Н. Макарова
ГРУППЫ ВЗАИМНО ОРТОГОНАЛЬНЫХ ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ
Mutually Orthogonal Latin Squares (MOLS)
Часть II
Данная страница является продолжением страницы
http://www.natalimak1.narod.ru/grolk.htm
В предыдущей части статьи отмечено, что для порядков, являющихся простым числом или степенью простого числа, группы взаимно ортогональных латинских квадратов можно составлять в пакете математических программ Maple. У меня на компьютере не установлен этот пакет программ, но один виртуальный знакомый любезно согласился мне помочь. Мы с ним установили, что для составления группы взаимно ортогональных латинских квадратов используется команда MOLS(p,m,n), где параметры команды имеют следующее значение: p – простое число, m – показатель степени числа p, n – количество квадратов в группе, которое мы хотим получить. Например, команда MOLS(2,3,7) составит группу из 7 взаимно ортогональных латинских квадратов порядка 2^3 = 8.
Как уже знают читатели, для любого порядка n, являющегося простым числом или степенью простого числа, группа взаимно ортогональных латинских квадратов состоит из n-1 квадрата.
В предыдущей части статьи были рассмотрены группы MOLS для порядков от 3 до 20. Было сказано, что для порядков 11, 13, 17 и 19 легко составить группу MOLS, так как эти порядки являются простыми числами. Сначала я попробовала составить группу MOLS 11-го порядка без помощи Maple по аналогии с группой MOLS 7-го порядка. Всё действительно очень просто. В первой строке всех квадратов группы находится тождественная перестановка чисел 0, 1, … 10. Каждая строка в квадратах группы, начиная со второй, получается циклическим сдвигом предыдущей строки с постоянным шагом; для каждого квадрата этот шаг свой. Попросив затем товарища составить три первых квадрата этой группы, я сравнила их с построенными мной квадратами. Они оказались совершенно одинаковыми. Для построения трёх MOLS 11-го порядка надо использовать команду MOLS(11,1,3). Если же вы хотите составить группу MOLS 11-го порядка полностью, то надо использовать команду MOLS(11,1,10).
Далее я показываю всю группу MOLS 11-го порядка, состоящую из 10 квадратов (рис. 1). В двух первых квадратах раскраской показан циклический сдвиг строк. В первом квадрате сдвиг выполняется с шагом 1, а во втором квадрате – с шагом 2. В следующих квадратах группы циклический сдвиг выполняется соответственно с шагами 3, 4, 5, … 10.
Квадрат № 1 Квадрат № 2
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
|
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
|
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
|
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
Квадрат № 3 Квадрат № 4
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
|
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
|
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
Квадрат № 5 Квадрат № 6
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
|
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
|
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
|
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
Квадрат № 7 Квадрат № 8
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
|
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
Квадрат № 9 Квадрат № 10
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
|
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
|
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
Рис. 1
Очевидно, что все квадраты группы получаются друг из друга перестановкой строк. В группе только два не диагональных латинских квадрата – квадрат № 1 и квадрат № 10, все остальные квадраты диагональные.
Итак, читатели убедились в том, что для порядков, являющихся простым числом, легко составить группу MOLS даже без помощи пакета Maple.
Теперь рассмотрим порядок 16, который является степенью простого числа 2. С этим порядком всё несколько сложнее. В первой части статьи показана пара ортогональных диагональных латинских квадратов 16-го порядка, построенная мной по аналогии с ортогональными латинскими квадратами 8-го порядка. Эту пару я использовала для построения магического квадрата. Сейчас я попробовала составить группу MOLS 16-го порядка. Понятно, что эта группа должна состоять из 15 латинских квадратов. Сначала я составила первый не диагональный латинский квадрат по аналогии с первым не диагональным латинским квадратом 8-го порядка. Этот квадрат у меня получился сразу. Вы видите его на рис. 2.
