Н. Макарова

 

ЕЩЁ ОДНА ГРУППА MOLS 20-го ПОРЯДКА

 

Данная страница является продолжением страницы:

http://www.natalimak1.narod.ru/mols20_21.htm

 

 

Как было отмечено на указанной странице, в  статье [M. Wojtas, Discrete Mathematics 140 (1995) 291 - 294] приведена матрица, по которой можно построить группу MOLS 20-го порядка, состоящую из четырёх квадратов. Эта матрица показана на рис. 1.

 

 

Рис. 1

 

Сначала я никак не могла понять, как по этой разностной матрице строить латинские квадраты. Подсказка пришла на форуме http://dxdy.ru/topic12959.html

Данный метод основан на сумме двух абелевых групп Z₁₀ и Z₂. Я не буду здесь давать подробные пояснения, желающие могут посмотреть их на форуме. Здесь будут показаны все четыре квадрата данной группы. Первый квадрат был приведён на форуме, остальные построены мной.

Прежде всего, надо добавить к приведённой разностной матрице строку из нулей. Полученная разностная матрица изображена на рис. 2.

 

 

Рис. 2

 

По данной матрице строятся три латинских квадрата. О четвёртом квадрате сказано дальше. На рис. 3, 5, 7 показаны три латинских квадрата, построенные по этой матрице. Замечу, что здесь я строю латинские квадраты, заполненные числами от 0 до 19, то есть в традиционном виде.

Первому латинскому квадрату соответствует жёлтая строка матрицы, второму квадрату – оранжевая, третьему квадрату – песочная.

 

Первый латинский квадрат

 

Рис. 3

 

В квадрате выделены блоки – квадраты 2х2. Посмотрите, какая интересная блочная структура в этом латинском квадрате. Это очень напоминает метод сотовых квадратов для построения магических квадратов. Квадрат 20х20 составлен из четырёх латинских квадратов 5х5 (см. рис. 4; в показанном на рисунке латинском квадрате 5х5 каждый блок 2х2 заменён номером блока),  в каждом квадрате 5х5 используются блоки размером 2х2, состоящие из одних и тех же чисел, расположенных в разных вариантах.

 

 

Рис. 4

 

Второй латинский квадрат

 

 

Рис. 5

 

Второй латинский квадрат имеет такую же блочную структуру, только блоки в нём расположены в другом порядке. На рис. 6 приведена схема расположения блоков в этом латинском квадрате. Блоки пронумерованы так же, как в первом латинском квадрате; блоки составляются из таких же чисел, но в других вариантах.

 

 

Рис. 6

 

Очевидно, что этот квадрат 5-го порядка, составленный из номеров блоков, тоже является латинским квадратом.

 

Третий латинский квадрат

 

 

Рис. 7

 

Теперь осталось построить последний латинский квадрат. Этот квадрат не задан в разностной матрице. Как помнят читатели, на указанной выше странице добавляется не заданный в матрице пятый латинский квадрат в группе MOLS 21-го порядка. Этот квадрат тривиальный, с циклически переставленными строками. Сначала я попробовала в данной группе MOLS 20-го порядка добавить такой же тривиальный квадрат, однако он оказался не ортогональным построенным квадратам. Тогда задала вопрос об этом квадрате на форуме. Мне подсказали, как построить этот квадрат. Он тоже тривиальный, но не такой, как в группе MOLS 21-го порядка. Четвёртый латинский квадрат изображён на рис. 7

 

Четвёртый латинский квадрат

 

 

Рис. 7

 

Этот латинский квадрат тоже имеет блочную структуру, но она отличается от структуры двух первых квадратов. Если заменить блоки 2х2 их номерами, то схема четвёртого латинского квадрата будет выглядеть так (рис. 8):

 

 

Рис. 8

 

При этом числа в каждом блоке с одинаковым номером записываются в одном и том же порядке.

 

Теперь составим пару ОЛК из первого и второго латинских квадратов. Здесь очень хороший случай. Первый латинский квадрат диагональный. Второй латинский квадрат хотя и недиагональный, но является нетрадиционным магическим квадратом, то есть имеет нужные суммы в обеих диагоналях. Так что не надо преобразовывать латинские квадраты, а можно сразу строить магические квадраты. На рис. 9 вы видите один магический квадрат, построенный из данной пары ОЛК. Второй магический квадрат получается, если поменять местами латинские квадраты в формуле для построения магического квадрата.

 

 

Рис. 9

 

В квадрате выделена начальная цепочка.

Из четырёх квадратов группы можно образовать 6 пар ОЛК. Однако остальные 5 пар будут не такими “хорошими”: или один, или оба квадрата в каждой паре придётся преобразовывать, прежде чем строить магические квадраты. Зато можно сразу строить полумагические квадраты. Вот, например, полумагический квадрат, построенный из пары ОЛК, состоящей из первого и четвёртого латинских квадратов (рис. 10):

 

 

Рис. 10

 

Оригинальная начальная цепочка в этом полумагическом квадрате! Вы согласны?

 

Предлагаю читателям разобраться с построением групп MOLS 24-го и 40-го порядка в указанной статье Wojtas. Статью можно посмотреть здесь:

http://www.natalimak1.narod.ru/mk/wojtas.pdf

Я пока не разобралась с этими построениями. Интересно отметить, что Wojtas описывает построение групп MOLS 24-го и 40-го порядка, состоящих из пяти квадратов, а в современной таблице находим: Q(24) = 7 и Q(40) = 7. В книге “Handbook of Combinatorial Designs” описаны построения этих групп из семи латинских квадратов.

 

10 марта 2009 г.

г. Саратов

 

 

Читайте мою виртуальную книгу “Волшебный мир магических квадратов”:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/glavnaja.htm

 

Скачайте электронную версию этой книги:

http://narod.ru/disk/5834353000/Magic_squares.pdf.html

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу