МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ

 

Часть VI

 

Раздел 3. Построение магических квадратов чётно-нечётного порядка

 

Последняя группа магических квадратов – квадраты чётно-нечётного порядка n=4k+2, k=1, 2, 3… Иногда их ещё называют квадратами порядка одинарной чётности (в отличие от квадратов порядка двойной чётности или чётно-чётного порядка n=4k, k=1, 2, 3…). Эти магические квадраты, наверное, меньше всего исследованы, потому что для данной серии порядков не существует ни ассоциативных, ни пандиагональных квадратов.

 

Когда я только познакомилась с магическими квадратами по журналам “Наука и жизнь” (это было в 1977 г.), в журналах тогда писали, что для данной серии порядков вообще не существует методов построения. Меня очень удивил такой факт, и я решила придумать хоть один метод. Мне это удалось. Разработанный мной тогда метод я назвала методом четырёх квадратов. Он подробно изложен в статье

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/mojmetod.htm

 

Не буду здесь повторять изложение данного метода. Покажу только несколько магических квадратов, построенных этим методом. На рис. 1 вы видите самый первый квадрат чётно-нечётного порядка – 6-ого, построенный методом четырёх квадратов.

 

 

                                                                                        Рис. 1

 

Как известно, существует 8 магических квадратов третьего порядка, получающихся друг из друга поворотами и отражениями. Если вы возьмёте другой исходный магический квадрат третьего порядка и данным методом построите магический квадрат шестого порядка, то это будет новый магический квадрат не эквивалентный квадрату с рис. 1. Один из таких квадратов шестого порядка вы видите на рис. 2.

 

 

                                                                                       Рис. 2

 

Отмечу одно интересное свойство магических квадратов, построенных методом четырёх квадратов. Угловые квадраты 3х3 можно поворачивать вокруг центра на 90 градусов. Продемонстрирую это свойство на примере квадрата с рис. 1. Если повернуть все угловые квадраты 3х3 на 90 градусов против часовой стрелки, а затем поменять местами верхний правый и левый нижний квадраты 3х3, то снова получится магический квадрат. Вы видите этот квадрат на рис. 3.

 

 

                                                                                        Рис. 3

 

Выполним точно такое же преобразование для квадрата с рис. 3. Новый магический квадрат изображён на рис. 4.

 

 

                                                                                        Рис. 4

 

Предлагаю читателям посмотреть другие варианты данного преобразования.

 

На рис. 5 показан магический квадрат 10-ого порядка, построенный методом четырёх квадратов.

 

 

                                                                       Рис. 5

 

Исходным квадратом для построения магического квадрата 10-ого порядка служит магический квадрат 5-ого порядка. Поскольку магических квадратов 5-ого порядка существует несколько миллионов, недостатка в магических квадратах 10-ого порядка не будет. Кроме того, замечание, сделанное для квадратов 6-ого порядка, здесь тоже справедливо: если в качестве исходного взять эквивалентный квадрат 5-ого порядка (тому квадрату, который использовался при построении квадрата с рис. 5), то построенный квадрат 10-ого порядка не будет эквивалентным квадрату с рис. 5.

В квадратах 10-ого порядка, построенных методом четырёх квадратов, тоже можно выполнять преобразование с поворотом на 90 градусов угловых квадратов 5х5. На рис. 6 вы видите магический квадрат, полученный применением такого преобразования к квадрату с рис. 5.

 

 

                                                                       Рис. 6

 

Понятно, что перестановку чисел, производимую в методе четырёх квадратов, можно выразить с помощью матричного преобразования, а затем запрограммировать. Введя в такую программу исходный магический квадрат порядка n/2, вы моментально получите магический квадрат порядка n, построенный методом четырёх квадратов.

 

Предлагаю читателям реализовать алгоритм метода четырёх квадратов. Программу можно составить для какого-то конкретного порядка, например, 10-ого, а можно для любого порядка n=4k+2.

 

 

ВАРИАНТ МЕТОДА ЧЕТЫРЁХ КВАДРАТОВ

 

Сейчас посмотрела в книге Ю. В. Чебракова метод двух квадратов и с удивлением обнаружила, что это вариант моего метода четырёх квадратов. Изложу подробно метод двух квадратов по книге Чебракова, чтобы читатели убедились в том, как похожи эти два метода. Интересно, что Чебраков излагает метод несколько иначе. Но различие не в этом, а в том, какие числа автор выбирает для перестановок, чтобы сделать квадрат магическим. Но – смотрите сами! Напомню, что подробное изложение метода четырёх квадратов вы найдёте в указанной выше статье.

Итак, излагаю метод двух квадратов по Чебракову (кстати, интересно узнать автора этого метода; недостатком книги Чебракова считаю то, что он не указывает авторов излагаемых методов; так можно подумать, что все методы разработал он сам).

Чебраков приводит пример построения данным методом магического квадрата 10-ого порядка. Для построения рисуются две матрицы 10х10, это будут два вспомогательных квадрата для построения, потому метод и назван методом двух квадратов. Обе матрицы делятся на 4 блока 5х5. В первой матрице в каждом блоке 5х5 записывается один и тот же (любой) магический квадрат 5-ого порядка. Понятно, что в результате получается нетрадиционный магический квадрат с магической константой 130. На рис. 7 вы видите первый вспомогательный квадрат Чебракова.

