Н. Макарова
ГРУППЫ ВЗАИМНО ОРТОГОНАЛЬНЫХ ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ НЕЧЁТНОГО ПОРЯДКА
или
НОВЫЕ АСПЕКТЫ МЕТОДА ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ
Часть VII
Данная страница является продолжением страницы
http://www.natalimak1/narod.ru/grolk2.htm
а также цикла статей “Новые аспекты метода латинских квадратов”.
В предыдущих частях настоящей статьи рассматривались в основном группы взаимно ортогональных латинских квадратов чётного порядка, хотя и квадратам нечётного порядка было уделено внимание. Здесь я хочу остановиться подробнее на латинских квадратах нечётного порядка, в особенности с точки зрения применения пар ОЛК для построения магических квадратов.
Среди всех нечётных порядков можно рассматривать такие группы порядков:
1) порядки, являющиеся простым числом или степенью простого числа;
2) порядки не кратные 3;
3) порядки кратные 3;
4) порядки, для которых работает метод составных квадратов.
Понятно, что эти группы могут пересекаться, то есть существуют порядки, принадлежащие одновременно двум или даже трём группам. Например, порядок 27 принадлежит сразу трём группам – 1, 3 и 4. Кроме того, группа № 3 полностью входит в группу № 4. В самом деле, если нечётный порядок n кратен 3, то его можно представить так: n = 3*k, где k – нечётное число (разумеется, не имеет смысла рассматривать тривиальный случай k = 1). Понятно, что в таком случае для порядка n работает метод составных квадратов.
Наибольший интерес представляет группа № 3. Первый порядок в этой группе – 9. Понятно, что этот порядок принадлежит также группе № 1. Как уже знают читатели, группа взаимно ортогональных латинских квадратов 9-го порядка полная и состоит из восьми квадратов. Эту группу можно составить в пакете Maple. Она уже была показана в одной из предыдущих частей статьи.
Однако интересно показать пары ОЛК 9-го порядка, которые позволяют построить ассоциативные и идеальные магические квадраты. Именно этот вопрос очень занимал меня, когда я рассматривала построение идеальных магических квадратов 9-го порядка методом латинских квадратов. Мне не сразу удалось найти способ составления такой пары ОЛК, из которой можно было бы построить идеальный магический квадрат. Я шла от известных идеальных квадратов, построенных методом качелей, раскладывая их на два ортогональных латинских квадрата.
Сначала покажу пару ОЛК 9-го порядка, из которой можно построить ассоциативный магический квадрат (рис. 1 – 2)
(копирую из статьи http://www.klassikpoez.narod.ru/idlat.htm ).
0 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
2 |
1 |
0 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
8 |
7 |
6 |
5 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
8 |
7 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
1 |
0 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
3 |
2 |
1 |
0 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
8 |
7 |
6 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
8 |
Рис. 1
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
8 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
8 |
7 |
6 |
3 |
2 |
1 |
0 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
1 |
0 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
8 |
7 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
8 |
7 |
6 |
5 |
2 |
1 |
0 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
0 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
Рис. 2
Первый латинский квадрат строится очень просто (см. подробно в указанной статье), а второй латинский квадрат получается из первого отражением относительно горизонтальной оси симметрии.
А теперь показываю пару ОЛК, из которой строится идеальный магический квадрат (рис. 3 - 4) (копирую из той же самой статьи):
0 |
8 |
2 |
5 |
1 |
4 |
7 |
3 |
6 |
3 |
6 |
0 |
8 |
2 |
5 |
1 |
4 |
7 |
4 |
7 |
3 |
6 |
0 |
8 |
2 |
5 |
1 |
5 |
1 |
4 |
7 |
3 |
6 |
0 |
8 |
2 |
8 |
2 |
5 |
1 |
4 |
7 |
3 |
6 |
0 |
6 |
0 |
8 |
2 |
5 |
1 |
4 |
7 |
3 |
7 |
3 |
6 |
0 |
8 |
2 |
5 |
1 |
4 |
1 |
4 |
7 |
3 |
6 |
0 |
8 |
2 |
5 |
2 |
5 |
1 |
4 |
7 |
3 |
6 |
0 |
8 |
Рис. 3
2 |
5 |
1 |
4 |
7 |
3 |
6 |
0 |
8 |
1 |
4 |
7 |
3 |
6 |
0 |
8 |
2 |
5 |
7 |
3 |
6 |
0 |
8 |
2 |
5 |
1 |
4 |
6 |
0 |
8 |
2 |
5 |
1 |
4 |
7 |
3 |
8 |
2 |
5 |
1 |
4 |
7 |
3 |
6 |
0 |
5 |
1 |
4 |
7 |
3 |
6 |
0 |
8 |
2 |
4 |
7 |
3 |
6 |
0 |
8 |
2 |
5 |
1 |
3 |
6 |
0 |
8 |
2 |
5 |
1 |
4 |
7 |
0 |
8 |
2 |
5 |
1 |
4 |
7 |
3 |
6 |
Рис. 4
В этой паре тоже второй латинский квадрат получается из первого отражением относительно горизонтальной оси симметрии. В первом латинском квадрате точно так же каждая следующая строка получается из предыдущей циклическим сдвигом с постоянным шагом. Всё отличие от предыдущего примера только в первой строке первого латинского квадрата. Вот эта строка и определяется циклами качания качелей в методе качелей, с помощью которого я строила сначала идеальные магические квадраты.
Далее мной было получено ещё много пар ОЛК, которые дают идеальные магические квадраты 9-го порядка. Смотрите подробно об этом статью http://www.natalimak1.narod.ru/id9new.htm
Были составлены и пары ортогональных обобщённых латинских квадратов. Вот один пример из указанной статьи (рис. 5 – 6):
0 |
4 |
8 |
7 |
6 |
3 |
5 |
2 |
1 |
5 |
2 |
1 |
0 |
4 |
8 |
7 |
6 |
3 |
7 |
6 |
3 |
5 |
2 |
1 |
0 |
4 |
8 |
0 |
4 |
8 |
7 |
6 |
3 |
5 |
2 |
1 |
5 |
2 |
1 |
0 |
4 |
8 |
7 |
6 |
3 |
7 |
6 |
3 |
5 |
2 |
1 |
0 |
4 |
8 |
0 |
4 |
8 |
7 |
6 |
3 |
5 |
2 |
1 |
5 |
2 |
1 |
0 |
4 |
8 |
7 |
6 |
3 |
7 |
6 |
3 |
5 |
2 |
1 |
0 |
4 |
8 |
Рис. 5
0 |
5 |
7 |
0 |
5 |
7 |
0 |
5 |
7 |
4 |
2 |
6 |
4 |
2 |
6 |
4 |
2 |
6 |
8 |
1 |
3 |
8 |
1 |
3 |
8 |
1 |
3 |
7 |
0 |
5 |
7 |
0 |
5 |
7 |
0 |
5 |
6 |
4 |
2 |
6 |
4 |
2 |
6 |
4 |
2 |
3 |
8 |
1 |
3 |
8 |
1 |
3 |
8 |
1 |
5 |
7 |
0 |
5 |
7 |
0 |
5 |
7 |
0 |
2 |
6 |
4 |
2 |
6 |
4 |
2 |
6 |
4 |
1 |
3 |
8 |
1 |
3 |
8 |
1 |
3 |
8 |
Рис. 6
А это идеальный магический квадрат, построенный из данной пары ОЛК (рис. 7):
1 |
42 |
80 |
64 |
60 |
35 |
46 |
24 |
17 |
50 |
21 |
16 |
5 |
39 |
79 |
68 |
57 |
34 |
72 |
56 |
31 |
54 |
20 |
13 |
9 |
38 |
76 |
8 |
37 |
78 |
71 |
55 |
33 |
53 |
19 |
15 |
52 |
23 |
12 |
7 |
41 |
75 |
70 |
59 |
30 |
67 |
63 |
29 |
49 |
27 |
11 |
4 |
45 |
74 |
6 |
44 |
73 |
69 |
62 |
28 |
51 |
26 |
10 |
48 |
25 |
14 |
3 |
43 |
77 |
66 |
61 |
32 |
65 |
58 |
36 |
47 |
22 |
18 |
2 |
40 |
81 |
Рис. 7
Замечу, что в этом идеальном квадрате начальная цепочка не строится ходом шахматного коня. Однако для этого квадрата действует метод качелей.
Совсем недавно на форуме dxdy.ru выложили очень интересный цикл статей “Анатомия магических квадратов” из журнала “Recreational Mathematics”. Этот цикл статей относится к 1938 – 1945 гг. Жаль, что статьи написаны по-английски. Но мне всё равно кое-что удалось понять. И вот перед вами картина построения пары ОЛК 9-го порядка, которая даёт идеальные магические квадраты (рис. 8):
Рис. 8
Вот она – та самая пара ОЛК 9-го порядка, которую я так долго искала! И для построения этой пары не нужен ни метод качелей, ни метод цепей. Она строится сама по себе, без всяких подсказок.
На иллюстрации написано, что магический квадрат можно построить двумя способами: либо по формуле A + 9B, либо по формуле 9А + B. Это понятно, мы знаем, что латинские квадраты можно менять местами в формуле для построения магического квадрата.
Обратите внимание: в первом латинском квадрате каждая следующая строка получается из предыдущей циклическим сдвигом с постоянным шагом, а второй латинский квадрат получается из первого отражением относительно вертикальной оси симметрии.
На рис. 9 показан один идеальный магический квадрат, построенный из данной пары ОЛК.
3 |
15 |
68 |
76 |
61 |
36 |
44 |
47 |
19 |
34 |
45 |
53 |
20 |
1 |
12 |
69 |
77 |
58 |
10 |
66 |
78 |
59 |
31 |
43 |
54 |
26 |
2 |
40 |
52 |
27 |
8 |
11 |
64 |
75 |
60 |
32 |
65 |
73 |
57 |
33 |
41 |
49 |
25 |
9 |
17 |
50 |
22 |
7 |
18 |
71 |
74 |
55 |
30 |
42 |
80 |
56 |
28 |
39 |
51 |
23 |
4 |
16 |
72 |
24 |
5 |
13 |
70 |
81 |
62 |
29 |
37 |
48 |
63 |
35 |
38 |
46 |
21 |
6 |
14 |
67 |
79 |
Рис. 9
В этом идеальном квадрате начальная цепочка имеет форму “ход конём”.
Забегая вперёд, я посмотрела, как строится в цикле статей второй латинский квадрат в паре ОЛК 15-го порядка, и точно так же построила второй латинский квадрат 9-го порядка (в журнале этот вариант не приведён). Этот латинский квадрат тоже ортогонален латинскому квадрату А, изображённому на иллюстрации из журнала. Вы видите этот латинский квадрат на рис. 10.
0 |
3 |
4 |
5 |
8 |
6 |
7 |
1 |
2 |
8 |
6 |
7 |
1 |
2 |
0 |
3 |
4 |
5 |
2 |
0 |
3 |
4 |
5 |
8 |
6 |
7 |
1 |
5 |
8 |
6 |
7 |
1 |
2 |
0 |
3 |
4 |
1 |
2 |
0 |
3 |
4 |
5 |
8 |
6 |
7 |
4 |
5 |
8 |
6 |
7 |
1 |
2 |
0 |
3 |
7 |
1 |
2 |
0 |
3 |
4 |
5 |
8 |
6 |
3 |
4 |
5 |
8 |
6 |
7 |
1 |
2 |
0 |
6 |
7 |
1 |
2 |
0 |
3 |
4 |
5 |
8 |
Рис. 10
Мы имеем ещё одну пару ОЛК (квадрат А с рис. 8 и квадрат с рис. 10), из которой можем построить два новых идеальных магических квадрата. Один из этих магических квадратов показан на рис. 11.
1 |
13 |
68 |
78 |
63 |
34 |
44 |
47 |
21 |
36 |
43 |
53 |
20 |
3 |
10 |
67 |
77 |
60 |
12 |
64 |
76 |
59 |
33 |
45 |
52 |
26 |
2 |
42 |
54 |
25 |
8 |
11 |
66 |
73 |
58 |
32 |
65 |
75 |
55 |
31 |
41 |
51 |
27 |
7 |
17 |
50 |
24 |
9 |
16 |
71 |
74 |
57 |
28 |
40 |
80 |
56 |
30 |
37 |
49 |
23 |
6 |
18 |
70 |
22 |
5 |
15 |
72 |
79 |
62 |
29 |
39 |
46 |
61 |
35 |
38 |
48 |
19 |
4 |
14 |
69 |
81 |
Рис. 11
Следующий порядок в рассматриваемой группе – 15. Этот тот самый порядок, для которого построение идеального магического квадрата очень долго не удавалось выполнить.
Г. Александров сделал это в конце 2007 г. методом цепей, а мне удалась построить идеальные магические квадраты 15-го порядка несколько позже методом качелей. При этом Александров получил идеальные магические квадраты только с начальной цепочкой “ход конём”, а методом качелей строятся ещё идеальные магические квадраты с другой формой начальной цепочки.
Неверно говорить, что Александров первым в мире построил идеальный магический квадрат 15-го порядка, как об этом написано на некоторых форумах. В указанном цикле статей (стр. 206, фигура 11) приведена пара ОЛК 15-го порядка, из которой можно построить идеальный магический квадрат. Я уже показала эту пару в предыдущей части статьи, поэтому не буду дублировать её здесь. Как уже было сказано, указанный цикл статей относится к 1938 – 1945 гг. Таким образом, первый идеальный магический квадрат 15-го порядка был построен в первой половине XX века, а не в 2007 г.
Была показана и пара ОЛК, полученная мной из готового идеального квадрата, построенного методом качелей. Покажу здесь пару ОЛК 15-го порядка, из которой строится ассоциативный магический квадрат, аналогичная пара ОЛК 9-го порядка показана выше (см. рис. 1 – 2). Первый латинский квадрат этой пары составляется очень просто, второй латинский квадрат получается из первого отражением относительно горизонтальной оси симметрии. Смотрите эту пару ОЛК на рис. 12 – 13.
0 |
14 |
13 |
12 |
11 |
10 |
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
2 |
1 |
0 |
14 |
13 |
12 |
11 |
10 |
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
14 |
13 |
12 |
11 |
10 |
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
14 |
13 |
12 |
11 |
10 |
9 |
8 |
7 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
14 |
13 |
12 |
11 |
10 |
9 |
10 |
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
14 |
13 |
12 |
11 |
12 |
11 |
10 |
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
14 |
13 |
14 |
13 |
12 |
11 |
10 |
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
1 |
0 |
14 |
13 |
12 |
11 |
10 |
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
3 |
2 |
1 |
0 |
14 |
13 |
12 |
11 |
10 |
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
14 |
13 |
12 |
11 |
10 |
9 |
8 |
7 |
6 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
14 |
13 |
12 |
11 |
10 |
9 |
8 |
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
14 |
13 |
12 |
11 |
10 |
11 |
10 |
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
14 |
13 |
12 |
13 |
12 |
11 |
10 |
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
14 |
Рис. 12
13 |
12 |
11 |
10 |
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
14 |
11 |
10 |
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
14 |
13 |
12 |
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
14 |
13 |
12 |
11 |
10 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
14 |
13 |
12 |
11 |
10 |
9 |
8 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
14 |
13 |
12 |
11 |
10 |
9 |
8 |
7 |
6 |
3 |
2 |
1 |
0 |
14 |
13 |
12 |
11 |
10 |
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
1 |
0 |
14 |
13 |
12 |
11 |
10 |
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
14 |
13 |
12 |
11 |
10 |
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
12 |
11 |
10 |
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
14 |
13 |
10 |
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
14 |
13 |
12 |
11 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
14 |
13 |
12 |
11 |
10 |
9 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
14 |
13 |
12 |
11 |
10 |
9 |
8 |
7 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
14 |
13 |
12 |
11 |
10 |
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
2 |
1 |
0 |
14 |
13 |
12 |
11 |
10 |
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
0 |
14 |
13 |
12 |
11 |
10 |
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
Рис. 13
На рис. 14 вы видите ассоциативный магический квадрат 15-го порядка, построенный из данной пары ОЛК.
14 |
223 |
207 |
191 |
175 |
159 |
143 |
127 |
111 |
95 |
79 |
63 |
47 |
31 |
30 |
42 |
26 |
10 |
219 |
203 |
187 |
171 |
155 |
139 |
123 |
107 |
91 |
90 |
74 |
58 |
70 |
54 |
38 |
22 |
6 |
215 |
199 |
183 |
167 |
151 |
150 |
134 |
118 |
102 |
86 |
98 |
82 |
66 |
50 |
34 |
18 |
2 |
211 |
210 |
194 |
178 |
162 |
146 |
130 |
114 |
126 |
110 |
94 |
78 |
62 |
46 |
45 |
29 |
13 |
222 |
206 |
190 |
174 |
158 |
142 |
154 |
138 |
122 |
106 |
105 |
89 |
73 |
57 |
41 |
25 |
9 |
218 |
202 |
186 |
170 |
182 |
166 |
165 |
149 |
133 |
117 |
101 |
85 |
69 |
53 |
37 |
21 |
5 |
214 |
198 |
225 |
209 |
193 |
177 |
161 |
145 |
129 |
113 |
97 |
81 |
65 |
49 |
33 |
17 |
1 |
28 |
12 |
221 |
205 |
189 |
173 |
157 |
141 |
125 |
109 |
93 |
77 |
61 |
60 |
44 |
56 |
40 |
24 |
8 |
217 |
201 |
185 |
169 |
153 |
137 |
121 |
120 |
104 |
88 |
72 |
84 |
68 |
52 |
36 |
20 |
4 |
213 |
197 |
181 |
180 |
164 |
148 |
132 |
116 |
100 |
112 |
96 |
80 |
64 |
48 |
32 |
16 |
15 |
224 |
208 |
192 |
176 |
160 |
144 |
128 |
140 |
124 |
108 |
92 |
76 |
75 |
59 |
43 |
27 |
11 |
220 |
204 |
188 |
172 |
156 |
168 |
152 |
136 |
135 |
119 |
103 |
87 |
71 |
55 |
39 |
23 |
7 |
216 |
200 |
184 |
196 |
195 |
179 |
163 |
147 |
131 |
115 |
99 |
83 |
67 |
51 |
35 |
19 |
3 |
212 |
Рис. 14
Понятно, что можно из данной пары построить и второй ассоциативный магический квадрат, поменяв местами латинские квадраты в формуле для построения магического квадрата.
О построении идеальных магических квадратов 15-го порядка методом латинских квадратов подробнее смотрите в статье http://www.natalimak1.narod.ru/id15new.htm (статья написана в двух частях).
Построение пары ОЛК 15-го порядка методом составных квадратов показано в одной из предыдущих частей моей серии статей об ортогональных латинских квадратах.
Наконец, математикам удалось составить группу взаимно ортогональных латинских квадратов 15-го порядка, состоящую из 4 квадратов. Мне эта группа неизвестна.
Далее мне стало очень интересно составить пару ОЛК 21-го порядка точно таким же способом, какой показан в цикле статей из журнала “Recreational Mathematics”. Для данного порядка в журнале не приводится пара ОЛК (по крайней мере, в явном виде, а в тексте, возможно, что-нибудь сказано о составлении такой пары ОЛК, но я не понимаю текст на английском языке).
Думаю, не стоит показывать пару ОЛК для построения ассоциативных магических квадратов 21-го порядка. Читатели могут самостоятельно составить такую пару по аналогии с парами ОЛК 9-го и 15-го порядков. Поэтому я сразу приступаю к составлению пары ОЛК, из которой можно построить идеальные магические квадраты. Повторяю, что делать это я буду точно так же, как в журнале построены пары ОЛК 9-го и 15-го порядков. То есть теперь я абсолютно отвлеклась от метода качелей, который раньше давал мне необходимую информацию для построения таких пар ОЛК для всех порядков рассматриваемой группы.
На рис. 15 изображён первый латинский квадрат пары ОЛК 21-го порядка.
Первый латинский квадрат 21-го порядка
0 |
1 |
8 |
7 |
6 |
14 |
13 |
12 |
19 |
20 |
18 |
3 |
4 |
5 |
9 |
10 |
11 |
15 |
16 |
17 |
2 |
3 |
4 |
5 |
9 |
10 |
11 |
15 |
16 |
17 |
2 |
0 |
1 |
8 |
7 |
6 |
14 |
13 |
12 |
19 |
20 |
18 |
1 |
8 |
7 |
6 |
14 |
13 |
12 |
19 |
20 |
18 |
3 |
4 |
5 |
9 |
10 |
11 |
15 |
16 |
17 |
2 |
0 |
4 |
5 |
9 |
10 |
11 |
15 |
16 |
17 |
2 |
0 |
1 |
8 |
7 |
6 |
14 |
13 |
12 |
19 |
20 |
18 |
3 |
8 |
7 |
6 |
14 |
13 |
12 |
19 |
20 |
18 |
3 |
4 |
5 |
9 |
10 |
11 |
15 |
16 |
17 |
2 |
0 |
1 |
5 |
9 |
10 |
11 |
15 |
16 |
17 |
2 |
0 |
1 |
8 |
7 |
6 |
14 |
13 |
12 |
19 |
20 |
18 |
3 |
4 |
7 |
6 |
14 |
13 |
12 |
19 |
20 |
18 |
3 |
4 |
5 |
9 |
10 |
11 |
15 |
16 |
17 |
2 |
0 |
1 |
8 |
9 |
10 |
11 |
15 |
16 |
17 |
2 |
0 |
1 |
8 |
7 |
6 |
14 |
13 |
12 |
19 |
20 |
18 |
3 |
4 |
5 |
6 |
14 |
13 |
12 |
19 |
20 |
18 |
3 |
4 |
5 |
9 |
10 |
11 |
15 |
16 |
17 |
2 |
0 |
1 |
8 |
7 |
10 |
11 |
15 |
16 |
17 |
2 |
0 |
1 |
8 |
7 |
6 |
14 |
13 |
12 |
19 |
20 |
18 |
3 |
4 |
5 |
9 |
14 |
13 |
12 |
19 |
20 |
18 |
3 |
4 |
5 |
9 |
10 |
11 |
15 |
16 |
17 |
2 |
0 |
1 |
8 |
7 |
6 |
11 |
15 |
16 |
17 |
2 |
0 |
1 |
8 |
7 |
6 |
14 |
13 |
12 |
19 |
20 |
18 |
3 |
4 |
5 |
9 |
10 |
13 |
12 |
19 |
20 |
18 |
3 |
4 |
5 |
9 |
10 |
11 |
15 |
16 |
17 |
2 |
0 |
1 |
8 |
7 |
6 |
14 |
15 |
16 |
17 |
2 |
0 |
1 |
8 |
7 |
6 |
14 |
13 |
12 |
19 |
20 |
18 |
3 |
4 |
5 |
9 |
10 |
11 |
12 |
19 |
20 |
18 |
3 |
4 |
5 |
9 |
10 |
11 |
15 |
16 |
17 |
2 |
0 |
1 |
8 |
7 |
6 |
14 |
13 |
16 |
17 |
2 |
0 |
1 |
8 |
7 |
6 |
14 |
13 |
12 |
19 |
20 |
18 |
3 |
4 |
5 |
9 |
10 |
11 |
15 |
19 |
20 |
18 |
3 |
4 |
5 |
9 |
10 |
11 |
15 |
16 |
17 |
2 |
0 |
1 |
8 |
7 |
6 |
14 |
13 |
12 |
17 |
2 |
0 |
1 |
8 |
7 |
6 |
14 |
13 |
12 |
19 |
20 |
18 |
3 |
4 |
5 |
9 |
10 |
11 |
15 |
16 |
20 |
18 |
3 |
4 |
5 |
9 |
10 |
11 |
15 |
16 |
17 |
2 |
0 |
1 |
8 |
7 |
6 |
14 |
13 |
12 |
19 |
2 |
0 |
1 |
8 |
7 |
6 |
14 |
13 |
12 |
19 |
20 |
18 |
3 |
4 |
5 |
9 |
10 |
11 |
15 |
16 |
17 |
18 |
3 |
4 |
5 |
9 |
10 |
11 |
15 |
16 |
17 |
2 |
0 |
1 |
8 |
7 |
6 |
14 |
13 |
12 |
19 |
20 |
Рис. 15
Закономерности составления этого латинского квадрата абсолютно прозрачны, я составила его вручную за 10 минут. Необыкновенная гармония!
Второй латинский квадрат (ортогональный соквадрат для построенного латинского квадрата) я буду составлять несколькими способами. Сначала получу второй латинский квадрат из первого отражением относительно горизонтальной оси симметрии. Не буду показывать этот латинский квадрат, покажу только один идеальный магический квадрат 21-го порядка, построенный из полученной пары ОЛК (квадрат показан в том виде, как он записан программой в файл).
19 25 173 153 136 305 285 268 416 438 381 64 86 114 197 217 246 329 349 377 63
66 85 107 198 218 238 330 350 370 62 21 40 172 152 132 304 284 264 415 437 396
42 187 151 131 300 283 263 411 436 395 81 87 106 191 219 239 322 351 371 55 20
102 108 190 212 240 323 343 372 56 13 41 189 166 130 299 279 262 410 432 394 80
188 168 145 298 278 258 409 431 390 79 101 123 192 211 233 324 344 364 57 14 34
122 207 213 232 317 345 365 49 15 35 181 167 147 313 277 257 405 430 389 75 100
160 146 315 292 256 404 426 388 74 96 121 206 228 234 316 338 366 50 7 36 182
205 227 249 318 337 359 51 8 28 183 161 139 314 294 271 403 425 384 73 95 117
140 307 293 273 418 424 383 69 94 116 201 226 248 333 339 358 44 9 29 175 162
222 247 332 354 360 43 2 30 176 154 141 308 286 272 420 439 382 68 90 115 200
309 287 265 419 441 397 67 89 111 199 221 243 331 353 375 45 1 23 177 155 133
242 327 352 374 60 3 22 170 156 134 301 288 266 412 440 399 82 88 110 195 220
280 267 413 433 398 84 103 109 194 216 241 326 348 373 59 18 24 169 149 135 302
325 347 369 58 17 39 171 148 128 303 281 259 414 434 391 83 105 124 193 215 237
260 406 435 392 76 104 126 208 214 236 321 346 368 54 16 38 186 150 127 296 282
342 367 53 12 37 185 165 129 295 275 261 407 427 393 77 97 125 210 229 235 320
408 428 385 78 98 118 209 231 250 319 341 363 52 11 33 184 164 144 297 274 254
362 48 10 32 180 163 143 312 276 253 401 429 386 70 99 119 202 230 252 334 340
422 387 71 91 120 203 223 251 336 355 361 47 6 31 179 159 142 311 291 255 400
46 5 27 178 158 138 310 290 270 402 421 380 72 92 112 204 224 244 335 357 376
379 65 93 113 196 225 245 328 356 378 61 4 26 174 157 137 306 289 269 417 423
Теперь получаю второй латинский ортогональный соквадрат для латинского квадрата с рис. 15 путём отражения этого квадрата относительно вертикальной оси симметрии. Этот латинский квадрат тоже не показываю, потому что читатели могут самостоятельно выполнить указанное преобразование первого латинского квадрата с рис. 15. Далее показан один идеальный магический квадрат, построенный из новой пары ОЛК.
3 39 185 163 138 305 283 258 404 424 397 84 104 118 203 225 238 323 345 359 43
82 105 125 202 224 246 322 344 366 44 1 24 186 164 142 306 284 262 405 425 382
22 171 165 143 310 285 263 409 426 383 67 103 126 209 223 245 330 343 365 51 2
88 124 210 230 244 329 351 364 50 9 23 169 150 144 311 289 264 410 430 384 68
170 148 129 312 290 268 411 431 388 69 89 109 208 231 251 328 350 372 49 8 30
110 193 229 252 335 349 371 57 7 29 177 149 127 297 291 269 415 432 389 73 90
156 128 295 276 270 416 436 390 74 94 111 194 214 250 336 356 370 56 15 28 176
195 215 235 334 357 377 55 14 36 175 155 135 296 274 255 417 437 394 75 95 115
134 303 275 253 402 438 395 79 96 116 199 216 236 319 355 378 62 13 35 183 154
220 237 320 340 376 63 20 34 182 162 133 302 282 254 400 423 396 80 100 117 200
301 281 261 401 421 381 81 101 121 201 221 241 321 341 361 61 21 41 181 161 141
242 325 342 362 46 19 42 188 160 140 309 280 260 408 422 379 66 102 122 205 222
288 259 407 429 380 64 87 123 206 226 243 326 346 363 47 4 40 189 167 139 308
327 347 367 48 5 25 187 168 146 307 287 267 406 428 387 65 85 108 207 227 247
266 414 427 386 72 86 106 192 228 248 331 348 368 52 6 26 172 166 147 314 286
352 369 53 10 27 173 151 145 315 293 265 413 435 385 71 93 107 190 213 249 332
412 434 393 70 92 114 191 211 234 333 353 373 54 11 31 174 152 130 313 294 272
374 58 12 32 178 153 131 298 292 273 419 433 392 78 91 113 198 212 232 318 354
440 391 77 99 112 197 219 233 316 339 375 59 16 33 179 157 132 299 277 271 420
60 17 37 180 158 136 300 278 256 418 441 398 76 98 120 196 218 240 317 337 360
399 83 97 119 204 217 239 324 338 358 45 18 38 184 159 137 304 279 257 403 439
Наконец, составляю ещё один латинский ортогональный соквадрат точно так, как это сделано в указанном цикле статей из журнала при построении пары ОЛК 15-го порядка. Этот латинский квадрат изображён на рис. 16.
0 |
15 |
16 |
17 |
9 |
10 |
11 |
3 |
4 |
5 |
20 |
18 |
19 |
14 |
13 |
12 |
8 |
7 |
6 |
1 |
2 |
20 |
18 |
19 |
14 |
13 |
12 |
8 |
7 |
6 |
1 |
2 |
0 |
15 |
16 |
17 |
9 |
10 |
11 |
3 |
4 |
5 |
2 |
0 |
15 |
16 |
17 |
9 |
10 |
11 |
3 |
4 |
5 |
20 |
18 |
19 |
14 |
13 |
12 |
8 |
7 |
6 |
1 |
5 |
20 |
18 |
19 |
14 |
13 |
12 |
8 |
7 |
6 |
1 |
2 |
0 |
15 |
16 |
17 |
9 |
10 |
11 |
3 |
4 |
1 |
2 |
0 |
15 |
16 |
17 |
9 |
10 |
11 |
3 |
4 |
5 |
20 |
18 |
19 |
14 |
13 |
12 |
8 |
7 |
6 |
4 |
5 |
20 |
18 |
19 |
14 |
13 |
12 |
8 |
7 |
6 |
1 |
2 |
0 |
15 |
16 |
17 |
9 |
10 |
11 |
3 |
6 |
1 |
2 |
0 |
15 |
16 |
17 |
9 |
10 |
11 |
3 |
4 |
5 |
20 |
18 |
19 |
14 |
13 |
12 |
8 |
7 |
3 |
4 |
5 |
20 |
18 |
19 |
14 |
13 |
12 |
8 |
7 |
6 |
1 |
2 |
0 |
15 |
16 |
17 |
9 |
10 |
11 |
7 |
6 |
1 |
2 |
0 |
15 |
16 |
17 |
9 |
10 |
11 |
3 |
4 |
5 |
20 |
18 |
19 |
14 |
13 |
12 |
8 |
11 |
3 |
4 |
5 |
20 |
18 |
19 |
14 |
13 |
12 |
8 |
7 |
6 |
1 |
2 |
0 |
15 |
16 |
17 |
9 |
10 |
8 |
7 |
6 |
1 |
2 |
0 |
15 |
16 |
17 |
9 |
10 |
11 |
3 |
4 |
5 |
20 |
18 |
19 |
14 |
13 |
12 |
10 |
11 |
3 |
4 |
5 |
20 |
18 |
19 |
14 |
13 |
12 |
8 |
7 |
6 |
1 |
2 |
0 |
15 |
16 |
17 |
9 |
12 |
8 |
7 |
6 |
1 |
2 |
0 |
15 |
16 |
17 |
9 |
10 |
11 |
3 |
4 |
5 |
20 |
18 |
19 |
14 |
13 |
9 |
10 |
11 |
3 |
4 |
5 |
20 |
18 |
19 |
14 |
13 |
12 |
8 |
7 |
6 |
1 |
2 |
0 |
15 |
16 |
17 |
13 |
12 |
8 |
7 |
6 |
1 |
2 |
0 |
15 |
16 |
17 |
9 |
10 |
11 |
3 |
4 |
5 |
20 |
18 |
19 |
14 |
17 |
9 |
10 |
11 |
3 |
4 |
5 |
20 |
18 |
19 |
14 |
13 |
12 |
8 |
7 |
6 |
1 |
2 |
0 |
15 |
16 |
14 |
13 |
12 |
8 |
7 |
6 |
1 |
2 |
0 |
15 |
16 |
17 |
9 |
10 |
11 |
3 |
4 |
5 |
20 |
18 |
19 |
16 |
17 |
9 |
10 |
11 |
3 |
4 |
5 |
20 |
18 |
19 |
14 |
13 |
12 |
8 |
7 |
6 |
1 |
2 |
0 |
15 |
19 |
14 |
13 |
12 |
8 |
7 |
6 |
1 |
2 |
0 |
15 |
16 |
17 |
9 |
10 |
11 |
3 |
4 |
5 |
20 |
18 |
15 |
16 |
17 |
9 |
10 |
11 |
3 |
4 |
5 |
20 |
18 |
19 |
14 |
13 |
12 |
8 |
7 |
6 |
1 |
2 |
0 |
18 |
19 |
14 |
13 |
12 |
8 |
7 |
6 |
1 |
2 |
0 |
15 |
16 |
17 |
9 |
10 |
11 |
3 |
4 |
5 |
20 |
Рис. 16
Осталось построить идеальные магические квадраты из новой пары ОЛК. На рис. 17 показан один из этих магических квадратов.
1 |
37 |
185 |
165 |
136 |
305 |
285 |
256 |
404 |
426 |
399 |
82 |
104 |
120 |
203 |
223 |
240 |
323 |
343 |
359 |
45 |
84 |
103 |
125 |
204 |
224 |
244 |
324 |
344 |
364 |
44 |
3 |
22 |
184 |
164 |
144 |
304 |
284 |
264 |
403 |
425 |
384 |
24 |
169 |
163 |
143 |
312 |
283 |
263 |
411 |
424 |
383 |
69 |
105 |
124 |
209 |
225 |
245 |
328 |
345 |
365 |
49 |
2 |
90 |
126 |
208 |
230 |
246 |
329 |
349 |
366 |
50 |
7 |
23 |
171 |
148 |
142 |
311 |
291 |
262 |
410 |
432 |
382 |
68 |
170 |
150 |
127 |
310 |
290 |
270 |
409 |
431 |
390 |
67 |
89 |
111 |
210 |
229 |
251 |
330 |
350 |
370 |
51 |
8 |
28 |
110 |
195 |
231 |
250 |
335 |
351 |
371 |
55 |
9 |
29 |
175 |
149 |
129 |
295 |
289 |
269 |
417 |
430 |
389 |
75 |
88 |
154 |
128 |
297 |
274 |
268 |
416 |
438 |
388 |
74 |
96 |
109 |
194 |
216 |
252 |
334 |
356 |
372 |
56 |
13 |
30 |
176 |
193 |
215 |
237 |
336 |
355 |
377 |
57 |
14 |
34 |
177 |
155 |
133 |
296 |
276 |
253 |
415 |
437 |
396 |
73 |
95 |
117 |
134 |
301 |
275 |
255 |
400 |
436 |
395 |
81 |
94 |
116 |
201 |
214 |
236 |
321 |
357 |
376 |
62 |
15 |
35 |
181 |
156 |
222 |
235 |
320 |
342 |
378 |
61 |
20 |
36 |
182 |
160 |
135 |
302 |
280 |
254 |
402 |
421 |
394 |
80 |
102 |
115 |
200 |
303 |
281 |
259 |
401 |
423 |
379 |
79 |
101 |
123 |
199 |
221 |
243 |
319 |
341 |
363 |
63 |
19 |
41 |
183 |
161 |
139 |
242 |
327 |
340 |
362 |
48 |
21 |
40 |
188 |
162 |
140 |
307 |
282 |
260 |
406 |
422 |
381 |
64 |
100 |
122 |
207 |
220 |
286 |
261 |
407 |
427 |
380 |
66 |
85 |
121 |
206 |
228 |
241 |
326 |
348 |
361 |
47 |
6 |
42 |
187 |
167 |
141 |
308 |
325 |
347 |
369 |
46 |
5 |
27 |
189 |
166 |
146 |
309 |
287 |
265 |
408 |
428 |
385 |
65 |
87 |
106 |
205 |
227 |
249 |
266 |
412 |
429 |
386 |
70 |
86 |
108 |
190 |
226 |
248 |
333 |
346 |
368 |
54 |
4 |
26 |
174 |
168 |
145 |
314 |
288 |
354 |
367 |
53 |
12 |
25 |
173 |
153 |
147 |
313 |
293 |
267 |
413 |
433 |
387 |
71 |
91 |
107 |
192 |
211 |
247 |
332 |
414 |
434 |
391 |
72 |
92 |
112 |
191 |
213 |
232 |
331 |
353 |
375 |
52 |
11 |
33 |
172 |
152 |
132 |
315 |
292 |
272 |
374 |
60 |
10 |
32 |
180 |
151 |
131 |
300 |
294 |
271 |
419 |
435 |
392 |
76 |
93 |
113 |
196 |
212 |
234 |
316 |
352 |
440 |
393 |
77 |
97 |
114 |
197 |
217 |
233 |
318 |
337 |
373 |
59 |
18 |
31 |
179 |
159 |
130 |
299 |
279 |
273 |
418 |
58 |
17 |
39 |
178 |
158 |
138 |
298 |
278 |
258 |
420 |
439 |
398 |
78 |
98 |
118 |
198 |
218 |
238 |
317 |
339 |
358 |
397 |
83 |
99 |
119 |
202 |
219 |
239 |
322 |
338 |
360 |
43 |
16 |
38 |
186 |
157 |
137 |
306 |
277 |
257 |
405 |
441 |
Рис. 17
Все построенные выше идеальные магические квадраты 21-го порядка имеют начальную цепочку формы “ход конём”.
Для порядков 9 и 15 были показаны ещё пары ортогональных обобщённых латинских квадратов, из которых построены идеальные магические квадраты, имеющие совсем другую форму начальной цепочки. Для порядка 9 такая пара обобщённых ОЛК составлена мной (см. рис. 5 – 6), для порядка 15 такая пара приведена в указанном цикле статей из журнала. Эта пара ОЛК показана в предыдущей части настоящей статьи.
Теперь я покажу подобную пару ортогональных обобщённых латинских квадратов 21-го порядка, из которой получаются два идеальных магических квадрата с другой формой начальной цепочки. Я построила эту пару ОЛК по аналогии с парой ОЛК 15-го порядка. Смотрите эти обобщённые ортогональные латинские квадраты на рис. 18 – 19.
Первый латинский обобщённый квадрат 21-го порядка
0 |
6 |
12 |
19 |
5 |
11 |
17 |
2 |
7 |
13 |
18 |
4 |
10 |
16 |
1 |
8 |
14 |
20 |
3 |
9 |
15 |
19 |
5 |
11 |
17 |
0 |
6 |
12 |
18 |
4 |
10 |
16 |
2 |
7 |
13 |
20 |
3 |
9 |
15 |
1 |
8 |
14 |
17 |
0 |
6 |
12 |
19 |
5 |
11 |
16 |
2 |
7 |
13 |
18 |
4 |
10 |
15 |
1 |
8 |
14 |
20 |
3 |
9 |
12 |
19 |
5 |
11 |
17 |
0 |
6 |
13 |
18 |
4 |
10 |
16 |
2 |
7 |
14 |
20 |
3 |
9 |
15 |
1 |
8 |
11 |
17 |
0 |
6 |
12 |
19 |
5 |
10 |
16 |
2 |
7 |
13 |
18 |
4 |
9 |
15 |
1 |
8 |
14 |
20 |
3 |
6 |
12 |
19 |
5 |
11 |
17 |
0 |
7 |
13 |
18 |
4 |
10 |
16 |
2 |
8 |
14 |
20 |
3 |
9 |
15 |
1 |
5 |
11 |
17 |
0 |
6 |
12 |
19 |
4 |
10 |
16 |
2 |
7 |
13 |
18 |
3 |
9 |
15 |
1 |
8 |
14 |
20 |
0 |
6 |
12 |
19 |
5 |
11 |
17 |
2 |
7 |
13 |
18 |
4 |
10 |
16 |
1 |
8 |
14 |
20 |
3 |
9 |
15 |
19 |
5 |
11 |
17 |
0 |
6 |
12 |
18 |
4 |
10 |
16 |
2 |
7 |
13 |
20 |
3 |
9 |
15 |
1 |
8 |
14 |
17 |
0 |
6 |
12 |
19 |
5 |
11 |
16 |
2 |
7 |
13 |
18 |
4 |
10 |
15 |
1 |
8 |
14 |
20 |
3 |
9 |
12 |
19 |
5 |
11 |