НОВЫЕ АСПЕКТЫ МЕТОДА ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ

 

Часть III

 

Данная страница является продолжением страниц

http://www.natalimak1.narod.ru/aspekty.htm

http://www.natalimak1/narod.ru/aspekty1.htm

 

Напомню читателям, что в конце предыдущей части я рассказала о методе латинских квадратов применительно к построению магических квадратов порядка n = 4k + 2. Было показано использование пар  диагональных и не диагональных ОЛК порядка 10.

Поскольку пары ОЛК порядков 14 и 18 у меня отсутствуют, и строить их я пока не умею, эти порядки придётся пропустить.

 

Перехожу к латинским квадратам 22-го порядка. Во второй части статьи представлена группа из трёх взаимно ортогональных латинских квадратов данного порядка. Все три квадрата не диагональные. Более того: они не являются нетрадиционными магическими квадратами и потому не пригодны для построения магических квадратов. И соотношения:

 

22*S₁ + S₃ + 22 = 5335

22*S₂ + S₄ + 22 = 5335

 

ни для одной пары ОЛК не выполняются.

Из каждой пары ОЛК, образованной из этих латинских квадратов, можно построить только полумагический квадрат.

Тогда я взяла одну пару ОЛК и выполнила преобразование обоих латинских квадратов так, чтобы они превратились в нетрадиционные магические квадраты с магической константой 231. Другими словами: исправлены неправильные диагонали, то есть те диагонали, в которых сумма чисел была не равна магической константе квадрата. Замечу, что во всех трёх латинских квадратах, найденных мной в статье, неправильная только одна диагональ, во второй диагонали находится тождественная перестановка чисел 0, 1, 2, … 21.

Итак, показываю первый латинский квадрат выбранной мной пары ОЛК (рис. 1):

 

 

Рис. 1

 

Сумма чисел в неправильной диагонали этого латинского квадрата равна 216. Обратите внимание на другую диагональ квадрата, она выделена. Очевидно, что в этой диагонали находится тождественная перестановка чисел 0, 1, 2, … 21. Поэтому сумма чисел в этой диагонали равна магической константе квадрата – 231.

Теперь выполняю преобразование латинского квадрата, которое состоит в трансформации тождественной перестановки, то есть выполняется замена тождественной перестановки чисел 0, 1, 2, … 21 на другую перестановку:

 

0  1   2  3  4  5  6  7  8  9   10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21

0 19  7  1  4  5  8  3  2  9   10  11  12  13  14  15  16  17  18   6   20  21

 

Обратите внимание: в перестановках выделены числа, которые переставляются. Выполнить такое преобразование очень просто, надо во всём квадрате произвести замены чисел:

 

1 à 19,   2 à 7,   3 à 1,   6 à 8,   7 à 3,    8 à 2,   19 à 6

 

Все остальные числа остаются на месте.

В результате такого преобразования получается следующий латинский квадрат (рис. 2):

 

 

Рис. 2

 

Этот латинский квадрат является нетрадиционным магическим квадратом с магической константой 231.

Аналогично преобразовываю второй латинский квадрат, изображённый на рис. 3.

 

 

Рис. 3

 

Для преобразования этого латинского квадрата выбираю следующую трансформацию тождественной перестановки чисел:

 

  0  1  2  3  4  5   6   7    8    9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21

0  1  2  3  4  5  21 20 19 18  17  16  15  14  13  12  11  10   9    8    7    6

 

Как видите, это совсем другая трансформация тождественной перестановки. В результате такого преобразования получается следующий латинский квадрат (рис. 4):

 

 

Рис. 4

 

Этот латинский квадрат тоже является нетрадиционным магическим квадратом с магической константой 231.

Читателей может заинтересовать вопрос, как я нашла нужные трансформации тождественной перестановки чисел. Можно составить для этого программу, но я действовала простым подбором: надо так переставить числа в тождественной перестановке, чтобы получившийся при этом набор чисел во второй главной диагонали давал в сумме 231. Вот и весь алгоритм.

Итак, оба латинских квадрата в паре ОЛК преобразованы. Я опасалась, что в результате таких преобразований нарушится ортогональность латинских квадратов, однако этого не произошло.

 

 

Теперь строю из полученной пары не диагональных ОЛК магический квадрат 22-го порядка. Замечу, что я использовала для построения магического квадрата вторую формулу, то есть поменяла местами латинские квадраты. Напомню читателям обе формулы для построения магического квадрата 22-го порядка из пары ОЛК. Обозначим матрицу первого латинского квадрата A(a_ij), матрицу второго латинского квадрата – B(b_ij), матрицу готового магического квадрата – C(c_ij). Тогда формулы для построения магического квадрата из пары ОЛК будут иметь следующий вид:

 

[1]                                                      c_ij = 22*a_ij + b_ij + 1

c_ij = 22*b_ij + a_ij + 1

 

Таким образом, из любой пары ОЛК, пригодной для построения магического квадрата, всегда можно построить два магических квадрата. Приведённый ниже магический квадрат построен по второй формуле. Первый латинский квадрат (А) изображён на рис. 2, второй латинский квадрат (В) – на рис. 4. Я не стала записывать магический квадрат в таблицу, привожу его в виде, записанном программой в файл.

 

1  436  149  214  232  313  252  182  388  46  417  484  279  359  99  167  333  305  31  448  114  86

 465  42  415  150  193  211  292  231  163  367  71  375  462  258  351  122  14  318  271  48  420  96

 401  450  52  381  151  172  190  273  210  4  346  94  372  440  237  309  475  37  297  263  69  112

 98  380  429  68  373  139  19  169  246  189  25  325  119  338  418  216  306  454  60  276  221  467

 218  121  361  408  93  331  153  29  16  223  168  54  304  466  310  396  195  272  433  83  255  446

 234  184  474  334  387  116  328  133  65  39  208  15  77  283  443  291  374  161  244  412  106  427

 129  213  156  453  311  366  471  294  152  67  62  187  38  100  249  428  270  352  21  225  391  400

 370  469  192  5  432  296  345  444  266  140  108  85  166  61  123  241  407  251  330  23  204  377

 185  349  461  171  28  411  275  324  421  247  134  118  95  13  84  476  199  386  224  308  64  362

 74  158  315  419  18  53  390  254  303  406  226  137  464  131  36  107  455  196  365  201  286  341

 264  90  3  307  416  41  70  369  233  282  385  207  138  445  463  59  117  434  162  344  186  320

 165  242  115  32  265  382  51  91  348  212  261  364  180  141  424  460  82  483  413  2  323  299

 302  12  220  468  55  262  354  87  120  327  191  227  343  157  136  405  426  105  441  392  27  278

 50  281  35  198  449  78  228  335  89  473  293  170  219  322  10  135  378  398  128  438  371  257

 337  75  260  58  176  422  101  200  314  130  452  285  17  177  301  33  142  355  379  481  404  236

 376  329  92  239  81  22  399  124  181  295  470  431  243  40  174  280  56  143  340  358  447  215

 439  357  287  113  205  104  44  384  477  160  268  442  410  240  63  8  259  79  144  319  339  194

 312  397  336  284  472  197  127  66  363  456  9  245  423  389  206  73  24  238  102  145  298  173

 277  289  394  317  250  451  155  480  88  342  435  26  230  402  368  178  109  49  217  125  146  7

 147  256  274  360  290  222  430  20  459  110  321  414  47  209  383  347  159  111  72  183  478  43

 457  148  235  253  332  267  203  409  30  425  132  300  393  76  188  356  326  6  482  97  175  45

 34  57  80  103  126  479  458  437  403  395  353  350  316  288  269  248  229  202  179  164  11  154

 

Предлагаю читателям построить второй магический квадрат 22-го порядка из этой же пары ОЛК по первой формуле. Вы убедитесь в том, что получится новый магический квадрат.

 

Как уже сказано, из трёх найденных мной взаимно ортогональных не диагональных латинских квадратов 22-го порядка можно составить три пары ОЛК. Все эти пары не пригодны для построения магических квадратов. Попробуйте преобразовать ещё одну пару ОЛК аналогичным способом, чтобы из этой пары можно было построить магические квадраты.

 

Пары диагональных ОЛК 22-го порядка мне найти не удалось. Жду сообщений от читателей! Может быть, кто-то знает, как составить такие пары ОЛК не только для порядка 22, а также для пропущенных выше порядков 14 и 18, но и для любого порядка рассматриваемой серии.

 

Глава 3. ПОСТРОЕНИЕ ПОЛУМАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ

 

Метод латинских квадратов с успехом можно применять для построения полумагических квадратов любого порядка, кроме 2 и 6. Как уже знают читатели, пары ОЛК существуют для любого порядка (не равного 2 и 6). Любая пара ОЛК пригодна для построения полумагического квадрата, если только из неё не получается магический квадрат. То есть здесь надо исключить все пары диагональных ОЛК. А так же все те пары не диагональных ОЛК, из которых магические квадраты получаются (примеры таких пар приведены в статье).

Вы можете использовать для построения полумагических квадратов все пары ОЛК, приведённые в статье, из которых нельзя построить магические квадраты. Приведу только один пример – построение полумагического квадрата 9-го порядка. На рис. 5 показана пара ОЛК, не пригодная для построения магических квадратов. Один из латинских квадратов в этой паре не диагональный. Данная пара ОЛК взята из группы взаимно ортогональных латинских квадратов, построенной в Maple.

 

 

Рис. 5

 

Посмотрите на эти латинские квадраты. Второй латинский квадрат (изображён справа) диагональный. В первом латинском квадрате только одна диагональ неправильная. Поэтому, понятно, что в полумагическом квадрате, построенном из этой пары ОЛК магической суммы нет только в одной диагонали.  Готовый полумагический квадрат показан на рис. 6.

 

 

Рис. 6

 

Вот такой “хромой” на одну диагональ полумагический квадрат получился. А теперь я отправляю этот квадрат на исправление  “хромой” диагонали. Это очень успешно делает у меня программа перестановки строк. Ввожу квадрат в программу, и за несколько секунд получаю следующий магический квадрат (рис. 7):

 

 

Рис. 7

 

Понятно, что, разложив этот магический квадрат на два ортогональных латинских квадрата, мы получим ту пару ОЛК, из которой этот квадрат построен. Очевидно, что латинские квадраты этой пары отличаются от квадратов пары ОЛК, показанной на рис. 5, точно такой же перестановкой строк. На рис. 8 вы видите пару ОЛК, соответствующую магическому квадрату с рис. 7.

 

 

Рис. 8

 

Оба латинских квадрата стали не диагональными. Зато они являются нетрадиционными магическими квадратами с магической константой 36 и потому пригодны для построения магических квадратов.

 

Глава 4. ПОСТРОЕНИЕ НЕТРАДИЦИОННЫХ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ

 

Применение метода латинских квадратов для построения нетрадиционных магических квадратов уже было освещено в статье “Нетрадиционные магические квадраты” (http://www.natalimak1.narod.ru/netradic.htm ). Однако там использовались обобщённые латинские квадраты. Теперь рассмотрим построение нетрадиционных магических квадратов с использованием ортогональных классических латинских квадратов.

 

4.1. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТРАДИЦИОННЫХ ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ

 

Этот способ тоже был освещён в указанной статье. Поэтому повторю его очень кратко.

Традиционным латинским квадратом порядка n будем называть латинский квадрат, заполненный числами 0, 1, 2, … n-1. Если мы имеем пару традиционных ОЛК, из которой можно построить традиционные магические квадраты, то из этой пары ОЛК можно построить и нетрадиционные магические квадраты, если в формуле для построения магического квадрата (см. формулы[1]) изменить множитель. Приведу пример. Возьмём пару ОЛК, изображённую на рис. 8, и построим из неё нетрадиционный магический квадрат 9-го порядка, применив такую формулу:

 

[2]                                          c_ij = 10*a_ij + b_ij + 1

 

Вы видите этот нетрадиционный магический квадрат на рис. 9.

 

 

Рис. 9

 

Сравните полученный нетрадиционный магический квадрат с традиционным магическим квадратом на рис. 7.  Легко заметить, что в обоих квадратах совершенно одинаковая начальная цепочка (на рис. 9 она выделена жёлтым цветом). Можно построить бесконечно много подобных нетрадиционных магических квадратов, выбирая в формуле для построения другие множители, и во всех этих квадратах начальная цепочка не изменится. Нетрудно понять, почему так получается, если внимательно посмотреть на формулу построения магического квадрата.

Если в формуле для построения магического квадрата взять множитель меньше порядка квадрата, тоже получится нетрадиционный магический квадрат, но в нём будут повторяющиеся числа. Возьмём, например, для той же пары ОЛК с рис. 8 в формуле для построения магического квадрата множитель 8. В результате получим такой нетрадиционный магический квадрат (рис. 10):

 

 

Рис. 10

 

А начальная цепочка не изменилась!

Можно взять даже множитель 1 в формуле для построения магического квадрата. Тогда получится такой нетрадиционный магический квадрат (рис. 11):

 

 

Рис. 11

 

И опять точно такая же начальная цепочка.

Если в этом случае не прибавлять единицу, то магический квадрат получается просто поэлементным сложением латинских квадратов.

Таким образом, формулу [2] для построения нетрадиционных магических квадратов можно записать в следующем виде:

 

[3]                              c_ij = m*a_ij + b_ij + 1,      m = 1,  2,  3, …

 

Когда m равно порядку квадрата и используется пара ОЛК, пригодная для построения магического квадрата, получается традиционный магический квадрат.

 

4.2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НЕТРАДИЦИОННЫХ ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ

 

А теперь рассмотрим латинские квадраты, которые заполнены произвольными натуральными числами. По аналогии с магическими квадратами будем называть такие латинские квадраты нетрадиционными. Но по-прежнему будем рассматривать классические латинские квадраты.

Возьмём конкретный пример – диагональный латинский квадрат 5-го порядка (рис. 12).

 

 

Рис. 12

 

Это традиционный латинский квадрат, так как он заполнен числами 0, 1, 2, 3, 4. Однако латинский квадрат можно заполнить любыми натуральными числами. Обозначим: a – 0, b – 1, c – 2, d – 3, e – 4. Тогда латинский квадрат 5-го порядка, изображённый на рис. 10, можно записать в общем виде (рис. 13):

 

 

Рис. 13

 

Точно так же в общем виде запишем второй латинский квадрат ортогональный данному (рис. 14):

 

 

Рис. 14

 

Задав произвольные значения символьных констант, мы получим пару нетрадиционных диагональных ОЛК, из которой можно построить бесконечно много нетрадиционных магических квадратов (варьируя множитель в формуле). Пусть, например: a = 2, b = 4, c = 5, d = 7, e = 9. В формуле для построения магического квадрата возьмём множитель 10. Готовый нетрадиционный магический квадрат 5-го порядка изображён на рис. 15.

 

 

Рис. 15

 

Кстати, для нетрадиционных магических квадратов необязательно в формуле прибавлять единицу. В построенном сейчас квадрате единица прибавлена.

 

4.3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ

 

Для построения нетрадиционных магических квадратов можно использовать пары не ортогональных латинских квадратов, только необходимо, чтобы оба латинских квадрата были нетрадиционными магическими квадратами. При таком способе построения в нетрадиционном квадрате будут повторяющиеся числа. Приведу примеры.

На рис. 16 изображена пара не ортогональных латинских квадратов 10-го порядка.