 

 

                                                                       Рис. 7

 

Примечание: Чебраков в этом примере почему-то использует нетрадиционные магические квадраты, заполненные числами от 0 до n²-1. Я преобразовала все квадраты в нормальные (традиционные), заполненные числами от 1 до n². Сути дела это нисколько не меняет.

 

Второй вспомогательный квадрат 10х10 заполняется так: в левом верхнем блоке 5х5 записываются все 0, в правом нижнем блоке 5х5 записываются числа p = (n/2)² (n – порядок квадрата). В нашем примере p = 25. В правом верхнем блоке 5х5 записываются числа 2p, в левом нижнем блоке 5х5 записываются числа 3p. На рис. 8 изображён второй вспомогательный квадрат.

 

 

                                                                       Рис. 8

 

Этот квадрат не является нетрадиционным магическим квадратом. В нём одинаковые суммы чисел только в столбцах. Для того чтобы сделать этот квадрат магическим, надо переставить определённую группу чисел. Для перестановки Чебраков выбирает числа в закрашенных на рис. 8 ячейках. В выборе переставляемых чисел и состоит отличие метода Чебракова от метода четырёх квадратов. Выбор чисел для перестановки Чебраков описывает так (для любого порядка n=4k+2):

“Во всех строках верхнего левого блока кроме средней отметим k нулей, стоящих в крайних левых позициях. В средней строке  отметим нуль, стоящий в центральной ячейке, и ещё k-1 нулей, находящихся слева от центральной ячейки. Все отмеченные нули поменяем местами с соответствующими числами нижнего левого блока.

В каждой строке правого верхнего блока отметим k-1 чисел, стоящих в крайних правых позициях, и поменяем их местами с соответствующими числами правого нижнего блока”.

После перестановки чисел второй вспомогательный квадрат становится нетрадиционным магическим квадратом с магической константой 375. Вы видите этот квадрат на рис. 8а.

 

 

                                                                       Рис. 8а

 

Теперь осталось построить магический квадрат из двух вспомогательных квадратов. Читатели, наверное, догадались, что делается это сложением обеих матриц. В виде формулы это запишется так:

 

c_ij = a_ij + b_ij

 

где a_ij – элементы первого вспомогательного квадрата, b_ij – соответствующие элементы второго вспомогательного квадрата, c_ij – соответствующие элементы составляемого магического квадрата.

 

На рис. 9 показан готовый магический квадрат.

 

 

                                                                       Рис. 9

 

Теперь покажу магический квадрат (рис. 10), построенный методом двух квадратов (то есть по Чебракову) с тем же исходным магическим квадратом 5-ого порядка, какой использовала при построении квадрата своим методом четырёх квадратов.

 

 

                                                                       Рис. 10

 

Сравните этот квадрат с магическим квадратом, построенным методом четырёх квадратов (рис. 5). Эти квадраты связаны комбинированным преобразованием “плюс-минус …”! Смотрите матрицу этого преобразования на рис. 11.

 

 

                                                                       Рис. 11

 

Таким образом, можно сказать, что магические квадраты, построенные методом четырёх квадратов и методом двух квадратов, одинаковы с точностью до преобразования “плюс-минус …”.

 

Интересно отметить, что квадраты 6-ого порядка, построенные этими двумя методами, в точности совпадают (конечно, при одинаковом исходном квадрате третьего порядка), потому что в этом случае группа чисел для перестановки, выбираемая мной, в точности совпадает с группой чисел для перестановки, выбираемой Чебраковым.

 

Примечание: мы видим замечательный пример, как два автора совершенно независимо друг от друга разработали одинаковый метод построения. Чебраков не мог воспользоваться моим результатом, так как его книга издана в 1995 г., а я опубликовала свой метод в Интернете в 2007 г. Я не могла воспользоваться результатом Чебракова, так как разработала метод в 1977 г. Книга Чебракова у меня появилась совсем недавно, в июле текущего года, то есть год спустя после того, как я опубликовала метод в Интернете.

 

Реплика специально для Батона, обвинившего меня в плагиате (за другой магический квадрат; см. на форуме http://dxdy.ru/topic12959.html ):

 

Батон, кого из нас надо обвинить в плагиате, меня или Чебракова? А вообще-то по твоей логике нас обоих надо обвинить в плагиате! Потому что в 2007 г., когда я писала статью о данном методе, заглянула в книгу Б. А. Кордемского “Математическая смекалка” (М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1957) и нашла в ней пример построения магического квадрата 6-ого порядка точно таким методом. Этот квадрат (стр. 271) в точности совпадает с квадратом на рис. 2. Если взять точно такой же исходный квадрат третьего порядка и построить магический квадрат 6-ого порядка методом двух квадратов Чебракова, квадрат получится точно такой же, как на рис. 2 и как в книге Кордемского. Значит, метод был известен ещё в 1957 г. Кто же его автор? Может быть, всего один частный пример построения квадрата чётно-нечётного порядка (приведённый Кордемским) не мог считаться методом построения магических квадратов данной серии порядков, и поэтому журнал “Наука и жизнь” писал, что такие методы неизвестны.

Кордемский привёл только пример построения магического квадрата 6-ого порядка и не разработал данный метод для любого порядка n=4k+2 (во всяком случае, в этой книге). Я разработала метод для любого чётно-нечётного порядка и доказала, что выбранная мной перестановка чисел всегда приводит к магическому квадрату.

 

МЕТОД ОКАЙМЛЁННЫХ КВАДРАТОВ

 

Метод окаймлённых квадратов был изложен в предыдущем разделе при построении этим методом магических квадратов чётно-чётного порядка. Продублирую здесь правила для квадратов чётно-нечётного порядка (правила для квадратов чётно-чётного и чётно-нечётного порядка различны), чтобы читатели видели их перед собой.

 

1.      Построим любой магический квадрат порядка n-2.

2.      Увеличим все элементы этого магического квадрата на величину 2(n-1) и поместим полученный нетрадиционный магический квадрат в матрицу n*n так, чтобы с каждой стороны квадрата был свободный столбец (свободная строка).

3.      Заполним угловые ячейки матрицы n*n следующим образом: в левую верхнюю ячейку запишем число 3m - 1, в верхнюю правую – число 1, в нижнюю левую –  число d - 1, в нижнюю правую - число d - 3m + 1, где m = n/2, d = n² + 1.

4.      В оставшиеся свободными ячейки верхней строки поместим (произвольным образом) числа {2i + 1} и {d – 2j}, где i = 1, 2, …, m – 2, а j = 1, 2, …, m.

5.      В оставшиеся свободные клетки левого столбца поместим (произвольным образом) числа 2m – 1, {d – 4m + 1 + j}, {3m – 1 – i}, {3m – 1 + q, d – 2m – q}, где j = 1, 2, …, M + 1, i= 1, 2, …, M, q = 1, 2, …, M – 1, M = [m/2].

6.      Оставшиеся свободными ячейки нижней строки (правого столбца) заполним числами, комплементарными числам в противоположных ячейках верхней строки (левого столбца), то есть дающими в сумме (n² + 1).

 

Приведу пример построения магического квадрата 14-ого порядка методом окаймлённых квадратов. В качестве исходного квадрата возьму оригинальный идеальный квадрат 12-ого порядка, построенный мной. Вы видите этот квадрат на рис. 12.

 

 

                                                                       Рис. 12

 

Результат выполнения пункта 2 правил изображён на рис. 13.

 

 

                                                                       Рис. 13

 

Вписанный квадрат 12-ого порядка является нетрадиционным идеальным магическим квадратом с магической константой 1182, которая кратна величине d = n² + 1 = 197.

Выполним остальные пункты правил, заполняя свободные ячейки в окаймлении на рис. 13. Готовый магический квадрат 14-ого порядка представлен на рис. 14.

 

 

                                                                       Рис. 14

 

Магическая константа этого квадрата равна 1379 и тоже, конечно, кратна величине d.

Предлагаю читателям выполнить следующее окаймление, то есть построить магический квадрат 16-ого порядка, взяв за исходный квадрат 14-ого порядка квадрат с рис. 14. Только теперь надо пользоваться другими правилами – для квадратов серии порядков n=4k (смотрите правила в предыдущем разделе).

 

МЕТОД СОТОВЫХ КВАДРАТОВ

 

Данный метод излагаю по книге Чебракова. Метод довольно интересный. Однако в книге он изложен как-то не совсем понятно. Пример приведён только один – построение магического квадрата 6-ого порядка. Изложу метод так, как поняла. Что мне непонятно, возможно, будет понятно читателям.

 

Итак, в построении участвуют два вспомогательных квадрата. Оба они составлены из квадратов 2х2, как из сот, отсюда и название метода (название дано мной).

Для построения первого вспомогательного квадрата надо взять любой магический квадрат третьего порядка, автор книги берёт квадрат, изображённый на рис. 15.

 

 

                                                                                       Рис. 15

 

Далее автор получает из этого квадрата новый квадрат следующим образом: “Магический квадрат 2.20(5) получается из классического квадрата 2.20(4) [то есть из квадрата с рис. 15. – примечание Макаровой] путём замены чисел 1, 2, …, 9 на числа 1, 5, …, 33, то есть на числа, которые образуют арифметическую прогрессию с разностью d = 4 и первым членом a = 1”.

 

 

                                                                                       Рис. 16

 

Примечание: данный квадрат можно построить методом террас применительно к числам 1, 5, …, 33.

 

Этот квадрат является нетрадиционным магическим квадратом с магической константой 51.

 

Теперь применяется очень интересный приём: в квадрате с рис. 16 каждая ячейка превращается в квадрат 2х2, и в каждой ячейке этого квадрата записывается число, находящееся в исходной ячейке. Впервые встречаю такой оригинальный приём. В результате получается первый вспомогательный сотовый квадрат, он показан на рис. 19.

 

 

                                                                                       Рис. 19

 

Первый вспомогательный квадрат является нетрадиционным магическим квадратом с магической константой 102.

 

Теперь строится второй вспомогательный сотовый квадрат. Как он строится, я опять не поняла. Он тоже составляется из квадратов 2х2, заполненных числами 0, 1, 2, 3. Показываю этот квадрат на рис. 20.

 

 

                                                                                       Рис. 20

 

Этот квадрат является нетрадиционным магическим квадратом с магической константой 9.

 

Примечание: автор объясняет, как составляется второй вспомогательный квадрат, но я эти объяснения не поняла. Они не относятся к разряду очень простых объяснений. У кого есть книга Чебракова, посмотрите. Может быть, вы поймёте. Кроме всего прочего, на рисунке в книге в этом квадрате сделано несколько опечаток. На рис. 20 показан правильный квадрат (опечатки исправлены).

 

Ну, а теперь всё очень просто: надо сложить поэлементно первый и второй вспомогательные квадраты. Готовый магический квадрат вы видите на рис. 21.

 

 

                                                                                       Рис. 21

 

Этот магический квадрат тоже можно назвать сотовым, он состоит из таких же квадратов 2х2, в каждом из которых записаны четыре последовательных числа. Оригинальный квадрат!

 

А теперь попробуем построить методом сотовых квадратов магический квадрат 10-ого порядка (такой квадрат Чебраков не строит). Займёмся построением первого вспомогательного квадрата. В качестве исходного надо взять магический квадрат 5-ого порядка, построенный методом террас (рис. 22).

 

 

                                                                                       Рис. 22

 

Согласно описанию Чебракова надо заменить в этом квадрате числа 1, 2, …, 25 на числа 1, 5, 9, …, 97. Но проще построить новый квадрат методом террас применительно к числам 1, 5, 9, …, 97. Этот квадрат изображён на рис. 25.

 

 

                                                                                       Рис. 25

 

Идём дальше. Превращаем каждую ячейку в квадрате с рис. 25 в квадрат 2х2 и заполняем получившийся сотовый квадрат (рис. 26).

 

 

Рис. 26

 

Полученный первый вспомогательный сотовый квадрат является нетрадиционным магическим квадратом с магической константой 490. Пока всё идёт хорошо. Осталось построить второй вспомогательный сотовый квадрат. Понятно, что он должен быть нетрадиционным магическим квадратом с магической константой 15. Этот квадрат, как мы знаем, составляется из квадратов 2х2, заполненных числами 0, 1, 2, 3. А вот как он составляется, мы пока не знаем.

Рисую пустую матрицу (рис. 27) и заполняю наугад две первые строки (см. второй вспомогательный квадрат Чебракова для квадрата 6-ого порядка на рис. 20):

 

 

Рис. 27

 

Очевидно, что сумма чисел в этих строках равна 15. Как составлять этот квадрат дальше я пока не знаю. Посмотрю ещё раз, что написано в книге, может быть, пойму что-нибудь.

 

Оставляю задачу читателям. Понятно, что после того, как вы построите второй вспомогательный квадрат (рис. 27), останется сложить поэлементно два вспомогательных квадрата (с рис. 26 и с рис. 27). Если я правильно заполнила первые строки второго вспомогательного квадрата, то первые строки готового магического квадрата 10-ого порядка будут такими (рис. 28):

 

 

Рис. 28

 

Очевидно, что в этих строках готового магического квадрата магическая сумма тоже есть.

 

Извиняюсь перед читателями в том, что даю сырой метод. Но, к сожалению, ничего не могу понять в книге. Это тот самый случай, когда смотришь в книгу, а видишь фигу! Однако метод очень интересен, и поэтому я решила его представить, хотя и недоработанным до конца. Построение первого вспомогательного квадрата полностью определилось. Осталось понять, как строится второй вспомогательный квадрат.

 

***

 

Всё-таки мне удалось разгрызть этот орешек! И даже зубы вроде целы.

 

Прежде чем достроить магический квадрат 10-ого порядка, вернусь к магическим квадратам 6-ого порядка. Нам надо уяснить, как составляется второй вспомогательный сотовый квадрат, который изображён на рис. 20. Как мы знаем, он составляется из квадратов 2х2, заполненных числами 0, 1, 2, 3. Таких блоков (“кирпичиков”) будет всего 24. На рис. 29 показаны все эти блоки.

 

 

Рис. 29

 

Вот такие “кирпичики” используются для построения второго вспомогательного квадрата. Под каждым “кирпичиком” написан его номер.

Дело в том, что Чебраков зачем-то увеличил все элементы в “кирпичиках” на единицу (см. в книге рис. 2.21, стр. 132), и поэтому я не сразу узнала в его “кирпичиках” те блоки 2х2, из которых составляется второй вспомогательный квадрат.

Понятно, что “кирпичики” надо так расположить в квадрате, чтобы он был нетрадиционным магическим квадратом. В этом вся сложность.

Поскольку во втором вспомогательном квадрате для построения магического квадрата 6-ого порядка используются 9 “кирпичиков”, то можно брать для построения 2 разных “кирпичика”, 3 разных “кирпичика” и так далее до 9 разных “кирпичиков”. Пусть q – число разных “кирпичиков”, используемых в составлении второго вспомогательного квадрата. Тогда количество вариантов размещения “кирпичиков” во втором вспомогательном квадрате так, чтобы он был нетрадиционным магическим квадратом, будет таким [количество вариантов обозначено P(q)]:

 

q                     2          3          4          5              6                 7                     8                     9

P(q)                1          15       52       1213       7176           26316            41573            18886

 

Такие данные приводит автор книги. Сложив все варианты составления второго вспомогательного квадрата, мы получаем, что всего методом сотовых квадратов модно построить 95232 магических квадратов 6-ого порядка (с учётом поворотов и отражений).

 

Очевидно, что второй вспомогательный квадрат на рис. 20 составлен из двух разных “кирпичиков”. Такой вариант всего один. Если использовать для построения второго вспомогательного квадрата три разных “кирпичика”, то вариантов будет 15. Чебраков приводит все эти 15 вариантов расстановки “кирпичиков”. Не буду их дублировать, а покажу один пример построения второго вспомогательного квадрата из трёх разных кирпичиков.

Схема расстановки кирпичиков выбрана мной следующая (рис. 30):

 

 

                                                                                       Рис. 30

 

В этой схеме указаны номера “кирпичиков”, то есть используются “кирпичики” №№ 1, 2, 19. Вставим вместо номеров “кирпичиков” сами “кирпичики” (с рис. 29) и второй вспомогательный сотовый квадрат готов! Смотрите на рис. 31.

 

 

                                                                                       Рис. 31

 

Теперь сложим поэлементно первый вспомогательный квадрат (он остаётся прежним) и второй вспомогательный квадрат с рис. 31. Готовый магический квадрат 6-ого порядка вы видите на рис. 32.

 

 

                                                                                       Рис. 32

 

Сравните этот магический квадрат с квадратом, построенным выше (рис. 21). Они отличаются всего одним блоком 2х2. Скажу больше: они одинаковы с точностью до преобразования “плюс-минус 2”.

Среди всех 95232 квадратов 6-ого порядка, построенных методом сотовых квадратов, будет много связанных друг с другом преобразованием типа “плюс-минус …”.

 

Предложу читателям ещё одну схему расстановки “кирпичиков” во втором вспомогательном квадрате [из тех 15 схем, которые приводит Чебраков] (рис. 33):

 

 

                                                                                       Рис. 33

 

Постройте по этой схеме второй вспомогательный квадрат, а затем магический квадрат 6-ого порядка.

 

Вернёмся ко второму вспомогательному квадрату для построения магического квадрата 10-ого порядка. Он составляется из таких же “кирпичиков”. Но вот схема для этого квадрата в книге приведена только одна (см. рис. 34).

 

 

                                                                                       Рис. 34

 

Как видите, здесь используются пять разных “кирпичиков”: №№ 1, 2, 7, 11, 15. Заменим номера “кирпичиков” самими “кирпичиками”, и второй вспомогательный сотовый квадрат готов (рис. 35).

 

 

Рис. 35

 

Нетрадиционный магический квадрат с магической константой 15 получился! Как видите, я неправильно наугад заполнила первые две строки этого квадрата (см. рис. 27). Ну, в математике нельзя ничего делать наугад!

Теперь возникает интересная задача: как найти хотя бы ещё одну схему размещения “кирпичиков” во втором вспомогательном квадрате 10-ого порядка? Решите-ка эту задачу!

 

Нам осталось построить магический квадрат 10-ого порядка из двух вспомогательных сотовых квадратов (с рис. 26 и с рис. 35) путём поэлементного их сложения. Готовый магический квадрат изображён на рис. 36.

 

 

Рис. 36

 

Чудесный сотовый квадрат!

 

По поводу задачи о другой схеме расстановки “кирпичиков” во втором вспомогательном квадрате. Конечно, можно предложить сразу несколько схем, но как получить алгоритм получения всех таких схем? Для примера могу предложить такую схему (рис. 37), я заменила всего один “кирпичик” № 1 на “кирпичик” № 19.

 

 

                                                                                       Рис. 37

 

Предлагаю читателям построить магический квадрат 10-ого порядка с таким вторым вспомогательным квадратом. Построив его, вы увидите, что он отличается от квадрата с рис 36 всего одним блоком, тем самым, на место которого поставлен другой “кирпичик”.

 

Чтобы закрепить изложение метода сотовых квадратов, приведу ещё пример построения магического квадрата 14-ого порядка. Хорошо, что Чебраков привёл для этого квадрата вариант расстановки “кирпичиков” во втором вспомогательном квадрате (тоже всего один).

 

Исходный квадрат для первого вспомогательного квадрата сразу будем строить методом террас. Напомню, что заполнять этот квадрат надо числами 1, 5, 9, …, 193, то есть членами арифметической прогрессии с разностью 4. На рис. 38 показано построение этого квадрата.

 

 

Рис. 38

 

Превращаем в этом квадрате каждую ячейку в квадрат 2х2 и записываем в него число из исходной ячейки. И первый вспомогательный квадрат готов (рис. 39).

 

 

Рис. 39

 

Первый вспомогательный квадрат является нетрадиционным магическим квадратом с магической константой 1358.

Для построения второго вспомогательного квадрата используем схему расстановки “кирпичиков”, которую приводит в книге Чебраков. Вот эта схема (рис. 40):

 

 

                                                                                       Рис. 40

 

Заменяем номера “кирпичиков” самими “кирпичиками”, и второй вспомогательный квадрат готов (рис. 41).

 

 

Рис. 41

 

Второй вспомогательный квадрат является нетрадиционным магическим квадратом с магической константой 21.

Осталось сложить два вспомогательных квадрата (с рис. 39 и с рис. 41) и магический квадрат 14-ого порядка готов (рис. 42).

 

 

Рис. 42

 

Ну, вот и всё! А для построения магического квадрата 18-ого порядка Чебраков не привёл схемы расстановки “кирпичиков” во втором вспомогательном квадрате. И что совсем плохо: он не описал тот алгоритм, с помощью которого эту схему можно найти.

Поэтому я не могу построить магический квадрат 18-ого порядка методом сотовых квадратов, пока не найду способ размещения “кирпичиков” во втором вспомогательном квадрате. Опять получается, что метод до конца не разработан.

 

Предлагаю читателям найти этот алгоритм! Для начала постройте второй вспомогательный квадрат для построения магического квадрата 18-ого порядка. Набор “кирпичиков” для построения возьмите на рис. 29. Сколько разных “кирпичиков” вы используете – нет ограничений. Главное, чтобы второй вспомогательный квадрат получился нетрадиционным магическим квадратом с магической константой  27.

 

Построение первого вспомогательного квадрата любого порядка n=4k+2 уже ни у кого не вызовет затруднений.

 

***

 

Вчера описала на листе бумаги метод составных квадратов на примере построения составного квадрата 18-ого порядка. Это описание будет приведено далее. А пока расскажу о построении сотового квадрата 18-ого порядка. Когда я строила составной квадрат 18-ого порядка, сразу же сообразила, как можно построить сотовый квадрат 18-ого порядка. Надо разбить матрицу 18х18 на 9 квадратов 6х6, и в каждый квадрат 6х6 записать любой сотовый квадрат 6-ого порядка. И сотовый квадрат 18-ого порядка готов! Запишу все разные сотовые квадраты 6-ого порядка, хотя можно записать все 9 одинаковых квадратов 6-ого порядка. Заодно представлю 9 сотовых квадратов 6-ого порядка из тех 15 вариантов, которые приводит в книге Чебраков.

На рис. 43 вы видите сотовый квадрат 18-ого порядка.

 

 

Рис. 43

 

Этот квадрат является нетрадиционным магическим квадратом с магической константой 27. Совершенно понятно, что таких сотовых квадратов 18-ого порядка можно составить очень много. Ведь на месте каждого блока 6х6 может быть любой сотовый квадрат 6-ого порядка, а сотовых квадратов 6-ого порядка по подсчётам Чебракова 95232.

 

Ну, если уже построен второй вспомогательный квадрат, надо построить и первый, а затем и магический квадрат 18-ого порядка.

Построение первого вспомогательного квадрата (точнее: заготовки для этого сотового квадрата - нетрадиционного магического квадрата 9-ого порядка) как уже знают читатели, выполняется методом террас применительно к членам арифметической прогрессии 1, 5, 9, …

На рис. 44 показано построение этого квадрата 9-ого порядка.

 

 

Рис. 44

 

Теперь в построенном квадрате 9-ого порядка заменим каждую ячейку на квадрат 2х2 и впишем в этот квадрат число из исходной ячейки. Полученный квадрат будет первым вспомогательным квадратом для построения магического квадрата 18-ого порядка. Этот квадрат изображён на рис. 45.

 

 

Рис. 45

 

Этот квадрат является нетрадиционным магическим квадратом с магической константой 2898.

Осталось сложить поэлементно два вспомогательных квадрата, и мы получим магический квадрат 18-ого порядка (рис. 46).

 

 

Рис. 46

 

Однако со вторым вспомогательным квадратом 22-ого порядка этот приём не проходит. И с квадратом 26-ого порядка тоже не проходит. Понятно, что для квадрата 30-ого порядка можно применить этот приём. Как же быть с теми квадратами, которые не могут быть построены как составные квадраты? Вопрос остаётся открытым.

 

МЕТОД СОСТАВНЫХ КВАДРАТОВ

 

Для квадратов чётно-нечётного порядка тоже работает универсальный метод составных квадратов. Этот метод является общим методом для построения магических квадратов любого порядка, только бы этот порядок был представим в виде произведения двух чисел, каждое из которых может быть порядком магического квадрата, то есть больше 2.

 

Минимальный порядок из серии порядков n=4k+2, k=1, 2, 3, …, для которого можно построить составной квадрат, равен 18. Покажу пример построения такого квадрата. В качестве базового квадрата возьму магический квадрат третьего порядка (рис. 47), а в качестве основного – магический квадрат 6-ого порядка с рис. 21.

 

 

                                                                                       Рис. 47

 

На рис. 48 вы видите готовый магический составной квадрат 18-ого порядка. Интересно отметить, что он тоже получился сотовый, как и основной квадрат.

 

 

Рис. 48

 

Предлагаю читателям поменять ролями базовый и основной квадраты и построить новый составной квадрат 18-ого порядка.

 

***

 

На одном форуме прочла дискуссию о том, почему не существует пандиагональных квадратов чётно-нечётного порядка. Вот ссылка на этот форум:

 

http://www.sciteclibrary.ru/cgi-bin/yabb2/YaBB.pl?num=1211430713/15#17

 

Кстати сказать, несколько раз делала сообщение в этой теме, и каждый раз его удаляли без всяких объяснений. И такое у нас на форумах бывает!

 

Так вот, пандиагональные и даже идеальные квадраты чётно-нечётного порядка существуют, только нетрадиционные. Один идеальный квадрат 6-ого порядка я нашла очень давно в журнале “Наука и жизнь” (№ 9, 1979 г., стр. 110). Подробно об этом квадрате смотрите в статье

http://www.klassikpoez.narod.ru/netradic.htm

 

Показываю этот квадрат на рис. 49.

 

 

Рис. 49

 

Примечание: по аналогии с этим квадратом мне удалось построить нетрадиционный идеальный магический квадрат 14-ого порядка. Смотрите об этом в указанной статье.

 

А теперь построим составной магический нетрадиционный квадрат 18-ого порядка, взяв в качестве базового магический квадрат третьего порядка с рис. 47, а в качестве основного приведённый идеальный нетрадиционный магический квадрат 6-ого порядка. Так как базовый квадрат у нас только ассоциативный, то полученный составной квадрат тоже будет только ассоциативным, свойства пандиагональности у него не будет.  Квадрат показан на рис. 50.

 

 

Рис. 50

 

Магическая константа этого нетрадиционного ассоциативного квадрата равна 3042. Недостаток этого квадрата в том, что в нём есть одинаковые числа. Каждый блок 6х6, обведённый красными границами, является нетрадиционным идеальным квадратом 6-ого порядка.

 

В статье http://www.klassikpoez.narod.ru/idnet.htm показано построение идеального нетрадиционного составного квадрата 30-ого порядка.

 

ПОСТРОЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ КОМПЬЮТЕРА

 

Как уже отмечалось, многие методы построения магических квадратов можно реализовать с помощью компьютерной программы. Вместе с тем, можно написать программу для построения магических квадратов, не используя ни один из представленных методов, как, например, была составлена программа для построения магических квадратов четвёртого порядка. Эта программа составлена, как говорится, “в лоб”, то есть организованы циклы по всем переменным и происходит простой перебор всех чисел от 1 до 16. Понятно, что с ростом порядка такой вариант программы не годится. Например, для квадратов пятого порядка существует несколько миллионов магических квадратов, числа уже надо перебирать от 1до 25, количество вариантов, которые надо рассмотреть программе будет огромным, программа будет выполняться очень долго.

Однако можно придумать другие алгоритмы построения, если, конечно, не ставить задачу построения всех магических квадратов данного порядка, что уже начиная с порядка n = 5 трудно выполнить.

Когда мной был разработан метод четырёх квадратов, меня заинтересовал вопрос такого алгоритма, с помощью которого можно на компьютере строить магические квадраты 6-ого порядка в любом количестве. Такой алгоритм был разработан. В нём используется функция случайных чисел. В одной из ранних статей этот алгоритм подробно описан и приведён текст программы. На рис. 51 вы видите магический квадрат, построенный по этой программе.

 

 

Рис. 51

 

Алгоритм построения магических квадратов, основанный на функции случайных чисел, годится для квадратов любого порядка. В одной из статей показана реализация этого алгоритма для построения магических квадратов 9-ого порядка. Конечно, с ростом порядка квадрата написать программу становится сложно, так как много переменных, и выполняться такая программа будет долго, прежде чем найдёт хотя бы один магический квадрат. Для квадратов порядков 5-10 алгоритм вполне приемлем.

Может быть, существуют другие алгоритмы построения магических квадратов, не связанные с известными методами построения.

 

***

 

В заключение приведу перечень изложенных в статье методов построения.

 

Раздел 1. Построение магических квадратов нечётного порядка

 

1.1  Индийский (сиамский) метод

1.2  Метод террас

1.3  Метод Москопула (ход конём)

1.4  Метод альфила

1.5  Метод Делаира (метод латинских квадратов)

1.6  Метод окаймлённых квадратов

1.7  Метод применения обратимых квадратов

1.8  Метод составных квадратов

 

Раздел 2. Построение магических квадратов чётно-чётного порядка

 

2.1 Метод квадратных рамок

2.2 Метод Рауз-Болла

2.3 Метод латинских квадратов

2.4 Алгоритм Френикля

2.5 Метод окаймлённых квадратов

2.6 Метод составных квадратов

2.7 Построение с помощью компьютера

 

Раздел 3. Построение магических квадратов чётно-нечётного порядка

 

3.1 Метод четырёх квадратов

3.2 Вариант метода четырёх квадратов (метод двух квадратов)

3.3 Метод окаймлённых квадратов

3.4 Метод сотовых квадратов

3.5 Метод составных квадратов

3.6 Построение с помощью компьютера

3.7 Метод применения обратимых квадратов (см. ниже)

 

***

 

Уважаемые читатели! Пожалуйста, пишите мне ваши вопросы, замечания, пожелания.

Если вы знаете другие оригинальные методы построения магических квадратов, напишите мне о них. Может быть, у вас есть собственные разработки. Тогда пришлите ссылку на свои ресурсы. Мне очень интересно всё новое по данной теме.

Не забывайте читать уникальную книгу о магических квадратах:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/glavnaja.htm

 

Напомню и о том, что ищу тех, кто может помочь в публикации моих статей о магических квадратах или в издании книги. Это могут быть редакторы журналов, издатели самых разных рангов, а также спонсоры.

 

Ваша Наталия Макарова

 

13 – 17 сентября 2008 г.

г. Саратов

 

 

ДОБАВЛЕНИЕ (21 сентября 2008 г.)

 

Как помнят читатели, здесь остался недоработанным метод сотовых квадратов, так как не найден общий метод построения второго вспомогательного сотового квадрата для любого порядка n = 4k + 2, k = 1, 2, 3 … Я опубликовала задачу на форуме:

http://dxdy.ru/topic15897.html

 

и один участник форума (Макс Алексеев, ник Maxal) блестяще решил эту задачу.

 

Изложу метод Макса. Идея такова: исходный квадрат разбивается на несколько более мелких квадратов и прямоугольников. Продемонстрирую построение сотового квадрата 14-ого порядка, который и был показан автором метода на форуме (см. рис. 52).

