Н. Макарова

 

ОБОБЩЁННЫЕ ЛАТИНСКИЕ КВАДРАТЫ

 

 

Обобщённые латинские квадраты уже много раз встречались в моих статьях. Расскажу о них ещё раз в рамках одной статьи. Сначала определение (даётся по книге  Ю. В. Чебракова “Магические квадраты. Теория чисел, алгебра, комбинаторный анализ”, С. – Петербург, 1995):

 

 

Обобщённые латинские квадраты тоже могут быть ортогональными. Определение ортогональности обобщённых латинских квадратов такое же, как для классических латинских квадратов. Из пары ортогональных обобщённых латинских квадратов можно построить магический квадрат методом латинских квадратов. Покажу несколько примеров.

 

Пример 1

 

Этот пример взят из указанной выше книги. На рис. 1 вы видите пару ортогональных обобщённых латинских квадратов 8-го порядка.

 

 

Рис. 1

 

В этой паре ОЛК второй латинский квадрат получается из первого поворотом на 90 градусов вокруг центра по часовой стрелке. На рис. 2 показан совершенный магический квадрат, построенный из данной пары ОЛК методом латинских квадратов.

 

 

Рис. 2

 

Интересно отметить, что если в формуле для построения магического квадрата использовать другой множитель (отличный от 8), то из приведённой пары ОЛК можно построить бесконечно много нетрадиционных совершенных магических квадратов 8-го порядка. На рис. 3 показан такой нетрадиционный магический квадрат, построенный с применением множителя 10.

 

 

Рис. 3

 

Подробно метод построения совершенных квадратов с помощью обобщённых латинских квадратов описан в статье http://www.klassikpoez.narod.ru/latsov.htm

 

Пример 2

 

Этот пример взят из статьи http://www.natalimak1.narod.ru/netradic.htm

На рис. 4 вы видите первый обобщённый латинский квадрат из пары ОЛК, которая используется для построения нетрадиционного идеального магического квадрата 10-го порядка.

 

 

Рис. 4

 

Обратите внимание на то, что этот обобщённый латинский квадрат заполнен числами 0, 1, … , 4, 8, 9, … , 12, эти числа не принадлежат непрерывному интервалу, в отличие от обобщённых латинских квадратов, изображённых на рис. 1.

Второй латинский квадрат в этой паре ОЛК получается из первого латинского квадрата поворотом вокруг центра на 90 градусов по часовой стрелке (рис. 5):

 

 

Рис. 5

 

На рис. 6 показан один из нетрадиционных идеальных магических квадратов, построенный из данной пары ОЛК. Понятно, что таких квадратов можно построить бесконечно много, достаточно изменять множитель в формуле для построения магического квадрата. Приведённый магический квадрат построен с множителем 13.

 

 

Рис. 6

 

Интересно отметить, что построенные данным методом идеальные магические квадраты обладают замечательным свойством: они превращаются в нетрадиционные совершенные квадраты преобразованием трёх квадратов. На рис. 7 изображён нетрадиционный совершенный квадрат 10-го порядка, полученный из идеального магического квадрата с рис. 6.

 

 

Рис. 7

 

Пример 3

 

В этом примере для построения знаменитого  полумагического квадрата 12-го порядка Агриппы используется смешанная пара ОЛК, состоящая из классического и обобщённого латинских квадратов. Классический латинский квадрат строится по схеме Агриппы, которая показана в статье “Методы построения латинских квадратов”. На рис. 8 изображён классический латинский квадрат 12-го порядка, построенный по схеме Агриппы.

 

 

Рис. 8

 

Второй латинский квадрат в этой паре ОЛК обобщённый. Вы видите его на рис. 9.

 

 

Рис. 9

 

Теперь построим из этой смешанной пары ОЛК полумагический квадрат 12-го порядка (рис. 10).

 

 

Рис. 10

 

В квадрате Агриппы очень оригинальная начальная цепочка (на рис. 10 она выделена). Если мы поменяем местами латинские квадраты в формуле для построения магического квадрата, получим новый полумагический квадрат с другой формой начальной цепочки. Этот квадрат показан на рис. 11.

 

 

Рис. 11

 

Пример 4

 

Этот пример найден по ссылке:

 

http://www.grogono.com/magic/7x7.php

 

Здесь имеется тоже смешанная пара ОЛК 7-го порядка; первый латинский квадрат классический, второй – обобщённый (рис. 12). Эта пара в статье названа “semi-irregular”, то есть “полу-нерегулярная”. Она используется для построения пандиагональных магических квадратов 7-го порядка.

 

 

 

Рис. 12

 

На рис. 13 показан пандиагональный магический квадрат, построенный из данной пары ОЛК.

 

 

Рис. 13

 

Покажу и второй пандиагональный магический квадрат, построенный из этой пары ОЛК (латинские квадраты поменялись местами в формуле для построения магического квадрата) [рис. 14].

 

 

Рис. 14

 

В квадрате на рис. 13 начальная цепочка имеет правильную форму “ход конём”, а в квадрате на рис. 14 правильность формы начальной цепочки нарушилась. Тем не менее, квадрат тоже пандиагональный.

 

Пример 5

 

Удивительные пары ортогональных обобщённых латинских квадратов используются для построения идеальных магических квадратов нечётных порядков кратных 3. Я нашла эти пары ОЛК в журнале “Recreational Mathematics”. Покажу один пример. Приведённая на рис. 15 – 16 пара обобщённых ортогональных латинских квадратов используется для построения идеального магического квадрата 15-го порядка.

 

 

Рис. 15

 

 

Рис. 16

 

Обобщённые квадраты этой пары ОЛК действительно уникальны: они являются нетрадиционными магическими квадратами с магической константой 105, обладающими свойствами ассоциативности и пандиагональности. На рис. 17 показан идеальный магический квадрат 15-го порядка, построенный из данной пары ОЛК.

 

 

Рис. 17

 

Поскольку второй латинский квадрат в этой паре ОЛК получается из первого отражением относительно главной диагонали, второй магический квадрат, построенный из данной пары ОЛК (если поменять местами латинские квадраты) будет эквивалентен магическому квадрату с рис. 17. Поэтому не буду его показывать.

 

Если вы будете читать мои статьи, особенно посвящённые методу латинских квадратов, то найдёте ещё немало примеров использования обобщённых латинских квадратов для построения магических квадратов.

 

 

5 мая 2009 г.

г. Саратов

 

 

Читайте мою виртуальную книгу “Волшебный мир магических квадратов”:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/glavnaja.htm

 

Скачайте электронную версию этой книги:

 

http://narod.ru/disk/5834353000/Magic_squares.pdf.html

 

 

Заодно прихватите книгу “Позиционные системы счисления”, авось, пригодится:

 

http://narod.ru/disk/5936760000/pozic4.pdf.html

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу