ИДЕАЛЬНЫЕ КВАДРАТЫ ПЯТОГО И СЕДЬМОГО ПОРЯДКА

 

Поработаю теперь с квадратами меньших порядков. Продолжаю исследовать метод построения идеальных квадратов нечётного порядка с помощью ортогональных латинских квадратов. Только что завершила статью о построении данным методом идеальных квадратов 9-ого порядка http://www.natalimak1.narod.ru/id9new.htm

О построении идеальных квадратов нечётного порядка не кратного 3 я уже писала в статье http://www.klassikpoez.narod.ru/idlat.htm

В этой статье была приведена одна схема составления ортогональных латинских квадратов, с помощью которых можно построить идеальный квадрат. Эта схема тривиальная. Составлена программа для данного алгоритма, построен идеальный квадрат 97-ого порядка. Но это всё частные решения, соответствующие тривиальной схеме составления латинских квадратов.

Теперь хочу посмотреть другие схемы составления латинских квадратов.

 

ИДЕАЛЬНЫЕ КВАДРАТЫ ПЯТОГО ПОРЯДКА

 

Пандиагональные квадраты пятого порядка исследованы мной очень подробно. Я сама построила все 144 базовых пандиагональных квадрата и только позже нашла в Интернете матричный метод построения, который, конечно, позволил построить эти же 144 квадрата за несколько минут (я строила их больше месяца). Разумеется, среди пандиагональных квадратов я сразу выделила ассоциативные, ещё не называя их идеальными. Пандиагональных и ассоциативных, то есть идеальных, квадратов пятого порядка получилось 16. Обо всём этом рассказано в моих статьях, посвящённых пандиагональным квадратам пятого порядка. А вот теперь посмотрю на построение идеальных квадратов пятого порядка с помощью латинских квадратов.

Сначала беру уже известную мне тривиальную пару латинских квадратов (она показана в указанной выше статье) и смотрю, по какой схеме составляются эти два латинских квадрата. Программирую эту схему и получаю по программе 4 идеальных квадрата (вообще-то программа выдала 8 квадратов, но различных только 4, другие 4 эквивалентные). Вот эти идеальные квадраты (рис. 1-4):

 

 

Рис. 1

 

 

Рис. 2

 

 

Рис. 3

 

 

Рис. 4

 

Красивые квадратики! Маленькие такие, изящные. Во всех квадратах начальная цепочка имеет форму “ход конём”. Все эти квадраты можно построить методом качелей (в соответствующей статье это показано). Для квадратов пятого порядка возможны только такие шаги качания качелей: 1+2 и 2+1 (симметричные). В построенных квадратах шаги качания качелей 1+2 (через одну ячейку влево, через 2 ячейки вправо).

Теперь надо найти в банке из 16 идеальных квадратов, составленном мной давно, эти 4 идеальных квадрата, отметить их и посмотреть, как построить оставшиеся 12 квадратов. То есть найти другие схемы составления латинских квадратов.

 

Замечу, что если в формуле для построения идеального квадрата поменять местами первый и второй латинские квадраты, то получается эквивалентный квадрат. Смотрите на рис. 5 идеальный квадрат, построенный из той же пары латинских квадратов, что и квадрат на рис. 1, только переставленных.

 

 

Рис. 5

 

Приведу теперь банк идеальных квадратов из статьи http://www.klassikpoez.narod.ru/assoc.htm

 

 

№ 1                                       № 2

1  23  10  14  17                   1  23  20  14  7

15  19  2  21  8                     15  9  2  21  18

22  6  13  20  4                     22  16  13  10  4

18  5  24  7  11                     8  5  24  17  11

9  12  16  3  25                     19  12  6  3  25

 

№ 3                                       № 4

1  23  10  12  19                   1  23  20  12  9

15  17  4  21  8                     15  7  4  21  18

24  6  13  20  2                     24  16  13  10  2

18  5  22  9  11                     8  5  22  19  11

7  14  16  3  25                     17  14  6  3  25

 

№ 5                                       № 6

2  23  9  15  16                     2  23  19  15  6

14  20  1  22  8                     14  10  1  22  18

21  7  13  19  5                     21  17  13  9  5

18  4  25  6  12                     8  4  25  16  12

10  11  17  3  24                   20  11  7  3  24

 

№ 7                                       № 8

2  23  9  11  20                     2  23  19  11  10

14  16  5  22  8                     14  6  5  22  18

25  7  13  19  1                     25  17  13  9  1

18  4  21  10  12                   8  4  21  20  12

6  15  17  3  24                     16  15  7  3  24

 

№ 9                                       № 10

4  23  7  15  16                     4  23  17  15  6

12  20  1  24  8                     12  10  1  24  18

21  9  13  17  5                     21  19  13  7  5

18  2  25  6  14                     8  2  25  16  14

10  11  19  3  22                   20  11  9  3  22

 

№ 11                                     № 12

4  23  7  11  20                     4  23  17  11  10

12  16  5  24  8                     12  6  5  24  18

25  9  13  17  1                     25  19  13  7  1

18  2  21  10  14                   8  2  21  20  14

6  15  19  3  22                     16  15  9  3  22

 

№ 13                                     № 14

5  23  6  14  17                     5  23  16  14  7

11  19  2  25  8                     11  9  2  25  18

22  10  13  16  4                   22  20  13  6  4

18  1  24  7  15                     8  1  24  17  15

9  12  20  3  21                     19  12  10  3  21

 

№ 15                                     № 16

5  23  6  12  19                     5  23  16  12  9

11  17  4  25  8                     11  7  4  25  18

24  10  13  16  2                   24  20  13  6  2

18  1  22  9  15                     8  1  22  19  15

7  14  20  3  21                     17  14  10  3  21

 

Построенные здесь квадраты соответствуют следующим квадратам банка: квадрат с рис. 1 – квадрату № 4, квадрат с рис. 2 – квадрату № 12 (в точности совпадают). Квадрат с рис. 3 эквивалентен квадрату № 6, квадрат с рис. 4 эквивалентен квадрату № 9.

 

Теперь беру квадрат № 1 из банка и смотрю на схему составления соответствующих ему латинских квадратов. Для этого, как уже знают читатели, я просто раскладываю этот идеальный квадрат на два латинских квадрата. На рис. 6 и рис. 7 вы видите эти латинские квадраты.

 

 

Рис. 6

 

 

Рис. 7

 

И схема составления латинских квадратов очевидна! Замечу, что оба латинских квадрата являются нетрадиционными идеальными магическими квадратами с магической константой 10. Первый латинский квадрат составляется так же, как в первой схеме, только что показанной. А второй латинский квадрат, ортогональный к первому, получается так: поворот первого латинского квадрата на 90 градусов по часовой стрелке с последующим отражением относительно вертикальной оси симметрии.

Программирую новую схему составления латинских квадратов и выполняю программу. Получаю ещё 4 идеальных квадрата пятого порядка. Смотрите эти квадраты на рис. 8-11.

 

 

Рис. 8

 

 

Рис. 9

 

 

Рис. 10

 

 

Рис. 11

 

Квадрат с рис. 8 совпадает с квадратом № 1 из банка, квадрат с рис. 9 совпадает с квадратом № 4. Квадрат с рис. 10 эквивалентен квадрату № 14 из банка, квадрат с рис. 11 эквивалентен квадрату № 15.

 

Примечание: эквивалентными магическими квадратами я называю квадраты, получающиеся друг из друга одним из семи основных преобразований магических квадратов (или их комбинацией). А так же такие квадраты, которые получаются друг из друга параллельными переносами на торе; здесь эти преобразования не используются.

 

Итак, осталось построить ещё 8 идеальных квадратов. Берём квадрат № 8 из банка и раскладываем его на два латинских квадрата (рис. 12, рис. 13):

 

 

Рис. 12

 

 

Рис. 13

 

По такой схеме программа выдала всего два оригинальных квадрата (общее количество квадратов по-прежнему 8): квадрат № 8 и квадрат, эквивалентный квадрату № 11, этот квадрат вы видите на рис. 14.

 

 

Рис. 14

 

Не буду продолжать, потому что всем читателям уже понятно, как с помощью двух ортогональных латинских квадратов можно построить все 16 идеальных квадратов 5-ого порядка.

 

Теперь посмотрим, сколько идеальных квадратов можно построить из одного идеального квадрата 5-ого порядка перестановкой строк и столбцов. За исходный возьму квадрат № 1 из банка идеальных квадратов (см. рис 8).

Выполняю программу перестановки строк и столбцов. Благо, здесь число перестановок не так велико и программу можно выполнить полностью, она быстро выполняется (всего несколько секунд).

Программа выдаёт 8 решений, но оригинальных только 2 (считая исходный квадрат), остальные решения эквивалентны эти двум квадратам. Поскольку исходный квадрат № 1 уже показан, покажу второе решение (рис. 15).

 

 

Рис. 15

 

Легко увидеть, что этот квадрат эквивалентен квадрату № 15 из банка.

 

Возьму ещё, для примера, квадрат № 2 из банка и выполню для него программу перестановки строк и столбцов. Снова получаю 8 решений, но оригинальных только 2, считая исходный квадрат. Показываю второе решение на рис. 16:

 

 

Рис. 16

 

Этот квадрат эквивалентен квадрату № 16 из банка.

Таким образом, перестановка строк и столбцов не даёт новых идеальных квадратов пятого порядка. Следовательно, оригинальных идеальных квадратов пятого порядка всего 16. Более того, в своей ранней статье я показала, что 15 идеальных квадратов пятого порядка можно получить различными преобразованиями из идеального квадрата № 1. Этот квадрат и является базовым идеальным квадратом пятого порядка.

 

На этом я завершаю рассказ об идеальных квадратах пятого порядка. Квадраты эти полностью исследованы не только мной, но и другими авторами. Вы можете найти в Интернете не одну статью об этих квадратах.

 

Перехожу к идеальным квадратам седьмого порядка. Эти квадраты тоже достаточно подробно были исследованы мной при разработке метода качелей. Теперь посмотрю на них с точки зрения рассматриваемого здесь метода построения с помощью двух ортогональных латинских квадратов.

 

***

 

ИДЕАЛЬНЫЕ КВАДРАТЫ СЕДЬМОГО ПОРЯДКА

 

Первая схема

 

Начну с примера, приведённого в статье http://www.klassikpoez.narod.ru/idlat.htm

На рис. 17 и рис. 18 вы видите два латинских квадрата, а на рис. 19 построенный из этих квадратов идеальный квадрат 7-ого порядка.

 

 

Рис. 17

 

 

Рис. 18

 

Оба латинских квадрата являются нетрадиционными идеальными магическими квадратами с магической константой 21.

 

 

Рис. 19

 

Буду действовать сейчас по аналогии с матричным методом, найденным по ссылке http://www.grogono.com/magic/7x7.php

В этой статье используется рассматриваемый здесь метод построения с помощью двух ортогональных латинских квадратов, но строятся пандиагональные квадраты 7-ого порядка. Поэтому схема составления латинских квадратов в указанной статье другая. Однако с помощью этого метода мне удалось в своё время построить идеальный квадрат 7-ого порядка. Теперь мне совершенно понятно, как автор формировал символьную матрицу. Сформирую таким же способом символьную матрицу для построения идеальных квадратов, взяв за основу схему составления латинских квадратов из приведённого выше примера.

Итак, первый латинский квадрат составляется так (рис. 20):

 

 

Рис. 20

 

Второй латинский квадрат получается из первого отражением относительно горизонтальной оси симметрии, то есть формируется так (рис. 21):

 

 

Рис. 21

 

Символьная матрица, составленная из этих двух латинских квадратов, имеет следующий вид (рис. 22):

 

 

Рис. 22

 

Понятно, что значения символов таковы: A=0, B=6, C=5, D=4, E=3, F=2, G=1. Чтобы квадрат получался идеальным, значение символа Е должно быть постоянным. Значения остальных символов можно варьировать. Понятно, что перестановок из 6 символов будет 720, однако не все варианты дадут идеальный квадрат. Предоставим решить эту задачу компьютеру. Запрограммируем символьную матрицу с рис. 22 и переберём все комбинации значений символов.

 

Программа выдала 48 решений, среди которых 24 –  эквивалентные идеальные квадраты. Покажу первые 8 решений, выданных программой.

