МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ

 

Часть V

 

Раздел 2. Построение магических квадратов чётно-чётного порядка

 

Перехожу к описанию методов построения магических квадратов чётно-чётного порядка, то есть порядка кратного 4: n=4k, k=1, 2, 3…

Кратко некоторые методы изложены в статье

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/metody.htm

 

 

МЕТОД КВАДРАТНЫХ РАМОК

 

Как я уже упоминала, метод квадратных рамок был найден мной очень давно в журнале “Наука и жизнь”. Сейчас встретила этот метод в книге Ю. В. Чебракова. Автор называет этот метод методом террас.

 

Рассмотрим построение данным методом магического квадрата восьмого порядка. На матричное поле (с изображённым на нём исходным квадратом 8х8) наносятся квадратные рамки со стороной в два раза меньшего размера, чем сторона исходного квадрата (см. рис. 1) с шагом в одну клетку по диагонали (или две клетки по строкам и столбцам). Затем по линиям рамок расставляются числа от 1 до n² по порядку, начиная с левой верхней ячейки исходного квадрата, причём первая рамка обходится по часовой стрелке, вторая рамка начинается с верхней свободной справа ячейки квадрата и обходится против часовой стрелки и т. д. Числа, не попавшие в квадрат, переносятся внутрь его так, чтобы они примкнули к противолежащим сторонам квадрата. Готовый магический квадрат изображён на рис. 2.

 

			4	5
		3			6
	2		21	20		7
1		22			19		8
16	23		36	37		18	9
24	15	35			38	10	17
25	34	14	53	52	11	39	32
33	26	54	13	12	51	31	40
48	55	27			30	50	41
56	47		28	29		42	49
57		46			43		64
	58		45	44		63
		59			62
			60	61

 

                      Рис. 1

 

Примечание: здесь рамки не получились квадратными да ещё и немного сместились из-за неудобной графики компьютера.

 

 

 

                                                                       Рис. 2

 

Магические квадраты, построенные методом квадратных рамок, ассоциативны.

 

Приведу иллюстрацию из моей старой рукописи “Компьютер решает головоломки”. Рукопись была напечатана в 1993 г. на старой ЭВМ, но которой я работала. На иллюстрации показано построение магического квадрата 12-ого порядка методом квадратных рамок. Ячейки раскрашены цветным карандашом (печать на ЭВМ была, конечно, чёрно-белая). Надпись на иллюстрации сделана сейчас.

 

 

Понятно, что методом квадратных рамок можно построить только один магический квадрат данного порядка. Можно ли обобщить метод? Попробуем сделать это с помощью использования обратимых квадратов. Начнём с магического квадрата 4-ого порядка. На рис. 3 вы видите квадрат, построенный методом квадратных рамок.

 

 

                                                                       Рис. 3

 

Чтобы получить такой магический квадрат, применим к самому простому обратимому квадрату, матрицу которого обозначим A(a_ij), следующее матричное преобразование (рис. 4):

 

 

                                                                       Рис. 4

 

А теперь возьмём другой обратимый квадрат 4-ого порядка (рис. 5) и применим к нему это же преобразование.

 

 

                                                                       Рис. 5

 

На рисунке 6 вы видите готовый магический квадрат.

 

 

                                                                       Рис. 6

 

Мы получили новый магический квадрат, не эквивалентный квадрату на рис. 3. Эти два квадрат связаны преобразованием “плюс-минус 2”. Предлагаю читателям составить матрицу этого преобразования.

 

В статье http://www.geocities.com/~harveyh/most-perfect.htm приведено точное количество обратимых квадратов 4-ого порядка; их всего 48, три группы по 16 квадратов в каждой. Вот первая группа обратимых квадратов из этой статьи.

 

 

Первый квадрат – это самый простой обратимый квадрат, в нём числа записаны в естественном порядке.

 

Приведу ещё один пример применения матричного преобразования с рис. 4 к одному из обратимых квадратов. Возьму в качестве исходного последний обратимый квадрат (из приведённой выше группы обратимых квадратов). На рис. 7 вы видите построенный магический квадрат.

 

 

                                                                       Рис. 7

 

Этот квадрат получается из квадрата, построенного методом квадратных рамок (рис. 3), перестановкой строк и столбцов.

 

Таким образом, мы можем построить с помощью данного матричного преобразования 48 магических квадратов 4-ого порядка. Вот такое интересное обобщение метода квадратных рамок даёт использование обратимых квадратов.

 

Проделаем то же самое для квадратов 8-ого порядка. На рис. 8 вы видите матричное преобразование, которое надо применить к самому простому обратимому квадрату 8-ого порядка, чтобы получить магический квадрат, построенный методом квадратных рамок (рис. 2).

 

 

                                                                       Рис. 8

 

Берём теперь в качестве исходного квадрата другой обратимый квадрат, изображённый на рис. 9.

 

 

                                                                       Рис. 9

 

Применив матричное преобразование с рис. 8 к этому обратимому квадрату, получаем следующий магический квадрат (рис. 10):

 

 

                                                                       Рис. 10

 

Очевидно, что магические квадраты, построенные с помощью матричного преобразования, тоже ассоциативны (см. квадраты на рис. 6, 7, 10).

 

Новый магический квадрат 8-ого порядка связан с квадратом, построенным методом квадратных рамок, преобразованием “плюс-минус 4”. Вы видите матрицу этого преобразования на рис. 10а.

 

 

                                                                       Рис. 10а

 

Симпатичное преобразование, сохраняющее ассоциативность квадрата.

 

В указанной выше статье приведено количество обратимых квадратов 8-ого порядка, это 10 групп по 36864 квадрата в каждой, итого 368640 квадратов. Столько же магических квадратов мы можем построить с помощью показанного здесь матричного преобразования.

 

Понятно, что применение матричного преобразования легко запрограммировать. Если составить программу построения всех обратимых квадратов 8-ого порядка, то, добавив в эту программу блок применения к каждому обратимому квадрату матричного преобразования, вы построите с помощью этой программы 368640 магических квадратов 8-ого порядка. Все эти квадраты будут различны с точностью до перестановки строк и столбцов и преобразований типа “плюс-минус …”.

 

В статье http://www.klassikpoez.narod.ru/soversh3.htm я построила все 10 уникальных (то есть принципиально различных) обратимых квадратов 8-ого порядка. Каждый из уникальных обратимых квадратов порождает группу из 36864 обратимых квадратов. Построение всех обратимых квадратов – задача очень интересная ещё и потому, что из каждого обратимого квадрата другим матричным преобразованием (оно разработано мной при исследовании совершенных квадратов) можно получить совершенный магический квадрат.

 

На рис. 11 покажу третий уникальный обратимый квадрат 8-ого порядка (два уже представлены здесь, первый – самый простой обратимый квадрат, в котором числа записаны по порядку, второй – на рис. 9).

 

 

Рис. 11

 

Применим матричное преобразование с рис. 8 к этому обратимому квадрату. Полученный в результате магический квадрат вы видите на рис. 12.

 

 

                                                                       Рис. 12

 

***

 

Посмотрим на метод квадратных рамок с точки зрения латинских квадратов. Для этого разложим магический квадрат, построенный этим методом (рис. 2) на два ортогональных латинских квадрата. Смотрите эти квадраты на рис. 13 - 14.

 

 

                                                                       Рис. 13

 

Первый латинский квадрат получился обобщённый. Он, как и должно быть, является нетрадиционным ассоциативным магическим квадратом с магической константой 28. Очевидны некоторые закономерности в составлении этого латинского квадрата: 1)правая половина квадрата является зеркальным отражением левой половины; 2) в первом столбце числа записаны по порядку; 3) числа в нижней строке комплементарны числам в соответствующих ячейках верхней строки (то есть в сумме дают 7); 4) то же самое имеет место для чисел в любых двух симметричных строках.  Есть ещё некоторые, не такие очевидные, закономерности. Предлагаю читателям выявить эти закономерности. Достаточно ли этих закономерностей, чтобы составить латинский квадрат? Попробуйте ответить на этот вопрос. А для этого попытайтесь составить первый латинский квадрат для построения магического квадрата 12-ого порядка, разумеется, точно такого, какой строится методом квадратных рамок (этот квадрат вы видите на иллюстрации из книги “Компьютер решает головоломки”).

 

Вот второй латинский квадрат (рис. 14).

 

 

                                                                       Рис. 14

 

Второй латинский квадрат тоже обобщённый. Он так же является нетрадиционным ассоциативным магическим квадратом с магической константой 28. Как он составляется, трудно определить. Ясно одно: он должен быть ортогонален первому латинскому квадрату.

 

Интересно посмотреть на магический квадрат, который получится, если латинские квадраты поменять местами (рис. 15).

 

 

                                                                       Рис. 15

 

Получился новый магический квадрат с очень оригинальной начальной цепочкой. Продублирую здесь квадрат, построенный методом квадратных рамок, и выделю в нём начальную цепочку для сравнения (рис. 16).

 

 

                                                                       Рис. 16

 

Следовательно, применение латинских квадратов даёт нам как минимум ещё один новый магический квадрат.

 

Ну, и, конечно, в квадратах, построенных методом квадратных рамок, работают качели. Предлагаю любознательным читателям убедиться в этом самостоятельно.

 

***

 

Сейчас попробовала составить первый латинский квадрат для построения квадрата 12-ого порядка, который строится методом квадратных рамок. Для этого использовала те закономерности, которые выявлены в первом латинском квадрате 8-ого порядка (см. рис. 13). Первый латинский квадрат получился такой (рис. 17):

 

 

                                                                       Рис. 17

 

Все закономерности сохранены. Обратите внимание на то, как интересно в квадратах, построенных методом квадратных рамок, повторяется начальная цепочка. На рис. 17 раскрашены нулевой, первый и второй циклы качания качелей. Нулевой цикл, как знают читатели, соответствует числам начальной цепочки. Начальная цепочка повторяется попеременно то в таком же виде, то в перевёрнутом.

 

Итак, первый латинский квадрат для построения магических квадратов, строящихся методом квадратных рамок, мы составлять умеем. Осталось научиться составлять второй латинский квадрат (он должен быть ортогональным первому). Пока я не могу сказать, как это делается, и поэтому получаю второй латинский квадрат как дополнительный к первому по известному мне готовому квадрату, построенному методом квадратных рамок. Второй латинский квадрат изображён на рис. 18.

 

 

                                                                       Рис. 18

 

Оба латинских квадрата обобщённые и являются нетрадиционными ассоциативными магическими квадратами с магической константой 66.

 

Теперь осталось построить из полученной пары ортогональных латинских квадратов магический квадрат. Сначала построим магический квадрат, в точности совпадающий с квадратом, построенным методом квадратных рамок (рис. 19).

 

 

                                                                       Рис. 19

 

В магическом квадрате раскрашены наборы чисел, соответствующие нулевому, первому и второму циклам качания качелей (как и в первом латинском квадрате).

 

Теперь поменяем местами первый и второй латинские квадраты в формуле для построения магического квадрата (надеюсь, читатели помнят эту формулу). В результате мы получим новый магический квадрат 12 порядка с оригинальной начальной цепочкой. Смотрите этот квадрат на рис. 20.

 

 

                                                                       Рис. 20

 

В этом магическом квадрате “тон задаёт” латинский квадрат с рис. 18, потому что он в этом случае – первый. Продублирую этот латинский квадрат и сделаю соответствующую раскраску (рис. 21).

 

 

                                                                       Рис. 21

 

Незыблемый закон повторения начальной цепочки в циклах!

 

МЕТОД РАУЗ-БОЛЛА

 

Метод Рауз-Болла состоит в следующем: в данный квадрат чётно-чётного порядка вписываются числа в их естественном порядке, начиная с левой верхней ячейки. Затем в квадрате проводятся диагонали. Числа, расположенные во взаимно симметричных ячейках (относительно центра квадрата), через которые прошли диагонали, меняются местами, а числа, через которые диагонали не прошли, остаются на месте. Так, на рис. 22 диагонали пересекли восемь чисел, надо поменять местами взаимно симметричные: 1-16, 6-11, 13-4, 10-7. Готовый магический квадрат изображён на рис. 23. Можно поступить наоборот: оставить на месте числа, через которые прошли диагонали, а поменять местами числа, не попавшие на диагонали и симметрично расположенные относительно центра квадрата. На рис. 24 показан квадрат, построенный таким образом. Сравнив его с квадратом на рис. 23, вы видите, что это тот же квадрат, повёрнутый на 180 градусов вокруг центра квадрата.

 

 

1	2	3	4		16	2	3	13		1	15	14	4
5	6	7	8		5	11	10	8		12	6	7	9
9	10	11	12		9	7	6	12		8	10	11	5
13	14	15	16		4	14	15	1		13	3	2	16

 

Рис. 22                           Рис. 23                      Рис. 24

 

При построении методом Рауз-Болла магического квадрата восьмого порядка диагонали соединяют на только углы квадрата, но и середины его сторон, то есть диагонали проводятся в четырёх  угловых квадратах 4х4 (см. рис. 25); взаимно симметричных пар чисел, которые надо поменять местами, будет шестнадцать: 1-64, 10-55, 19-46, 28-37, 8-57, 15-50, 22-43, 29-36, 4-61, 5-60, 11-54, 14-51, 18-47, 23-42, 25-40, 32-33. На рис. 26 изображён готовый магический квадрат восьмого порядка, построенный методом Рауз-Болла.

 

 

1	2	3	4	5	6	7	8		64	2	3	61	60	6	7	57
9	10	11	12	13	14	15	16		9	55	54	12	13	51	50	16
17	18	19	20	21	22	23	24		17	47	46	20	21	43	42	24
25	26	27	28	29	30	31	32		40	26	27	37	36	30	31	33
33	34	35	36	37	38	39	40		32	34	35	29	28	38	39	25
41	42	43	44	45	46	47	48		41	23	22	44	45	19	18	48
49	50	51	52	53	54	55	56		49	15	14	52	53	11	10	56
57	58	59	60	61	62	63	64		8	58	59	5	4	62	63	1

 

   Рис. 25                                                                  Рис. 26

 

Примечание: описание метода приведено по журналу “Наука и жизнь” (к сожалению, номер журнала я не помню, так как это было очень давно, 70-е годы прошлого века).

Интересно отметить, что в книге Ю. В. Чебракова метод Рауз-Болла представлен как метод Деланэ – Мондезира. Чебраков описывает метод так: “Построим исходную таблицу размером n*n. Разделим исходную таблицу на квадратные блоки 4*4 и отметим в каждом блоке клетки, находящиеся на главных диагоналях. Для получения классического квадрата порядка n=4k остаётся во всех отмеченных клетках произвести замену находящихся в них чисел d_i на числа n*n + 1 - d_i” (стр. 116).

Исходной таблицей автор называет самый простой обратимый квадрат.

Очевидно, что метод, описанный Чебраковым, не что иное, как метод Рауз-Болла. Непонятно, почему у него он называется по-другому.

Следует добавить, что для получения классического квадрата можно наоборот числа в отмеченных ячейках оставить без изменения, а все остальные числа заменить на взаимно дополнительные (см. рис. 26а).

 

 

Рис. 26а

 

Очевидно, что магический квадрат, построенный методом Рауз-Болла, ассоциативен.

 

В журнале был приведён ещё упрощённый метод Рауз-Болла, но он мало интересен, так как приводит к эквивалентному магическому квадрату. Кратко упрощённый метод состоит в следующем: так же проводят в квадрате диагонали, а затем вписывают числа в естественном порядке, сначала заполняя ячейки, пересечённые диагоналями и пропуская ячейки, не пересечённые диагоналями, а потом наоборот, начиная теперь писать с нижней правой ячейки квадрата. На рис. 27 изображён квадрат 8-ого порядка, построенный упрощённым методом Рауз-Болла.

 

 

                                                                       Рис. 27

 

Как видите, этот квадрат эквивалентен квадрату с рис. 26 и в точности совпадает с квадратом на рис. 26а справа.

Покажу ещё один квадрат, построенный упрощённым методом Рауз-Болла (рис. 27а). В квадрате выделена начальная цепочка.

 

 

                                                                       Рис. 27а

 

Обратите внимание: в этом методе исходным квадратом является самый простой обратимый квадрат. Естественно, сразу возникает вопрос: можно ли применить метод к другому обратимому квадрату. Проверим. Возьмём в качестве исходного обратимый квадрат 4-ого порядка с рис. 5. Проделаем нужные перестановки чисел в этом квадрате. Готовый магический квадрат показан на рис. 28.

 

 

                                                                       Рис. 28

 

Получаем новый магический квадрат. Он связан с квадратом, построенным методом Рауз-Болла (рис. 23) преобразованием “плюс-минус 2”. Даже начальная цепочка изменила форму.

 

Аналогично тому, как это было сделано в методе квадратных рамок, можно составить матрицу преобразования, с помощью которого очень просто строить магические квадраты из обратимых. Предоставляю это читателям.

 

Таким образом, мы имеем обобщение метода Рауз-Болла: из каждого обратимого квадрата можно получить новый магический квадрат.

 

Посмотрим на метод Рауз-Болла с точки зрения латинских квадратов. Для этого разложим квадрат с рис. 26 на два латинских квадрата. Первый латинский квадрат вы видите на рис. 29.

 

 

                                                                       Рис. 29

 

Во-первых, разумеется, этот обобщённый латинский квадрат является нетрадиционным ассоциативным магическим квадратом с магической константой 28. Ещё четыре закономерности очевидны: 1) числа в противоположных ячейках симметричных строк комплементарны; 2) правая половина квадрата является зеркальным отражением левой половины; 3) числа в главных диагоналях записаны по порядку; 4) каждая строка составляется из двух комплементарных чисел. Менее очевидная закономерность: четвертинка квадрата, состоящая из третьего и четвёртого столбцов, является зеркальным отражением четвертинки квадрата, состоящей из первого и второго столбцов. Аналогично – для третьей и четвёртой четвертинок. Думаю, этих закономерностей вполне достаточно, чтобы составить первый латинский квадрат, например, 12-ого порядка. Попробуйте!

 

В первом латинском квадрате хорошо видно повторение начальной цепочки. Оригинальная начальная цепочка! Продублирую квадрат с рис. 26 и сделаю в нём соответствующую раскраску (рис. 29а).

 

 

                                                                       Рис. 29а

 

На рис. 30 вы видите второй латинский квадрат.

 

 

                                                                       Рис. 30

 

Очевидно, что второй латинский квадрат получается из первого поворотом на 90 градусов против часовой стрелки. Поэтому составление пары ортогональных латинских квадратов в случае метода Рауз-Болла легко запрограммировать.

 

Посмотрим на магический квадрат, построенный из пары этих ортогональных латинских квадратов, переставленных в формуле для построения магического квадрата (рис. 31).

 

 

                                                                       Рис. 31

 

Очевидно, что этот квадрат эквивалентен квадрату с рис. 26.

 

На рис. 32 представлен первый латинский квадрат для построения магического квадрата 12-ого порядка (такого, какой строится методом Рауз-Болла). Этот латинский квадрат составлен по выявленным выше закономерностям в первом латинском квадрате 8-ого порядка (рис. 29).

 

 

                                                                       Рис. 32

 

Повернув этот латинский квадрат на 90 градусов против часовой стрелки, мы получим второй латинский квадрат (рис. 33).

 

 

                                                                       Рис. 33

 

Не буду показывать квадрат, построенный из этой пары ортогональных латинских квадратов и в точности совпадающий с квадратом, построенным методом Рауз-Болла. Покажу квадрат, полученный из этой же пары латинских квадратов, но переставленных (рис. 34).