Н. Макарова
НЕИЗОМОРФНЫЕ ГРУППЫ MOLS 18-го и 26-го ПОРЯДКА
В предыдущей статье показано построение неизоморфных пар ортогональных латинских квадратов (ОЛК). Для этого используется очень оригинальный приём варьирования секции квази-разностной матрицы (КРМ). Здесь я покажу построение неизоморфных групп MOLS 18-го и 26-го порядка таким же способом.
Начну с группы MOLS 18-го порядка, состоящей из трёх попарно ортогональных латинских квадратов (рис. 1 - 3).
Первый латинский квадрат
1 |
5 |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
2 |
9 |
11 |
6 |
8 |
10 |
12 |
7 |
14 |
4 |
13 |
3 |
8 |
2 |
6 |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
3 |
10 |
12 |
7 |
9 |
11 |
13 |
1 |
5 |
14 |
4 |
14 |
9 |
3 |
7 |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
4 |
11 |
13 |
8 |
10 |
12 |
2 |
6 |
1 |
5 |
13 |
1 |
10 |
4 |
8 |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
5 |
12 |
14 |
9 |
11 |
3 |
7 |
2 |
6 |
12 |
14 |
2 |
11 |
5 |
9 |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
6 |
13 |
1 |
10 |
4 |
8 |
3 |
7 |
11 |
13 |
1 |
3 |
12 |
6 |
10 |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
7 |
14 |
2 |
5 |
9 |
4 |
8 |
3 |
12 |
14 |
2 |
4 |
13 |
7 |
11 |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
8 |
1 |
6 |
10 |
5 |
9 |
2 |
4 |
13 |
1 |
3 |
5 |
14 |
8 |
12 |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
9 |
7 |
11 |
6 |
10 |
10 |
3 |
5 |
14 |
2 |
4 |
6 |
1 |
9 |
13 |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
8 |
12 |
7 |
11 |
x4 |
11 |
4 |
6 |
1 |
3 |
5 |
7 |
2 |
10 |
14 |
x1 |
x2 |
x3 |
9 |
13 |
8 |
12 |
x3 |
x4 |
12 |
5 |
7 |
2 |
4 |
6 |
8 |
3 |
11 |
1 |
x1 |
x2 |
10 |
14 |
9 |
13 |
x2 |
x3 |
x4 |
13 |
6 |
8 |
3 |
5 |
7 |
9 |
4 |
12 |
2 |
x1 |
11 |
1 |
10 |
14 |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
14 |
7 |
9 |
4 |
6 |
8 |
10 |
5 |
13 |
3 |
12 |
2 |
11 |
1 |
4 |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
1 |
8 |
10 |
5 |
7 |
9 |
11 |
6 |
14 |
13 |
3 |
12 |
2 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
x4 |
x3 |
x2 |
x1 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
1 |
2 |
3 |
4 |
x2 |
x1 |
x4 |
x3 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
x3 |
x4 |
x1 |
x2 |
Рис. 1
Второй латинский квадрат
1 |
8 |
14 |
13 |
12 |
11 |
3 |
2 |
10 |
x4 |
x3 |
x2 |
x1 |
4 |
9 |
6 |
5 |
7 |
5 |
2 |
9 |
1 |
14 |
13 |
12 |
4 |
3 |
11 |
x4 |
x3 |
x2 |
x1 |
10 |
7 |
6 |
8 |
x1 |
6 |
3 |
10 |
2 |
1 |
14 |
13 |
5 |
4 |
12 |
x4 |
x3 |
x2 |
11 |
8 |
7 |
9 |
x2 |
x1 |
7 |
4 |
11 |
3 |
2 |
1 |
14 |
6 |
5 |
13 |
x4 |
x3 |
12 |
9 |
8 |
10 |
x3 |
x2 |
x1 |
8 |
5 |
12 |
4 |
3 |
2 |
1 |
7 |
6 |
14 |
x4 |
13 |
10 |
9 |
11 |
x4 |
x3 |
x2 |
x1 |
9 |
6 |
13 |
5 |
4 |
3 |
2 |
8 |
7 |
1 |
14 |
11 |
10 |
12 |
2 |
x4 |
x3 |
x2 |
x1 |
10 |
7 |
14 |
6 |
5 |
4 |
3 |
9 |
8 |
1 |
12 |
11 |
13 |
9 |
3 |
x4 |
x3 |
x2 |
x1 |
11 |
8 |
1 |
7 |
6 |
5 |
4 |
10 |
2 |
13 |
12 |
14 |
11 |
10 |
4 |
x4 |
x3 |
x2 |
x1 |
12 |
9 |
2 |
8 |
7 |
6 |
5 |
3 |
14 |
13 |
1 |
6 |
12 |
11 |
5 |
x4 |
x3 |
x2 |
x1 |
13 |
10 |
3 |
9 |
8 |
7 |
4 |
1 |
14 |
2 |
8 |
7 |
13 |
12 |
6 |
x4 |
x3 |
x2 |
x1 |
14 |
11 |
4 |
10 |
9 |
5 |
2 |
1 |
3 |
10 |
9 |
8 |
14 |
13 |
7 |
x4 |
x3 |
x2 |
x1 |
1 |
12 |
5 |
11 |
6 |
3 |
2 |
4 |
12 |
11 |
10 |
9 |
1 |
14 |
8 |
x4 |
x3 |
x2 |
x1 |
2 |
13 |
6 |
7 |
4 |
3 |
5 |
7 |
13 |
12 |
11 |
10 |
2 |
1 |
9 |
x4 |
x3 |
x2 |
x1 |
3 |
14 |
8 |
5 |
4 |
6 |
14 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
1 |
2 |
3 |
x3 |
x4 |
x1 |
x2 |
13 |
14 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
x4 |
x3 |
x2 |
x1 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
1 |
2 |
x2 |
x1 |
x4 |
x3 |
Рис. 2
Третий латинский квадрат
x1 |
x3 |
14 |
7 |
10 |
8 |
5 |
x2 |
13 |
3 |
6 |
4 |
12 |
x4 |
1 |
11 |
9 |
2 |
x4 |
x1 |
x3 |
1 |
8 |
11 |
9 |
6 |
x2 |
14 |
4 |
7 |
5 |
13 |
2 |
12 |
10 |
3 |
14 |
x4 |
x1 |
x3 |
2 |
9 |
12 |
10 |
7 |
x2 |
1 |
5 |
8 |
6 |
3 |
13 |
11 |
4 |
7 |
1 |
x4 |
x1 |
x3 |
3 |
10 |
13 |
11 |
8 |
x2 |
2 |
6 |
9 |
4 |
14 |
12 |
5 |
10 |
8 |
2 |
x4 |
x1 |
x3 |
4 |
11 |
14 |
12 |
9 |
x2 |
3 |
7 |
5 |
1 |
13 |
6 |
8 |
11 |
9 |
3 |
x4 |
x1 |
x3 |
5 |
12 |
1 |
13 |
10 |
x2 |
4 |
6 |
2 |
14 |
7 |
5 |
9 |
12 |
10 |
4 |
x4 |
x1 |
x3 |
6 |
13 |
2 |
14 |
11 |
x2 |
7 |
3 |
1 |
8 |
x2 |
6 |
10 |
13 |
11 |
5 |
x4 |
x1 |
x3 |
7 |
14 |
3 |
1 |
12 |
8 |
4 |
2 |
9 |
13 |
x2 |
7 |
11 |
14 |
12 |
6 |
x4 |
x1 |
x3 |
8 |
1 |
4 |
2 |
9 |
5 |
3 |
10 |
3 |
14 |
x2 |
8 |
12 |
1 |
13 |
7 |
x4 |
x1 |
x3 |
9 |
2 |
5 |
10 |
6 |
4 |
11 |
6 |
4 |
1 |
x2 |
9 |
13 |
2 |
14 |
8 |
x4 |
x1 |
x3 |
10 |
3 |
11 |
7 |
5 |
12 |
4 |
7 |
5 |
2 |
x2 |
10 |
14 |
3 |
1 |
9 |
x4 |
x1 |
x3 |
11 |
12 |
8 |
6 |
13 |
12 |
5 |
8 |
6 |
3 |
x2 |
11 |
1 |
4 |
2 |
10 |
x4 |
x1 |
x3 |
13 |
9 |
7 |
14 |
x3 |
13 |
6 |
9 |
7 |
4 |
x2 |
12 |
2 |
5 |
3 |
11 |
x4 |
x1 |
14 |
10 |
8 |
1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
11 |
12 |
13 |
14 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
x2 |
x1 |
x4 |
x3 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
x3 |
x4 |
x1 |
x2 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
1 |
x4 |
x3 |
x2 |
x1 |
Рис. 3
Построение этой группы MOLS описано в статье http://www.natalimak1.narod.ru/mols18.htm . Латинские квадраты группы обладают интересной симметрией. Они содержат латинский подквадрат 4х4.