Квадрат № 1
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
1 |
0 |
3 |
2 |
5 |
4 |
7 |
6 |
9 |
8 |
11 |
10 |
13 |
12 |
15 |
14 |
2 |
3 |
0 |
1 |
6 |
7 |
4 |
5 |
10 |
11 |
8 |
9 |
14 |
15 |
12 |
13 |
3 |
2 |
1 |
0 |
7 |
6 |
5 |
4 |
11 |
10 |
9 |
8 |
15 |
14 |
13 |
12 |
4 |
5 |
6 |
7 |
0 |
1 |
2 |
3 |
12 |
13 |
14 |
15 |
8 |
9 |
10 |
11 |
5 |
4 |
7 |
6 |
1 |
0 |
3 |
2 |
13 |
12 |
15 |
14 |
9 |
8 |
11 |
10 |
6 |
7 |
4 |
5 |
2 |
3 |
0 |
1 |
14 |
15 |
12 |
13 |
10 |
11 |
8 |
9 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
15 |
14 |
13 |
12 |
11 |
10 |
9 |
8 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
9 |
8 |
11 |
10 |
13 |
12 |
15 |
14 |
1 |
0 |
3 |
2 |
5 |
4 |
7 |
6 |
10 |
11 |
8 |
9 |
14 |
15 |
12 |
13 |
2 |
3 |
0 |
1 |
6 |
7 |
4 |
5 |
11 |
10 |
9 |
8 |
15 |
14 |
13 |
12 |
3 |
2 |
1 |
0 |
7 |
6 |
5 |
4 |
12 |
13 |
14 |
15 |
8 |
9 |
10 |
11 |
4 |
5 |
6 |
7 |
0 |
1 |
2 |
3 |
13 |
12 |
15 |
14 |
9 |
8 |
11 |
10 |
5 |
4 |
7 |
6 |
1 |
0 |
3 |
2 |
14 |
15 |
12 |
13 |
10 |
11 |
8 |
9 |
6 |
7 |
4 |
5 |
2 |
3 |
0 |
1 |
15 |
14 |
13 |
12 |
11 |
10 |
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
Рис. 2
Закономерности составления этого латинского квадрата очевидны. Без труда можно составить аналогичный не диагональный латинский квадрат для любого порядка, являющегося степенью числа 2. Это единственный не диагональный латинский квадрат в группе, все остальные квадраты диагональные. И в группе MOLS 8-го порядка тоже всего один латинский квадрат не диагональный, как, впрочем, и в группе MOLS 4-го порядка. Все эти группы показаны в предыдущей части статьи.
Далее я с удивлением обнаружила, что латинские квадраты составленной мной прежде пары ОЛК не ортогональны латинскому квадрату, показанному на рис. 2. Тогда попыталась составить латинские квадраты, ортогональные квадрату с рис. 2, а также попарно ортогональные между собой. Смогла составить только четыре таких латинских квадрата. Эти квадраты вы видите на рис. 3 – 6. Посмотрите, какая интересная симметрия в квадрате на рис. 3. Определённая симметрия есть и в других квадратах.
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
15 |
14 |
13 |
12 |
11 |
10 |
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
4 |
5 |
6 |
7 |
0 |
1 |
2 |
3 |
12 |
13 |
14 |
15 |
8 |
9 |
10 |
11 |
11 |
10 |
9 |
8 |
15 |
14 |
13 |
12 |
3 |
2 |
1 |
0 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
7 |
6 |
5 |
4 |
11 |
10 |
9 |
8 |
15 |
14 |
13 |
12 |
12 |
13 |
14 |
15 |
8 |
9 |
10 |
11 |
4 |
5 |
6 |
7 |
0 |
1 |
2 |
3 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
15 |
14 |
13 |
12 |
11 |
10 |
9 |
8 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
10 |
11 |
8 |
9 |
14 |
15 |
12 |
13 |
2 |
3 |
0 |
1 |
6 |
7 |
4 |
5 |
5 |
4 |
7 |
6 |
1 |
0 |
3 |
2 |
13 |
12 |
15 |
14 |
9 |
8 |
11 |
10 |
14 |
15 |
12 |
13 |
10 |
11 |
8 |
9 |
6 |
7 |
4 |
5 |
2 |
3 |
0 |
1 |
1 |
0 |
3 |
2 |
5 |
4 |
7 |
6 |
9 |
8 |
11 |
10 |
13 |
12 |
15 |
14 |
9 |
8 |
11 |
10 |
13 |
12 |
15 |
14 |
1 |
0 |
3 |
2 |
5 |
4 |
7 |
6 |
6 |
7 |
4 |
5 |
2 |
3 |
0 |
1 |
14 |
15 |
12 |
13 |
10 |
11 |
8 |
9 |
13 |
12 |
15 |
14 |
9 |
8 |
11 |
10 |
5 |
4 |
7 |
6 |
1 |
0 |
3 |
2 |
2 |
3 |
0 |
1 |
6 |
7 |
4 |
5 |
10 |
11 |
8 |
9 |
14 |
15 |
12 |
13 |
Рис. 3
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
14 |
15 |
12 |
13 |
10 |
11 |
8 |
9 |
6 |
7 |
4 |
5 |
2 |
3 |
0 |
1 |
6 |
7 |
4 |
5 |
2 |
3 |
0 |
1 |
14 |
15 |
12 |
13 |
10 |
11 |
8 |
9 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
15 |
14 |
13 |
12 |
11 |
10 |
9 |
8 |
9 |
8 |
11 |
10 |
13 |
12 |
15 |
14 |
1 |
0 |
3 |
2 |
5 |
4 |
7 |
6 |
1 |
0 |
3 |
2 |
5 |
4 |
7 |
6 |
9 |
8 |
11 |
10 |
13 |
12 |
15 |
14 |
15 |
14 |
13 |
12 |
11 |
10 |
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
2 |
3 |
0 |
1 |
6 |
7 |
4 |
5 |
10 |
11 |
8 |
9 |
14 |
15 |
12 |
13 |
12 |
13 |
14 |
15 |
8 |
9 |
10 |
11 |
4 |
5 |
6 |
7 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
0 |
1 |
2 |
3 |
12 |
13 |
14 |
15 |
8 |
9 |
10 |
11 |
10 |
11 |
8 |
9 |
14 |
15 |
12 |
13 |
2 |
3 |
0 |
1 |
6 |
7 |
4 |
5 |
5 |
4 |
7 |
6 |
1 |
0 |
3 |
2 |
13 |
12 |
15 |
14 |
9 |
8 |
11 |
10 |
11 |
10 |
9 |
8 |
15 |
14 |
13 |
12 |
3 |
2 |
1 |
0 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
7 |
6 |
5 |
4 |
11 |
10 |
9 |
8 |
15 |
14 |
13 |
12 |
13 |
12 |
15 |
14 |
9 |
8 |
11 |
10 |
5 |
4 |
7 |
6 |
1 |
0 |
3 |
2 |
Рис. 4
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
11 |
10 |
9 |
8 |
15 |
14 |
13 |
12 |
3 |
2 |
1 |
0 |
7 |
6 |
5 |
4 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
15 |
14 |
13 |
12 |
11 |
10 |
9 |
8 |
12 |
13 |
14 |
15 |
8 |
9 |
10 |
11 |
4 |
5 |
6 |
7 |
0 |
1 |
2 |
3 |
9 |
8 |
11 |
10 |
13 |
12 |
15 |
14 |
1 |
0 |
3 |
2 |
5 |
4 |
7 |
6 |
2 |
3 |
0 |
1 |
6 |
7 |
4 |
5 |
10 |
11 |
8 |
9 |
14 |
15 |
12 |
13 |
14 |
15 |
12 |
13 |
10 |
11 |
8 |
9 |
6 |
7 |
4 |
5 |
2 |
3 |
0 |
1 |
5 |
4 |
7 |
6 |
1 |
0 |
3 |
2 |
13 |
12 |
15 |
14 |
9 |
8 |
11 |
10 |
1 |
0 |
3 |
2 |
5 |
4 |
7 |
6 |
9 |
8 |
11 |
10 |
13 |
12 |
15 |
14 |
10 |
11 |
8 |
9 |
14 |
15 |
12 |
13 |
2 |
3 |
0 |
1 |
6 |
7 |
4 |
5 |
6 |
7 |
4 |
5 |
2 |
3 |
0 |
1 |
14 |
15 |
12 |
13 |
10 |
11 |
8 |
9 |
13 |
12 |
15 |
14 |
9 |
8 |
11 |
10 |
5 |
4 |
7 |
6 |
1 |
0 |
3 |
2 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
3 |
2 |
1 |
0 |
7 |
6 |
5 |
4 |
11 |
10 |
9 |
8 |
15 |
14 |
13 |
12 |
15 |
14 |
13 |
12 |
11 |
10 |
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
4 |
5 |
6 |
7 |
0 |
1 |
2 |
3 |
12 |
13 |
14 |
15 |
8 |
9 |
10 |
11 |
Рис. 5
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
10 |
11 |
8 |
9 |
14 |
15 |
12 |
13 |
2 |
3 |
0 |
1 |
6 |
7 |
4 |
5 |
5 |
4 |
7 |
6 |
1 |
0 |
3 |
2 |
13 |
12 |
15 |
14 |
9 |
8 |
11 |
10 |
15 |
14 |
13 |
12 |
11 |
10 |
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
13 |
12 |
15 |
14 |
9 |
8 |
11 |
10 |
5 |
4 |
7 |
6 |
1 |
0 |
3 |
2 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
15 |
14 |
13 |
12 |
11 |
10 |
9 |
8 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
2 |
3 |
0 |
1 |
6 |
7 |
4 |
5 |
10 |
11 |
8 |
9 |
14 |
15 |
12 |
13 |
9 |
8 |
11 |
10 |
13 |
12 |
15 |
14 |
1 |
0 |
3 |
2 |
5 |
4 |
7 |
6 |
3 |
2 |
1 |
0 |
7 |
6 |
5 |
4 |
11 |
10 |
9 |
8 |
15 |
14 |
13 |
12 |
12 |
13 |
14 |
15 |
8 |
9 |
10 |
11 |
4 |
5 |
6 |
7 |
0 |
1 |
2 |
3 |
6 |
7 |
4 |
5 |
2 |
3 |
0 |
1 |
14 |
15 |
12 |
13 |
10 |
11 |
8 |
9 |
4 |
5 |
6 |
7 |
0 |
1 |
2 |
3 |
12 |
13 |
14 |
15 |
8 |
9 |
10 |
11 |
14 |
15 |
12 |
13 |
10 |
11 |
8 |
9 |
6 |
7 |
4 |
5 |
2 |
3 |
0 |
1 |
1 |
0 |
3 |
2 |
5 |
4 |
7 |
6 |
9 |
8 |
11 |
10 |
13 |
12 |
15 |
14 |
11 |
10 |
9 |
8 |
15 |
14 |
13 |
12 |
3 |
2 |
1 |
0 |
7 |
6 |
5 |
4 |
Рис. 6
Обратите внимание: все квадраты в этой группе тоже получаются друг из друга перестановкой строк. Дальше я продвинуться не смогла. Разумеется, можно выполнить программу перестановки строк, например, в латинском квадрате с рис. 2, и найти таким образом все оставшиеся 14 квадратов группы, но такая программа будет выполняться очень долго. Тогда я попросила товарища составить группу MOLS 16-го порядка в Maple. Получив от него эту группу, я увидела, что первый латинский квадрат точно такой же, как на рис. 2. Все остальные квадраты отличаются от построенных мной квадратов. Покажу всю группу MOLS 16-го порядка, составленную в Maple (рис. 7 – 20). Начинаю с квадрата № 2, так как квадрат № 1 уже показан выше (см. рис. 2).
Квадрат № 2
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
2 |
3 |
0 |
1 |
6 |
7 |
4 |
5 |
10 |
11 |
8 |
9 |
14 |
15 |
12 |
13 |
4 |
5 |
6 |
7 |
0 |
1 |
2 |
3 |
12 |
13 |
14 |
15 |
8 |
9 |
10 |
11 |
6 |
7 |
4 |
5 |
2 |
3 |
0 |
1 |
14 |
15 |
12 |
13 |
10 |
11 |
8 |
9 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
10 |
11 |
8 |
9 |
14 |
15 |
12 |
13 |
2 |
3 |
0 |
1 |
6 |
7 |
4 |
5 |
12 |
13 |
14 |
15 |
8 |
9 |
10 |
11 |
4 |
5 |
6 |
7 |
0 |
1 |
2 |
3 |
14 |
15 |
12 |
13 |
10 |
11 |
8 |
9 |
6 |
7 |
4 |
5 |
2 |
3 |
0 |
1 |
3 |
2 |
1 |
0 |
7 |
6 |
5 |
4 |
11 |
10 |
9 |
8 |
15 |
14 |
13 |
12 |
1 |
0 |
3 |
2 |
5 |
4 |
7 |
6 |
9 |
8 |
11 |
10 |
13 |
12 |
15 |
14 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
15 |
14 |
13 |
12 |
11 |
10 |
9 |
8 |
5 |
4 |
7 |
6 |
1 |
0 |
3 |
2 |
13 |
12 |
15 |
14 |
9 |
8 |
11 |
10 |
11 |
10 |
9 |
8 |
15 |
14 |
13 |
12 |
3 |
2 |
1 |
0 |
7 |
6 |
5 |
4 |
9 |
8 |
11 |
10 |
13 |
12 |
15 |
14 |
1 |
0 |
3 |
2 |
5 |
4 |
7 |
6 |
15 |
14 |
13 |
12 |
11 |
10 |
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
13 |
12 |
15 |
14 |
9 |
8 |
11 |
10 |
5 |
4 |
7 |
6 |
1 |
0 |
3 |
2 |
Рис. 7
Квадрат № 3
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
3 |
2 |
1 |
0 |
7 |
6 |
5 |
4 |
11 |
10 |
9 |
8 |
15 |
14 |
13 |
12 |
6 |
7 |
4 |
5 |
2 |
3 |
0 |
1 |
14 |
15 |
12 |
13 |
10 |
11 |
8 |
9 |
5 |
4 |
7 |
6 |
1 |
0 |
3 |
2 |
13 |
12 |
15 |
14 |
9 |
8 |
11 |
10 |
12 |
13 |
14 |
15 |
8 |
9 |
10 |
11 |
4 |
5 |
6 |
7 |
0 |
1 |
2 |
3 |
15 |
14 |
13 |
12 |
11 |
10 |
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
10 |
11 |
8 |
9 |
14 |
15 |
12 |
13 |
2 |
3 |
0 |
1 |
6 |
7 |
4 |
5 |
9 |
8 |
11 |
10 |
13 |
12 |
15 |
14 |
1 |
0 |
3 |
2 |
5 |
4 |
7 |
6 |
11 |
10 |
9 |
8 |
15 |
14 |
13 |
12 |
3 |
2 |
1 |
0 |
7 |
6 |
5 |
4 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
13 |
12 |
15 |
14 |
9 |
8 |
11 |
10 |
5 |
4 |
7 |
6 |
1 |
0 |
3 |
2 |
14 |
15 |
12 |
13 |
10 |
11 |
8 |
9 |
6 |
7 |
4 |
5 |
2 |
3 |
0 |
1 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
15 |
14 |
13 |
12 |
11 |
10 |
9 |
8 |
4 |
5 |
6 |
7 |
0 |
1 |
2 |
3 |
12 |
13 |
14 |
15 |
8 |
9 |
10 |
11 |
1 |
0 |
3 |
2 |
5 |
4 |
7 |
6 |
9 |
8 |
11 |
10 |
13 |
12 |
15 |
14 |
2 |
3 |
0 |
1 |
6 |
7 |
4 |
5 |
10 |
11 |
8 |
9 |
14 |
15 |
12 |
13 |
Рис. 8
Квадрат № 4
0 |
1 |
2 |
3 |