Н. Макарова

 

НЕТРАДИЦИОННЫЕ ПАНДИАГОНАЛЬНЫЕ КВАДРАТЫ

 

Часть IV

 

МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ПАНДИАГОНАЛЬНЫХ КВАДРАТОВ 9-го ПОРЯДКА

 

 

Так же, как в предыдущей части статьи, представлю сначала некоторые методы построения классических пандиагональных квадратов 9-го порядка. Этот порядок оказался самым сложным на пути исследования классических пандиагональных квадратов. Я писала о квадратах данного порядка очень много, особенно о методах построения идеальных квадратов. Интересно, что и в статье Россера [1] приведено построение только классического пандиагонального квадрата данного порядка и ничего не сказано о нетрадиционных пандиагональных квадратах. Так что алгоритмы построения нетрадиционных пандиагональных квадратов пришлось разрабатывать самостоятельно.

Из всех известных методов построения классических пандиагональных квадратов я покажу только три самых важных, на мой взгляд, в том числе и метод из [1].

 

МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ КЛАССИЧЕСКИХ ПАНДИАГОНАЛЬНЫХ КВАДРАТОВ 9-го ПОРЯДКА

 

Метод № 1. Это метод латинских квадратов. Моим читателям хорошо известен этот метод. Пример взят из сборника статей “Анатомия магических квадратов” [2]. На рис. 1 вы видите иллюстрацию из этого сборника, на которой изображены два ортогональных латинских квадрата 9-го порядка.

 

                       

 

Рис. 1

 

Интересно отметить, что эти латинские квадраты не диагональные, в обоих квадратах по одной диагонали числа не различные, однако сумма чисел в этих диагоналях равна 36 – магической константе латинских квадратов. Второй латинский квадрат получается из первого отражением относительно вертикальной оси симметрии. Из этих ортогональных латинских квадратов можно построить два пандиагональных магических квадрата 9-го порядка; на картинке показаны две формулы для построения. Отметим, что квадраты получаются не только пандиагональные, но и ассоциативные, то есть идеальные. На рис. 2 показан один из двух квадратов, он построен по первой формуле: A + 9B.

 

 

Рис. 2

 

Метод № 2. Этот метод подробно описан в моей статье [3]. Поэтому здесь изложу метод кратко. Сначала строится ассоциативный квадрат 9-го порядка методом составных квадратов, а затем в полученном квадрате выполняется перестановка строк (или столбцов) определённым образом (с шагом 2). На рис. 3 вы видите ассоциативный квадрат, построенный методом составных квадратов.

 

 

Рис. 3

 

Теперь выполним в этом квадрате перестановку столбцов с шагом 2 (подробно см. в указанной статье) и получим следующий идеальный квадрат (рис. 4):

 

 

Рис. 4

 

Если переставить в квадрате с рис. 3 строки по такой же схеме, получится такой идеальный квадрат (рис. 5):

 

 

Рис. 5

 

Построенные данным методом квадраты тоже являются идеальными.

 

Метод №3. Это метод из статьи Россера [1] (теорема 5.5, случай 3). Построенный этим методом квадрат является пандиагональным. Построение основано на использовании примитивного квадрата. Метод работает для любого порядка n = 3m, m ≥ 3 и нечётно.

На рис. 6 показан примитивный квадрат 9-го порядка из статьи.

 

 

Рис. 6

 

К этому примитивному квадрату применяется преобразование, задаваемое следующей формулой:

 

(1)                                          A(i,j) = B(i + j, 2i + 3j)

 

где A(i,j) – элементы примитивного квадрата, B(i + j, 2i + 3j) - элементы пандиагонального квадрата. Индексы вычисляются по модулю 9.

 

В результате получаем такой пандиагональный квадрат (рис. 7):

 

 

Рис. 7

 

Здесь интересно отметить, как получается примитивный квадрат (рис. 6) из самого простого обратимого квадрата. Вспомните, как получается примитивный квадрат из статьи Россера для построения классического пандиагонального квадрата 8-го порядка: к самому простому обратимому квадрату применяется преобразование 3-х квадратов, которое равносильно перестановке столбцов с последующей перестановкой строк по одной и той же схеме. То же самое мы имеем для примитивного квадрата 9-го порядка. Покажу это подробно. На рис. 8 изображён самый простой обратимый квадрат 9-го порядка.

 

 

Рис. 8

 

Схема перестановки столбцов и строк такая: перестановка выполняется в тройках, в первой тройке столбцов ничего не меняем, во второй тройке  столбцы записываются в таком порядке: 3-ий, 1-ый, 2-ой; в третьей тройке столбцы записываются в таком порядке: 2-ой, 3-ий, 1-ый. По такой же схеме затем переставляются строки. Результат выполнения первого этапа – перестановки столбцов в обратимом квадрате с рис. 8 – показан на рис. 9.

 

 

Рис. 9

 

Теперь в полученном квадрате выполним перестановку строк по такой же схеме. В результате получим следующий квадрат (рис. 10):

 

 

Рис. 10

 

И мы получили примитивный квадрат, построенный в статье Россера (см. рис. 6).

 

В заключение ещё одно замечание. Преобразование, заданное формулой (1), я заменяю равносильным матричным преобразованием (см. рис. 11). Мне удобнее пользоваться таким преобразованием. Преобразование применяется к примитивному квадрату, имеющему матрицу A(i,j) (индексация в естественном порядке). Показанная на рис. 11 матрица есть матрица получаемого пандиагонального квадрата.

 

 

 

Рис. 11

 

На этом завершаю рассказ о методах построения классических пандиагональных квадратов. Есть ещё другие методы, например, разработанный мной метод качелей; его можно посмотреть в моих ранних статьях.

 

МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ НЕТРАДИЦИОННЫХ ПАНДИАГОНАЛЬНЫХ КВАДРАТОВ 9-го ПОРЯДКА

 

Методы построения пандиагональных квадратов из произвольных натуральных чисел довольно простые. Вот один из них.

 

Метод № 1. Возьмём 9 арифметических прогрессий длины 9 из произвольных натуральных чисел с одинаковой разностью (любой), первые члены которых образуют арифметическую прогрессию. Запишем эти прогрессии в форме примитивного квадрата (рис. 12); пронумеруем числа в этом квадрате в естественном порядке и заполним матрицу 9х9 на основе какого-нибудь классического идеального квадрата, например, квадрата с рис. 2 (числа в классическом квадрате суть порядковые номера чисел в примитивном квадрате). И идеальный квадрат 9-го порядка готов (рис. 14).

 

 

Рис. 12. Примитивный квадрат из арифметических прогрессий

 

Для удобства заполнения  вставляю в примитивный квадрат нумерацию его чисел (рис. 13).

 

 

Рис. 13. Примитивный квадрат с пронумерованными числами

 

Заполняем матрицу 9х9 числами из примитивного квадрата в соответствии с классическим идеальным квадратом с рис. 2. Готовый идеальный квадрат 9-го порядка (рис. 14):

 

 

Рис. 14. Нетрадиционный идеальный квадрат из произвольных натуральных чисел

 

Обозначим: a – первый член первой арифметической прогрессии, b – разность прогрессий, c – разность прогрессии, образуемой первыми членами прогрессий. Тогда магическая константа S идеального квадрата, составленного из чисел этих арифметических прогрессий, выразится следующей формулой:

 

S = 9[a + 4(b + c)]

 

В приведённом примере имеем: a = 4, b = 5, c = 43, S = 9[4 + 4(5 + 43)] = 1764.

 

Точно так же можно построить пандиагональный (не идеальный) квадрат из чисел арифметических прогрессий, удовлетворяющих указанным свойствам, заполняя матрицу в соответствии с каким-нибудь классическим пандиагональным квадратом. Для примера возьмём классический квадрат из статьи Россера (рис. 7) и те же самые арифметические прогрессии. Готовый пандиагональный квадрат вы видите на рис. 15.

 

 

Рис. 15. Нетрадиционный пандиагональный квадрат из произвольных натуральных чисел

 

Таким образом, достаточно найти 9 арифметических прогрессий указанного вида из простых чисел или из смитов, чтобы построить пандиагональные и идеальные квадраты 9-го порядка. Однако найти такие арифметические прогрессии очень непросто. Теоретически из простых чисел такие прогрессии точно существуют. Относительно прогрессий из смитов ничего не могу сказать, но предполагаю, что из смитов тоже существуют.

Можно привести пример пандиагонального квадрата, построенного из чисел одной арифметической прогрессии длины 9 из простых чисел: a₁=199, a₂=409, a₃=619, a₄=829, a₅=1039, a₆=1249, a₇=1459, a₈=1669, a₉=1879.

Этот квадрат вы видите на рис. 15а. Конечно, в квадрате много одинаковых чисел.

 

 

Рис. 15а. Нетрадиционный пандиагональный квадрат из простых чисел (с повторениями)

 

А на рис. 15б показан идеальный квадрат, построенный из чисел этих же прогрессий на основе классического идеального квадрата, изображённого на рис. 22.

 

 

Рис. 15б. Нетрадиционный идеальный квадрат из простых чисел (с повторениями)

 

Метод № 2. В этом методе тоже строится примитивный квадрат, но по-другому: из 9 одинаковых примитивных квадратов 3х3. Конечно, в этом случае пандиагональный квадрат 9-го порядка получается с повторяющимися числами, но всё равно это нетрадиционный пандиагональный квадрат. В качестве примитивного квадрата 3х3 возьмём квадрат из простых чисел, изображённый на рис. 16.

 

 

Рис. 16

 

Примитивный квадрат 9х9, составленный из 9 таких примитивных квадратов 3х3, показан на рис. 17.

 

 

Рис. 17. Примитивный квадрат

 

Пронумеруем теперь числа этого примитивного квадрата и заполним матрицу 9х9 в соответствии с классическим пандиагональным квадратом из статьи Россера (рис. 7). В результате получим следующий пандиагональный квадрат 9-го порядка из простых чисел (рис. 18):

 

 

Рис. 18. Нетрадиционный пандиагональный квадрат из простых чисел с повторениями

 

Можно было сделать так: преобразовать примитивный квадрат с рис. 17, переставив в нём строки и столбцы, как показано в методе построения классического пандиагонального квадрата из статьи Россера (преобразование обратимого квадрата), а затем применить к преобразованному примитивному квадрату матричное преобразование, показанное на рис. 11. Пандиагональный квадрат 9-го порядка получится такой же, как на рис. 18.

Покажу преобразованный примитивный квадрат (рис. 19):

 

 

Рис. 19. Примитивный квадрат (преобразованный)

 

Фактически этот метод есть не что иное, как метод Россера (метод № 3), но только для нетрадиционного пандиагонального квадрата; соответственно примитивный квадрат, используемый для построения, совсем другой.

Единственный недостаток полученного нетрадиционного пандиагонального квадрата в том, что в нём есть одинаковые числа. Но иногда квадраты с повторяющимися числами очень полезны для анализа. Мне, например, очень помог один нетрадиционный идеальный квадрат 8-го порядка с повторяющимися числами, в нём очень прозрачны некоторые закономерности.

 

Мне стало любопытно, только ли по классическому квадрату Россера можно получить пандиагональный квадрат из примитивного квадрата, изображённого на рис. 17. Я взяла другой классический пандиагональный квадрат 9-го порядка (рис. 20) и построила квадрат в соответствии с этим квадратом из этого же примитивного квадрата. Пандиагональный квадрат тоже получился (см. рис. 21).

 

 

Рис. 20. Классический пандиагональный квадрат

 

 

Рис. 21. Нетрадиционный пандиагональный квадрат из простых чисел с повторениями

 

Структура этого пандиагонального квадрата интереснее, чем структура квадрата, полученного по классическому квадрату Россера (рис. 18), а именно: в квадрате на рис. 21 в каждой строке, каждом столбце и в главных диагоналях расположен один и тот же набор чисел – все 9 чисел из исходного примитивного квадрата 3х3. Внимательный читатель увидит в этом квадрате и другие закономерности, которые очень прозрачны.

 

Ещё один пример. Теперь возьмём для построения классический идеальный квадрат 9-го порядка, изображённый на рис. 22, и в соответствии с этим квадратом построим нетрадиционный пандиагональный квадрат из того же примитивного квадрата с рис. 17.

 

 

Рис. 22. Классический идеальный квадрат

 

 

Рис. 23. Нетрадиционный пандиагональный квадрат

 

Квадрат, конечно, не получился идеальным, свойством ассоциативности он не обладает. Но есть свойство, весьма родственное ассоциативности: во всех парах ячеек, симметрично расположенных относительно центра квадрата, находятся только такие пары чисел: 5 – 31, 13 – 23, 53 – 71, 59 – 67, 107 – 107. Если расположить весь набор чисел в порядке возрастания:

 

5, 13, 23, 31, 53, 59, 67, 71, 107

 

станет очевидно, как упорядоченно образованы эти пары чисел.

 

Следовательно, делаем вывод: из примитивного квадрата, составленного из произвольных натуральных чисел специальным образом (об условиях, которым должен удовлетворять примитивный квадрат, будет сказано ниже), можно получить различные пандиагональные квадраты, а не только пандиагональный квадрат, получаемый преобразованием Россера.

 

Метод № 3. Этот метод основан на методе № 2 для классических идеальных квадратов. Интересно, что на первом этапе здесь строится ассоциативный нетрадиционный квадрат 9-го порядка методом составных квадратов. Я ещё не использовала в своих статьях этот метод для нетрадиционных магических квадратов. Итак, строим нетрадиционный ассоциативный квадрат 9-го порядка методом составных квадратов, в качестве базового квадрата, конечно, надо взять один из вариантов классического квадрата 3-го порядка (рис. 24), а в качестве основного возьмём квадрат 3-го порядка из простых чисел (рис. 25).

 

 

Рис. 24

 

 

Рис. 25

 

На рис. 26 вы видите ассоциативный квадрат 9-го порядка, построенный с помощью этих квадратов методом составных квадратов.

 

 

Рис. 26. Нетрадиционный ассоциативный квадрат

 

В этом квадрате сразу два недостатка: не все числа простые и есть одинаковые числа. Теперь переставим в этом ассоциативном квадрате столбцы по определённой схеме (подробно в [3]) и получим нетрадиционный идеальный квадрат 9-го порядка (рис. 27).

 

 

Рис. 27. Нетрадиционный идеальный квадрат

 

Можно переставить в ассоциативном квадрате с рис. 26 строки по такой же схеме, получится новый идеальный квадрат.

 

Ещё один пример. Основной и базовый квадраты те же, но в формуле составного квадрата я прибавляла числа вида 210k, а не вида 9k, как это положено делать в методе составных классических квадратов и как это делалось в первом примере.

На рис. 28 показан ассоциативный квадрат, а на рис. 29 полученный из него перестановкой столбцов идеальный квадрат. В этом квадрате уже больше половины простых чисел. Важно в данном примере – новая формула составного квадрата. В случае нетрадиционных квадратов можно прибавлять числа вида mk, m – любое натуральное число, k = 1, 2, 3, …, 8.

 

 

Рис. 28. Нетрадиционный ассоциативный квадрат

 

 

Рис. 29. Нетрадиционный идеальный квадрат

 

В этом идеальном квадрате нет одинаковых чисел, и только 32 числа не являются простыми. Первое приближение к искомому идеальному квадрату из простых чисел. Магическая константа квадрата равна 8091.

 

Таким образом, чтобы построить идеальный квадрат 9-го порядка из простых чисел (из смитов) данным методом достаточно найти магический квадрат 3-го порядка (a_ij) из простых чисел (из смитов) и такое число m, чтобы все числа a_ij + mk (k = 1, 2, 3, …, 8) тоже были простыми числами (смитами). Однако решить эту задачу непросто.

 

Метод № 4. Итак, мы установили, что методом Россера для построения классического пандиагонального квадрата 9-го порядка с применением примитивного квадрата можно построить и нетрадиционные пандиагональные квадраты. Теперь надо определить, какими же могут быть примитивные квадраты, чтобы можно было применить метод Россера.

 

Отмечу ещё раз, что при построении нетрадиционных пандиагональных квадратов методом Россера возможны два способа: 1) построить примитивный квадрат, пронумеровать его числа и заполнить матрицу 9х9 в соответствии: а) с классическим пандиагональным квадратом Россера, изображённым на рис. 7; б) с любым другим классическим пандиагональным квадратом; 2) построить примитивный квадрат (тот же самый, что в способе 1), преобразовать его (перестановка строк и столбцов по определённой схеме), применить к полученному квадрату матричное преобразование, показанное на рис. 11. Эти способы равносильны и показаны выше. В дальнейшем я буду пользоваться способом 1а.

 

Выше показаны уже два примера применения метода Россера. В первом примере примитивный квадрат построен из 9 арифметических прогрессий длины 9 с одинаковой разностью таких, что их первые члены образуют арифметическую прогрессию (см. рис. 12). Во втором примере примитивный квадрат построен из 9 одинаковых примитивных квадратов 3х3 из простых чисел (см. рис. 17).

Чтобы понять “анатомию” примитивного квадрата, я разложила классический пандиагональный квадрат Россера на два ортогональных латинских квадрата. На рис. 30 вы видите первый из двух ортогональных латинских квадратов, записанный в символьном виде.

 

 

Рис. 30

 

Если внимательно посмотреть на этот латинский квадрат, легко увидеть: для того чтобы построенный с его помощью квадрат был пандиагональным, достаточно выполнение следующего условия:

 

(2)              a₁ + a₆ + a₈ = a₂ + a₄ + a₉ = a₃ + a₅ + a₇

 

Таким образом, можно взять 9 арифметических прогрессий длины 9 с одинаковой разностью, первые члены которых a_i удовлетворяют приведённому условию (2). И вот такой пример примитивного квадрата (рис. 31):

 

 

Рис. 31. Примитивный квадрат

 

Применив к этому примитивному квадрату метод Россера, получим следующий пандиагональный квадрат (рис. 32):

 

 

Рис. 32. Нетрадиционный пандиагональный квадрат

 

Ещё один аналогичный пример (я строила много квадратов данным методом, прежде чем поняла закономерности примитивного квадрата; не хочется, чтобы примеры пропали). На рис. 33 – 34 показаны примитивный квадрат и полученный из него пандиагональный квадрат.

 

 

Рис. 33. Примитивный квадрат

 

 

Рис. 34. Нетрадиционный пандиагональный квадрат

 

В следующем примере примитивный квадрат строится аналогично, но как бы повёрнут на 90 градусов, то есть первые члены арифметических прогрессий расположены не в первом столбце, а в первой строке примитивного квадрата, при этом они удовлетворяют тому же условию (2). На рис. 35 вы видите примитивный квадрат, а на рис. 36 полученный из него методом Россера пандиагональный квадрат.

 

 

Рис. 35. Примитивный квадрат

 

 

Рис. 36. Нетрадиционный пандиагональный квадрат

 

Наконец, самый интересный пример. Оказывается можно взять наборы из 9 чисел, удовлетворяющих условию (2), и в первой строке, и в первом столбце примитивного квадрата. В примитивном квадрате, показанном на рис. 37, я взяла в первой строке такой же набор чисел, как в квадрате на рис. 33, а в первом столбце взяла другой набор чисел, удовлетворяющих условию (2). Немного неудачно выбрала наборы чисел, в квадрате получились одинаковые числа. Но это не столь важно сейчас, главное показать, что метод работает.

 

 

Рис. 37. Примитивный квадрат