Н. Макарова

 

МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ ЧЕТВЁРТОГО ПОРЯДКА ИЗ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ

 

 

О магических квадратах из простых чисел уже написано несколько статей. Но эти замечательные квадраты требуют ещё очень много самых глубоких исследований. Я очень надеюсь, что в будущем такие исследования будут проведены. Может быть, мои скромные результаты помогут будущим исследователям этих чудесных квадратов.

 

Данная статья посвящена магическим квадратам 4-го порядка из последовательных простых чисел. Начнём с наименьшего квадрата. Этому квадрату в OEIS посвящена последовательности: A073521. Также можно найти этот квадрат и в последовательности A073520.

Этот магический квадрат составляется из следующего массива, состоящего из 16 последовательных простых чисел: 31, 37, …, 101. Магическая константа равна 258. Существует всего 4 магических квадрата из данного массива чисел. Смотрите эти квадраты на рис. 1 – 4.

 

 

Рис. 1

 

 

Рис. 2

 

 

Рис. 3

 

 

Рис. 4

 

Следует отметить, что эти квадраты составляют группу эквивалентности по М-преобразованиям, то есть все они получаются друг из друга М-преобразованиями. Однако я не считаю такие квадраты эквивалентными.

 

Следующий потенциальный массив последовательных простых чисел: 37, 41, …, 103 тоже даёт магический квадрат. Напомню, что потенциальным массивом для магического квадрата 4-го порядка из простых чисел является  массив из 16 чисел, сумма которых кратна 8. Во-первых, сумма чисел массива должна быть кратна 4, чтобы можно было получить целую магическую константу. Во-вторых, магическая константа квадрата 4-го порядка из простых чисел должна быть чётной. Из этих двух условий получаем условие кратности 8 суммы всех чисел массива.

Из этого массива получается 8 магических квадратов, то есть две различные группы эквивалентности по М-преобразованиям. Магическая константа этих квадратов равна 276. Показываю два магических квадрата, по одному из каждой группы эквивалентности (рис. 5 – 6).

 

 

Рис. 5

 

 

Рис. 6

 

Очевидно, что эти два квадрата нельзя получить друг из друга М-преобразованиями.

 

Дальше несколько потенциальных массивов не дают магических квадратов. Следующий массив, из чисел которого складываются магические квадраты: 1229, 1231, …, 1321. Магическая константа этих квадратов равна 5118. Из данного массива получается 12 магических квадратов, то есть три группы эквивалентности по М-преобразованиям. Покажу по одному квадрату из каждой группы эквивалентности (рис. 7 – 9).

 

 

Рис. 7

 

 

Рис. 8

 

 

Рис. 9

 

Затем опять несколько потенциальных массивов не дают магических квадратов. Следующий массив, из чисел которого складываются магические квадраты: 4931, 4933, …, 5021. Магическая константа этих квадратов равна 19896. В этой группе всего 4 квадрата, то есть одна группа эквивалентности по М-преобразованиям. Покажу один квадрат этой группы (рис. 10):

 

 

Рис. 10

 

И снова пропускаются несколько потенциальных массивов, потому что из них магические квадраты не составляются. Последний массив, из чисел которого мне удалось получить магические квадраты: 12553, 12569, …, 12689. Магическая константа этих квадратов равна 50478. Здесь тоже получается всего 4 квадрата. На рис. 11 показан один из них.

 

 

Рис. 11

 

Дальше очень много потенциальных массивов не дают магических квадратов. Следующие магические квадраты были найдены участником форума dxdy.ru (ник 12d3). Вы можете посмотреть эти квадраты по следующей ссылке:

 

http://dxdy.ru/post291297.html#291297

 

Кстати, полученные мной квадраты тоже выложены на форуме:

 

http://dxdy.ru/post291145.html#291145

 

 

Покажу только первую группу магических квадратов, найденных участником форума (рис. 12 – 15), при этом представлю все 4 квадрата группы. Участник форума сообщает, что из каждого массива им получен всего один квадрат. Видимо, он считает квадраты, получающиеся друг из друга М-преобразованиями, эквивалентными.

 

 

Рис. 12

 

 

Рис. 13

 

 

Рис. 14

 

 

Рис. 15

 

Магическая константа этих квадратов равна 13039980.

 

Я написала статью в OEIS о последовательности магических констант квадратов 4-го порядка из последовательных простых чисел:

 

http://www.research.att.com/~njas/sequences/A173981

 

В последовательность включены магические константы квадратов, найденных мной, и квадратов, найденных участником форума. Последовательность состоит из следующих членов:

 

258, 276, 5118, 19896, 50478, 13039980, 13297678, 37166532, 96266778, 104100834, 185320518, 383918304, 397075158, 467692578, 683981178, 816166200, 852339780, 874276354, 919926054, 931402662, 1016171040, 1021731906, 1026857286.

Читатели могут продолжить эту последовательность.

 

Далее планируется статья о магических квадратах 5-го порядка из последовательных простых чисел.

Статья будет здесь:

http://www.natalimak1.narod.ru/mk5pr.htm

 

16 апреля 2010 г.

г. Саратов.

 

Читайте мою книгу “Волшебный мир магических квадратов”:

 

http://narod.ru/disk/5834353000/Magic_squares.pdf.html

 

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу