Н. Макарова
ПАНДИАГОНАЛЬНЫЕ КВАДРАТЫ 4-го ПОРЯДКА ИЗ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ
Эта статья о последовательности магических констант пандиагональных квадратов 4-го порядка из простых чисел. Она написана с целью более подробного освещения статьи для OEIS. Эту статью я только собираюсь отправить в Энциклопедию, поэтому ссылки пока нет.
Как известно, для построения пандиагонального квадрата 4-го порядка необходимо иметь массив, состоящий не менее чем из 8 комплементарных пар чисел.
Например, самый первый потенциальный массив из 12 комплементарных пар простых чисел:
7, 113, 11, 109, 13, 107, 17, 103, 19, 101, 23, 97, 31, 89, 37, 83, 41, 79, 47, 73, 53, 67, 59, 61
Сумма чисел в комплементарной паре называется константой комплементарности, обозначим её K.
Имеем для данного массива:
K = 7 + 113 = 11 + 109 = … 59 + 61 = 120.
Магическая константа пандиагонального квадрата 4-го порядка связана с константой комплементарности формулой: S = 2*K.
Из чисел приведённого массива простых чисел составляется наименьший пандиагональный квадрат 4-го порядка (рис. 1):
|
7 |
107 |
23 |
103 |
|
47 |
79 |
31 |
83 |
|
97 |
17 |
113 |
13 |
|
89 |
37 |
73 |
41 |
Рис. 1
Наименьший пандиагональный квадрат 4-го порядка с магической константой равной 240 был построен мной по формуле Бергхольта очень давно. Подробно об этом можно посмотреть в [1].
Этот квадрат внесён в OEIS, в статью о наименьших пандиагональных квадратах из простых чисел (см. [2]).
Все пандиагональные квадраты 4-го порядка являются совершенными квадратами.
Ещё одно замечательное свойство пандиагональных квадратов 4-го порядка: с помощью преобразования обратного преобразованию 3-х квадратов они превращаются в ассоциативные квадраты. Например, пандиагональный квадрат с рис. 1 превращается в такой ассоциативный квадрат (рис. 2):
|
7 |
107 |
103 |
23 |
|
47 |
79 |
83 |
31 |
|
89 |
37 |
41 |
73 |
|
97 |
17 |
13 |
113 |
Рис. 2
А теперь собственно о последовательности магических констант пандиагональных квадратов 4-го порядка:
240, 252, 288, 372, 408, 420, 480, 492, 504, 528, 540, 552, 560, 564, 576, 588, 600
Далее приведены пандиагональные квадраты для всех указанных в последовательности магических констант:
S = 240
7 107 23 103
47 79 31 83
97 17 113 13
89 37 73 41
S = 252
13 107 29 103
53 79 37 83
97 23 113 19
89 43 73 47
S = 288
7 127 41 113
71 83 37 97
103 31 137 17
107 47 73 61
S = 372
13 167 29 163
89 103 73 107
157 23 173 19
113 79 97 83
S = 408
5 193 37 173
73 137 41 157
167 31 199 11
163 47 131 67
S = 420
11 193 37 179
79 137 53 151
173 31 199 17
157 59 131 73
S = 480
11 211 59 199
131 127 83 139
181 41 229 29
157 101 109 113
S = 492
7 233 23 229
89 163 73 167
223 17 239 13
173 79 157 83
S = 504
11 229 53 211
101 163 59 181
199 41 241 23
193 71 151 89
S = 528
7 241 53 227
113 167 67 181
211 37 257 23
197 83 151 97
S = 540
7 257 37 239
103 173 73 191
233 31 263 13
197 79 167 97
S = 552
13 233 83 223
167 139 97 149
193 53 263 43
179 127 109 137
S = 560
17 257 47 239
113 173 83 191
233 41 263 23
197 89 167 107
S = 564
11 241 83 229
131 181 59 193
199 53 271 41
223 89 151 101
S = 576
5 271 59 241
151 149 97 179
229 47 283 17
191 109 137 139
S = 588
13 263 61 251
101 211 53 223
233 43 281 31
241 71 193 83
S = 600
7 263 73 257
137 193 71 199
227 43 293 37
229 101 163 107
Можно продолжить эту последовательность, составляя новые пандиагональные квадраты для следующих магических констант. Следует отметить, что не всякий потенциальный массив, содержащий не менее 8 комплементарных пар чисел, даёт пандиагональные квадраты 4-го порядка.
Все квадраты построены по программе, в которой реализован алгоритм, основанный на комплементарных парах чисел.
Понятно, что для каждой магической константы можно построить не один пандиагональный квадрат. Например, выполнив полностью программу построения пандиагональных квадратов для магической константы 240, я получила 24 не эквивалентных квадрата. Покажу эти квадраты:
1
7 47 97 89
103 83 13 41
23 31 113 73
107 79 17 37
2
7 47 97 89
107 79 17 37
23 31 113 73
103 83 13 41
3
7 47 83 103
89 97 13 41
37 17 113 73
107 79 31 23
4
7 47 83 103
107 79 31 23
37 17 113 73
89 97 13 41
5
7 47 79 107
89 97 17 37
41 13 113 73
103 83 31 23
6
7 47 79 107
103 83 31 23
41 13 113 73
89 97 17 37
7
7 89 97 47
103 41 13 83
23 73 113 31
107 37 17 79
8
7 89 97 47
107 37 17 79
23 73 113 31
103 41 13 83
9
7 89 41 103
47 97 13 83
79 17 113 31
107 37 73 23
10
7 89 41 103
107 37 73 23
79 17 113 31
47 97 13 83
11
7 89 37 107
47 97 17 79
83 13 113 31
103 41 73 23
12
7 89 37 107
103 41 73 23
83 13 113 31
47 97 17 79
13
7 103 83 47
89 41 13 97
37 73 113 17
107 23 31 79
14
7 103 83 47
107 23 31 79
37 73 113 17
89 41 13 97
15
7 103 41 89
47 83 13 97
79 31 113 17
107 23 73 37
16
7 103 41 89
107 23 73 37
79 31 113 17
47 83 13 97
17
7 103 23 107
47 83 31 79
97 13 113 17
89 41 73 37
18
7 103 23 107
89 41 73 37
97 13 113 17
47 83 31 79
19
7 107 79 47
89 37 17 97
41 73 113 13
103 23 31 83
20
7 107 79 47
103 23 31 83
41 73 113 13
89 37 17 97
21
7 107 37 89
47 79 17 97
83 31 113 13
103 23 73 41
22
7 107 37 89
103 23 73 41
83 31 113 13
47 79 17 97
23
7 107 23 103
47 79 31 83
97 17 113 13
89 37 73 41
24
7 107 23 103
89 37 73 41
97 17 113 13
47 79 31 83
Замечу, что квадраты, получающиеся друг из друга М-преобразованиями, я не считаю эквивалентными.
Веб-страницы:
[1] Общие формулы магических квадратов (часть I). http://www.natalimak1.narod.ru/formul.htm
[2] Последовательность магических констант наименьших пандиагональных квадратов. https://oeis.org/A179440
4 июня 2011 г.
г. Саратов
На главную страницу:
http://www.klassikpoez.narod.ru/index.htm
Контакты
QIP 571-379-327