Вот как выглядит КРМ этой группы MOLS в том виде, какой я получила по описанию, приведённому в книге “Handbook of Combinatorial Designs” (рис. 4):
1 |
1 |
1 |
2 |
11 |
3 |
2 |
4 |
9 |
12 |
6 |
10 |
8 |
13 |
1 |
x1 |
5 |
x2 |
7 |
x3 |
14 |
x4 |
1 |
8 |
2 |
1 |
3 |
11 |
4 |
2 |
12 |
9 |
10 |
6 |
13 |
8 |
x1 |
1 |
x2 |
5 |
x3 |
7 |
x4 |
14 |
1 |
2 |
8 |
5 |
13 |
12 |
1 |
x1 |
7 |
x2 |
3 |
x3 |
4 |
x4 |
9 |
14 |
10 |
8 |
11 |
5 |
6 |
2 |
1 |
9 |
5 |
8 |
12 |
13 |
x1 |
1 |
x2 |
7 |
x3 |
3 |
x4 |
4 |
14 |
9 |
8 |
10 |
5 |
11 |
2 |
6 |
x1 |
x2 |
x4 |
x3 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Рис. 4
Символьные элементы x1, x2, x3, x4 принимают значения 15, 16, 17, 18 (или 15, 16, 17, 0) в любой комбинации. Если использовать первую группу значений, то латинские квадраты будут заполнены в нетрадиционной форме – числами от 1 до 18. Если использовать группу значений 15, 16, 17, 0, квадраты будут заполнены в традиционной форме – числами от 0 до 17.
А теперь преобразую КРМ к виду, придуманному мной. Именно в таком виде очень хорошо видно ту секцию КРМ, которую можно варьировать. Преобразованная КРМ показана на рис. 5.
x1 |
x2 |
x4 |
x3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
x1 |
x2 |
x4 |
x3 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
4 |
13 |
3 |
9 |
6 |
5 |
7 |
1 |
8 |
14 |
13 |
12 |
11 |
3 |
2 |
10 |
x4 |
x3 |
x2 |
x1 |
4 |
9 |
6 |
5 |
7 |
14 |
4 |
13 |
3 |
1 |
5 |
x1 |
x2 |
x4 |
x3 |
2 |
9 |
11 |
6 |
8 |
10 |
12 |
7 |
1 |
11 |
9 |
2 |
1 |
11 |
9 |
2 |
x1 |
x4 |
14 |
7 |
10 |
8 |
5 |
x2 |
13 |
3 |
6 |
4 |
12 |
x3 |
Рис. 5
В этой КРМ выделена секция, в которой возможно варьирование групп чисел. При этом полностью сохранится симметрия латинских квадратов. Группы чисел, подвергаемых варьированию: 3, 4, 13, 14; 5, 6, 7, 9 и 1, 2, 9, 11. В третьей и четвёртой строках КРМ перестановки групп чисел берутся одинаковые, в пятой строке перестановка группы чисел берётся одна и та же. Разумеется, из всех возможных перестановок выбираются только те, которые не нарушают совместимость всех строк КРМ по известному критерию. Составив и выполнив программу, я получила 24 решения. Покажу все решения, ибо это очень интересный результат. Решения выводятся в виде выделенной секции КРМ.
№ 1 № 2 № 3 № 4
3 4 13 14 7 6 5 9 3 4 14 13 7 6 9 5 3 13 4 14 7 5 6 9 3 13 14 4 7 5 9 6
7 6 5 9 3 4 13 14 7 6 9 5 3 4 14 13 7 5 6 9 3 13 4 14 7 5 9 6 3 13 14 4
2 11 9 1 2 11 9 1 2 11 1 9 2 11 1 9 2 9 11 1 2 9 11 1 2 9 1 11 2 9 1 11
№ 5 № 6 № 7 № 8
3 14 4 13 7 9 6 5 3 14 13 4 7 9 5 6 4 3 13 14 6 7 5 9 4 3 14 13 6 7 9 5
7 9 6 5 3 14 4 13 7 9 5 6 3 14 13 4 6 7 5 9 4 3 13 14 6 7 9 5 4 3 14 13
2 1 11 9 2 1 11 9 2 1 9 11 2 1 9 11 11 2 9 1 11 2 9 1 11 2 1 9 11 2 1 9
№ 9 № 10 № 11 № 12
4 13 3 14 6 5 7 9 4 13 14 3 6 5 9 7 4 14 3 13 6 9 7 5 4 14 13 3 6 9 5 7
6 5 7 9 4 13 3 14 6 5 9 7 4 13 14 3 6 9 7 5 4 14 3 13 6 9 5 7 4 14 13 3
11 9 2 1 11 9 2 1 11 9 1 2 11 9 1 2 11 1 2 9 11 1 2 9 11 1 9 2 11 1 9 2
№ 13 № 14 № 15 № 16
13 3 4 14 5 7 6 9 13 3 14 4 5 7 9 6 13 4 3 14 5 6 7 9 13 4 14 3 5 6 9 7
5 7 6 9 13 3 4 14 5 7 9 6 13 3 14 4 5 6 7 9 13 4 3 14 5 6 9 7 13 4 14 3
9 2 11 1 9 2 11 1 9 2 1 11 9 2 1 11 9 11 2 1 9 11 2 1 9 11 1 2 9 11 1 2
№ 17 № 18 № 19 № 20
13 14 3 4 5 9 7 6 13 14 4 3 5 9 6 7 14 3 4 13 9 7 6 5 14 3 13 4 9 7 5 6
5 9 7 6 13 14 3 4 5 9 6 7 13 14 4 3 9 7 6 5 14 3 4 13 9 7 5 6 14 3 13 4
9 1 2 11 9 1 2 11 9 1 11 2 9 1 11 2 1 2 11 9 1 2 11 9 1 2 9 11 1 2 9 11
№ 21 № 22 № 23 № 24
14 4 3 13 9 6 7 5 14 4 13 3 9 6 5 7 14 13 3 4 9 5 7 6 14 13 4 3 9 5 6 7
9 6 7 5 14 4 3 13 9 6 5 7 14 4 13 3 9 5 7 6 14 13 3 4 9 5 6 7 14 13 4 3
1 11 2 9 1 11 2 9 1 11 9 2 1 11 9 2 1 9 2 11 1 9 2 11 1 9 11 2 1 9 11 2
Примечание: все перестановки в данном примере соответственные. Определение соответственных перестановок смотрите в предыдущей статье “Неизоморфные пары ортогональных латинских квадратов”.
Очевидно, что КРМ, изображённая на рис. 5, соответствует решению № 22.
А теперь покажу решение № 1. Сначала КРМ (рис. 6), а затем группу MOLS (рис. 7 – 9). В латинских квадратах группы символьные элементы заменены конкретными числовыми значениями: x1 = 15, x2 = 16, x3 = 17, x4 = 18.
Квази-разностная матрица (решение № 1)
x1 |
x2 |
x4 |
x3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
x1 |
x2 |
x4 |
x3 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
3 |
4 |
13 |
14 |
7 |
6 |
5 |
9 |
1 |
8 |
14 |
13 |
12 |
11 |
3 |
2 |
10 |
x4 |
x3 |
x2 |
x1 |
4 |
7 |
6 |
5 |
9 |
3 |
4 |
13 |
14 |
1 |
5 |
x1 |
x2 |
x4 |
x3 |
2 |
9 |
11 |
6 |
8 |
10 |
12 |
7 |
2 |
11 |
9 |
1 |
2 |
11 |
9 |
1 |
x1 |
x4 |
14 |
7 |
10 |
8 |
5 |
x2 |
13 |
3 |
6 |
4 |
12 |
x3 |
Рис. 6
Первый латинский квадрат (решение № 1)
1 |
5 |
15 |
16 |
17 |
18 |
2 |
9 |
11 |
6 |
8 |
10 |
12 |
7 |
3 |
4 |
13 |
14 |
8 |
2 |
6 |
15 |
16 |
17 |
18 |
3 |
10 |
12 |
7 |
9 |
11 |
13 |
4 |
5 |
14 |
1 |
14 |
9 |
3 |
7 |
15 |
16 |
17 |
18 |
4 |
11 |
13 |
8 |
10 |
12 |
5 |
6 |
1 |
2 |
13 |
1 |
10 |
4 |
8 |
15 |
16 |
17 |
18 |
5 |
12 |
14 |
9 |
11 |
6 |
7 |
2 |
3 |
12 |
14 |
2 |
11 |
5 |
9 |
15 |
16 |
17 |
18 |
6 |
13 |
1 |
10 |
7 |
8 |
3 |
4 |
11 |
13 |
1 |
3 |
12 |
6 |
10 |
15 |
16 |
17 |
18 |
7 |
14 |
2 |
8 |
9 |
4 |
5 |
3 |
12 |
14 |
2 |
4 |
13 |
7 |
11 |
15 |
16 |
17 |
18 |
8 |
1 |
9 |
10 |
5 |
6 |
2 |
4 |
13 |
1 |
3 |
5 |
14 |
8 |
12 |
15 |
16 |
17 |
18 |
9 |
10 |
11 |
6 |
7 |
10 |
3 |
5 |
14 |
2 |
4 |
6 |
1 |
9 |
13 |
15 |
16 |
17 |
18 |
11 |
12 |
7 |
8 |
18 |
11 |
4 |
6 |
1 |
3 |
5 |
7 |
2 |
10 |
14 |
15 |
16 |
17 |
12 |
13 |
8 |
9 |
17 |
18 |
12 |
5 |
7 |
2 |
4 |
6 |
8 |
3 |
11 |
1 |
15 |
16 |
13 |
14 |
9 |
10 |
16 |
17 |
18 |
13 |
6 |
8 |
3 |
5 |
7 |
9 |
4 |
12 |
2 |
15 |
14 |
1 |
10 |
11 |
15 |
16 |
17 |
18 |
14 |
7 |
9 |
4 |
6 |
8 |
10 |
5 |
13 |
3 |
1 |
2 |
11 |
12 |
4 |
15 |
16 |
17 |
18 |
1 |
8 |
10 |
5 |
7 |
9 |
11 |
6 |
14 |
2 |
3 |
12 |
13 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
15 |
16 |
17 |
18 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
18 |
17 |
16 |
15 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
1 |
2 |
3 |
4 |
16 |
15 |
18 |
17 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
17 |
18 |
15 |
16 |
Рис. 7
Второй латинский квадрат (решение № 1)
1 |
8 |
14 |
13 |
12 |
11 |
3 |
2 |
10 |
18 |
17 |
16 |
15 |
4 |
7 |
6 |
5 |
9 |
5 |
2 |
9 |
1 |
14 |
13 |
12 |
4 |
3 |
11 |
18 |
17 |
16 |
15 |
8 |
7 |
6 |
10 |
15 |
6 |
3 |
10 |
2 |
1 |
14 |
13 |
5 |
4 |
12 |
18 |
17 |
16 |
9 |
8 |
7 |
11 |
16 |
15 |
7 |
4 |
11 |
3 |
2 |
1 |
14 |
6 |
5 |
13 |
18 |
17 |
10 |
9 |
8 |
12 |
17 |
16 |
15 |
8 |
5 |
12 |
4 |
3 |
2 |
1 |
7 |
6 |
14 |
18 |
11 |
10 |
9 |
13 |
18 |
17 |
16 |
15 |
9 |
6 |
13 |
5 |
4 |
3 |
2 |
8 |
7 |
1 |
12 |
11 |
10 |
14 |
2 |
18 |
17 |
16 |
15 |
10 |
7 |
14 |
6 |
5 |
4 |
3 |
9 |
8 |
13 |
12 |
11 |
1 |
9 |
3 |
18 |
17 |
16 |
15 |
11 |
8 |
1 |
7 |
6 |
5 |
4 |
10 |
14 |
13 |
12 |
2 |
11 |
10 |
4 |
18 |
17 |
16 |
15 |
12 |
9 |
2 |
8 |
7 |
6 |
5 |
1 |
14 |
13 |
3 |
6 |
12 |
11 |
5 |
18 |
17 |
16 |
15 |
13 |
10 |
3 |
9 |
8 |
7 |
2 |
1 |
14 |
4 |
8 |
7 |
13 |
12 |
6 |
18 |
17 |
16 |
15 |
14 |
11 |
4 |
10 |
9 |
3 |
2 |
1 |
5 |
10 |
9 |
8 |
14 |
13 |
7 |
18 |
17 |
16 |
15 |
1 |
12 |
5 |
11 |
4 |
3 |
2 |
6 |
12 |
11 |
10 |
9 |
1 |
14 |
8 |
18 |
17 |
16 |
15 |
2 |
13 |
6 |
5 |
4 |
3 |
7 |
7 |
13 |
12 |
11 |
10 |
2 |
1 |
9 |
18 |
17 |
16 |
15 |
3 |
14 |
6 |
5 |
4 |
8 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
1 |
2 |
15 |
16 |
17 |
18 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
1 |
2 |
3 |
17 |
18 |
15 |
16 |
13 |
14 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
18 |
17 |
16 |
15 |
14 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
16 |
15 |
18 |
17 |
Рис. 8
Третий латинский квадрат (решение № 1)
15 |
17 |
14 |
7 |
10 |
8 |
5 |
16 |
13 |
3 |
6 |
4 |
12 |
18 |
2 |
11 |
9 |
1 |
18 |
15 |
17 |
1 |
8 |
11 |
9 |
6 |
16 |
14 |
4 |
7 |
5 |
13 |
3 |
12 |
10 |
2 |
14 |
18 |
15 |
17 |
2 |
9 |
12 |
10 |
7 |
16 |
1 |
5 |
8 |
6 |
4 |
13 |
11 |
3 |
7 |
1 |
18 |
15 |
17 |
3 |
10 |
13 |
11 |
8 |
16 |
2 |
6 |
9 |
5 |
14 |
12 |
4 |
10 |
8 |
2 |
18 |
15 |
17 |
4 |
11 |
14 |
12 |
9 |
16 |
3 |
7 |
6 |
1 |
13 |
5 |
8 |
11 |
9 |
3 |
18 |
15 |
17 |
5 |
12 |
1 |
13 |
10 |
16 |
4 |
7 |
2 |
14 |
6 |
5 |
9 |
12 |
10 |
4 |
18 |
15 |
17 |
6 |
13 |
2 |
14 |
11 |
16 |
8 |
3 |
1 |
7 |
16 |
6 |
10 |
13 |
11 |
5 |
18 |
15 |
17 |
7 |
14 |
3 |
1 |
12 |
9 |
4 |
2 |
8 |
13 |
16 |
7 |
11 |
14 |
12 |
6 |
18 |
15 |
17 |
8 |
1 |
4 |
2 |
10 |
5 |
3 |
9 |
3 |
14 |
16 |
8 |
12 |
1 |
13 |
7 |
18 |
15 |
17 |
9 |
2 |
5 |
11 |
6 |
4 |
10 |
6 |
4 |
1 |
16 |
9 |
13 |
2 |
14 |
8 |
18 |
15 |
17 |
10 |
3 |
12 |
7 |
5 |
11 |
4 |
7 |
5 |
2 |
16 |
10 |
14 |
3 |
1 |
9 |
18 |
15 |
17 |
11 |
13 |
8 |
6 |
12 |
12 |
5 |
8 |
6 |
3 |
16 |
11 |
1 |
4 |
2 |
10 |
18 |
15 |
17 |
14 |
9 |
7 |
13 |
17 |
13 |
6 |
9 |
7 |
4 |
16 |
12 |
2 |
5 |
3 |
11 |
18 |
15 |
1 |
10 |
8 |
14 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
1 |
15 |
16 |
17 |
18 |
11 |
12 |
13 |
14 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
16 |
15 |
18 |
17 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
17 |
18 |
15 |
16 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
18 |
17 |
16 |
15 |
Рис. 9
Понятно, что очень легко запрограммировать получение всех 24 вариантов КРМ, а по КРМ и построение групп MOLS.
Заметьте, что из данной группы MOLS можно получать неизоморфные группы и другим способом: варьируя латинские подквадраты 4х4.
Напомню, что именно на основе этой группы MOLS я получила 2880 неизоморфных пар ортогональных диагональных латинских квадратов (ОДЛК) (см. статью http://www.natalimak1.narod.ru/diagon.htm ).
Перехожу к группе MOLS 26-го порядка. Эта группа также построена по книге “Handbook of Combinatorial Designs”.
На рис. 10 изображена квази-разностная матрица, построенная из матрицы, приведённой в книге.
x1 |
1 |
2 |
4 |
7 |
5 |
x2 |
1 |
7 |
12 |
11 |
20 |
x3 |
1 |
8 |
21 |
15 |
6 |
x4 |
1 |
9 |
19 |
2 |
13 |
x5 |
1 |
15 |
11 |
6 |
3 |
1 |
2 |
4 |
7 |
5 |
x1 |
1 |
7 |
12 |
11 |
20 |
x2 |
1 |
8 |
21 |
15 |
6 |
x3 |
1 |
9 |
19 |
2 |
13 |
x4 |
1 |
15 |
11 |
6 |
3 |
x5 |
2 |
4 |
7 |
5 |
x1 |
1 |
7 |
12 |
11 |
20 |
x2 |
1 |
8 |
21 |
15 |
6 |
x3 |
1 |
9 |
19 |
2 |
13 |
x4 |
1 |
15 |
11 |
6 |
3 |
x5 |
1 |
4 |
7 |
5 |
x1 |
1 |
2 |
12 |
11 |
20 |
x2 |
1 |
7 |
21 |
15 |
6 |
x3 |
1 |
8 |
19 |
2 |
13 |
x4 |
1 |
9 |
11 |
6 |
3 |
x5 |
1 |
15 |
7 |
5 |
x1 |
1 |
2 |
4 |
11 |
20 |
x2 |
1 |
7 |
12 |
15 |
6 |
x3 |
1 |
8 |
21 |
2 |
13 |
x4 |
1 |
9 |
19 |
6 |
3 |
x5 |
1 |
15 |
11 |
5 |
x1 |
1 |
2 |
4 |
7 |
20 |
x2 |
1 |
7 |
12 |
11 |
6 |
x3 |
1 |
8 |
21 |
15 |
13 |
x4 |
1 |
9 |
19 |
2 |
3 |
x5 |
1 |
15 |
11 |
6 |
Рис. 10
Здесь символьные элементы x1, x2, x3, x4, x5 принимают значения 22, 23, 24, 25, 26 (или 22, 23, 24, 25, 0) в любой комбинации.
Построение группы MOLS по данной КРМ смотрите в статье http://www.natalimak1.narod.ru/mols26_38.htm
Теперь хочу применить к этой группе MOLS тот же самый приём варьирования секции КРМ. Сначала преобразую КРМ к виду, удобному для применения этого приёма (рис. 11):
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
2 |
7 |
8 |
9 |
15 |
18 |
3 |
17 |
10 |
20 |
1 |
4 |
6 |
2 |
16 |
5 |
12 |
21 |
19 |
x2 |
15 |
x4 |
x3 |
8 |
11 |
7 |
14 |
13 |
x5 |
x1 |
9 |
4 |
12 |
21 |
19 |
11 |
19 |
9 |
3 |
18 |
13 |
1 |
7 |
4 |
x1 |
x4 |
14 |
11 |
15 |
2 |
12 |
5 |
21 |
8 |
20 |
6 |
x3 |
x5 |
10 |
17 |
16 |
x2 |
7 |
11 |
15 |
2 |
6 |
21 |
14 |
16 |
7 |
9 |
1 |
5 |
x1 |
19 |
4 |
x2 |
20 |
6 |
13 |
18 |
x4 |
8 |
15 |
x3 |
3 |
2 |
12 |
x5 |
10 |
17 |
11 |
5 |
20 |
6 |
13 |
3 |
3 |
13 |
10 |
11 |
4 |
1 |
x1 |
21 |
20 |
12 |
16 |
x2 |
x3 |
x4 |
2 |
14 |
18 |
7 |
15 |
x5 |
9 |
5 |
8 |
6 |
19 |
17 |
Рис. 11
В этом примере надо варьировать восемь различных групп, каждая из которых состоит из 5 чисел. Я перечислю эти группы:
2, 7, 8, 9, 15
3, 10, 17, 18, 20
4, 11, 12, 19, 21
3, 9, 13, 18, 19
2, 6, 7, 11, 15
7, 9, 14, 16, 21
3, 5, 6, 13, 20
3, 4, 10, 11, 13
Совершенно понятно, что сразу можно применить все соответственные перестановки. Я составила программу для таких перестановок и получила 14400 решений. Это тоже вполне понятно: каждая группа из пяти чисел в третьей строке КРМ имеет 120 вариантов. Группы чисел в остальных строках КРМ располагаются соответственно группам чисел в третьей строке КРМ. Вот один пример КРМ с соответственными перестановками (рис. 12):
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
15 |
9 |
8 |
7 |
2 |
17 |
10 |
20 |
18 |
3 |
1 |
4 |
6 |
2 |
16 |
5 |
12 |
21 |
19 |
x2 |
15 |
x4 |
x3 |
8 |
11 |
7 |
14 |
13 |
x5 |
x1 |
9 |
11 |
19 |
21 |
12 |
4 |
3 |
18 |
13 |
19 |
9 |
1 |
7 |
4 |
x1 |
x4 |
14 |
11 |
15 |
2 |
12 |
5 |
21 |
8 |
20 |
6 |
x3 |
x5 |
10 |
17 |
16 |
x2 |
6 |
2 |
15 |
11 |
7 |
16 |
7 |
9 |
21 |
14 |
1 |
5 |
x1 |
19 |
4 |
x2 |
20 |
6 |
13 |
18 |
x4 |
8 |
15 |
x3 |
3 |
2 |
12 |
x5 |
10 |
17 |
11 |
3 |
13 |
6 |
20 |
5 |
10 |
11 |
4 |
3 |
13 |
1 |
x1 |
21 |
20 |
12 |
16 |
x2 |
x3 |
x4 |
2 |
14 |
18 |
7 |
15 |
x5 |
9 |
5 |
8 |
6 |
19 |
17 |
Рис. 12
Совершенно очевидно, что соответственные перестановки равносильны перестановке столбцов в выделенной секции КРМ. Разумеется, столбцы переставляются не во всей секции, а только в группе из первых пяти столбцов и в следующей группе из пяти столбцов.