ПОСТРОЕНИЕ ПАР ОРТОГОНАЛЬНЫХ ДИАГОНАЛЬНЫХ ЛАТИНСКИХ

 

КВАДРАТОВ МЕТОДОМ СОСТАВНЫХ КВАДРАТОВ

 

Данная страница является продолжением страницы http://www.natalimak1.narod.ru/aspekty4.htm

 

 

Начну с цитаты из статьи “Completion of the Spectrum of Orthogonal Diagonal Latin Squares” (J. W. Brown и другие):

 

“2. Previous results

 

It is easy to construct orthogonal diagonal latin squares (ODLS) when n is prime to 6, because the n x n square with (i, j) entry i + 2j (modulo n) and its transpose satisfy the definition [4]. The small orders 4, 8 and 9 are easy to construct (see [4]) and side 27 is exhibited in [1]. Gergely [5] showed that if there are ODLS of sides n₁ and n₂ then side n₁n₂ can be realized. So one need only consider those orders divisible by 2 (but not 4) and those divisible by 3 (but not 9)”.

 

В этой цитате содержится очень важный результат: если есть ортогональные диагональные латинские квадраты порядков n₁ и n₂, то можно составить ортогональные диагональные латинские квадраты порядка n₁*n₂.

Это очень напоминает метод составных квадратов для построения магических квадратов. Поэтому и для пар диагональных ОЛК я тоже назвала этот метод методом составных квадратов.

 

В предыдущих частях настоящей статьи были показаны пары ортогональных диагональных латинских квадратов для порядков 4 – 10 и 16, исключая порядки 2, 3 и 6, для которых не существует таких пар ОЛК. Составление пар диагональных ОЛК задача непростая. Метод составных квадратов позволяет легко решить задачу для порядков, представимых в виде произведения двух чисел, для каждого из которых существует пара диагональных ОЛК. Понятно, что минимальный порядок, для которого можно применить метод составных квадратов, равен 16. Я начну демонстрацию метода с составления пары диагональных ОЛК 20-го порядка.

Итак, надо выбрать пары диагональных ОЛК 4-го и 5-го порядков. На рис. 1 показана пара диагональных ОЛК 4-го порядка, а на рис. 2 – пара диагональных ОЛК 5-го порядка.

 

 

Рис. 1

 

 

Рис. 2

 

Замечу, что здесь удобнее записывать латинские квадраты в нетрадиционном виде.

Для построения первого латинского квадрата 20-го порядка надо взять первые квадраты из каждой пары ОЛК. По аналогии с методом составных магических квадратов здесь тоже надо определиться, какой квадрат будет базовым, а какой – основным. От этого зависит разбиение квадрата 20-го порядка. Выберем в качестве базового квадрата квадрат 4-го порядка, а в качестве основного – квадрат 5-го порядка. В таком случает надо разбить матрицу 20х20 на 16 квадратов 5х5 (рис. 3). Число в каждой ячейке базового квадрата показывает, на сколько надо увеличить числа в основном квадрате, помещаемом в соответствующий этой ячейке блок 5х5. Таким образом, аналогия с методом составных магических квадратов полная.

 

 

Рис. 3

 

Первый латинский квадрат готов. Очевидно, что этот латинский квадрат диагональный. Для построения второго латинского квадрата ортогонального построенному квадрату берём вторые латинские квадраты 4-го и 5-го порядков. Всё делаем точно так же, как при построении первого латинского квадрата (см. рис. 4).

 

 

Рис. 4

 

Пара диагональных ОЛК 20-го порядка построена. Ниже показан магический квадрат 20-го порядка, построенный из данной пары ОЛК. Я не стала помещать его в матрицу, показываю так, как он записан программой в файл.

 

 1  22  43  64  85  111  132  153  174  195  306  327  348  369  390  216  237  258  279  300

 44  65  81  2  23  154  175  191  112  133  349  370  386  307  328  259  280  296  217  238

 82  3  24  45  61  192  113  134  155  171  387  308  329  350  366  297  218  239  260  276

 25  41  62  83  4  135  151  172  193  114  330  346  367  388  309  240  256  277  298  219

 63  84  5  21  42  173  194  115  131  152  368  389  310  326  347  278  299  220  236  257

 206  227  248  269  290  316  337  358  379  400  101  122  143  164  185  11  32  53  74  95

 249  270  286  207  228  359  380  396  317  338  144  165  181  102  123  54  75  91  12  33

 287  208  229  250  266  397  318  339  360  376  182  103  124  145  161  92  13  34  55  71

 230  246  267  288  209  340  356  377  398  319  125  141  162  183  104  35  51  72  93  14

 268  289  210  226  247  378  399  320  336  357  163  184  105  121  142  73  94  15  31  52

 116  137  158  179  200  6  27  48  69  90  211  232  253  274  295  301  322  343  364  385

 159  180  196  117  138  49  70  86  7  28  254  275  291  212  233  344  365  381  302  323

 197  118  139  160  176  87  8  29  50  66  292  213  234  255  271  382  303  324  345  361

 140  156  177  198  119  30  46  67  88  9  235  251  272  293  214  325  341  362  383  304

 178  199  120  136  157  68  89  10  26  47  273  294  215  231  252  363  384  305  321  342

 311  332  353  374  395  201  222  243  264  285  16  37  58  79  100  106  127  148  169  190

 354  375  391  312  333  244  265  281  202  223  59  80  96  17  38  149  170  186  107  128

 392  313  334  355  371  282  203  224  245  261  97  18  39  60  76  187  108  129  150  166

 335  351  372  393  314  225  241  262  283  204  40  56  77  98  19  130  146  167  188  109

 373  394  315  331  352  263  284  205  221  242  78  99  20  36  57  168  189  110  126  147

 

Следует заметить, что при использовании пары ортогональных латинских квадратов, записанных в нетрадиционном виде, надо несколько изменить формулу для построения магического квадрата. Обозначим матрицу первого латинского квадрата A(a_ij), матрицу второго латинского квадрата –  B(b_ij), матрицу готового магического квадрата - C(c_ij). Тогда формула для построения магического квадрата в случае, когда латинские квадраты записаны в нетрадиционном виде, будет такой:

 

c_ij = n*(a_ij – 1) + b_ij

 

Если поменять латинские квадраты местами, то формула примет вид:

 

c_ij = n*(b_ij – 1) + a_ij

 

А теперь покажу составление пары диагональных ОЛК 25-го порядка методом составных квадратов. Порядок 25 является нечётным порядком не кратным 3, для таких порядков в предыдущих частях статьи показаны две схемы составления пар диагональных ОЛК. Таким образом, это будет уже третья схема.

В качестве исходной пары ОЛК 5-го порядка возьмём следующую пару (рис. 5):

 

 

Рис. 5

 

Обратите внимание: латинские квадраты в этой паре ассоциативные и пандиагональные, если смотреть на них как на нетрадиционные магические квадраты. Специально выбрана такая пара ОЛК, чтобы составить пару диагональных ОЛК 25-го порядка, обладающих такими же свойствами. Понятно, что из такой пары ОЛК построится идеальный магический квадрат.

Я буду использовать для построения обоих латинских квадратов 25-го порядка одну и ту же пару ОЛК 5-го порядка, только при построении второго латинского квадрата базовый и основной квадраты меняются ролями. При построении первого латинского квадрата базовым квадратом служит квадрат, изображённый на рис. 5 справа, понятно, что квадрат, изображённый на рис. 5 слева, служит основным. На рис. 6 вы видите готовый латинский квадрат 25-го порядка.

 

 

Рис. 6

 

Этот  диагональный латинский квадрат является нетрадиционным магическим квадратом с магической константой 325, который обладает свойствами ассоциативности и пандиагональности.

Теперь меняю ролями базовый и основной квадраты в той же паре ОЛК 5-го порядка  с рис. 5 и получаю второй латинский квадрат, который, конечно, ортогонален латинскому квадрату с рис. 6 и обладает такими же свойствами. Вы видите этот квадрат на рис. 7.

 

 

Рис. 7

 

Ввожу оба построенных латинских квадрата в программу проверки ортогональности. Программа подтверждает ортогональность квадратов и строит из этой пары ОЛК идеальный магический квадрат, который изображён  на рис. 8.

 

 

Рис. 8

 

Посмотрите, как интересно расположилась в этом идеальном магическом квадрате начальная цепочка (она выделена жёлтым цветом).

 

Поскольку не существует пар ортогональных диагональных латинских квадратов для порядков 2, 3 и 6, под метод составных квадратов для пар диагональных ОЛК попадает очень мало порядков. Например, в первой полусотне это будут такие порядки: 16, 20, 25, 28, 32, 35, 36, 40, 44, 45, 48, 49, 50. Для построения пары диагональных ОЛК 48 порядка нужна пара диагональных ОЛК 12-го порядка, которая теоретически существует, но мне пока неизвестна. Для всех остальных перечисленных порядков я могу построить пару диагональных ОЛК методом составных квадратов. Здесь уже показано составление пар диагональных ОЛК для порядков 20 и 25. Покажу ещё один пример – для порядка 28. Выберу такую пару диагональных ОЛК 4-го порядка, которая даёт пандиагональный магический квадрат, и пару диагональных ОЛК 7-го порядка, дающую идеальный магический квадрат. В результате должна построиться пара диагональных ОЛК 28-го порядка, которая даст пандиагональный магический квадрат. На рис. 9 изображена пара диагональных ОЛК 4-го порядка, на рис. 10 – пара диагональных ОЛК 7-го порядка.

 

 

Рис. 9

 

 

 

Рис. 10

 

Понятно, что удобнее базовым квадратом выбрать квадрат 4-го порядка, а основным – квадрат 7-го порядка. Можно, конечно, сделать и наоборот. Поскольку матрица 28х28 очень большая, буду делать её из двух частей по 14 столбцов в каждой части. На рис. 11 – 12 изображён первый латинский квадрат 28-го порядка.

 

Первый латинский квадрат 28-го порядка – часть 1