Н. Макарова

 

ОТДОХНЁМ!

 

 

Уважаемые читатели! Я очень устала от серьёзных статей и решила отдохнуть. Приглашаю и вас к этому отдыху. Для отдыха, конечно, выбраны игры и задачи с магическими и латинскими квадратами.

 

Начну с задачи, которую прислал мне виртуальный друг; он знает, что я занимаюсь магическими и латинскими квадратами. Эта задача из старого журнала “Квант” (№ 10, 1978 г.). Сначала приведу иллюстрацию к задаче (рис. 1):

 

 

Рис. 1

 

Теперь текст задачи:

 

 

В условии задачи, правда, не сказано, набор из каких трёх квадратов требуется составить, но, судя по всему, это тоже должны быть магические квадраты 5х5. Так и будем считать.

Можно добавить, что приведённая фигура составлена не просто из магических квадратов, а из идеальных магических квадратов. Чтобы было понятнее, покажу эти четыре идеальных магических квадрата 5-го порядка (рис. 2 – 5).

 

 

Рис. 2

 

 

Рис. 3

 

 

Рис. 4

 

 

Рис. 5

 

“Одноимёнными” клетками автор задачи назвал соответствующие ячейки этих квадратов. Например, берём числа, стоящие  в левой верхней ячейке каждого квадрата, это числа: 1, 22, 5, 24. Сумма этих чисел равна 52. В центральной ячейке всех квадратов стоит число 13, сумма всех чисел из центральных ячеек тоже равна 52. И так далее. По цвету квадратов вы всё поймёте.

А теперь решите задачу!

 

***

 

 

ЗАДАЧА О КОНЦЕНТРИЧЕСКИХ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТАХ

 

О концентрических магических квадратах читайте статью: http://www.natalimak1.narod.ru/concent.htm

Воспроизведу здесь иллюстрацию из старинного журнала “Recreational Mathematics” (рис. 6). Эта иллюстрация была приведена на форуме: http://dxdy.ru/topic12959.html. На ней изображены концентрические магические квадраты.

 

                                            

 

Рис. 6

 

На рис. 7 вы видите концентрические магические квадраты, изображённые на иллюстрации слева. Мы имеем окаймлённый магический квадрат 13-го порядка (о методе построения окаймлённых магических квадратов смотрите в цикле статей “Методы построения магических квадратов”, а также в моей книге “Волшебный мир магических квадратов”: http://narod.ru/disk/5834353000/Magic_squares.pdf.html ).

 

 

 

Рис. 7

 

Мне удалось построить подобным способом окаймлённый магический квадрат 7-го порядка (рис. 8).

 

 

Рис. 8

 

Попытка построить подобный окаймлённый квадрат 9-го порядка не увенчалась успехом. Мне удалось заполнить квадрат наполовину. Смотрите, что у меня получилось (рис. 9):

 

 

Рис. 9

 

Я заполнила свободные ячейки в этом квадрате символами. При этом символы с апострофом комплементарны соответствующим символам без апострофа, например: a + a’ = 82.

Попробуйте заполнить этот окаймлённый магический квадрат до конца. Не знаю, имеет ли задача решение. Вполне возможно, что представленное заполнение не приведёт к решению, но существует другой вариант начального заполнения, отличный от приведённого, который позволит заполнить магический квадрат до конца.

Следующая задача: построить подобный окаймлённый магический квадрат 11-го порядка.

Если вам удастся решить эти задачи, пожалуйста, сообщите мне.

 

 

***

 

ЗАДАЧИ О БИМАГИЧЕСКИХ КВАДРАТАХ

 

О бимагических квадратах читайте мою статью: http://www.klassikpoez.narod.ru/bimagic.htm

Сначала расскажу о задаче построения нетрадиционного бимагического квадрата 5-го порядка. Такие квадраты построены, но только с повторяющимися числами. Вот по этой ссылке я нашла два таких квадрата (рис. 10 – 11):

 

http://cboyer.club.fr/multimagie//Endlish/Smallestbi3_7.htm#BimaCohen

 

 

 

Рис. 10

 

 

Рис. 11

 

Задача состоит в том, чтобы построить нетрадиционный бимагический квадрат 5-го порядка из разных натуральных чисел. Напомню, что бимагическим квадратом называется такой магический квадрат, который остаётся магическим после замены всех его элементов их квадратами.

 

Интересно отметить, что нетрадиционным бимагическим квадратом 5-го порядка (как, впрочем, и любого другого порядка) является любой классический диагональный латинский квадрат. В самом деле: на рис. 12 изображён классический диагональный латинский квадрат 5-го порядка.

 

 

Рис. 12

 

Этот квадрат является нетрадиционным магическим квадратом с магической константой 15. Очевидно, что после замены всех элементов их квадратами, мы снова получим магический квадрат с магической константой 55 (рис. 13).

 

 

Рис. 13

 

Вторая задача о бимагическом квадрате 8-го порядка. Известен пандиагональный бимагический квадрат 8-го порядка (рис. 14). Этот квадрат найден по ссылке:

 

http://cboyer.club.fr/multimagie/English/Panbimagic.htm

 

 

 

Рис. 14

 

Однако после замены всех его элементов на их квадраты пандиагональность не сохраняется. Как видите, приведённый квадрат был построен в 1903 г. Насколько мне известно, до сих пор не удалось построить такой пандиагональный бимагический квадрат 8-го порядка, в котором сохраняется свойство пандиагональности после замены его элементов их квадратами. Интересно отметить, что бимагический квадрат 32-го порядка, обладающий таким свойством, построен. Вы можете посмотреть его в указанной статье о бимагических квадратах. Неужели квадрат 32-го порядка с таким свойством есть, а квадрата 8-го порядка нет?

Математики усердно пытаются построить такой квадрат. В 1939 г. бельгиец H. Schots построил пандиагональный квадрат 8-ого порядка, в котором сумма квадратов чисел в любой диагонали (как главной, так и разломанной) равна одному и тому же числу. Однако сумма квадратов чисел в строках и в столбцах квадрата не равна одному и тому же числу, то есть квадрат этот не бимагический. Смотрите этот квадрат на рис. 15 (квадрат взят по указанной выше ссылке).

 

 

Рис. 15

 

Может быть, этот квадрат поможет вам в решении задачи. Например, можно взять такую заготовку (рис. 16):

 

 

Рис. 16

 

Теперь надо вписать в эту заготовку остальные числа так, чтобы получился нужный пандиагональный бимагический квадрат. Можно добавить в эту заготовку ещё несколько чисел из квадрата с рис. 15, чтобы уменьшить количество добавляемых чисел. Если решать задачу в лоб, то надо составить программу для простого перебора вариантов расположения всех оставшихся чисел. Понятно, что чем меньше будет перебираемых чисел, тем реальнее выполнить программу за разумное время. Конечно, можно придумать и другие пути решения задачи.

Посмотрите также на структуру пандиагонального бимагического квадрата 32-го порядка. Может быть, это наведёт вас на какие-то идеи.

Подчеркну, что квадрат должен быть традиционным, то есть заполненным числами от 1 до 64.

 

Желаю удачи!

 

 

ИГРА СУДОКУ

 

 

Не буду подробно рассказывать правила игры. Вы можете заглянуть в Википедию по ссылке:

 

http://ru.wikipedia.org/wiki/Sudoku

 

 

В статье подробно рассказывается, как играть в эту интересную игру. Вы можете также найти в Интернете игру и скачать её. Мне прислал игру тот же самый виртуальный друг. Хотя я много раз видела в Интернете эту игру, но самой скачать всё руки не доходили. Спасибо другу! Он скачал игру и прислал мне её прямо записанной на диск. Теперь уже просто грех не поиграть.

 

Игра основана на латинских квадратах. Существует несколько вариантов игры. Для детей есть упрощённые варианты, например, на поле 4х4. Самый распространённый вариант – это игра на поле 9х9. В начале игры вам предлагается квадрат размером 9х9, в котором уже стоят некоторые числа. Цель игры вписать в квадрат недостающие числа так, чтобы в каждой строке, в каждом столбце, а также в девяти квадратах 3х3 все числа были различны. В результате получится латинский квадрат 9-го порядка.

Понятно, что в эту игру надо играть одному, без партнёров. Прекрасный отдых, между прочим! Очень хорошо отвлекаешься от всяких мыслей. Вы можете распечатать предлагаемый вам первоначальный квадрат и продолжить игру на листе бумаге. Но в игре на компьютере, если при заполнении сделана ошибка, неправильно заполненная ячейка мигает красным светом. Это своего рода подсказки. Если вы будете играть на листе бумаги, у вас не будет таких подсказок компьютера. С другой стороны, лист бумаги и карандаш можно взять с собой куда угодно, а компьютер не всегда с вами.

 

Для примера покажу только что сыгранную партию. Мне потребовалось на эту партию 10 минут. Это, наверное, многовато, но я ещё не тренировалась. Итак, на рис. 17 показываю первоначальный квадрат, который предложил мне компьютер.

 

 

Рис. 17

 

Вы видите на поле 9х9 выделенные квадратики 3х3 (розовые и серые). В этих квадратиках все числа должны быть различны. Ну, и как уже сказано, во всех строках и столбцах большого квадрата 9х9 все числа тоже должны быть разные. Понятно, что квадрат заполняется числами от 1 до 9 и каждое их этих чисел в заполненном квадрате встречается ровно 9 раз. Я выделила красным цветом все числа, стоящие на поле перед началом игры. В Википедии написано, что если начальный квадрат составлен правильно, то он допускает единственное правильное заполнение.

Вот какой у меня получился результат (рис. 18):

 

 

Рис. 18

 

Чтобы проверить правильность заполнения (если вы играете на компьютере, это делает компьютер), достаточно просуммировать числа в строках и в столбцах квадрата 9х9. При правильном заполнении все эти суммы будут равны 45.

 

Мне очень понравилась игра. Предлагаю вам ещё один начальный квадрат (рис. 19):

 

 

Рис. 19

 

Играйте в Судоку!

 

Примечание: друг прислал мне игру, скачанную по следующей ссылке:

 

http://rapidlibrary.com/download_file_i.php?qq=latin squares&file=3201586&desc=Sudoku+-+Latin+Squares+.rar

 

Судя по надписи на заставке игры, разработчиком этой версии является TikGames. Вот заставка игры:

 

 

 

 

Кстати, на заставке вы видите ещё один начальный квадрат 9Х9 и упрощённый вариант игры на поле 3х3. Спасибо разработчикам игры, очень хорошо сделано.

TikGames опубликовал на своём сайте “Энциклопедию игр для персонального компьютера”. Огромная энциклопедия! Вот на этой странице:

 

http://gameguru.ru/pc/games/s/page99/list.htm

 

я видела сразу две Судоку.

 

Желаю вам приятной игры!

 

 

***

 

ЛИНГВИСТИЧЕСКИЕ ЛАТИНСКИЕ КВАДРАТЫ

 

Очень давно я написала книгу “Лингвистические игры и упражнения”. В этой книге собраны игры в слова, всевозможные головоломки, например, шарады, головоломки с анаграммами. Это довольно большая книга. На сайте есть фрагменты из этой книги. Когда я писала эту книгу, ещё совсем ничего не знала о латинских квадратах. А сейчас вот вспомнила о “волшебных превращениях” – так названа одна глава в книге, и поняла, что это самые настоящие латинские квадраты, только не с числами, а с буквами. Вы можете сначала посмотреть фрагмент из главы “Волшебные превращения”, чтобы лучше понять игру. Этот фрагмент здесь:

 

http://klassikpoez.boom.ru/volshebnye.htm

 

Покажу несколько примеров таких лингвистических латинских квадратов. На рис. 20 вы видите первый квадрат 6х6. Это начальное поле для игры. В эту игру можно играть и с партнёром. В книге подробно описывается, как нужно играть. Здесь расскажу кратко. В приведённый квадрат надо вписывать трёхбуквенные слова такой конструкции: _ _ Р, например: БАР, СЫР, ХОР и так далее. При этом в строках и в столбцах квадрата не должно быть одинаковых букв (буква Р, конечно, не в счёт). Разумеется, слова тоже нельзя повторять.

 

 

Рис. 20

 

Для примера покажу заполнение приведённого квадрата (рис. 21).

 

 

Рис. 21

 

Ну, чем не латинский квадрат? Можно потребовать ещё, чтобы буквы были разные и в диагоналях квадрата. В рассмотренном примере так и получилось: буквы в диагоналях квадрата тоже разные.

 

Понятно, что это не единственный вариант заполнения. В процессе игры с партнёром вы будете вписывать слова по очереди. Проиграет тот, кто впишет слово с буквой, уже имеющейся в строке или в столбце квадрата, или тот, кто не сможет вписать очередное слово. Если партнёры правильно вписали слова и заполнили весь квадрат, тогда ничья. Покажу другой вариант заполнения квадрата с рис. 20. Смотрите этот вариант на рис. 22.

 

 

Рис. 22

 

А теперь представьте, сколько можно сочинить таких лингвистических латинских квадратов для игры! И материала для этого предостаточно в моей книге. К сожалению, издать книгу мне так и не удалось.

Слова можно брать не только трёхбуквенные, тогда игра будет намного сложнее и интереснее. Можно сделать так, что одинаковые буквы расположатся в диагоналях квадрата. Смотрите пример на рис. 23.

 

 

Рис. 23

 

Здесь надо вписывать слова из четырёх букв так, чтобы в строках и в столбцах квадрата 8х8 не было одинаковых букв. Один из вариантов заполнения вы видите на рис. 24.

 

 

Рис. 24

 

Этот квадрат ещё больше похож на латинский. Не так просто заполнить такой квадрат. Попробуйте дать квадрат с рис. 23 своему другу и предложите его заполнить. Уверена, что тут придётся подумать больше, чем в игре Судоку, где надо вписывать числа. Здесь надо ещё иметь хороший запас слов в голове, иначе вообще ничего не получится.

 

В заключение приведу задачу без решения, а то так неинтересно: все задачи решены. На рис. 25 изображён квадрат, который надо заполнить. Эта задача взята тоже из указанной книги, из главы “Явка”.

 

 

Рис. 25

 

Слова в квадрат можно вписывать или по горизонтали, или по вертикали. Условие такое же: все буквы в строках и в столбцах квадрата должны быть различны. У меня получилось два решения. А у вас?

 

***

 

Напомню читателям, что на файлообменнике Народа лежит книга “Позиционные системы счисления” (написана в соавторстве; издана в 2007 году). В этой книге есть много развлекательного материала: задачи, фокусы, игра «НИМ». Ссылка для скачивания книги:

 

http://narod.ru/disk/5936760000/pozic4.pdf.html

 

Если у вас есть интересные головоломки с магическими и латинскими квадратами, пожалуйста, присылайте их мне. Обязательно помещу на этой странице.

 

 

9 – 10 апреля 2009 г.

г. Саратов

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу