Н. Макарова
ГРУППЫ MOLS 20-го и 21-го ПОРЯДКА
В предыдущих статьях данного цикла мне удалось построить все группы MOLS чётных порядков до порядка 18 включительно (с помощью участников форума http://dxdy.ru/topic12959.html ). Используя данные на форуме подсказки, пытаюсь продвигаться дальше по той же самой книге “Handbook of Combinatorial Designs”[Глава 3. Mutually Orthogonal Latin Squares (MOLS)]. Для группы MOLS 20-го порядка использую также статью “Four Mutually Orthogonal Latin Squares of order 20” (D. T. Todorov).
Прежде всего отмечу, что для рассматриваемых здесь порядков 20 и 21 работает метод составных квадратов. В одной из статей данного цикла показано построение методом составных квадратов группы MOLS 20-го порядка, состоящей из трёх латинских квадратов. В этой группе два латинских квадрата диагональные, что даёт возможность сразу строить магические квадраты из данной пары ОЛК. Для порядка 21 можно построить методом составных квадратов только пару ОЛК, в этой паре латинские квадраты недиагональные.
Перехожу к построению группы MOLS 20-го порядка по статье Тодорова. В статье приведена квази-разностная матрица для построения группы. Вы видите эту матрицу на рис. 1.
|
∞ |
1 |
1 |
8 |
2 |
12 |
2 |
8 |
12 |
3 |
15 |
4 |
5 |
10 |
7 |
6 |
17 |
18 |
11 |
14 |
16 |
|
1 |
∞ |
1 |
2 |
12 |
8 |
8 |
12 |
2 |
15 |
4 |
3 |
10 |
7 |
5 |
17 |
18 |
6 |
14 |
16 |
11 |
|
1 |
1 |
∞ |
12 |
8 |
2 |
12 |
2 |
8 |
4 |
3 |
15 |
7 |
5 |
10 |
18 |
6 |
17 |
16 |
11 |
14 |
|
8 |
2 |
12 |
∞ |
1 |
1 |
17 |
6 |
18 |
10 |
5 |
7 |
15 |
3 |
4 |
8 |
2 |
12 |
16 |
14 |
11 |
|
2 |
12 |
8 |
1 |
∞ |
1 |
18 |
17 |
6 |
7 |
10 |
5 |
4 |
15 |
3 |
12 |
8 |
2 |
11 |
16 |
14 |
|
12 |
8 |
2 |
1 |
1 |
∞ |
6 |
18 |
17 |
5 |
7 |
10 |
3 |
4 |
15 |
2 |
12 |
8 |
14 |
11 |
16 |
Рис. 1
Примечание: здесь и далее все элементы матрицы увеличены на единицу.
Как по квази-разностной матрице строить латинские квадраты, рассказано в предыдущих статьях. Первому латинскому квадрату соответствует голубая строка матрицы, второму квадрату – оранжевая, третьему – зелёная, четвёртому – жёлтая. На рис. 2 – 5 показаны четыре квадрата данной группы. В каждом латинском квадрате выделены ячейки, содержащие числа из квази-разностной матрицы.
Первый латинский квадрат
|
20 |
13 |
6 |
18 |
14 |
4 |
11 |
9 |
2 |
16 |
7 |
19 |
12 |
5 |
17 |
10 |
3 |
15 |
8 |
1 |
|
9 |
20 |
14 |
7 |
19 |
15 |
5 |
12 |
10 |
3 |
17 |
8 |
1 |
13 |
6 |
18 |
11 |
4 |
16 |
2 |
|
17 |
10 |
20 |
15 |
8 |
1 |
16 |
6 |
13 |
11 |
4 |
18 |
9 |
2 |
14 |
7 |
19 |
12 |
5 |
3 |
|
6 |
18 |
11 |
20 |
16 |
9 |
2 |
17 |
7 |
14 |
12 |
5 |
19 |
10 |
3 |
15 |
8 |
1 |
13 |
4 |
|
14 |
7 |
19 |
12 |
20 |
17 |
10 |
3 |
18 |
8 |
15 |
13 |
6 |
1 |
11 |
4 |
16 |
9 |
2 |
5 |
|
3 |
15 |
8 |
1 |
13 |
20 |
18 |
11 |
4 |
19 |
9 |
16 |
14 |
7 |
2 |
12 |
5 |
17 |
10 |
6 |
|
11 |
4 |
16 |
9 |
2 |
14 |
20 |
19 |
12 |
5 |
1 |
10 |
17 |
15 |
8 |
3 |
13 |
6 |
18 |
7 |
|
19 |
12 |
5 |
17 |
10 |
3 |
15 |
20 |
1 |
13 |
6 |
2 |
11 |
18 |
16 |
9 |
4 |
14 |
7 |
8 |
|
8 |
1 |
13 |
6 |
18 |
11 |
4 |
16 |
20 |
2 |
14 |
7 |
3 |
12 |
19 |
17 |
10 |
5 |
15 |
9 |
|
16 |
9 |
2 |
14 |
7 |
19 |
12 |
5 |
17 |
20 |
3 |
15 |
8 |
4 |
13 |
1 |
18 |
11 |
6 |
10 |
|
7 |
17 |
10 |
3 |
15 |
8 |
1 |
13 |
6 |
18 |
20 |
4 |
16 |
9 |
5 |
14 |
2 |
19 |
12 |
11 |
|
13 |
8 |
18 |
11 |
4 |
16 |
9 |
2 |
14 |
7 |
19 |
20 |
5 |
17 |
10 |
6 |
15 |
3 |
1 |
12 |
|
2 |
14 |
9 |
19 |
12 |
5 |
17 |
10 |
3 |
15 |
8 |
1 |
20 |
6 |
18 |
11 |
7 |
16 |
4 |
13 |
|
5 |
3 |
15 |
10 |
1 |
13 |
6 |
18 |
11 |
4 |
16 |
9 |
2 |
20 |
7 |
19 |
12 |
8 |
17 |
14 |
|
18 |
6 |
4 |
16 |
11 |
2 |
14 |
7 |
19 |
12 |
5 |
17 |
10 |
3 |
20 |
8 |
1 |
13 |
9 |
15 |
|
10 |
19 |
7 |
5 |
17 |
12 |
3 |
15 |
8 |
1 |
13 |
6 |
18 |
11 |
4 |
20 |
9 |
2 |
14 |
16 |
|
15 |
11 |
1 |
8 |
6 |
18 |
13 |
4 |
16 |
9 |
2 |
14 |
7 |
19 |
12 |
5 |
20 |
10 |
3 |
17 |
|
4 |
16 |
12 |
2 |
9 |
7 |
19 |
14 |
5 |
17 |
10 |
3 |
15 |
8 |
1 |
13 |
6 |
20 |
11 |
18 |
|
12 |
5 |
17 |
13 |
3 |
10 |
8 |
1 |
15 |
6 |
18 |
11 |
4 |
16 |
9 |
2 |
14 |
7 |
20 |
19 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
Рис. 2
Второй латинский квадрат
|
12 |
5 |
19 |
16 |
13 |
1 |
20 |
15 |
11 |
9 |
17 |
2 |
7 |
10 |
6 |
14 |
3 |
18 |
4 |
8 |
|
5 |
13 |
6 |
1 |
17 |
14 |
2 |
20 |
16 |
12 |
10 |
18 |
3 |
8 |
11 |
7 |
15 |
4 |
19 |
9 |
|
1 |
6 |
14 |
7 |
2 |
18 |
15 |
3 |
20 |
17 |
13 |
11 |
19 |
4 |
9 |
12 |
8 |
16 |
5 |
10 |
|
6 |
2 |
7 |
15 |
8 |
3 |
19 |
16 |
4 |
20 |
18 |
14 |
12 |
1 |
5 |
10 |
13 |
9 |
17 |
11 |
|
18 |
7 |
3 |
8 |
16 |
9 |
4 |
1 |
17 |
5 |
20 |
19 |
15 |
13 |
2 |
6 |
11 |
14 |
10 |
12 |
|
11 |
19 |
8 |
4 |
9 |
17 |
10 |
5 |
2 |
18 |
6 |
20 |
1 |
16 |
14 |
3 |
7 |
12 |
15 |
13 |
|
16 |
12 |
1 |
9 |
5 |
10 |
18 |
11 |
6 |
3 |
19 |
7 |
20 |
2 |
17 |
15 |
4 |
8 |
13 |
14 |
|
14 |
17 |
13 |
2 |
10 |
6 |
11 |
19 |
12 |
7 |
4 |
1 |
8 |
20 |
3 |
18 |
16 |
5 |
9 |
15 |
|
10 |
15 |
18 |
14 |
3 |
11 |
7 |
12 |
1 |
13 |
8 |
5 |
2 |
9 |
20 |
4 |
19 |
17 |
6 |
16 |
|
7 |
11 |
16 |
19 |
15 |
4 |
12 |
8 |
13 |
2 |
14 |
9 |
6 |
3 |
10 |
20 |
5 |
1 |
18 |
17 |
|
19 |
8 |
12 |
17 |
1 |
16 |
5 |
13 |
9 |
14 |
3 |
15 |
10 |
7 |
4 |
11 |
20 |
6 |
2 |
18 |
|
3 |
1 |
9 |
13 |
18 |
2 |
17 |
6 |
14 |
10 |
15 |
4 |
16 |
11 |
8 |
5 |
12 |
20 |
7 |
19 |
|
8 |
4 |
2 |
10 |
14 |
19 |
3 |
18 |
7 |
15 |
11 |
16 |
5 |
17 |
12 |
9 |
6 |
13 |
20 |
1 |
|
20 |
9 |
5 |
3 |
11 |
15 |
1 |
4 |
19 |
8 |
16 |
12 |
17 |
6 |
18 |
13 |
10 |
7 |
14 |
2 |
|
15 |
20 |
10 |
6 |
4 |
12 |
16 |
2 |
5 |
1 |
9 |
17 |
13 |
18 |
7 |
19 |
14 |
11 |
8 |
3 |
|
9 |
16 |
20 |
11 |
7 |
5 |
13 |
17 |
3 |
6 |
2 |
10 |
18 |
14 |
19 |
8 |
1 |
15 |
12 |
4 |
|
13 |
10 |
17 |
20 |
12 |
8 |
6 |
14 |
18 |
4 |
7 |
3 |
11 |
19 |
15 |
1 |
9 |
2 |
16 |
5 |
|
17 |
14 |
11 |
18 |
20 |
13 |
9 |
7 |
15 |
19 |
5 |
8 |
4 |
12 |
1 |
16 |
2 |
10 |
3 |
6 |
|
4 |
18 |
15 |
12 |
19 |
20 |
14 |
10 |
8 |
16 |
1 |
6 |
9 |
5 |
13 |
2 |
17 |
3 |
11 |
7 |
|
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
1 |
20 |
Рис. 3
Третий латинский квадрат
|
8 |
3 |
18 |
9 |
13 |
4 |
19 |
12 |
15 |
20 |
5 |
7 |
16 |
11 |
14 |
6 |
17 |
1 |
10 |
2 |
|
11 |
9 |
4 |
19 |
10 |
14 |
5 |
1 |
13 |
16 |
20 |
6 |
8 |
17 |
12 |
15 |
7 |
18 |
2 |
3 |
|
3 |
12 |
10 |
5 |
1 |
11 |
15 |
6 |
2 |
14 |
17 |
20 |
7 |
9 |
18 |
13 |
16 |
8 |
19 |
4 |
|
1 |
4 |
13 |
11 |
6 |
2 |
12 |
16 |
7 |
3 |
15 |
18 |
20 |
8 |
10 |
19 |
14 |
17 |
9 |
5 |
|
10 |
2 |
5 |
14 |
12 |
7 |
3 |
13 |
17 |
8 |
4 |
16 |
19 |
20 |
9 |
11 |
1 |
15 |
18 |
6 |
|
19 |
11 |
3 |
6 |
15 |
13 |
8 |
4 |
14 |
18 |
9 |
5 |
17 |
1 |
20 |
10 |
12 |
2 |
16 |
7 |
|
17 |
1 |
12 |
4 |
7 |
16 |
14 |
9 |
5 |
15 |
19 |
10 |
6 |
18 |
2 |
20 |
11 |
13 |
3 |
8 |
|
4 |
18 |
2 |
13 |
5 |
8 |
17 |
15 |
10 |
6 |
16 |
1 |
11 |
7 |
19 |
3 |
20 |
12 |
14 |
9 |
|
15 |
5 |
19 |
3 |
14 |
6 |
9 |
18 |
16 |
11 |
7 |
17 |
2 |
12 |
8 |
1 |
4 |
20 |
13 |
10 |
|
14 |
16 |
6 |
1 |
4 |
15 |
7 |
10 |
19 |
17 |
12 |
8 |
18 |
3 |
13 |
9 |
2 |
5 |
20 |
11 |
|
20 |
15 |
17 |
7 |
2 |
5 |
16 |
8 |
11 |
1 |
18 |
13 |
9 |
19 |
4 |
14 |
10 |
3 |
6 |
12 |
|
7 |
20 |
16 |
18 |
8 |
3 |
6 |
17 |
9 |
12 |
2 |
19 |
14 |
10 |
1 |
5 |
15 |
11 |
4 |
13 |
|
5 |
8 |
20 |
17 |
19 |
9 |
4 |
7 |
18 |
10 |
13 |
3 |
1 |
15 |
11 |
2 |
6 |
16 |
12 |
14 |
|
13 |
6 |
9 |
20 |
18 |
1 |
10 |
5 |
8 |
19 |
11 |
14 |
4 |
2 |
16 |
12 |
3 |
7 |
17 |
15 |
|
18 |
14 |
7 |
10 |
20 |
19 |
2 |
11 |
6 |
9 |
1 |
12 |
15 |
5 |
3 |
17 |
13 |
4 |
8 |
16 |
|
9 |
19 |
15 |
8 |
11 |
20 |
1 |
3 |
12 |
7 |
10 |
2 |
13 |
16 |
6 |
4 |
18 |
14 |
5 |
17 |
|
6 |
10 |
1 |
16 |
9 |
12 |
20 |
2 |
4 |
13 |
8 |
11 |
3 |
14 |
17 |
7 |
5 |
19 |
15 |
18 |
|
16 |
7 |
11 |
2 |
17 |
10 |
13 |
20 |
3 |
5 |
14 |
9 |
12 |
4 |
15 |
18 |
8 |
6 |
1 |
19 |
|
2 |
17 |
8 |
12 |
3 |
18 |
11 |
14 |
20 |
4 |
6 |
15 |
10 |
13 |
5 |
16 |
19 |
9 |
7 |
1 |
|
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
20 |
Рис. 4
Четвёртый латинский квадрат
|
2 |
8 |
11 |
17 |
20 |
6 |
19 |
10 |
5 |
9 |
16 |
4 |
3 |
18 |
13 |
7 |
1 |
15 |
14 |
12 |
|
15 |
3 |
9 |
12 |
18 |
20 |
7 |
1 |
11 |
6 |
10 |
17 |
5 |
4 |
19 |
14 |
8 |
2 |
16 |
13 |
|
17 |
16 |
4 |
10 |
13 |
19 |
20 |
8 |
2 |
12 |
7 |
11 |
18 |
6 |
5 |
1 |
15 |
9 |
3 |
14 |
|
4 |
18 |
17 |
5 |
11 |
14 |
1 |
20 |
9 |
3 |
13 |
8 |
12 |
19 |
7 |
6 |
2 |
16 |
10 |
15 |
|
11 |
5 |
19 |
18 |
6 |
12 |
15 |
2 |
20 |
10 |
4 |
14 |
9 |
13 |
1 |
8 |
7 |
3 |
17 |
16 |
|
18 |
12 |
6 |
1 |
19 |
7 |
13 |
16 |
3 |
20 |
11 |
5 |
15 |
10 |
14 |
2 |
9 |
8 |
4 |
17 |
|
5 |
19 |
13 |
7 |
2 |
1 |
8 |
14 |
17 |
4 |
20 |
12 |
6 |
16 |
11 |
15 |
3 |
10 |
9 |
18 |
|
10 |
6 |
1 |
14 |
8 |
3 |
2 |
9 |
15 |
18 |
5 |
20 |
13 |
7 |
17 |
12 |
16 |
4 |
11 |
19 |
|
12 |
11 |
7 |
2 |
15 |
9 |
4 |
3 |
10 |
16 |
19 |
6 |
20 |
14 |
8 |
18 |
13 |
17 |
5 |
1 |
|
6 |
13 |
12 |
8 |
3 |
16 |
10 |
5 |
4 |
11 |
17 |
1 |
7 |
20 |
15 |
9 |
19 |
14 |
18 |
2 |
|
19 |
7 |
14 |
13 |
9 |
4 |
17 |
11 |
6 |
5 |
12 |
18 |
2 |
8 |
20 |
16 |
10 |
1 |
15 |
3 |
|
16 |
1 |
8 |
15 |
14 |
10 |
5 |
18 |
12 |
7 |
6 |
13 |
19 |
3 |
9 |
20 |
17 |
11 |
2 |
4 |
|
3 |
17 |
2 |
9 |
16 |
15 |
11 |
6 |
19 |
13 |
8 |
7 |
14 |
1 |
4 |
10 |
20 |
18 |
12 |
5 |
|
13 |
4 |
18 |
3 |
10 |
17 |
16 |
12 |
7 |
1 |
14 |
9 |
8 |
15 |
2 |
5 |
11 |
20 |
19 |
6 |
|
1 |
14 |
5 |
19 |
4 |
11 |
18 |
17 |
13 |
8 |
2 |
15 |
10 |
9 |
16 |
3 |
6 |
12 |
20 |
7 |
|
20 |
2 |
15 |
6 |
1 |
5 |
12 |
19 |
18 |
14 |
9 |
3 |
16 |
11 |
10 |
17 |
4 |
7 |
13 |
8 |
|
14 |
20 |
3 |
16 |
7 |
2 |
6 |
13 |
1 |
19 |
15 |
10 |
4 |
17 |
12 |
11 |
18 |
5 |
8 |
9 |
|
9 |
15 |
20 |
4 |
17 |
8 |
3 |
7 |
14 |
2 |
1 |
16 |
11 |
5 |
18 |
13 |
12 |
19 |
6 |
10 |
|
7 |
10 |
16 |
20 |
5 |
18 |
9 |
4 |
8 |
15 |
3 |
2 |
17 |
12 |
6 |
19 |
14 |
13 |
1 |
11 |
|
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
20 |
Рис. 5
Теперь покажу построение другой группы MOLS 20-го порядка по книге “Handbook of Combinatorial Designs” (см. пункт 3.49). В книге дана такая матрица (рис. 6):
|
- |
8 |
14 |
2 |
17 |
10 |
3 |
|
1 |
2 |
16 |
8 |
18 |
7 |
15 |
|
1 |
12 |
11 |
12 |
6 |
5 |
4 |
|
8 |
- |
14 |
17 |
2 |
3 |
10 |
|
2 |
1 |
16 |
18 |
8 |
15 |
7 |
|
12 |
1 |
11 |
6 |
12 |
4 |
5 |
Рис. 6
Далее написано, что каждый столбец этой матрицы надо записать в трёх вариантах: сначала точная копия столбца: (a, b, c, d, e, f), затем такие две его трансформации: (b, c, a, f, d, e) и (c, a, b, e, f, d). В результате получается квази-разностная матрица, которая изображена на рис. 7.
|
- |
8 |
14 |
2 |
17 |
10 |
3 |
1 |
2 |
16 |
8 |
18 |
7 |
15 |
1 |
12 |
11 |
12 |
6 |
5 |
4 |
|
1 |
2 |
16 |
8 |
18 |
7 |
15 |
1 |
12 |
11 |
12 |
6 |
5 |
4 |
- |
8 |
14 |
2 |
17 |
10 |
3 |
|
1 |
12 |
11 |
12 |
6 |
5 |
4 |
- |
8 |
14 |
2 |
17 |
10 |
3 |
1 |
2 |
16 |
8 |
18 |
7 |
15 |
|
8 |
- |
14 |
17 |
2 |
3 |
10 |
12 |
1 |
11 |
6 |
12 |
4 |
5 |
2 |
1 |
16 |
18 |
8 |
15 |
7 |
|
2 |
1 |
16 |
18 |
8 |
15 |
7 |
8 |
- |
14 |
17 |
2 |
3 |
10 |
12 |
1 |
11 |
6 |
12 |
4 |
5 |
|
12 |
1 |
11 |
6 |
12 |
4 |
5 |
2 |
1 |
16 |
18 |
8 |
15 |
7 |
8 |
- |
14 |
17 |
2 |
3 |
10 |
Рис. 7
На рис. 8 – 11 изображены четыре латинских квадрата группы MOLS 20-го порядка, построенной по данной квази-разностной матрице. Первому латинскому квадрату соответствует изумрудная строка матрицы, второму квадрату – голубая, третьему – сиреневая, четвёртому – розовая.
Первый латинский квадрат
|
20 |
13 |
6 |
18 |
14 |
4 |
11 |
9 |
2 |
16 |
7 |
19 |
12 |
5 |
17 |
10 |
3 |
15 |
8 |
1 |
|
9 |
20 |
14 |
7 |
19 |
15 |
5 |
12 |
10 |
3 |
17 |
8 |
1 |
13 |
6 |
18 |
11 |
4 |
16 |
2 |
|
17 |
10 |
20 |
15 |
8 |
1 |
16 |
6 |
13 |
11 |
4 |
18 |
9 |
2 |
14 |
7 |
19 |
12 |
5 |
3 |
|
6 |
18 |
11 |
20 |
16 |
9 |
2 |
17 |
7 |
14 |
12 |
5 |
19 |
10 |
3 |
15 |
8 |
1 |
13 |
4 |
|
14 |
7 |
19 |
12 |
20 |
17 |
10 |
3 |
18 |
8 |
15 |
13 |
6 |
1 |
11 |
4 |
16 |
9 |
2 |
5 |
|
3 |
15 |
8 |
1 |
13 |
20 |
18 |
11 |
4 |
19 |
9 |
16 |
14 |
7 |
2 |
12 |
5 |
17 |
10 |
6 |
|
11 |
4 |
16 |
9 |
2 |
14 |
20 |
19 |
12 |
5 |
1 |
10 |
17 |
15 |
8 |
3 |
13 |
6 |
18 |
7 |
|
19 |
12 |
5 |
17 |
10 |
3 |
15 |
20 |
1 |
13 |
6 |
2 |
11 |
18 |
16 |
9 |
4 |
14 |
7 |
8 |
|
8 |
1 |
13 |
6 |
18 |
11 |
4 |
16 |
20 |
2 |
14 |
7 |
3 |
12 |
19 |
17 |
10 |
5 |
15 |
9 |
|
16 |
9 |
2 |
14 |
7 |
19 |
12 |
5 |
17 |
20 |
3 |
15 |
8 |
4 |
13 |
1 |
18 |
11 |
6 |
10 |
|
7 |
17 |
10 |
3 |
15 |
8 |
1 |
13 |
6 |
18 |
20 |
4 |
16 |
9 |
5 |
14 |
2 |
19 |
12 |
11 |
|
13 |
8 |
18 |
11 |
4 |
16 |
9 |
2 |
14 |
7 |
19 |
20 |
5 |
17 |
10 |
6 |
15 |
3 |
1 |
12 |
|
2 |
14 |
9 |
19 |
12 |
5 |
17 |
10 |
3 |
15 |
8 |
1 |
20 |
6 |
18 |
11 |
7 |
16 |
4 |
13 |
|
5 |
3 |
15 |
10 |
1 |
13 |
6 |
18 |
11 |
4 |
16 |
9 |
2 |
20 |
7 |
19 |
12 |
8 |
17 |
14 |
|
18 |
6 |
4 |
16 |
11 |
2 |
14 |
7 |
19 |
12 |
5 |
17 |
10 |
3 |
20 |
8 |
1 |
13 |
9 |
15 |
|
10 |
19 |
7 |
5 |
17 |
12 |
3 |
15 |
8 |
1 |
13 |
6 |
18 |
11 |
4 |
20 |
9 |
2 |
14 |
16 |
|
15 |
11 |
1 |
8 |
6 |
18 |
13 |
4 |
16 |
9 |
2 |
14 |
7 |
19 |
12 |
5 |
20 |
10 |
3 |
17 |
|
4 |
16 |
12 |
2 |
9 |
7 |
19 |
14 |
5 |
17 |
10 |
3 |
15 |
8 |
1 |
13 |
6 |
20 |
11 |
18 |
|
12 |
5 |
17 |
13 |
3 |
10 |
8 |
1 |
15 |
6 |
18 |
11 |
4 |
16 |
9 |
2 |
14 |
7 |
20 |
19 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
Рис. 8
Второй латинский квадрат
|
12 |
5 |
19 |
16 |
13 |
1 |
20 |
15 |
11 |
9 |
17 |
2 |
7 |
10 |
6 |
14 |
3 |
18 |
4 |
8 |
|
5 |
13 |
6 |
1 |
17 |
14 |
2 |
20 |
16 |
12 |
10 |
18 |
3 |
8 |
11 |
7 |
15 |
4 |
19 |
9 |
|
1 |
6 |
14 |
7 |
2 |
18 |
15 |
3 |
20 |
17 |
13 |
11 |
19 |
4 |
9 |
12 |
8 |
16 |
5 |
10 |
|
6 |
2 |
7 |
15 |
8 |
3 |
19 |
16 |
4 |
20 |
18 |
14 |
12 |
1 |
5 |
10 |
13 |
9 |
17 |
11 |
|
18 |
7 |
3 |
8 |
16 |
9 |
4 |
1 |
17 |
5 |
20 |
19 |
15 |
13 |
2 |
6 |
11 |
14 |
10 |
12 |
|
11 |
19 |
8 |
4 |
9 |
17 |
10 |
5 |
2 |
18 |
6 |
20 |
1 |
16 |
14 |
3 |
7 |
12 |
15 |
13 |
|
16 |
12 |
1 |
9 |
5 |
10 |
18 |
11 |
6 |
3 |
19 |
7 |
20 |
2 |
17 |
15 |
4 |
8 |
13 |
14 |
|
14 |
17 |
13 |
2 |
10 |
6 |
11 |
19 |
12 |
7 |
4 |
1 |
8 |
20 |
3 |
18 |
16 |
5 |
9 |
15 |
|
10 |
15 |
18 |
14 |
3 |
11 |
7 |
12 |
1 |
13 |
8 |
5 |
2 |
9 |
20 |
4 |
19 |
17 |
6 |
16 |
|
7 |
11 |
16 |
19 |
15 |
4 |
12 |
8 |
13 |
2 |
14 |
9 |
6 |
3 |
10 |
20 |
5 |
1 |
18 |
17 |
|
19 |
8 |
12 |
17 |
1 |
16 |
5 |
13 |
9 |
14 |
3 |
15 |
10 |
7 |
4 |
11 |
20 |
6 |
2 |
18 |
|
3 |
1 |
9 |
13 |
18 |
2 |
17 |
6 |
14 |
10 |
15 |
4 |
16 |
11 |
8 |
5 |
12 |
20 |
7 |
19 |
|
8 |
4 |
2 |
10 |
14 |
19 |
3 |
18 |
7 |
15 |
11 |
16 |
5 |
17 |
12 |
9 |
6 |
13 |
20 |
1 |
|
20 |
9 |
5 |
3 |
11 |
15 |
1 |
4 |
19 |
8 |
16 |
12 |
17 |
6 |
18 |
13 |
10 |
7 |
14 |
2 |
|
15 |
20 |
10 |
6 |
4 |
12 |
16 |
2 |
5 |
1 |
9 |
17 |
13 |
18 |
7 |
19 |
14 |
11 |
8 |
3 |
|
9 |
16 |
20 |
11 |
7 |
5 |
13 |
17 |
3 |
6 |
2 |
10 |
18 |
14 |
19 |
8 |
1 |
15 |
12 |
4 |
|
13 |
10 |
17 |
20 |
12 |
8 |
6 |
14 |
18 |
4 |
7 |
3 |
11 |
19 |
15 |
1 |
9 |
2 |
16 |
5 |
|
17 |
14 |
11 |
18 |
20 |
13 |
9 |
7 |
15 |
19 |
5 |
8 |
4 |
12 |
1 |
16 |
2 |
10 |
3 |
6 |
|
4 |
18 |
15 |
12 |
19 |
20 |
14 |
10 |
8 |
16 |
1 |
6 |
9 |
5 |
13 |
2 |
17 |
3 |
11 |
7 |
|
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
1 |
20 |
Рис. 9
Третий латинский квадрат
|
8 |
3 |
18 |
9 |
13 |
4 |
19 |
12 |
15 |
20 |
5 |
7 |
16 |
11 |
14 |
6 |
17 |
1 |
10 |
2 |
|
11 |
9 |
4 |
19 |
10 |
14 |
5 |
1 |
13 |
16 |
20 |
6 |
8 |
17 |
12 |
15 |
7 |
18 |
2 |
3 |
|
3 |
12 |
10 |
5 |
1 |
11 |
15 |
6 |
2 |
14 |
17 |
20 |
7 |
9 |
18 |
13 |
16 |
8 |
19 |
4 |
|
1 |
4 |
13 |
11 |
6 |
2 |
12 |
16 |
7 |
3 |
15 |
18 |
20 |
8 |
10 |
19 |
14 |
17 |
9 |
5 |
|
10 |
2 |
5 |
14 |
12 |
7 |
3 |
13 |
17 |
8 |
4 |
16 |
19 |
20 |
9 |
11 |
1 |
15 |
18 |
6 |
|
19 |
11 |
3 |
6 |
15 |
13 |
8 |
4 |
14 |
18 |
9 |
5 |
17 |
1 |
20 |
10 |
12 |
2 |
16 |
7 |
|
17 |
1 |
12 |
4 |
7 |
16 |
14 |
9 |
5 |
15 |
19 |
10 |
6 |
18 |
2 |
20 |
11 |
13 |
3 |
8 |
|
4 |
18 |
2 |
13 |
5 |
8 |
17 |
15 |
10 |
6 |
16 |
1 |
11 |
7 |
19 |
3 |
20 |
12 |
14 |
9 |
|
15 |
5 |
19 |
3 |
14 |
6 |
9 |
18 |
16 |
11 |
7 |
17 |
2 |
12 |
8 |
1 |
4 |
20 |
13 |
10 |
|
14 |
16 |
6 |
1 |
4 |
15 |
7 |
10 |
19 |
17 |
12 |
8 |
18 |
3 |
13 |
9 |
2 |
5 |
20 |
11 |
|
20 |
15 |
17 |
7 |
2 |
5 |
16 |
8 |
11 |
1 |
18 |
13 |
9 |
19 |
4 |
14 |
10 |
3 |
6 |
12 |
|
7 |
20 |
16 |
18 |
8 |
3 |
6 |
17 |
9 |
12 |
2 |
19 |
14 |
10 |
1 |
5 |
15 |
11 |
4 |
13 |
|
5 |
8 |
20 |
17 |
19 |
9 |
4 |
7 |
18 |
10 |
13 |
3 |
1 |
15 |
11 |
2 |
6 |
16 |
12 |
14 |
|
13 |
6 |
9 |
20 |
18 |
1 |
10 |
5 |
8 |
19 |
11 |
14 |
4 |
2 |
16 |
12 |
3 |
7 |
17 |
15 |
|
18 |
14 |
7 |
10 |
20 |
19 |
2 |
11 |
6 |
9 |
1 |
12 |
15 |
5 |
3 |
17 |
13 |
4 |
8 |
16 |
|
9 |
19 |
15 |
8 |
11 |
20 |
1 |
3 |
12 |
7 |
10 |
2 |
13 |
16 |
6 |
4 |
18 |
14 |
5 |
17 |
|
6 |
10 |
1 |
16 |
9 |
12 |
20 |
2 |
4 |
13 |
8 |
11 |
3 |
14 |
17 |
7 |
5 |
19 |
15 |
18 |
|
16 |
7 |
11 |
2 |
17 |
10 |
13 |
20 |
3 |
5 |
14 |
9 |