 

 

Рис. 52

 

В центральном квадрате 6х6 записываем любой из известных сотовых квадратов 6-ого порядка. Все четыре угловых квадрата 4х4 заполняются одинаково. Верхний прямоугольник 4х6 заполняется “кирпичиками” № 12 и № 19 (см. рис. 29) в шахматном порядке; нижний прямоугольник 4х6 заполняется точно так же. Левый прямоугольник 4х6 получается из верхнего прямоугольника 4х6 поворотом вокруг центра на 90 градусов по часовой стрелке. Правый прямоугольник 4х6 заполняется точно так же, как левый. Если заменить все “кирпичики” их номерами (см. рис. 29), то сотовый квадрат с рис. 52 будет выглядеть так (рис. 53):

 

 

Рис. 53

 

Изящная получилась схема расстановки “кирпичиков”, она совсем другая, нежели схема расстановки, приведённая в книге Чебракова (см. рис. 40). Если построить магический квадрат 14-ого порядка, используя такую схему расстановки, понятно, что получится новый магический квадрат не эквивалентный квадрату, построенному с использованием схемы Чебракова.

 

Теперь идея ясна, можно без труда составить второй вспомогательный сотовый квадрат любого чётно-нечётного порядка. На рис. 54 вы видите второй вспомогательный сотовый квадрат 10-ого порядка, построенный данным методом.

 

 

Рис. 54

 

После замены “кирпичиков” их номерами этот квадрат выглядит так (рис. 55):

 

 

Рис. 55

 

И снова получаем схему расстановки “кирпичиков”, отличную от схемы из книги Чебракова (см. рис. 34).

 

Второй вспомогательный сотовый квадрат 18-ого порядка был построен выше как составной квадрат.  Построим его рассматриваемым способом. Теперь в центр квадрата надо поместить сотовый квадрат 10х10, который у нас уже есть (рис. 54). Угловые квадраты 4х4 и прямоугольники 4х10 заполняются описанным выше способом. На рис. 56 показано построение этого квадрата.

 

Рис. 56

 

Предлагаю читателям самостоятельно заменить в этом сотовом квадрате “кирпичики” их номерами, чтобы получить схему расстановки “кирпичиков”. Постройте новый магический квадрат 18-ого порядка с использованием второго вспомогательного квадрата с рис. 56 (первый вспомогательный квадрат изображён на рис. 45).

 

Наконец, последний пример – построение магического квадрата 22-ого порядка методом сотовых квадратов. Сначала строим первый вспомогательный квадрат (рис. 57 и рис. 58).

 

 

 

Рис. 57

 

 

Рис. 58

 

Первый вспомогательный сотовый квадрат является нетрадиционным магическим квадратом с магической константой 5302.

 

Теперь построим второй вспомогательный сотовый квадрат, состоящий из “кирпичиков” с рис. 29. Будем строить этот квадрат методом Макса Алексеева. Разделим квадрат 22х22 на более мелкие квадраты и прямоугольники, так чтобы в центре оказался квадрат 14х14, а по углам были квадраты 4х4 (рис. 59). Сотовый квадрат 14-ого порядка возьмём с рис. 52. Как заполнить угловые квадраты 4х4 и прямоугольники 4х14, читатели уже знают.

 

 

Рис. 59

 

Полученный сотовый квадрат является нетрадиционным магическим квадратом с магической константой 33.

Осталось сложить поэлементно два вспомогательных квадрата (рис. 58 и рис. 59) и мы получим сотовый магический квадрат 22-ого порядка (рис. 60).

 

 

 

Рис. 60

 

В общем случае для порядка n=4k+2 (k>2) при построении второго вспомогательного сотового квадрата разбиение надо выполнять следующим образом: в центре – квадрат размерами (n-8)x(n-8), по углам – квадраты 4х4, прямоугольники размерами 4х(n-8) получатся сами.

Например, для квадрата 26-ого порядка имеем следующее разбиение:  в центре матрицы 26х26 будет находиться квадрат размерами 18х18, по углам – квадраты размерами 4х4; прямоугольники размерами 4х18 получаются автоматически.

Центральный квадрат заполняем, используя построенный ранее сотовый квадрат порядка (n-8). Так, для построения сотового квадрата 14-ого порядка используем сотовый квадрат 6-ого порядка, для построения сотового квадрата 18-ого порядка используем сотовый квадрат 10-ого порядка и т. д.

Способ заполнения квадратов 4х4 и прямоугольников 4х(n-8) подробно описан.

 

При k = 1 имеем сотовый квадрат 6-ого порядка, при k = 2 –  сотовый квадрат 10-ого порядка. Оба эти квадрата нам известны.

 

***

 

Замечу, что изложенный метод сотовых квадратов в книге Чебракова назван модифицированным методом террас. Цитата из книги:

 

 

Понятно, что “2*2 ячеечными” квадратами здесь называются квадраты, которые названы мной сотовыми (название Чебракова показалось мне несколько неуклюжим). Осталось добавить, что на рис. 2.23 автор приводит три схемы расстановки “кирпичиков” при построении второго вспомогательного квадрата порядка 6, 10 и 14. Все эти три схемы показаны выше. Затем говорится, что из этих трёх частных примеров “легко уяснить общий способ построения” таких квадратов. Однако я не смогла из этих примеров вывести общий метод. Мне помог в этом Макс Алексеев.

Отмечу, что в книге не указывается, кто является автором модифицированного метода террас: сам ли автор книги или кто-то другой.

 

***

 

Интересная задача для читателей, пробующих себя в программировании: реализовать метод сотовых квадратов, то есть составить программу для компьютерного построения данным методом магического квадрата любого порядка n = 4k + 2 (k>2).

 

Продолжение страницы здесь:

 

http://www.natalimak1.narod.ru/metody7.htm

 

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу