Н. Макарова
ГРУППЫ MOLS 20-го и 21-го ПОРЯДКА
В предыдущих статьях данного цикла мне удалось построить все группы MOLS чётных порядков до порядка 18 включительно (с помощью участников форума http://dxdy.ru/topic12959.html ). Используя данные на форуме подсказки, пытаюсь продвигаться дальше по той же самой книге “Handbook of Combinatorial Designs”[Глава 3. Mutually Orthogonal Latin Squares (MOLS)]. Для группы MOLS 20-го порядка использую также статью “Four Mutually Orthogonal Latin Squares of order 20” (D. T. Todorov).
Прежде всего отмечу, что для рассматриваемых здесь порядков 20 и 21 работает метод составных квадратов. В одной из статей данного цикла показано построение методом составных квадратов группы MOLS 20-го порядка, состоящей из трёх латинских квадратов. В этой группе два латинских квадрата диагональные, что даёт возможность сразу строить магические квадраты из данной пары ОЛК. Для порядка 21 можно построить методом составных квадратов только пару ОЛК, в этой паре латинские квадраты недиагональные.
Перехожу к построению группы MOLS 20-го порядка по статье Тодорова. В статье приведена квази-разностная матрица для построения группы. Вы видите эту матрицу на рис. 1.
|
∞ |
1 |
1 |
8 |
2 |
12 |
2 |
8 |
12 |
3 |
15 |
4 |
5 |
10 |
7 |
6 |
17 |
18 |
11 |
14 |
16 |
|
1 |
∞ |
1 |
2 |
12 |
8 |
8 |
12 |
2 |
15 |
4 |
3 |
10 |
7 |
5 |
17 |
18 |
6 |
14 |
16 |
11 |
|
1 |
1 |
∞ |
12 |
8 |
2 |
12 |
2 |
8 |
4 |
3 |
15 |
7 |
5 |
10 |
18 |
6 |
17 |
16 |
11 |
14 |
|
8 |
2 |
12 |
∞ |
1 |
1 |
17 |
6 |
18 |
10 |
5 |
7 |
15 |
3 |
4 |
8 |
2 |
12 |
16 |
14 |
11 |
|
2 |
12 |
8 |
1 |
∞ |
1 |
18 |
17 |
6 |
7 |
10 |
5 |
4 |
15 |
3 |
12 |
8 |
2 |
11 |
16 |
14 |
|
12 |
8 |
2 |
1 |
1 |
∞ |
6 |
18 |
17 |
5 |
7 |
10 |
3 |
4 |
15 |
2 |
12 |
8 |
14 |
11 |
16 |
Рис. 1
Примечание: здесь и далее все элементы матрицы увеличены на единицу.
Как по квази-разностной матрице строить латинские квадраты, рассказано в предыдущих статьях. Первому латинскому квадрату соответствует голубая строка матрицы, второму квадрату – оранжевая, третьему – зелёная, четвёртому – жёлтая. На рис. 2 – 5 показаны четыре квадрата данной группы. В каждом латинском квадрате выделены ячейки, содержащие числа из квази-разностной матрицы.
Первый латинский квадрат
|
20 |
13 |
6 |
18 |
14 |
4 |
11 |
9 |
2 |
16 |
7 |
19 |
12 |
5 |
17 |
10 |
3 |
15 |
8 |
1 |
|
9 |
20 |
14 |
7 |
19 |
15 |
5 |
12 |
10 |
3 |
17 |
8 |
1 |
13 |
6 |
18 |
11 |
4 |
16 |
2 |
|
17 |
10 |
20 |
15 |
8 |
1 |
16 |
6 |
13 |
11 |
4 |
18 |
9 |
2 |
14 |
7 |
19 |
12 |
5 |
3 |
|
6 |
18 |
11 |
20 |
16 |
9 |
2 |
17 |
7 |
14 |
12 |
5 |
19 |
10 |
3 |
15 |
8 |
1 |
13 |
4 |
|
14 |
7 |
19 |
12 |
20 |
17 |
10 |
3 |
18 |
8 |
15 |
13 |
6 |
1 |
11 |
4 |
16 |
9 |
2 |
5 |
|
3 |
15 |
8 |
1 |
13 |
20 |
18 |
11 |
4 |
19 |
9 |
16 |
14 |
7 |
2 |
12 |
5 |
17 |
10 |
6 |
|
11 |
4 |
16 |
9 |
2 |
14 |
20 |
19 |
12 |
5 |
1 |
10 |
17 |
15 |
8 |
3 |
13 |
6 |
18 |
7 |
|
19 |
12 |
5 |
17 |
10 |
3 |
15 |
20 |
1 |
13 |
6 |
2 |
11 |
18 |
16 |
9 |
4 |
14 |
7 |
8 |
|
8 |
1 |
13 |
6 |
18 |
11 |
4 |
16 |
20 |
2 |
14 |
7 |
3 |
12 |
19 |
17 |
10 |
5 |
15 |
9 |
|
16 |
9 |
2 |
14 |
7 |
19 |
12 |
5 |
17 |
20 |
3 |
15 |
8 |
4 |
13 |
1 |
18 |
11 |
6 |
10 |
|
7 |
17 |
10 |
3 |
15 |
8 |
1 |
13 |
6 |
18 |
20 |
4 |
16 |
9 |
5 |
14 |
2 |
19 |
12 |
11 |
|
13 |
8 |
18 |
11 |
4 |
16 |
9 |
2 |
14 |
7 |
19 |
20 |
5 |
17 |
10 |
6 |
15 |
3 |
1 |
12 |
|
2 |
14 |
9 |
19 |
12 |
5 |
17 |
10 |
3 |
15 |
8 |
1 |
20 |
6 |
18 |
11 |
7 |
16 |
4 |
13 |
|
5 |
3 |
15 |
10 |
1 |
13 |
6 |
18 |
11 |
4 |
16 |
9 |
2 |
20 |
7 |
19 |
12 |
8 |
17 |
14 |
|
18 |
6 |
4 |
16 |
11 |
2 |
14 |
7 |
19 |
12 |
5 |
17 |
10 |
3 |
20 |
8 |
1 |
13 |
9 |
15 |
|
10 |
19 |
7 |
5 |
17 |
12 |
3 |
15 |
8 |
1 |
13 |
6 |
18 |
11 |
4 |
20 |
9 |
2 |
14 |
16 |
|
15 |
11 |
1 |
8 |
6 |
18 |
13 |
4 |
16 |
9 |
2 |
14 |
7 |
19 |
12 |
5 |
20 |
10 |
3 |
17 |
|
4 |
16 |
12 |
2 |
9 |
7 |
19 |
14 |
5 |
17 |
10 |
3 |
15 |
8 |
1 |
13 |
6 |
20 |
11 |
18 |
|
12 |
5 |
17 |
13 |
3 |
10 |
8 |
1 |
15 |
6 |
18 |
11 |
4 |
16 |
9 |
2 |
14 |
7 |
20 |
19 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
Рис. 2
Второй латинский квадрат
|
12 |
5 |
19 |
16 |
13 |
1 |
20 |
15 |
11 |
9 |
17 |
2 |
7 |
10 |
6 |
14 |
3 |
18 |
4 |
8 |
|
5 |
13 |
6 |
1 |
17 |
14 |
2 |
20 |
16 |
12 |
10 |
18 |
3 |
8 |
11 |
7 |
15 |
4 |
19 |
9 |
|
1 |
6 |
14 |
7 |
2 |
18 |
15 |
3 |
20 |
17 |
13 |
11 |
19 |
4 |
9 |
12 |
8 |
16 |
5 |
10 |
|
6 |
2 |
7 |
15 |
8 |
3 |
19 |
16 |
4 |
20 |
18 |
14 |
12 |
1 |
5 |
10 |
13 |
9 |
17 |
11 |
|
18 |
7 |
3 |
8 |
16 |
9 |
4 |
1 |
17 |
5 |
20 |
19 |
15 |
13 |
2 |
6 |
11 |
14 |
10 |
12 |
|
11 |
19 |
8 |
4 |
9 |
17 |
10 |
5 |
2 |
18 |
6 |
20 |
1 |
16 |
14 |
3 |
7 |
12 |
15 |
13 |
|
16 |
12 |
1 |
9 |
5 |
10 |
18 |
11 |
6 |
3 |
19 |
7 |
20 |
2 |
17 |
15 |
4 |
8 |
13 |
14 |
|
14 |
17 |
13 |
2 |
10 |
6 |
11 |
19 |
12 |
7 |
4 |
1 |
8 |
20 |
3 |
18 |
16 |
5 |
9 |
15 |
|
10 |
15 |
18 |
14 |
3 |
11 |
7 |
12 |
1 |
13 |
8 |
5 |
2 |
9 |
20 |
4 |
19 |
17 |
6 |
16 |
|
7 |
11 |
16 |
19 |
15 |
4 |
12 |
8 |
13 |
2 |
14 |
9 |
6 |
3 |
10 |
20 |
5 |
1 |
18 |
17 |
|
19 |
8 |
12 |
17 |
1 |
16 |
5 |
13 |
9 |
14 |
3 |
15 |
10 |
7 |
4 |
11 |
20 |
6 |
2 |
18 |
|
3 |
1 |
9 |
13 |
18 |
2 |
17 |
6 |
14 |
10 |
15 |
4 |
16 |
11 |
8 |
5 |
12 |
20 |
7 |
19 |
|
8 |
4 |
2 |
10 |
14 |
19 |
3 |
18 |
7 |
15 |
11 |
16 |
5 |
17 |
12 |
9 |
6 |
13 |
20 |
1 |
|
20 |
9 |
5 |
3 |
11 |
15 |
1 |
4 |
19 |
8 |
16 |
12 |
17 |
6 |
18 |
13 |
10 |
7 |
14 |
2 |
|
15 |
20 |
10 |
6 |
4 |
12 |
16 |
2 |
5 |
1 |
9 |
17 |
13 |
18 |
7 |
19 |
14 |
11 |
8 |
3 |
|
9 |
16 |
20 |
11 |
7 |
5 |
13 |
17 |
3 |
6 |
2 |
10 |
18 |
14 |
19 |
8 |
1 |
15 |
12 |
