НОВЫЕ АСПЕКТЫ МЕТОДА ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ (часть V)

 

или

 

НОВЫЕ ГРУППЫ ПАР ОЛК

 

Данная страница является продолжением страницы

http://www.natalimak1.narod.ru/aspekty3.htm

 

Разработав в предыдущей части статьи схему составления пар ОЛК 10-го порядка, я увидела в этой схеме удивительную пару ОЛК 7-го порядка. Это такая пара ОЛК, из которой можно строить идеальные магические квадраты.

 Воспроизведу указанную схему составления пар ОЛК 10-го порядка (рис. 1).

 

 

Рис. 1

 

Просто великолепная схема! Присмотревшись к ней внимательно, я увидела, что в верхнем правом квадрате 7х7 в этих латинских квадратах находятся ортогональные квадраты 7-го порядка. Ну, понятно, что в правом нижнем углу находятся ортогональные квадраты 3-го порядка, но они не столь интересны. А вот пара ОЛК 7-го порядка получается необыкновенная. Сначала показываю эту пару ОЛК в том виде, как я извлекла её из квадратов 10-го порядка с рис. 1. Смотрите на рис. 2.

 

 

Рис. 2

 

По раскраске этих квадратов вы поймёте, как они получились из латинских квадратов 10-го порядка, изображённых на рис.1.

Теперь запишу эти ортогональные латинские квадраты в традиционном виде (рис. 3):

 

 

Рис. 3

 

Эти латинские квадраты являются нетрадиционными магическими квадратами с магической константой 21 (к тому же они диагональные). И не только! Они ещё ассоциативные и пандиагональные. И поэтому вполне понятно, что магический квадрат, построенный из этой пары ОЛК, является идеальным. Кроме того, второй латинский квадрат получается из первого отражением относительно главной диагонали, то есть эти латинские квадраты, как магические, эквивалентны.

Покажу греко-латинский квадрат, получающийся из этой пары ОЛК (рис. 4).

 

 

Рис. 4

 

Обратите внимание на своеобразную диагональную симметрию в этом квадрате: числа, расположенные симметрично относительно главной диагонали, “перевёрнуты”. Точно таким же свойством обладает тот самый греко-латинский квадрат 10-го порядка, из которого я получила пару ОЛК, изображённую на рис. 1 (симметрия в этом квадрате 10-го порядка нарушается только в правом нижнем квадрате 3х3).

И вот идеальный магический квадрат 7-го порядка, построенный из данной пары ОЛК (рис. 5):

 

 

Рис. 5

 

А на рис. 6 показан второй идеальный квадрат, построенный из этой же пары ОЛК, только латинские квадраты поменялись местами.

 

 

Рис. 6

 

Очевидно, что этот квадрат эквивалентен квадрату с рис. 5.

К сожалению, из пары ОЛК 22-го порядка мне не удалось аналогично извлечь пару ОЛК 15-го порядка.

 

А теперь напомню читателям, что в своей статье “Построение идеальных квадратов нечётного порядка с помощью латинских квадратов” (http://www.klassikpoez.narod.ru/idlat.htm ) я придумала схему составления пары ОЛК для любого нечётного порядка не кратного 3. Посмотрев сейчас на пару ОЛК 7-го порядка, я увидела, что один из квадратов этой пары в точности совпадает с квадратом пары ОЛК, полученной сейчас (см. этот квадрат на рис. 3 справа). А вот второй квадрат в указанной статье был получен из первого по-другому: отражением относительно горизонтальной оси симметрии (а не отражением относительно главной диагонали, как это сделано сейчас). Продублирую пару ОЛК для квадратов 7-го порядка из указанной статьи (рис. 7 – 8).

 

 

Рис. 7

 

 

Рис. 8

 

А на рис. 9 изображён идеальный квадрат 7-ого порядка, полученный в статье из данной пары ОЛК.

 

 

Рис. 9

 

Очевидно, что этот квадрат не эквивалентен идеальному квадрату, полученному здесь (см. рис. 5). Таким образом, мы имеем новую пару ОЛК 7-го порядка. Разумеется, из этой пары можно тоже получить 5040 подобных пар с помощью трансформации тождественной перестановки чисел.

Совершенно понятно, что по такой схеме можно составлять пары ОЛК для любого нечётного порядка не кратного 3.

 

***

 

А теперь покажу описанную в предыдущей части статьи схему составления пары ОЛК для квадратов следующего порядка в серии n = 10(mod 12). Этот порядок равен 34. Во-первых, ещё раз наглядно продемонстрирую данную схему для следующего порядка, во-вторых, извлеку пару латинских квадратов 23-го порядка.

Приведу только первый латинский квадрат, второй квадрат предлагается построить читателям. Моя цель - извлечь из латинского квадрата 34-го порядка пару ОЛК 23-го порядка, для этого мне достаточно построить первый латинский квадрат.

Поскольку квадрат очень большой, буду показывать его частями, из которых он состоит: верхний левый квадрат 23х23, нижний правый квадрат 11х11, правый прямоугольник 11х23, нижний прямоугольник 11х23. Здесь будет 11 переменных a_i, они принимают значения 24, 25, … 32, 33, 0 в любой комбинации.

Итак, сначала показываю верхний левый квадрат 23х23 (рис. 10):

 

 

Рис. 10

 

Теперь показываю правый прямоугольник 11х23 (рис. 11):

 

 

Рис. 11

 

На рис. 12 вы видите нижний прямоугольник 11х23.

 

 

Рис. 12

 

Наконец, осталось составить нижний правый квадрат 11х11. Этот квадрат может быть, например, таким (рис. 13):

 

 

Рис. 13

 

Вот такой сборный латинский квадрат 34-го порядка здесь представлен. Надеюсь, что читатели сумеют его собрать (образец сборки на рис. 1)

 

Теперь берём квадрат 23х23 с рис. 10, присоединяем к нему прямоугольник с рис. 11 и получаем такой первый латинский квадрат 23-го порядка (рис. 14):

 

 

Рис. 14

 

Теперь отражаем этот квадрат относительно главной диагонали (содержащей тождественную перестановку чисел 1, 2, 3, … 23; эта диагональ выделена жёлтым цветом) и получаем второй латинский квадрат (рис. 15).

 

 

Рис. 15

 

Пара ОЛК получена. И снова второй латинский квадрат (рис. 15) совпадает с латинским квадратом, построенным по схеме, изложенной в указанной выше статье. Если первый латинский квадрат получить из квадрата с рис. 15 отражением не относительно главной диагонали, а относительно горизонтальной оси симметрии, то получится другая пара ОЛК в точности совпадающая с парой ОЛК, построенной по схеме, изложенной в указанной статье.

 

Программа проверки ортогональности подтвердила ортогональность этих латинских квадратов (рис. 14 – 15) и заодно построила идеальный магический квадрат 23-го порядка из данной пары ОЛК. Вот этот квадрат:

 

 1  69  114  159  204  249  294  339  384  429  474  519  35  80  125  170  215  260  305  350  395  440  485

 509  25  70  138  183  228  273  318  363  408  453  498  14  59  104  149  194  239  284  329  374  419  464

 488  4  49  94  139  207  252  297  342  387  432  477  522  38  83  128  173  218  263  308  353  398  443

 467  512  28  73  118  163  208  276  321  366  411  456  501  17  62  107  152  197  242  287  332  377  422

 446  491  7  52  97  142  187  232  277  345  390  435  480  525  41  86  131  176  221  266  311  356  401

 425  470  515  31  76  121  166  211  256  301  346  414  459  504  20  65  110  155  200  245  290  335  380

 404  449  494  10  55  100  145  190  235  280  325  370  415  483  528  44  89  134  179  224  269  314  359

 383  428  473  518  34  79  124  169  214  259  304  349  394  439  484  23  68  113  158  203  248  293  338

 362  407  452  497  13  58  103  148  193  238  283  328  373  418  463  508  24  92  137  182  227  272  317

 341  386  431  476  521  37  82  127  172  217  262  307  352  397  442  487  3  48  93  161  206  251  296

 320  365  410  455  500  16  61  106  151  196  241  286  331  376  421  466  511  27  72  117  162  230  275

 299  344  389  434  479  524  40  85  130  175  220  265  310  355  400  445  490  6  51  96  141  186  231

 255  300  368  413  458  503  19  64  109  154  199  244  289  334  379  424  469  514  30  75  120  165  210

 234  279  324  369  437  482  527  43  88  133  178  223  268  313  358  403  448  493  9  54  99  144  189

 213  258  303  348  393  438  506  22  67  112  157  202  247  292  337  382  427  472  517  33  78  123  168

 192  237  282  327  372  417  462  507  46  91  136  181  226  271  316  361  406  451  496  12  57  102  147

 171  216  261  306  351  396  441  486  2  47  115  160  205  250  295  340  385  430  475  520  36  81  126

 150  195  240  285  330  375  420  465  510  26  71  116  184  229  274  319  364  409  454  499  15  60  105

 129  174  219  264  309  354  399  444  489  5  50  95  140  185  253  298  343  388  433  478  523  39  84

 108  153  198  243  288  333  378  423  468  513  29  74  119  164  209  254  322  367  412  457  502  18  63

 87  132  177  222  267  312  357  402  447  492  8  53  98  143  188  233  278  323  391  436  481  526  42

 66  111  156  201  246  291  336  381  426  471  516  32  77  122  167  212  257  302  347  392  460  505  21

 45  90  135  180  225  270  315  360  405  450  495  11  56  101  146  191  236  281  326  371  416  461  529

 

Итак, мы имеем уже две схемы составления пар ОЛК нечётного порядка не кратного 3. В обеих схемах из пар ОЛК получаются идеальные магические квадраты. Покажу ещё пары ОЛК, составленные по описанной здесь схеме для порядков 5 и 11.

Буду записывать латинские квадраты в традиционном виде, мне так удобнее. На рис. 16 показана пара ОЛК 5-го порядка.

 

 

Рис. 16

 

Закономерности построения второго латинского квадрата (на рис. 16 этот квадрат изображён справа) описаны в указанной выше статье. В построении первого латинского квадрата тоже есть свои закономерности: в первой строке записываются сначала все чётные числа в порядке возрастания, затем все нечётные числа тоже в порядке возрастания. Каждая следующая строка получается из предыдущей циклическим сдвигом с постоянным шагом. Шаг определяется порядком квадрата. Оба латинских квадрата получаются друг из друга отражением относительно главной диагонали, содержащей тождественную перестановку чисел 0, 1, 2, … n.

На рис. 17 показана пара ОЛК 11-го порядка.