Н. Макарова

 

НЕТРАДИЦИОННЫЕ ПАНДИАГОНАЛЬНЫЕ КВАДРАТЫ

 

Часть I

 

 

Как известно, классические пандиагональные квадраты существуют для всех нечётных порядков больших 3 и для всех чётно-чётных порядков (n = 4k, k = 1, 2, 3, …). Несуществование классических пандиагональных квадратов порядков n = 4k + 2, k = 1, 2, 3, … доказано Россером в его замечательной статье [1]. В этой статье изложена теория построения пандиагональных квадратов как классических, так и нетрадиционных для различных классов магических квадратов, в зависимости от порядка. Многие алгоритмы из этой статьи будут показаны здесь.

Нетрадиционные пандиагональные квадраты существуют для всех порядков n > 3.

 

Поскольку материалов очень много, буду рассматривать пандиагональные квадраты каждого порядка отдельно. Это намного упростит изложение. Очень долго не начинала статью, потому что исследования до сих пор не закончены, но решила пока начать рассказывать о полученных результатах.

 

ПАНДИАГОНАЛЬНЫЕ КВАДРАТЫ 4-го ПОРЯДКА

 

Пандиагональные квадраты 4-го порядка являются совершенными квадратами. О совершенных квадратах мной написано несколько статей. Рассмотрен и метод построения совершенных квадратов. Но это касалось только классических квадратов.

Построение нетрадиционных пандиагональных квадратов я начала с формулы Бергхольта, ещё до знакомства со статьёй Россера. По этой формуле был построен наименьший пандиагональный квадрат 4-го порядка из простых чисел с магической константой 240 (рис. 1).

 

 

Рис. 1

 

О формуле Бергхольта рассказано в статье  “Общие формулы магических квдаратов (часть I)” . В этой же статье рассмотрен ряд других алгоритмов построения пандиагональных квадратов 4-го порядка. Понятно, что всё это я не буду здесь повторять.

 

В недавно написанной статье “Алгоритмы построения нетрадиционных ассоциативных квадратов” изложен алгоритм построения ассоциативных квадратов с использованием комплементарных пар чисел. А из ассоциативного квадрата 4-го порядка можно просто получить пандиагональный квадрат с помощью преобразования 3-х квадратов. Таким образом, это ещё один алгоритм построения пандиагональных квадратов 4-го порядка.

 

Наконец, изложу алгоритм построения пандиагонального квадрата 4-го порядка с использованием примитивного квадрата (по теории Россера).

Сначала приведу определение примитивного квадрата. Буду показывать определение на примере примитивного квадрата 4-го порядка. Изображённый на рис. 2 квадрат, составленный из произвольных натуральных чисел, будем называть примитивным, если

 

a_ij = a_1j + a_i1 – a₁₁,  i, j = 2, 3, 4.

 

 

Рис. 2

 

Кроме того, положим, что элементы в первой строке и в первом столбце примитивного квадрата расположены в порядке возрастания. Очевидно, что примитивный квадрат полностью определяется элементами первой строки и первого столбца.

Замечу, что примитивный квадрат это аналог обратимого квадрата (определение обратимого квадрата дано в статье о методе построения совершенных квадратов). И метод построения пандиагонального квадрата 4-го порядка с использованием примитивного квадрата полностью аналогичен методу построения совершенного классического квадрата 4-го порядка с использованием обратимого квадрата.

 

Итак, по алгоритму Россера сначала составляется примитивный квадрат, а из примитивного квадрата с помощью некоторого преобразования получается пандиагональный квадрат.

Для построения пандиагонального квадрата 4-го порядка годится не любой примитивный квадрат, а только такой примитивный квадрат, элементы которого удовлетворяют следующим условиям:

 

a₁₁ + a₁₄ = a₁₂ + a₁₃

a₁₁ + a₄₁ = a₂₁ + a₃₁

 

На рис. 3 вы видите пример примитивного квадрата из простых чисел.

 

 

Рис. 3

 

Конечно, для составления примитивного квадрата из данного массива чисел надо написать программу. Она очень простая и выполняется быстро, разумеется, если заданный массив не очень большого размера.

Далее надо применить к этому примитивному квадрату преобразование типа:

 

A(i,j) = B(ai + cj, bi + dj), i, j = 1, 2, 3, 4,

 

где A(i,j) – элементы примитивного квадрата, B(ai + cj, bi + dj) – элементы пандиагонального квадрата.

 

Я предпочитаю пользоваться матричной формой преобразования. Впрочем, и при построении классических совершенных квадратов пользуюсь матричными преобразованиями.

 Пусть исходный примитивный квадрат – это квадрат, изображённый на рис. 2. Тогда матрица полученного из него пандиагонального квадрата имеет вид (рис. 4):

 

 

Рис. 4

 

Применив это матричное преобразование к примитивному квадрату с рис. 3, получаем следующий пандиагональный квадрат (рис. 5):

 

 

Рис. 5

 

Это второй пандиагональный квадрат из простых чисел с магической константой 252.

 

Наименьший пандиагональный квадрат 4-го порядка начинает последовательность A179440 в OEIS, это последовательность магических констант наименьших пандиагональных квадратов из простых чисел. На сегодня в этой последовательности известны только 5 членов – константы наименьших пандиагональных квадратов порядков 4 - 8:

 

240, 395, 630, 1895, 2640.

 

При этом нет уверенности в том, что пандиагональные квадраты порядков 6 – 8 наименьшие.

 

Я составила последовательность из 50 пандиагональных квадратов 4-го порядка из простых чисел. Может быть, предложу её в OEIS. Третий квадрат в этой последовательности имеет магическую константу 288. Вы видите этот квадрат на рис. 6.

 

 

Рис. 6

 

Активный участник форума dxdy.ru М. Алексеев нашёл наименьший пандиагональный квадрат 4-го порядка из чисел Смита (рис. 7).

 

 

Рис. 7

 

Магическая константа квадрата равна 14560. Квадрат построен с использованием комплементарных пар. Второй пандиагональный квадрат из чисел Смита мне пока найти не удалось.

 

Не удалось построить пандиагональный квадрат 4-го порядка из последовательных простых чисел. Из последовательных чисел Смита, конечно, тоже не найден пандиагональный квадрат. Но из чисел Смита поиском никто ещё не занимался. А из последовательных простых чисел М. Алексеев проверил массив до 7,5 триллионов, но пандиагональный квадрат не нашёл.

Приглашаю читателей принять участие в решении этой задачи.

 

В заключение отмечу, что нетрадиционные пандиагональные квадраты 4-го порядка тоже являются совершенными, в этих квадратах выполняются все свойства совершенных магических квадратов.

 

ПАНДИАГОНАЛЬНЫЕ КВАДРАТЫ 5-го ПОРЯДКА

 

Пандиагональным квадратам 5-го порядка тоже уделено внимание в статье “Общие формулы магических квадратов (часть I)”.

В этой статье построен первый пандиагональный квадрат 5-го порядка из простых чисел с магической константой 853. Этот квадрат показан на рис. 7а.

 

 

Рис. 7а

 

Квадрат построен из пяти арифметических прогрессий с одинаковой разностью. Он, конечно, не является наименьшим.

 

Здесь я начну, пожалуй, с общей формулы пандиагональных квадратов 5-го порядка, которая получена мной ещё в 2007 г., когда я занималась построением классических пандиагональных квадратов 5-го порядка (см. статью “Пандиагональные квадраты пятого порядка”). Эта формула получена решением системы линейных уравнений, описывающей пандиагональный квадрат. Когда начала заниматься нетрадиционными пандиагональными квадратами 5-го порядка, вспомнила об этой формуле. Она, конечно, годится и для нетрадиционных квадратов. Формула получена в предположении, что для составления квадрата задан массив точно из 25 чисел. Понятно, что магическая константа строящегося квадрата в этом случае известна.

На рис. 8 изображён пандиагональный квадрат, в котором элементы a, b, c, d, e, x₁₈, x₁₉, x₂₀ свободные, остальные элементы зависимые.  То есть формула получается типа 8 + 17.

 

 

Рис. 8

 

Вот какая формула получена в результате решения системы линейных уравнений:

 

x₁ = x₂₀ - d + c

x₂ = S - x₁₉ - b - x₂₀ + d - x₁₈ - c

                   x₃ = b + x₁₈ - a

                   x₄ = x₁₉ - e + a

         x₅ = d + x₁₈ - a

                   x₆ = x₁₉ + b - e

         x₇ = e + x₂₀ - d

                   x₈ = S - x₁₉ - b - x₂₀ - x₁₈

x₉ = x₂₀ + a - d

                   x₁₀ = S - x₁₈ - c - x₁₉ - b - x₂₀ + e

x₁₁ = -a + x₁₈ + c

                   x₁₂ = d - e + x₁₉

         x₁₃ = c + x₁₉ - e

         x₁₄ = -d + b + x₂₀

                   x₁₅ = S - x₁₈ - c - x₁₉ - b - x₂₀ + a

x₁₆ = x₁₈ + e - a

                   x₁₇ = S - x₁₈ - x₁₉ - x₂₀ - c

        

Написав программу реализации этого алгоритма построения пандиагонального квадрата 5-го порядка на языке QBASIC, я попросила Стефана Тогнон (коллегу из Италии) переписать программу на C++. Он любезно согласился и сразу же выполнил мою просьбу. В результате получилась программа, очень быстро проверяющая заданный массив из 25 чисел на возможность составления из чисел этого массива пандиагонального квадрата 5-го порядка.

 

На форуме dxdy.ru М. Алексеев представил свою общую формулу пандиагонального квадрата 5-го порядка, которая тоже получена решением системы линейных уравнений. Формула Алексеева отличается от моей формулы, хотя имеет тот же тип 8 + 17.

 

Теперь изложу алгоритм Россера, основанный на построении примитивного квадрата. Для построения пандиагонального квадрата 5-го порядка (как и для любого порядка, являющегося простым числом) годится любой примитивный квадрат. Можно задать произвольно элементы первой строки и первого столбца примитивного квадрата,  вычислить остальные элементы по определению и примитивный квадрат готов. При составлении примитивного квадрата из простых чисел или из чисел Смита надо писать программу, потому что, задав элементы первой строки и первого столбца, которые будут принадлежать, например, множеству простых чисел, мы не всегда получим все остальные элементы примитивного квадрата тоже принадлежащие этому множеству.

На рис. 9 показан примитивный квадрат из простых чисел, из которого получен наименьший пандиагональный квадрат. Этот квадрат найден В. Павловским. Он первый разобрался с алгоритмом Россера и изложил его на форуме Портала ЕН.

 

 

Рис. 9

 

Если ввести числа, составляющие этот примитивный квадрат, в программу общей формулы, о которой рассказано выше, программа первым выдаёт такой пандиагональный квадрат (рис. 10):

 

 

Рис. 10

 

В алгоритме Россера к  примитивному квадрату 5-го порядка применяется следующее преобразование:

 

(1)                                           A(i,j) = B(2i - j,-i + 2j)

 

Как я уже говорила, мне удобнее пользоваться матричным преобразованием. Если исходный примитивный квадрат 5х5 имеет матрицу A(i,j) с индексацией в естественном порядке, то пандиагональный квадрат, полученный из этого примитивного квадрата, будет иметь следующую матрицу (рис. 11):

 

 

Рис. 11

 

Очевидно, что это матричное преобразование эквивалентно преобразованию Россера, записанному в виде формулы (1).

Применив матричное преобразование к примитивному квадрату с рис. 9, получим следующий пандиагональный квадрат (рис. 12):

 

 

Рис. 12

 

Легко видеть, что квадрат, полученный по алгоритму Россера, не эквивалентен квадрату, полученному по общей формуле пандиагонального квадрата 5-го порядка (см. рис. 10).

 

Отмечу, что при построении примитивного квадрата 5-го порядка мы имеем 9 свободных элементов (элементы первой строки и первого столбца примитивного квадрата). Если же заранее задать магическую константу будущего пандиагонального квадрата, то количество свободных элементов уменьшится на единицу. Однако, в отличие от общей формулы, показанной выше, примитивный квадрат можно составлять из чисел массива любого размера, разумеется, в разумных пределах. Иначе программа будет выполняться очень долго.

 

В. Павловский составил последовательность пандиагональных квадратов 5-го порядка из простых чисел, она показана на форуме dxdy.ru:

 

http://dxdy.ru/post343577.html#p343577

 

Им найден и наименьший пандиагональный квадрат 5-го порядка из чисел Смита. Покажу сначала примитивный квадрат (рис. 13):

 

 

Рис. 13

 

Применим к этому примитивному квадрату матричное преобразование и получим следующий пандиагональный квадрат (рис. 14):

 

 

Рис. 14

 

Магическая константа квадрат равна 8318.

 

Теперь рассмотрим алгоритмы построения идеальных квадратов 5-го порядка. Идеальный квадрат тоже пандиагональный, но ещё обладает свойством ассоциативности. Для построения идеального квадрата 5-го порядка необходимо иметь как минимум 12 комплементарных пар чисел с одинаковой суммой в паре. В центральной ячейке идеального квадрата будет стоять число равное половине константы ассоциативности (суммы чисел в комплементарной паре).

Формулы и схемы построения идеальных квадратов 5-го порядка тоже рассматривались в статье “Общие формулы магических квадратов (часть I)”.

А самый первый идеальный квадрат 5-го порядка из простых чисел был построен в статье “Пандиагональные квадраты из простых чисел”. Этот квадрат показан на рис. 14а.

 

 

Рис. 14а

 

Я разработала ещё один алгоритм. Он основан на общей формуле пандиагонального квадрата, которая показана выше. В этой формуле надо выразить свободные элементы, связанные ассоциативностью, один через другой. Это приведёт к сокращению количества свободных элементов до 4. Понятно, что это резко уменьшает время выполнения программы.

Нашла следующий набор из 26 комплементарных пар простых чисел с суммой в паре 1402:

 

3  29  41  83  101  113  173  179  239  251  293  311  353  383  389  419  431  449  461  491  521  563  593  641  659  683  719  743  761  809  839  881  911  941  953  971  983  1013  1019  1049  1091  1109  1151  1163  1223  1229  1289  1301  1319  1361  1373  1399

 

Если массив состоит из комплементарных пар с одинаковой суммой в паре, то он может иметь любой размер (в отличие от общей формулы, предполагающей массив, состоящий из 25 чисел), так как магическая константа для любых 12 пар из такого массива будет одна и та же.

 

Программа выдала квадрат мгновенно (рис. 15).

 

 

Рис. 15

 

Это наименьший идеальный квадрат 5-го порядка из простых чисел. Магическая константа квадрата равна 3505.

 

Из чисел Смита мне не удалось с ходу найти идеальный квадрат. Это сделал М. Алексеев. На рис. 16 вы видите наименьший идеальный квадрат из чисел Смита, найденный Алексеевым. Магическая константа квадрата равна 1700030.

 

 

 

Рис. 16

 

Для построения этого идеального квадрата найдено 556 комплементарных пар смитов с суммой в паре 680012. Эти пары показаны на форуме dxdy.ru.

Я попыталась найти второй идеальный квадрат из простых чисел, быстро не получилось. Проверила несколько десятков наборов комплементарных пар. Из смитов даже и не пыталась найти второй квадрат.

 

Ещё один алгоритм построения идеальных квадратов 5-го порядка можно получить из алгоритма Россера. Примитивный квадрат тоже можно строить с учётом свойства ассоциативности. Вот, например, примитивный квадрат, соответствующий идеальному квадрату с рис. 15 (рис. 17):

 

 

Рис. 17

 

Применив к нему преобразование Россера, получим следующий идеальный квадрат (рис. 18):

 

 

Рис. 18

 

Этот квадрат не эквивалентен квадрату с рис. 15.

 

 

ПАНДИАГОНАЛЬНЫЕ КВАДРАТЫ 6-го ПОРЯДКА

 

Магические квадраты 6-го порядка вообще особенные. Здесь я сделаю небольшое отступление от темы настоящей статьи и расскажу сначала об интересных находках, относящихся к классическим квадратам 6-го порядка.

Начну со знаменитой гипотезы Эйлера.

 

“Эйлер показал, что задача о n² офицеров (эквивалентная задаче о построении греко-латинского квадрата n-го порядка) всегда разрешима, если n – нечётное число или “чётно-чётное” (то есть делящееся на четыре) число. Тщательно проанализировав задачу, Эйлер пришёл к следующему выводу: “Я не сомневаюсь в том, что полный квадрат из 36 клеток построить невозможно; то же самое относится к случаю, если n = 10, n = 14 и вообще если n равно любому нечётно-чётному числу” (то  есть чётному числу, которое не делится на 4). Этот вывод известен как гипотеза Эйлера. Более строгая формулировка гипотезы звучит так: ни для какого положительного целого числа k не существует пары ортогональных латинских квадратов порядка n = 4k + 2”. [2]

 

Как оказалось, гипотеза Эйлера верна только для n = 6. Далее в [2] читаем:

 

“В 1901 году французский математик Гастон Тарри опубликовал доказательство гипотезы Эйлера для квадратов 6-го порядка. Тарри доказывал задачу вместе со своим братом, и сделали они это очень трудоёмким способом, просто выписав все возможные латинские квадраты шестого порядка и показав, что ни одна пара не может образовать греко-латинский квадрат. Это, безусловно, подтверждало гипотезу Эйлера. Некоторые математики даже выступили в печати с “доказательствами” того, что гипотеза Эйлера верна, но впоследствии во всех этих доказательствах обнаружились ошибки”.

 

И только в 1958 г. Э. Т. Паркер с коллегами нашёл греко-латинские квадраты порядков 10, 14, 18, 22 (и так далее). [2]

 

Так вот: для порядка 6 не работает метод латинских квадратов, основанный на построении греко-латинского квадрата из пары ортогональных латинских квадратов! Это единственный порядок, для которого не работает метод латинских квадратов. И уже в этом особенность порядка 6.

 

Однако совсем недавно, читая серию статей “Анатомия магических квадратов” [3], я обнаружила, что метод латинских квадратов всё же работает для магических квадратов порядка 6, но только не с классическими, а с обобщёнными латинскими квадратами. Покажу здесь этот интересный метод. На рис. 19 – 20 вы видите два ортогональных обобщённых латинских квадрата 6-го порядка (определение обобщённого латинского квадрата есть в моих статьях, посвящённых методу латинских квадратов) [3], стр. 175, Fig. 16.

 

 

Рис. 19

 

 

Рис. 20

 

Ну, а дальше всё, как в методе латинских квадратов (мои читатели хорошо знают этот метод). Готовый классический квадрат 6-го порядка изображён на рис. 21.

 

 

Рис. 21

 

Теперь запишем обратимый квадрат, соответствующий этому классическому квадрату (рис. 22):

 

 

Рис. 22

 

Идея сразу же становится понятной. И тут возникает ещё один интересный метод построения нетрадиционных квадратов 6-го порядка. Это метод подобный тому, который я нашла в [4]. Но автор этой книги строил свой метод на применении классического латинского квадрата и классического магического квадрата. Поэтому у него получились произвольные последовательности по 6 чисел (метод применялся для построения магического квадрата 6-го порядка из простых чисел). Классический магический квадрат не был получен с использованием классического латинского квадрата (и не мог быть получен таким способом!), поэтому и получились произвольные последовательности по 6 чисел.

 Если же использовать приведённый здесь обобщённый латинский квадрат (рис. 19) и соответствующий ему классический магический квадрат (рис. 21), то всё получается гораздо проще, в этом случае последовательности из 6 чисел представляют собой арифметические прогрессии с одинаковой разностью. Только первые члены этих прогрессий должны удовлетворять следующему условию:

 

a₁ + a₆ = a₂ + a₅ = a₃ + a₄

 

Покажу пример. Возьмём шесть арифметических прогрессий из произвольных натуральных чисел длины 6 с одинаковой разностью 5:

 

3 8 13 18 23 28

7 12 17 22 27 32

9 14 19 24 29 34

29 34 39 44 49 54

31 36 41 46 51 56

35 40 45 50 55 60

 

Очевидно, что условие для первых членов этих прогрессий выполняется.

Получилось то, что в [4] называется вспомогательной таблицей, а по Россеру – это примитивный квадрат. Теперь просто пронумеруем числа в этой вспомогательной таблице в естественном порядке и заполним матрицу 6х6 в соответствии с классическим квадратом с рис. 21 (числа в этом квадрате суть номера элементов во вспомогательной таблице). Получим следующий нетрадиционный магический квадрат 6-го порядка (рис. 23):

 

 

Рис. 23

 

Можно написать матричное преобразование, превращающее примитивный квадрат (вспомогательную таблицу) в магический квадрат.

 

На этом завершаю экскурс в теорию построения обычных магических квадратов 6-го порядка и перехожу к пандиагональным квадратам.

Как известно, классических пандиагональных квадратов 6-го порядка не существует. Это доказано в [1].

В статье Россер не приводит алгоритма построения нетрадиционных пандиагональных квадратов 6-го порядка. Поэтому все алгоритмы пришлось разрабатывать самой.

 

Начала я с описанного мной ранее идеального квадрата 6-го порядка, найденного в журнале “Наука и жизнь” (автор квадрата Журба). Построение этого идеального квадрата основано на применение обобщённых латинских квадратов и подробно описано в статье “Нетрадиционные магические квадраты”. Сейчас я посмотрела на этот идеальный квадрат с точки зрения теории Россера, то есть можно ли здесь применить алгоритм, основанный на применении примитивного квадрата. Оказалось, что можно.

 

На рис. 24 изображён примитивный квадрат, соответствующий идеальному квадрату Журбы.

 

 

 

Рис. 24

 

Теперь сочиняю матричное преобразование, превращающее этот примитивный квадрат в идеальный квадрат Журбы. Пусть исходный примитивный квадрат имеет матрицу A(i,j) с естественной индексацией. Тогда полученный из него идеальный квадрат будет иметь следующую матрицу (рис. 25):

 

 

Рис. 25

 

Применив это преобразование к примитивному квадрату с рис. 24, получаем идеальный квадрат Журбы (рис. 26):

 

 

Рис. 26

 

По этому алгоритму получается не только пандиагональный квадрат, но ещё и обладающий свойством ассоциативности, то есть идеальный квадрат. Естественно, сразу стало интересно выявить закономерность составления примитивного квадрата. Для этого составила по аналогии два других примитивных квадрата. Идеальные квадраты из них получились. Покажу эти два примера.

 

Пример 1. Примитивный квадрат изображён на рис. 27.

 

 

Рис. 27

 

Применяем к примитивному квадрату матричное преобразование (рис. 25) и получаем следующий идеальный квадрат (рис. 28):

 

 

Рис. 28

 

Пример 2. Примитивный квадрат изображён на рис. 29.

 

 

Рис. 29

 

Применив к этому примитивному квадрату то же самое матричное преобразование, получаем следующий идеальный квадрат (рис. 30):

 

 

Рис. 30

 

После составления этих двух примитивных квадратов мне стала ясна закономерность их составления.

 

Итак, раскрываю секрет составления примитивного квадрата 6х6, сначала на примере квадрата с рис. 24.

Берём самый простой обратимый квадрат 7х7 (рис.31):

 

 

Рис. 31

 

Кстати, из этого обратимого квадрата можно получить классический идеальный квадрат 7-го порядка, но об этом позже. Теперь выполняем очень простую операцию: вычёркиваем в квадрате на рис. 31 четвёртую строку и четвёртый столбец (они выделены белым цветом). Примитивный квадрат с рис. 24 готов!

Совершенно аналогично для примитивного квадрата, изображённого на рис. 29. Только для этого квадрата исходный примитивный квадрат 7х7 надо составить из семи арифметических прогрессий с одинаковой разностью, причём первые члены этих прогрессий тоже образуют арифметическую прогрессию  с другой разностью. Для наглядности покажу исходный примитивный квадрат 7х7 (рис. 32):

 

 

Рис. 32

 

И точно так же, как из самого простого обратимого квадрата, из этого примитивного квадрата можно получить идеальный квадрат 7-го порядка.

Вычеркнув в примитивном квадрате 7х7 с рис. 32 четвёртую строку и четвёртый столбец (они выделены белым цветом), получим примитивный квадрат 6х6, изображённый на рис. 29.

 

Таким образом, чтобы построить по данному алгоритму идеальный квадрат 6-го порядка, например, из простых чисел, надо найти семь арифметических прогрессий длины 7 с одинаковой разностью, первые члены которых тоже образуют арифметическую прогрессию. Заодно можно будет построить и идеальный квадрат 7-го порядка. Я не нашла таких прогрессий ни из простых чисел, ни из чисел Смита.

 

Тогда сделала квадрат из одной арифметической прогрессии длины 7 из простых чисел: 7 + 150n, n = 0, 1, …, 6. На рис. 33 показан примитивный квадрат 6х6, полученный из этой прогрессии.

 

 

Рис. 33

 

Здесь первые члены прогрессий образуют арифметическую прогрессию с разностью 0. Применив к этому примитивному квадрату матричное преобразование с рис. 25, получим следующий идеальный квадрат из простых чисел (рис. 34):

 

 

Рис. 34

 

Недостаток этого квадрата в том, что в нём есть одинаковые числа.

 

Общая схема примитивного квадрата 6х6 для идеального квадрата изображена на рис. 35.

 

 

Рис. 35

 

Здесь a, b, c произвольные натуральные числа. Как мы видели, разность прогрессии может равняться нулю, но не одновременно у обеих прогрессий (иначе квадрат выродится в тривиальный), то есть b и c не равны нулю одновременно.

 

***

 

Следующий алгоритм построения пандиагональных квадратов 6-го порядка основан на использовании преобразования 3-х квадратов. Сначала строим ассоциативный квадрат 6-го порядка, а затем с помощью преобразования 3-х квадратов получаем из него пандиагональный квадрат.

 

Для построения ассоциативного квадрата 6-го порядка необходимо как минимум 18 комплементарных пар чисел с одинаковой суммой в паре. Первый набор из 19 комплементарных пар простых чисел с суммой в паре 210 сразу же дал результат, ассоциативный квадрат 6-го порядка из чисел этого массива построился. При этом вообще программа выполняется долго, но с этим набором очень повезло: квадрат построился мгновенно.

Вот набор из 19 комплементарных пар простых чисел с суммой в паре 210:

 

11 13 17 19 29 31 37 43 47 53 59 61 71 73 79 83 97 101 103 199 197 193 191 181 179 173 167 163 157 151 149 139 137 131 127 113 109 107

 

На рис. 36 представлен первый ассоциативный квадрат 6-го порядка из (различных) простых чисел:

 

 

Рис. 36

 

Магическая константа этого квадрата 210*3 = 630. Это наименьший квадрат.

Применив к этому ассоциативному квадрату преобразование 3-х квадратов, получим такой пандиагональный квадрат (рис. 37):

 

 

Рис. 37

 

Таким образом, получен пандиагональный квадрат 6-го порядка из произвольных простых чисел с магической константой 630. Известный пандиагональный квадрат 6-го порядка составлен из последовательных простых чисел и имеет магическую константу 930.

Однако остаётся открытым вопрос о минимальности этого пандиагонального квадрата. Дело в том, что пандиагональный квадрат 6-го порядка не обязательно должен быть составлен из комплементарных пар чисел (известный квадрат из последовательных простых чисел как раз составлен не из комплементарных пар). Поэтому вполне возможно, что существует пандиагональный квадрат 6-го порядка из произвольных простых чисел с магической константой меньше 630. Напомню, что наименьший обычный магический квадрат из произвольных простых чисел имеет магическую константу 432.

 

Наименьший ассоциативный квадрат из чисел Смита найден М. Алексеевым. Смотрите этот квадрат на рис. 38.

 

 

Рис. 38

 

Квадрат построен из следующего набора, состоящего из 21 комплементарной пары смитов с суммой в паре 4760:

 

58  166  346  391  454  562  634  706  895  958  1111  1165  1255  1795  1858  1872  1921  2038  2155  2182  2326  2434  2578  2605  2722  2839  2888  2902  2965  3505  3595  3649  3802  3865  4054  4126  4198  4306  4369  4414  4594  4702

 

Магическая константа квадрата равна 14280.

Превращаем квадрат в пандиагональный преобразованием 3-х квадратов (рис. 39):

 

 

Рис. 39

 

То же самое замечание о минимальности этого пандиагонального квадрата, которое сделано выше для пандиагонального квадрата из простых чисел. Наименьший обычный магический квадрат 6-го порядка из смитов имеет магическую константу 2472.

 

Покажу ещё наименьшие идеальные квадраты 6-го порядка из простых чисел и из смитов, найденные М. Алексеевым.

На рис. 40 представлен наименьший идеальный квадрат из простых чисел.

 

 

Рис. 40

 

Этот квадрат построен из следующего набора из 24 комплементарных пар простых чисел с суммой в паре 330:

 

13  17  19  23  37  47  53  59  61  67  73  79  89  97  101  103  107  131  137  139  149  151  157  163  167  173  179  181  191  193  199  223  227  229  233  241  251  257  263  269  271  277  283  293  307  311  313  317

 

Магическая константа квадрата 330*3 = 990.

 

И наименьший идеальный квадрат из смитов (рис. 41):

 

 

Рис. 41

 

Этот квадрат построен из следующего набора из 68 комплементарных пар смитов с суммой в паре 26180:

 

166  274  346  382  562  913  958  985  1165  1642  1678  1858  1921  1966  2038  2218  2227  2326  2362  2515  2578  2614  3091  3442  3595  3622  3946  4126  4306  4414  4702  4918  4954  5269  5485  5602  5638  5674  5818  5854  5998  6115  6502  6934  7186  7195  7339  7438  7726  7762  7784  7834  8095  8158  8347  8518  8545  9031  9094  9535  9598  9634  9742  9895  10296  10664  11065  11686  14494  15115  15516  15884  16285  16438  16546  16582  16645  17086  17149  17635  17662  17833  18022  18085  18346  18396  18418  18454  18742  18841  18985  18994  19246  19678  20065  20182  20326  20362  20506  20542  20578  20695  20911  21226  21262  21478  21766  21874  22054  22234  22558  22585  22738  23089  23566  23602  23665  23818  23854  23953  23962  24142  24214  24259  24322  24502  24538  25015  25195  25222  25267  25618  25798  25834  25906  26014

 

Магическая константа квадрата равна 78540.

 

Интересно отметить, что преобразование 3-х квадратов можно применить и к идеальному квадрату, так как он является ассоциативным квадратом. В результате мы получим новый пандиагональный квадрат. Например, применим преобразование 3-х квадратов к идеальному квадрату с рис. 40. Получим такой пандиагональный квадрат (рис. 42).

 

 

Рис. 42

 

***

 

Теперь об общей формуле пандиагональных квадратов 6-го порядка. М. Алексеев выложил на форуме свои общие формулы в двух вариантах: с неизвестной магической константой и заданной магической константой. Первый вариант здесь:

 

http://dxdy.ru/post344080.html#p344080

 

Второй вариант в следующем посте.

 

Я хочу получить свою формулу. Будем считать, что пандиагональный квадрат составляется из массива, состоящего точно из 36 чисел. В этом случае магическая константа известна. На рис. 43 показано, как я расположила элементы в квадрате.

 

 

Рис. 43

 

Здесь a_i, i = 1, 2, 3, …, 12 - независимые элементы, x_k, k = 1, 2, 3, …, 24 – зависимые элементы. Но при решении системы уравнений появятся ещё независимые элементы, потому что система не является линейно-независимой. Предположительно независимых элементов будет 15. 

Это система уравнений, описывающая пандиагональный квадрат, изображённый на рис. 43. S – магическая константа квадрата.

 

a₁+x₁+a₂+x₂+a₃+x₃ = S

x₄+x₅+x₆+x₇+x₈+x₉ = S

x₁₀+a₄+x₁₁+a₅+x₁₂+a₆ = S

x₁₃+x₁₄+x₁₅+x₁₆+x₁₇+x₁₈ = S

a₇+x₁₉+a₈+x₂₀+a₉+x₂₁ = S

x₂₂+a₁₀+x₂₃+a₁₁+x₂₄+a₁₂ = S

a₁+x₄+x₁₀+x₁₃+a₇+x₂₂ = S

x₁+x₅+a₄+x₁₄+x₁₉+a₁₀ = S

a₂+x₆+x₁₁+x₁₅+a₈+x₂₃ = S

x₂+x₇+a₅+x₁₆+x₂₀+a₁₁ = S

a₃+x₈+x₁₂+x₁₇+a₉+x₂₄ = S

x₃+x₉+a₆+x₁₈+x₂₁+a₁₂ = S

a₁+x₅+x₁₁+x₁₆+a₉+a₁₂ = S

x₃+x₈+a₅+x₁₅+x₁₉+x₂₂ = S

a₁+a₁₀+a₈+x₁₆+x₁₂+x₉ = S

x₄+x₁+x₂₃+x₂₀+x₁₇+a₆ = S

x₁₀+x₅+a₂+a₁₁+a₉+x₁₈ = S

x₁₃+a₄+x₆+x₂+x₂₄+x₂₁ = S

a₇+x₁₄+x₁₁+x₇+a₃+a₁₂ = S

x₃+x₂₄+x₂₀+x₁₅+a₄+x₄ = S

x₉+a₃+a₁₁+a₈+x₁₄+x₁₀ = S

a₆+x₈+x₂+x₂₃+x₁₉+x₁₃ = S

x₁₈+x₁₂+x₇+a₂+a₁₀+a₇ = S

x₂₁+x₁₇+a₅+x₆+x₁+x₂₂ = S

 

Решить систему, к сожалению, не могу, у меня нет ни одного пакета математических программ. Попросила решить на форуме.

 

 

ПАНДИАГОНАЛЬНЫЕ КВАДРАТЫ 7-го ПОРЯДКА

 

Начну с краткой справки о построении классических идеальных квадратов 7-го порядка из обратимых квадратов. Этот вопрос рассматривался в статье “Построение идеальных квадратов нечётного порядка из обратимых квадратов”. Вот фрагмент этой статьи о построении идеального квадрата 7-го порядка:

 

“На рис. 7 показываю самый простой обратимый квадрат седьмого порядка, хотя можно бы и не показывать, потому что читателям, наверное, уже понятно, как составляются такие обратимые квадраты.

 

 

Рис. 7

 

Теперь примените к этому квадрату преобразование, матрицу которого вы видите на рис. 8, и идеальный квадрат готов! Вы видите его на рис. 9.

 

 

Рис. 8

 

 

Рис. 9”

 

Это небольшой экскурс в теорию построения классических идеальных квадратов.

 

Теперь об алгоритме Россера. Построение примитивного квадрата для порядка 7 не требует никаких дополнительных условий (так как порядок 7 является простым порядком). Можно произвольно задать элементы первой строки и первого столбца примитивного квадрата, остальные элементы вычислить по определению, и примитивный квадрат готов. На рис. 44 вы видите пример примитивного квадрата из произвольных натуральных чисел.

 

 

Рис. 44

 

Не совсем удачно выбраны числа в первой строке и в первом столбце примитивного квадрата в том смысле, что в квадрате есть одинаковые числа. Но это не мешает построить из полученного примитивного квадрата пандиагональный квадрат. Для этого используется следующее преобразование:

 

(2)                                           A(i,j) = B(3i + 2j,2i + j), i, j = 1, 2, …, 7, где

 

A(i,j) – элементы примитивного квадрата, B(k,m) – элементы пандиагонального квадрата. Индексы k, m берутся по модулю 7.

 

На рис. 45 показан пандиагональный квадрат, полученный из примитивного квадрата с рис. 44.

 

 

Рис. 45

 

На рис. 46 наглядно показано, как примитивный квадрат превращается в пандиагональный.

 

 

 

Рис. 46

 

В [1] доказано, что для порядка 7 наличие примитивного квадрата является достаточным условием для построения пандиагонального квадрата, но не является необходимым.

 

Наименьший пандиагональный квадрат 7-го порядка из простых чисел по алгоритму Россера был найден участником форума dxdy.ru С. Беляевым (ник svb). Этот квадрат показан на рис. 47. Его магическая константа равна 1895.

 

 

Рис. 47

 

Однако остаётся открытым вопрос о минимальности этого квадрата. Напомню, что наименьший обычный магический квадрат 7-го порядка из произвольных простых чисел имеет магическую константу 733.

 

Наименьший пандиагональный квадрат 7-го порядка из чисел Смита пока не найден. Вообще пандиагональный квадрат из смитов построен из семи арифметических прогрессий длины 7 с одинаковой разностью, но он имеет очень большую магическую константу и, скорее всего, не является наименьшим.

Квадрат из прогрессий можно построить просто на основе классического пандиагонального квадрата, что я и сделала ранее в какой-то статье. А сейчас покажу построение этого квадрата методом Россера. Собственно сами прогрессии сразу дают нам примитивный квадрат (рис. 48).

 

 

Рис. 48

 

(прогрессии найдены участником форума dxdy.ru Mathusic)

 

Применив к этому примитивному квадрату преобразование, заданное формулой (2), получим следующий пандиагональный квадрат из смитов (рис. 49):

 

 

Рис. 49

 

Замечу, что если бы первые члены этих прогрессий тоже образовывали арифметическую прогрессию, можно было бы построить из чисел таких прогрессий идеальный квадрат 7-го порядка. Но таких прогрессий я не нашла ни из простых чисел, ни из смитов. О построении идеальных квадратов 7-го порядка будет рассказано далее.

 

Интересно, что примитивный квадрат 7-го порядка можно получить путём достраивания любого примитивного квадрата 5-го порядка.

Пример. На рис. 50 показано, как исходный примитивный квадрат 5х5 из простых чисел достроен до примитивного квадрата 7х7, тоже состоящего из простых чисел. Программа достраивания очень простая и для простых чисел выполняется быстро. Однако достроить примитивный квадрат 5х5 из смитов мне не удалось так, чтобы примитивный квадрат 7х7 тоже состоял из смитов. Достроить произвольными натуральными числами можно любой примитивный квадрат 5х5.

 

 

Рис. 50

 

Применив к этому примитивному квадрату преобразование Россера, получим следующий пандиагональный квадрат 7-го порядка из простых чисел (рис. 51):

 

 

Рис. 51

 

Обратно: из любого примитивного квадрата 7х7 можно получить примитивный квадрат 5х5, вычеркнув в этом квадрате любые две строки и два столбца.

 

Пример. Возьмём примитивный квадрат из простых чисел (соответствует одному из пандиагональных квадратов С. Беляева), изображённый на рис. 52.

 

 

Рис. 52

 

Вычеркнем в этом примитивном квадрате строки и столбцы, выделенные белым цветом (выбраны совершенно произвольно). Получим следующий примитивный квадрат 5-го порядка (рис. 53):

 

 

Рис. 53

 

Применив к этому квадрату преобразование Россера, получим следующий пандиагональный квадрат 5-го порядка из простых чисел (рис. 54):

 

 

Рис. 54

 

Выше было показано, как из примитивного квадрата 7х7 получается примитивный квадрат 6х6 вычёркиванием одной строки и одного столбца в примитивном квадрате 7х7. Однако этот способ работает не для любого примитивного квадрата 7х7, точнее так: примитивный квадрат 6х6, конечно будет получен таким способом из любого примитивного квадрата 7х7, но из такого примитивного квадрата 6х6 не всегда можно получить пандиагональный квадрат.

 

***

 

Общая формула пандиагональных квадратов 7-го порядка получена мной в предположении, что квадрат составляется из массива, состоящего точно из 49 чисел. Формула получилась типа 24 + 25 (24 свободных элемента и 25 зависимых). На рис. 55 показано, как элементы расположены в квадрате.

 

 

Рис. 55

 

Первоначально предполагалось, что a_i, i = 1, 2, …, 21 – свободные элементы, x_k, k = 1,2, …, 28 – зависимые элементы. Но при решении системы уравнений некоторые свободные элементы оказались зависимыми, а некоторые зависимые элементы – свободными. Это видно из приведённого ниже решения системы.

Не буду здесь приводить систему уравнений, она составляется аналогично показанной выше системе уравнений для пандиагонального квадрата 6-го порядка; записываются суммы элементов в строках, столбцах и во всех диагоналях квадрата (главных и разломанных) и приравниваются магической константе квадрата - S. Всего получается 28 уравнений.

 

Вот какое решение системы получил участник форума Портала ЕН (ник 12d3):

 

{{x1 -> -a11 + a12 + a13 + a15 + a16 + a17 + a20 + a21 - a4 + a5 +  
    a6 + a8 + a9 - 2 S + x16 + x17 + x20 + x25 + x26 + x27,
  x2 -> a12 - a18 - a4 + a5 + a8 + a9 - x16,
  x3 -> a10 + a11 - a12 + a18 - a20 - a21 + a4 - a5 - a8 + S - x17 -
    x20 - x25 - x26 - x27,
  x4 -> a10 + a12 + a13 + a16 + a19 + a9 - x16 - x17 - x20 - x25 - x27,
  x5 -> a10 + a11 - a21 + a3 + a4 - a5 - x17,
  x6 -> a13 + a14 + a16 + a17 + a18 + a20 + a21 - a3 - S + x16 + x17,
  x7 -> -a10 - a11 - a16 - a18 + a21 - a4 + a5 + x17 + x20 + x25 + x27,
  x8 -> -a10 - a12 - a13 - a16 - a17 - a19 - a20 - a21 - a5 - a8 -
    a9 + 2 S - x20 - x26,
  x9 -> -a12 - a13 + a18 - a20 + a4 - a5 - a6 - a8 - a9 + S - x25,
  x10 -> -a11 + 2 a12 + 2 a13 + a16 + a17 - a18 + a19 + 2 a20 + a21 -
    a4 + 2 a5 + a6 + a8 + a9 - 2 S + x20 + x25 + x26,
  x11 -> -a11 + a13 + a16 + a17 + a19 + a20 + a21 - a3 + a5 - S +
    x16 + x17 + x20,
  x12 -> a17 + a20 + a21 - a4 + a5 + a8 - S + x17 + x20 + x25 + x26,
  x13 -> -a10 - a13 - a14 - a16 - 2 a17 - a18 - a20 - a21 + 2 S -
    x16 - x17 - x20 - x26,
  x14 -> a10 + a11 - a12 - a13 + a18 - a19 - a20 - a21 + a3 + a4 -
    2 a5 - a8 + S - x17 - x20 - x25,
  x15 -> -a15 - a16 - a17 - a18 + S - x16 - x17,
  x18 -> -a10 - a13 - a14 - a16 - a17 - a18 - a19 - a20 - a21 + a3 +
    S + x25 + x27,
  x19 -> a10 + a12 + a13 + a14 + a15 + a16 + a17 + a18 + a6 + a9 - S -
     x20 - x25,
  x21 -> -a12 - a15 - a3 - a6 - a9 + S - x27,
  x22 -> a12 + a13 + a14 + a17 + a20 + a21 - a4 + a5 + a6 + a9 - S,
  x23 -> a10 + a11 - a12 + a16 + a17 + a18 + a4 - a5 - a6 - x25 - x27,
  x24 -> -a10 - 2 a12 - 2 a13 - a14 - a15 - 2 a16 - 2 a17 - a19 -
    2 a20 - a21 + a4 - a5 - a6 - a8 - 2 a9 + 3 S - x26,
  x28 -> -a11 + 2 a12 + a13 + a15 + a16 - a18 + a19 + a20 - a4 + a5 +
    a6 + a8 + a9 - S,
  a1 -> a11 - 2 a12 - 2 a13 - a15 - a16 - a17 + a18 - a19 - a20 -
    a21 + a4 - 2 a5 - a6 - a8 - 2 a9 + 2 S,
  a2 -> -a10 - a11 + a12 + a13 - a18 + a19 + a20 + a21 - a3 - a4 + a5,
  a7 -> -a10 - a12 - 2 a13 - a14 - a16 - a17 - a19 - a20 - a21 - a5 -
    a6 - a9 + 2 S}}

Я проверила эту формулу на следующем классическом пандиагональном квадрате (рис. 56):

 

 

Рис. 56

(специально оставила выделенными свободные элементы).

 

Магическая константа S = 175. Всё получилось в соответствии с приведённой формулой.

Но программу по этой формуле не писала, вряд ли удастся выполнить её за реальное время. А тут кстати подоспел алгоритм Россера, который значительно эффективнее этой формулы. Если строить примитивный квадрат  для пандиагонального квадрата 7-го порядка с заранее заданной магической константой, то количество свободных элементов будет всего 12, то есть в два раза меньше, чем в общей формуле.

Однако у общей формулы есть преимущество перед алгоритмом Россера: по общей формуле можно построить все пандиагональные квадраты из заданного массива, состоящего из 49 чисел, а по алгоритму Россера этого сделать нельзя, можно найти только те пандиагональные квадраты, для которых существуют примитивные квадраты.

 

Перехожу к алгоритмам построения идеальных квадратов 7-го порядка.

Первый алгоритм аналогичен построению классического идеального квадрата из обратимого квадрата. Для этого алгоритма надо взять семь арифметических прогрессий длины 7 с одинаковой разностью, первые члены которых тоже образуют арифметическую прогрессию. Пример таких прогрессий был показан выше, продублирую его (рис. 57):

 

 

Рис. 57

 

Применим к этому примитивному квадрату преобразование, которое применяется к обратимому квадрату для построения классического идеального квадрата (см. фрагмент статьи “Построение идеальных квадратов нечётного порядка из обратимых квадратов”). В результате получим такой идеальный квадрат (рис. 58):

 

 

Рис. 58

 

Можно поступить по-другому. Исходным является тоже примитивный квадрат, составленный из семи арифметических прогрессий с одинаковой разностью, первые члены которых тоже образуют арифметическую прогрессию. Возьмём другие семь прогрессий (рис. 59).

 

 

Рис. 59

 

Теперь надо пронумеровать числа этого примитивного квадрата в естественном порядке, начиная с левой верхней ячейки, и заполнить матрицу 7х7 в соответствии с числами классического идеального квадрата, изображённого на рис. 60 (числа этого квадрата суть номера элементов примитивного квадрата).

 

 

Рис. 60

 

На рис. 61 вы видите полученный идеальный квадрат.

 

 

Рис. 61

 

Следующий алгоритм основан на использовании комплементарных пар чисел. Для построения идеального квадрата 7-го порядка необходимо как минимум 24 комплементарных пары чисел с одинаковой суммой в паре. В центральной ячейке квадрата будет стоять число равное половине константы ассоциативности квадрата (суммы чисел в паре).

Для реализации этого алгоритма есть два пути. Первый – преобразовать общую формулу пандиагонального квадрата 7-го порядка, приведённую выше, с учётом ассоциативности, то есть выразить свободные элементы, связанные ассоциативностью, один через другой. Это приведёт к сокращению количества свободных элементов вдвое, формула получится типа 12 + 37.

Второй путь – составление примитивного квадрата с учётом ассоциативности с последующим применением к примитивному квадрату преобразования Россера. Этот путь намного эффективнее, так как количество свободных элементов удаётся свести к 6. Программа в этом случае выполняется намного быстрее.

 

Я проделала интересный эксперимент. Написала программу составления примитивного квадрата из комплементарных пар чисел с учётом ассоциативности. Сначала пыталась построить по этой программе наименьший идеальный квадрат 7-го порядка из простых чисел. Это у меня пока не получилось, проверила много наборов комплементарных пар простых чисел, но безрезультатно. Тогда я ввела в программу вместо массива простых чисел массив первых 300 натуральных чисел. Далее стала последовательно вводить в программу число в центральной ячейке будущего идеального квадрата; начала, конечно, с числа 25. Сразу же получила примитивный квадрат (см. рис. 62), применив к которому преобразование Россера, получила классический идеальный квадрат 7-го порядка (рис. 63).

 

 

Рис. 62

 

Отмечу, что в этом примитивном квадрате (как и во всех примитивных квадратах, получаемых данным методом) элементы первой строки не следуют в порядке возрастания, эта особенность отличает получаемые данным методом примитивные квадраты от примитивных квадратов Россера.

Тем не менее, применив к этому примитивному квадрату преобразование Россера, заданное формулой (2), мы получаем классический идеальный квадрат (рис. 63):

 

 

Рис. 63

 

Для этого квадрата число в центральной ячейке 25, количество комплементарных пар с суммой в паре 50 равно 24.

Далее ввожу в качестве центрального элемента будущего идеального квадрата число 26 и получаю примитивный квадрат (рис. 64), из которого тем же преобразованием Россера получается уже нетрадиционный идеальный квадрат (рис. 65). Здесь центральное число 26, количество коплементарных пар с суммой в паре 52 равно 25.

 

 

Рис. 64