 

№ 1                                                   № 2

 2  45  11  19  27  29  42                    2  47  11  31  27  15  42 

 32  40  6  43  14  16  24                    18  38  6  43  14  30  26 

 20  22  35  37  3  46  12                    34  22  21  37  5  46  10 

 49  9  17  25  33  41  1                      49  9  33  25  17  41  1 

 38  4  47  13  15  28  30                    40  4  45  13  29  28  16 

 26  34  36  7  44  10  18                    24  20  36  7  44  12  32 

 8  21  23  31  39  5  48                      8  35  23  19  39  3  48 

 

 № 3                                                  № 4

 3  44  18  13  26  36  35                    3  48  18  37  26  8  35 

 39  34  5  43  21  10  23                    11  30  5  43  21  38  27 

 12  22  42  31  2  46  20                    40  22  14  31  6  46  16 

 49  17  9  25  41  33  1                      49  17  41  25  9  33  1

 30  4  48  19  8  28  38                      34  4  44  19  36  28  10

 27  40  29  7  45  16  11                    23  12  29  7  45  20  39

 15  14  24  37  32  6  47                    15  42  24  13  32  2  47

 

№ 5                                                   № 6

 5  44  32  13  24  36  21                    5  48  32  37  24  8  21

 39  20  3  43  35  12  23                    11  16  3  43  35  40  27 

 10  22  42  19  2  46  34                    38  22  14  19  6  46  30 

 49  33  9  25  41  17  1                      49  33  41  25  9  17  1 

 16  4  48  31  8  28  40                      20  4  44  31  36  28  12 

 27  38  15  7  47  30  11                    23  10  15  7  47  34  39 

 29  14  26  37  18  6  45                    29  42  26  13  18  2  45

 

№ 7                                                   № 8

 6  45  39  19  23  29  14                    6  47  39  31  23  15  14

 32  12  2  43  42  20  24                    18  10  2  43  42  34  26 

 16  22  35  13  3  46  40                    30  22  21  13  5  46  38 

 49  41  17  25  33  9  1                      49  41  33  25  17  9  1 

 10  4  47  37  15  28  34                    12  4  45  37  29  28  20 

 26  30  8  7  48  38  18                      24  16  8  7  48  40  32 

 36  21  27  31  11  5  44                    36  35  27  19  11  3  44 

 

Квадрат, изображённый на рис. 19, выдался программой под № 8.

Все идеальные квадраты данной группы имеют одинаковую форму начальной цепочки. С точки зрения метода качелей мы имеем идеальные квадраты с шагами качания качелей: 1+4. Это стандартные качели, начальная цепочка “ход конём”.

 

 Вторая схема

 

Рассматривая построение идеальных квадратов седьмого порядка методом качелей, я установила, что для этих квадратов возможны такие шаги качания качелей: 1+4 и 2+3, ну и, конечно, симметричные: 4+1 и 3+2. Первый вид идеальных квадратов с шагами качания качелей 1+4 уже показан. Теперь покажу построение идеальных квадратов второго вида с шагами 3+2. Читатели, знакомые с методом качелей, хорошо знают, как получить идеальные квадраты с симметричными шагами.

Данная группа идеальных квадратов строится методом нестандартных качелей. Посмотрим, какая схема составления латинских квадратов работает в этом случае. Всё делаем точно так же, как в рассмотренном выше примере. На рис. 23 вы видите конкретный идеальный квадрат из данной группы квадратов.

 

 

 

Рис. 23

 

Разложим его на латинские квадраты (рис. 24 и рис. 25):

 

 

Рис. 24

 

 

Рис. 25

 

По-прежнему оба латинских квадрата являются нетрадиционными идеальными магическими квадратами с магической константой 21. И, конечно, второй квадрат ортогонален первому. Но схема составления обоих квадратов здесь другая.

Формирую на основе этой схемы символьную матрицу (рис. 26):

 

 

Рис. 26

 

Очевидно, что мы получили совсем другую символьную матрицу, нежели в рассмотренном выше примере.

Значения символов в этой матрице таковы: A=0, B=1, C=5, D=6, E=2, F=3, G=4. Это для квадрата, изображённого на рис. 23. А для других идеальных квадратов значения символов надо варьировать. Постоянным должно быть значение символа F.

Пишу программу и получаю новую группу идеальных квадратов. Программа снова выдала 48 квадратов, половина из которых эквивалентные. Показываю 8 первых оригинальных решений:

 

№ 1                                                    № 2

 1  14  40  48  18  23  31                    1  14  38  48  32  23  19

 44  17  22  35  5  13  39                    44  33  22  21  3  13  39 

 34  4  9  38  43  21  26                      20  4  9  40  43  35  24 

 42  47  20  25  30  3  8                      42  45  34  25  16  5  8 

 24  29  7  12  41  46  16                    26  15  7  10  41  46  30

 11  37  45  15  28  33  6                    11  37  47  29  28  17  6

 19  27  32  2  10  36  49                    31  27  18  2  12  36  49 

 

№ 3                                                    № 4

 1  21  34  47  11  24  37                    1  21  30  47  39  24  13 

 45  9  22  42  6  19  32                      45  41  22  14  2  19  32 

 40  4  17  30  43  14  27                    12  4  17  34  43  42  23 

 35  48  12  25  38  2  15                    35  44  40  25  10  6  15 

 23  36  7  20  33  46  10                    27  8  7  16  33  46  38 

 18  31  44  8  28  41  5                      18  31  48  36  28  9  5

 13  26  39  3  16  29  49                    37  26  11  3  20  29  49

 

№ 5                                                    № 6

 1  35  20  45  11  26  37                    1  35  16  45  39  26  13 

 47  9  22  42  6  31  18                      47  41  22  14  2  31  18 

 38  4  33  16  43  14  27                    10  4  33  20  43  42  23 

 21  48  10  25  40  2  29                    21  44  38  25  12  6  29

 23  36  7  34  17  46  12                    27  8  7  30  17  46  40

 32  19  44  8  28  41  3                      32  19  48  36  28  9  3

 13  24  39  5  30  15  49                    37  24  11  5  34  15  49

 

№ 7                                                    № 8

 1  42  12  44  18  27  31                    1  42  10  44  32  27  19 

 48  17  22  35  5  37  11                    48  33  22  21  3  37  11 

 30  4  41  10  43  21  26                    16  4  41  12  43  35  24 

 14  47  16  25  34  3  36                    14  45  30  25  20  5  36

 24  29  7  40  9  46  20                      26  15  7  38  9  46  34

 39  13  45  15  28  33  2                    39  13  47  29  28  17  2 

 19  23  32  6  38  8  49                      31  23  18  6  40  8  49 

 

Квадрат, изображённый на рис. 23, выдался программой под № 1.

Помещу в матрицу квадрат № 8 для наглядности (рис. 27):

 

 

Рис. 27

 

А теперь посмотрим, какой идеальный квадрат получится, если мы построим его из той же пары латинских квадратов (рис. 24 и рис. 25), но поменяем их местами. Смотрите этот квадрат на рис. 28.

 

 

Рис. 28

 

Мы получили идеальный квадрат с такой же формой начальной цепочки, как идеальные квадраты в первой группе (см. квадрат на рис. 19). Однако в первой группе не было квадратов, начинающихся с числа 1. Я, конечно, могу получить из квадратов первой группы квадраты, начинающиеся с числа 1, применив преобразование “строки-диагонали”. Но это преобразование, насколько мне известно, не принадлежит к эквивалентным преобразованиям. Таким образом, мы имеем новую группу идеальных квадратов. Все квадраты этой группы можно построить по такой символьной матрице (рис. 29):

 

 

Рис. 29

 

Очевидно, что эта матрица получена из матрицы с рис. 26 перестановкой символов в каждом элементе.

Предлагаю читателям построить идеальные квадраты с помощью этой матрицы. Думаю, что их тоже будет 48, причём оригинальных только 24.

Понятно, что точно так же можно поступить с символьной матрицей в первом примере (рис. 22).

 

Итак, оба вида идеальных квадратов получены (не считая симметричных шагов качания качелей). Других видов идеальных квадратов седьмого порядка я не знаю. Но они, наверное, есть. Надо экспериментировать и искать. Кто заинтересовался этим вопросом, может продолжить исследование идеальных квадратов седьмого порядка.

 

По ссылке

http://www.trump.de/magic-squares/howmany.html

 

указывается количество разных видов магических квадратов. Количество идеальных квадратов седьмого порядка (ultramagic-7) равно 20190684. Вот такой скачок: идеальных квадратов пятого порядка всего 16, а идеальных квадратов седьмого порядка уже более 20 миллионов! Даже не верится: неужели идеальных квадратов седьмого порядка действительно так много? И как посчитали это количество? А как их все построить? Интересно узнать! Если вы что-нибудь знаете об этом, напишите мне, пожалуйста.

 

В заключение напомню читателям один очень простой метод построения идеальных квадратов седьмого порядка. Этот метод работает для любого нечётного порядка не кратного 3. Берём классический ассоциативный квадрат, построенный методом террас (рис. 30):

 

 

Рис. 30

 

Посмотрите, какая интересная начальная цепочка в этом классическом ассоциативном квадрате.

А теперь в этом ассоциативном квадрате переставляем строки (или столбцы) с постоянным шагом. Перестановкой строк получаем два оригинальных квадрата (с шагом 1 и с шагом 2; с шагом 3 и с шагом 4 получаются эквивалентные квадраты). На рис. 31 и рис 32 показываю эти идеальные квадраты:

 

 

Рис. 31

 

Вот, кстати, пример идеального квадрата (рис. 31) с симметричными шагами качания качелей 4+1.

 

 

Рис. 32

 

Далее представлены идеальные квадраты, полученные из ассоциативного квадрата с рис.  30 перестановкой столбцов с шагом 1 (рис. 33) и  с шагом 2 (рис. 34). Перестановка столбцов с шагом 3 и с шагом 4 даёт эквивалентные квадраты.

 

 

Рис. 33

 

А этот квадрат (рис. 33) с другими симметричными шагами качания качелей – 2+3.

 

 

Рис. 34

 

Как видите, все полученные квадраты подобны тем 4 видам, о которых сказано выше, то есть с точки зрения метода качелей в них имеется одна из следующих комбинаций шагов качания качелей: 1+4, 2+3, 3+2, 4+1. Никакой другой начальной цепочки не получается.

 

И ещё стоит отметить интересное преобразование, которое было обнаружено мной при исследовании пандиагональных квадратов нечётного порядка. Я назвала его нестандартной одновременной перестановкой строк и столбцов с постоянным шагом.

Покажу это преобразование на примере идеального квадрата с рис. 23. Сначала переставим строки и столбцы с шагом 1 (рис. 35):

 

 

Рис. 35

 

А теперь переставим строки и столбцы с шагом 2 (рис. 36):

 

 

Рис. 36

 

И опять ничего нового.

 

В статье http://www.klassikpoez.narod.ru/hodkonem.htm показано построение идеального квадрата седьмого порядка ходом шахматного коня. Но и этот метод даёт всё ту же начальную цепочку “ход конём”.

 

Кто знает идеальные квадраты седьмого порядка с начальными цепочками другой формы? Расскажите!

 

***

 

Читайте мою виртуальную книгу “Волшебный мир магических квадратов”:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/glavnaja.htm

 

 

12-14 августа 2008 г.

г. Саратов

 

ДОБАВЛЕНИЕ (31 августа)

 

Познакомилась с очень интересным человеком Виктором Ивченко. Он написал мне, прочитав на сайте статьи о магических квадратах. Виктор прекрасно изображает трёхмерные тела. Я попросила его изобразить идеальный магический квадрат на призме. Он выполнил мою просьбу. С удовольствием представляю его работу. На призме изображён идеальный квадрат пятого порядка (тот, который в банке идеальных квадратов пятого порядка стоит под № 1). Смотрите на рис. 37 и рис. 38.

 

 

    Рис. 37

 

 

        Рис. 38

 

Виктор пишет, что тот пакет, в котором он работает (название этого пакета Mathcad), позволяет вращать призму. Здорово! Но даже если не вращать, всё равно великолепно. Мне очень нравится. Я так не смогла бы изобразить.

 

Виктор представляет свои работы на форуме exponenta.ru в теме “Каналовые поверхности” (Форум пользователей пакета Mathcad). Посмотрите!

 

Покажу ещё две работы, присланные мне Виктором. На рис. 39 изображён геодезический узел, а на рис. 40 – тор из колец Вилларсо.

 

 

        Рис. 39

 

 

       Рис. 40

 

Вот такая КРАСОТА! Восхищаюсь!

 

***

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу