МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ

 

Часть IV

 

 

МЕТОД ДЕЛАИРА или МЕТОД ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ

 

 

Продолжаю описывать методы построения магических квадратов нечётного порядка.

С этим методом возникли сложности. Напомню, что пользуюсь я книгами двух авторов: Ю. В. Чебракова и М. М. Постникова (полные названия книг см. в первой части статьи).

Книга Чебракова у меня появилась раньше. Книги Постникова у меня вообще нет. Один читатель моих статей о МК любезно выполнил мою просьбу и прислал мне фотокопии нескольких страниц этой книги. По этим фотокопиям изучаю материал.

Итак, начну с представления метода по Чебракову. Чебраков называет метод методом латинских квадратов. Читатели уже знают, как строятся магические квадраты с помощью двух ортогональных латинских квадратов. Этому вопросу было посвящено несколько моих статей. В этих статьях строились идеальные магические квадраты, совершенные магические квадраты. В данной статье вы тоже видели, что все представленные методы построения магических квадратов реализуются и с применением двух ортогональных латинских квадратов. Поэтому данный метод не является неким специальным методом, а применим к различным случаям построения магических квадратов другими способами, как, например, мой метод качелей. Но можно рассмотреть этот метод и отдельно от других методов, как самостоятельный метод, что и делает Чебраков. В главе 2.1, посвящённой методам построения магических квадратов нечётного порядка, находим пункт “Метод латинских квадратов” (стр. 96-97). Приведу описание метода точной цитатой из книги:

“В этом методе построение классического квадрата n-ого порядка производится в три этапа:

1.                          Из целых чисел от 0 до n -1 строят два ортогональных латинских квадрата размером n *n . Первый строят следующим образом: а) произвольно заполняют нижний горизонтальный ряд квадратной таблицы n*n целыми числами от 0 до n-1, следя лишь за тем, чтобы последняя клетка горизонтального ряда была заполнена числом k=[n/2]; б) остальные горизонтальные ряды таблицы заполняют снизу вверх так, чтобы каждый следующий ряд получался из предыдущего циклической перестановкой – первое число переносится в конец строки. Второй латинский квадрат получают из первого путём его поворота на девяносто градусов.

2.                          Преобразовывают полученные два латинских квадрата путём умножения каждого числа одного квадрата на n и увеличения на 1 каждого числа другого квадрата.

3.                          Производят поклеточно суммирование двух преобразованных на втором этапе квадратов”.

 

Это описание метода. Ну, второй и третий этапы – суть применение известной формулы, по которой строятся магические квадраты из двух ортогональных латинских квадратов. Читатели уже знают эту формулу. Самым главным является первый этап – составление двух ортогональных латинских квадратов. Как строится первый латинский квадрат, вполне понятно. В книге дана иллюстрация построения. На этой иллюстрации приведён такой первый латинский квадрат (рис. 1):

 

 

Рис. 1

 

Теперь переходим к составлению второго латинского квадрата. Вот здесь и возникает заковыка. В описании метода написано: “Второй латинский квадрат получают из первого путём его поворота на девяносто градусов”. Во-первых, автор не написал, куда надо повернуть квадрат: по часовой стрелке или против часовой стрелки. Во-вторых, второй латинский квадрат, который он привёл на рисунке, вообще не получается из первого латинского квадрата никаким поворотом. Смотрите сами этот латинский квадрат на рис. 2.

 

 

Рис. 2

 

Однако магический квадрат, построенный из этой пары ортогональных латинских квадратов, автор привёл на картинке правильный. Смотрите на готовый магический квадрат (рис. 3).

 

 

Рис. 3

 

Долго я ломала голову над тем, как же автор получил второй латинский квадрат из первого. Затем попробовала получить второй латинский квадрат из первого по-своему: отражением первого латинского квадрата относительно горизонтальной оси симметрии. Этот латинский квадрат вы видите на рис. 4.

 

 

Рис. 4

 

Из данной пары ортогональных латинский квадратов (рис. 1 и рис. 4) тоже получился магический квадрат (рис. 5).

 

 

Рис. 5

 

Проделала ещё серию экспериментов, по-разному получая второй латинский квадрат из первого.

 

Эксперимент № 1

 

Второй латинский квадрат получается из первого отражением относительно вертикальной оси симметрии. Не буду показывать полученный таким образом латинский квадрат. Первый латинский квадрат, понятно, во всех экспериментах один и тот же – с рис. 1 (квадрат Чебракова). На рис. 6 показываю магический квадрат, полученный из новой пары ортогональных латинских квадратов.

 

 

Рис. 6

 

Квадрат получился эквивалентным квадрату с рис. 5. Следует отметить, что получаемые мной магические квадраты ещё и ассоциативны. Первый латинский квадрат, составленный автором, является нетрадиционным ассоциативным магическим квадратом с магической константой 10. Составляемые мной вторые латинские квадраты, в отличие от второго латинского квадрата автора, тоже являются нетрадиционными ассоциативными магическими квадратами. В результате все построенные мной магические квадраты тоже получаются ассоциативными. Но это совсем необязательно, чтобы магические квадраты получались ассоциативными.

 

Эксперимент № 2

 

Второй латинский квадрат получается из первого поворотом на 90 градусов по часовой стрелке. В этом случае латинский квадрат получился точно такой же, как на рис. 4. Разумеется, построенный магический квадрат будет таким же, как на рис. 5.

 

Эксперимент № 3

 

Второй латинский квадрат получается из первого поворотом на 90 градусов против часовой стрелки. В этом случае всё получается, как в эксперименте 1.

 

Примечание: читатели уже знают, что в формуле построения магического квадрата из двух ортогональных латинских квадратов оба латинских квадрата равноправны, то есть их можно менять местами. Кстати, в описании метода Чебраковым на втором этапе не подчёркивается, как именно преобразовывается первый латинский квадрат, а как второй. Это значит, что оба квадрата равноправны.

 

Задача эта не давала мне покоя. Даже на форум с ней вышла. Но там никто задачку не решил. И тут, очень кстати, подоспели фотокопии из книги Постникова. Глава 3 из этой книги называется “Квазилинейный метод Делаира”. Цитата из книги:

 

 

Далее идут довольно сложные математические выкладки с обоснованием и доказательствами всех необходимых и достаточных условий данного метода.

Следует отметить, что в методе Делаира квадраты, с помощью которых строится магический квадрат, не называются латинскими, они называются вспомогательными. Но сути дела это не меняет, потому что вспомогательные квадраты и являются именно латинскими.

Итак, не буду здесь приводить математические выкладки и все доказательства. Одним из необходимых условий отмечается такое условие: оба вспомогательных квадрата должны быть магическими, то есть иметь одинаковые суммы по всем строкам, столбцам и главным диагоналям. Ну, это условие вполне понятно. Мы уже видели, что для построения ассоциативного магического квадрата оба латинских квадрата должны быть ассоциативными, для построения пандиагонального квадрата оба латинских квадрата должны быть пандиагональными и т. д. Другое условие – условие ортогональности вспомогательных квадратов. Это условие мы тоже хорошо знаем.

Перехожу к конкретному примеру, который приводится Постниковым. Он тоже сроит магический квадрат пятого порядка. Но сначала приведу правило для построения вспомогательного квадрата.

 

“Правило. Для построения вспомогательного магического квадрата произвольного нечётного порядка n = 2m +1 достаточно произвести следующие действия.

1)     выбрать перестановку i₁, i₂, … i_n-1 чисел 0, 1, … n-1, для которой i_n-1 = m;

2)     заполнить нижний горизонтальный ряд числами i₁, i₂, … i_n-1;

3)     остальные горизонтальные ряды заполнять последовательно снизу вверх так, чтобы каждый следующий ряд получался из предыдущего циклической перестановкой”.

 

Как видите, это правило в точности совпадает с описанием Чебраковым построения первого латинского квадрата. На рис. 7 показываю первый вспомогательный квадрат, приведённый Постниковым.

 

 

Рис. 7

 

Очевидно, что это латинский квадрат, подобный тому, какой построил Чебраков. Только перестановка чисел для нижней строки выбрана другая.

 

А теперь переходим ко второму вспомогательному квадрату – самый интересный момент! Оказывается, второй вспомогательный квадрат строится самостоятельно, и правило его построения аналогично приведённому выше правилу с одним различием: произвольная перестановка теперь записывается в верхний горизонтальный ряд. В последней ячейке по-прежнему оказывается число m. Теперь заполняются следующие строки сверху вниз точно такой же циклической перестановкой – первое число переносится в конец строки. На рис. 8 вы видите второй вспомогательный квадрат, построенный Постниковым.

 

 

Рис. 8

 

Всё стало совершенно понятно! Очевидно, что все вторые латинские квадраты, которые были построены мной, удовлетворяют правилу их построения. Всего же для одного первого вспомогательного квадрата может быть построено 24 вторых вспомогательных квадратов (количество перестановок из четырёх чисел 0, 1, 3, 4). Следовательно, методом Делаира можно построить 576 магических квадратов пятого порядка. Как вы видели из приведённых выше экспериментов, не все эти квадраты будут различны.

 

Покажу магический квадрат, который получился из пары ортогональных вспомогательных (латинских) квадратов, построенных Постниковым (рис. 9):

 

 

Рис. 9

 

Чтобы убедиться в том, что квадратов пятого порядка можно построить 576, я составила программу, реализующую метод Делаира для квадратов пятого порядка. Программа выдала точно 576 магических квадратов. Вот эта программа.

 

ТЕКСТ ПРОГРАММЫ

(язык QBASIC)

 

10 DIM A(5, 5), B(5, 5), C(5, 5), E(5), D(5)

12 OPEN "MK.txt" FOR OUTPUT AS #1

15 A(1, 1) = 2: B(1, 5) = 2: D = 0

20 FOR I = 0 TO 4

22 IF I = 2 THEN 515

24 A(1, 2) = I

26 FOR J = 0 TO 4

28 IF J <> 2 THEN IF J <> I THEN 32

30 GOTO 510

32 A(1, 3) = J

34 FOR K = 0 TO 4

36 IF K <> 2 THEN IF K <> I THEN IF K <> J THEN 40

38 GOTO 505

40 A(1, 4) = K

42 FOR L = 0 TO 4

44 IF L <> 2 THEN IF L <> I THEN IF L <> J THEN IF L <> K THEN 48

46 GOTO 500

48 A(1, 5) = L

50 Z = 2

52 A(Z, 1) = A(Z - 1, 5)

54 FOR X = 2 TO 5: A(Z, X) = A(Z - 1, X - 1): NEXT X

56 Z = Z + 1

58 IF Z > 5 THEN 70

60 GOTO 52

70 FOR M = 0 TO 4

72 IF M = 2 THEN 215

74 B(1, 1) = M

76 FOR N = 0 TO 4

78 IF N <> 2 THEN IF N <> M THEN 82

80 GOTO 210

82 B(1, 2) = N

84 FOR O = 0 TO 4

86 IF O <> 2 THEN IF O <> M THEN IF O <> N THEN 90

88 GOTO 205

90 B(1, 3) = O

92 FOR P = 0 TO 4

94 IF P <> 2 THEN IF P <> M THEN IF P <> N THEN IF P <> O THEN 98

96 GOTO 200

98 B(1, 4) = P: W = 2

100 FOR X = 1 TO 4: B(W, X) = B(W - 1, X + 1): NEXT X

102 B(W, 5) = B(W - 1, 1)

104 W = W + 1

106 IF W > 5 THEN 120

108 GOTO 100

120 FOR X = 1 TO 5

122 FOR Y = 1 TO 5

124 C(X, Y) = 5 * A(X, Y) + B(X, Y) + 1

126 NEXT Y

128 NEXT X

130 Z1 = 0: Z2 = 0

132 FOR X = 1 TO 5: Z1 = Z1 + C(X, X): Z2 = Z2 + C(X, 6 - X): NEXT X

134 IF Z1 = 65 THEN IF Z2 = 65 THEN 138

136 GOTO 200

138 FOR X = 1 TO 5: E(X) = 0: D(X) = 0: NEXT X

140 FOR X = 1 TO 5

142 FOR Y = 1 TO 5

144 E(X) = E(X) + C(X, Y): D(X) = D(X) + C(Y, X)

146 NEXT Y

148 IF E(X) = 65 THEN IF D(X) = 65 THEN 160

150 GOTO 200

160 NEXT X

162 D = D + 1

164 PRINT D: PRINT #1, D

166 FOR X = 1 TO 5

168 FOR Y = 1 TO 5

170 PRINT C(X, Y);

172 PRINT #1, C(X, Y);

174 NEXT Y

176 PRINT : PRINT #1,

178 NEXT X

200 NEXT P

205 NEXT O

210 NEXT N

215 NEXT M

500 NEXT L

505 NEXT K

510 NEXT J

515 NEXT I

520 CLOSE #1

600 END

 

Приведу первые 4 квадрата, построенные программой:

 

№ 1                                       № 2

 11  2  9  20  23                    11  2  10  19  23

 22  14  5  8  16                    22  15  4  8  16 

 19  25  13  1  7                    20  24  13  1  7

 10  18  21  12  4                  9  18  21  12  5 

 3  6  17  24  15                    3  6  17  25  14

 

№ 3                                       № 4

 11  4  7  20  23                    11  4  10  17  23  

 24  12  5  8  16                    24  15  2  8  16  

 17  25  13  1  9                    20  22  13  1  9  

 10  18  21  14  2                  7  18  21  14  5  

 3  6  19  22  15                    3  6  19  25  12

 

Я построила по программе и вторую группу квадратов, поменяв местами первый и второй латинские квадраты в формуле построения магического квадрата (см. строку 124 в программе). Эта группа, понятно, тоже состоит из 576 квадратов, но все они эквивалентны квадратам первой группы.

 

Для любого порядка n легко посчитать, сколько можно построить магических квадратов методом Делаира. Например, для n=7 количество квадратов будет равно 720*720=518400. Посмотрим один пример построения магического квадрата 7-ого порядка методом Делаира. Выбираем произвольную перестановку чисел от 0 до 6 так, чтобы последним числом в этой перестановке было число 3=[7/2]. Составляем первый латинский квадрат (рис. 10):

 

 

Рис. 10

 

Для составления второго латинского квадрата выбираем новую перестановку чисел от 0 до 6, в которой последнее число тоже должно быть равно 3. Составляем второй латинский квадрат, его составление начинаем с верхней строки. Смотрите рис. 11.

 

 

Рис. 11

 

Пара ортогональных латинских квадратов готова. Осталось построить магический квадрат. Вы видите готовый магический квадрат на рис. 12.

 

 

 

Рис. 12

 

В магических квадратах, построенных методом Делаира, работают качели. В квадрате на рис. 12 выделена начальная цепочка. В первом латинском квадрате (рис. 10) видно, как эта начальная цепочка в точности повторилась записанными в неё числами 0 (нулевой цикл качания качелей). А далее все наборы следующих циклов качания качелей повторяют начальную цепочку. На рис. 13 показана образующая таблица магического квадрата с рис. 12, если бы он строился методом качелей.

 

 

Рис. 13

 

Как видим, метод качелей применим и к методу Делаира.

 

Построим ещё один магический квадрат методом Делаира – 9-ого порядка. На рис. 14 и рис 15 вы видите пару ортогональных латинских вспомогательных квадратов, а на рис. 16 – готовый магический квадрат. Обе перестановки чисел выбраны так, что латинские квадраты получились нетрадиционными ассоциативными магическими квадратами. Поэтому и магический квадрат, построенный из этих квадратов, получился ассоциативным.

 

 

Рис. 14

 

 

Рис. 15

 

 

Рис. 16

 

Количество всех магических квадратов 9-ого порядка, которые можно построить методом Делаира, огромно, оно не влезает в мой калькулятор. Но, конечно, среди них будет много эквивалентных.

 

МЕТОД ОКАЙМЛЁННЫХ КВАДРАТОВ

 

Оригинальный метод окаймлённых квадратов я нашла в книге Ю. В. Чебракова. Раньше нигде этот метод не встречала. Излагаю по книге правила для построения магических квадратов нечётного порядка n=2k+1 с помощью окаймлённых квадратов.

 

1.      Строим любым известным методом магический квадрат порядка n-2.

2.      Увеличиваем все элементы построенного магического квадрата на величину 2(n-1).

3.      Помещаем построенный магический квадрат порядка n-2 в матрицу n*n так, чтобы с каждой стороны квадрата был один свободный столбец (свободная строка).

4.      Угловые ячейки матрицы n*n заполняются так: в верхнюю левую ячейку записывается число d-3k-1, в верхнюю правую – число d-k-1, в нижнюю левую - число k+1, в нижнюю правую - число 3k+1, где k=[n/2], d=n²+1.

5.      Свободные ячейки верхней строки матрицы заполняются следующими числами (в произвольном порядке): k и {m, d-2k-1-m} , где m=1, 2, … k-1.

6.      Свободные ячейки левого столбца матрицы заполняются следующими числами (в произвольном порядке): d-2k-1 и {k+1+m, d-3k-1-m}, где m=1, 2, … k-1.

7.      Свободные ячейки нижней строки матрицы заполняют числами, комплементарными (то есть дополнительными до d) числам, расположенным напротив соответствующей ячейки в верхней строке матрицы. Аналогично заполняются свободные ячейки правого столбца матрицы.

 

Продемонстрирую метод построения на примере, приведённом автором книги. Это пример построения магического квадрата 5-ого порядка. Понятно, что данным методом можно строить магические квадраты, начиная с порядка n=5.

В качестве исходного магического квадрата автор взял следующий магический квадрат третьего порядка (рис. 17):

 

 

Рис. 17

 

Выполним сразу два пункта, увеличим все элементы этого магического квадрата на 2(n-1)=8 и поместим его в матрицу 5х5 (см. рис. 18).

 

 

Рис. 18

 

Выполняем пункт 4, заполняем угловые ячейки матрицы (рис. 19).

 

 

Рис. 19

 

Заполняем верхнюю строку и левый столбец матрицы (пункты 5 и 6). Смотрите на рис. 20.

 

 

Рис. 20

 

Осталось выполнить последний пункт – заполнить нижнюю строку и правый столбец матрицы комплементарными числами. И магический квадрат 5-ого порядка готов (рис. 21).

 

 

Рис. 21

 

Интересно отметить, что, поскольку, верхняя строка и левый столбец матрицы заполняются числами в произвольном порядке (кроме угловых ячеек), то можно построить не один магический квадрат данным методом. Так, для порядка n=5 можно построить 36 разных магических квадратов (вариантов заполнения верхней строки 6, и при этом вариантов заполнения левого столбца тоже 6). На рис. 22 вы видите один из вариантов.

 

 

Рис. 22

 

Теперь продолжу демонстрацию для квадрата 7-ого порядка. А в качестве исходного магического квадрата возьмём только что построенный магический квадрат 5-ого порядка с рис. 21. Результат выполнения пунктов 2-3 изображён на рис. 23.

 

 

Рис. 23

 

Заполняем матрицу, выполняя пункты 4-7, и получаем следующий магический квадрат (рис. 24):

 

 

Рис. 24

 

Для квадрата 7-ого порядка вариантов ещё больше – 14400 (вариантов заполнения верхней строки 120, и при этом вариантов заполнения левого столбца тоже 120).

 

И, наконец, ещё один пример – построение магического квадрата 9-ого порядка. В качестве исходного снова берём только что построенный магический квадрат седьмого порядка (хотя, конечно, можно взять любой магический квадрат данного порядка). На рис 25 вы видите готовый магический квадрат 9-ого порядка.

 

 

Рис. 25

 

Предлагаю читателям посчитать, сколько магических квадратов 9-ого порядка можно построить данным методом.

 

Интересно, что каждый вписанный квадрат является нетрадиционным магическим квадратом. При этом магическая константа каждого квадрата, вписанного в магический квадрат 9-ого порядка, является числом кратным 41 (числу в центральной ячейке квадрата). Магическая константа каждого квадрата, вписанного в магический квадрат 7-ого порядка (рис. 24) кратна числу 25 и т. д.

Смотрите на квадрат 9-ого порядка (рис. 25). Магическая константа вписанного квадрата 3-его порядка равна 123=3*41, магическая константа вписанного квадрата 5-ого порядка равна 205=5*41, магическая константа вписанного квадрата 7-ого порядка равна 287=7*41. Забавная закономерность!

 

Вы можете продолжить построение окаймлённых магических квадратов.

 

***

 

На форуме dxdy.ru в теме “Магические квадраты” была приведена интересная иллюстрация из какого-то старого журнала о магических квадратах на английском языке. Иллюстрация названа “Концентрические магические квадраты”. Вот ссылка на данную тему:

http://dxdy.ru/topic12959.html

 

Я, конечно, сразу же скопировала эту иллюстрацию. А теперь поняла происхождение концентрических магических квадратов. На рис. 25 тоже изображены концентрические магические квадраты. Покажу здесь иллюстрацию из старого журнала, приведённую на форуме (рис. 26):

 

 

Рис. 26

 

Воспроизведу магический квадрат 11-ого порядка, изображённый справа (рис. 27), чтобы с ним было удобно работать.

 

 

Рис. 27

 

К своему удивлению обнаружила, что в двух строках магического квадрата нет магической суммы (неправильные суммы выделены на рис. 27 красным цветом). Конечно, нет магической суммы и в соответствующих строках вписанного нетрадиционного магического квадрата 9-ого порядка. Где-то вкралась ошибка!

Давайте “разденем” окаймлённые квадраты. На рис. 28 показан магический квадрат 9-ого порядка.

 

 

 

Рис. 28

 

Снова нет магической суммы в тех же строках. На рис. 29 изображён магический квадрат 7-ого порядка.

 

 

Рис. 28

 

В этом магическом квадрате уже всё нормально, магические суммы есть во всех строках, столбцах и главных диагоналях. Значит, ошибка была допущена при переходе от квадрата 7-ого порядка к квадрату 9-ого порядка. Сначала “разденем” квадрат до конца, то есть посмотрим ещё на магические квадраты пятого и третьего порядка, а затем поищем ошибку. На рис. 29 вы видите магический квадрат пятого порядка, а на рис. 30 – магический квадрат третьего порядка.

 

 

Рис. 29

 

 

Рис. 30

 

Как видите, исходный магический квадрат точно такой же, какой взят для построения магического квадрата 5-ого порядка Чебраковым (см. рис. 17).

 

Итак, ищем ошибку. Выполняем переход от магического квадрата 7-ого порядка к магическому квадрату 9-ого порядка. Сначала увеличим все элементы квадрата с рис. 28 на величину 2(n-1)=16 и поместим полученный нетрадиционный магический квадрат 7-ого порядка в матрицу 9х9. Результат изображён на рис. 31.

 

 

Рис. 31

 

Пока всё правильно, нетрадиционный магический квадрат 7-ого порядка получился, его магическая константа равна 287. Теперь будем заполнять окаймление этого квадрата по приведённым выше правилам (рис. 32).

 

 

Рис. 32

 

Магический квадрат 9-ого порядка тоже получился! Окаймляем его ещё раз и получаем магический квадрат 11-ого порядка (рис. 33).

 

 

Рис. 33

 

Итак, если всё выполнять по правилам, изложенным Чебраковым, то магический квадрат получается правильным.

 

Понятно, что окаймление квадратов можно продолжить. На рис. 34 вы видите магический квадрат 13-ого порядка, полученный окаймлением квадрата с рис. 33.

 

 

Рис. 34

 

Теперь проверим второй магический квадрат, изображённый на старинной иллюстрации слева. Это магический квадрат 13-ого порядка, смотрите его на рис. 35.

 

 

Рис. 35

 

С этим квадратом всё в порядке, он вполне магический. Магические константы всех вписанных нетрадиционных магических квадратов кратны числу в центральной ячейке квадрата – 85, причём множитель кратности всегда равен порядку вписанного квадрата.

Однако здесь совсем другая технология заполнения окаймлённых квадратов. Предлагаю читателям разобраться в этой технологии. По сути дела мы имеем вариант метода окаймлённых квадратов.

 

Примечание: эта технология меня, конечно, очень заинтересовала, и я посвятила ей статью http://www.natalimak1.narod.ru/concent.htm  (статью пишу, если не открывается пока, подождите немного).

 

МЕТОД ПРИМЕНЕНИЯ ОБРАТИМЫХ КВАДРАТОВ

 

Этот метод я не встречала в имеющихся у меня книгах, и в Интернете тоже не встречала. Обратимые квадраты применяются для построения совершенных квадратов. Это есть в Интернете, в статье на английском языке и подробно мной рассмотрено в соответствующей статье. Далее я рассмотрела также построение идеальных квадратов с помощью обратимых (смотрите статью http://www.klassikpoez.narod.ru/obratid.htm ).

 

Теперь хочу показать построение магических квадратов любого нечётного порядка из обратимых квадратов. Определения для обратимых квадратов смотрите в статьях, написанных раньше.

Начну с магического квадрата третьего порядка. На рис. 36 вы видите самый простой обратимый квадрат третьего порядка.

 

 

Рис. 36

 

Будем строить магические квадраты, совпадающие с квадратами, построенными методом террас. Применим к обратимому квадрату с рис. 36 следующее матричное преобразование (рис. 37) [матрицу исходного квадрата мы обозначили A(a_ij)]:

 

 

Рис. 37

 

В результате мы получим магический квадрат, который вы видите на рис. 38. Он в точности совпадает с квадратом, построенным методом террас.

 

 

Рис. 38

 

Проделаем то же самое для квадрата 5-ого порядка. Самый простой обратимый квадрат не буду показывать, читатели уже поняли, что в таком квадрате числа просто вписываются в естественном порядке построчно, начиная с левой верхней ячейки, в которую записывается число 1. На рис. 39 показано матричное преобразование, которое надо применить к самому простому обратимому квадрату 5-ого порядка, чтобы получить магический квадрат. Этот квадрат тоже будет такой же, как квадрат, построенный методом террас.

 

 

Рис. 39

 

Применив это матричное преобразование к самому простому обратимому квадрату 5-ого порядка, получаем следующий магический квадрат (рис. 40):

 

 

Рис. 40

 

Ну, и ещё раз – для квадрата 7-ого порядка. На рис. 41 вы видите матричное преобразование для построения магического квадрата 7-ого порядка из самого простого обратимого квадрата.

 

 

Рис. 41

 

На рис. 42 изображён готовый магический квадрат 7-ого порядка, построенный применением этого матричного преобразования к самому простому обратимому квадрату.

 

 

Рис. 42

 

“Ну и что же в этом методе?” – спросит читатель. Все эти магические квадраты можно построить и методом террас. Однако обратимый квадрат ведь не один только существует – самый простой. Есть ещё очень много обратимых квадратов. И из каждого обратимого квадрата, применяя то же самое матричное преобразование, можно построить новый магический квадрат. Таким образом, мы имеем обобщение метода террас. Покажу пример для квадрата 7-ого порядка. На рис. 43 вы видите новый обратимый квадрат.

 

 

Рис. 43

 

Обозначив по-прежнему матрицу этого обратимого квадрата A(a_ij), применим к нему матричное преобразование, изображённое на рис. 41. Мы получим новый магический квадрат 7-ого порядка (рис. 44).

 

 

Рис. 44

 

Очевидно, что новый квадрат подобен квадрату с рис. 42, однако не эквивалентен ему. Эти квадраты связаны преобразованием “плюс-минус 4”. На рис. 45 показана матрица этого преобразования.

 

 

Рис. 45

 

Посмотрите, как интересно: преобразование не затрагивает совсем одну главную диагональ. Наложив матрицу этого преобразования на квадрат с рис. 42 и выполнив все действия над числами, попавшими в закрашенные ячейки, вы получите квадрат с рис. 44. Очевидно, что преобразование сохраняет ассоциативность квадрата.

 

Много ли существует обратимых квадратов 7-ого порядка? Думаю, что очень много. Точное количество не знаю. Сочиню ещё один обратимый квадрат (рис. 46):

 

 

Рис. 46

 

Строим магический квадрат из этого обратимого квадрата с помощью того же матричного преобразования (с рис. 41). Полученный магический квадрат вы видите на рис. 47.

 

 

Рис. 47

 

Очевидно, что полученный магический квадрат оригинальный, то есть не эквивалентный двум построенным выше магическим квадратам 7-ого порядка. Даже начальная цепочка немного изменила свою форму, оставаясь по-прежнему диагональной. Этот квадрат связан с квадратом, построенным методом террас (рис. 42), преобразованием “плюс-минус 14”. Предлагаю читателям составить матрицу этого преобразования.

 

Так, с помощью обратимых квадратов мы получили обобщение метода террас. Понятно, что аналогично можно строить квадраты любого нечётного порядка. Магических квадратов построится ровно столько, сколько существует обратимых квадратов данного порядка. Матрицу преобразования надо составлять, исходя из пары квадратов: самый простой обратимый квадрат – квадрат, построенный методом террас. Впрочем, из трёх приведённых выше матриц преобразования можно вывести закономерности составления такой матрицы для любого нечётного порядка и написать матрицу в общем виде. Похожая задача с обобщением матрицы преобразования уже не раз решалась в предыдущих статьях.

 

МЕТОД СОСТАВНЫХ КВАДРАТОВ

 

Осталось рассказать об универсальном методе построения магических квадратов – методе составных квадратов. Этим методом можно построить магический квадрат любого порядка n, который может быть представлен в виде произведения двух чисел: n=k*m. Понятно, что минимальный порядок квадрата, который может быть построен данным методом, равен 9. Квадрат порядка k назовём базовым, а квадрат порядка m – основным. Базовый и основной квадраты можно менять местами. При этом если базовый и основной квадраты обладают некоторым свойством, оно присуще и составному квадрату. Так, например, из двух ассоциативных квадратов получается ассоциативный составной квадрат, из двух идеальных квадратов – идеальный составной квадрат.

 

Метод составных квадратов известен очень давно. К сожалению, не знаю имя его автора. Интересно отметить, что я открыла для себя этот метод, исследуя построение ассоциативных квадратов. А затем уже нашла его в одной статье в Интернете.

Построение магических квадратов разных видов данным методом встречается во многих моих статьях (там вы найдёте и подробное описание метода). Покажу здесь только один пример. Возьмём в качестве базового квадрата магический квадрат третьего порядка с рис. 38, а в качестве основного – магический квадрат 5-ого порядка с рис. 40. Поскольку оба квадрата ассоциативны, составной квадрат 15-ого порядка тоже будет ассоциативным (рис. 48).

 

 

Рис. 48

 

А теперь покажу квадрат, построенный на базе квадрата 5-ого порядка, основным будет квадрат третьего порядка (рис. 49):