

18

3

0

3

18

21

0

21

18

21

0

3

18

21

3

0

3

18

3

0

21

18

21

0

Component 2

 

Рис. 23

 

Сложим поэлементно два вспомогательных квадрата, прибавляя единицу к каждому элементу получившегося квадрата, и получим следующий магический квадрат (рис. 24):

 

28

7

6

3

35

32

10

25

21

24

14

17

33

18

8

11

19

22

15

36

26

29

1

4

20

23

16

13

12

27

5

2

34

31

30

9

 

Рис. 24

 

Как видите, этот магический квадрат не сотовый.

 

Чтобы получить все 24 варианта для рассматриваемого примера, составляю программку. И вот перед вами 24 магических квадрата, построенных обобщённым методом сотовых квадратов. Среди этих квадратов имеются и сотовые магические квадраты. Под № 1 вы видите исходный квадрат (см. рис. 21).

 

№ 1                                        № 2                                        № 3 

 8  5  27  25  24  22                8  5  26  25  24  23                 10  3  26  25  24  23  

 7  6  26  28  21  23                6  7  27  28  21  22                 4  9  31  32  17  18 

 34  35  17  19  2  4                35  34  17  18  3  4                 35  30  15  16  7  8  

 33  36  18  20  1  3                33  36  19  20  1  2                 29  36  21  22  1  2  

 14  16  11  9  31  30              15  16  10  9  30  31               19  20  6  5  28  33  

 15  13  12  10  32  29            14  13  12  11  32  29             14  13  12  11  34  27  

 

 № 4                                       № 5                                       № 6

 10  3  31  25  24  18              11  2  31  25  24  18               11  2  28  25  24  21

 9  4  26  32  17  23                8  5  28  34  15  21                 5  8  31  34  15  18  

 30  35  15  21  2  8                30  33  14  20  4  10               33  30  14  17  7  10  

 29  36  16  22  1  7                27  36  17  23  1  7                 27  36  20  23  1  4  

 14  20  11  5  33  28              16  22  9  3  32  29                 19  22  6  3  29  32  

 19  13  12  6  34  27              19  13  12  6  35  26               16  13  12  9  35  26  

 

 № 7                                       № 8                                       № 9

 16  13  11  9  32  30              16  13  10  9  32  31               20  13  11  5  34  28  

 15  14  10  12  29  31            14  15  11  12  29  30             19  14  6  12  27  33  

 34  35  17  19  2  4                35  34  17  18  3  4                 30  35  15  21  2  8

 33  36  18  20  1  3                33  36  19  20  1  2                 29  36  16  22  1  7 

 6  8  27  25  23  22                7  8  26  25  22  23                4  10  31  25  23  18

 7  5  28  26  24  21                6  5  28  27  24  21                 9  3  32  26  24  17

 

№ 10                                      № 11                                     № 12

 20  13  6  5  34  33                22  13  9  3  35  29                22  13  6  3  35  32

 14  19  11  12  27  28            19  16  6  12  26  32              16  19  9  12  26  29

 35  30  15  16  7  8                30  33  14  20  4  10              33  30  14  17  7  10

 29  36  21  22  1  2                27  36  17  23  1  7                27  36  20  23  1  4

 9  10  26  25  18  23              5  11  31  25  21  18              8  11  28  25  18  21

 4  3  32  31  24  17                8  2  34  28  24  15                5  2  34  31  24  15

 

 № 13                                     № 14                                      № 15

 29  2  25  7  33  15                31  4  21  3  35  17                 23  2  31  13  30  12  

 20  11  16  34  6  24              22  13  12  30  8  26               20  5  16  34  9  27   

 18  27  5  23  10  28              18  27  5  23  10  28               18  33  8  26  4  22   

 9  36  14  32  1  19                9  36  14  32  1  19                 15  36  11  29  1  19  

 13  31  21  3  26  17              11  29  25  7  24  15               10  28  21  3  32  17   

 22  4  30  12  35  8                20  2  34  16  33  6                 25  7  24  6  35  14   

 

 № 16                                     № 17                                     № 18

 28  7  21  3  35  17                22  3  31  13  30  12               26  7  23  5  34  16   

 25  10  6  24  14  32              21  4  14  32  11  29               25  8  6  24  15  33   

 18  33  8  26  4  22                18  35  9  27  2  20                 18  35  9  27  2  20   

 15  36  11  29  1  19              17  36  10  28  1  19               17  36  10  28  1  19   

 5  23  31  13  27  12              8  26  23  5  33  16                 4  22  31  13  29  12   

 20  2  34  16  30  9                25  7  24  6  34  15                 21  3  32  14  30  11   

 

№ 19                                      № 20                                      № 21

 29  2  16  7  33  24                31  4  12  3  35  26                 23  2  16  13  30  27   

 11  20  25  34  6  15              13  22  21  30  8  17               5  20  31  34  9  12

 27  18  5  14  19  28              27  18  5  14  19  28               33  18  8  11  19  22

 9  36  23  32  1  10                9  36  23  32  1  10                 15  36  26  29  1  4   

 22  31  12  3  17  26              20  29  16  7  15  24               25  28  6  3  17  32   

 13  4  30  21  35  8                11  2  34  25  33  6                 10  7  24  21  35  14  

 

 № 22                                     № 23                                     № 24

 28  7  6  3  35  32                  22  3  14  13  30  29               26  7  6  5  34  33   

 10  25  21  24  14  17            4  21  31  32  11  12               8  25  23  24  15  16   

 33  18  8  11  19  22              35  18  9  10  19  20               35  18  9  10  19  20

 15  36  26  29  1  4                17  36  27  28  1  2                 17  36  27  28  1  2

 20  23  16  13  12  27            25  26  6  5  16  33                 21  22  14  13  12  29

 5  2  34  31  30  9                  8  7  24  23  34  15                 4  3  32  31  30  11

 

По этой же программе построила шесть квадратов для примера с квадратом из книги. Вот они:

 

№ 1                                        № 2                                       № 3

 6  7  26  27  22  23                5  8  28  31  18  21                14  15  10  11  30  31

 8  5  28  25  24  21                11  2  34  25  24  15               16  13  12  9  32  29  

 34  35  18  19  2  3                30  33  17  20  4  7                 34  35  18  19  2  3

 36  33  17  20  4  1                36  27  14  23  10  1               36  33  17  20  4  1

 14  15  10  11  30  31            16  19  6  9  29  32                 6  7  26  27  22  23  

 13  16  12  9  29  32              13  22  12  3  26  35               5  8  28  25  21  24

 

№ 4                                        № 5                                        № 6 

 16  19  6  9  29  32                11  20  16  25  15  24             13  22  12  21  17  26

 22  13  12  3  35  26              29  2  34  7  33  6                   31  4  30  3  35  8

 30  33  17  20  4  7                18  27  14  23  10  19             18  27  14  23  10  19

 36  27  14  23  10  1              36  9  5  32  28  1                   36  9  5  32  28  1

 5  8  28  31  18  21                13  22  12  21  17  26             11  20  16  25  15  24  

 2  11  34  25  15  24              4  31  30  3  8  35                  2  29  34  7  6  33

 

Квадрат под № 1 – это квадрат из книги. Обобщённый метод сотовых квадратов позволил построить ещё пять новых магических квадратов, причём все эти квадраты различные (не эквивалентные). А в некоторых случаях, как в примере из статьи и в примере, рассмотренном здесь, обобщённый метод позволяет построить 24 различных магических квадрата.

 

***

 

Далее аналогичный метод рассматривается для квадратов 10-ого порядка, вот на этой странице:

 

http://www.grogono.com/magic/10x10.php

 

Но изложен он очень кратко; как я поняла, автор ссылается на аналогию с квадратами 6-ого порядка. Вот для начала посмотрите на сотовый магический квадрат 10-ого порядка, приведённый в этой статье (рис. 25):

 

25

26

15

14

83

82

69

68

57

56

27

24

12

13

80

81

70

71

58

59

61

62

50

51

38

39

4

5

92

93

63

60

48

49

36

37

6

7

94

95

16

19

86

87

74

75

40

41

28

29

18

17

84

85

72

73

42

43

30

31

52

55

23

22

11

10

97

96

65

64

54

53

21

20

9

8

99

98

67

66

88

89

77

76

47

46

35

34

3

0

91

90

79

78

45

44

33

32

1

2

 

Рис. 25

 

Хорошо бы подробно разработать обобщение метода сотовых квадратов для построения магических квадратов 10-ого порядка аналогично квадратам 6-ого порядка. Возможно, займусь этим. Предлагаю читателям сделать это самостоятельно. Интересная задача! А решается она по аналогии с квадратами 6-ого порядка, для которых метод подробно изложен выше. Конечно, надо внимательно прочитать указанную веб-страницу. Для тех, кто знает английский язык, это не проблема. Например, такой конкретный вопрос: сколько вариантов магических квадратов для квадрата с рис. 25 можно построить обобщённым методом сотовых квадратов? В статье не приводится таблица варьирования коэффициентов, подобная таблице, изображённой на рис. 9.

Не забудьте также прочитать мою статью “Методы построения магических квадратов”, в которой вы найдёте подробное изложение метода сотовых квадратов. Это следующие страницы:

 

http://www.natalimak1.narod.ru/metody5.htm

http://www.natalimak1.narod.ru/metody6.htm

 

***

 

Вчера распечатала указанную выше веб-страницу и попыталась разобраться в построении сотового квадрата 10-ого порядка. Всё поняла и продолжаю изложение обобщённого метода сотовых квадратов. Интересный метод!

 

Итак, на рис. 25 вы видите копию сотового квадрата 10-ого порядка из указанной статьи. Здесь будет подробно рассказано, как он построен и как получить варианты этого магического квадрата.

 

Примечание: если кто-то заглянет на указанную веб-страницу, то увидит, что квадрат на рис. 25 не совсем совпадает с тем, который приведён на веб-странице. Там автор, видимо, немного напутал. Потому что из приведённых им вспомогательных квадратов строится квадрат, изображённый на рис. 25, а не квадрат, который привёл автор статьи. Проверьте сами!

 

Начнём с построения первого вспомогательного квадрата. Для его построения методом сотовых квадратов надо взять в качестве исходного любой магический квадрат 5-ого порядка. В статье взят такой исходный квадрат (рис. 26):

 

7

4

21

18

15

16

13

10

2

24

5

22

19

11

8

14

6

3

25

17

23

20

12

9

1

 

Рис. 26

 

Алгоритм построения первого вспомогательного квадрата на основе исходного квадрата в цитируемой статье отличается от алгоритма в методе сотовых квадратов по книге Чебракова, хотя исходным в обоих случаях является магический квадрат 5-ого порядка. Здесь вспомогательный квадрат строится из двух ортогональных латинских квадратов [это хорошо видно и в построении первого вспомогательного квадрата 6-ого порядка (см. рис. 7)], только в этих латинских квадратах каждая ячейка превращена в квадрат 2х2 и в этот квадрат записано число из заменяемой ячейки. Поэтому сначала разложим исходный магический квадрат 5-ого порядка на два ортогональных латинских квадрата (рис. 27 и рис. 28):

 

1

0

4

3

2

3

2

1

0

4

0

4

3

2

1

2

1

0

4

3

4

3

2

1

0

 

Рис. 27

 

1

3

0

2

4

0

2

4

1

3

4

1

3

0

2

3

0

2

4

1

2

4

1

3

0

 

Рис. 28

 

И вот схема построения первого вспомогательного квадрата (рис. 29):

 

20 x

1

1

0

0

4

4

3

3

2

2

1

1

0

0

4

4

3

3

2

2

3

3

2

2

1

1

0

0

4

4

3

3

2

2

1

1

0

0

4

4

0

0

4

4

3

3

2

2

1

1

0

0

4

4

3

3

2

2

1

1

2

2

1

1

0

0

4

4

3

3

2

2

1

1

0

0

4

4

3

3

4

4

3

3

2

2

1

1

0

0

4

4

3

3

2

2

1

1

0

0

Carpet A

+ 4 х

1

1

3

3

0

0

2

2

4

4

1

1

3

3

0

0

2

2

4

4

0

0

2

2

4

4

1

1

3

3

0

0

2

2

4

4

1

1

3

3

4

4

1

1

3

3

0

0

2

2

4

4

1

1

3

3

0

0

2

2

3

3

0

0

2

2

4

4

1

1

3

3

0

0

2

2

4

4

1

1

2

2

4

4

1

1

3

3

0

0

2

2

4

4

1

1

3

3

0

0

Carpet B

=

24

24

12

12

80

80

68

68

56

56

24

24

12

12

80

80

68

68

56

56

60

60

48

48

36

36

4

4

92

92

60

60

48

48

36

36

4

4

92

92

16

16

84

84

72

72

40

40

28

28

16

16

84

84

72

72

40

40

28

28

52

52

20

20

8

8

96

96

64

64

52

52

20

20

8

8

96

96

64

64

88

88

76

76

44

44

32

32

0

0

88

88

76

76

44

44

32

32

0

0

Component 1

 

Рис. 29

 

Интересно заметить, что магический квадрат 5-ого порядка строится из латинских квадратов (рис. 27 и рис. 28) по формуле 5*А + В. В схеме построения вспомогательного квадрата 10-ого порядка коэффициенты увеличились в 4 раза. То же самое мы видели при построении вспомогательного квадрата 6-ого порядка (см. рис. 7).

 

Понятно, что построение по алгоритму метода сотовых квадратов даёт точно такой же первый вспомогательный квадрат при том же исходном квадрате 5-ого порядка (рис. 24).

 

Переходим к построению второго вспомогательного квадрата. Как помнят читатели, он тоже строится из двух квадратов – С и D. Теперь я поняла, как надо составить эти квадраты. Для построения магического квадрата 6-ого порядка их лучше всего составить так, чтобы они были нетрадиционными магическими квадратами с магической константой 3 (квадраты заполняются нулями и единицами). Хотя мы видели, что можно составить эти квадраты без соблюдения данного условия (см. пример с квадратом из книги Чебракова). Для построения магического квадрата 10-ого порядка квадраты С и D лучше всего составить так, чтобы они являлись нетрадиционными магическими квадратами с магической константой 5. В рассматриваемом примере это будут такие квадраты (рис. 30) [копирую]:

 

2 x

0

1

1

1

1

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

1

1

1

0

1

1

1

1

0

0

0

0

0

1

Carpet C

+ 

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

Carpet D

=

1

2

3

2

3

2

1

0

1

0

3

0

0

1

0

1

2

3

2

3

1

2

2

3

2

3

0

1

0

1

3

0

0

1

0