Н. Макарова

 

НАИМЕНЬШИЕ МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ ИЗ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ

 

Часть II

 

 

Данная страница является продолжением страницы:

http://www.natalimak1.narod.ru/sqmin1.htm

 

 

В предыдущей части статьи я представила наименьшие магические квадраты из простых чисел в классическом определении (без использования числа 1) до порядка 10 включительно. Теперь покажу подобные квадраты следующих порядков. Мне удалось построить такие квадраты до порядка 15 включительно. Я продолжаю пользоваться тем же самым алгоритмом. Буду показывать наборы из n строк, из которых построены магические квадраты. А также буду представлять массивы простых чисел, из которых составляются квадраты.

 

n = 11

 

Массив простых чисел: 3, 5, … 661, 673, но заменить число 673 на 701. Магическая константа квадрата равна 3417.

Это сгенерированный программой набор из 11 строк, сумма чисел в каждой строке равна магической константе квадрата.

 

3 73 113 151 173 223 359 389 631 643 659

277 271 421 331 439 181 509 79 11 617 281

229 571 191 521 241 307 7 19 499 593 239

653 157 349 433 293 503 67 41 647 5 269

71 179 461 109 23 607 661 311 353 101 541

383 127 47 419 557 347 227 139 547 257 367

29 701 83 379 313 211 599 401 89 43 569

31 397 17 577 463 373 193 587 37 491 251

103 613 61 487 59 457 431 619 131 443 13

197 409 449 337 167 479 97 563 53 199 467

107 137 149 163 233 263 283 317 523 601 641

 

Из этого набора получился такой магический квадрат (рис. 1):

 

3

73

113

151

173

223

359

389

631

643

659

613

431

457

487

59

61

619

443

131

13

103

277

271

421

331

439

181

509

79

11

617

281

179

461

607

71

109

661

23

541

311

353

101

379

313

599

211

401

89

569

43

701

83

29

383

127

47

419

557

347

227

547

257

139

367

229

571

191

521

241

307

7

19

499

239

593

653

157

349

433

293

503

67

647

5

41

269

31

397

17

577

463

373

587

193

251

491

37

563

479

467

53

449

409

167

199

97

197

337

107

137

149

163

233

263

283

317

523

601

641

 

Рис. 1

 

 

n = 12

 

Массив простых чисел: 3, 5, … 827, 829, но заменить число 827 на 839. Магическая константа квадрата равна 4584.

Это сгенерированный программой набор из 12 строк:

 

3 13 59 89 197 269 503 523 617 727 761 823

487 281 541 379 601 659 293 521 353 181 257 31

103 227 17 677 233 7 563 787 809 499 421 241

709 491 311 131 43 631 733 239 173 19 757 347

461 11 41 439 113 5 643 811 773 479 167 641

67 683 509 163 839 83 571 271 607 47 467 277

127 211 401 367 647 97 739 409 397 691 139 359

101 613 389 107 79 337 577 653 587 457 547 137

769 199 383 349 193 73 701 599 23 443 433 419

719 373 283 191 179 463 307 661 151 743 251 263

331 557 313 149 829 797 61 431 821 157 109 29

37 53 71 223 229 317 449 569 593 619 673 751

 

На рис. 2 вы видите магический квадрат, построенный из данного набора строк.

 

3

13

59

89

197

269

503

523

617

727

761

823

487

281

541

379

601

659

293

521

353

181

257

31

263

307

743

251

661

373

179

151

191

719

283

463

461

11

41

439

113

5

643

811

773

479

167

641

127

211

401

647

367

739

97

139

409

359

397

691

67

683

277

509

839

571

163

47

607

467

83

271

769

199

383

349

193

73

701

599

23

443

419

433

709

491

311

131

43

631

733

239

173

19

757

347

101

613

389

107

337

577

79

587

547

137

653

457

103

227

17

677

233

7

563

787

809

499

421

241

821

797

829

557

431

61

313

109

29

331

157

149

673

751

593

449

569

619

317

71

53

223

229

37

 

Рис. 2

 

n = 13

 

Массив простых чисел: 3, 5, … 1009, 1013; здесь есть два варианта замены чисел, 1) заменить число 1009 на 1031; 2) заменить число 997  на 1019. Магическая константа квадрата в обоих случаях равна 6013.

Это сгенерированный программой набор из 13 строк для первого варианта массива:

 

3  7  101  251  389  433  467  499  503  821  823  839  877

                        911  61  431  167  227  359  461  337  131  727  613  761  827

                        409  331  439  463  509  421  263  953  739  643  541  163  139

                        349  719  83  653  23  229  313  571  521  97  883  691  881

                        809  397  1031  5  733  37  631  197  89  587  647  53  797

                        641  457  73  887  149  71  13  491  547  659  449  563  1013

                        199  607  113  47  347  683  151  673  811  257  769  937  419

                        269  181  523  773  557  211  743  577  19  17  859  307  977

                        617  599  239  751  241  929  223  619  487  41  271  967  29

                        137  857  919  283  853  157  983  109  829  383  353  43  107

                        191  173  127  991  443  701  281  233  941  311  997  31  593

                        59  11  277  293  601  907  947  479  103  179  661  787  709

                        67  79  193  317  367  373  379  401  569  677  757  863  971

 

Из этого набора строк получился такой магический квадрат (рис. 3):

 

Квадрат № 1

 

3

7

101

251

389

433

467

499

503

821

823

839

877

911

61

431

167

227

359

461

337

131

727

613

761

827

199

607

113

47

347

683

151

673

811

769

257

937

419

641

457

73

887

149

71

13

491

547

659

449

1013

563

809

397

1031

5

733

37

631

197

89

587

647

53

797

617

599

239

751

929

619

487

241

967

271

29

41

223

137

857

829

919

283

853

383

983

157

107

353

43

109

269

181

523

773

557

211

743

577

19

17

859

307

977

349

719

83

653

23

229

313

571

883

521

97

691

881

409

331

439

463

509

421

263

953

739

643

541

163

139

991

173

701

281

593

941

997

233

127

311

443

191

31

277

947

479

59

907

293

787

179

661

11

709

601

103

401

677

971

757

367

863

317

79

379

569

193

373

67

 

Рис. 3

 

Набор из 13 строк для второго варианта массива:

 

3 83 103 109 199 359 433 457 751 769 859 941 947

701 79 563 397 367 587 599 911 569 607 47 269 317

193 467 389 877 617 5 67 829 181 421 797 263 907

919 547 691 853 41 677 311 229 197 31 523 173 821

89 631 929 13 443 541 349 761 887 577 127 283 383

239 307 431 347 881 379 983 977 743 113 167 409 37

23 401 937 827 857 137 337 521 277 107 653 643 293

7 271 883 571 661 449 787 727 241 673 131 593 19

227 773 503 53 373 331 499 491 557 281 619 953 353

479 11 757 1009 487 811 251 163 641 211 439 71 683

809 463 647 233 149 659 863 179 419 313 991 191 97

101 1019 739 59 139 157 733 1013 73 967 509 461 43

17 29 61 151 223 257 601 613 709 719 823 839 971

 

На рис. 4 представлен магический квадрат, полученный из данного набора строк. Понятно, что из двух различных массивов получаются оригинальные магические квадраты.

 

Квадрат № 2

 

3

83

103

109

199

359

433

457

751

769

859

941

947

701

79

563

397

367

587

599

911

569

607

47

269

317

227

773

503

53

373

331

499

491

557

281

619

353

953

7

271

883

571

661

449

787

241

673

131

19

593

727

811

479

163

11

1009

757

641

211

683

251

487

71

439

23

401

937

827

857

137

337

521

277

107

653

293

643

239

307

431

347

881

379

983

977

743

409

113

167

37

193

467

389

877

617

5

67

829

181

421

797

263

907

919

547

691

853

41

677

311

229

197

31

523

821

173

89

631

929

13

443

541

349

761

887

577

127

283

383

863

419

97

233

463

991

149

191

179

809

647

659

313

967

733

101

1013

73

739

139

43

59

1019

509

461

157

971

823

223

709

29

61

719

151

257

601

613

839

17

 

Рис. 4

 

n = 14

 

Массив простых чисел: 3, 5, … 1193, 1201, но заменить число 1181 на 1217. Магическая константа квадрата  равна 7712.

Это сгенерированный программой набор из 14 строк:

 

3 43 59 131 181 271 383 599 797 919 971 1039 1123 1193

1151 433 967 211 337 491 397 691 83 523 593 773 613 449

1163 827 607 1171 443 653 463 5 457 577 31 293 601 421

509 1097 313 757 167 709 761 347 137 857 619 233 1117 89

173 647 1069 389 1049 19 311 223 317 1103 283 683 947 499

163 881 673 107 431 487 991 631 829 109 349 367 811 883

547 13 1061 353 229 853 677 751 571 983 251 1201 193 29

643 269 887 733 23 409 1129 191 769 401 47 1109 149 953

503 439 809 1051 1091 659 157 1031 71 139 379 179 743 461

263 373 1063 101 877 617 419 911 787 331 241 151 839 739

1019 1093 521 7 61 1033 941 73 701 1009 127 11 257 859

53 937 307 97 113 281 977 821 569 557 1021 1153 467 359

227 907 823 17 67 587 641 929 661 719 79 479 1013 563

37 41 103 197 199 239 277 541 727 863 997 1087 1187 1217

 

Квадрат построился такой (рис. 5):

 

3

43

59

131

181

271

383

599

797

919

971

1039

1123

1193

1151

433

967

211

337

491

397

691

83

523

593

773

449

613

263

373

101

1063

877

617

419

911

787

241

151

839

739

331

503

439

809

1051

1091

659

157

1031

71

139

379

179

743

461

173

647

1069

389

1049

19

311

223

317

1103

283

947

499

683

547

13

1061

353

229

853

677

751

571

983

1201

29

193

251

643

269

887

733

23

409

1129

191

769

401

47

1109

149

953

163

881

673

107

431

487

991

631

829

109

349

367

811

883

1163

827

607

1171

443

653

463

5

457

577

31

293

601

421

509

1097

313

757

167

709

761

347

857

137

619

233

89

1117

1093

1019

7

521

1033

61

73

941

1009

859

701

11

127

257

53

467

97

307

1153

557

1021

569

359

937

821

113

977

281

907

17

823

641

661

929

67

719

79

587

479

563

1013

227

541

1187

239

277

37

997

863

103

727

197

1087

1217

199

41

 

Рис. 5

 

Этот квадрат был последним, который отправлен в Энциклопедию последовательностей (OEIS). На сегодня последовательность магических констант наименьших магических квадратов из простых чисел в классическом определении (без использования числа 1) имеет следующий вид:

 

177, 120, 233, 432, 733, 1154, 1731, 2470, 3417, 4584, 6013, 7712

 

Напомню ссылку на эту последовательность:

 

http://www.research.att.com/~njas/sequences/A164843

 

Мне удалось построить ещё квадрат 15-го порядка.

 

n = 15

 

Массив простых чисел: 3, 5, … 1427, 1429, но заменить число 1427 на 1439. Магическая константа квадрата  равна 9731.

Это сгенерированный программой набор из 15 строк:

 

5  17  193  211  263  307  617  677  701  811  839  1193  1223  1307  1367

1291  727  223  1061  1423  293  887  1231  421  379  311  23  419  389  653

823  863  43  757  283  107  1213  1153  853  911  233  383  709  103  1297

                        401  1051  349  1277  613  1039  443  173  947  1049  241  1129  359  509  151

                        809  599  313  1229  577  257  19  557  353  367  937  1021  859  881  953

                        59  641  491  1279  1109  1163  593  773  563  457  73  883  277  601  769

337  127  1429  643  977  941  101  1327  1409  131  631  109  683  167  719

                        503  827  787  29  269  739  1399  1087  149  281  691  541  1097  761  571

                        1319  751  467  37  199  1301  41  587  317  1381  1201  433  797  79  821

                        1063  1013  673  11  139  1009  1303  907  373  967  569  227  1093  331  53

                        1361  67  1289  3  829  439  857  1103  13  607  733  163  1171  983  113

                        1117  1321  97  431  1259  997  479  347  397  929  271  71  523  971  521

647  743  31  1283  1123  239  1033  1249  1217  191  463  1237  7  179  89

181  659  487  1439  1373  1181  1091  197  251  61  1151  83  991  137  449

                        229  1187  499  1019  661  461  1069  409  547  1031  47  619  919  157  877

 

На рис. 6 вы видите магический квадрат, построенный из данного набора строк.

 

5

17

193

211

263

307

617

677

701

811

839

1193

1223

1307

1367

1291

727

223

1061

1423

293

887

1231

421

379

311

23

419

389

653

1063

1013

673

11

139

1009

1303

907

373

967

569

1093

331

53

227

1319

751

467

37

199

1301

41

587

317

1381

1201

433

797

821

79

401

1051

349

1277

613

1039

443

173

947

1049

241

1129

359

509

151

503

827

787

29

269

739

1399

1087

149

281

691

541

1097

761

571

337

127

1429

643

977

941

101

1327

1409

131

631

109

167

719

683

59

641

491

1279

1109

1163

593

773

563

457

73

883

277

601

769

823

863

43

757

283

107

1213

1153

853

911

233

383

709

103

1297

809

599

313

1229

577

257

19

557

353

367

937

1021

859

881

953

1361

67

1289

3

829

439

857

607

1103

13

1171

733

163

983

113

1117

1321

97

431

1259

479

997

71

521

397

523

347

929

971

271

7

647

1217

1283

179

1123

463

89

743

1249

1237

191

1033

31

239

137

61

1091

449

1151

487

251

83

659

1181

197

991

181

1373

1439

499

1019

1069

1031

461

47

547

409

619

157

877

661

1187

229

919

 

Рис. 6

 

Этот магический квадрат выложен на форуме в следующем сообщении:

http://dxdy.ru/post247147.html#p247147

 

Далее я посчитала минимально возможную магическую константу и сформировала массивы простых чисел для квадратов порядков 16 – 20. Но построить эти магические квадраты мне пока не удалось. Приведу подготовленные данные:

 

n = 16          Массив чисел: 3, …, 1621, но заменить число 1609 на число 1637 и число 1621 на число 1627.

Магическая константа 12088.

 

n = 17          Массив чисел: 3, …, 1889, но заменить число 1873 на число 1913 и число 1889 на число 1933.

                                    Магическая константа 14807.

 

n = 18          Массив чисел: 3, …, 2153, но заменить число 2143 на 2207.

                                    Магическая константа 17940.

 

n = 19          Массив чисел: 3, …, 2441, но заменить число 2441 на 2473.

                                    Магическая константа 21501.

 

n = 20          Массив чисел: 3, …, 2749, но заменить число 2749 на 2777.

                                   Магическая константа 25530.

 

Предлагаю читателям построить магические квадраты с использованием этих данных. Однако нельзя сказать с уверенностью, что такие магические квадраты существуют.

 

ДОБАВЛЕНИЕ (10 октября 2009 г.)

 

Недавно Stefano Tognon выложил на форуме dxdy.ru программы для построения нетрадиционных магических квадратов, написанные на языке С++. По этим программам я легко построила магические квадраты порядков 16 – 20 по приведённым выше данным. Показываю построенные квадраты. Квадраты строятся по программам Стефана в долю секунды. Можно построить сколько угодно таких квадратов, сразу задав в командной строке нужное количество квадратов.

 

Наименьший магический квадрат 16-го порядка из простых чисел

 

1597 317  1217 467  1459 157  1031 1543 1069 229  173  67   509  283  1297 673 
73   367  199  1399 1471 1493 347  197  1453 787  853  1229 271  1181 617  151 
859  307  1483 1427 619  277  577  997  241  1567 71   131  1237 227  1049 1019
23   1429 59   1319 967  443  337  191  1277 827  1601 193  677  1511 257  977 
107  1039 1033 487  47   1193 1327 631  179  1301 701  127  683  1153 797  1283
823  1151 1583 653  439  947  499  37   311  1279 691  929  547  1231 571  397 
353  1373 1367 457  881  647  1321 599  829  109  79   1607 733  809  911  13   
887  1021 463  593  1579 587  97   1489 557  1097 523  149  811  773  239  1223
521  569  719  17   7    941  563  1447 541  1117 1129 1091 293  1549 491  1093
1303 1481 661  29   449  379  1451 251  139  479  1307 983  137  53   1553 1433
839  757  641  1423 359  1487 1061 113  349  461  103  223  937  1439 607  1289
1187 401  281  1009 883  863  1523 3    1559 163  1259 1409 1013 211  263  61   
1627 503  11   821  419  1637 89   953  643  727  1063 709  409  373  743  1361
167  613  1249 331  877  421  269  1051 1571 1123 31   1163 1381 181  1619 41   
751  101  19   1613 1201 233  857  1499 769  433  1213 1171 919  5    313  991 
971  659  1103 43   431  383  739  1087 601  389  1291 907  1531 1109 761  83

 

Примечание: квадрат выложен на форуме: это копия с форума.

 

Наименьший магический квадрат 17-го порядка из простых чисел

 

ORDER=17  MAGIC=14807

 

1601 1297 641  1663 919  839  751  127  479  1291 83   263  1471 283  1399 463  1237

1489 101  1093 1621 643  571  139  1867 389  773  1567 1069 1033 857  503  709  383

1229 997  727  541  397  223  1747 431  1723 1733 521  601  331  491  971  211  1933

1831 257  1571 1721 1277 499  1861 43   587  337  1381 11   373  617  599  1103 739

277  163  701  107  1447 1429 433  1823 109  1117 1759 509  823  677  1487 1039 907

179  619  593  23   659  991  193  1613 1607 653  859  5    1289 1493 1913 1801 317

1439 547  313  787  683  887  1319 1019 167  1847 953  743  1301 967  1583 103  149

233  673  1367 1783 1361 1109 353  13   113  827  47   1657 1483 191  1283 1091 1223

1609 1451 761  1217 449  1181 89   421  1741 439  379  271  1171 173  569  1453 1433

1151 1051 157  137  401  1427 1327 227  1061 251  1021 1549 937  1777 97   1877 359

1523 1499 881  797  1303 1087 1627 131  821  229  1097 1667 877  241  523  197  307

349  1423 1481 853  1559 1187 311  1213 281  443  563  863  457  1123 829  613  1259

461  1619 151  1699 53   1531 181  977  1697 199  347  1871 1031 929  769  1231 61

983  73   79   1193 1787 419  647  809  1693 1307 293  883  1511 1049 1009 59   1013

409  557  1321 29   467  733  1709 1153 19   661  1753 1579 71   1459 67   1879 941

7    1279 1597 269  239  3    1543 1129 911  1637 1553 1249 41   811  719  31   1789

37   1201 1373 367  1163 691  577  1811 1409 1063 631  17   607  1669 487  947  757

 

Наименьший магический квадрат 18-го порядка из простых чисел

 

ORDER=18  MAGIC=17940

 

1433 839  181  1429 811  41   541  569  1877 1373 1249 709  1987 29   439  613  1709 2111

701  257  733  1721 617  1399 751  1031 1567 383  1973 2129 1489 1621 139  31   197  1201

11   509  743  353  1951 1381 2153 823  1151 271  1283 887  599  2141 5    1103 547  2029

1303 659  127  167  1637 373  2081 61   953  1979 1901 269  883  1777 991  2137 293  349 

1297 179  431  461  647  1423 773  1871 113  1447 233  1759 389  1499 1823 1181 2083 331 

1487 1879 173  1229 103  1327 2069 409  211  443  1009 1049 503  1109 2207 79   643  2011

1997 1741 1319 401  719  1039 1801 1367 239  251  317  1459 241  641  1013 2099 419  877 

47   1237 1231 83   1093 563  757  491  137  1723 1753 229  1553 593  1907 1223 1663 1657

821  827  1361 1847 1259 43   1669 1787 653  1579 1861 1693 467  277  919  673  97   107 

1069 577  691  223  1291 1933 17   1627 1171 1531 131  397  1831 2063 59   479  1789 1061

1811 307  1217 859  571  1523 1667 521  601  67   37   677  1277 2027 1697 661  1999 421 

2131 1471 457  971  1609 487  313  2089 947  1559 1289 1583 1021 727  683  73   163  367 

337  769  1511 1091 809  1193 433  1607 2003 7    3    619  1549 13   1613 1307 1187 1889

829  1571 1427 2039 557  157  1453 1117 1873 191  863  1931 71   739  149  311  1733 929 

151  1949 2017 263  1619 193  53   463  1493 1747 911  499  983  631  1123 1483 1481 881 

937  199  1301 2053 787  1913 109  853  1097 23   1033 941  1699 1163 1601 1451 761  19  

1129 977  2113 1783 797  1409 281  101  997  2087 227  587  1051 283  1213 1439 1087 379 

449  1993 907  967  1063 1543 1019 1153 857  1279 1867 523  347  607  359  1597 89   1321

 

 

Наименьший магический квадрат 19-го порядка из простых чисел

 

ORDER=19  MAGIC=21501

 

1381 397  241  2273 113  1223 17   1601 1237 2347 1543 751  211  1801 479  2377 937  1091 1481

1999 1193 1907 557  907  2161 1249 499  631  163  151  2111 1229 103  1483 409  1013 1949 1787

719  11   571  3    2333 19   599  2153 1487 1669 1187 653  1039 1459 1871 769  2011 727  2221

1319 331  1063 829  1873 1409 251  1367 173  787  2081 2281 233  2069 647  2029 349  2243 167

1153 863  1163 683  2053 709  281  2411 1289 733  601  2269 1427 739  811  229  109  1889 2089

101  1061 853  1553 283  1879 2351 1583 2293 2437 1429 1693 941  313  1213 59   1279 23   157

433  1973 859  317  773  401  1783 971  1327 1699 137  1741 1297 509  2393 2099 373  569  1847

347  1993 1987 179  1399 911  1181 643  1423 239  1613 1129 797  1951 1123 71   1307 1697 1511

353  1303 607  743  659  953  641  2113 1571 439  419  487  877  2389 1637 1901 1051 2309 1049

1493 1609 389  1597 181  227  2213 139  1231 1559 2341 131  2383 359  7    1277 1627 1117 1621

1607 2207 1663 1031 2003 1453 1979 661  293  983  691  1291 521  1499 1747 43   337  1451 41

1667 1867 2423 223  1579 2063 307  563  593  191  1151 757  1723 1997 1069 1087 1097 881  263

1877 1201 431  1811 2017 491  2357 619  613  1373 883  443  2311 821  503  2251 929  463  107

269  1831 89   1217 617  53   2039 1301 2131 887  1447 947  311  199  2371 823  1721 1009 2239

449  149  457  1913 421  1567 1549 2087 541  367  47   379  1283 2399 857  2237 1109 1759 1931

1753 2203 2141 1733 577  257  839  467  991  977  2381 2027 1789 827  1093 677  461  271  37

1019 79   1523 2179 1823 1709 83   193  2417 97   1439 761  67   523  1033 2339 2473 383  1361

2129 127  997  1489 1861 2083 1777 1321 673  2287 701  31   2143 73   967  277  1021 13   1531

1433 1103 2137 1171 29   1933 5    809  587  2267 1259 1619 919  1471 197  547  2297 1657 61

 

Наименьший магический квадрат 20-го порядка из простых чисел

 

ORDER=20  MAGIC=25530

 

883  2087 2351 367  1873 811  151  1489 1223 1039 761  673  1049 1787 1319 2503 2081 809  2221 53

1129 599  2089 17   1483 1021 2131 521  1783 839  2377 2069 1433 463  1499 571  499  2273 71   2663

907  317  1621 61   2593 2371 239  2683 1723 701  719  2677 271  2111 223  2341 653  211  1831 1277

461  431  41   2357 2129 1487 2099 1123 479  397  1229 997  1151 983  1867 2477 1091 2521 661  1549

2693 1613 491  467  131  31   769  103  563  29   2551 2731 2203 2281 2621 787  2293 1667 1019 487

2579 1907 353  2689 2609 1949 1597 1303 593  2671 13   383  191  47   59   1657 727  2339 263  1601

347  1747 2243 1543 3    1321 379  829  7    2447 647  1847 2777 587  2309 911  2441 2143 643  359

73   557  2029 1531 821  2347 1697 2459 1153 443  1721 2063 97   1699 101  1429 127  1451 2539 1193

1619 2311 2633 2617 613  2267 509  1297 853  229  1453 421  523  2393 577  241  1171 503  601  2699

2269 113  1163 1637 1567 683  199  1033 1987 2137 1013 1217 331  607  1061 457  2011 1361 2543 2141

2113 2287 1327 11   977  2333 947  863  167  2531 1181 2027 2423 1871 1951 37   1087 541  659  197

19   349  757  1523 1789 1481 1709 2549 2237 1423 941  109  2297 2083 1759 857  139  691  401  2417

2003 1693 163  631  283  677  2017 1283 1103 67   1979 1289 1093 1373 2473 2719 971  1607 373  1733

1811 1997 1381 1117 173  79   1993 2741 2647 1823 157  2389 641  1511 1367 251  1913 569  89   881

1627 389  617  313  5    2213 2039 1973 1409 1291 2381 743  1109 877  823  1301 1933 23   2711 1753

449  919  337  1861 2207 859  419  967  1889 293  1237 1069 1009 937  1801 2179 1579 1931 2659 929

2153 2591 1231 2467 1879 2713 1201 307  1447 1493 439  43   2557 193  1609 179  107  1901 709  311

433  797  2657 733  1571 257  1439 953  1213 1669 751  1459 1399 2399 1259 2383 991  1031 1249 887

409  1999 739  2161 2687 83   2437 281  1583 1279 2239 1097 2707 277  619  1063 1663 181  1877 149

1553 827  1307 1427 137  547  1559 773  1471 2729 1741 227  269  1051 233  1187 2053 1777 2411 2251

 

Таким образом, последовательность А164843, состоящая из магических констант наименьших магических квадратов из простых чисел в классическом определении (без использования числа 1) на сегодня имеет вид:

 

177, 120, 233, 432, 733, 1154, 1731, 2470, 3417, 4584, 6013, 7712, 9731, 12088, 14807, 17940, 21501, 25530.

 

При этом члены последовательности, выделенные красным цветом, пока не внесены в Энциклопедию.

 

Для квадратов следующих порядков я пока не подготовила данные. Программы Стефана позволят построить квадраты до порядка 31 включительно. Позже, возможно, я продолжу построение магических квадратов данной серии. А читатели могут сделать это прямо сейчас.

 

ДОБАВЛЕНИЕ (11 октября 2009 г.)

 

Продолжаю построение магических квадратов данной серии по программам Stefano Tognon. Напомню, Стефано выложил свои программы на форуме dxdy.ru. Посетите тему «Магические квадраты» на указанном форуме, это очень интересная тема! Вот ссылка:

 

http://dxdy.ru/topic12959.html

 

Итак, я продолжаю.

 

n = 21          Массив чисел: 3, …, 3089, но заменить число 3061 на число 3121.

                                   Магическая константа 30021.

 

Наименьший магический квадрат 21-го порядка из простых чисел

 

ORDER=21  MAGIC=30021

 

1493 1123 397  911  197  1231 53   1259 1553 2699 3001 1753 1069 2141 2687 1151 571  2393 2423 3    1913

1013 1861 419  827  359  1997 1637 1511 1033 1801 2549 1097 881  17   2179 2971 1867 19   1201 2111 2671

311  1847 331  577  2333 31   1699 1481 239  2237 1871 2357 2087 727  2713 37   3083 401  1933 883  2843

2797 643  1117 1549 1973 1621 2801 47   2207 769  191  389  1777 2557 1559 2689 1217 1021 503  1783 811 

2957 773  157  241  809  743  2251 353  2693 677  2351 2927 2741 1297 293  2609 647  2731 2063 89   619 

523  2371 1979 2753 1579 1187 569  487  2777 349  433  233  1747 151  971  2411 3019 1039 1597 1499 2347

761  2309 2069 1877 2027 3041 131  1459 1999 563  1009 2719 1229 1249 43   199  1489 2963 839  1607 439 

67   3037 2647 601  2267 1367 709  3067 2017 1291 139  2473 83   2417 61   1543 113  1103 1093 2137 1789

1667 1601 1619 3049 2677 137  1709 2441 1109 937  271  163  541  1307 2389 1223 701  2591 97   2621 1171

1447 5    1987 1487 733  2003 1663 173  431  787  277  2543 2707 2293 2749 521  2081 1373 2213 1571 977 

3079 1823 1627 1277 479  887  269  1741 1523 499  2203 877  2897 11   751  2617 127  821  2969 1811 1733

1567 1723 313  59   2083 2311 457  211  1583 859  2099 1091 907  1061 2579 2339 2521 1063 1471 2861 863 

2383 617  2833 1051 383  2341 463  2053 641  2939 2633 23   1087 2221 1951 587  307  2273 193  2819 223 

2011 179  509  557  1193 547  2711 2161 2903 2467 449  2803 2089 2887 1163 181  317  1153 2029 1303 409 

107  1451 1693 1531 2281 2789 2477 1031 2039 1019 2953 167  2129 719  347  1613 2381 263  1279 823  929 

953  1181 1657 2999 1609 283  829  1879 941  3121 2153 227  467  2551 103  2131 3023 1873 443  967  631 

7    991  2297 2837 2239 683  29   1289 281  1993 1949 2113 1129 101  2531 1361 739  1889 2917 1327 1319

3011 1453 673  797  1669 2593 2659 2791 373  613  41   491  757  2143 379  1483 2729 1901 661  367  2437

2663 251  593  1787 659  1381 2539 1399 2909 919  2243 1721 2503 3089 1429 71   149  109  1237 1049 1321

947  1931 2657 1831 2399 1439 1907 2767 691  1213 607  997  337  229  461  983  653  1283 1433 2377 2879

257  2851 2447 1423 73   1409 2459 421  79   2269 599  2857 857  853  2683 1301 2287 1759 1427 13   1697

 

n = 22          Массив чисел: 3, …, 3463, но заменить число 3433 на число 3491.

                                   Магическая константа 35086.

 

Наименьший магический квадрат 22-го порядка из простых чисел

 

ORDER=22  MAGIC=35086

 

2029 1091 2297 3041 311  3389 1949 263  1777 827  41   3259 1753 197  2671 3163 59   1259 7    3299 1187 1217

2099 859  557  593  2281 797  2011 2539 2069 3461 1657 643  1277 151  3181 3463 811  31   3109 71   1399 2027

1889 2549 587  1181 293  1201 1901 971  373  2381 2837 3037 911  2153 1289 43   1597 2267 647  2129 2377 2473

2713 2063 1307 547  2767 1931 3449 2447 1913 2053 2953 739  167  2797 1481 353  2971 283  137  443  1153 419 

461  3253 3371 3271 3413 37   269  227  887  449  937  1907 619  3137 19   2161 1321 2693 1637 1439 1291 2287

1789 2143 1087 3061 1223 409  1583 1621 1249 727  2857 509  2711 181  3167 223  3187 1723 2777 1109 53   1697

29   79   1693 2803 3    2293 2087 1933 2749 2399 2339 313  2741 89   3407 1297 2003 281  569  2903 149  2927

2081 229  1051 641  233  3257 23   3331 2393 2207 1069 1163 1213 599  2309 179  1129 3323 479  2239 2591 3347

631  487  701  1103 2441 3307 1039 2617 2237 1033 2341 2963 2141 109  1061 677  2551 1801 2969 307  1117 1453

2039 2729 2111 1579 823  503  719  1423 2437 439  2477 1361 163  1699 1009 2311 3191 433  3229 1499 919  1993

1543 349  1237 2657 2503 389  1741 1997 907  2357 2083 1877 2371 2531 1667 2753 157  113  769  397  3019 1669

2417 1951 2089 1567 761  2699 673  2221 1367 1097 3121 2659 463  983  653  3209 1433 431  2917 809  1549 17  

1031 1811 1709 191  563  1019 3203 1063 1759 3329 1231 3313 2683 2677 139  1279 941  2687 331  101  2203 1823

1487 1381 733  127  1151 1721 73   661  2909 257  347  1553 2411 1663 3001 3089 2557 1783 2351 2897 601  2333

211  2269 1871 421  1303 1619 2887 103  1607 1733 977  1301 877  3457 757  2833 131  3343 2719 1601 2213 853 

3491 1879 3361 2423 1531 1483 1609 3119 521  1021 97   683  3301 2707 11   523  2957 1489 1999 773  61   47  

1511 2131 2179 2243 1867 1229 271  1613 1123 1987 929  967  2647 107  577  193  277  3079 3083 2543 1171 3359

1847 883  1373 2579 3067 1459 1283 173  1559 881  3011 2251 2383 1093 1973 67   1831 2521 1627 2861 359  5   

1493 787  2879 607  3391 541  2467 3169 83   1979 947  953  383  2801 1409 1571 613  2789 743  2689 2593 199 

2999 2663 1429 2939 691  617  2731 751  857  829  1471 1861 337  2621 1319 2633 1787 467  401  1747 2609 1327

839  709  1451 499  1447 2137 659  2273 3319 821  997  1523 317  491  2113 1049 1193 1427 2347 2851 3251 3373

457  2791 13   1013 3023 3049 2459 571  991  2819 367  251  3217 2843 1873 2017 2389 863  239  379  3221 241 

 

n = 23          Массив чисел: 3, …, 3821, но заменить число 3803 на число 3823.

                                   Магическая константа 40675.

 

Наименьший магический квадрат 23-го порядка из простых чисел

 

ORDER=23  MAGIC=40675

 

379  1069 863  1049 3793 3797 1871 5    3727 2833 1301 3539 2339 491  389  2297 1277 3191 2683 443  373  3    2963

3433 2203 1039 1753 2837 1327 433  1021 739  2377 1741 2503 359  1399 3389 101  3257 2281 2693 2131 1409 593  1657

2383 149  827  3659 2477 1777 1109 457  347  1607 271  2143 577  3821 2999 3469 3823 1033 2749 1249 103  1559 2087

1583 2707 3463 317  1123 1571 1367 2113 2269 1667 2909 2887 2069 1613 2687 613  1091 2011 733  2111 197  1973 1601

809  3617 263  3067 499  2213 773  1319 571  2711 1511 223  2857 691  2459 3607 71   1913 167  3631 2777 2267 2659

3413 2803 569  1733 1997 431  3613 1709 1103 1307 3209 127  3089 2801 1459 409  2029 787  1201 3253 587  3023 23  

3083 479  2767 1811 557  157  3217 107  3511 3313 1013 1061 1231 2381 2647 2731 601  307  131  3371 2083 2677 1439

659  293  2273 2531 2341 2371 419  1163 163  3691 3163 19   547  3593 1759 3779 941  3221 2579 311  2027 2309 523 

1627 2953 1663 2447 1187 823  2593 2161 3299 79   647  2389 1987 1297 401  2141 1451 1867 3167 971  3041 1723 761 

353  769  1907 1823 1861 1031 1087 3119 3331 2179 2129 1429 997  2851 2099 1129 2053 977  653  3251 3323 1783 541 

839  3529 2549 1151 3011 1489 73   2741 2221 241  3719 2719 2939 2393 2789 1171 1523 269  599  337  2333 37   2003

43   1693 421  3373 1879 2917 3079 2539 1303 1933 257  2243 937  2039 3739 463  1453 89   2633 859  1801 1423 3559

3049 251  1481 853  907  709  1621 3769 211  1019 1361 2423 173  3271 229  2903 3467 1699 3547 2729 757  1289 2957

2621 53   2467 3121 3319 967  947  3697 67   1873 1579 283  2411 2671 1531 383  751  2137 3449 397  1877 3457 617 

953  139  3037 701  2543 3391 233  2713 3001 991  2089 1009 1979 97   227  641  3181 2017 3229 1153 1831 3733 1787

1543 1291 1433 1213 3301 3571 1487 2441 17   199  277  2473 2417 1097 821  1381 3761 239  3343 1999 281  3499 2591

919  3709 2293 1789 1493 3137 1697 3361 1931 1609 1229 137  3169 2609 619  2399 2969 2153 1597 29   461  1283 83  

2557 2753 2699 719  31   3461 3187 13   1993 2797 1373 2927 2351 181  3019 2207 1567 3527 743  883  521  727  439 

1669 7    1193 2791 983  487  2357 2861 2311 2819 3061 673  47   607  1181 3623 1721 2879 503  3673 1321 367  3541

3259 1747 3203 857  113  881  3637 59   3557 887  3701 1847 811  2551 1237 1951 661  1051 1949 1223 3347 509  1637

2617 2239 1889 1619 1447 2347 2657 191  683  1093 179  2063 2081 1259 3767 1117 563  151  467  2897 3583 3329 2437

2843 3533 877  2237 1427 349  3109 829  643  929  313  2251 1901 331  11   677  1553 3359 797  3581 2971 2663 3491

41   2689 1499 61   1549 1471 109  2287 3677 2521 3643 3307 3407 631  1217 1483 911  3517 1063 193  3671 449  1279

 

n = 24          Массив чисел: 3, …, 4217, но заменить число 4201 на число 4259.

                                   Магическая константа 46840.

 

Наименьший магический квадрат 24-го порядка из простых чисел

 

ORDER=24  MAGIC=46840

 

3863 1483 2111 1409 2753 3463 3917 4013 3191 443  2803 601  3307 571  2239 149  2143 1879 2383 211  709  1753 1097 349 

1021 3079 3067 251  271  2963 1187 691  1493 421  2017 2141 3187 4001 17   3461 2531 1283 2441 3391 3389 1627 2843 67  

1667 1949 1789 1213 1861 197  1303 4079 1117 3637 727  2633 967  2113 3529 809  3779 1531 3491 1039 3271 59   151  3929

541  3631 1579 2473 1801 2927 41   1321 829  61   1759 1181 1051 929  3121 1697 83   4129 2917 3943 487  2731 3881 3727

3167 3    107  1471 2179 241  2011 409  71   2137 4057 3371 2207 1913 1087 1193 2777 863  3203 907  3571 4027 2647 3221

2833 2381 3319 2659 173  3413 257  331  683  607  2699 3229 4153 2687 379  2837 3499 4099 353  359  2309 911  337  2333

1559 3623 499  2393 239  643  2411 1823 823  1543 2087 1451 1453 1601 1459 2903 1481 1999 2971 2689 587  2693 3733 4177

4111 283  3449 983  2357 2243 401  79   1301 3613 2617 3347 3853 31   3217 2267 131  2341 367  2819 277  1279 3691 1783

479  3119 3539 2609 811  2131 1997 2797 3331 2683 1811 1613 1583 1201 2539 1171 3083 521  13   4073 1427 3373 317  619 

3659 1327 719  2663 4007 4049 3541 2423 761  461  1399 4133 991  47   37   1223 4019 3361 2791 2503 563  229  103  1831

2297 2657 593  797  569  3767 953  2543 1721 937  1637 113  1009 2713 1901 1259 2549 1069 3947 3407 2857 3931 1063 2551

4157 2621 997  89   1163 1381 1979 1151 3889 4217 857  5    2969 2909 1657 1297 109  223  3253 1747 2593 1289 2029 4259

3517 2719 2417 577  3821 3313 389  1367 2707 859  839  1109 1153 3323 509  2237 3457 1361 233  457  2749 3907 1031 2789

2003 1663 631  1229 3299 1787 3919 2083 2591 3259 1433 1597 1019 773  2953 2221 3793 941  677  383  1907 757  3761 2161

137  3001 3137 4051 673  163  887  2897 2099 2729 2377 739  2861 1549 3181 3769 661  281  491  1447 1439 1103 3701 3467

11   647  2939 2347 4021 373  3643 2251 3359 733  653  787  167  1237 3011 3607 547  3877 617  2467 1847 3037 3343 1319

919  883  2293 397  2069 3329 1951 1567 3433 3923 1973 2399 1373 2767 1871 2339 2089 1523 1129 179  2459 3671 751  1553

1487 1699 2203 3061 3089 877  3557 1693 2311 1489 3677 659  1231 2281 2711 73   1123 181  4211 2741 2053 23   1609 2801

263  641  313  1423 2351 3851 311  3967 1249 2999 1291 3209 463  3511 3847 449  1013 4003 1511 3593 2129 2521 1741 191 

827  1571 3547 2671 2389 101  431  1619 3301 1877 1217 2851 1867 3823 3719 2887 127  2879 1621 4091 1733 307  1091 293 

2557 3709 193  4127 3109 1933 4139 43   1777 1429 701  2579 1277 2287 947  3019 3581 2437 1723 971  557  29   3697 19  

1049 1607 4093 2371 3049 157  3559 769  53   503  4159 3257 2273 523  1499 419  3797 2153 3803 1307 1669 3911 7    853 

2039 1931 1093 3583 347  2477 3023 3251 1709 3833 1987 97   2957 3169 977  2027 269  3163 1873 227  3989 139  599  2081

2677 613  2213 1993 439  1061 1033 3673 3041 2447 2063 3739 3469 881  433  3527 199  743  821  1889 2269 3533 3617 467 

 

n = 25          Массив чисел: 3, …, 4639, но заменить число 4603 на число 4651.

                                   Магическая константа 53631.

 

Наименьший магический квадрат 25-го порядка из простых чисел

 

ORDER=25  MAGIC=53631

 

61   1091 2731 3463 4013 2143 4271 1999 3617 823  4229 421  4003 911  1543 2333 3673 3    821  263  1279 4177 1283 3821 659 

3271 4139 463  571  241  73   191  4597 1877 2713 1723 3413 3833 1423 4219 607  11   3631 743  2797 709  3499 3511 2699 2677

293  3301 2729 1301 2207 2467 4639 2129 1523 947  4079 4621 599  4373 3701 2341 1021 1193 461  929  1597 1307 3911 29   1933

163  2339 3797 971  439  569  1657 2237 2539 769  2221 1879 4523 2503 2711 3181 2251 4093 2789 3607 577  487  673  3889 2767

3623 2671 3823 3881 3019 4027 2473 1733 3739 1613 367  193  2683 4423 71   433  2069 2089 4651 631  1873 2423 107  859  157 

419  1289 1033 1949 3691 2963 1327 1277 457  1637 4049 3023 397  3541 2311 1103 2971 2917 541  2141 677  3917 2521 4289 3191

503  4243 4127 641  3083 1801 2879 3169 907  787  1621 4441 941  827  1607 67   3037 3119 1049 4409 613  1553 3677 2833 1697

251  3547 1163 1601 1741 4129 3863 1181 3467 1171 1303 2657 2063 2351 1009 1151 1429 2693 113  1567 2903 1489 3847 3583 3359

1609 1427 31   3851 3517 131  2389 4483 313  1453 1319 2999 1201 4021 937  4217 1663 3539 4567 311  1129 1669 3697 97   3061

257  1693 853  2293 3989 271  1787 3299 1493 1847 3643 3637 3923 1831 1483 4363 1373 227  811  233  4153 3761 2011 2269 2131

4447 3769 1231 1447 1783 3803 2819 643  3011 4019 1187 1117 2377 1409 2399 1367 2843 1459 3373 2741 3329 1571 101  1039 347 

3331 127  137  2027 1093 2687 2749 4549 2753 4481 3001 1153 563  1583 17   4111 1381 4457 661  1549 3533 1063 4261 617  1747

2707 1907 1291 997  4099 3121 1123 887  2357 4397 4463 359  47   1229 2579 1051 983  1861 4547 2441 4637 499  2609 3229 211 

3613 2243 919  739  1439 2281 89   1249 1481 3187 3947 1361 2551 4421 3767 383  2447 809  3853 2591 839  2791 601  1789 4241

4349 3209 751  2837 223  2297 317  1031 4231 167  331  41   2663 1721 3319 4211 3137 2437 3407 2777 857  4157 883  4259 19  

1259 197  3433 1499 2969 2393 53   1013 2851 4133 379  4493 4073 1471 173  4357 3659 863  523  4283 3307 449  1811 431  3559

991  1061 953  2273 2909 4451 1069 83   103  353  3571 1321 2857 1097 4519 2927 1213 3361 3389 3461 547  1019 3557 2039 4507

2153 2531 1901 467  37   1087 2593 2239 3709 1753 2477 3347 3877 181  1511 3259 3529 3727 1987 401  2309 647  4339 179  3391

829  2017 2161 3163 139  1913 3581 977  2267 3221 1487 2003 283  3343 2719 4007 1979 593  509  3253 3931 3527 269  2371 3089

2543 727  1823 2659 2803 4253 2621 1973 773  2887 151  389  23   79   3907 43   1217 479  3491 3719 1627 4583 4091 2179 4591

4201 1109 4391 2557 491  109  881  2647 3323 229  349  1931 3793 3313 3041 877  1579 587  3967 2617 2953 2801 2689 2957 239 

4327 521  3593 2053 3671 277  2861 4337 4057 557  1297 691  1559 1993 3079 3217 1871 2287 2549 701  3929 5    199  3203 797 

3371 149  2137 3449 1237 1709 3733 1759 2087 3779 2897 2459 733  3067 619  2347 1399 3257 1997 2099 2939 1531 2203 1223 1451

1951 4273 4159 4561 4517 757  1777 2029 13   3251 3167 3469 2633 653  2083 59   2383 3943 2113 1699 967  409  337  1667 761 

3109 4051 4001 2381 281  3919 1889 2111 683  3457 373  2213 1433 1867 307  1619 4513 7    719  2411 2417 4297 443  2081 3049

 

n = 26          Массив чисел: 3, …, 5059, но …

Здесь есть два варианта массива: 1) заменить число 5039 на число 5081; 2) заменить число 5059 на число 5101.

                                   Магическая константа 61092.

 

Наименьший магический квадрат 26-го порядка из простых чисел (первый вариант массива)

 

ORDER=26  MAGIC=61092

 

151  743  3823 2767 317  599  4457 2393 4567 3491 4787 577  3301 4241 2467 1901 43   1231 3167 2269 1741 3931 2719 569  47   4793

4969 1217 3271 2593 3499 2339 1013 3313 619  1193 383  3761 2423 2803 4637 4297 3671 1697 1091 181  2083 1721 4007 1021 1009 2281

4943 3217 2909 2207 4519 2801 3833 3067 1747 347  4801 2797 2861 3889 593  157  769  1439 313  3701 3463 1609 191  1181 821  2917

4703 853  523  683  3089 4967 3877 2851 307  29   1709 929  4603 4549 3547 2657 2251 491  2243 1871 5081 1613 3863 761  1619 1423

2063 727  4973 5021 2557 2437 131  2647 2837 3697 977  3989 149  4159 2383 2609 2999 607  3967 1303 269  1051 1451 3121 641  4327

2659 3203 5051 1483 877  2293 2351 4993 2963 4937 2213 109  4817 233  1487 4561 3581 3079 1201 571  2617 2341 389  107  2957 19  

2017 4129 3539 4871 2411 3881 701  1291 4253 2179 1999 227  883  2377 2503 3343 3209 79   401  1471 1453 3001 3727 2221 4099 827 

373  4889 4363 263  3461 887  2521 197  2731 2137 907  3371 1237 1979 2531 2833 3389 4273 367  4111 397  2693 1429 3109 4513 2131

617  2791 3733 653  229  3319 1033 4663 4483 1907 1663 503  1087 101  1787 991  1223 4013 2459 5011 2843 1061 4409 1847 3709 4957

3119 3643 587  1549 4493 2399 4789 2297 967  3457 4831 2621 4909 2539 1069 2683 1877 4219 2741 1093 419  5    1933 59   521  2273

2591 4261 2939 1459 2143 379  2549 3943 2267 3739 857  3049 1997 1447 2971 1117 4091 4903 3329 4211 439  499  1123 1531 1327 1931

1277 829  1693 2551 4751 2729 3307 863  103  3617 2677 1259 563  1667 2389 601  2081 1579 3083 2381 163  4517 4093 4057 4931 3331

11   2141 457  541  1723 937  1889 2713 461  1361 337  4861 631  953  2897 4999 3583 1489 4391 4201 2671 4339 1733 4423 2473 4877

2113 2069 3449 409  13   4049 1627 1543 971  2099 2879 4421 3767 3541 4723 331  2027 2689 4073 3181 757  1213 3323 251  4021 1553

5009 173  463  3169 3359 167  3037 1583 1987 3803 3259 3847 1103 3797 4591 349  271  31   4153 193  1481 4019 1097 2087 3373 4691

61   3257 2237 3221 487  1973 911  4987 3391 661  2203 997  3361 2153 1381 2129 3137 421  787  809  4259 839  3191 5003 4639 4597

3527 2707 3779 1571 2089 3347 2927 3719 1597 1321 4679 3947 1499 1319 3571 4231 1637 797  3659 881  2333 2633 647  1019 983  673 

23   3    41   947  1699 7    2711 73   4447 37   3853 5023 1367 1409 4177 1879 2161 4951 4243 1861 4783 4799 1951 4657 3631 359 

3673 4621 2447 3433 1171 1801 3929 2699 4463 1049 4271 659  1759 811  2887 4729 1399 53   2969 4373 1993 823  2953 1753 97   277 

1621 1289 3677 479  3251 3557 353  4001 2579 1279 3023 4441 2477 4027 547  3299 5059 2029 1949 1669 4481 3187 1823 239  557  199 

2011 2053 89   4547 613  257  3061 2663 3529 293  4051 733  3011 1777 691  1523 3607 4523 83   1811 4721 3041 4139 3533 2819 1913

2687 4397 2347 1301 3019 3253 3407 677  1153 4733 179  3851 773  3917 1831 1373 3559 241  739  4673 1657 4217 449  3593 709  2357

4157 433  281  2753 4933 4759 1129 17   2239 4643 1151 2441 4357 2311 1433 2003 2371 3907 1297 1229 859  4813 1039 2543 3923 71  

1559 1249 2789 4289 3769 1567 1187 1867 3793 4283 467  1427 3517 113  127  719  211  4451 3613 3163 3511 283  4127 3691 2417 2903

509  2287 139  3413 1511 2039 3919 1601 1031 1163 1063 311  1783 4229 3229 2309 2749 3821 3467 4651 4507 67   4003 4583 919  1789

4649 3911 1493 4919 1109 4349 443  431  1607 3637 1873 941  2857 751  643  3469 137  4079 1307 223  2111 2777 1283 4133 4337 3623

 

Наименьший магический квадрат 26-го порядка из простых чисел (второй вариант массива)

 

ORDER=26  MAGIC=61092

 

691  2647 1753 4447 457  997  2141 857  4789 1093 3527 4297 1117 2339 971  1451 4241 1301 241  4861 3089 3109 4567 743  1009 4357

757  1231 3929 1601 1259 4483 307  2153 4703 2131 3833 1091 181  2539 2411 3271 3917 2953 3719 313  4327 359  1571 4093 3313 647 

