МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ

 

Часть II

 

МЕТОД ТЕРРАС

 

Приношу читателям свои извинения за несколько неудобное дробление статьи на части, но очень большую статью неудобно обновлять.

 

Итак, я продолжаю описание методов построения магических квадратов нечётного порядка n=2k+1, k=1, 2, 3…

 

Эта страница посвящена методу террас. В [2] говорится, что метод террас предложен Баше де Мезириаком и поэтому называется ещё методом Баше.

Начну демонстрацию метода с построения магического квадрата пятого порядка.

 

С четырёх сторон к исходному квадрату 5х5 добавляются террасы так, чтобы получился зубчатый квадрат того же порядка, что и исходный (рис. 1 и рис. 2). На рисунках террасы закрашены в жёлтый цвет.

В полученной фигуре располагают числа от 1 до 25 в естественном порядке косыми (диагональными) рядами снизу вверх (рис. 1) или сверху вниз (рис. 2). Числа в террасах, не попавшие в квадрат, перемещаются как бы вместе с террасами внутрь него так, чтобы они примкнули к противоположным сторонам квадрата, как показано на рис. 1а и рис. 2а.

 

 

         Рис. 1                                                         Рис. 2

 

 

 

         Рис. 1а                                                       Рис. 2а

 

На рис. 3 и 4 изображены готовые магические квадраты, эти квадраты эквивалентны, один получается из другого поворотом на 90 градусов относительно центра квадрата.

 

 

                                                                Рис. 3                                   Рис. 4

 

Заметим, что методом террас можно построить не только традиционный магический квадрат нечётного порядка (то есть заполненный числами от 1 до n²), но и квадрат, заполненный любыми другими числами, лишь бы разность между каждым последующим и предыдущим числом была постоянной, то есть это должны быть члены арифметической прогрессии. Так, на рис. 5 вы видите нетрадиционный магический квадрат пятого порядка, заполненный чётными числами от 2 до 50, построенный методом террас.

 

 

                                                                      Рис. 5

 

Очевидно, что магические квадраты, построенные методом террас, получаются ассоциативными. На рис. 6 изображён квадрат 7-ого порядка, а на рис. 7 – квадрат 9-ого порядка, построенные методом террас.

 

 

                                                                      Рис. 6

 

 

                                                                      Рис. 7

 

Начальная цепочка во всех квадратах, построенных методом террас, имеет одну и ту же форму. В этих квадратах так же работают качели. Не буду показывать образующую таблицу, вы можете составить её самостоятельно. Составлю первый латинский квадрат, соответствующий квадрату 7-ого порядка с рис. 6. Вы видите этот квадрат на рис. 8.

 

 

                                                                      Рис. 8

 

Если смотреть на этот латинский квадрат, как на нетрадиционный магический квадрат, он является ассоциативным магическим квадратом с магической константой 21. Закономерности в составлении этого квадрата очевидны. Показываю второй латинский квадрат (рис. 9):

 

 

                                                                      Рис. 9

 

Очевидно, что второй латинский квадрат получается из первого отражением относительно горизонтальной оси симметрии. Теперь составляю программу для построения квадрата любого нечётного порядка с помощью двух ортогональных латинских квадратов, которая, в сущности, является реализацией метода террас.

 

ТЕКСТ ПРОГРАММЫ

(Язык QBASIC)

 

10 OPEN "MK.txt" FOR OUTPUT AS #1

15 PRINT "VVEDITE PORYADOK KVADRATA"

20 INPUT N

25 IF N / 2 - INT(N / 2) = 0 THEN 15

27 IF N < 3 THEN 15

30 DIM A(N, N), B(N, N), C(N, N)

35 K = (N + 1) / 2

40 Z = 1: W = 0

42 A(1, Z) = W

44 Z = Z + 2

46 IF Z > N THEN 100

48 W = W + 1

50 GOTO 42

100 Z = 2: W = W + 1

102 A(1, Z) = W

104 Z = Z + 2

106 IF Z > N - 1 THEN 112

108 W = W + 1

110 GOTO 102

112 Z = 2

114 FOR J = 1 TO N - 1: A(Z, J) = A(Z - 1, J + 1): NEXT J

116 A(Z, N) = A(Z - 1, 1)

118 Z = Z + 1

120 IF Z > N THEN 132

122 GOTO 114

132 FOR X = 1 TO N

134 FOR Y = 1 TO N

136 B(X, Y) = A(N + 1 - X, Y)

138 NEXT Y

140 NEXT X

160 FOR X = 1 TO N

165 FOR Y = 1 TO N

170 C(X, Y) = N * A(X, Y) + B(X, Y) + 1

175 NEXT Y

180 NEXT X

220 Z1 = 0: Z2 = 0

222 FOR X = 1 TO N

224 Z1 = Z1 + C(X, X): Z2 = Z2 + C(X, N + 1 - X): NEXT X

226 S = (N * N + 1) * N / 2

228 IF Z1 = S THEN IF Z2 = S THEN 285

238 GOTO 1000

285 FOR X = 1 TO N

290 FOR Y = 1 TO N

295 PRINT C(X, Y);

300 PRINT #1, C(X, Y);

305 NEXT Y

310 PRINT : PRINT #1,

315 NEXT X

320 CLOSE #1

325 GOTO 1020

1000 PRINT "OSHIBKA!"

1020 END

 

Достаточно ввести в программу порядок квадрата, и вы мгновенно получаете ассоциативный магический квадрат, построенный методом террас. Покажу квадрат 11-ого порядка, полученный по программе (рис. 10):

 

 

                                                                      Рис. 10

 

При рассмотрении индийского метода было показано свойство ассоциативных квадратов, построенных этим методом, превращаться в идеальные квадраты. Там этим свойством обладали только квадраты порядков не кратных 3 и не кратных 5.

Ассоциативные квадраты, построенные методом террас, превращаются в идеальные для порядков не кратных 3, причём не только перестановкой столбцов, но и аналогичной перестановкой строк. Начну демонстрацию этого свойства с квадрата пятого порядка с рис. 3. На рис. 11 вы видите идеальный квадрат, полученный из этого квадрата перестановкой столбцов с шагом 1, а на рис. 12 – идеальный квадрат, полученный перестановкой строк с шагом 1. Перестановка с шагом 2 даёт эквивалентные квадраты.

 

 

                                                                      Рис. 11

 

 

                                                                      Рис. 12

 

В обоих идеальных квадратах начальная цепочка строится ходом шахматного коня, а шаги качания качелей в этих квадратах симметричные: 1+2 и 2+1.

 

Теперь покажу превращение в идеальный квадрат ассоциативного квадрата 7-ого порядка с рис. 6. Сначала выполним перестановку столбцов. Здесь получается два оригинальных квадрата: при перестановке с шагом 1 (рис. 13) и с шагом 2 (рис. 14). Другие шаги дают эквивалентные квадраты.

 

 

                                                                      Рис. 13

 

 

                                                                      Рис. 14

 

В этих идеальных квадратах шаги качания качелей различны: 2+3 и 1+4.

 

Теперь выполним аналогичную перестановку строк. На рис. 15 строки переставлены с шагом 1, а на рис. 16 – с шагом 2 (исходным по-прежнему является квадрат с рис. 6). Перестановка строк с другими шагами даёт эквивалентные квадраты.

 

 

                                                                      Рис. 15

 

 

                                                                      Рис. 16

 

Мы получили идеальные квадраты с симметричными шагами качания качелей относительно двух предыдущих идеальных квадратов: 4+1 и 3+2.

 

Понятно, что аналогичная перестановка строк (или столбцов) в ассоциативных квадратах порядков кратных 3, построенных методом террас, даёт новые ассоциативные (но не пандиагональные!) квадраты. Предлагаю читателям проделать это на примере ассоциативного квадрата 9-ого порядка с рис. 7.

 

В заключение покажу идеальный квадрат 11-ого порядка, полученный из ассоциативного квадрата с рис. 10, который получен перестановкой столбцов с шагом 1. Этот квадрат знаменателен тем, что именно в нём я впервые увидела качели с тривиальной образующей таблицей. С этого момента и началась разработка метода качелей. Смотрите этот знаменательный идеальный квадрат на рис. 17.

 

 

                                                                      Рис. 17

 

Числа в начальной цепочке этого идеального квадрата следуют по порядку. Столбец разностей в образующей таблице состоит почти из одних единиц. Поэтому образующая таблица и названа тривиальной. А качели данного вида названы стандартными. Но о методе качелей читайте в других статьях!

 

Совершенно понятно, что если вставить в приведённую выше программу блок перестановки, например, столбцов с шагом 1, попутно будут строиться по программе идеальные квадраты, конечно, только для порядков не кратных 3.

 

На этом я завершаю описание метода террас и перехожу к следующему методу.

 

Продолжение будет здесь: http://www.natalimak1.narod.ru/metody3.htm

 

***

 

Если вы прочли только эту статью, то, наверное, многого не поняли. Поэтому начните читать с самой первой страницы в книге “Волшебный мир магических квадратов”:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/glavnaja.htm

 

Всегда ваша Наталия Макарова

 

1 сентября 2008 г.

г. Саратов