Н. Макарова

 

НЕТРАДИЦИОННЫЕ ПАНДИАГОНАЛЬНЫЕ КВАДРАТЫ

 

Часть VIII

 

 

В этой статье цикла рассматриваются методы построения пандиагональных квадратов 15 – 16 порядков. Для этих порядков существуют и классические, и нетрадиционные пандиагональные квадраты, а также идеальные квадраты. Для порядка 16 существуют ещё совершенные квадраты, как классические, так и нетрадиционные.

 

МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ПАНДИАГОНАЛЬНЫХ КВАДРАТОВ 15-го ПОРЯДКА

 

 

Порядок 15, как и порядок 9, очень сложный, в том смысле, что построение классических пандиагональных квадратов данных порядков не тривиальная задача, как например, для порядков, являющихся простым числом. Мне так и не удавалось построить классический пандиагональный квадрат 15-го порядка без помощи Сети. Только найдя в Сети ряд примеров, я смогла разработать свой метод качелей.

Приведу здесь несколько интересных, на мой взгляд, методов построения классических пандиагональных квадратов 15-го порядка. Первый пример взят из сборника статей «Анатомия магических квадратов» ([1]). Это метод латинских квадратов, но латинские квадраты ортогональной пары не классические, а обобщённые. Оба латинских квадрата обладают свойствами ассоциативности и пандиагональности, необходимыми для построения идеального магического квадрата. Очевидно, что второй латинский квадрат получается из первого отражением относительно главной диагонали. Смотрите иллюстрацию.

 

 

На иллюстрации вы видите две формулы для построения идеального магического квадрата. На рис. 1 показан идеальный квадрат, построенный по формуле: A + 15B + 1. Единица добавлена, чтобы идеальный квадрат был записан в традиционной форме (заполнен числами от 1 до 225).

 

 

Рис. 1

 

В квадрате оригинальная начальная цепочка, она вся расположена в левой трети квадрата.

 

Далее покажу пример пандиагонального квадрата, найденный мной в Сети по ссылке:

http://www.magic-squares.de/construction/pandiagonal/odd-3k.html 

Автор квадрата Хендрикс. По этой ссылке я нашла много пандиагональных квадратов (см. [2]). Один из этих квадратов вы видите на рис. 2.

 

 

 

Рис. 2

 

В этом квадрате классическая начальная цепочка “ход конём”.

Я разложила этот пандиагональный квадрат на два ортогональных латинских квадрата, чтобы посмотреть на эту ортогональную пару. На рис. 3 показан первый латинский квадрат ортогональной пары. Этот латинский квадрат классический, но… не диагональный! На одной главной диагонали числа повторяются, однако сумма чисел этой диагонали равна магической константе латинского квадрата – 105.

 

 

Рис. 3

 

Интересно строится этот латинский квадрат – методом циклического сдвига с постоянным шагом. Второй латинский квадрат ортогональной пары получается из первого перестановкой строк, эквивалентной параллельному переносу на торе. Оба латинских квадрата обладают свойством пандиагональности. На рис. 4 показан второй латинский квадрат данной ортогональной пары.

 

 

Рис. 4

 

Этот латинский квадрат тоже не диагональный, в одной главной диагонали числа повторяются, но сумма чисел равна 105.

На рис. 5 представлен второй пандиагональный квадрат, построенный из этой ортогональной пары квадратов (первый – это квадрат Хендрикса, показанный на рис. 2). Этот квадрат получается, если поменять латинские квадраты местами в формуле для построения пандиагонального квадрата.

 

 

Рис. 5

 

В этом квадрате тоже классическая начальная цепочка “ход конём”. Более того, квадрат эквивалентен квадрату Хендрикса.

 

Следующий метод построения идеальных квадратов 15-го порядка из обратимых квадратов. Метод разработан мной (см. [3]). На рис. 6 показан обратимый квадрат 15-го порядка:

 

 

Рис. 6

 

Обратимый квадрат строится по определённой схеме. Отмечу, что его можно получить из самого простого обратимого квадрата 15х15 перестановкой строк и столбцов по одной и той же схеме.

Затем к этому квадрату применяется матричное преобразование и получается идеальный квадрат (рис. 7):

 

 

Рис. 7

 

Далее, конечно, очень интересен метод построения классического пандиагонального квадрата, приведённый в статье Россера ([7]). Это теорема 5.5, случай 3. Метод работает для порядков n = 3m, m ≥ 3 и нечётно. В одной из предыдущих статей цикла показано построение этим методом классического пандиагонального квадрата 9-го порядка. Для порядка 15 всё аналогично. Покажу применение метода более подробно. Сначала из чисел 0, 1, …, 14 составляется прямоугольник 5х3 так, что сумма чисел в каждом столбце равна одному и тому же числу. Этот прямоугольник показан на рис. 8.

 

 

Рис. 8

 

Далее пронумеруем числа этого прямоугольника в естественном порядке, начиная с левой верхней ячейки, построчно. Составляем примитивный квадрат 15х15 по следующей формуле:

 

A(i,j) = 15a_i + a_j + 1, где

 

a_k – элемент с номером k в прямоугольнике с рис. 8.

Построенный таким образом примитивный квадрат показан на рис. 9.

 

 

Рис. 9

 

Следует отметить, что этот примитивный квадрат не является обратимым, хотя и составлен из чисел 1, 2, …, 225; он не обладает свойством ассоциативности, которым обладает любой обратимый квадрат (см. рис. 6).

Теперь применяем к построенному примитивному квадрату преобразование, заданное формулой:

 

A(i,j) = B(i+j,2i+3j),

 

где A(i,j) – элементы примитивного квадрата, B(i+j,2i+3j) – элементы пандиагонального квадрата. Индексы берутся по модулю 15.

 

На рис. 10 вы видите готовый пандиагональный квадрат.

 

 

Рис. 10

 

В этом пандиагональном квадрате начальная цепочка тоже составляется буквой Г, но с удлинённой стороной (не шахматная буква Г).

 

Отмечу ещё один интересный момент: примитивный квадрат 15х15 Россера очень просто получается из самого простого обратимого квадрата 15х15 перестановкой строк и столбцов по одной и той же схеме. Схема такая: в первой тройке без изменения - 1, 2, 3; во второй тройке – 3, 1, 2; в третьей тройке – 2, 3, 1; в четвёртой тройке – 3, 1, 2; в пятой тройке – 1, 3, 2.

 

На этом завершаю рассказ о методах построения классических пандиагональных квадратов 15-го порядка и перехожу к нетрадиционным пандиагональным квадратам.

 

Построить нетрадиционный пандиагональный квадрат 15-го порядка из произвольных натуральных чисел очень просто. Возьмём 15 арифметических прогрессий длины 15 с одинаковой разностью, первые члены которых тоже образуют арифметическую прогрессию. Запишем эти прогрессии в матрицу 15х15, получим такой примитивный квадрат (рис. 11).

 

 

Рис. 11

 

Теперь надо переставить в этом примитивном квадрате строки и столбцы так, чтобы получить аналог обратимого квадрата, изображённого на рис. 6, или аналог примитивного квадрата, построенного по Россеру (рис. 9). Затем к аналогу первого примитивного квадрата надо применить моё матричное преобразование, получим нетрадиционный идеальный квадрат; а ко второму квадрату применить преобразование Россера, получим нетрадиционный пандиагональный квадрат. Покажу построение пандиагонального квадрата.

Переставляем в квадрате с рис. 11 сначала столбцы по указанной выше схеме, получаем такой примитивный квадрат (рис. 12):

 

 

Рис. 12

 

Теперь переставим строки в полученном квадрате по той же схеме, результатом будет такой примитивный квадрат (рис. 13):

 

 

Рис. 13

 

Примитивный квадрат готов. Осталось применить к нему преобразование Россера, и на рис. 14 вы видите готовый нетрадиционный пандиагональный квадрат 15-го порядка.

 

 

Рис. 14

 

Обозначим: a – первый член первой арифметической прогрессии длины 15; b - разность прогрессий длины 15; c – разность арифметической прогрессии, образуемой первыми членами прогрессий длины 15. Тогда магическая константа пандиагонального квадрата, построенного из чисел этих арифметических прогрессий вычисляется по следующей формуле:

 

S = 15(a + 7b + 7c)

 

В приведённом примере имеем: a = 5, b = 5, c = 72, S = 15*(5 + 35 + 504) = 8160.

Предлагаю читателям построить нетрадиционный идеальный квадрат из чисел приведённых арифметических прогрессий. Выше я пояснила, как это сделать.

 

Нетрадиционный пандиагональный квадрат 15-го порядка из произвольных натуральных чисел можно построить также методом латинских квадратов. Для этого достаточно взять ортогональную пару латинских квадратов, например, ту, которая получена разложением пандиагонального квадрата Хендрикса (см. рис. 3 – 4), и использовать в формуле для построения пандиагонального квадрата вместо множителя 15 любой другой множитель больше 15. На рис. 15 показан пандиагональный квадрат, построенный из этой ортогональной пары с множителем равным 20.