2609 3853 3331 1217 3347 4547 233  3673 5011 2579 1373 139  811  1409 1151 1583 223  829  787  4643 3863 4691 1061 547  3761 3821

4289 1013 1637 199  569  4057 3593 4003 4423 4349 2377 1777 1999 3061 2927 607  1549 3067 3793 1597 4999 2837 1163 227  643  337 

1153 4813 2753 107  2311 2239 2281 4457 1543 1429 4889 4651 2351 3011 3671 2749 239  4723 5    1667 257  1327 2551 1823 3041 1051

3881 4799 761  2719 4463 509  1423 1063 277  3121 1459 1489 2087 4759 1783 73   2543 3413 3767 4831 2287 2063 977  3019 1049 2477

2467 2179 577  4943 23   3329 4787 5021 1487 1693 1201 3319 557  2039 3221 3511 1289 523  2677 443  2659 3877 4549 1699 2711 311 

2693 727  2591 2027 2707 1831 2099 1433 4663 5023 463  1453 2273 4157 4079 4931 3581 2113 7    3217 1759 71   839  4517 97   1741

3557 2309 211  2879 3461 4637 2069 53   2939 4283 59   3911 4201 1187 1103 193  1499 1949 563  1523 4271 2887 3847 1321 3797 2383

4591 499  3469 3253 2393 47   2593 349  2207 3803 4523 41   797  2797 907  4639 4649 937  1993 4177 587  3137 887  947  4969 1901

3    1873 881  4513 2671 1427 4603 3631 1801 4733 4657 2777 2137 1579 4007 61   1867 2243 3701 739  2803 13   1669 281  3733 2689

2053 3191 191  719  5101 487  631  3049 1069 4021 3259 3571 1997 1567 2029 4451 1171 1889 3457 2083 3209 1847 1021 3083 1787 4159

2917 103  4441 79   269  4621 4817 3407 2621 1367 1553 809  4099 1987 877  1181 3361 229  2441 619  823  3491 3989 4751 1979 4261

1663 653  4243 991  4679 5009 2963 4219 919  449  2791 2237 2447 1789 4721 1399 661  773  3449 3823 401  1481 853  4951 3257 271 

4139 4871 541  4133 3299 4273 1279 1109 2203 1619 167  4019 67   2297 3533 3851 1613 677  3359 3119 263  983  2957 439  3583 2699

2357 4409 2473 3529 3727 2633 83   503  3637 2971 3463 863  3623 2857 29   3889 1951 149  4217 3229 1933 859  1031 3323 2267 1087

383  1319 953  3659 2143 2341 3203 827  4519 1483 1291 379  3559 1877 293  2833 433  4783 3343 2111 4231 2663 3617 659  3709 4481

3001 2909 2423 4153 2531 431  2293 3023 2251 4129 283  1193 4397 1277 3931 769  367  1861 1973 3169 251  2089 3919 1709 4073 2687

2161 151  4877 409  2399 19   4987 163  2221 4903 883  4909 3947 89   4919 11   4253 3389 4729 197  37   1621 2389 3301 3187 941 

137  4993 1559 1733 1871 31   3433 4421 43   173  3943 2521 127  131  3181 1033 2081 4967 4391 1511 683  3163 3251 2731 4933 4051

641  733  4973 1531 2801 4337 3967 1303 751  317  3037 4211 2333 4049 521  5051 4111 5039 967  373  1697 1471 1447 701  1123 3607

709  2789 2729 2819 1361 2011 2657 4583 3079 113  2861 2129 2003 1283 2903 2459 4027 601  821  1213 4597 2843 1747 4507 1811 2437

3517 2417 3541 2371 17   101  1931 4339 613  617  2213 2549 3739 4561 911  1039 599  3923 1019 4957 4373 3677 2017 3307 397  2347

2851 1657 3539 1607 2713 1229 1879 2381 1097 4013 3167 3643 3499 2269 3371 2683 3691 3907 491  157  1721 1439 4937 1249 179  1723

4259 4493 1493 2897 3391 1237 419  593  1297 109  1907 347  4127 1381 2969 3373 4673 1307 389  3779 4363 5003 467  3467 353  2999

3613 461  1223 2557 1129 4229 421  479  929  571  1913 2767 2617 4801 673  4001 2503 3547 4793 2741 1609 4091 3769 3697 331  1627

 

n = 27          Массив чисел: 3, …, 5521, но …

Здесь есть два варианта массива: 1) заменить число 5501 на число 5569; 2) заменить число 5519 на число 5581 и число 5521 на число 5527.

                                   Магическая константа 69251.

 

Наименьший магический квадрат 27-го порядка из простых чисел (первый вариант массива)

 

ORDER=27  MAGIC=69251

 

23   181  11   151  1019 1567 4937 2689 353  3229 1229 4637 1289 3251 3259 1481 4273 5021 4259 5413 751  2719 4729 1381 4523 3463 3413

2971 4099 1637 2383 2791 4723 4271 3571 3911 2003 2473 421  3359 71   1423 1097 2927 3407 241  5483 1471 661  2243 907  1303 4447 4957

1049 3881 1231 3187 3793 643  4481 5303 3803 5003 3853 2549 1109 3209 587  431  3001 1009 1607 3673 3361 577  2683 1867 1171 4091 2099

1021 2381 4951 1321 5197 3917 5417 1399 1451 1429 1723 2879 2069 5347 191  1217 883  4127 4643 199  3659 397  3701 107  5179 443  4003

5431 1733 317  2129 4057 4583 61   2423 709  4139 419  1523 2273 2801 4201 2459 167  3469 4211 1531 1367 4813 1123 1787 3923 2999 4603

2557 797  3457 83   3217 853  571  2707 5237 2131 2351 5023 1801 2539 1949 4969 1277 4027 2311 5419 3313 1279 89   5297 1319 2267 2411

641  4789 3919 5039 3181 1499 1549 1997 1601 569  2017 5443 4561 659  2137 5381 43   3797 101  599  3671 3167 2647 4339 3739 1483 683 

881  2269 1511 3631 673  173  2153 2089 3967 409  349  1889 3331 1447 1223 2347 5171 3467 2677 4817 5477 3779 373  1913 3019 4943 5273

739  1993 5351 37   307  5153 3607 1811 2063 1847 4177 3761 3559 2377 2141 3847 4013 719  1543 2441 3491 3323 5279 1933 1571 337  1831

4751 1409 3067 4733 4547 263  2029 2179 2753 1031 491  727  1117 3617 2917 3989 5261 3191 233  1709 97   4651 4217 4799 1193 1663 2617

4877 283  2857 359  3697 3299 761  4889 1979 1777 4093 3529 3253 1657 461  1627 2939 1559 163  4363 4021 4423 2851 2333 1039 1459 4703

449  1487 157  3449 4909 5147 4229 2671 2251 269  47   2657 5281 4801 5407 3511 929  3727 947  1669 193  1999 1609 4457 4591 127  2281

2437 3583 2749 5107 523  1553 3907 2621 4409 4337 103  941  617  2521 3163 67   857  5393 3533 3169 967  2237 1163 2087 5119 5387 701 

5231 2963 1061 4219 277  1327 4973 223  1951 2789 3643 3343 2309 919  3373 5441 3677 2053 4129 2207 5    4673 257  2357 2293 3541 17  

823  4657 4391 5449 2341 433  3023 743  2903 787  4517 79   3527 5519 3947 3833 1747 601  1613 1153 2897 4493 2833 179  1493 487  4783

5479 2039 4483 757  541  1181 1873 619  1213 2143 2467 3037 4663 4111 3461 953  401  3347 5167 2861 1877 911  2393 5503 4933 1901 937 

2729 4153 3719 3109 3061 3301 439  5323 977  2543 2417 4079 809  557  2027 311  1741 149  3593 2081 1129 3499 4289 3391 4987 1759 3079

2447 4903 593  467  313  521  1069 3433 1307 5113 1091 5099 4519 3581 3851 1259 1427 4073 3041 1579 547  4967 5233 2111 1361 2633 2713

2297 4001 3371 3733 2837 4283 4621 1297 59   1187 4373 5189 1583 3089 5333 2203 3691 827  1973 53   3767 3623 1151 2531 509  859  811 

829  769  3889 839  4513 2399 1103 31   1931 3329 3769 3307 5077 821  4507 4649 4451 229  2609 4993 2909 3257 1013 1439 2239 331  4019

3319 197  1667 4567 3049 613  5081 4679 4931 4051 4463 29   367  2083 293  1033 3557 563  73   7    4871 2777 2843 4231 1249 3221 5437

1063 3    1301 113  2339 4349 677  4049 1753 4441 3943 1373 5399 3137 5059 4831 1489 1693 5309 3613 631  2161 4357 2213 877  499  2579

3271 3539 2659 4157 2663 2803 3121 3011 4297 2953 4549 653  109  1201 479  691  4327 1697 1871 2819 2591 131  4793 1597 4999 4133 137 

4253 4243 4721 3517 383  5101 1291 733  2287 3821 1051 251  3547 4241 607  1621 379  1699 5209 647  5227 887  2693 5569 863  3637 773 

4919 3709 457  1453 3083 2969 983  4597 5011 463  2593 3863 2711 2011 4639 2741 2687 4159 1789 1879 4397 389  2887 13   347  2113 2389

4261 3203 2767 5051 3389 4691 2797 2731 1283 2371 3119 2699 41   1861 139  2503 3929 239  4787 997  1093 2221 1783 1087 4421 5507 281 

503  1987 2957 211  2551 1907 227  1433 4861 5087 3931 271  971  1823 2477 4759 4007 5009 1619 3877 5471 1237 19   3823 991  5521 1721

 

Наименьший магический квадрат 27-го порядка из простых чисел (второй вариант массива)

 

ORDER=27  MAGIC=69251

 

2707 3001 163  13   2377 4243 1069 4349 503  277  1873 4523 3833 4409 1321 3407 1103 3613 5209 1097 4261 2039 2063 1783 3631 4663 1721

2903 577  2351 4549 3167 2003 1913 5101 4751 2251 809  4813 5087 3733 2089 7    127  3769 3083 2309 149  283  1489 2111 4463 857  4507

2341 2417 1297 1259 5197 4373 659  5231 2339 1231 3307 2237 3929 2143 2179 4001 4937 1951 401  5119 1439 109  3463 463  2633 1847 2749

251  2153 2203 1451 1499 1931 4217 3659 2551 4219 599  2113 4861 2693 4679 3719 229  3851 5407 1453 5333 5    3109 2963 1153 2687 263 

5399 3319 709  2381 2857 181  2083 4297 4831 4733 4447 509  3373 907  4723 547  3767 3271 523  499  3469 683  179  2423 2239 1399 5503

2389 5417 4637 389  2521 4969 1033 541  4057 5419 4337 3457 641  3221 727  367  2969 823  1301 3727 2579 1223 853  4229 2657 1277 3491

1039 5003 4583 1669 2069 269  4787 787  2753 2393 2953 4027 2677 421  313  1543 3391 1289 593  4493 2741 5081 2713 5581 457  4013 1613

947  3511 3607 4933 4567 113  5113 4099 233  859  2549 1123 431  2591 647  4793 613  29   5441 4211 3923 397  461  3413 2543 2957 5147

3701 487  3643 3181 1049 2297 2879 5431 1429 3907 2789 769  71   1009 4283 4127 2531 521  2801 911  4691 2281 4561 2503 5023 2357 19  

877  467  5009 4943 353  1013 1181 4999 4817 3557 4993 373  4357 3539 5483 1907 347  1471 1663 443  2897 5237 1709 2441 2383 1801 991 

4759 5303 2161 2221 2671 5381 449  1609 739  1889 1229 2473 239  3943 197  4877 3847 3089 3389 23   3671 3739 4517 211  3821 2053 751 

3023 2621 2791 2711 349  3527 983  4397 3583 883  4603 757  241  3947 2269 3229 5507 1571 997  1447 4513 1601 4157 2477 359  1741 4967

1567 2017 1327 1427 1823 1021 5297 4703 4483 1307 1061 1151 1759 4919 199  2647 2467 743  1777 1459 4363 5233 3691 4931 1657 4903 1319

919  2927 4871 5011 607  1031 1433 1483 3253 3467 409  4987 1871 5189 5479 311  1747 2609 5227 3037 1051 3343 3137 941  37   2887 1987

3967 2971 3079 5051 3361 3119 4289 2311 3259 4153 31   719  137  157  2027 1553 1217 5167 653  5261 3323 1511 661  5273 2797 1117 2087

3313 3889 4801 2131 97   439  3917 1531 2137 3779 863  3793 1523 1409 2081 2617 4457 1637 3499 929  1621 2731 3823 4649 1381 811  5393

79   1367 491  3347 3709 3593 227  89   307  3623 3911 4201 2447 1879 167  797  4421 773  5279 2539 3433 5443 5099 3449 1933 4441 2207

4139 3533 1861 2399 4639 3637 691  41   5449 619  1867 4339 3049 3331 1093 4591 5021 1129 3877 2833 83   131  1607 4079 4909 47   257 

2999 4951 4111 53   61   317  17   1373 4159 967  43   5347 4721 281  1481 1733 73   3163 643  5309 3571 5351 4177 2861 4091 4481 2917

3673 1087 1877 337  3187 587  3863 1187 2819 3191 1291 2273 3011 601  4547 563  1063 5153 4271 4003 3067 1699 3617 4889 379  1693 5323

59   1999 937  5471 173  4093 4423 331  2837 3301 3761 2099 3581 419  3677 4789 1249 4051 557  4129 571  3989 1201 1997 4007 3257 2293

3169 821  761  2939 3881 5039 3517 191  2347 3061 1811 673  2287 271  4973 4957 1019 4259 2663 3203 1493 3359 3    139  3797 5059 3559

2729 701  1973 1993 5477 1949 1619 1213 953  4273 3251 971  4049 1697 5107 3853 617  4657 151  1109 1279 3461 4799 1559 5501 2683 1627

3541 4621 2141 2659 193  4783 2777 3209 2719 107  4073 3803 1667 4133 2459 4021 5077 1487 5171 977  1091 2213 479  1193 2803 67   1787

4519 1283 2593 1423 5387 1171 3329 5437 223  1361 1583 827  4019 2557 2689 2699 1789 3217 2851 3371 2767 1753 4391 887  1597 3697 1831

4231 1979 677  2011 3529 4241 2843 1549 881  3121 5527 4651 2371 4673 2029 1163 5413 2411 101  631  1579 3919 383  1237 733  4327 3041

11   829  4597 3299 4451 3931 4643 103  839  1303 5281 2243 3019 5179 2333 433  4253 3547 1723 4729 293  2437 2909 569  2267 2129 1901

 

n = 28          Массив чисел: 3, …, 6011, но заменить число 5987 на число 6037.

                                   Магическая константа 78100.

 

Наименьший магический квадрат 28-го порядка из простых чисел

 

ORDER=28  MAGIC=78100

 

2273 4127 1949 3037 4243 251  2083 3583 3167 4903 4657 5051 839  3671 4643 2887 2417 1993 239  5791 701  4007 4723 1181 1429 3359 67   829 

601  1423 677  5171 47   6011 3911 4073 223  4861 5821 2591 173  4057 5743 4549 2729 3529 1459 2551 4397 1667 1019 1051 1747 3089 3947 983 

2699 3019 1663 3023 3517 5869 5449 2129 2011 257  2351 863  4973 5077 593  5651 1033 1103 3461 373  2347 4733 1997 487  4759 1933 5501 1229

5879 5443 1069 4217 5939 4621 3847 1301 4987 1483 1723 1013 743  2161 3623 113  4507 4231 4337 3079 727  523  3229 3593 1279 2243 1627 563 

4783 269  4957 3697 139  311  1607 163  5669 3491 5483 4789 4463 2609 1093 1153 5581 4363 2311 5419 331  2663 5861 2179 977  809  211  2719

2939 1187 5323 4271 509  3137 1889 2287 5023 2251 4013 1553 2897 2753 919  4967 971  3821 4297 2203 4091 1789 5827 3613 1951 433  2953 233 

947  3643 1039 1931 5857 3559 569  1867 2027 3733 1823 5701 3547 4027 2969 1489 3677 751  53   3691 5113 359  1579 5399 4999 5441 1847 463 

227  4517 5521 4289 4787 2837 2053 5807 3119 4603 5021 503  2239 1901 2309 2687 2851 3607 2917 2389 1237 2297 3253 3    4483 1297 907  439 

2411 4153 5641 263  2131 479  3727 5503 4349 101  17   5569 5227 1151 2063 3853 347  499  4003 1601 3797 3407 1283 5101 3659 997  5197 1571

3793 3433 1783 2423 1123 6007 3187 3631 31   4049 5903 2377 521  2789 3209 4969 3881 857  229  281  5527 1427 719  1567 1487 2683 5563 4651

4663 89   1409 5711 2767 71   2137 5471 1973 2909 2503 3271 5531 277  3391 1613 73   2281 1009 1619 5647 1289 2549 4951 3221 5437 389  5849

383  1697 19   2293 4583 4111 4813 619  3709 4229 1721 5153 2039 97   83   1709 3061 2393 5923 4639 3539 3467 5431 3301 2441 443  5237 967 

2927 1549 5639 4327 3169 3251 2207 193  3319 5591 59   2593 3923 107  167  3989 283  11   733  3463 3907 5099 929  2803 4519 4721 4129 4493

197  5783 1499 1523 349  5393 2381 5839 3851 1217 661  5167 2467 199  3191 4157 2971 5689 3343 607  3833 3779 157  2647 5477 1223 241  4259

887  4831 5843 859  2843 3373 457  5741 547  2213 4451 4877 2731 6037 1117 2539 4591 4729 431  449  3163 1531 3719 811  137  823  4211 4159

773  3581 3413 2341 4021 2437 5009 2801 3389 4219 109  3469 3083 2221 5297 953  761  3257 5381 5087 149  2531 353  653  3761 1693 1621 5737

103  2857 4261 2861 797  1439 5039 5573 4943 4019 379  1171 587  5897 5231 827  2237 2113 3307 4079 617  367  4933 4597 2383 4283 1321 1879

3889 2633 3049 1433 1097 2711 2153 1303 3541 683  5657 131  3203 3919 2069 5081 5479 1979 2659 5851 5407 61   1999 2267 659  2677 5261 1249

2459 3109 1213 2399 3041 4409 1129 23   317  1493 2749 37   5927 4679 5867 43   4391 5653 1877 1109 2447 5953 2333 3931 3823 883  1699 5107

3181 599  1481 4139 709  1021 1031 1087 5189 4993 1277 491  1801 1777 3499 5413 4931 1163 3323 4889 191  3001 3701 2269 4099 4253 3259 5333

4421 1787 2543 673  5683 2017 3527 853  3011 1811 1753 5417 1373 5981 1361 2003 401  877  2707 1759 2143 769  2579 2371 4481 5347 4793 5659

4673 1733 5779 1327 2963 397  1063 5717 41   313  1381 337  4457 2671 293  421  541  4373 3557 1307 1907 5801 1669 5309 4547 5011 5233 5279

3769 2099 3299 127  941  4241 1871 2521 2029 3457 557  3967 3673 3637 4273 2741 1061 1987 2557 787  881  4703 4133 5303 2357 4357 2081 4691

4649 937  461  3803 4751 2791 5281 1873 5209 991  5003 4817 2879 821  4799 2089 4523 4561 2689 1367 757  2957 3449 7    1451 1231 641  3313

4339 1637 1399 739  5387 1657 3571 1597 409  3121 4423 3863 2903 419  3067 2819 4937 2713 2473 5351 1543 5119 1091 5693 2833 2657 1291 1049

3767 3943 4441 5623 1913 151  3361 3533 1201 1583 5749 631  1193 2339 643  1741 2477 4001 4177 4871 4051 5179 1453 467  3617 5147 271  577 

4909 5881 1259 3739 3347 29   181  2999 179  3917 79   2693 2621 1319 3371 1831 3877 647  4447 691  5557 1511 3331 3929 911  5059 5273 4513

1559 2141 1471 1861 1447 5519 4567 13   4637 1609 2777 5    2087 5507 3217 5813 3511 4919 4201 2797 4093 2111 4801 2617 613  571  3329 307 

 

n = 29          Массив чисел: 3, …, 6491, но …

Здесь я нашла четыре варианта массива: 1) заменить число 6451 на число 6529; 2) заменить число 6469 на число 6547; 3) заменить число 6473 на число 6551; 4) заменить число 6491 на 6569.

                                   Магическая константа 87697.

 

Наименьший магический квадрат 29-го порядка из простых чисел (первый вариант массива)

 

ORDER=29  MAGIC=87697

 

5717 1531 3967 1951 4093 1723 4789 1669 3187 5281 6029 5843 769  1109 4931 19   659  2557 2143 4793 47   103  5003 3119 1693 6367 1451 4813 2341

5857 2393 2879 4013 2897 857  367  2939 5477 5    2731 3217 3929 5927 101  3863 641  3257 1607 4729 6299 4973 3037 167  4457 2081 3539 1511 3947

1543 409  5581 2287 619  6037 6131 4229 683  4201 179  5639 3499 4969 1663 4133 4649 1553 3067 3671 757  2243 823  5417 4127 227  3691 2347 3323

4283 1627 1889 4157 811  3203 1733 6121 2699 5023 61   2039 6287 5273 353  2069 4937 5701 1381 3347 5861 277  223  5801 1609 1567 191  3583 5591

139  4799 4177 2521 457  3643 131  3079 971  5101 1049 67   5669 1597 863  3209 6199 5791 2437 4933 2473 2887 1283 4759 1373 5479 5419 5279 1913

3593 2531 4691 1879 6481 3853 2237 5261 5449 839  1193 3527 1291 5711 23   4673 2719 6089 2593 1483 241  1999 1801 107  3607 3517 617  6151 3541

4637 4861 557  2251 3391 421  5563 4423 6343 4451 5309 113  2371 2503 1021 17   653  5227 5113 4567 5507 2957 3557 2549 1123 4273 953  443  2543

1747 3719 1907 1697 5651 4507 317  2203 197  6397 919  4397 1223 6271 881  4003 4583 4513 1097 3301 79   5333 2029 4481 4657 691  2777 4327 3793

4751 1637 673  3533 2609 613  4129 4217 2801 743  5011 6323 3061 3407 1823 6373 5557 383  211  2111 1861 2179 5119 1171 601  4021 4259 4597 3923

7    11   3271 1103 947  887  2903 6257 3943 3191 5209 4549 1709 2687 2971 2083 5471 5849 4099 2423 2713 727  1811 127  5623 1583 6073 3169 6301

2221 1091 2833 1997 1699 1297 1459 43   1301 239  631  4943 4253 2131 4903 2749 547  3889 3491 5171 4241 1063 2999 4967 6203 5981 6163 5569 3623

37   6101 1327 6473 859  4889 3917 3697 313  3581 1933 173  2399 151  2707 491  2297 6247 1499 3449 6197 1657 1009 4993 2447 3313 6329 4561 4651

1523 2017 5573 1571 5939 2417 2953 2239 2551 1033 787  3373 2917 4007 1439 2333 1973 1721 2663 1549 5647 6449 4957 3041 433  1759 2383 6113 6337

4987 6007 6053 251  1163 983  3701 3457 3359 3727 5399 5851 2063 4261 5351 3023 431  3673 4373 3461 83   941  3221 2161 1847 4289 2309 1039 233 

5387 4517 751  739  3877 4339 1987 503  3089 3467 359  5693 4831 4337 3547 6277 1321 41   4999 577  2003 1487 829  5147 5153 1151 6379 3823 1087

6221 6427 5839 2843 389  6011 3511 1361 2711 1031 3919 4111 5077 193  2207 439  4159 2089 797  1319 4703 2539 2689 2267 5827 4817 1249 2099 853 

5099 4909 3847 3229 269  373  199  3803 5189 1187 4663 967  5903 4801 181  3911 5867 2927 149  2767 331  4721 3001 5059 3797 2659 5441 71   2377

4363 3083 4001 4547 2053 5531 5197 293  449  1181 2963 5107 6173 6143 5869 3613 1777 1453 4019 607  499  6389 709  929  2621 1277 2851 2633 1367

2351 3469 541  5437 6491 5743 397  5657 4591 4733 1601 647  1279 5749 6469 3137 3559 593  1427 3833 4073 4243 1741 1433 53   3989 2027 821  1613

1621 5987 2741 463  5897 4643 4639 2791 2591 2459 5443 337  2389 701  5501 5923 1901 467  4951 827  3463 1559 4783 509  2819 3761 1229 1619 5683

3049 937  4523 487  3851 877  3881 1789 6047 3733 3251 311  1783 4091 5381 283  2467 6529 3779 401  3163 4271 677  3181 2381 5167 6317 733  4357

3019 3637 461  1153 271  229  137  4049 1201 5813 5519 991  1117 773  5303 5323 3121 2153 2293 5297 2141 4297 5051 6133 6079 907  4493 4463 2273

2357 1019 2213 5527 1877 6091 1931 307  5087 1993 4057 97   163  13   5039 5231 4723 1423 4871 6311 6043 5737 5413 1217 347  4421 2617 911  661 

1213 2441 2647 2753 3529 3571 809  89   3307 2113 1409 5081 599  4483 5237 1493 3331 4139 3821 4447 1013 5659 5821 5641 3617 2797 2087 643  3907

1667 6229 2671 4787 3253 1831 5483 5783 1303 2657 2129 5431 1787 1307 1061 1481 563  3631 3109 761  3739 6269 3389 6353 569  997  2677 4051 2729

587  2803 4603 5807 1237 4877 4231 1489 3709 379  4027 157  5689 4519 571  3011 4679 2281 5779 3299 3413 883  3329 1093 6211 2579 1069 977  4409

5503 1753 2311 5009 5741 2011 6361 523  1289 3769 2339 349  2411 479  3259 257  4441 29   4219 6421 5179 1259 5879 2857 3767 3677 1873 2861 1871

2269 1471 2477 6263 5953 5521 5233 4079 1979 5021 3361 4211 2137 31   6359 3659 3343 59   4391 263  521  1429 6067 109  2789 419  1231 5653 1399

1949 281  2693 2969 5393 719  3371 5347 5881 4349 6217 4153 4919 73   2683 4621 1129 3433 3319 1579 5407 3167 1447 2909 1867 3931 3    2837 1051

 

Наименьший магический квадрат 29-го порядка из простых чисел (второй вариант массива)

 

ORDER=29  MAGIC=87697

 

5647 691  179  41   1129 4057 701  2069 4243 331  2389 3181 1481 2797 5657 3847 4679 2897 1559 4789 2153 1637 5483 3209 5953 3533 4273 3253 5839

2777 6247 967  3671 937  1607 1291 2887 1307 317  2437 571  5827 5153 5167 5323 67   2939 223  6287 4969 2383 4507 727  1997 43   6269 5009 5791

5011 6229 3361 2591 3359 1877 6037 857  797  2647 5309 3511 4127 2143 3853 2707 3371 1999 4993 2273 1447 4297 2269 947  3719 5569 1013 17   1367

4957 523  3187 3329 5927 5233 1049 1117 6067 1553 6197 6473 2503 911  4817 1549 1823 4441 4933 5743 6053 809  59   37   1433 1423 3559 1249 743 

5227 1873 6449 4201 883  6491 4987 3967 3373 859  367  3889 1951 1619 353  2551 601  3449 881  2129 5807 2657 5557 2861 2099 6047 3169 2213 1187

4663 6151 1069 271  3391 4139 5387 263  3413 733  3761 3691 5503 5087 4481 337  4463 5711 2857 4583 1907 127  1609 2801 191  3617 1459 5113 919 

467  3557 673  2423 2833 2903 1583 5741 5101 5437 3313 2467 1831 5821 4549 617  1657 1627 659  6379 1289 4027 1747 5281 2003 3251 4019 1949 4493

5021 4517 5189 757  3319 4253 2687 3911 3659 2011 3257 1103 1493 5419 2287 907  2927 409  73   6101 4909 6317 2671 3011 79   5333 929  5059 89  

3643 4513 6173 3491 3881 461  5077 6163 2879 1499 113  2617 509  2029 2917 719  97   6257 1597 1451 1721 6199 4211 2281 19   5303 6353 593  4931

3851 3163 5737 1871 4967 2521 29   1063 4649 6263 2377 4079 4283 547  5869 4391 2179 2663 1031 401  1009 5639 293  3571 6323 2027 3229 3461 211 

2531 6121 5581 389  6547 5701 1283 1987 1483 3049 71   379  5801 479  2957 1663 3943 1777 4241 683  6397 1787 2699 5641 1019 613  5413 1931 5531

3917 977  1811 2339 4783 3907 5881 421  2141 439  3083 6073 6311 5209 1427 1229 4759 1399 6301 3623 941  2767 3797 4751 3217 103  1453 2621 2017

173  31   709  541  1087 4721 1051 569  2393 1723 5779 4051 1193 4889 181  3433 5857 4457 5861 6299 4423 1759 2659 6011 3803 3613 2053 4357 4021

383  2791 6481 6091 2473 811  1279 4337 1171 1181 1973 283  5653 4999 23   3089 3389 6089 6113 631  1217 3259 853  2851 4099 5081 3467 5783 1847

5297 2633 4567 4093 1039 641  1861 5939 2447 107  6343 5381 4397 5651 821  53   2381 397  5119 3001 3607 193  2089 3019 6337 839  3877 1297 4271

4007 4729 6389 251  3331 1231 1319 4261 349  2417 3023 1993 3539 4673 769  5347 4229 3137 359  2309 4943 5923 4219 3919 3833 563  281  5261 1093

2293 3463 3727 1237 4561 503  229  4049 6329 277  2297 2789 3821 1979 4793 3701 5693 5717 157  3779 1697 661  6007 953  2971 2753 5147 607  5507

4133 3203 2399 4001 619  2357 2411 2371 2731 4733 5279 5501 1699 6427 4177 4289 3221 227  1613 4409 1409 3407 1109 5479 1579 1201 5849 131  1733

557  4787 2137 449  5527 2341 373  499  4651 4129 1933 2477 3517 419  4217 3343 3593 5521 1801 773  5039 5431 6131 5273 3067 2683 3583 3307 139 

5749 149  1601 4657 3769 3061 3677 2689 1439 4339 1543 4111 3499 653  2083 5051 2243 1693 3947 431  6271 3271 2207 2963 5179 3923 2087 313  5099

2693 307  997  6079 2039 4519 4937 3109 151  4877 1487 5477 1867 677  1669 991  2351 1471 6451 4373 1901 2803 3697 4157 2593 4363 4091 5237 2333

2557 6221 4259 6217 1489 761  5623 2843 6029 4723 5231 1301 1571 11   3931 4231 1429 3301 647  739  1753 3041 643  83   4621 1277 3673 5669 3823

751  599  2203 5171 4973 2819 5443 6143 239  5519 6361 1163 109  1223 1709 5399 6133 311  3863 829  4919 4597 3469 241  3541 2237 587  1303 5843

1097 2081 1879 6203 1621 2251 5197 5023 2713 4643 487  3167 2063 2711 61   4451 4603 4003 5659 3527 823  3457 5689 1741 5563 1153 257  5407 167 

3733 1567 577  1123 1913 983  5981 347  3299 4639 3739 3529 5813 4523 1361 3323 2909 2719 5897 197  137  47   6043 4951 463  5573 1091 6421 4799

3    1151 457  1373 1033 3191 5441 2749 5591 4831 2729 887  1789 1511 5903 2239 1889 2111 4073 4703 5    101  2579 6359 4871 4547 5867 3347 6367

4159 3079 3989 5003 3037 4327 2549 4447 6277 4421 2969 1259 3793 2347 6211 4349 3631 2953 827  1213 2267 2677 1381 2131 1783 1061 521  1327 3709

1523 4813 2837 5351 2539 4637 787  5417 2543 4013 269  443  1321 3637 863  4801 971  3119 491  5879 6373 2741 1021 2441 2221 5107 3929 5449 2161

877  1531 2113 4483 4691 5393 3547 2459 233  5987 3581 5851 433  4153 4591 3767 2609 4903 5471 163  2311 5683 2999 7    3121 4861 199  13   1667

 

Наименьший магический квадрат 29-го порядка из простых чисел (третий вариант массива)

 

ORDER=29  MAGIC=87697

 

2423 1907 313  1171 157  379  5147 1613 4813 4967 6101 6421 5641 2749 4733 3181 2089 6287 4259 1699 1013 3163 3    4019 1583 5651 3797 71   2347

1867 5557 3463 5569 1637 5051 4127 1627 1913 223  5827 2063 2549 5399 3607 6373 1291 907  2087 1949 5519 3931 3217 5261 53   347  1109 3301 1873

877  5297 953  5417 1031 3359 439  6359 2399 2383 1667 103  5717 4091 43   701  5813 1741 3911 4051 3853 2111 4211 3109 1433 4297 2689 5039 4603

1451 4099 547  751  3329 4133 1009 2927 5443 5431 683  5153 2389 613  2777 4253 109  3733 3313 6131 2273 2503 4919 4493 367  4421 4751 4987 709 

4903 941  1049 6113 2953 2713 3347 1997 6037 521  1993 2729 251  2297 6247 5939 491  5953 2593 5237 1663 163  2719 3049 659  3089 6053 5897 101 

5669 59   4801 3923 967  29   1979 1571 6229 3331 743  4861 359  821  149  3709 5441 1297 2887 6067 5381 4423 3889 2441 5197 397  5009 2797 3271

461  4219 577  4339 4969 47   4679 2969 1759 1523 5987 3391 4513 269  5801 3767 6043 5407 6379 541  4483 1801 5743 719  5    5059 1193 83   971 

2311 1163 3361 4787 4283 3593 2251 6427 1069 2917 2161 1249 1303 5623 5869 643  2903 1201 457  2791 509  5693 1423 5023 2017 4463 1361 6143 4703

283  173  5081 1381 2069 5573 5437 2333 5857 463  5279 4243 2099 3541 4049 653  2281 2081 2741 2381 2039 6277 1237 2477 5351 787  3257 3323 4951

4999 5821 3137 2521 2707 4397 1877 2659 281  5413 2179 1399 3119 1499 2837 6299 1039 1129 859  3019 3373 1279 5521 4931 5839 641  3389 5011 523 

2963 3253 3881 1021 2677 2269 4909 761  4271 6121 1283 619  6271 1373 5393 131  5087 3779 1277 2557 4877 73   5273 1549 5471 5231 4597 263  467 

587  6203 727  401  997  4457 5479 661  3943 1823 1783 4933 4057 5189 1597 617  3947 4273 2609 1409 6217 6451 349  3821 1889 2539 4073 2939 3727

3517 2731 389  4871 5099 2341 3571 5879 443  229  2467 137  631  3643 3697 3793 863  5021 4567 5867 5711 383  6029 421  1951 4363 5507 823  2753

4153 3499 5347 1489 2459 5639 2213 3259 6343 1427 317  1447 3169 6091 2621 4957 4729 4637 4673 1181 2957 1319 241  3863 1973 373  1471 2551 3299

3539 593  5483 3343 431  3637 4831 1087 1879 3319 4349 2137 3631 5591 181  503  3617 2833 4231 3011 2437 809  2357 4289 3041 5527 5581 1901 3529

881  4651 1483 3511 4327 211  4357 3413 1151 4079 1861 433  6481 167  257  2657 1777 571  4409 5683 6317 5171 3877 739  6221 5563 127  5119 2203

1217 3469 311  13   4889 337  599  1223 691  2663 4447 5849 2647 1579 1669 2131 1439 2801 2767 3691 3491 6257 4783 5689 3719 4547 6337 4001 4441

3449 79   5503 3533 449  4013 977  3833 293  1307 1493 5881 769  1453 1619 271  2971 1811 3037 6397 3929 6491 6353 3371 4993 5077 107  3581 4657

6269 5653 4561 1657 3917 4583 1511 3407 733  4517 4391 419  5783 4817 3673 1103 2243 4549 5851 1019 1327 839  19   5113 1231 601  2687 2591 2633

647  3187 1097 227  5309 2851 4159 4027 6073 499  7    2053 1693 4789 3547 5741 1723 6311 5333 1831 937  4721 2309 2129 2293 2543 3851 4643 3167

919  3467 2113 3067 3613 4157 4799 2711 5981 3847 179  3121 1187 3209 3307 6389 1123 1607 1531 1321 1987 3083 3203 2207 6263 17   5807 4621 2861

5659 3191 4591 4217 5701 773  2473 2339 2531 1999 6449 5209 3527 4337 197  1301 3433 1033 1931 1093 2221 1789 1091 1697 3559 3769 4201 1213 6173

2789 883  409  2579 3061 3803 2011 67   5927 3989 6007 6163 31   1051 6211 4759 2999 4129 5107 3659 1117 811  991  3823 4507 479  563  4241 5531

4723 2239 5101 5791 1367 3221 4793 6469 1429 2897 5233 1601 3761 4943 6301 757  6361 2083 4519 191  3583 1153 887  797  11   3671 487  911  2417

4937 6199 3457 3229 6197 6079 3907 3251 1289 4003 6323 4139 139  569  1459 233  6011 1487 557  2447 2693 2617 3079 2141 5227 239  2351 2377 1061

4373 2879 4093 5749 2909 61   89   1559 2237 3461 6151 4451 6551 2371 5003 829  3739 3557 1733 2027 2819 2671 4649 3967 97   3919 2843 1063 1847

5843 853  4229 1621 4691 2143 4261 2683 41   5501 113  2029 5477 1787 4523 5387 4021 1753 1543 2857 1933 2153 1259 193  6329 4111 3623 607  6133

5657 151  5903 4177 2803 1481 1609 4663 2003 5167 353  983  3023 6089 307  5647 1721 277  827  5323 3001 3701 5779 947  4007 673  199  6047 5179

331  5281 5737 1229 2699 6367 857  5923 4639 3677 1871 4481 929  1747 23   4973 2393 5449 1709 2267 37   5861 2287 5419 2411 5303 677  1553 1567

 

Наименьший магический квадрат 29-го порядка из простых чисел (четвёртый вариант массива)

 

ORDER=29  MAGIC=87697

 

3491 3881 1109 5813 1609 3109 1511 1663 6257 761  131  2957 2417 4523 2683 6473 5011 593  4817 3823 3167 617  4337 5479 3061 2699 59   4789 857 

349  1087 5273 2459 3761 967  6301 2087 467  5431 137  127  4421 2903 3089 479  5801 643  5179 1571 4861 3203 1949 5741 2153 2687 5779 5419 3373

6029 3257 547  4933 2777 1667 2341 2333 1223 4967 1453 4597 2447 2939 4133 1979 4261 6361 4423 1567 751  5087 163  773  2017 5669 1399 4297 3307

2039 6271 4567 5209 3    2243 1439 4289 3527 1907 4363 2347 3907 3463 4673 2351 3767 1531 337  347  229  1103 383  2473 3719 6047 6359 6421 2383

919  1019 3613 487  1777 3023 5441 307  1607 2251 2161 6299 2207 5381 4643 5647 157  5653 5897 1987 983  4327 5413 1427 2411 1429 5861 3371 1999

2467 107  1423 953  2273 4729 6067 223  2713 4057 3671 179  2729 5119 5281 2887 2789 2203 2081 1637 401  5881 2437 5189 6211 5827 1409 1097 5657

5077 103  211  2113 719  6043 6199 3779 1021 4561 4831 2749 587  3947 3407 5641 5021 4583 1861 37   907  757  4903 1789 6353 5573 3623 853  449 

1873 2591 1153 41   3673 3631 3929 727  859  3793 4457 4091 5689 5171 191  2909 937  5557 2503 4271 601  4021 1867 2309 4751 4483 1069 5449 5101

5197 3229 4079 2213 691  2879 1063 5471 89   359  607  2069 4481 6263 3019 409  1787 821  1259 4349 5501 5939 3067 4507 29   6229 6163 577  5351

4951 1621 929  2129 97   1307 4889 5849 3359 149  4013 1229 4517 1709 2837 5407 4871 1061 6007 2819 6337 3851 2767 1759 6073 101  3727 19   3313

571  5347 3121 3739 1993 251  1499 5227 1811 6133 1031 877  6269 2393 647  569  1049 6379 2053 6481 2311 6449 2143 2531 1613 4409 2003 4357 4441

1193 3943 2099 1753 1579 4373 257  1693 5581 1489 4391 3347 1459 3037 6367 2609 2677 5099 6197 4051 2281 3011 67   3583 2239 4813 2287 3559 2663

2897 4657 4723 3119 4217 1549 1277 6343 4073 5231 2141 887  613  499  6173 2579 2389 193  1627 3637 2297 3169 6287 271  1783 2917 5519 4931 1699

4519 281  4679 5851 4447 1301 3967 6203 5839 2521 1361 733  283  61   521  883  4733 293  3593 1889 5417 5323 3833 5023 3001 4621 1237 1583 3701

6131 5531 2953 1129 1471 5039 4513 1451 6469 1289 2551 2963 4001 5113 139  11   3697 3499 461  71   3319 5009 3877 2377 6143 151  1733 5393 1213

3709 6221 1747 5711 5807 5303 4877 997  23   4793 5683 6089 4603 823  3343 991  4973 3911 443  4111 3797 433  17   1201 1553 1493 3863 373  809 

1801 563  3691 3931 1181 3191 2027 2791 1051 2969 4721 3659 4283 167  5153 1973 5639 4799 3469 4397 1151 3467 5867 2693 5869 1279 1831 2801 1283

503  673  2543 5003 4127 3617 389  2647 5333 6389 739  2371 3529 1217 3271 4177 2659 4099 743  4139 5507 1901 397  1117 4649 4093 3221 2861 5783

3571 4201 3919 911  3989 2711 47   2539 4663 4253 1951 6277 1367 619  6427 2131 43   1997 5953 4919 5987 2357 3209 1879 311  769  3259 1559 5879

1009 797  2731 2293 3769 5737 1871 2237 2633 2011 3163 3821 4493 2857 3331 4547 457  557  4937 3457 4993 5167 6053 3181 1123 277  4211 5443 541 

5743 599  1697 3517 5923 4219 4943 79   4243 2179 5821 2833 233  5791 1823 631  5081 827  3889 73   6121 269  2741 5261 1381 4129 6037 241  1373

353  5437 881  4651 5237 4463 709  5279 6373 6011 2719 6079 3803 3541 367  4591 1847 2339 317  2797 2557 3917 2803 2399 3923 431  463  2083 1327

5569 2707 2593 1319 6397 6329 1483 5651 2549 3299 5387 6217 173  4549 1877 4759 1741 379  1447 1597 2269 199  3413 5297 2657 1303 7    1543 4987

5591 4909 3137 4783 1297 439  6151 3391 3533 109  2621 113  3389 3433 3251 941  5483 6451 6323 701  31   1013 1487 1721 863  4787 5233 3187 3329

2221 2617 6569 4703 5981 1171 4159 2477 509  227  1033 2137 1523 4339 313  5857 3217 5659 419  3581 5147 83   4999 6317 3083 5309 947  1187 1913

3511 5521 3539 3557 4957 2689 3847 839  2111 2753 5477 5749 829  3253 641  5903 1601 2851 1249 4969 971  3547 2843 2927 3361 4637 1619 1933 13  

3049 6101 4019 3677 1231 3449 2063 4241 491  653  4027 181  6247 331  3301 811  53   4259 3323 4639 2441 3607 6311 2423 1163 1291 6091 2381 5843

1433 197  4451 661  5623 787  3461 1321 4231 4153 5399 1669 4157 523  6113 4049 5693 1093 2089 5927 4691 2267 3643 3079 677  5    2029 4273 4003

1931 4229 5701 1039 1091 1481 977  5563 5059 2999 1657 5051 3041 3733 683  5503 263  4007 4801 3853 2671 1723 421  2971 5527 239  659  5717 5107

 

n = 30          Массив чисел: 3, …, 7001, но заменить число 6977 на число 7027.

                                   Магическая константа 98084.

 

Наименьший магический квадрат 30-го порядка из простых чисел

 

ORDER=30  MAGIC=98084

 

3851 5923 1039 6197 3083 1049 757  2729 2939 4967 2897 3253 1459 6529 6983 6899 5479 4751 47   2251 2087 919  1559 2861 991  5153 4789 929  3037 2677

2687 577  79   5741 6719 641  5503 5477 907  2657 1847 3631 4229 6037 773  2521 4483 2447 2851 5501 4049 379  389  6863 419  6473 5059 5659 1873 1613

5107 4337 6689 5399 1499 3259 3989 2459 277  3529 1789 2341 5261 1567 5851 3919 2011 6763 2711 4657 487  5099 3877 397  4639 1493 19   601  4051 4007

6451 3917 733  3181 6151 2311 631  3023 6637 2801 1733 4703 5171 241  5927 4261 3797 2713 97   521  1367 4283 4201 89   3163 6907 6257 6793 13   11  

227  5623 1543 3011 1693 6577 4519 4073 163  6427 1129 367  2843 1579 3709 5507 4027 2579 6709 1213 1523 5563 6329 5701 6857 449  523  3307 1193 3121

5387 821  6569 857  2887 41   1109 5077 2731 6917 6389 491  823  3571 1627 2347 317  4649 6971 3533 1297 6217 7027 2683 1637 1103 1487 6113 6337 1069

2137 3257 2693 3229 3803 1951 6367 661  4133 1783 5023 3169 1399 3581 3547 1217 6421 181  2017 1307 2213 6833 1907 619  3061 3251 6791 3779 6323 5431

6053 2129 1087 1013 5119 6653 911  6959 4567 3697 2879 3637 107  349  4729 947  4999 647  4211 1327 4877 281  1381 5297 709  5903 839  5167 6827 4783

433  3583 5581 1999 2203 4157 499  6823 1777 2617 2789 1429 1913 3491 2131 2927 5821 5051 2903 3853 4447 4139 4723 307  5653 3593 4441 5441 2081 1279

937  4759 2297 4831 3433 2141 4093 59   2503 5087 1117 461  6779 2089 2287 1553 6007 6073 4057 3109 5021 271  4219 3767 5309 6373 1009 3209 2281 2953

1423 2837 3217 853  2707 2441 5869 83   1259 31   3863 3137 4481 5857 3221 4079 683  6829 2339 997  3719 797  6011 1373 6521 4943 4457 5189 5197 3671

1973 4021 4177 61   2383 233  4733 6221 5569 1607 4153 2609 5011 2143 2753 6121 701  6301 5717 1051 2539 113  2099 3931 293  6679 1289 6911 1741 4951

2633 5323 6659 2053 193  4793 353  2377 4549 2293 167  431  5573 1021 1163 4111 5651 5413 3467 6311 1667 5333 607  5279 1609 5743 4957 1453 6211 691 

4127 139  421  1823 5827 1433 6761 2111 467  6089 4507 1597 6343 941  4973 1303 3079 3187 5711 1831 5639 787  4001 5689 2477 563  5791 593  4217 5657

4591 3527 439  5981 1427 3167 2273 4091 6131 4231 3347 7001 4013 811  3761 4273 29   73   3643 4297 383  5939 6277 4327 977  2557 4547 1093 199  4679

269  1231 5179 3793 5807 2531 4993 5527 3001 23   6203 5081 673  5227 2161 101  1871 3733 1409 6143 3271 1721 6781 4801 1229 2411 3469 1321 4243 3881

653  5647 6491 4451 3613 151  1291 971  4517 4339 4463 3299 2371 6361 6691 1619 5281 283  251  4129 2857 5519 4259 337  4889 263  2027 1657 2671 6733

5351 4937 223  5419 509  3373 5521 1663 3559 1451 2269 3391 4289 4409 4583 6841 613  1301 6317 5783 2621 6379 983  3301 3067 587  3739 1889 2749 967 

1471 1171 3499 6043 313  5693 131  4253 3313 3203 6607 2357 3517 5843 6619 3457 1447 1531 547  6571 743  5231 1933 809  4391 6869 3119 4421 191  2791

1123 6553 71   2473 6047 5779 2243 859  4903 4909 6803 4397 2663 3041 1931 67   6101 1091 1811 3821 2207 5483 3371 6661 719  239  6397 827  1571 3923

3343 677  5303 1153 1861 5683 2309 2083 2593 103  1747 5867 2833 3407 2237 2239 557  6949 6701 6967 2767 5443 2741 2003 6163 2029 1361 5849 2417 2699

3    2063 5839 5381 3691 6269 1033 1319 3541 6563 4603 3677 1697 3907 179  4271 1489 53   2267 6997 1787 4799 127  1621 5101 5737 2797 3823 2957 4493

6229 2543 727  3623 6091 311  6883 6067 1997 2549 149  3769 6199 4871 4621 6287 1601 829  877  6299 6673 1097 6469 347  457  1031 769  2647 2659 3413

5641 2333 6947 401  4637 6961 5039 137  1669 2399 211  571  229  3847 1709 2719 4373 2179 3049 2969 4423 643  5437 3727 6599 1549 5813 761  6449 4663

3191 5531 1181 887  1759 4159 1223 3947 37   6481 1901 5273 4721 2113 5009 1481 3967 4099 5897 953  3833 2393 443  3889 6551 2153 1987 5347 3329 4349

6247 5557 5881 3539 197  2963 4363 5591 3659 409  6991 3319 863  2689 541  751  4561 4931 1993 1277 4987 2551 881  4651 3557 5953 3331 3911 739  1201

4643 6079 4787 2803 659  4003 5237 5801 6581 1249 1867 5003 3673 4691 3019 1061 359  1879 43   569  6271 1237 4861 5209 4597 1439 331  2381 3511 4241

2467 157  4673 5    4919 1801 1699 6871 2819 2423 3389 5407 17   257  2351 5879 6353 4933 6547 503  5749 2039 1063 6703 2389 617  5393 1583 5471 3607

5987 1949 1151 5147 6263 3617 1723 599  5113 4813 3323 5417 3701 1753 1019 4357 2917 1187 3463 2971 6359 6133 109  1483 2777 4513 479  3361 1877 4523

3449 883  2909 6737 2591 3943 6029 173  6173 2437 3929 2999 5233 5861 1979 4969 3089 5449 3461 373  2221 463  4019 3359 1283 1511 4817 2069 5669 7   

 

n = 31          Массив чисел: 3, …, 7577, но …

Здесь есть два варианта массива: 1) заменить число 7559 на число 7583; 2) заменить число 7573 на число 7591 и число 7577 на число 7583.

                                   Магическая константа 109309.

 

Наименьший магический квадрат 31-го порядка из простых чисел (первый вариант массива)

 

ORDER=31  MAGIC=109309

 

4231 2081 733  6857 5641 4339 3    1069 7    6619 7129 4421 2029 1933 1051 6373 6247 1901 6521 5009 6043 2339 2459 3727 3877 6343 223  2953 449  919  5783

7499 4597 233  4643 7057 5261 563  6833 4657 1697 251  2473 4909 67   3919 6367 3307 2087 1867 5099 3907 6551 2113 193  3797 4273 1487 3329 5843 1213 3217

1699 3371 2719 1423 971  4993 157  619  1889 6673 541  4621 1801 6737 137  6871 433  5413 7537 4799 3803 4957 6529 6359 4013 5021 1453 6073 4637 1451 1609

607  4969 2861 6257 83   5347 4793 1607 5743 257  3271 173  1091 1289 2237 2161 3533 7457 3607 4813 3671 5477 1579 6793 5849 6121 4447 1193 3121 6113 2789

739  6971 2609 139  2503 1669 6781 3761 7103 2963 4789 991  6607 977  5881 3347 6961 2153 2857 7127 4451 2657 2927 653  7487 317  1163 1721 2063 5119 3823

6299 643  3299 4703 7577 5557 2903 3079 1433 1823 1861 103  2179 1637 2371 821  7561 1987 5417 2689 167  2579 3617 5303 857  3517 7193 7027 7547 6067 1493

6163 3181 1447 5693 5501 2749 5569 179  4519 647  6173 709  2647 2287 2341 1783 6449 3389 4159 3023 443  3109 97   5051 2837 5309 3457 1559 6323 6659 5857

4441 1753 4649 6053 281  4751 5779 5839 1483 5741 1931 5209 2083 1381 3779 827  5431 5669 5651 2417 1489 5507 2207 47   3169 1913 2441 3019 2039 7459 4871

89   3301 5147 1663 4133 911  983  6637 5351 5791 499  4951 4943 2273 5801 5101 3769 4127 6949 331  3691 1787 6151 151  1879 4547 7211 269  5861 1693 3319

5653 6869 3719 3631 3659 4523 7213 4201 661  1223 3581 6703 3119 6977 127  191  5107 4373 6803 3203 7331 2711 1523 3041 29   1747 2411 1601 239  2879 4261

4073 7019 1999 4673 6011 5227 5233 229  4639 6827 1279 4903 5189 6469 4517 7369 3739 73   313  1291 1093 757  1741 1301 6823 7001 3373 953  769  1733 2693

787  367  4153 17   5273 2393 2003 4507 5521 4049 5279 1471 6863 2797 1277 1667 2663 1013 4591 4759 3701 3673 3391 6907 6701 6317 163  5237 6763 4177 829 

263  7489 659  7541 4787 3931 1171 1597 5531 907  6101 823  4861 3461 5527 3559 1613 3331 3947 1399 1217 3943 4423 3049 1789 6029 4651 3853 1627 6211 4019

7253 4877 2383 2617 6661 2309 4021 4817 6829 743  4057 2843 4513 2803 7297 4093 6301 181  1571 673  2477 53   6203 877  4933 4483 2447 4931 107  4007 1949

863  4099 2767 1187 967  1129 4831 997  3623 7411 523  37   6427 4679 5869 2333 6473 2593 383  379  6911 19   6761 4211 5563 6991 6353 7187 2633 1553 3557

5659 1259 2389 2543 4889 3323 5323 5581 6143 7039 6397 1303 479  3001 1459 6133 3547 2539 6563 307  4603 593  3413 839  2011 23   4937 31   5813 7013 4157

1181 2221 6733 2381 5647 5827 3541 5419 3967 2557 2683 3083 1873 7229 6599 2281 1117 7523 1831 6451 2129 43   4967 439  2467 5087 2687 4327 2423 3229 1367

131  2969 751  2027 1039 1321 7237 2731 3449 2111 547  1103 7043 409  5701 4663 3433 5683 6217 727  6841 641  1979 6571 4091 2069 5903 4001 7283 3089 7549

101  3221 7243 1009 5171 4079 41   419  7219 6421 7349 6691 2939 5011 4463 5821 557  2351 809  3733 13   1997 6689 5923 4219 5939 2677 431  2713 2213 1847

5113 3583 6917 691  353  569  4051 6491 6983 1153 6779 4349 1621 7247 6337 2671 11   3187 3067 3881 6197 6997 6263 1709 1973 421  2143 1531 677  2551 3793

4229 3209 4241 3163 461  3593 3313 5519 283  6569 4003 4409 6037 3343 6361 1229 683  3191 853  113  5851 6553 6079 5717 3989 2621 1373 3037 1109 5449 2729

2591 1759 241  79   1237 6271 397  5483 1993 1061 4783 6719 503  883  3767 4493 1307 3467 5003 2311 1481 4139 2399 5927 7529 1249 6653 5399 7393 6311 6481

349  7309 5471 4999 4973 2243 5953 1583 5231 2957 3929 5623 3911 2267 4481 571  4919 947  5179 7177 5153 2377 701  4243 4297 1049 3677 1231 3359 881  2269

6329 6091 7109 2531 1327 599  7507 797  3011 2137 2293 6277 2053 7573 1549 3463 1031 1319 2347 1723 5443 2909 577  3469 1657 2549 1201 7321 5981 4253 6883

7333 941  3253 6959 61   937  2791 4391 199  3851 401  4111 6547 613  4363 2437 3137 5749 3407 5167 5023 7451 761  197  3511 4283 7517 6221 5639 1427 631 

5197 4801 3361 5897 1283 6389 811  7069 457  7477 467  3527 3613 3251 2999 3061 1063 6791 4027 5657 2699 1021 4129 1499 3709 2099 5503 7433 3643 149  227 

3259 1951 7583 3833 2089 5407 5059 463  1543 5879 1439 6089 521  5437 3167 4691 4337 4549 509  6047 2251 5441 6229 6379 71   2819 929  311  5573 5081 373 

7481 1033 4289 5711 2141 4721 1297 4217 1871 293  5591 3697 587  3923 1097 601  7307 7151 2897 6199 2297 5689 7417 4987 617  1151 5039 2851 773  2521 3863

1429 59   4357 2971 5807 1811 2131 4271 6947 2239 5387 5281 4583 6287 3257 4457 887  1619 277  4397 2707 6709 3571 5393 1877 487  7079 6131 1907 271  4723

4729 7207 2357 3889 4567 1123 5077 5987 5    1361 5737 6269 3917 389  1087 7121 2887 5479 1409 4561 359  5297 211  6577 337  4733 859  6581 1511 719  6967

3539 109  3637 3529 7159 6007 2777 2917 1019 2833 4259 347  3821 6679 491  2753 3499 2017 2741 3847 5867 5333 2203 1777 7351 2801 2659 1567 3491 6899 5381

 

Наименьший магический квадрат 31-го порядка из простых чисел (второй вариант массива)

 

ORDER=31  MAGIC=109309

 

241  3559 3517 3323 5807 2027 1447 2087 17   3733 89   5953 5503 4409 2269 3373 461  1297 5849 3    6703 7069 4703 6967 7109 1409 5197 557  5281 7237 2113

839  4729 6353 3671 7297 2383 5507 263  4759 4519 2347 7433 359  4259 311  4463 1907 3779 6737 503  3433 4007 823  373  5869 3331 2999 5059 2179 4871 3947

4889 811  1621 3217 1571 983  2111 3361 7    4099 883  4793 7043 6607 137  1847 7559 3917 4283 2267 4649 3061 2963 73   4813 4423 2887 6991 6961 5839 4643

7351 6469 4799 3889 4201 4513 2377 5233 1091 3023 1459 6833 5261 1523 7307 1117 509  4217 2729 2237 3389 5477 6793 1549 4139 479  3449 2791 3691 467  947 

6073 1699 6841 7013 19   491  2797 79   3583 2131 7477 389  5693 6473 7129 7211 1481 647  1051 2971 3461 1759 6067 1087 2297 47   6301 5419 5113 6397 113 

1327 643  3541 719  211  3001 4327 1181 1889 1303 5    6311 3847 6257 3463 3637 4079 599  613  31   6619 5431 7591 7331 1993 7583 4229 6917 5347 3631 5653

1609 929  569  3967 5569 6299 3767 953  7243 2927 6367 3617 1709 3803 1013 6547 347  293  4639 5479 1997 5903 6899 229  3851 367  4019 5303 349  6217 6529

5237 3613 3019 5167 757  6827 4937 661  2459 7369 6691 2711 3539 5227 4987 379  1931 5531 3067 797  257  2273 6763 2339 2221 3877 6203 1693 4507 1103 3167

2309 3209 131  2687 2293 587  3359 4957 673  6581 4967 7127 3391 2243 5527 5323 2741 6863 2731 6089 1439 4651 3511 1373 4483 4603 3499 3307 3853 13   4789

6271 1873 3911 3547 3343 449  1597 4231 6229 1553 1489 5387 6163 2897 6949 1583 2753 1607 3673 3271 7393 1627 3109 733  7121 3049 6571 653  2861 1217 6199

3821 2579 7057 5279 1367 773  3259 5939 3257 151  1811 1861 7517 4933 2069 863  313  2939 2621 3467 457  7001 6121 439  4153 6869 5209 1951 4523 4001 6709

4679 2657 3037 3719 383  283  139  6011 2591 4691 571  3529 1567 2803 7187 3137 2609 5153 907  6701 6047 41   5581 6449 5021 4903 3407 3469 3011 1999 7027

2251 4657 5783 433  7213 3191 1663 5779 6803 2551 2351 7411 4273 227  5413 829  5521 2801 1279 5801 2417 3607 499  6043 2017 6277 67   4457 2203 4093 1399

5843 6247 1231 2917 3251 4621 251  6781 4831 5743 6653 743  6719 2543 1319 1783 967  6143 2447 1171 199  4567 547  7103 71   2011 2129 6569 5107 4219 4583

3727 3931 6343 6427 4289 4441 4481 4733 7507 1511 3119 1009 991  1123 7523 4591 7177 7529 3169 109  2819 911  4451 1283 1433 3623 2467 1877 463  4721 1531

6659 5647 5591 1063 6151 6911 3833 6361 6131 2789 787  337  5297 1163 6871 5669 2557 1223 2879 5557 2473 1307 149  2663 3923 3761 1061 2029 4073 4297 97  

6761 1277 5399 6883 7039 761  2833 7207 1109 2683 2311 6997 173  3079 1031 1723 7159 2633 563  2713 5689 1097 2767 1361 4241 5897 11   6857 6329 233  4493

1669 5651 179  4547 5471 2969 2837 4637 2437 5087 2903 4999 6359 1823 59   7253 659  2081 1129 3041 4027 6337 1733 5821 2617 6779 5851 3221 1499 5147 487 

1787 5039 2137 6599 2411 4177 4951 127  2089 3347 5827 3593 1483 5857 3229 3371 1301 4801 6977 4349 5051 2647 4091 1237 683  4561 3793 1867 1579 5417 4931

1789 2549 2063 1973 2281 7151 2357 5171 1613 5683 1913 1753 223  7489 5791 2693 6211 2381 1487 1777 881  2143 919  6907 3203 1801 6379 3697 5273 6679 7079

37   1559 2371 4877 3739 103  607  2207 4157 809  6673 1193 523  6197 5987 6389 4357 4243 5641 5009 6551 1427 6947 5381 5443 401  6317 2953 2389 3533 1289

431  6791 7247 3253 521  4447 5011 6133 6823 1291 5333 3557 827  3089 3121 3863 5179 2341 4339 419  7349 4943 2531 2287 1039 2153 23   4021 2707 1021 7219

6007 593  2957 5881 769  1153 6521 101  2161 4057 6373 1423 6637 409  3457 3163 43   5441 5861 1697 4783 5231 4391 3413 7487 4133 353  2843 7229 4051 691 

5351 5867 1619 1949 5737 5717 4549 4127 2909 1453 3677 1933 157  1601 4969 541  3823 6113 4421 197  2777 4049 5927 7499 2677 5563 5189 2477 4271 1229 941 

5309 3701 5749 6733 4723 5483 6577 1493 4663 3329 4397 2393 3881 4919 701  5119 3929 3769 5981 5081 307  1831 2039 2333 1019 331  1093 7019 1213 4003 191 

751  3527 6983 167  2719 617  7417 3643 53   2141 7459 6037 269  2053 1259 7309 6971 5623 5659 7333 1451 2503 6563 3919 631  5099 4909 277  1987 1321 2659

4817 5449 937  2749 6269 4751 7283 1151 2671 6959 1667 1871 3301 601  2423 29   6689 4129 1657 5519 5657 4253 239  6451 281  5741 5701 4993 1979 2239 853 

2851 4261 1637 739  1429 3083 1721 5393 5923 3659 2521 61   6491 4159 727  3709 1069 3571 577  6481 6553 5437 83   1901 6323 5077 4517 443  7549 5101 6263

2857 6173 3319 1049 1471 7541 2213 1747 4973 887  2699 421  4373 641  877  5407 3989 6079 5879 5501 4211 4337 619  5813 7561 3943 2399 2689 2003 6661 977 

5573 1879 181  859  6221 7547 4673 2539 3797 6421 1033 6091 2441 7321 1201 677  7481 317  6101 7451 107  4111 3181 3313 2099 397  2083 6053 2593 971  4597

193  1741 3187 4013 4787 6029 3907 5023 4861 6829 7457 1543 3299 3581 5003 5711 7537 1249 4363 6287 163  271  709  5639 3491 821  997  857  1187 1381 7193

 

Пока я строила квадраты до порядка 31, Стефано сделал программы для построения магических квадратов порядков 32 – 40. Но я остановлюсь на порядке 31. Предлагаю читателям продолжить построение магических квадратов следующих порядков по программам Стефана, которые выложены на указанном выше форуме. Программы работают просто фантастически, магический квадрат составляется мгновенно. Остаётся только подготовить данные для построения квадрата, то есть вычислить минимальную магическую константу и сформировать массив простых чисел. Это делается очень просто. Тут хочу заметить: вполне возможно, что я где-то ошиблась в подготовке данных или не заметила другие варианты массивов. Я выполняю подготовку данных наполовину вручную (простым подбором); автоматизирована у меня только часть этой процедуры: определение массива из n2 первых простых чисел и вычисление минимально возможной магической константы. Фактическую магическую константу я определяю вручную. Так что, минимальные магические константы представленных здесь наименьших магических квадратов (начиная с порядка 16) требуют тщательной проверки.

 

ПОСТРОЕНИЕ НАИМЕНЬШИХ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ ИЗ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ И ЧИСЛА 1

 

А теперь расскажу о другой последовательности в OEIS – А073502. Это последовательность магических констант наименьших магических квадратов, составленных из простых чисел и числа 1. Я уже говорила в предыдущих частях статьи о таких квадратах и приводила несколько примеров. В книге Ю. В. Чебракова «Теория магических матриц» приведены подобные магические квадраты до порядка 11 включительно. Квадрат порядка 12 в этой серии магических квадратов – это знаменитый квадрат Дж. Н. Манси.

Последовательность А073502 на сегодня имеет следующий вид:

 

111, 102, 213, 408, 699, 1114, 1681, 2416, 3355, 4514, 5937, 7626

 

Квадрат 3-го порядка с магической константой 111 – это знаменитый квадрат Дьюдени. Квадрат 4-го порядка с магической константой 102, кажется, принадлежит Джонсону. Квадрат 12-го порядка с магической константой 4514, как я уже сказала, – знаменитый квадрат Манси. Квадрат 11-го порядка с магической константой 3355, кажется, тоже построил Манси. Квадраты 13-го и 14-го порядков построены мной.

Квадраты порядков 3 – 7 были показаны в предыдущих частях статьи. Теперь покажу классические квадраты 11-го и 12-го порядков (рис. 7 – 8).

 

1

613

3

587

61

631

107

643

19

653

37

607

73

71

223

619

59

569

47

503

43

541

461

467

83

347

137

499

53

509

149

127

523

457

181

593

173

179

167

491

157

409

151

397

211

353

197

487

227

431

239

419

271

269

251

331

199

337

307

283

293

421

277

389

379

139

317

463

443

67

349

229

373

233

257

241

383

193

313

311

439

433

359

163

367

113

401

263

97

89

449

617

479

103

281

31

557

521

131

79

599

191

101

11

571

17

563

647

547

29

601

5

677

7

577

13

641

109

41

23

661

 

Рис. 7

 

Квадрат Дж. Н. Манси

 

1

823

821

809

811

797

19

29

313

31

23

37

89

83

211

79

641

631

619

709

617

53

43

739

97

227

103

107

193

557

719

727

607

139

757

281

223

653

499

197

109

113

563

479

173

761

587

157

367

379

521

383

241

467

257

263

269

167

601

599

349

359

353

647

389

331

317

311

409

307

293

449

503

523

233

337

547

397

421

17

401

271

431

433

229

491

373

487

461

251

443

463

137

439

457

283

509

199

73

541

347

191

181

569

577

571

163

593

661

101

643

239

691

701

127

131

179

613

277

151

659

673

677

683

71

67

61

47

59

743

733

41

827

3

7

5

13

11

787

769

773

419

149

751

 

Рис. 8

 

На рис. 9 – 10 вы видите мои варианты квадратов 11-го и 12-го порядков.

 

1

29

103

107

191

271

431

487

509

619

607

47

577

41

277

643

163

131

521

5

571

379

157

149

569

283

397

263

661

223

229

23

401

257

353

139

547

37

461

331

251

587

349

43

307

89

457

71

439

463

11

359

337

641

181

433

409

647

631

151

7

523

83

199

3

269

383

113

109

557

503

601

73

449

313

193

61

677

617

227

67

137

317

367

179

421

53

293

613

347

443

479

31

419

311

101

197

173

241

467

653

541

239

593

17

127

211

59

167

281

13

19

79

97

233

373

389

491

499

563

599

 

Рис. 9

 

Вариант квадрата Дж. Н. Манси

 

1

19

61

193

347

409

449

457

509

599

709

761

479

619

89

809

331

131

311

571

557

107

43

467

443

199

523

349

197

79

613

727

167

109

281

827

743

461

223

179

503

29

269

577

373

419

5

733

233

773

661

37

547

647

3

563

67

587

283

113

787

17

73

239

607

659

397

389

313

463

149

421

631

383

431

757

241

263

257

569

97

307

367

211

797

401

499

277

643

439

7

23

719

191

379

139

13

541

521

691

601

683

673

163

103

317

71

137

293

181

173

31

59

227

677

53

739

811

653

617

83

487

769

359

337

127

701

271

229

353

751

47

11

433

491

593

101

821

157

151

641

251

823

41

 

Рис. 10

 

Далее следуют подобные квадраты порядков 13 и 14, которые были построены мной.

 

Для построения квадрата порядка 13 берётся следующий массив чисел: 1, 3, …, 997, 1009. Вариантов замены чисел я нашла здесь шесть. Магическая константа квадрата во всех случаях равна 5937. Вот варианты формирования массива:

 

1.      заменить число 977 на 1013 и число 1009 на 1019;

2.      заменить число 991 на 1021 и число 997 на 1013;

3.      заменить число 991 на 1033 и число 1009 на 1013;

4.      заменить число 997 на 1031 и число 1009 на 1021;

5.      заменить число 997 на 1019 и число 1009 на 1033;

6.      заменить число 997 на 1039 и число 1009 на 1013.

 

Понятно, что из каждого варианта массива будут получаться оригинальные магические квадраты.

Для первого варианта массива сгенерирован такой набор из 13 строк:

 

1 43 61 73 113 421 431 439 701 881 887 919 967

109 809 691 461 19 487 751 3 929 23 997 467 191

79 281 941 479 31 179 401 659 599 757 379 491 661

419 307 149 283 311 167 719 991 541 829 983 227 11

971 229 59 7 137 13 883 743 733 577 709 17 859

353 457 593 821 193 277 151 787 569 827 631 211 67

773 449 727 29 643 613 839 269 5 83 641 367 499

47 947 739 647 71 181 857 337 157 863 797 97 197

331 443 557 313 811 463 853 769 523 53 521 101 199

257 41 953 503 587 103 263 677 127 1019 673 163 571

293 601 389 317 907 131 409 509 563 349 937 359 173

251 683 107 241 233 607 239 547 653 397 1013 619 347

37 89 139 223 271 373 383 433 617 761 823 877 911

 

Квадрат из данного набора получен такой (рис. 11):

 

Квадрат № 1

 

1

43

61

73

113

421

431

439

701

881

887

919

967

109

809

691

461

19

487

751

3

929

23

997

467

191

353

457

593

821

193

277

151

787

569

827

211

67

631

47

947

739

647

857

71

181

337

157

797

197

863

97

331

443

557

313

853

463

811

769

523

53

101

521

199

953

257

41

1019

503

587

103

263

677

127

163

673

571

79

281

941

479

31

179

401

659

599

757

379

661

491

773

449

727

29

643

839

613

269

5

83

367

499

641

419

307

149

283

311

167

719

991

541

829

983

11

227

971

229

59

7

137

13

883

743

733

577

709

17

859

601

563

293

409

907

937

389

349

359

509

173

131

317

683

241

653

1013

547

619

233

239

107

251

397

347

607

617

911

433

383

823

877

271

89

37

223

373

761

139

 

Рис. 11

 

Для второго варианта массива сгенерирован такой набор из 13 строк:

 

1 31 61 149 173 197 509 643 653 701 911 941 967

859 887 199 211 641 79 977 283 71 13 883 829 5

787 227 827 601 419 179 317 41 277 401 421 683 757

89 37 521 1013 557 101 523 439 743 733 461 479 241

863 577 139 467 7 1009 457 839 307 349 11 599 313

853 983 797 659 19 409 167 331 383 137 23 353 823

367 607 269 43 947 263 3 631 719 673 881 47 487

163 1021 431 53 73 491 937 29 761 929 503 113 433

919 109 587 463 547 193 499 593 257 739 773 131 127

59 239 569 311 97 953 907 157 971 389 769 449 67

293 563 709 379 877 337 103 373 191 359 271 661 821

617 17 251 281 233 571 647 691 751 809 397 443 229

83 107 151 181 223 347 541 613 619 677 727 811 857

 

Из данного набора построился такой магический квадрат (рис. 12):

 

Квадрат № 2

 

1

31

61

149

173

197

509

643

653

701

911

941

967

859

887

199

211

641

79

977

283

71

13

883

829

5

89

37

521

1013

557

101

523

439

743

733

461

241

479

853

983

797

659

19

409

167

331

383

137

23

353

823

919

109

587

463

547

193

499

593

257

739

773

131

127

163

1021

431

53

73

937

491

29

761

929

503

113

433

59

239

569

311

907

953

157

769

449

67

97

971

389

787

227

827

601

419

179

317

41

277

401

421

683

757

367

607

269

43

947

263

3

631

719

673

881

47

487

863

577

139

467

7

1009

457

839

11

599

349

313

307

563

379

709

359

877

293

821

661

191

103

271

337

373

233

617

17

751

229

647

397

571

809

691

281

251

443

181

223

811

857

541

677

619

107

613

151

83

727

347

 

Рис. 12

 

Предлагаю читателям построить магические квадраты для остальных четырёх вариантов массива чисел.

 

Примечание: я построила магические квадраты для остальных четырёх вариантов массива по программе Стефана. По его программе квадраты строятся очень быстро. Показываю результаты.

 

Квадрат № 3

 

ORDER=13  MAGIC=5937

 

163  491  881  823  659  883  7    151  673  509  1    97   599 

857  257  617  607  859  41   947  61   103  83   503  853  149 

613  317  467  601  31   977  743  479  383  457  281  101  487 

421  37   521  727  277  389  953  419  269  569  367  47   941 

347  17   3    439  907  67   73   821  359  1033 233  997  641 

967  773  263  919  443  179  127  863  167  59   379  557  241 

877  157  449  5    463  311  373  647  401  29   971  593  661 

19   887  523  173  787  619  71   829  563  643  109  701  13  

331  1013 107  199  23   433  911  139  397  709  677  691  307 

239  89   353  431  113  337  809  131  929  653  827  733  293 

739  811  283  191  797  571  683  461  181  223  197  43   757 

227  547  839  769  79   193  229  587  751  251  983  211  271 

137  541  631  53   499  937  11   349  761  719  409  313  577 

 

Квадрат № 4

 

ORDER=13  MAGIC=5937

 

479  89   211  503  631  941  397  571  857  653  5    233  367 

673  3    599  509  163  863  199  467  811  109  293  311  937 

919  271  607  173  523  227  461  101  839  823  317  617  59  

19   593  499  701  359  263  383  487  797  821  727  277  11  

347  563  929  967  619  577  257  47   349  787  353  113  29  

1    859  41   71   269  751  827  887  7    239  953  463  569 

907  977  179  17   683  691  107  43   73   149  439  1031 641 

53   67   251  419  991  223  661  881  401  541  853  283  313 

883  241  409  197  23   613  167  1021 373  103  773  983  151 

193  307  181  911  457  97   761  719  829  37   449  337  659 

431  809  421  139  83   547  739  79   137  769  127  947  709 

389  557  877  587  757  13   647  443  31   677  157  281  521 

643  601  733  743  379  131  331  191  433  229  491  61   971 

 

Квадрат5

 

ORDER=13  MAGIC=5937

 

673  569  277  47   563  631  593  443  113  1019 463  229  317 

499  991  691  107  313  173  139  857  211  521  797  457  181 

199  449  431  241  983  761  461  349  659  23   409  701  271 

661  773  919  17   619  383  239  149  439  937  397  73   331 

359  157  347  947  787  547  89   293  11   83   811  829  677 

7    71   641  821  19   587  97   883  179  809  617  353  853 

887  643  191  491  311  223  41   653  131  167  839  389  971 

911  5    953  29   103  109  929  577  1033 557  227  503  1   

401  307  379  863  967  683  127  3    613  283  31   571  709 

373  269  37   719  197  859  907  257  727  193  67   509  823 

151  419  487  523  61   53   739  337  941  137  733  877  479 

757  541  163  881  751  101  599  367  647  607  467  13   43  

59   743  421  251  263  827  977  769  233  601  79   433  281 

 

Квадрат6

 

ORDER=13  MAGIC=5937

 

947  373  593  643  491  167  211  269  197  37   283  983  743 

13   467  691  739  433  367  173  971  149  587  307  379  661 

751  163  31   241  911  541  733  881  1039 97   1    487  61  

941  17   223  659  41   11   863  359  977  797  389  7    653 

311  263  331  53   631  499  461  59   773  919  457  479  701 

257  521  827  43   887  811  227  337  421  47   719  607  233 

313  113  317  557  569  937  409  101  383  823  683  439  293 

617  727  883  907  157  127  3    503  523  191  443  179  677 

353  1013 5    83   673  397  857  641  419  109  967  347  73  

953  79   619  139  71   281  769  29   193  709  577  757  761 

277  563  431  809  89   599  859  547  103  821  151  239  449 

67   991  787  463  107  929  349  839  251  229  131  181  613 

137  647  199  601  877  271  23   401  509  571  829  853  19  

 

Обратите внимание: квадраты, построенные по программе Стефано, начинаются с произвольного числа, а построенные по моей программе квадраты начинаются с числа 1 (так у меня составлена программа).

 

***

 

Теперь покажу построение подобного магического квадрата 14-го порядка. Берётся следующий массив, состоящий из простых чисел и числа 1: 1, 3, …, 1187, 1193, но заменить число 1181 на 1213. Магическая константа равна 7626.

Сгенерированный набор из 14 строк:

 

1  97  157  227  359  409  431  523  577  593  1009  1021  1051  1171

881  347  773  353  491  197  367  787  631  827  647  7  1049  269

                        683  521  13  211  673  127  443  89  1117  509  769  929  883  659

                        857  337  821  937  971  61  311  569  1153  113  23  257  263  953

                        947  107  307  59  877  1091  17  1093  397  461  67  373  967  863

                        641  83  131  619  829  19  317  1151  241  433  811  853  389  1109

                        941  499  859  421  31  439  1103  103  743  677  563  239  757  251

                        607  271  5  193  281  1039  479  1129  109  47  983  911  1193  379

                        1097  661  73  701  997  587  401  277  919  727  233  751  149  53

                        907  79  541  151  1213  503  3  449  991  139  797  1013  617  223

                        199  101  1031  487  599  571  181  823  709  349  163  1063  887  463

                        283  43  733  719  229  293  467  1019  173  37  1033  1187  601  809

                        137  331  839  419  1123  761  383  691  1163  41  191  1061  457  29

                        11  71  167  179  313  547  557  613  643  653  739  977  1069  1087

 

На рис. 13 показан магический квадрат, полученный из данного набора:

 

1

97

157

227

359

409

431

523

577

593

1009

1021

1051

1171

857

337

821

937

971

61

311

569

1153

113

23

257

953

263

941

499

859

421

31

439

1103

103

743

563

677

251

239

757

641

83

131

619

829

19

317

1151

241

433

811

853

389

1109

947

107

307

59

877

1091

17

1093

397

461

373

67

967

863

607

271

5

193

281

1039

479

1129

109

47

983

911

379

1193

881

347

773

353

491

197

367

787

631

827

647

7

1049

269

1097

661

73

701

997

587

401

277

919

727

233

751

149

53

683

521

13

211

673

127

443

89

1117

509

769

929

883

659

79

907

541

1213

151

503

991

449

139

797

223

1013

3

617

101

1031

887

199

487

823

599

349

571

463

1063

709

163

181

43

1187

809

733

601

293

1033

37

467

1019

229

173

719

283

191

839

1163

691

331

1061

1123

457

383

761

419

41

29

137

557

739

1087

1069

547

977

11

613

179

313

167

643

653

71

 

Рис. 13

 

На магической константе представленного квадрата 14-го порядка на сегодня заканчивается последовательность А073502. Приведу ссылку на эту последовательность:

 

http://www.research.att.com/~njas/sequences/A073502

 

Квадрат 15-го порядка в данной серии квадратов в точности подобен квадрату Дж. Н. Манси, то есть он составлен из последовательных нечётных простых чисел и числа 1. Этот квадрат уже давно построил Stefano Tognon. Магическая константа этого квадрата равна 9635. Копирую квадрат с сайта S. Tognon (рис. 14):

 

http://digilander.libero.it/ice00/magic/prime/ManualConstruction.html

 

 

1087

953

1093

167

499

97

829

1237

79

73

809

967

787

911

47

463

461

457

491

691

503

89

163

23

1019

1223

1399

937

523

1193

1

1301

307

1163

1319

1259

17

19

877

29

547

181

1187

1217

211

661

1063

271

887

263

317

331

1361

239

173

389

1097

1213

199

1171

1069

673

677

311

313

257

251

337

1367

419

1013

373

397

769

1409

659

293

647

643

641

439

709

617

613

607

601

1201

593

599

773

1021

3

883

103

839

631

1117

823

283

1151

149

577

41

1427

587

127

653

1303

7

1277

1321

157

719

727

1229

947

227

61

743

137

139

859

5

421

101

701

433

521

449

941

1381

991

751

1181

761

1297

131

1283

1307

179

151

1373

241

347

1327

71

59

1423

67

379

1291

1091

487

269

1049

1109

1033

431

881

349

229

409

223

401

383

113

109

1061

1279

1103

1039

509

929

569

733

1153

757

191

37

53

281

1289

107

1051

11

13

919

1031

1129

541

353

557

367

1009

977

563

277

857

853

443

971

1249

1123

1231

233

31

43

997

193

571

863

479

197

683

907

827

619

83

821

811

739

797

467

359

983

 

Рис. 14

 

Магический квадрат 16-го порядка из этой серии квадратов построил тоже S. Tognon, но данные для построения этого квадрата вычислены мной. Так что этот квадрат – результат нашего совместного творчества. Для построения этого квадрата берётся следующий массив, состоящий из простых чисел и числа 1: 1, 3, …, 1613, 1619,  но заменить число 1607 на 1627 и число 1619 на 1621.  Магическая константа квадрата равна 11986.

 

691

1039

61

593

659

1307

227

599

1163

457

1013

823

1283

1223

541

307

1289

1153

1621

1301

1279

1217

31

491

257

373

571

1049

233

499

449

173

1429

1499

1367

293

73

193

601

1523

829

797

677

11

269

1063

41

1321

1151

523

439

1571

433

911

1481

653

1061

739

23

991

239

421

1087

263

229

827

71

883

1483

127

967

5

1129

1229

283

1291

1103

1453

137

769

839

1493

1559

461

1381

311

107

811

197

1549

1399

79

1123

281

7

389

877

1019

673

1583

367

251

941

1091

971

881

167

19

997

853

809

487

719

727

103

431

859

613

1531

757

211

1171

1423

977

181

1181

701

401

953

317

1

113

1187

47

919

929

521

349

1553

1471

1021

1609

409

587

857

563

1627

1213

751

907

547

1097

1579

83

947

101

59

179

1409

67

3

383

1439

353

1231

1031

1459

479

43

683

503

1451

863

151

313

1601

821

37

647

661

191

1297

359

787

13

1613

157

241

1543

733

1319

1567

163

1487

139

569

17

1361

463

617

1433

1069

1033

1051

53

149

1373

1009

271

631

1193

1277

29

887

1489

331

773

419

509

1093

983

467

1237

397

97

89

109

347

743

1249

641

1259

1427

131

1109

761

1327

607

643

1447

1597

199

937

337

1303

277

223

557

379

443

619

577

709

1117

1511

1201

 

Рис. 15

 

Квадрат 17-го порядка опять в точности подобен квадрату Манси и тоже построен Стефаном. Магическая константа квадрата равна 14691. Копирую квадрат с сайта S. Tognon (ссылка дана выше). Копию квадрата вы видите на рис. 16.

 

1

43

5

7

1721

1709

379

827

1823