4 |
|
13 |
10 |
17 |
20 |
12 |
8 |
6 |
14 |
18 |
4 |
7 |
3 |
11 |
19 |
15 |
1 |
9 |
2 |
16 |
5 |
|
17 |
14 |
11 |
18 |
20 |
13 |
9 |
7 |
15 |
19 |
5 |
8 |
4 |
12 |
1 |
16 |
2 |
10 |
3 |
6 |
|
4 |
18 |
15 |
12 |
19 |
20 |
14 |
10 |
8 |
16 |
1 |
6 |
9 |
5 |
13 |
2 |
17 |
3 |
11 |
7 |
|
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
1 |
20 |
Рис. 3
Третий латинский квадрат
|
8 |
3 |
18 |
9 |
13 |
4 |
19 |
12 |
15 |
20 |
5 |
7 |
16 |
11 |
14 |
6 |
17 |
1 |
10 |
2 |
|
11 |
9 |
4 |
19 |
10 |
14 |
5 |
1 |
13 |
16 |
20 |
6 |
8 |
17 |
12 |
15 |
7 |
18 |
2 |
3 |
|
3 |
12 |
10 |
5 |
1 |
11 |
15 |
6 |
2 |
14 |
17 |
20 |
7 |
9 |
18 |
13 |
16 |
8 |
19 |
4 |
|
1 |
4 |
13 |
11 |
6 |
2 |
12 |
16 |
7 |
3 |
15 |
18 |
20 |
8 |
10 |
19 |
14 |
17 |
9 |
5 |
|
10 |
2 |
5 |
14 |
12 |
7 |
3 |
13 |
17 |
8 |
4 |
16 |
19 |
20 |
9 |
11 |
1 |
15 |
18 |
6 |
|
19 |
11 |
3 |
6 |
15 |
13 |
8 |
4 |
14 |
18 |
9 |
5 |
17 |
1 |
20 |
10 |
12 |
2 |
16 |
7 |
|
17 |
1 |
12 |
4 |
7 |
16 |
14 |
9 |
5 |
15 |
19 |
10 |
6 |
18 |
2 |
20 |
11 |
13 |
3 |
8 |
|
4 |
18 |
2 |
13 |
5 |
8 |
17 |
15 |
10 |
6 |
16 |
1 |
11 |
7 |
19 |
3 |
20 |
12 |
14 |
9 |
|
15 |
5 |
19 |
3 |
14 |
6 |
9 |
18 |
16 |
11 |
7 |
17 |
2 |
12 |
8 |
1 |
4 |
20 |
13 |
10 |
|
14 |
16 |
6 |
1 |
4 |
15 |
7 |
10 |
19 |
17 |
12 |
8 |
18 |
3 |
13 |
9 |
2 |
5 |
20 |
11 |
|
20 |
15 |
17 |
7 |
2 |
5 |
16 |
8 |
11 |
1 |
18 |
13 |
9 |
19 |
4 |
14 |
10 |
3 |
6 |
12 |
|
7 |
20 |
16 |
18 |
8 |
3 |
6 |
17 |
9 |
12 |
2 |
19 |
14 |
10 |
1 |
5 |
15 |
11 |
4 |
13 |
|
5 |
8 |
20 |
17 |
19 |
9 |
4 |
7 |
18 |
10 |
13 |
3 |
1 |
15 |
11 |
2 |
6 |
16 |
12 |
14 |
|
13 |
6 |
9 |
20 |
18 |
1 |
10 |
5 |
8 |
19 |
11 |
14 |
4 |
2 |
16 |
12 |
3 |
7 |
17 |
15 |
|
18 |
14 |
7 |
10 |
20 |
19 |
2 |
11 |
6 |
9 |
1 |
12 |
15 |
5 |
3 |
17 |
13 |
4 |
8 |
16 |
|
9 |
19 |
15 |
8 |
11 |
20 |
1 |
3 |
12 |
7 |
10 |
2 |
13 |
16 |
6 |
4 |
18 |
14 |
5 |
17 |
|
6 |
10 |
1 |
16 |
9 |
12 |
20 |
2 |
4 |
13 |
8 |
11 |
3 |
14 |
17 |
7 |
5 |
19 |
15 |
18 |
|
16 |
7 |
11 |
2 |
17 |
10 |
13 |
20 |
3 |
5 |
14 |
9 |
12 |
4 |
15 |
18 |
8 |
6 |
1 |
19 |
|
2 |
17 |
8 |
12 |
3 |
18 |
11 |
14 |
20 |
4 |
6 |
15 |
10 |
13 |
5 |
16 |
19 |
9 |
7 |
1 |
|
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
20 |
Рис. 4
Четвёртый латинский квадрат
|
2 |
8 |
11 |
17 |
20 |
6 |
19 |
10 |
5 |
9 |
16 |
4 |
3 |
18 |
13 |
7 |
1 |
15 |
14 |
12 |
|
15 |
3 |
9 |
12 |
18 |
20 |
7 |
1 |
11 |
6 |
10 |
17 |
5 |
4 |
19 |
14 |
8 |
2 |
16 |
13 |
|
17 |
16 |
4 |
10 |
13 |
19 |
20 |
8 |
2 |
12 |
7 |
11 |
18 |
6 |
5 |
1 |
15 |
9 |
3 |
14 |
|
4 |
18 |
17 |
5 |
11 |
14 |
1 |
20 |
9 |
3 |
13 |
8 |
12 |
19 |
7 |
6 |
2 |
16 |
10 |
15 |
|
11 |
5 |
19 |
18 |
6 |
12 |
15 |
2 |
20 |
10 |
4 |
14 |
9 |
13 |
1 |
8 |
7 |
3 |
17 |
16 |
|
18 |
12 |
6 |
1 |
19 |
7 |
13 |
16 |
3 |
20 |
11 |
5 |
15 |
10 |
14 |
2 |
9 |
8 |
4 |
17 |
|
5 |
19 |
13 |
7 |
2 |
1 |
8 |
14 |
17 |
4 |
20 |
12 |
6 |
16 |
11 |
15 |
3 |
10 |
9 |
18 |
|
10 |
6 |
1 |
14 |
8 |
3 |
2 |
9 |
15 |
18 |
5 |
20 |
13 |
7 |
17 |
12 |
16 |
4 |
11 |
19 |
|
12 |
11 |
7 |
2 |
15 |
9 |
4 |
3 |
10 |
16 |
19 |
6 |
20 |
14 |
8 |
18 |
13 |
17 |
5 |
1 |
|
6 |
13 |
12 |
8 |
3 |
16 |
10 |
5 |
4 |
11 |
17 |
1 |
7 |
20 |
15 |
9 |
19 |
14 |
18 |
2 |
|
19 |
7 |
14 |
13 |
9 |
4 |
17 |
11 |
6 |
5 |
12 |
18 |
2 |
8 |
20 |
16 |
10 |
1 |
15 |
3 |
|
16 |
1 |
8 |
15 |
14 |
10 |
5 |
18 |
12 |
7 |
6 |
13 |
19 |
3 |
9 |
20 |
17 |
11 |
2 |
4 |
|
3 |
17 |
2 |
9 |
16 |
15 |
11 |
6 |
19 |
13 |
8 |
7 |
14 |
1 |
4 |
10 |
20 |
18 |
12 |
5 |
|
13 |
4 |
18 |
3 |
10 |
17 |
16 |
12 |
7 |
1 |
14 |
9 |
8 |
15 |
2 |
5 |
11 |
20 |
19 |
6 |
|
1 |
14 |
5 |
19 |
4 |
11 |
18 |
17 |
13 |
8 |
2 |
15 |
10 |
9 |
16 |
3 |
6 |
12 |
20 |
7 |
|
20 |
2 |
15 |
6 |
1 |
5 |
12 |
19 |
18 |
14 |
9 |
3 |
16 |
11 |
10 |
17 |
4 |
7 |
13 |
8 |
|
14 |
20 |
3 |
16 |
7 |
2 |
6 |
13 |
1 |
19 |
15 |
10 |
4 |
17 |
12 |
11 |
18 |
5 |
8 |
9 |
|
9 |
15 |
20 |
4 |
17 |
8 |
3 |
7 |
14 |
2 |
1 |
16 |
11 |
5 |
18 |
13 |
12 |
19 |
6 |
10 |
|
7 |
10 |
16 |
20 |
5 |
18 |
9 |
4 |
8 |
15 |
3 |
2 |
17 |
12 |
6 |
19 |
14 |
13 |
1 |
11 |
|
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
20 |
Рис. 5
Теперь покажу построение другой группы MOLS 20-го порядка по книге “Handbook of Combinatorial Designs” (см. пункт 3.49). В книге дана такая матрица (рис. 6):
|
- |
8 |
14 |
2 |
17 |
10 |
3 |
|
1 |
2 |
16 |
8 |
18 |
7 |
15 |
|
1 |
12 |
11 |
12 |
6 |
5 |
4 |
|
8 |
- |
14 |
17 |
2 |
3 |
10 |
|
2 |
1 |
16 |
18 |
8 |
15 |
7 |
|
12 |
1 |
11 |
6 |
12 |
4 |
5 |
Рис. 6
Далее написано, что каждый столбец этой матрицы надо записать в трёх вариантах: сначала точная копия столбца: (a, b, c, d, e, f), затем такие две его трансформации: (b, c, a, f, d, e) и (c, a, b, e, f, d). В результате получается квази-разностная матрица, которая изображена на рис. 7.
|
- |
8 |
14 |
2 |
17 |
10 |
3 |
1 |
2 |
16 |
8 |
18 |
7 |
15 |
1 |
12 |
11 |
12 |
6 |
5 |
4 |
|
1 |
2 |
16 |
8 |
18 |
7 |
15 |
1 |
12 |
11 |
12 |
6 |
5 |
4 |
- |
8 |
14 |
2 |
17 |
10 |
3 |
|
1 |
12 |
11 |
12 |
6 |
5 |
4 |
- |
8 |
14 |
2 |
17 |
10 |
3 |
1 |
2 |
16 |
8 |
18 |
7 |
15 |
|
8 |
- |
14 |
17 |
2 |
3 |
10 |
12 |
1 |
11 |
6 |
12 |
4 |
5 |
2 |
1 |
16 |
18 |
8 |
15 |
7 |
|
2 |
1 |
16 |
18 |
8 |
15 |
7 |
8 |
- |
14 |
17 |
2 |
3 |
10 |
12 |
1 |
11 |
6 |
12 |
4 |
5 |
|
12 |
1 |
11 |
6 |
12 |
4 |
5 |
2 |
1 |
16 |
18 |
8 |
15 |
7 |
8 |
- |
14 |
17 |
2 |
3 |
10 |
Рис. 7
На рис. 8 – 11 изображены четыре латинских квадрата группы MOLS 20-го порядка, построенной по данной квази-разностной матрице. Первому латинскому квадрату соответствует изумрудная строка матрицы, второму квадрату – голубая, третьему – сиреневая, четвёртому – розовая.
Первый латинский квадрат
|
20 |
13 |
6 |
18 |
14 |
4 |
11 |
9 |
2 |
16 |
7 |
19 |
12 |
5 |
17 |
10 |
3 |
15 |
8 |
1 |
|
9 |
20 |
14 |
7 |
19 |
15 |
5 |
12 |
10 |
3 |
17 |
8 |
1 |
13 |
6 |
18 |
11 |
4 |
16 |
2 |
|
17 |
10 |
20 |
15 |
8 |
1 |
16 |
6 |
13 |
11 |
4 |
18 |
9 |
2 |
14 |
7 |
19 |
12 |
5 |
3 |
|
6 |
18 |
11 |
20 |
16 |
9 |
2 |
17 |
7 |
14 |
12 |
5 |
19 |
10 |
3 |
15 |
8 |
1 |
13 |
4 |
|
14 |
7 |
19 |
12 |
20 |
17 |
10 |
3 |
18 |
8 |
15 |
13 |
6 |
1 |
11 |
4 |
16 |
9 |
2 |
5 |
|
3 |
15 |
8 |
1 |
13 |
20 |
18 |
11 |
4 |
19 |
9 |
16 |
14 |
7 |
2 |
12 |
5 |
17 |
10 |
6 |
|
11 |
4 |
16 |
9 |
2 |
14 |
20 |
19 |
12 |
5 |
1 |
10 |
17 |
15 |
8 |
3 |
13 |
6 |
18 |
7 |
|
19 |
12 |
5 |
17 |
10 |
3 |
15 |
20 |
1 |
13 |
6 |
2 |
11 |
18 |
16 |
9 |
4 |
14 |
7 |
8 |
|
8 |
1 |
13 |
6 |
18 |
11 |
4 |
16 |
20 |
2 |
14 |
7 |
3 |
12 |
19 |
17 |
10 |
5 |
15 |
9 |
|
16 |
9 |
2 |
14 |
7 |
19 |
12 |
5 |
17 |
20 |
3 |
15 |
8 |
4 |
13 |
1 |
18 |
11 |
6 |
10 |
|
7 |
17 |
10 |
3 |
15 |
8 |
1 |
13 |
6 |
18 |
20 |
4 |
16 |
9 |
5 |
14 |
2 |
19 |
12 |
11 |
|
13 |
8 |
18 |
11 |
4 |
16 |
9 |
2 |
14 |
7 |
19 |
20 |
5 |
17 |
10 |
6 |
15 |
3 |
1 |
12 |
|
2 |
14 |
9 |
19 |
12 |
5 |
17 |
10 |
3 |
15 |
8 |
1 |
20 |
6 |
18 |
11 |
7 |
16 |
4 |
13 |
|
5 |
3 |
15 |
10 |
1 |
13 |
6 |
18 |
11 |
4 |
16 |
9 |
2 |
20 |
7 |
19 |
12 |
8 |
17 |
14 |
|
18 |
6 |
4 |
16 |
11 |
2 |
14 |
7 |
19 |
12 |
5 |
17 |
10 |
3 |
20 |
8 |
1 |
13 |
9 |
15 |
|
10 |
19 |
7 |
5 |
17 |
12 |
3 |
15 |
8 |
1 |
13 |
6 |
18 |
11 |
4 |
20 |
9 |
2 |
14 |
16 |
|
15 |
11 |
1 |
8 |
6 |
18 |
13 |
4 |
16 |
9 |
2 |
14 |
7 |
19 |
12 |
5 |
20 |
10 |
3 |
17 |
|
4 |
16 |
12 |
2 |
9 |
7 |
19 |
14 |
5 |
17 |
10 |
3 |
15 |
8 |
1 |
13 |
6 |
20 |
11 |
18 |
|
12 |
5 |
17 |
13 |
3 |
10 |
8 |
1 |
15 |
6 |
18 |
11 |
4 |
16 |
9 |
2 |
14 |
7 |
20 |
19 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
Рис. 8
Второй латинский квадрат
|
12 |
5 |
19 |
16 |
13 |
1 |
20 |
15 |
11 |
9 |
17 |
2 |
7 |
10 |
6 |
14 |
3 |
18 |
4 |
8 |
|
5 |
13 |
6 |
1 |
17 |
14 |
2 |
20 |
16 |
12 |
10 |
18 |
3 |
8 |
11 |
7 |
15 |
4 |
19 |
9 |
|
1 |
6 |
14 |
7 |
2 |
18 |
15 |
3 |
20 |
17 |
13 |
11 |
19 |
4 |
9 |
12 |
8 |
16 |
5 |
10 |
|
6 |
2 |
7 |
15 |
8 |
3 |
19 |
16 |
4 |
20 |
18 |
14 |
12 |
1 |
5 |
10 |
13 |
9 |
17 |
11 |
|
18 |
7 |
3 |
8 |
16 |
9 |
4 |
1 |
17 |
5 |
20 |
19 |
15 |
13 |
2 |
6 |
11 |
14 |
10 |
12 |
|
11 |
19 |
8 |
4 |
9 |
17 |
10 |
5 |
2 |
18 |
6 |
20 |
1 |
16 |
14 |
3 |
7 |
12 |
15 |
13 |
|
16 |
12 |
1 |
9 |
5 |
10 |
18 |
11 |
6 |
3 |
19 |
7 |
20 |
2 |
17 |
15 |
4 |
8 |
13 |
14 |
|
14 |
17 |
13 |
2 |
10 |
6 |
11 |
19 |
12 |
7 |
4 |
1 |
8 |
20 |
3 |
18 |
16 |
5 |
9 |
15 |
|
10 |
15 |
18 |
14 |
3 |
11 |
7 |
12 |
1 |
13 |
8 |
5 |
2 |
9 |
20 |
4 |
19 |
17 |
6 |
16 |
|
7 |
11 |
16 |
19 |
15 |
4 |
12 |
8 |
13 |
2 |
14 |
9 |
6 |
3 |
10 |
20 |
5 |
1 |
18 |
17 |
|
19 |
8 |
12 |
17 |
1 |
16 |
5 |
13 |
9 |
14 |
3 |
15 |
10 |
7 |
4 |
11 |
20 |
6 |
2 |
18 |
|
3 |
1 |
9 |
13 |
18 |
2 |
17 |
6 |
14 |
10 |
15 |
4 |
16 |
11 |
8 |
5 |
12 |
20 |
7 |
19 |
|
8 |
4 |
2 |
10 |
14 |
19 |
3 |
18 |
7 |
15 |
11 |
16 |
5 |
17 |
12 |
9 |
6 |
13 |
20 |
1 |
|
20 |
9 |
5 |
3 |
11 |
15 |
1 |
4 |
19 |
8 |
16 |
12 |
17 |
6 |
18 |
13 |
10 |
7 |
14 |
2 |
|
15 |
20 |
10 |
6 |
4 |
12 |
16 |
2 |
5 |
1 |
9 |
17 |
13 |
18 |
7 |
19 |
14 |
11 |
8 |
3 |
|
9 |
16 |
20 |
11 |
7 |
5 |
13 |
17 |
3 |
6 |
2 |
10 |
18 |
14 |
19 |
8 |
1 |
15 |
12 |
4 |
|
13 |
10 |
17 |
20 |
12 |
8 |
6 |
14 |
18 |
4 |
7 |
3 |
11 |
19 |
15 |
1 |
9 |
2 |
16 |
5 |
|
17 |
14 |
11 |
18 |
20 |
13 |
9 |
7 |
15 |
19 |
5 |
8 |
4 |
12 |
1 |
16 |
2 |
10 |
3 |
6 |
|
4 |
18 |
15 |
12 |
19 |
20 |
14 |
10 |
8 |
16 |
1 |
6 |
9 |
5 |
13 |
2 |
17 |
3 |
11 |
7 |
|
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
1 |
20 |
Рис. 9
Третий латинский квадрат
|
8 |
3 |
18 |
9 |
13 |
4 |
19 |
12 |
15 |
20 |
5 |
7 |
16 |
11 |
14 |
6 |
17 |
1 |
10 |
2 |
|
11 |
9 |
4 |
19 |
10 |
14 |
5 |
1 |
13 |
16 |
20 |
6 |
8 |
17 |
12 |
15 |
7 |
18 |
2 |
3 |
|
3 |
12 |
10 |
5 |
1 |
11 |
15 |
6 |
2 |
14 |
17 |
20 |
7 |
9 |
18 |
13 |
16 |
8 |
19 |
4 |
|
1 |
4 |
13 |
11 |
6 |
2 |
12 |
16 |
7 |
3 |
15 |
18 |
20 |
8 |
10 |
19 |
14 |
17 |
9 |
5 |
|
10 |
2 |
5 |
14 |
12 |
7 |
3 |
13 |
17 |
8 |
4 |
16 |
19 |
20 |
9 |
11 |
1 |
15 |
18 |
6 |
|
19 |
11 |
3 |
6 |
15 |
13 |
8 |
4 |
14 |
18 |
9 |
5 |
17 |
1 |
20 |
10 |
12 |
2 |
16 |
7 |
|
17 |
1 |
12 |
4 |
7 |
16 |
14 |
9 |
5 |
15 |
19 |
10 |
6 |
18 |
2 |
20 |
11 |
13 |
3 |
8 |
|
4 |
18 |
2 |
13 |
5 |
8 |
17 |
15 |
10 |
6 |
16 |
1 |
11 |
7 |
19 |
3 |
20 |
12 |
14 |
9 |
|
15 |
5 |
19 |
3 |
14 |
6 |
9 |
18 |
16 |
11 |
7 |
17 |
2 |
12 |
8 |
1 |
4 |
20 |
13 |
10 |
|
14 |
16 |
6 |
1 |
4 |
15 |
7 |
10 |
19 |
17 |
12 |
8 |
18 |
3 |
13 |
9 |
2 |
5 |
20 |
11 |
|
20 |
15 |
17 |
7 |
2 |
5 |
16 |
8 |
11 |
1 |
18 |
13 |
9 |
19 |
4 |
14 |
10 |
3 |
6 |
12 |
|
7 |
20 |
16 |
18 |
8 |
3 |
6 |
17 |
9 |
12 |
2 |
19 |
14 |
10 |
1 |
5 |
15 |
11 |
4 |
13 |
|
5 |
8 |
20 |
17 |
19 |
9 |
4 |
7 |
18 |
10 |
13 |
3 |
1 |
15 |
11 |
2 |
6 |
16 |
12 |
14 |
|
13 |
6 |
9 |
20 |
18 |
1 |
10 |
5 |
8 |
19 |
11 |
14 |
4 |
2 |
16 |
12 |
3 |
7 |
17 |
15 |
|
18 |
14 |
7 |
10 |
20 |
19 |
2 |
11 |
6 |
9 |
1 |
12 |
15 |
5 |
3 |
17 |
13 |
4 |
8 |
16 |
|
9 |
19 |
15 |
8 |
11 |
20 |
1 |
3 |
12 |
7 |
10 |
2 |
13 |
16 |
6 |
4 |
18 |
14 |
5 |
17 |
|
6 |
10 |
1 |
16 |
9 |
12 |
20 |
2 |
4 |
13 |
8 |
11 |
3 |
14 |
17 |
7 |
5 |
19 |
15 |
18 |
|
16 |
7 |
11 |
2 |
17 |
10 |
13 |
20 |
3 |
5 |
14 |
9 |
12 |
4 |
15 |
18 |
8 |
6 |
1 |
19 |
|
2 |
17 |
8 |
12 |
3 |
18 |
11 |
14 |
20 |
4 |
6 |
15 |
10 |
13 |
5 |
16 |
19 |
9 |
7 |
1 |
|
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
20 |
Рис. 10
Четвёртый латинский квадрат
|
2 |
8 |
11 |
17 |
20 |
6 |
19 |
10 |
5 |
9 |
16 |
4 |
3 |
18 |
13 |
7 |
1 |
15 |
14 |
12 |
|
15 |
3 |
9 |
12 |
18 |
20 |
7 |
1 |
11 |
6 |
10 |
17 |
5 |
4 |
19 |
14 |
8 |
2 |
16 |
13 |
|
17 |
16 |
4 |
10 |
13 |
19 |
20 |
8 |
2 |
12 |
7 |
11 |
18 |
6 |
5 |
1 |
15 |
9 |
3 |
14 |
|
4 |
18 |
17 |
5 |
11 |
14 |
1 |
20 |
9 |
3 |
13 |
8 |
12 |
19 |
7 |
6 |
2 |
16 |
10 |
15 |
|
11 |
5 |
19 |
18 |
6 |
12 |
15 |
2 |
20 |
10 |
4 |
14 |
9 |
13 |
1 |
8 |
7 |
3 |
17 |
16 |
|
18 |
12 |
6 |
1 |
19 |
7 |
13 |
16 |
3 |
20 |
11 |
5 |
15 |
10 |
14 |
2 |
9 |
8 |
4 |
17 |
|
5 |
19 |
13 |
7 |
2 |
1 |
8 |
14 |
17 |
4 |
20 |
12 |
6 |
16 |
11 |
15 |
3 |
10 |
9 |
18 |
|
10 |
6 |
1 |
14 |
8 |
3 |
2 |
9 |
15 |
18 |
5 |
20 |
13 |
7 |
17 |
12 |
16 |
4 |
11 |
19 |
|
12 |
11 |
7 |
2 |
15 |
9 |
4 |
3 |
10 |
16 |
19 |
6 |
20 |
14 |
8 |
18 |
13 |
17 |
5 |
1 |
|
6 |
13 |
12 |
8 |
3 |
16 |
10 |
5 |
4 |
11 |
17 |
1 |
7 |
20 |
15 |
9 |
19 |
14 |
18 |
2 |
|
19 |
7 |
14 |
13 |
9 |
4 |
17 |
11 |
6 |
5 |
12 |
18 |
2 |
8 |
20 |
16 |
10 |
1 |
15 |
3 |
|
16 |
1 |
8 |
15 |
14 |
10 |
5 |
18 |
12 |
7 |
6 |
13 |
19 |
3 |
9 |
20 |
17 |
11 |
2 |
4 |
|
3 |
17 |
2 |
9 |
16 |
15 |
11 |
6 |
19 |
13 |
8 |
7 |
14 |
1 |
4 |
10 |
20 |
18 |
12 |
5 |
|
13 |
4 |
18 |
3 |
10 |
17 |
16 |
12 |
7 |
1 |
14 |
9 |
8 |
15 |
2 |
5 |
11 |
20 |
19 |
6 |
|
1 |
14 |
5 |
19 |
4 |
11 |
18 |
17 |
13 |
8 |
2 |
15 |
10 |
9 |
16 |
3 |
6 |
12 |
20 |
7 |
|
20 |
2 |
15 |
6 |
1 |
5 |
12 |
19 |
18 |
14 |
9 |
3 |
16 |
11 |
10 |
17 |
4 |
7 |
13 |
8 |
|
14 |
20 |
3 |
16 |
7 |
2 |
6 |
13 |
1 |
19 |
15 |
10 |
4 |
17 |
12 |
11 |
18 |
5 |
8 |
9 |
|
9 |
15 |
20 |
4 |
17 |
8 |
3 |
7 |
14 |
2 |
1 |
16 |
11 |
5 |
18 |
13 |
12 |
19 |
6 |
10 |
|
7 |
10 |
16 |
20 |
5 |
18 |
9 |
4 |
8 |
15 |
3 |
2 |
17 |
12 |
6 |
19 |
14 |
13 |
1 |
11 |
|
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
20 |
Рис. 11
Ну, вот! Оказывается, эта группа в точности совпадает с группой Тодорова. А я сначала не сравнила матрицы и думала, что в книге авторы приводят другую группу. Не буду уж теперь удалять эту группу, пусть будут две одинаковые группы.
Ещё в одной статье [M. Wojtas, Discrete Mathematics 140 (1995) 291 - 294] нашла матрицу, по которой вроде бы можно построить группу MOLS 20-го порядка, состоящую из четырёх квадратов. Однако мне не удалось построить эту группу. На рис. 12 показана матрица из статьи.
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
|
0 |
10 |
4 |
14 |
8 |
18 |
2 |
12 |
16 |
6 |
11 |
1 |
15 |
5 |
19 |
9 |
13 |
3 |
7 |
17 |
|
0 |
11 |
17 |
6 |
12 |
3 |
9 |
18 |
14 |
5 |
1 |
10 |
16 |
7 |
13 |
2 |
8 |
19 |
15 |
4 |
|
0 |
3 |
12 |
8 |
15 |
1 |
19 |
4 |
5 |
10 |
14 |
18 |
17 |
11 |
9 |
7 |
2 |
16 |
6 |
13 |
Рис. 12
Теперь для полноты картины покажу группу MOLS 20-го порядка из трёх латинских квадратов, построенную методом составных квадратов (рис. 13 – 15). Первые два латинских квадрата в этой группе диагональные.
Первый латинский квадрат
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
3 |
4 |
5 |
1 |
2 |
8 |
9 |
10 |
6 |
7 |
18 |
19 |
20 |
16 |
17 |
13 |
14 |
15 |
11 |
12 |
|
5 |
1 |
2 |
3 |
4 |
10 |
6 |
7 |
8 |
9 |
20 |
16 |
17 |
18 |
19 |
15 |
11 |
12 |
13 |
14 |
|
2 |
3 |
4 |
5 |
1 |
7 |
8 |
9 |
10 |
6 |
17 |
18 |
19 |
20 |
16 |
12 |
13 |
14 |
15 |
11 |
|
4 |
5 |
1 |
2 |
3 |
9 |
10 |
6 |
7 |
8 |
19 |
20 |
16 |
17 |
18 |
14 |
15 |
11 |
12 |
13 |
|
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
13 |
14 |
15 |
11 |
12 |
18 |
19 |
20 |
16 |
17 |
8 |
9 |
10 |
6 |
7 |
3 |
4 |
5 |
1 |
2 |
|
15 |
11 |
12 |
13 |
14 |
20 |
16 |
17 |
18 |
19 |
10 |
6 |
7 |
8 |
9 |
5 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
12 |
13 |
14 |
15 |
11 |
17 |
18 |
19 |
20 |
16 |
7 |
8 |
9 |
10 |
6 |
2 |
3 |
4 |
5 |
1 |
|
14 |
15 |
11 |
12 |
13 |
19 |
20 |
16 |
17 |
18 |
9 |
10 |
6 |
7 |
8 |
4 |
5 |
1 |
2 |
3 |
|
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
|
8 |
9 |
10 |
6 |
7 |
3 |
4 |
5 |
1 |
2 |
13 |
14 |
15 |
11 |
12 |
18 |
19 |
20 |
16 |
17 |
|
10 |
6 |
7 |
8 |
9 |
5 |
1 |
2 |
3 |
4 |
15 |
11 |
12 |
13 |
14 |
20 |
16 |
17 |
18 |
19 |
|
7 |
8 |
9 |
10 |
6 |
2 |
3 |
4 |
5 |
1 |
12 |
13 |
14 |
15 |
11 |
17 |
18 |
19 |
20 |
16 |
|
9 |
10 |
6 |
7 |
8 |
4 |
5 |
1 |
2 |
3 |
14 |
15 |
11 |
12 |
13 |
19 |
20 |
16 |
17 |
18 |
|
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
18 |
19 |
20 |
16 |
17 |
13 |
14 |
15 |
11 |
12 |
3 |
4 |
5 |
1 |
2 |
8 |
9 |
10 |
6 |
7 |
|
20 |
16 |
17 |
18 |
19 |
15 |
11 |
12 |
13 |
14 |
5 |
1 |
2 |
3 |
4 |
10 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
17 |
18 |
19 |
20 |
16 |
12 |
13 |
14 |
15 |
11 |
2 |
3 |
4 |
5 |
1 |
7 |
8 |
9 |
10 |
6 |
|
19 |
20 |
16 |
17 |
18 |
14 |
15 |
11 |
12 |
13 |
4 |
5 |
1 |
2 |
3 |
9 |
10 |
6 |
7 |
8 |
Рис. 13
Второй латинский квадрат
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
|
4 |
5 |
1 |
2 |
3 |
14 |
15 |
11 |
12 |
13 |
9 |
10 |
6 |
7 |
8 |
19 |
20 |
16 |
17 |
18 |
|
2 |
3 |
4 |
5 |
1 |
12 |
13 |
14 |
15 |
11 |
7 |
8 |
9 |
10 |
6 |
17 |
18 |
19 |
20 |
16 |
|
5 |
1 |
2 |
3 |
4 |
15 |
11 |
12 |
13 |
14 |
10 |
6 |
7 |
8 |
9 |
20 |
16 |
17 |
18 |
19 |
|
3 |
4 |
5 |
1 |
2 |
13 |
14 |
15 |
11 |
12 |
8 |
9 |
10 |
6 |
7 |
18 |
19 |
20 |
16 |
17 |
|
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
9 |
10 |
6 |
7 |
8 |
19 |
20 |
16 |
17 |
18 |
4 |
5 |
1 |
2 |
3 |
14 |
15 |
11 |
12 |
13 |
|
7 |
8 |
9 |
10 |
6 |
17 |
18 |
19 |
20 |
16 |
2 |
3 |
4 |
5 |
1 |
12 |
13 |
14 |
15 |
11 |
|
10 |
6 |
7 |
8 |
9 |
20 |
16 |
17 |
18 |
19 |
5 |
1 |
2 |
3 |
4 |
15 |
11 |
12 |
13 |
14 |
|
8 |
9 |
10 |
6 |
7 |
18 |
19 |
20 |
16 |
17 |
3 |
4 |
5 |
1 |
2 |
13 |
14 |
15 |
11 |
12 |
|
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
19 |
20 |
16 |
17 |
18 |
9 |
10 |
6 |
7 |
8 |
14 |
15 |
11 |
12 |
13 |
4 |
5 |
1 |
2 |
3 |
|
17 |
18 |
19 |
20 |
16 |
7 |
8 |
9 |
10 |
6 |
12 |
13 |
14 |
15 |
11 |
2 |
3 |
4 |
5 |
1 |
|
20 |
16 |
17 |
18 |
19 |
10 |
6 |
7 |
8 |
9 |
15 |
11 |
12 |
13 |
14 |
5 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
18 |
19 |
20 |
16 |
17 |
8 |
9 |
10 |
6 |
7 |
13 |
14 |
15 |
11 |
12 |
3 |
4 |
5 |
1 |
2 |
|
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
14 |
15 |
11 |
12 |
13 |
4 |
5 |
1 |
2 |
3 |
19 |
20 |
16 |
17 |
18 |
9 |
10 |
6 |
7 |
8 |
|
12 |
13 |
14 |
15 |
11 |
2 |
3 |
4 |
5 |
1 |
17 |
18 |
19 |
20 |
16 |
7 |
8 |
9 |
10 |
6 |
|
15 |
11 |
12 |
13 |
14 |
5 |
1 |
2 |
3 |
4 |
20 |
16 |
17 |
18 |
19 |
10 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
13 |
14 |
15 |
11 |
12 |
3 |
4 |
5 |
1 |
2 |
18 |
19 |
20 |
16 |
17 |
8 |
9 |
10 |
6 |
7 |
Рис. 14
Третий латинский квадрат
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
|
2 |
3 |
4 |
5 |
1 |
7 |
8 |
9 |
10 |
6 |
12 |
13 |
14 |
15 |
11 |
17 |
18 |
19 |
20 |
16 |
|
3 |
4 |
5 |
1 |
2 |
8 |
9 |
10 |
6 |
7 |
13 |
14 |
15 |
11 |
12 |
18 |
19 |
20 |
16 |
17 |
|
4 |
5 |
1 |
2 |
3 |
9 |
10 |
6 |
7 |
8 |
14 |
15 |
11 |
12 |
13 |
19 |
20 |
16 |
17 |
18 |
|
5 |
1 |
2 |
3 |
4 |
10 |
6 |
7 |
8 |
9 |
15 |
11 |
12 |
13 |
14 |
20 |
16 |
17 |
18 |
19 |
|
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
7 |
8 |
9 |
10 |
6 |
2 |
3 |
4 |
5 |
1 |
17 |
18 |
19 |
20 |
16 |
12 |
13 |
14 |
15 |
11 |
|
8 |
9 |
10 |
6 |
7 |
3 |
4 |
5 |
1 |
2 |
18 |
19 |
20 |
16 |
17 |
13 |
14 |
15 |
11 |
12 |
|
9 |
10 |
6 |
7 |
8 |
4 |
5 |
1 |
2 |
3 |
19 |
20 |
16 |
17 |
18 |
14 |
15 |
11 |
12 |
13 |
|
10 |
6 |
7 |
8 |
9 |
5 |
1 |
2 |
3 |
4 |
20 |
16 |
17 |
18 |
19 |
15 |
11 |
12 |
13 |
14 |
|
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
12 |
13 |
14 |
15 |
11 |
17 |
18 |
19 |
20 |
16 |
2 |
3 |
4 |
5 |
1 |
7 |
8 |
9 |
10 |
6 |
|
13 |
14 |
15 |
11 |
12 |
18 |
19 |
20 |
16 |
17 |
3 |
4 |
5 |
1 |
2 |
8 |
9 |
10 |
6 |
7 |
|
14 |
15 |
11 |
12 |
13 |
19 |
20 |
16 |
17 |
18 |
4 |
5 |
1 |
2 |
3 |
9 |
10 |
6 |
7 |
8 |
|
15 |
11 |
12 |
13 |
14 |
20 |
16 |
17 |
18 |
19 |
5 |
1 |
2 |
3 |
4 |
10 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
17 |
18 |
19 |
20 |
16 |
12 |
13 |
14 |
15 |
11 |
7 |
8 |
9 |
10 |
6 |
2 |
3 |
4 |
5 |
1 |
|
18 |
19 |
20 |
16 |
17 |
13 |
14 |
15 |
11 |
12 |
8 |
9 |
10 |
6 |
7 |
3 |
4 |
5 |
1 |
2 |
|
19 |
20 |
16 |
17 |
18 |
14 |
15 |
11 |
12 |
13 |
9 |
10 |
6 |
7 |
8 |
4 |
5 |
1 |
2 |
3 |
|
20 |
16 |
17 |
18 |
19 |
15 |
11 |
12 |
13 |
14 |
10 |
6 |
7 |
8 |
9 |
5 |
1 |
2 |
3 |
4 |
Рис. 15
Пакет математических программ Maple не может строить группы MOLS 20-го порядка. Но какой-то другой пакет (не помню название, что-то вроде GAVA) может это делать. На указанном выше форуме приведена пара ОЛК 20-го порядка, построенная в этом пакете. Очевидно, что данная пара построена методом составных квадратов. Разработчикам пакета Maple тоже не мешало бы ввести в пакет построение групп MOLS методом составных квадратов.
Перехожу к группам MOLS 21-го порядка. Как уже сказано, для этого порядка тоже работает метод составных квадратов. Однако он позволяет построить только пару ОЛК, причём латинские квадраты в этой паре недиагональные.
Интереснее другие пары ОЛК 21-го порядка. Эти латинские квадраты тоже недиагональные, но они являются нетрадиционными магическими квадратами. Более того, они являются идеальными магическими квадратами, то есть обладают свойствами ассоциативности и пандиагональности. Из таких пар ОЛК строятся идеальные магические квадраты. Покажу одну из таких пар ОЛК (рис. 16 – 17). Она построена по алгоритму, найденному мной в цикле статей “Анатомия магических квадратов” (подробно об этом рассказано в статье http://www.natalimak1.narod.ru/grolk3.htm , квадраты скопированы из этой статьи).
Первый латинский квадрат
|
0 |
1 |
8 |
7 |
6 |
14 |
13 |
12 |
19 |
20 |
18 |
3 |
4 |
5 |
9 |
10 |
11 |
15 |
16 |
17 |
2 |
|
3 |
4 |
5 |
9 |
10 |
11 |
15 |
16 |
17 |
2 |
0 |
1 |
8 |
7 |
6 |
14 |
13 |
12 |
19 |
20 |
18 |
|
1 |
8 |
7 |
6 |
14 |
13 |
12 |
19 |
20 |
18 |
3 |
4 |
5 |
9 |
10 |
11 |
15 |
16 |
17 |
2 |
0 |
|
4 |
5 |
9 |
10 |
11 |
15 |
16 |
17 |
2 |
0 |
1 |
8 |
7 |
6 |
14 |
13 |
12 |
19 |
20 |
18 |
3 |
|
8 |
7 |
6 |
14 |
13 |
12 |
19 |
20 |
18 |
3 |
4 |
5 |
9 |
10 |
11 |
15 |
16 |
17 |
2 |
0 |
1 |
|
5 |
9 |
10 |
11 |
15 |
16 |
17 |
2 |
0 |
1 |
8 |
7 |
6 |
14 |
13 |
12 |
19 |
20 |
18 |
3 |
4 |
|
7 |
6 |
14 |
13 |
12 |
19 |
20 |
18 |
3 |
4 |
5 |
9 |
10 |
11 |
15 |
16 |
17 |
2 |
0 |
1 |
8 |
|
9 |
10 |
11 |
15 |
16 |
17 |
2 |
0 |
1 |
8 |
7 |
6 |
14 |
13 |
12 |
19 |
20 |
18 |
3 |
4 |
5 |
|
6 |
14 |
13 |
12 |
19 |
20 |
18 |
3 |
4 |
5 |
9 |
10 |
11 |
15 |
16 |
17 |
2 |
0 |
1 |
8 |
7 |
|
10 |
11 |
15 |
16 |
17 |
2 |
0 |
1 |
8 |
7 |
6 |
14 |
13 |
12 |
19 |
20 |
18 |
3 |
4 |
5 |
9 |
|
14 |
13 |
12 |
19 |
20 |
18 |
3 |
4 |
5 |
9 |
10 |
11 |
15 |
16 |
17 |
2 |
0 |
1 |
8 |
7 |
6 |
|
11 |
15 |
16 |
17 |
2 |
0 |
1 |
8 |
7 |
6 |
14 |
13 |
12 |
19 |
20 |
18 |
3 |
4 |
5 |
9 |
10 |
|
13 |
12 |
19 |
20 |
18 |
3 |
4 |
5 |
9 |
10 |
11 |
15 |
16 |
17 |
2 |
0 |
1 |
8 |
7 |
6 |
14 |
|
15 |
16 |
17 |
2 |
0 |
1 |
8 |
7 |
6 |
14 |
13 |
12 |
19 |
20 |
18 |
3 |
4 |
5 |
9 |
10 |
11 |
|
12 |
19 |
20 |
18 |
3 |
4 |
5 |
9 |
10 |
11 |
15 |
16 |
17 |
2 |
0 |
1 |
8 |
7 |
6 |
14 |
13 |
|
16 |
17 |
2 |
0 |
1 |
8 |
7 |
6 |
14 |
13 |
12 |
19 |
20 |
18 |
3 |
4 |
5 |
9 |
10 |
11 |
15 |
|
19 |
20 |
18 |
3 |
4 |
5 |
9 |
10 |
11 |
15 |
16 |
17 |
2 |
0 |
1 |
8 |
7 |
6 |
14 |
13 |
12 |
|
17 |
2 |
0 |
1 |
8 |
7 |
6 |
14 |
13 |
12 |
19 |
20 |
18 |
3 |
4 |
5 |
9 |
10 |
11 |
15 |
16 |
|
20 |
18 |
3 |
4 |
5 |
9 |
10 |
11 |
15 |
16 |
17 |
2 |
0 |
1 |
8 |
7 |
6 |
14 |
13 |
12 |
19 |
|
2 |
0 |
1 |
8 |
7 |
6 |
14 |
13 |
12 |
19 |
20 |
18 |
3 |
4 |
5 |
9 |
10 |
11 |
15 |
16 |
17 |
|
18 |
3 |
4 |
5 |
9 |
10 |
11 |
15 |
16 |
17 |
2 |
0 |
1 |
8 |
7 |
6 |
14 |
13 |
12 |
19 |
20 |
Рис. 16
Второй латинский квадрат
|
0 |
15 |
16 |
17 |
9 |
10 |
11 |
3 |
4 |
5 |
20 |
18 |
19 |
14 |
13 |
12 |
8 |
7 |
6 |
1 |
2 |
|
20 |
18 |
19 |
14 |
13 |
12 |
8 |
7 |
6 |
1 |
2 |
0 |
15 |
16 |
17 |
9 |
10 |
11 |
3 |
4 |
5 |
|
2 |
0 |
15 |
16 |
17 |
9 |
10 |
11 |
3 |
4 |
5 |
20 |
18 |
19 |
14 |
13 |
12 |
8 |
7 |
6 |
1 |
|
5 |
20 |
18 |
19 |
14 |
13 |
12 |
8 |
7 |
6 |
1 |
2 |
0 |
15 |
16 |
17 |
9 |
10 |
11 |
3 |
4 |
|
1 |
2 |
0 |
15 |
16 |
17 |
9 |
10 |
11 |
3 |
4 |
5 |
20 |
18 |
19 |
14 |
13 |
12 |
8 |
7 |
6 |
|
4 |
5 |
20 |
18 |
19 |
14 |
13 |
12 |
8 |
7 |
6 |
1 |
2 |
0 |
15 |
16 |
17 |
9 |
10 |
11 |
3 |
|
6 |
1 |
2 |
0 |
15 |
16 |
17 |
9 |
10 |
11 |
3 |
4 |
5 |
20 |
18 |
19 |
14 |
13 |
12 |
8 |
7 |
|
3 |
4 |
5 |
20 |
18 |
19 |
14 |
13 |
12 |
8 |
7 |
6 |
1 |
2 |
0 |
15 |
16 |
17 |
9 |
10 |
11 |
|
7 |
6 |
1 |
2 |
0 |
15 |
16 |
17 |
9 |
10 |
11 |
3 |
4 |
5 |
20 |
18 |
19 |
14 |
13 |
12 |
8 |
|
11 |
3 |
4 |
5 |
20 |
18 |
19 |
14 |
13 |
12 |
8 |
7 |
6 |
1 |
2 |
0 |
15 |
16 |
17 |
9 |
10 |
|
8 |
7 |
6 |
1 |
2 |
0 |
15 |
16 |
17 |
9 |
10 |
11 |
3 |
4 |
5 |
20 |
18 |
19 |
14 |
13 |
12 |
|
10 |
11 |
3 |
4 |
5 |
20 |
18 |
19 |
14 |
13 |
12 |
8 |
7 |
6 |
1 |
2 |
0 |
15 |
16 |
17 |
9 |
|
12 |
8 |
7 |
6 |
1 |
2 |
0 |
15 |
16 |
17 |
9 |
10 |
11 |
3 |
4 |
5 |
20 |
18 |
19 |
14 |
13 |
|
9 |
10 |
11 |
3 |
4 |
5 |
20 |
18 |
19 |
14 |
13 |
12 |
8 |
7 |
6 |
1 |
2 |
0 |
15 |
16 |
17 |
|
13 |
12 |
8 |
7 |
6 |
1 |
2 |
0 |
15 |
16 |
17 |
9 |
10 |
11 |
3 |
4 |
5 |
20 |
18 |
19 |
14 |
|
17 |
9 |
10 |
11 |
3 |
4 |
5 |
20 |
18 |
19 |
14 |
13 |
12 |
8 |
7 |
6 |
1 |
2 |
0 |
15 |
16 |
|
14 |
13 |
12 |
8 |
7 |
6 |
1 |
2 |
0 |
15 |
16 |
17 |
9 |
10 |
11 |
3 |
4 |
5 |
20 |
18 |
19 |
|
16 |
17 |
9 |
10 |
11 |
3 |
4 |
5 |
20 |
18 |
19 |
14 |
13 |
12 |
8 |
7 |
6 |
1 |
2 |
0 |
15 |
|
19 |
14 |
13 |
12 |
8 |
7 |
6 |
1 |
2 |
0 |
15 |
16 |
17 |
9 |
10 |
11 |
3 |
4 |
5 |
20 |
18 |
|
15 |
16 |
17 |
9 |
10 |
11 |
3 |
4 |
5 |
20 |
18 |
19 |
14 |
13 |
12 |
8 |
7 |
6 |
1 |
2 |
0 |
|
18 |
19 |
14 |
13 |
12 |
8 |
7 |
6 |
1 |
2 |
0 |
15 |
16 |
17 |
9 |
10 |
11 |
3 |
4 |
5 |
20 |
Рис. 17
Очень интересная пара! Разумеется, можно получить ещё несколько аналогичных пар ОЛК, разложив построенные мной, например, методом качелей идеальные магические квадраты 21-го порядка на два ортогональных латинских квадрата. Такие примеры были приведены.
Теперь будем строить группу MOLS 21-го порядка, состоящую из пяти квадратов по той же самой книге (см. пункт 3.50). Для построения этой группы в книге даётся разностная матрица (difference matrix), точнее эту матрицу надо получить из следующей матрицы (рис. 18):
|
9 |
18 |
21 |
3 |
|
10 |
17 |
5 |
16 |
|
12 |
6 |
11 |
7 |
|
15 |
2 |
4 |
14 |
|
19 |
20 |
13 |
8 |
Рис. 18
Надо циклически переставить строки в этой матрице и добавить к ней строку и столбец из единиц. В результате получается такая разностная матрица (рис. 19):
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
9 |
18 |
21 |
3 |
10 |
17 |
5 |
16 |
12 |
6 |
11 |
7 |
15 |
2 |
4 |
14 |
19 |
20 |
13 |
8 |
|
1 |
10 |
17 |
5 |
16 |
12 |
6 |
11 |
7 |
15 |
2 |
4 |
14 |
19 |
20 |
13 |
8 |
9 |
18 |
21 |
3 |
|
1 |
12 |
6 |
11 |
7 |
15 |
2 |
4 |
14 |
19 |
20 |
13 |
8 |
9 |
18 |
21 |
3 |
10 |
17 |
5 |
16 |
|
1 |
15 |
2 |
4 |
14 |
19 |
20 |
13 |
8 |
9 |
18 |
21 |
3 |
10 |
17 |
5 |
16 |
12 |
6 |
11 |
7 |
|
1 |
19 |
20 |
13 |
8 |
9 |
18 |
21 |
3 |
10 |
17 |
5 |
16 |
12 |
6 |
11 |
7 |
15 |
2 |
4 |
14 |
Рис. 19
Однако я вижу в этой матрице только четыре латинских квадрата. Где взять пятый, не знаю. Покажу здесь два первых латинских квадрата (рис. 20 – 21), первому соответствует зелёная строка матрицы, а второму – жёлтая.
Первый латинский квадрат
|
1 |
6 |
20 |
12 |
21 |
11 |
13 |
5 |
16 |
9 |
4 |
15 |
3 |
2 |
17 |
8 |
18 |
7 |
10 |
14 |
19 |
|
20 |
2 |
7 |
21 |
13 |
1 |
12 |
14 |
6 |
17 |
10 |
5 |
16 |
4 |
3 |
18 |
9 |
19 |
8 |
11 |
15 |
|
16 |
21 |
3 |
8 |
1 |
14 |
2 |
13 |
15 |
7 |
18 |
11 |
6 |
17 |
5 |
4 |
19 |
10 |
20 |
9 |
12 |
|
13 |
17 |
1 |
4 |
9 |
2 |
15 |
3 |
14 |
16 |
8 |
19 |
12 |
7 |
18 |
6 |
5 |
20 |
11 |
21 |
10 |
|
11 |
14 |
18 |
2 |
5 |
10 |
3 |
16 |
4 |
15 |
17 |
9 |
20 |
13 |
8 |
19 |
7 |
6 |
21 |
12 |
1 |
|
2 |
12 |
15 |
19 |
3 |
6 |
11 |
4 |
17 |
5 |
16 |
18 |
10 |
21 |
14 |
9 |
20 |
8 |
7 |
1 |
13 |
|
14 |
3 |
13 |
16 |
20 |
4 |
7 |
12 |
5 |
18 |
6 |
17 |
19 |
11 |
1 |
15 |
10 |
21 |
9 |
8 |
2 |
|
3 |
15 |
4 |
14 |
17 |
21 |
5 |
8 |
13 |
6 |
19 |
7 |
18 |
20 |
12 |
2 |
16 |
11 |
1 |
10 |
9 |
|
10 |
4 |
16 |
5 |
15 |
18 |
1 |
6 |
9 |
14 |
7 |
20 |
8 |
19 |
21 |
13 |
3 |
17 |
12 |
2 |
11 |
|
12 |
11 |
5 |
17 |
6 |
16 |
19 |
2 |
7 |
10 |
15 |
8 |
21 |
9 |
20 |
1 |
14 |
4 |
18 |
13 |
3 |
|
4 |
13 |
12 |
6 |
18 |
7 |
17 |
20 |
3 |
8 |
11 |
16 |
9 |
1 |
10 |
21 |
2 |
15 |
5 |
19 |
14 |
|
15 |
5 |
14 |
13 |
7 |
19 |
8 |
18 |
21 |
4 |
9 |
12 |
17 |
10 |
2 |
11 |
1 |
3 |
16 |
6 |
20 |
|
21 |
16 |
6 |
15 |
14 |
8 |
20 |
9 |
19 |
1 |
5 |
10 |
13 |
18 |
11 |
3 |
12 |
2 |
4 |
17 |
7 |
|
8 |
1 |
17 |
7 |
16 |
15 |
9 |
21 |
10 |
20 |
2 |
6 |
11 |
14 |
19 |
12 |
4 |
13 |
3 |
5 |
18 |
|
19 |
9 |
2 |
18 |
8 |
17 |
16 |
10 |
1 |
11 |
21 |
3 |
7 |
12 |
15 |
20 |
13 |
5 |
14 |
4 |
6 |
|
7 |
20 |
10 |
3 |
19 |
9 |
18 |
17 |
11 |
2 |
12 |
1 |
4 |
8 |
13 |
16 |
21 |
14 |
6 |
15 |
5 |
|
6 |
8 |
21 |
11 |
4 |
20 |
10 |
19 |
18 |
12 |
3 |
13 |
2 |
5 |
9 |
14 |
17 |
1 |
15 |
7 |
16 |
|
17 |
7 |
9 |
1 |
12 |
5 |
21 |
11 |
20 |
19 |
13 |
4 |
14 |
3 |
6 |
10 |
15 |
18 |
2 |
16 |
8 |
|
9 |
18 |
8 |
10 |
2 |
13 |
6 |
1 |
12 |
21 |
20 |
14 |
5 |
15 |
4 |
7 |
11 |
16 |
19 |
3 |
17 |
|
18 |
10 |
19 |
9 |
11 |
3 |
14 |
7 |
2 |
13 |
1 |
21 |
15 |
6 |
16 |
5 |
8 |
12 |
17 |
20 |
4 |
|
5 |
19 |
11 |
20 |
10 |
12 |
4 |
15 |
8 |
3 |
14 |
2 |
1 |
16 |
7 |
17 |
6 |
9 |
13 |
18 |
21 |
Рис. 20
Второй латинский квадрат
|
1 |
12 |
19 |
13 |
10 |
7 |
20 |
16 |
11 |
14 |
8 |
3 |
6 |
4 |
9 |
2 |
15 |
21 |
18 |
5 |
17 |
|
18 |
2 |
13 |
20 |
14 |
11 |
8 |
21 |
17 |
12 |
15 |
9 |
4 |
7 |
5 |
10 |
3 |
16 |
1 |
19 |
6 |
|
7 |
19 |
3 |
14 |
21 |
15 |
12 |
9 |
1 |
18 |
13 |
16 |
10 |
5 |
8 |
6 |
11 |
4 |
17 |
2 |
20 |
|
21 |
8 |
20 |
4 |
15 |
1 |
16 |
13 |
10 |
2 |
19 |
14 |
17 |
11 |
6 |
9 |
7 |
12 |
5 |
18 |
3 |
|
4 |
1 |
9 |
21 |
5 |
16 |
2 |
17 |
14 |
11 |
3 |
20 |
15 |
18 |
12 |
7 |
10 |
8 |
13 |
6 |
19 |
|
20 |
5 |
2 |
10 |
1 |
6 |
17 |
3 |
18 |
15 |
12 |
4 |
21 |
16 |
19 |
13 |
8 |
11 |
9 |
14 |
7 |
|
8 |
21 |
6 |
3 |
11 |
2 |
7 |
18 |
4 |
19 |
16 |
13 |
5 |
1 |
17 |
20 |
14 |
9 |
12 |
10 |
15 |
|
16 |
9 |
1 |
7 |
4 |
12 |
3 |
8 |
19 |
5 |
20 |
17 |
14 |
6 |
2 |
18 |
21 |
15 |
10 |
13 |
11 |
|
12 |
17 |
10 |
2 |
8 |
5 |
13 |
4 |
9 |
20 |
6 |
21 |
18 |
15 |
7 |
3 |
19 |
1 |
16 |
11 |
14 |
|
15 |
13 |
18 |
11 |
3 |
9 |
6 |
14 |
5 |
10 |
21 |
7 |
1 |
19 |
16 |
8 |
4 |
20 |
2 |
17 |
12 |
|
13 |
16 |
14 |
19 |
12 |
4 |
10 |
7 |
15 |
6 |
11 |
1 |
8 |
2 |
20 |
17 |
9 |
5 |
21 |
3 |
18 |
|
19 |
14 |
17 |
15 |
20 |
13 |
5 |
11 |
8 |
16 |
7 |
12 |
2 |
9 |
3 |
21 |
18 |
10 |
6 |
1 |
4 |
|
5 |
20 |
15 |
18 |
16 |
21 |
14 |
6 |
12 |
9 |
17 |
8 |
13 |
3 |
10 |
4 |
1 |
19 |
11 |
7 |
2 |
|
3 |
6 |
21 |
16 |
19 |
17 |
1 |
15 |
7 |
13 |
10 |
18 |
9 |
14 |
4 |
11 |
5 |
2 |
20 |
12 |
8 |
|
9 |
4 |
7 |
1 |
17 |
20 |
18 |
2 |
16 |
8 |
14 |
11 |
19 |
10 |
15 |
5 |
12 |
6 |
3 |
21 |
13 |
|
14 |
10 |
5 |
8 |
2 |
18 |
21 |
19 |
3 |
17 |
9 |
15 |
12 |
20 |
11 |
16 |
6 |
13 |
7 |
4 |
1 |
|
2 |
15 |
11 |
6 |
9 |
3 |
19 |
1 |
20 |
4 |
18 |
10 |
16 |
13 |
21 |
12 |
17 |
7 |
14 |
8 |
5 |
|
6 |
3 |
16 |
12 |
7 |
10 |
4 |
20 |
2 |
21 |
5 |
19 |
11 |
17 |
14 |
1 |
13 |
18 |
8 |
15 |
9 |
|
10 |
7 |
4 |
17 |
13 |
8 |
11 |
5 |
21 |
3 |
1 |
6 |
20 |
12 |
18 |
15 |
2 |
14 |
19 |
9 |
16 |
|
17 |
11 |
8 |
5 |
18 |
14 |
9 |
12 |
6 |
1 |
4 |
2 |
7 |
21 |
13 |
19 |
16 |
3 |
15 |
20 |
10 |
|
11 |
18 |
12 |
9 |
6 |
19 |
15 |
10 |
13 |
7 |
2 |
5 |
3 |
8 |
1 |
14 |
20 |
17 |
4 |
16 |
21 |
Рис. 21
Третий и четвёртый латинские квадраты (оранжевая и изумрудная строки матрицы) предлагаю построить читателям. А также нужно разобраться, где взять пятый квадрат данной группы MOLS.
Очевидно, что построенные сейчас латинские квадраты 21-го порядка (рис. 20 – 21) недиагональные. В каждом квадрате неправильная только одна диагональ. Удачно получилось, что в первом латинском квадрате даже в неправильной диагонали сумма чисел равна магической константе нетрадиционного магического квадрата, заполненного числами от 1 до 21, – 231. Покажу превращение второго латинского квадрата в нетрадиционный магический квадрат с помощью трансформации тождественной перестановки чисел. Для такого превращения достаточно сделать всего одну взаимозамену: 3 à 17, 17 à 3. Преобразованный второй латинский квадрат вы видите на рис. 22.
Преобразованный второй латинский квадрат
|
1 |
12 |
19 |
13 |
10 |
7 |
20 |
16 |
11 |
14 |
8 |
17 |
6 |
4 |
9 |
2 |
15 |
21 |
18 |
5 |
3 |
|
18 |
2 |
13 |
20 |
14 |
11 |
8 |
21 |
3 |
12 |
15 |
9 |
4 |
7 |
5 |
10 |
17 |
16 |
1 |
19 |
6 |
|
7 |
19 |
17 |
14 |
21 |
15 |
12 |
9 |
1 |
18 |
13 |
16 |
10 |
5 |
8 |
6 |
11 |
4 |
3 |
2 |
20 |
|
21 |
8 |
20 |
4 |
15 |
1 |
16 |
13 |
10 |
2 |
19 |
14 |
3 |
11 |
6 |
9 |
7 |
12 |
5 |
18 |
17 |
|
4 |
1 |
9 |
21 |
5 |
16 |
2 |
3 |
14 |
11 |
17 |
20 |
15 |
18 |
12 |
7 |
10 |
8 |
13 |
6 |
19 |
|
20 |
5 |
2 |
10 |
1 |
6 |
3 |
17 |
18 |
15 |
12 |
4 |
21 |
16 |
19 |
13 |
8 |
11 |
9 |
14 |
7 |
|
8 |
21 |
6 |
17 |
11 |
2 |
7 |
18 |
4 |
19 |
16 |
13 |
5 |
1 |
3 |
20 |
14 |
9 |
12 |
10 |
15 |
|
16 |
9 |
1 |
7 |
4 |
12 |
17 |
8 |
19 |
5 |
20 |
3 |
14 |
6 |
2 |
18 |
21 |
15 |
10 |
13 |
11 |
|
12 |
3 |
10 |
2 |
8 |
5 |
13 |
4 |
9 |
20 |
6 |
21 |
18 |
15 |
7 |
17 |
19 |
1 |
16 |
11 |
14 |
|
15 |
13 |
18 |
11 |
17 |
9 |
6 |
14 |
5 |
10 |
21 |
7 |
1 |
19 |
16 |
8 |
4 |
20 |
2 |
3 |
12 |
|
13 |
16 |
14 |
19 |
12 |
4 |
10 |
7 |
15 |
6 |
11 |
1 |
8 |
2 |
20 |
3 |
9 |
5 |
21 |
17 |
18 |
|
19 |
14 |
3 |
15 |
20 |
13 |
5 |
11 |
8 |
16 |
7 |
12 |
2 |
9 |
17 |
21 |
18 |
10 |
6 |
1 |
4 |
|
5 |
20 |
15 |
18 |
16 |
21 |
14 |
6 |
12 |
9 |
3 |
8 |
13 |
17 |
10 |
4 |
1 |
19 |
11 |
7 |
2 |
|
17 |
6 |
21 |
16 |
19 |
3 |
1 |
15 |
7 |
13 |
10 |
18 |
9 |
14 |
4 |
11 |
5 |
2 |
20 |
12 |
8 |
|
9 |
4 |
7 |
1 |
3 |
20 |
18 |
2 |
16 |
8 |
14 |
11 |
19 |
10 |
15 |
5 |
12 |
6 |
17 |
21 |
13 |
|
14 |
10 |
5 |
8 |
2 |
18 |
21 |
19 |
17 |
3 |
9 |
15 |
12 |
20 |
11 |
16 |
6 |
13 |
7 |
4 |
1 |
|
2 |
15 |
11 |
6 |
9 |
17 |
19 |
1 |
20 |
4 |
18 |
10 |
16 |
13 |
21 |
12 |
3 |
7 |
14 |
8 |
5 |
|
6 |
17 |
16 |
12 |
7 |
10 |
4 |
20 |
2 |
21 |
5 |
19 |
11 |
3 |
14 |
1 |
13 |
18 |
8 |
15 |
9 |
|
10 |
7 |
4 |
3 |
13 |
8 |
11 |
5 |
21 |
17 |
1 |
6 |
20 |
12 |
18 |
15 |
2 |
14 |
19 |
9 |
16 |
|
3 |
11 |
8 |
5 |
18 |
14 |
9 |
12 |
6 |
1 |
4 |
2 |
7 |
21 |
13 |
19 |
16 |
17 |
15 |
20 |
10 |
|
11 |
18 |
12 |
9 |
6 |
19 |
15 |
10 |
13 |
7 |
2 |
5 |
17 |
8 |
1 |
14 |
20 |
3 |
4 |
16 |
21 |
Рис. 22
Пара ОЛК готова для построения магических квадратов. На рис. 23 показан один из магических квадратов, построенных из данной пары ОЛК.
|
1 |
117 |
418 |
244 |
430 |
217 |
272 |
100 |
326 |
182 |
71 |
311 |
48 |
25 |
345 |
149 |
372 |
147 |
207 |
278 |
381 |
|
417 |
23 |
139 |
440 |
266 |
11 |
239 |
294 |
108 |
348 |
204 |
93 |
319 |
70 |
47 |
367 |
185 |
394 |
148 |
229 |
300 |
|
322 |
439 |
59 |
161 |
21 |
288 |
33 |
261 |
295 |
144 |
370 |
226 |
115 |
341 |
92 |
69 |
389 |
193 |
402 |
170 |
251 |
|
273 |
344 |
20 |
67 |
183 |
22 |
310 |
55 |
283 |
317 |
166 |
392 |
234 |
137 |
363 |
114 |
91 |
411 |
215 |
438 |
206 |
|
214 |
274 |
366 |
42 |
89 |
205 |
44 |
318 |
77 |
305 |
353 |
188 |
414 |
270 |
159 |
385 |
136 |
113 |
433 |
237 |
19 |
|
41 |
236 |
296 |
388 |
43 |
111 |
213 |
80 |
354 |
99 |
327 |
361 |
210 |
436 |
292 |
181 |
407 |
158 |
135 |
14 |
259 |
|
281 |
63 |
258 |
332 |
410 |
65 |
133 |
249 |
88 |
376 |
121 |
349 |
383 |
211 |
3 |
314 |
203 |
429 |
180 |
157 |
36 |
|
58 |
303 |
64 |
280 |
340 |
432 |
101 |
155 |
271 |
110 |
398 |
129 |
371 |
405 |
233 |
39 |
336 |
225 |
10 |
202 |
179 |
|
201 |
66 |
325 |
86 |
302 |
362 |
13 |
109 |
177 |
293 |
132 |
420 |
165 |
393 |
427 |
269 |
61 |
337 |
247 |
32 |
224 |
|
246 |
223 |
102 |
347 |
122 |
324 |
384 |
35 |
131 |
199 |
315 |
154 |
421 |
187 |
415 |
8 |
277 |
83 |
359 |
255 |
54 |
|
76 |
268 |
245 |
124 |
369 |
130 |
346 |
406 |
57 |
153 |
221 |
316 |
176 |
2 |
209 |
423 |
30 |
299 |
105 |
395 |
291 |
|
313 |
98 |
276 |
267 |
146 |
391 |
152 |
368 |
428 |
79 |
175 |
243 |
338 |
198 |
38 |
231 |
18 |
52 |
321 |
106 |
403 |
|
425 |
335 |
120 |
312 |
289 |
168 |
413 |
174 |
390 |
9 |
87 |
197 |
265 |
374 |
220 |
46 |
232 |
40 |
74 |
343 |
128 |
|
164 |
6 |
357 |
142 |
334 |
297 |
169 |
435 |
196 |
412 |
31 |
123 |
219 |
287 |
382 |
242 |
68 |
254 |
62 |
96 |
365 |
|
387 |
172 |
28 |
358 |
150 |
356 |
333 |
191 |
16 |
218 |
434 |
53 |
145 |
241 |
309 |
404 |
264 |
90 |
290 |
84 |
118 |
|
140 |
409 |
194 |
50 |
380 |
186 |
378 |
355 |
227 |
24 |
240 |
15 |
75 |
167 |
263 |
331 |
426 |
286 |
112 |
298 |
85 |
|
107 |
162 |
431 |
216 |
72 |
416 |
208 |
379 |
377 |
235 |
60 |
262 |
37 |
97 |
189 |
285 |
339 |
7 |
308 |
134 |
320 |
|
342 |
143 |
184 |
12 |
238 |
94 |
424 |
230 |
401 |
399 |
257 |
82 |
284 |
45 |
119 |
190 |
307 |
375 |
29 |
330 |
156 |
|
178 |
364 |
151 |
192 |
34 |
260 |
116 |
5 |
252 |
437 |
400 |
279 |
104 |
306 |
81 |
141 |
212 |
329 |
397 |
51 |
352 |
|
360 |
200 |
386 |
173 |
228 |
56 |
282 |
138 |
27 |
253 |
4 |
422 |
301 |
126 |
328 |
103 |
163 |
248 |
351 |
419 |
73 |
|
95 |
396 |
222 |
408 |
195 |
250 |
78 |
304 |
160 |
49 |
275 |
26 |
17 |
323 |
127 |
350 |
125 |
171 |
256 |
373 |
441 |
Рис. 23
Это магический квадрат, не обладающий никакими дополнительными свойствами, с хаотично расположенной начальной цепочкой. Но он построен методом латинских квадратов из произвольно выбранной пары ОЛК. В этом его ценность.
***
На форуме дали подсказку, как построить пятый латинский квадрат в группе MOLS 21-го порядка. Показываю этот латинский квадрат (рис. 24):
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
|
21 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
|
20 |
21 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
|
19 |
20 |
21 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
|
18 |
19 |
20 |
21 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
|
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
|
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
|
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
|
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
|
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
1 |
2 |
3 |
|
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
1 |
2 |
|
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
1 |
Рис. 24
4 – 7 марта 2009 г.
г. Саратов
Читайте мою виртуальную книгу “Волшебный мир магических квадратов”:
http://www.klassikpoez.narod.ru/glavnaja.htm
Скачайте электронную версию этой книги:
http://narod.ru/disk/5834353000/Magic_squares.pdf.html
Пишите мне!
На главную страницу
