Пандиагональные квадраты 4-го порядка из простых чисел

Н. Макарова

 

ПАНДИАГОНАЛЬНЫЕ КВАДРАТЫ 4-го ПОРЯДКА ИЗ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ

 

Эта статья о последовательности магических констант пандиагональных квадратов 4-го порядка из простых чисел. Она написана с целью более подробного освещения статьи для OEIS. Эту статью я только собираюсь отправить в Энциклопедию, поэтому ссылки пока нет.

 

Как известно, для построения пандиагонального квадрата 4-го порядка необходимо иметь массив, состоящий не менее чем из 8 комплементарных пар чисел.

Например, самый первый потенциальный массив из 12 комплементарных пар простых чисел:

 

7, 113, 11, 109, 13, 107, 17, 103, 19, 101, 23, 97, 31, 89, 37, 83, 41, 79, 47, 73, 53, 67, 59, 61

 

Сумма чисел в комплементарной паре называется константой комплементарности, обозначим её K.

Имеем для данного массива:

 

      K = 7 + 113 = 11 + 109 = … 59 + 61 = 120.

 

Магическая константа пандиагонального квадрата 4-го порядка связана с константой комплементарности формулой: S = 2*K.

 

Из чисел приведённого массива простых чисел составляется наименьший пандиагональный квадрат 4-го порядка (рис. 1):

 

7

107

23

103

47

79

31

83

97

17

113

13

89

37

73

41

 

Рис. 1

 

Наименьший пандиагональный квадрат 4-го порядка с магической константой равной 240 был построен мной по формуле Бергхольта очень давно. Подробно об этом можно посмотреть в [1].

Этот квадрат внесён в OEIS, в статью о наименьших пандиагональных квадратах из простых чисел (см. [2]).

 

Все пандиагональные квадраты 4-го порядка являются совершенными квадратами.

Ещё одно замечательное свойство пандиагональных квадратов 4-го порядка: с помощью преобразования обратного преобразованию 3-х квадратов они превращаются в ассоциативные квадраты. Например, пандиагональный квадрат с рис. 1 превращается в такой ассоциативный квадрат (рис. 2):

 

7

107

103

23

47

79

83

31

89

37

41

73

97

17

13

113

 

Рис. 2

 

А теперь собственно о последовательности магических констант пандиагональных квадратов 4-го порядка:

 

240, 252, 288, 372, 408, 420, 480, 492, 504, 528, 540, 552, 560, 564, 576, 588, 600

 

Далее приведены пандиагональные квадраты для всех указанных в последовательности магических констант:

 

S = 240

7  107  23  103

 47  79  31  83

 97  17  113  13

 89  37  73  41

 

S = 252

 13  107  29  103

 53  79  37  83

 97  23  113  19

 89  43  73  47

 

S = 288

 7  127  41  113

 71  83  37  97

 103  31  137  17

 107  47  73  61

 

S = 372

 13  167  29  163

 89  103  73  107

 157  23  173  19

 113  79  97  83

 

S = 408

 5  193  37  173

 73  137  41  157

 167  31  199  11

 163  47  131  67

 

S = 420

 11  193  37  179

 79  137  53  151

 173  31  199  17

 157  59  131  73

 

S = 480

 11  211  59  199

 131  127  83  139

 181  41  229  29

 157  101  109  113

 

S = 492

7  233  23  229

 89  163  73  167

 223  17  239  13

 173  79  157  83

 

S = 504

 11  229  53  211

 101  163  59  181

 199  41  241  23

 193  71  151  89

 

S = 528

7  241  53  227

 113  167  67  181

 211  37  257  23

 197  83  151  97

 

S = 540

 7  257  37  239

 103  173  73  191

 233  31  263  13

 197  79  167  97

 

S = 552

13  233  83  223

 167  139  97  149

 193  53  263  43

 179  127  109  137

 

S = 560

 17  257  47  239

 113  173  83  191

 233  41  263  23

 197  89  167  107

 

S = 564

 11  241  83  229

 131  181  59  193

 199  53  271  41

 223  89  151  101

 

S = 576

 5  271  59  241

 151  149  97  179

 229  47  283  17

 191  109  137  139

 

S = 588

 13  263  61  251

 101  211  53  223

 233  43  281  31

 241  71  193  83

 

S = 600

 7  263  73  257

 137  193  71  199

 227  43  293  37

 229  101  163  107

 

Можно продолжить эту последовательность, составляя новые пандиагональные квадраты для следующих магических констант. Следует отметить, что не всякий потенциальный массив, содержащий не менее 8 комплементарных пар чисел, даёт пандиагональные квадраты 4-го порядка.

Все квадраты построены по программе, в которой реализован алгоритм, основанный на комплементарных парах чисел.

Понятно, что для каждой магической константы можно построить не один пандиагональный квадрат. Например, выполнив полностью программу построения пандиагональных квадратов для магической константы 240, я получила 24 не эквивалентных квадрата. Покажу эти квадраты:

 

1

 7  47  97  89

 103  83  13  41

 23  31  113  73

 107  79  17  37

 

 2

 7  47  97  89

 107  79  17  37

 23  31  113  73

 103  83  13  41

 

 3

 7  47  83  103

 89  97  13  41

 37  17  113  73

 107  79  31  23

 

 4

 7  47  83  103

 107  79  31  23

 37  17  113  73

 89  97  13  41

 

 5

 7  47  79  107

 89  97  17  37

 41  13  113  73

 103  83  31  23

 

 6

 7  47  79  107

 103  83  31  23

 41  13  113  73

 89  97  17  37

 

 7

 7  89  97  47

 103  41  13  83

 23  73  113  31

 107  37  17  79

 

 8

 7  89  97  47

 107  37  17  79

 23  73  113  31

 103  41  13  83

 

 9

 7  89  41  103

 47  97  13  83

 79  17  113  31

 107  37  73  23

 

 10

 7  89  41  103

 107  37  73  23

 79  17  113  31

 47  97  13  83

 

 11

 7  89  37  107

 47  97  17  79

 83  13  113  31

 103  41  73  23

 

 12

 7  89  37  107

 103  41  73  23

 83  13  113  31

 47  97  17  79

 

 13

 7  103  83  47

 89  41  13  97

 37  73  113  17

 107  23  31  79

 

 14

 7  103  83  47

 107  23  31  79

 37  73  113  17

 89  41  13  97

 

 15

 7  103  41  89

 47  83  13  97

 79  31  113  17

 107  23  73  37

 

 16

 7  103  41  89

 107  23  73  37

 79  31  113  17

 47  83  13  97

 

 17

 7  103  23  107

 47  83  31  79

 97  13  113  17

 89  41  73  37

 

 18

 7  103  23  107

 89  41  73  37

 97  13  113  17

 47  83  31  79

 

 19

 7  107  79  47

 89  37  17  97

 41  73  113  13

 103  23  31  83

 

 20

 7  107  79  47

 103  23  31  83

 41  73  113  13

 89  37  17  97

 

 21

 7  107  37  89

 47  79  17  97

 83  31  113  13

 103  23  73  41

 

 22

 7  107  37  89

 103  23  73  41

 83  31  113  13

 47  79  17  97

 

 23

 7  107  23  103

 47  79  31  83

 97  17  113  13

 89  37  73  41

 

 24

7  107  23  103

 89  37  73  41

 97  17  113  13

 47  79  31  83

 

Замечу, что квадраты, получающиеся друг из друга М-преобразованиями, я не считаю эквивалентными.

 

 

Веб-страницы:

 

[1] Общие формулы магических квадратов (часть I). http://www.natalimak1.narod.ru/formul.htm

[2] Последовательность магических констант наименьших пандиагональных квадратов. https://oeis.org/A179440

 

 

4 июня 2011 г.

г. Саратов

 

На главную страницу:

http://www.klassikpoez.narod.ru/index.htm

 

 

Контакты

natalimak1@yandex.ru

QIP 571-379-327

 

 



Hosted by uCoz